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人教版八年级数学下册重难点专题提升精讲精练期末重难点特训(四)之压轴满分题型专训(原卷版+解析)
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这是一份人教版八年级数学下册重难点专题提升精讲精练期末重难点特训(四)之压轴满分题型专训(原卷版+解析)，共131页。
【题型目录】
题型一 二次根式的混合计算压轴题
题型二 二次根式与几何图形综合的压轴题
题型三 用勾股定理解三角形压轴题
题型四 勾股定理逆定理的应用压轴题
题型五 最短路径问题压轴题
题型六 平行四边形的存在性压轴题
题型七 特殊平行四边形的性质与判定压轴题
题型八 四边形中的动点类压轴题
题型九 四边形中的最值类压轴题
题型十 与三角形中位线有关的求解压轴题
题型十一 一次函数的图象与性质压轴题
题型十二 一次函数中的几何压轴题
题型十三 一次函数的应用压轴题
【压轴题型一 二次根式的混合计算压轴题】
1．（2023春·江苏·八年级专题练习）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
若设（其中、、、均为整数），则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：______，______；
(2)若，且、、均为正整数，求的值；
(3)化简下列各式：
①
②
③．
2．（2022秋·四川资阳·九年级校考阶段练习）在日常生活中，有时并不要求某个量的准确值，而只需求出它的整数部分．如今天是星期一，还有55天中考，问中考前还有多少个星期一、容易知，但答案并不是将小数部分四舍五入得到8，而是的整数部分7，所以有7个星期一、为了解决某些实际问题，我们定义一种运算——取一个实数的整数部分，即取出不超过实数x的最大整数．在数轴上就是取出实数x对应的点左边最接近的整数点（包括x本身），简称取整，记为．这里，，其中是一个整数，，a称为实数x的小数部分，记作，所以有．例如，，．
关于取整运算有部分性质如下：
①
②若n为整数，则
请根据以上材料，解决问题：
(1)___________；若，，则___________；
(2)记，求；
(3)解方程：．
3．（2023春·浙江·八年级专题练习）阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 ab2，ab 3 ，求．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令 xab ， y ab ，则．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．
(1)计算：；
(2)m 是正整数， a ，b 且．求 m．
(3)已知，求的值．
【压轴题型二 二次根式与几何图形综合的压轴题】
1．（2023春·全国·八年级阶段练习）正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，轴，与轴交于点，，且，的长满足．
（1）求点A的坐标；
（2）若，求的面积；
（3）在（2）的条件下，正方形的边上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2023春·湖北宜昌·七年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，、、，其中、满足：．平移线段得到线段，使得、两点分别落在轴和轴上．
(1)点坐标______，点坐标______，面积为______；
(2)如图，将点向下移动个单位得到点，连接、，在轴正半轴上恰有一点，使得与面积相等，求出点的坐标．
(3)如图，将图中的、连接，平移线段得到，使得，交线段于点，连接、，求的面积．
3．（2023·河南洛阳·统考二模）阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当，时，有，，当且仅当时取等号．
请利用上述结论解决以下问题：
(1)当时，的最小值为_________；当时，的最大值为_________；
(2)当时，求的最小值；
(3)如图，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别为9和16，求四边形的最小面积．
【压轴题型三 用勾股定理解三角形压轴题】
1．（2023·江西九江·校考模拟预测）已知，点P是平面内任意一点（不与点A，B，C重合），若点P与A，B，C中的某两点的连线的夹角为直角，则称点P为的一个“勾股点”．
(1)如图（1），若点P是内一点，，，，试说明点P是的一个“勾股点”；
(2)如图（2），已知点D是的一个“勾股点”，，且，若，，求的长；
(3)如图（3），在中，，，点D为外一点，，，，点D能否是的“勾股点”，若能，求出的长；若不能，请说明理由．
2．（2023春·山东济南·八年级统考期中）如图，在中，， M、N是边上的两个动点，其中点M从点A出发，沿A→B方向运动，速度为每秒2cm；点N从点B出发，沿B→C→A方向运动，速度为每秒4cm；两点同时开始运动，设运动时间为t秒．
(1)①斜边上的高为 ；
②当时，的长为 ；
(2)当点N在边上运动时，出发几秒钟后，是等腰三角形？
(3)当点N在边上运动时，直接写出所有能使成为等腰三角形的t的值．
3．（2023春·重庆南岸·八年级重庆市第十一中学校校联考期中）在中，，平分，为上一点．
(1)如图，过作交于点，若，，求的面积；
(2)如图，若，过作交的延长线于点，为延长线上一点，连接，过作交于点，交于点，且，
①猜想的形状，并证明；
②猜想线段与之间的数量关系，并证明．
【压轴题型四 勾股定理逆定理的应用压轴题】
1．（2023秋·四川成都·八年级统考期末）在四边形中，，．
(1)如图1，若，，．
①连接，试判断的形状，并说明理由；
②连接，过作，交的延长线于点，求的面积；
(2)如图2，若，，四边形的面积为，求的长．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）问题背景：如图1，某车间生产了一个竖直放在地面上的零件，过点A搭了一个支架AC，测得支架AC与地面成角，即；在的中点D处固定了一个激光扫描仪，需要对零件进行扫描，已知扫描光线的张角恒为，即．
问题提出：数学兴趣小组针对这个装置进行探究，研究零件边上的被扫描部分（即线段EF），和未扫到的部分（即线段和线段）之间的数量关系．
问题解决：
(1)先考虑特殊情况：
①如果点E刚好和点A重合，或者点B刚好和点F重合时，________（填“>”，“<”或“=”）；
②当点E位于特殊位置，比如当时，________（填“>”或“<”）；
(2)特殊到一般：猜想：如图2，当时，________，证明你所得到的结论：
(3)研究特殊关系：如果，求出的值．
3．（2023春·八年级单元测试）如图①，是四边形ABCD的一个外角，，，点F在CD的延长线上，，，垂足为G．
（1）求证：
①DC平分；
②．
（2）如图②，若，，．
①求的度数；
②直接写出四边形ABCF的面积．
【压轴题型五 最短路径问题压轴题】
1．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，一条河流的段长为，在点的正北方处有一村庄，在点的正南方处有一村庄，计划在上建一座桥，使得桥到村和村的距离和最小．请根据以上信息，回答下列问题：
(1)将桥建在何处时，可以使得桥到村和村的距离和最小？请在图中画出此时点的位置；
(2)小明发现：设，则，则，根据（1）中的结论可以求出当______时，的值最小，且最小值为______；
(3)结合（1）（2）问，请直接写出下列代数式的最小值：
①的最小值______；
②的最小值为______．
2．（2023春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期中）
(1)问题提出
如图1，已知点C为线段上一动点，分别过点B、D作，，连接、．已知，，，则的最小值是_______．
(2)问题探究
如图2，在四边形中，，，，，，E是四边形内一动点，且，求的最小值．
(3)问题解决
如图3，已知，长度为2的线段在射线上滑动，点C在射线上，且，的两个内角的角平分线相交于点F，过F作，垂足为G，求的最大值．
3．（2022秋·江苏·八年级期末）将沿AD折叠，使点C刚好落在AB边上的点E处．展开如图1．
【操作观察】（1）图1中，，．
①则_______；
②若，则_______；
【理解应用】（2）如图2，若，试说明：；
【拓展延伸】（3）如图3，若，点G为AC的中点，且．点P是AD上的一个动点，连接PG、PC．求的最小值．
【压轴题型六 平行四边形的存在性问题】
1．（2022春·广东湛江·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，直线与x轴、y轴分别交于点和点C，直线与直线交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)若点E为线段上一个动点，过点E作轴，垂足为F，且与直线交于点G，当时，求点G的坐标；
(3)问在平面上是否存在点H，使得以点A，C，D，H为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出所有满足条件的点H的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2022春·浙江温州·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是平行四边形，O为坐标原点，点A的坐标是(，0)， 线段BC 交y轴于点D，点D的坐标是(0，8)，线段CD=6．动点P从点O出发，沿射线OA的方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q从点D出发，以每秒1个单位的速度向终点B运动，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，运动时间为t秒.
(1)用t的代数式表示：BQ=_______，AP=_______；
(2)若以A，B，Q，P为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值；
(3)当恰好是等腰三角形时，求t的值．
3．（2022秋·全国·九年级阶段练习）已知，平行四边形中，一动点在边上，以每秒的速度从点向点运动．
(1)如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数．
(2)如图②，在（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，求的面积．
(3)如图③，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动同时点也停止，若，则为何值时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形．
【压轴题型七 特殊平行四边形的性质与判定压轴题】
1．（2022春·江苏镇江·八年级统考期末）【问题背景】在矩形纸片中，，，点P在边上，点Q在边上，将纸片沿折叠，使顶点B落在点E处．
【初步认识】
（1）如图①，折痕的端点P与点A重合．
①当时， ______．②若点E恰好在线段上，则的长为_______．
【深入思考】
（2）点E恰好落在边上．
①请在图②中用无刻度的直尺和圆规作出折痕；（不写作法，保留作图痕迹）
②如图③，过点E作交于点F，连接．请根据题意，补全图③并证明四边形是菱形；
③在②的条件下，当时，菱形的边长为___________，的长为_______．
【拓展提升】
（3）如图④，若，连接．当是以为腰的等腰三角形时，求的长．
2．（2022春·广东广州·八年级校联考期中）在正方形中，点是边上任意一点．连接，过点作于．交于．
(1)如图1，过点作于，求证：；
(2)如图2，点为的中点，连接，求证：；
(3)如图3，，连接，点为的中点，在点从点运动到点的过程中，点随之运动，请直接写出点运动的路径长．
3．（2022春·江苏南通·八年级校考期中）【探究与证明】
在正方形中，G是射线上一动点（不与点A，C重合），连接，作，且使，连接、．
(1)如图1，若点G在上，则：
①图中与全等的三角形是 ；
②线段，，之间的数量关系是 ；
(2)如图2，若G在的延长线上，那么线段，，之间有怎样的数量关系？写出结论，并给出证明．
【压轴题型八 四边形中的动点类压轴题】
1．（2022秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，已知在正方形中，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接．
(1)求的长；
(2)探究：的值是不是定值？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由．
2．（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）如图1，中，，点为中点，点为上一点，连结．已知．动点从点出发，以1个单位/秒的速度沿线段向终点运动，设点运动的时间为（秒）．
(1)求证：．
(2)若为等腰三角形时，求的值．
(3)如图2，动点出发的同时，另有一点从点出发沿线段向终点运动，速度为个单位/秒，连结，将线段绕点分别向顺时针和逆时针方向旋转，得到线段和，当三点共线时，直接写出的值为______．
3．（2022秋·山东济南·九年级校考阶段练习）在正方形中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线，上移动．
(1)如图1，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接和交于点P，请写出与的关系，并说明理由；
(2)如图2，当点E，F分别移动到边，的延长线上时，连接和，（1）中的结论还成立吗？（请直接回答“成立”或“不成立”，无需证明）
(3)如图3，当E，F分别在，的延长线上移动时，连接和，（1）的结论还成立吗？请说明理由．
【压轴题型九 四边形中的最值类压轴题】
1．（2022秋·广东深圳·八年级统考期末）如图，在长方形中，，，，，，点P在边上，且不与点B、C重合，直线与的延长线交于点E．
(1)当点P是的中点时，求证：；
(2)将沿直线折叠得到，点落在长方形的内部，延长交直线于点F．
①证明，并求出在（1）条件下的值；
②连接，直接写出周长的最小值．
2．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）（1）如图1，在等腰中，，，D是边的中点，E是边上一动点，则的最小值是______．
（2）如图2，在正中，，P、M、N分别是上的动点，
①的最小值为______；②求的最小值．
（3）如图3，正方形的边长为4，E、F分别是边和上的动点且始终满足，连结，求的最小值．
3．（2022春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考阶段练习）在数学中，我们会用“截长补短”的方法来解决几条线段之间的和差问题．请看这个例题：如图1，在四边形中，，，若，求四边形的面积．
解：延长线段到E，使得，连接，我们可以证明，根据全等三角形的性质得，，则，得，这样，四边形的面积就转化为等腰直角三角形面积．
(1)根据上面的思路，我们可以求得四边形的面积为 cm2．
(2)如图2，在中，，且，求线段的最小值．
(3)如图3，在平行四边形中，对角线与相交于O，且；，则是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出的最小值及此时平行四边形的面积．
【压轴题型十 与三角形中位线有关的求解压轴题】
1．（2023春·四川成都·八年级成都铁路中学校考期中）已知，如图1，中，，D，E分别是线段，的中点，且满足，，P为边上一动点，连接，以为一边在右侧作，使，且，连接并延长交直线于点H．
(1)求证：；
(2)若，判断线段与线段的数量关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，延长交于点G，若，当为直角三角形时，求的长度．
2．（2023·吉林长春·校考二模）【提出问题】兴趣小组活动中老师提出了如下问题：如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使得，，再连接（或将绕点D逆时针旋转180°得到），把集中在中，利用三角形的三边关系可得，则．
【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”，把一条过中点的线段延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法．
【解决问题】如图②，在中，点D是边的中点，点E在边上，过点D作，交边于点F，连接．
(1)求证：．
(2)若，则线段之间的等量关系为 ．
(3)【应用拓展】如图③，在中，，点D为边的中点，点E和点F分别在边上，点M为线段的中点．若，，则的长为 ．
3．（2023春·江苏·八年级姜堰区实验初中校考周测）（1）[方法回顾]课本上“三角形中位线定理”的证明．
已知：如图1，在中，点D、E分别是边的中点． 求证：， ．
证明：如图1，延长到点F，使得，连接；请继续完成证明过程：
（2）[问题解决]
如图2，，E为的中点，G、F分别为射线上的点，，线段有怎样的数量关系？请说明理由．
（3）[思维拓展]
如图3，在四边形中，，，，E为的中点，G、F分别为边上的点，H是的中点，若，，的长为 ．
【压轴题型十一 一次函数的图象与性质压轴题】51．（2023春·四川宜宾·八年级四川省宜宾市第二中学校校考期中）如图1，直线交x轴于点B，交y轴于点C．点A在x轴负半轴上且A点坐标为．
(1)求直线的解析式；
(2)如图2，点P坐标为，过点P的直线把的面积分为，交另一边于点E，求点E的坐标；
(3)如图3，已知点，点M为线段上一动点，点N为直线上一动点，当三角形为等腰直角三角形时，求M点的坐标．
2．（2023春·北京·八年级校联考期中）已知点E和图形G，Q为图形G上一点，若存在点P，使得点E为线段的中点（P，Q不重合），则称点P为图形G关于点E的双倍点．
如图，在平面直角坐标系中，点，，，．
(1)若点E的坐标为，则在，，，是四边形关于点E的双倍点的是______；
(2)点N的坐标为，若在二四象限角平分线上存在四边形关于点N的双倍点，直接写出t的取值范围；
(3)点M为四边形边上的一个动点，平行于二、四象限角平分线的直线交x轴于点，与y轴交于点，若线段上的所有点均可成为四边形关于M的双倍点，直接写出b的取值范围．
3．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A、B．另一条直线与直线交于点，与x轴交于点，点P是直线上一点（不与点C重合）．
(1)求a的值．
(2)当的面积为18时，求点P的坐标．
(3)若直线在平面直角坐标系内运动，且始终与平行，直线交直线于点M，交y轴于点N，当时，求的面积．
【压轴题型十二 一次函数的几何压轴题】
1．（2023春·北京东城·八年级北京二中校考期中）在平面直角坐标系xOy中，中心为点C的正方形各边分别与两坐标轴垂直，若点P是与C不重合的点，点P关于正方形的“限称点”的定义如下：设为直线CP与正方形的边的一个交点，另一个交点为M，若满足，则称为点P关于正方形的“限称点”．如图，为点P关于正方形的“限称点”的示意图．规定：若点P与点C重合，则点P的“限称点”存在．
(1)若正方形的中心为原点O，边长为2．
①分别判断点、、关于该正方形的“限称点”是否存在，若存在，求其坐标；
②若平面内一动点关于该正方形的“限称点”存在，求n的取值范围；
(2)若正方形的中心T在x轴上，边长为2，记直线在之间的部分为图形K．若图形K上任意一点关于该正方形的“限称点”都存在，请你直接写出正方形中心T的横坐标的取值范围．
2．（2023春·北京海淀·八年级人大附中校考期中）在平面直角坐标系中，对于没有公共点的两个图形M、N给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，若P、Q两点间距离的最大值和最小值分别为和，则称比值为图形M和图形N的“距离关联值”，记为．已知顶点坐标为，，，．
(1)若E为边上任意一点，则的最大值为______，最小值为______，因此k（点O，）＝______；
(2)若为对角线上一点，为对角线上一点，其中．
①若，则k（线段，）______；
②若（线段，），求m的取值范围；
(3)若的对角线交点为O，且顶点在直线上，顶点在直线上，其中，请直接用含n的代数式表示．
3．（2023春·江苏苏州·八年级苏州市立达中学校校考期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，点C在x轴正半轴上，对角线交y轴于点M，边交y轴于点H．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿折线A—B—C向终点C运动．
(1)点B的坐标为______；
(2)设动点P的运动时间为t秒，连接，的面积为S，请用含t的式子表示S；
(3)当点P运动到线段上时，连接，若，求P的运动时间t的值．
【压轴题型十三 一次函数的应用压轴题】
1．（2023·浙江宁波·统考一模）甲开车从A地前往B地送货，同时，乙从C地出发骑车前往B地，C在A，B两地之间且距离A地15千米．甲到达B地后以相同的速度立马返回A地，在A地休息半小时后，又以相同的速度前往B地送第二批货，乙出发后4小时遇上送货的甲，乙让甲捎上自己（上下车时间忽略不计），甲载上乙后以原速前进．甲、乙两人距离B地的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．
(1)求甲第一次送货前往B地时，甲距离B地的路程y关于x的函数表达式．
(2)问在乙距离B地多远时，甲载上了乙？
(3)问乙比原计划早到多少时间？
2．（2023春·浙江温州·八年级期中）根据以下素材，完成探索任务．
3．（2023·广东深圳·深圳中学校联考二模）目标检测是一种计算机视觉技术，旨在检测汽车、建筑物和人类等目标．这些目标通常可以通过图像或视频来识别．在常规的目标检测任务中，如图1，一般使用边同轴平行的矩形框进行标示．
在平面直角坐标系中，针对目标图形，可以用其投影矩形来检测．图形的投影矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于轴，轴，图形的顶点在矩形的边上或内部，且矩形的面积最小．设矩形的较长的边与较短的边的比为，我们称常数为图形的投影比．如图2，矩形为的投影矩形，其投影比．
(1)如图3，点，，则投影比的值为______；
(2)如图4，若点，点且投影比，则点的坐标可能是______（填写序号）；
；；；．
(3)如图5，已知点，在函数（其中）的图象上有一点，若的投影比，求点的坐标．
判断车辆是否因超速被罚款？
素材一
我国高速公路上的隧道通常限速80千米/小时，在隧道前会有一个提示牌及限速标志，在标识与隧道口之间的途中会有测速仪测速，且测速时有闪光．根据交规，若超速以上未达的，处以200元以内罚款．
素材二
在物体运动的速度v关于时间t的函数图象中，函数图象与横轴以及直线所围成的图形（如图的阴影部分）面积的数值等于物体从到这个时间段的运动距离．
素材三
测速仪安装是在车辆前进方向的路上，根据短时间的两次测速（均有闪光提示），测出两个时刻车辆和测速仪之间的距离，再用距离差除以两次测速的时间差，算出这段路程的平均车速．
素材四
速度1米/秒千米/小时，某车以108千米/小时的速度驶来，到达限速标志位置（隧道前500米）时开始匀减速，从开始减速到车头进入隧道用了20秒，其速度v关于时间t的函数图象如图所示，和是两次雷达测速的时间．
问题解决
任务一
求该车进入隧道时的速度？
任务二
当第一次闪光时，车速已经降到了90千米/小时，求时间．
任务三
到第二次闪光时，该车又前进了49米，此次该车是否会因超速而被罚款，请通过计算说明理由．
期末重难点特训（四）之压轴满分题型专训
【题型目录】
题型一 二次根式的混合计算压轴题
题型二 二次根式与几何图形综合的压轴题
题型三 用勾股定理解三角形压轴题
题型四 勾股定理逆定理的应用压轴题
题型五 最短路径问题压轴题
题型六 平行四边形的存在性压轴题
题型七 特殊平行四边形的性质与判定压轴题
题型八 四边形中的动点类压轴题
题型九 四边形中的最值类压轴题
题型十 与三角形中位线有关的求解压轴题
题型十一 一次函数的图象与性质压轴题
题型十二 一次函数中的几何压轴题
题型十三 一次函数的应用压轴题
【压轴题型一 二次根式的混合计算压轴题】
1．（2023春·江苏·八年级专题练习）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
若设（其中、、、均为整数），则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：______，______；
(2)若，且、、均为正整数，求的值；
(3)化简下列各式：
①
②
③．
【答案】(1)，
(2)12或28
(3)①，②，③
【分析】（1）利用完全平方公式展开可得到用m、n表示出a、b；
（2）利用（1）中结论得到，利用a、m、n均为正整数得到，或，，然后利用计算对应a的值；
（3）设，两边平方得到，然后利用（1）中的结论化简得到，最后把写成完全平方形式可得到t的值．
【详解】（1）设（其中a、b、m、n均为整数），
则有，；
故答案为：，；
（2）∵，
∴，
∵a、m、n均为正整数，
∴，或，，
当，时，；
当，时，；
即a的值为12或28；
（3）①
②
③设，
则
，
∴．
【点睛】本题考查根据二次根式的性质进行化简，解题的关键是在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
2．（2022秋·四川资阳·九年级校考阶段练习）在日常生活中，有时并不要求某个量的准确值，而只需求出它的整数部分．如今天是星期一，还有55天中考，问中考前还有多少个星期一、容易知，但答案并不是将小数部分四舍五入得到8，而是的整数部分7，所以有7个星期一、为了解决某些实际问题，我们定义一种运算——取一个实数的整数部分，即取出不超过实数x的最大整数．在数轴上就是取出实数x对应的点左边最接近的整数点（包括x本身），简称取整，记为．这里，，其中是一个整数，，a称为实数x的小数部分，记作，所以有．例如，，．
关于取整运算有部分性质如下：
①
②若n为整数，则
请根据以上材料，解决问题：
(1)___________；若，，则___________；
(2)记，求；
(3)解方程：．
【答案】(1)3，
(2)43
(3)或
【分析】（1）根据定义直接求解即可；
（2）先进行分母有理化，再求和即可；
（3）根据题意可得，求出的取值范围可得，再由是整数，可求的值．
【详解】（1）解：，
，
，
，，
，
故答案为：3，；
（2）
，
，
，
；
（3），
，
，
解得，
，
是整数，
或
解得或
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，弄清定义，熟练掌握不等式的基本性质，分母有理数化，准确熟练地进行计算是解题的关键．
3．（2023春·浙江·八年级专题练习）阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 ab2，ab 3 ，求．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令 xab ， y ab ，则．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．
(1)计算：；
(2)m 是正整数， a ，b 且．求 m．
(3)已知，求的值．
【答案】(1)
(2)m=2
(3)
【分析】（1）由题目所给出的规律进行计算即可；
（2）先求出再由进行变形再求值即可；
（3）先得到，然后可得，最后由，求出结果
【详解】（1）原式
，
（2）∵a ，b ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴2，
∵m 是正整数，
∴m=2．
（3）由得出，
∴，
∵，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
【压轴题型二 二次根式与几何图形综合的压轴题】
1．（2023春·全国·八年级阶段练习）正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，轴，与轴交于点，，且，的长满足．
（1）求点A的坐标；
（2）若，求的面积；
（3）在（2）的条件下，正方形的边上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）9；（3）存在，，
【分析】（1）根据二次根式和绝对值的非负性可求出AE，DE的值，即可得出结果；
（2）如图1，过点做轴的垂线，交和的延长线于点和点，利用长方形DCFG即可得解；
（3）通过可知，分别讨论M点在四条边上时是否存在即可．
【详解】（1），，且，
，．
，．
，
．
（2）如图1，过点做轴的垂线，交和的延长线于点和点．
，，
．
，
，．
，
．
长方形DCFG，
，
，
．
长方形DCFG．
（3）正方形的边上存在点，使，
，
，
如图2，当点在线段AD上时，
当点在线段BC上时，
当点在线段CD上时，
此时不存在；
当点在线段AB上时，
可知当点在点A的位置时到CE的距离最近，
此时不存在，
，．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标，面积以及动点问题，有一定综合性，也有一定难度，需要利用数形结合的思想解题，熟练掌握平面直角坐标系中面积的求解方法是解题的关键．
2．（2023春·湖北宜昌·七年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，、、，其中、满足：．平移线段得到线段，使得、两点分别落在轴和轴上．
(1)点坐标______，点坐标______，面积为______；
(2)如图，将点向下移动个单位得到点，连接、，在轴正半轴上恰有一点，使得与面积相等，求出点的坐标．
(3)如图，将图中的、连接，平移线段得到，使得，交线段于点，连接、，求的面积．
【答案】(1)（0，3），（4，0），6
(2)
(3)
【分析】根据二次根式的性质求出、的值得出点、的坐标，再由平移可得点、的坐标，即可得出答案；
根据三角形面积可求出的长，则可得出答案；
过点作轴交于点，交轴于点，设，则，求出点坐标和的长，根据三角形面积公式可得出答案．
【详解】（1）解：，
，
，
，
、，
平移线段得到线段，使得、两点分别落在轴和轴上，
，，
，，
；
故答案为：，，；
（2）解：，将点向下移动个单位得到点，
，
，，
，
，
，
，
点在轴正半轴上，
；
（3）解：过点作轴交于点，交轴于点，
平移线段得到，
，
设，则，
，
，
，
解得，
，
，
，
，
．
∵，
∴；
【点睛】本题主要考查二次根式的性质、坐标与图形的性质及平移的性质，三角形面积公式，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
3．（2023·河南洛阳·统考二模）阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当，时，有，，当且仅当时取等号．
请利用上述结论解决以下问题：
(1)当时，的最小值为_________；当时，的最大值为_________；
(2)当时，求的最小值；
(3)如图，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别为9和16，求四边形的最小面积．
【答案】(1)2；
(2)y的最小值为11
(3)49
【分析】（1）根据题目中给出的信息进行解答即可；
（2）先将变形得到，然后根据题目中给出的信息进行解答即可；
（3）设，根据等高三角形性质得出 ，求出 ，根据四边形的面积为，求出最小值即可．
【详解】（1）解：∵当时，，即，
∴的最小值为2；
∵当时，，
∴，即，
∴，
∴，
∴的最大值为；
故答案为：2；；
（2）解：，
，
，
∴当时，y的最小值为11．
（3）解：设，已知，，则由等高三角形性质可知， ，
∴，
，
因此四边形的面积，
当且仅当时取等号，即四边形面积的最小值为49 ．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，三角形面积的计算，解题的关键是理解题意，准确计算．
【压轴题型三 用勾股定理解三角形压轴题】
1．（2023·江西九江·校考模拟预测）已知，点P是平面内任意一点（不与点A，B，C重合），若点P与A，B，C中的某两点的连线的夹角为直角，则称点P为的一个“勾股点”．
(1)如图（1），若点P是内一点，，，，试说明点P是的一个“勾股点”；
(2)如图（2），已知点D是的一个“勾股点”，，且，若，，求的长；
(3)如图（3），在中，，，点D为外一点，，，，点D能否是的“勾股点”，若能，求出的长；若不能，请说明理由．
【答案】(1)说明见解析
(2)
(3)点D可以是的“勾股点”， 的长是
【分析】（1）根据，求出，根据，，求出，即可证明结论；
（2）先求出，得出，求出，得出，根据勾股定理求出即可．
（3）分三种情况讨论：当时，点D是的“勾股点”；当时，点D是的“勾股点”；当时，点D是的“勾股点”；其中只有第一种情况存在求出结果即可．
【详解】（1）证明：∵在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴点P是的一个“勾股点”．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
在中，，
∴在中，．
（3）解：点D可以是的“勾股点”．
由题意可知，分三种情况讨论．
①当时，点D是的“勾股点”．如图，分别过点A，B作的垂线，垂足分别为点E，F．
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴．
又∵在中，，
∴，
∴，
∴；
②当时，点D是的“勾股点”．
由题可知，
∴．
又∵，
∴，
∵在中，，
∴，
∴此种情况不成立．
③当时，点D是的“勾股点”．
∵在中，，
∴是锐角，∴此种情况不成立．
综上，点D可以是的“勾股点”，的长是．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形内角和定理的应用，三角形全等的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握基本的判定和性质，作出相应的辅助线，并注意分类讨论．
2．（2023春·山东济南·八年级统考期中）如图，在中，， M、N是边上的两个动点，其中点M从点A出发，沿A→B方向运动，速度为每秒2cm；点N从点B出发，沿B→C→A方向运动，速度为每秒4cm；两点同时开始运动，设运动时间为t秒．
(1)①斜边上的高为 ；
②当时，的长为 ；
(2)当点N在边上运动时，出发几秒钟后，是等腰三角形？
(3)当点N在边上运动时，直接写出所有能使成为等腰三角形的t的值．
【答案】(1)①cm；②
(2)出发秒后能形成等腰三角形
(3)运动时间为6.6秒或6秒或5.5秒时，为等腰三角形
【分析】（1）根据勾股定理求出的长，再用面积法求得斜边上的高；求出当时，和的长，同理用勾股定理求得的长；
（2）根据题意，可得，，列方程，即可解答；
（3）需要分类讨论：即三种情况，依次讨论即可解答．
【详解】（1）解：①在中，cm
根据面积法，斜边上的高为；
②当时，，，
；
（2）由题意可知
当为等腰三角形时，则有即
解得，
∴出发秒后能形成等腰三角形；
（3）
当时，
，
，
，
秒；
当时，，
秒；
当时，过点B作的垂线段，交于点D，
根据勾股定理，，
,，
，
秒，
综上所述，当运动时间为6.6秒或6秒或5.5秒时，△BCN为等腰三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，等积法，方程思想和分类讨论，注意方程思想的运用是解题的关键．
3．（2023春·重庆南岸·八年级重庆市第十一中学校校联考期中）在中，，平分，为上一点．
(1)如图，过作交于点，若，，求的面积；
(2)如图，若，过作交的延长线于点，为延长线上一点，连接，过作交于点，交于点，且，
①猜想的形状，并证明；
②猜想线段与之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2)①等腰直角三角形，证明见解析；②，证明见解析
【分析】（1）过作于，证明得出，，利用等腰三角形的性质可求，进而求出，利用勾股定理求出，最后利用三角形的面积公式解答即可；
（2）连接，根据三角形内角和定理和等腰直角三角形的判定解答即可；
连接，作于，根据证明三角形全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【详解】（1）解：过作于，
则，
平分，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的面积；
（2）解：等腰直角三角形，理由如下：
连接，
，，
，，
，，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形；
，理由如下：
如图，连接，作于，
设，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
．
【点睛】此题是三角形综合题，考查全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的判定与性质和三角形内角和定理，关键是构建全等三角形解答．
【压轴题型四 勾股定理逆定理的应用压轴题】
1．（2023秋·四川成都·八年级统考期末）在四边形中，，．
(1)如图1，若，，．
①连接，试判断的形状，并说明理由；
②连接，过作，交的延长线于点，求的面积；
(2)如图2，若，，四边形的面积为，求的长．
【答案】(1)①直角三角形，理由见解析 ②
(2)
【分析】（1）①利用勾股定理的逆定理即可判断的形状；②证明，利用全等三角形的性质可得，易得，即可获得答案；
（2）过作交的延长线于点，连接，过作，交的延长线于点，首先证明是等腰直角三角形，可得；结合（1）中，可得，，再由，可解得，进而可求得，然后由即可获得答案．
【详解】（1）解： ①是直角三角形，理由如下：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
②∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即
；
（2）过作交的延长线于点，连接，过作，交的延长线于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
同（1）②，可证，
∴，，
由（1）②，可知，
即，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，理解并掌握相关知识是解题关键．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）问题背景：如图1，某车间生产了一个竖直放在地面上的零件，过点A搭了一个支架AC，测得支架AC与地面成角，即；在的中点D处固定了一个激光扫描仪，需要对零件进行扫描，已知扫描光线的张角恒为，即．
问题提出：数学兴趣小组针对这个装置进行探究，研究零件边上的被扫描部分（即线段EF），和未扫到的部分（即线段和线段）之间的数量关系．
问题解决：
(1)先考虑特殊情况：
①如果点E刚好和点A重合，或者点B刚好和点F重合时，________（填“>”，“<”或“=”）；
②当点E位于特殊位置，比如当时，________（填“>”或“<”）；
(2)特殊到一般：猜想：如图2，当时，________，证明你所得到的结论：
(3)研究特殊关系：如果，求出的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）连接，先证明是等边三角形，即，当F点与B点重合时，即，根据“三线合一”可得，即有，同理：如果点E刚好和点A重合，同样有；问题得解；先证明是等边三角形，根据等腰三角形的性质可得，再结合含角的直角三角形的性质可以求出，即问题得解；
（2）将绕D点逆时针旋转120°至，连接，先证明，再证明，问题即可得解；
（3）将绕D点逆时针旋转至，连接，根据（2）中的方法，同理可证明：，，再证明是直角三角形，，结合含角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】（1）如图，连接根据题意有，，即，
∵点D为中点，
∴，
∴是等边三角形，（此结论也适用于第（2）和（3）问）
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
当F点与B点重合时，如上图左图，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
同理：如果点E刚好和点A重合，同样有，
故答案为：；
当时，如图，
∵，，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，，
∴，
∴，
∵，，
∴在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：；
（2），理由如下：
将绕D点逆时针旋转至连接如图，
根据旋转的性质有：，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即：，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
故答案为：；
（3）将绕D点逆时针旋转至，连接如图，
根据（2）中的方法，同理可证明：，，
∴，，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∵在（1）中已证明，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，含角直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理等知识，合理构筑辅助线，证明三角形全等是解答本题的关键．
3．（2023春·八年级单元测试）如图①，是四边形ABCD的一个外角，，，点F在CD的延长线上，，，垂足为G．
（1）求证：
①DC平分；
②．
（2）如图②，若，，．
①求的度数；
②直接写出四边形ABCF的面积．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）①90°；②
【分析】（1）①根据等边对等角性质和平行线的性质证得即可；
②过点F作，垂足为H，根据全等三角形的判定证明（AAS）和，再根据全等三角形的性质即可证得结论；
（2）①AD，BF的交点记为O．由（1）结论可求得AD，利用勾股定理在逆定理证得∠ABD=90°，根据三角形的内角和定了可推导出，再根据平角定义和四边形的内角和为360°求得∠AFD=90°；
②过B作BM⊥AD于M，根据三角形等面积法可求得BM，然后根据勾股定理求得FG，进而由求解即可．
【详解】（1）①证明：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴DC平分；
②证明：如图①，过点F作，垂足为H，
∵，又，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴（AAS），
∴，．
∵，
∴．
∴（LH），
∴=．
∴；
（2）①如图②，AD，BF的交点记为O．
由（1）知，，，,
∵，，
∴,
在中，，，
∴．
∴．
∵，
又，．
∴．
∵，又，
∴．
∵，
又，
∴．
∴．
∵，
∴
∴．
∴；
②过B作BM⊥AD于M，
∵∠ABD=90°，AB=4，BD=BC=3，AD=5，
∴ ，
∵AD∥BC，
∴△BCD边BC上的高为，
∴，
∵∠AFD=90°，FG⊥AE，
∴，，
∵DG=1，，AD=4+1=5，
∴，，
解得：，，
∴，
∴FG=2，
∴，
∴四边形ABCF的面积为=．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理、三角形的内角和定理、四边形的内角和、三角形的面积公式、等角的余角相等、解方程等知识，涉及知识点较多，综合性强，难度较难，解答的关键是熟练掌握相关知识的联系和运用．
【压轴题型五 最短路径问题压轴题】
1．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，一条河流的段长为，在点的正北方处有一村庄，在点的正南方处有一村庄，计划在上建一座桥，使得桥到村和村的距离和最小．请根据以上信息，回答下列问题：
(1)将桥建在何处时，可以使得桥到村和村的距离和最小？请在图中画出此时点的位置；
(2)小明发现：设，则，则，根据（1）中的结论可以求出当______时，的值最小，且最小值为______；
(3)结合（1）（2）问，请直接写出下列代数式的最小值：
①的最小值______；
②的最小值为______．
【答案】(1)见解析
(2)；
(3)①；②
【分析】（1）直接根据两点之间线段最短，连接，交于点即可；
（2）根据平行线分线段成比例定理得出的长度，根据勾股定理求出即为最小值；
（3）①根据题意可知的最小值，计算即可；
②将转换为，然后根据上述规律求最小值即可．
【详解】（1）解：如图，点即为所作：
；
（2）过点作，交与点,
则，，
，
设为，则，
则，
即，
解得，
，当时，最小值为，
故答案为：；；
（3）①的最小值，
故答案为：；
②
的最小值，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，考查了数形结合的思想，读懂题意，将已知式子转换为相应的图形进行解答是本题的关键．
2．（2023春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期中）
(1)问题提出
如图1，已知点C为线段上一动点，分别过点B、D作，，连接、．已知，，，则的最小值是_______．
(2)问题探究
如图2，在四边形中，，，，，，E是四边形内一动点，且，求的最小值．
(3)问题解决
如图3，已知，长度为2的线段在射线上滑动，点C在射线上，且，的两个内角的角平分线相交于点F，过F作，垂足为G，求的最大值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）连接交于点，根据“两点之间，线段最短”可得当点C位于点处时，的值最小，此时构造直角三角形，利用勾股定理即可求解；
（2）过点A作于点F，利用勾股定理求出的长，过点E作于点M，作于点N，利用，得到，根据过一点有且只有一条直线与已知直线垂直可得点M、E、N三点共线，根据平行线的距离可得，进而得到的长．过点E作，作点D关于直线的对称点，连接，交直线于点，连接，，则点E位于点时，根据对称性，为最小值．根据平行线距离的意义可得，根据对称性得到的长，进而利用勾股定理可得的长，即为的最小值
（3）过点C作于点M，过点F分别作于点P，于点Q．利用角平分线的性质与三角形的面积公式得到，将问题求的最大值转化为求的最小值．作点C关于的对称点，连接、，以、为邻边作平行四边形，要使的值最小，只需C、E、H三点共线．由轴对称图形的性质可得点G是的中点，进而为的中位线，得到，从而在等腰中，利用“三线合一”的性质与勾股定理求出，即的最小值为，从而求出的最大值．
【详解】（1）
如图①，连接交于点，
，
∴当点C位于点处时，的值最小．过点E作交延长线于点F，则四边形是矩形，
，．
．
在中，，
的最小值是．
故答案为：．
（2）
如图②，过点A作于点F
∴
过点E作于点M，作于点N，
，
∴点M、E、N三点共线
，，
，且
过点E作，作点D关于直线的对称点，连接，交直线于点，连接，，则点E位于点时，根据对称性，为最小值．
∵点与点D关于直线对称
∵在中，,
即的最小值为
（3）
如图③，过点C作于点M，过点F分别作于点P，于点Q．
，，
．
平分，，，
．
平分，，，
．
．
∴要使的值最大，即的值最小即可．
如图③，作点C关于的对称点，连接、，以、为邻边作平行四边形，
，，，．
要使的值最小，只需C、E、H三点共线．如图④
此时点M与点G重合，点G为的中点，且，
为的中位线，即．
．
在等腰中，，
．
．
．
．
的最大值为．
【点睛】本题考查最短路径问题，角平分线的性质，轴对称的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
3．（2022秋·江苏·八年级期末）将沿AD折叠，使点C刚好落在AB边上的点E处．展开如图1．
【操作观察】（1）图1中，，．
①则_______；
②若，则_______；
【理解应用】（2）如图2，若，试说明：；
【拓展延伸】（3）如图3，若，点G为AC的中点，且．点P是AD上的一个动点，连接PG、PC．求的最小值．
【答案】（1）①2；②12；（2）见解析；（3）75
【分析】（1）①由于翻折，故AE=AC，所以BE=AB－AE；②由于翻折，故AD平分∠BAC，故点D到AC的距离等于点D到AB的距离，即△ACD边AC上的高等于△ABD边AB上的高．再由三角形面积公式可知，，从而得到；（2）由于翻折，知∠AED=∠C，又因为，等量代换得∠B=∠BDE，从而BE=DE，整理代换即可；（3）根据“将军饮马”模型知，PG+PE的最小值为EG．再根据AE=2AG，∠BAC=60°，可推断出△AEG是含60°角的直角三角形，从而得到EG的长，得解．
【详解】解：（1）①∵翻折
∴△ACD≌△AED
∴AE=AC
∴BE=AB－AE= AB－AC=8－6=2
∴BE=2；
②∵翻折，
∴AD平分∠BAC，
∴点D到AC的距离等于点D到AB的距离，即△ACD边AC上的高等于△ABD边AB上的高
∴由三角形面积公式可知，，
又∵，
∴．
（2）∵翻折
∴△ACD≌△AED
∴AE=AC，∠AED=∠C，DE=CD
又∵，∠AED=∠B+∠BDE
∴∠B=∠BDE
∴BE=DE
又∵AB=AE+BE
∴AB=AC+DE=AC+CD．
（3）∵翻折
∴PC=PE
∴PG+PC=PG+PE，当点P运动到EG连线时，PG+PE有最小值为EG
∴的最小值为EG2
∵AG=5，AE=AC=2AG，∠BAC=60°
∴△AEG是含30°角的直角三角形
∴EG=，即
∴的最小值为75．
【点睛】本题考查了翻折的性质、角平分线的性质，“将军饮马”问题，利用翻折得到全等三角形是解决本题的关键．
【压轴题型六 平行四边形的存在性问题】
1．（2022春·广东湛江·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，直线与x轴、y轴分别交于点和点C，直线与直线交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)若点E为线段上一个动点，过点E作轴，垂足为F，且与直线交于点G，当时，求点G的坐标；
(3)问在平面上是否存在点H，使得以点A，C，D，H为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出所有满足条件的点H的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)直线的解析式为
(2)
(3)存在，符合条件的H点的坐标为或或
【分析】（1）根据题意求出D点的坐标，然后用待定系数法求出直线的解析式即可；
（2）设出G点的坐标，根据直线解析式得出E点坐标，根据，列方程求解即可得出G点的坐标；
（3）分为对角线，为对角线，为对角线三种情况分别讨论求出H点的坐标即可．
【详解】（1）解：由题意知，在直线上，
∵当时，，
∴，
设直线的解析式为，
由题意得：，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：∵轴，
∴G，E的横坐标相同，
设，则，
∴，，
∴，
解得：，
∴；
（3）解：存在，点H的坐标为：或或，
①如下图，当四边形是以为对角线的平行四边形时，
令，则，
∴，
∵，
∴直线的解析式为，
令，则，
∴，
∵，
∴直线的解析式为，
∴，
解得，
∴此时；
②如下图，当四边形是以为对角线的平行四边形时，
∵，
∴直线为，
∵，，
∴；
③如下图，当四边形是以为对角线的平行四边形时，
∵，
∴直线为，
∵，，
∴；
综上所述，符合条件的H点的坐标为：或或．
【点睛】本题主要考查一次函数的图像和性质，待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的存在性问题，熟练掌握平行四边形的性质，注意分情况讨论是解题的关键．
2．（2022春·浙江温州·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是平行四边形，O为坐标原点，点A的坐标是(，0)， 线段BC 交y轴于点D，点D的坐标是(0，8)，线段CD=6．动点P从点O出发，沿射线OA的方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q从点D出发，以每秒1个单位的速度向终点B运动，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，运动时间为t秒.
(1)用t的代数式表示：BQ=_______，AP=_______；
(2)若以A，B，Q，P为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值；
(3)当恰好是等腰三角形时，求t的值．
【答案】(1)
(2)6或
(3)或
【分析】（1）由平行四边形的性质结合题意可得出，，，从而可求出．分类讨论：当P在A点右侧时、当P与A点重合时和当P在A点左侧时，分别求出AP的长即可；
（2）分类讨论：①当P在A点右侧时和②当P在A点左侧时，根据平行四边形的性质即可分别得出关于t的等式，解出t即可；
（3）分类讨论：①当BP=PQ时、②当BQ=PQ时，③当BQ=PB时和④当点P在A点左侧时，分别根据等腰三角形的性质，勾股定理，结合题意列出关于t的等式或判断情况是否存在，再解出t即可．
【详解】（1）∵四边形ABCO是平行四边形，A(，0)，
∴．
∵CD=6，
∴，
∴，
∵动点P从点O出发，沿射线OA的方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q从点D出发，以每秒1个单位的速度向终点B运动，
∴OP=2t，DQ=t，
∴．
当P在A点右侧时，此时，，
当P与A点重合时，此时，，
当P在A点左侧时，此时，；
∴
故答案为：；
（2）分类讨论：①当P在A点右侧时，如图，
∵四边形ABQP为平行四边形，
∴BQ=AP， 即，
解得t=6；
②当P在A点左侧时，如图，
∵四边形BQAP为平行四边形，
∴BQ=AP，即，
解得．
综上可知，当以A，B，Q，P为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为6或；
（3）当恰好是等腰三角形时，有以下四种情况：
①当BP=PQ时，如图，过点Q作轴于点E，过点P作于点F，
∴，，
∴．
∵BP=PQ，
∴，
∴，
解得；
②当BQ=PQ时，如图，过点Q作轴于点G．
由①可知，
∵，即，
∴，
解得：t=；
③当BQ=PB时，由②同理可得出，
此时方程无解；
④当点P在A点左侧时，不可能是等腰三角形，此情况舍．
综上可知当恰好是等腰三角形，或．
【点睛】本题考查坐标与图形，平行四边形的性质，等腰三角形的定义，勾股定理等知识．利用数形结合的思想是解题关键．
3．（2022秋·全国·九年级阶段练习）已知，平行四边形中，一动点在边上，以每秒的速度从点向点运动．
(1)如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数．
(2)如图②，在（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，求的面积．
(3)如图③，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动同时点也停止，若，则为何值时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形．
【答案】(1)60°
(2)
(3)当运动时间为4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
【分析】（1）易证∠DPC=∠DCP，得DP=CD，又CD=CP，则△PDC是等边三角形，即可得出结果；
（2）如图②中，由四边形ABCD是平行四边形，推出ABCD，BCAD，，推出，推出，可得由此即可解决问题；
（3）若以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，则PD=BQ，设运动时间为t秒，分①当0＜t≤3时；②当3＜t≤6时；③当6＜t≤9时；④当9＜t≤12时，四种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠DPC＝∠PCB
∵CP平分∠BCD，
∴∠PCD＝∠PCB，
∴∠DPC＝∠DCP，
∴DP＝DC．
∵CD＝CP，
∴PC＝CD＝PD，
∴△PDC是等边三角形
∴∠D＝∠B＝60° ；
（2）解：如图②中，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ABCD，BCAD，，
∴，
∴
∴
∴，
∵△PCD为等边三角形，
∴PD=CD=8cm，PD边上的高为=，
∴；
（3）解：解：四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，
∴PDBC
若要使四边形PDQB是平行四边形，则PD＝BQ，
设运动时间为t秒，
①当0＜t≤3时，PD＝12-t，BQ＝12-4t，
∴12-t＝12-4t，解得t＝0，不合题意，舍去；
②当3＜t≤6时，PD＝12-t，BQ＝4（t-3）=4t-12，
∴12-t＝4t-12，解得t＝4.8；
③当6＜t≤9时，PD＝12-t，BQ＝12-4（t-6）=36-4t，
∴12-t＝36-4t，解得t＝8；
④当9＜t≤12时，PD＝12-t，BQ＝4（t-9）=4t-36，
∴12-t＝4t-36，解得t＝9.6；
综上所述，当运动时间为4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，第二个问题的关键是灵活应用同底等高的两个三角形面积相等，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
【压轴题型七 特殊平行四边形的性质与判定压轴题】
1．（2022春·江苏镇江·八年级统考期末）【问题背景】在矩形纸片中，，，点P在边上，点Q在边上，将纸片沿折叠，使顶点B落在点E处．
【初步认识】
（1）如图①，折痕的端点P与点A重合．
①当时， ______．②若点E恰好在线段上，则的长为_______．
【深入思考】
（2）点E恰好落在边上．
①请在图②中用无刻度的直尺和圆规作出折痕；（不写作法，保留作图痕迹）
②如图③，过点E作交于点F，连接．请根据题意，补全图③并证明四边形是菱形；
③在②的条件下，当时，菱形的边长为___________，的长为_______．
【拓展提升】
（3）如图④，若，连接．当是以为腰的等腰三角形时，求的长．
【答案】（1）①；②2；（2）①见解析；②见解析；③；；（3）的长为或．
【分析】（1）①根据折叠的性质直接计算即可；
②根据折叠可知，，，，根据勾股定理求出，根据勾股定理得出，求出结果即可；
（2）①连接，作的垂直平分线交于点P，交于点Q，则即为所求；
②先证明四边形为平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可得出答案；
③根据勾股定理列出方程求解即可；
（3）分两种情况：当时，当时，过点D作于点F，根据勾股定理和三角形全等的判定和性质，分别求出结果即可．
【详解】解：（1）①根据折叠可知，，
∵，
∴；
故答案为：；
②根据折叠可知，，，，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
∴；
故答案为：2；
（3）①连接，作的垂直平分线交于点P，交于点Q，则即为所求；如图所示：
②∵，
∴，
由折叠可知，，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形；
③由折叠可知，，
∵，
∴，
在中，，
即，
解得：，
∴菱形的边长为；
由折叠可知，，
∵，
∴，
在中，，
即，
解得：；
故答案为：；；
（3）由折叠可知，，设，则，，
当时，在中，，
解得：，
∴此时；
当时，过点D作于点F，如图所示：
∴，
由折叠可知，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴此时；
综上分析可知，的长为或．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠性质，勾股定理，菱形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，余角的性质，垂直平分线的性质，尺规作线段的垂直平分线，解题的关键是熟练掌握相关性质，作出图形，数形结合，并注意分类讨论．
2．（2022春·广东广州·八年级校联考期中）在正方形中，点是边上任意一点．连接，过点作于．交于．
(1)如图1，过点作于，求证：；
(2)如图2，点为的中点，连接，求证：；
(3)如图3，，连接，点为的中点，在点从点运动到点的过程中，点随之运动，请直接写出点运动的路径长．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)
【分析】（1）由正方形的性质得，，再证，然后由证即可；
（2）过点作于，交的延长线于，先证，得，再证，得，，则四边形是正方形，得，则，进而得出结论；
（3）取的中点，连接，延长交于，过点作于，于，设，由（2）得，则，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后由等腰三角形的性质得，，则，证出，最后证点在线段上运动，由等腰直角三角形的性质得，即可求解．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，，
，，
，
，，
，
在和中，
，
；
（2）证明：过点作于，交的延长线于，如图2所示：
四边形是正方形，
，，
，
，
，，
，
在和中，
，
∴，
，
点为的中点，
，
，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
在和中，
，
∴，
，，
四边形是正方形，
，
，
；
（3）解：如图3，取的中点，连接，延长交于，过点作于，于，
设，
由（2）得：，
，
，点为的中点，
，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，，，
，，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
点在线段上运动，是等腰直角三角形，
，
点的运动的路径长为．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明和是解题的关键，属于中考常考题型．
3．（2022春·江苏南通·八年级校考期中）【探究与证明】
在正方形中，G是射线上一动点（不与点A，C重合），连接，作，且使，连接、．
(1)如图1，若点G在上，则：
①图中与全等的三角形是 ；
②线段，，之间的数量关系是 ；
(2)如图2，若G在的延长线上，那么线段，，之间有怎样的数量关系？写出结论，并给出证明．
【答案】(1)①；②
(2)，证明见解析
【分析】（1）①由正方形的性质得，，，,再证，然后由证 即可；②由全等三角形的性质得，，得，然后由勾股定理得，即可得出结论；
（2）证，得，，再证，然后由勾股定理即可解决问题．
【详解】（1）解：①图中与全等的三角形是，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
即，
又∵，
∴，
故答案为：；
②，理由如下：
由①可知，，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
故答案为：；
（2）解：，证明如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
即，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
【压轴题型八 四边形中的动点类压轴题】
1．（2022秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，已知在正方形中，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接．
(1)求的长；
(2)探究：的值是不是定值？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由．
【答案】(1)2；
(2)是，2．
【分析】（1）利用勾股定理求斜边即可解题；
（2）过E作于M点，过E作于N点，即可得到，然后判断，得到，则有即可， 然后证出得到，得出即可．
【详解】（1）解：∵是正方形，
∴，，
∴，
（2）解：的值为定值，理由如下：
如图所示，过E作于M点，过E作于N点，
∵正方形，
∴，
∴，，
∴四边形为正方形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴， 又，
在和中，
，
∴，
∴，
∴矩形为正方形，
∴，
∵四边形是正方形，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴是定值．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，三角形的全等的性质和判定，勾股定理的综合运用，解本题的关键是作出辅助线，构造三角形全等，利用全等三角形的对应边相等得出结论．
2．（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）如图1，中，，点为中点，点为上一点，连结．已知．动点从点出发，以1个单位/秒的速度沿线段向终点运动，设点运动的时间为（秒）．
(1)求证：．
(2)若为等腰三角形时，求的值．
(3)如图2，动点出发的同时，另有一点从点出发沿线段向终点运动，速度为个单位/秒，连结，将线段绕点分别向顺时针和逆时针方向旋转，得到线段和，当三点共线时，直接写出的值为______．
【答案】(1)证明见详解；
(2)的值为或；
(3)；
【分析】（1）设，，，则，再利用勾股定理的逆定理证明即可；
（2）如图1中，，取得中点，连接，分两种情况：，，分别求解即可；
（3）如图2中，过点作于点，过点作交的延长线于点，证得，由此构建方程求解即可．
【详解】（1）证明：设，，，
则，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴；
（2）如图1中，取得中点，连接，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，，
∴，
当时，，
∴，
当时，，
∵点在上运动，
∴不可能，
综上所述，满足条件的的值为或；
（3）如图2中，过点作于点，过点作交的延长线于点，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴（），
∴，，
同理可证，
∴，，
∴，
∵，，
∴（），
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
3．（2022秋·山东济南·九年级校考阶段练习）在正方形中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线，上移动．
(1)如图1，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接和交于点P，请写出与的关系，并说明理由；
(2)如图2，当点E，F分别移动到边，的延长线上时，连接和，（1）中的结论还成立吗？（请直接回答“成立”或“不成立”，无需证明）
(3)如图3，当E，F分别在，的延长线上移动时，连接和，（1）的结论还成立吗？请说明理由．
【答案】(1)，理由见解析
(2)成立
(3)成立，理由见解析
【分析】（1）动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线，上移动，所以，再由正方形的性质可得，，证得，即可求得结果；
（2）同（1）；
（3）由题得，再由正方形的性质可得，，所以和的邻补角也相等，即可证得，最终证得（1）中结论．
【详解】（1）解：，理由如下：
由题可得，
正方形，
，，
在和中，
，
（SAS），
；
（2）解：成立，理由如下：
由题可得，
正方形，
，，
在和中，
，
（SAS），
；
（3）解：成立，理由如下：
由题可得，
正方形，
，，
，
在和中，
，
（SAS），
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，解决问题的关键是由题干条件得出．
【压轴题型九 四边形中的最值类压轴题】
1．（2022秋·广东深圳·八年级统考期末）如图，在长方形中，，，，，，点P在边上，且不与点B、C重合，直线与的延长线交于点E．
(1)当点P是的中点时，求证：；
(2)将沿直线折叠得到，点落在长方形的内部，延长交直线于点F．
①证明，并求出在（1）条件下的值；
②连接，直接写出周长的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)①证明见解析，；②周长的最小值为12
【分析】（1）根据长方形的性质得，可得，利用即可得出结论；
（2）①根据平行线的性质和折叠的性质得出，等角对等边即可得，设，则，，在中，由勾股定理得，即；
②可得的周长，当点恰好位于对角线上时，最小，在中，由勾股定理得，则的最小值，即可得周长的最小值．
【详解】（1）证明：在长方形中，
，，
点P是的中点，
，
；
（2）解：①在长方形中，，
，
由折叠得，
，
，
在长方形中，，，
，
点P是的中点，
，
由折叠得，，，
设，则，
，
在中，，
，
解得，即；
②由折叠得，，
的周长，
连接，，
，
当点恰好位于对角线上时，最小，
在中，，，
，
′的最小值，
∴周长的最小值．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握折叠是一种轴对称，折叠前后的图形对应角相等、对应边相等，灵活运用相关的性质是解题的关键．
2．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）（1）如图1，在等腰中，，，D是边的中点，E是边上一动点，则的最小值是______．
（2）如图2，在正中，，P、M、N分别是上的动点，
①的最小值为______；②求的最小值．
（3）如图3，正方形的边长为4，E、F分别是边和上的动点且始终满足，连结，求的最小值．
【答案】（1）；（2）①；②6；（3）
【分析】（1）作点C关于的对称点，连接交于，此时的最小值为的长，再利用勾股定理求出的长，即可；
（2）①作点P关于的对称点，连接，此时的最小值为的最小值，根据对称性可得，然后作于H，可得的最小值为的长， 再利用勾股定理求出的长，即可；②分别作点N关于的对称点，作于点H，根据对称性可得，然后根据等边三角形和直角三角形的性质，求出的长，即可；
（3）连接，作点D关于点A的对称点，连接交于点，先证明，可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：（1）作点C关于的对称点，连接交于，此时的最小值为的长，
由对称性知，，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴的最小值为，
故答案为：；
（2）①作点P关于的对称点，连接，此时的最小值为的最小值，
由对称性知，
，
∴，
作于H，
∴的最小值为的长，
∵，
∴，
故答案为∶；
②如图，分别作点N关于的对称点，作于点H，
由对称得：，，
∴，
即当取得最小值时，点N与点H重合共线，
此时，
设与交于点F，
在正中，，
∴，
∴，
此时，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值为6；
（3）如图，连接，作点D关于点A的对称点，连接交于点，
在正方形中，，
，
，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了轴对称——最短路线问题，等边三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟悉将军饮马基本模型是解决问题的关键．
3．（2022春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考阶段练习）在数学中，我们会用“截长补短”的方法来解决几条线段之间的和差问题．请看这个例题：如图1，在四边形中，，，若，求四边形的面积．
解：延长线段到E，使得，连接，我们可以证明，根据全等三角形的性质得，，则，得，这样，四边形的面积就转化为等腰直角三角形面积．
(1)根据上面的思路，我们可以求得四边形的面积为 cm2．
(2)如图2，在中，，且，求线段的最小值．
(3)如图3，在平行四边形中，对角线与相交于O，且；，则是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出的最小值及此时平行四边形的面积．
【答案】(1)12.5
(2)
(3)不是，，
【分析】（1）根据题意，可以计算出等腰直角三角形的面积，从而可以得到四边形的面积；
（2）由勾股定理可得，由配方法可求解；
（3）由平行四边形的性质可得，，由勾股定理可求，由配方法可求的最小值，即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得，，，
则的面积，
即四边形的面积为，
故答案为：12.5；
（2）解：，
，
，
，
当时，取最小值，最小值为2；
（3）解：如图，过点B作于H，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
当时，有最小值，即的最小值为，
此时：，，
是等边三角形，
．
综上可知，不是定值，的最小值为，此时平行四边形的面积为．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质，灵活运用这些性质是解题的关键．
【压轴题型十 与三角形中位线有关的求解压轴题】
1．（2023春·四川成都·八年级成都铁路中学校考期中）已知，如图1，中，，D，E分别是线段，的中点，且满足，，P为边上一动点，连接，以为一边在右侧作，使，且，连接并延长交直线于点H．
(1)求证：；
(2)若，判断线段与线段的数量关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，延长交于点G，若，当为直角三角形时，求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)；理由见解析
(3)的长为或
【分析】（1）根据证明即可；
（2）连接，根据直角三角形性质得出，根据，得出，根据平行线的性质得出，证明，得出，即可证明结论；
（3）分两种情况，当点Q与点N重合时，为直角三角形，当时，分别画出图形，求出的长即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵D，E分别是线段，的中点，
∴，，，
∴，，
∵，，，
∴，
，
∴，
在和中，
∴．
（2）解：；理由如下：
连接，如图所示：
∵，，E为的中点，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：设与的交点为N，
∵，，
∴，
当点Q与点N重合时，为直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∵D为的中点，，
∴，
∵，，
∴，
；
当时，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∴，
综上分析可知，的长为或．
【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握这些基本的性质，数形结合，并注意分类讨论．
2．（2023·吉林长春·校考二模）【提出问题】兴趣小组活动中老师提出了如下问题：如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使得，，再连接（或将绕点D逆时针旋转180°得到），把集中在中，利用三角形的三边关系可得，则．
【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”，把一条过中点的线段延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法．
【解决问题】如图②，在中，点D是边的中点，点E在边上，过点D作，交边于点F，连接．
(1)求证：．
(2)若，则线段之间的等量关系为 ．
(3)【应用拓展】如图③，在中，，点D为边的中点，点E和点F分别在边上，点M为线段的中点．若，，则的长为 ．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）延长到点G，使得，连接，根据证得，可得结论；
（2）延长到点G，使得，连接，由（1）得，，则，，即，利用勾股定理解题即可；
（3）如图，延长到点G，使得，连接，由（1）得，则，，即，可求出，利用中位线解得．
【详解】（1）解：如图，延长到点G，使得，连接，
∵，
∴，
∵D是的中点，
∴
又∵，
∴，
∴，
在中
∵，
∴；
（2）解：如图，延长到点G，使得，连接，
∵，
∴
由（1）得，，
∴，，
∴
在中，
∵，
∴，
故答案为：；
（3）如图，如图，延长到点G，使得，连接，
∵，
∴
由（1）得，
∴，，
∴，
在中，
∵，
∵M，D是的中点，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查倍长中线问题，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，勾股定理，三角形的中位线，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，并用类比的方法解决问题．
3．（2023春·江苏·八年级姜堰区实验初中校考周测）（1）[方法回顾]课本上“三角形中位线定理”的证明．
已知：如图1，在中，点D、E分别是边的中点． 求证：， ．
证明：如图1，延长到点F，使得，连接；请继续完成证明过程：
（2）[问题解决]
如图2，，E为的中点，G、F分别为射线上的点，，线段有怎样的数量关系？请说明理由．
（3）[思维拓展]
如图3，在四边形中，，，，E为的中点，G、F分别为边上的点，H是的中点，若，，的长为 ．
【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）
【分析】（1）利用证明，得到，再得四边形是平行四边形，最后得到，；
（2）过延长交的延长线于点H，得到三角形全等，据此即可求解；
（3）延长至点M，使得，得三角形全等，和特殊的直角三角形，再求．
【详解】证明：（1）∵点D和点E分别是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴．
∴，；
（2），理由如下，
延长交的延长线于点H，
则：，，
∵点E是的中点，
∴，
∴，
∴，，
又∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴；
（3）延长至点M，使得，连接，过点M作，交的延长线于点N，
同理可证，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵H是的中点，，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，三角形中位线定理．本题主要要求同学们掌握常见辅助线作法“倍长中线法”的解题技巧．
【压轴题型十一 一次函数的图象与性质压轴题】51．（2023春·四川宜宾·八年级四川省宜宾市第二中学校校考期中）如图1，直线交x轴于点B，交y轴于点C．点A在x轴负半轴上且A点坐标为．
(1)求直线的解析式；
(2)如图2，点P坐标为，过点P的直线把的面积分为，交另一边于点E，求点E的坐标；
(3)如图3，已知点，点M为线段上一动点，点N为直线上一动点，当三角形为等腰直角三角形时，求M点的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】（1）先求得点C坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）分点E在边上和点E在边上两种情况，根据题意和三角形的面积公式、坐标与图形求解即可；
（3）设，，且，根据题意，分时、时、时三种情况，分别画出图形，利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质列方程组求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得，，
设直线的解析式为，
将、代入，得，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：∵，，
∴，则；
根据题意，分两种情况：
当点E在边上时，设，且，
∵点P坐标为，过点P的直线把的面积分为，
∴或，
解得或（舍去），
∴；
点E在边上时，设，且，
则或，
解得或（舍去），
∴，
综上，满足条件的点E坐标为或；
（3）解：根据题意，设，，且，
∵三角形为等腰直角三角形，点，
∴分三种情况：
若时，如图，过M作y轴的平行线，交x轴于点P，过N作x轴的平行线，交延长线于H，则，
∵，，
∴，又，
∴，
∴，，
则，，
解得，，则；
若时，如图，过N作x轴的平行线，过M作于P，过Q作于H，则，，
同理，证明，
∴，，
则，，
解得，，则；
若时，如图，过M作轴于P，过N作轴于H，则，，
同理，证明，
∴，，
则，，
解得：，，不满足，舍去，
综上，满足条件的M的坐标为或．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式、坐标与图形、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、解二元一次方程组等知识，理解题意，综合运用相关联知识，注意分类讨论思想的运用是解答的关键．
2．（2023春·北京·八年级校联考期中）已知点E和图形G，Q为图形G上一点，若存在点P，使得点E为线段的中点（P，Q不重合），则称点P为图形G关于点E的双倍点．
如图，在平面直角坐标系中，点，，，．
(1)若点E的坐标为，则在，，，是四边形关于点E的双倍点的是______；
(2)点N的坐标为，若在二四象限角平分线上存在四边形关于点N的双倍点，直接写出t的取值范围；
(3)点M为四边形边上的一个动点，平行于二、四象限角平分线的直线交x轴于点，与y轴交于点，若线段上的所有点均可成为四边形关于M的双倍点，直接写出b的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据双倍点的概念求解即可；
（2）设上的点的坐标为，四边形上的点的坐标为，根据题意得到，，解得，然后利用和四边形上点的坐标得到，然后代入即可求出t的取值范围；
（3）根据题意画出图象，由图象求解即可．
【详解】（1）如图所示，
∵，，
∴，
∵点，E，C三点在一条直线上，
∴点E为线段的中点，
∴点是四边形关于点E的双倍点；
∵，，
∴，
∵点，E，D三点在一条直线上，
∴点E为线段的中点，
∴点是四边形关于点E的双倍点，
综上所述，四边形关于点E的双倍点的是，，
故答案为：，；
（2）设上的点的坐标为，四边形上的点的坐标为，
∵在二四象限角平分线上存在四边形关于点N的双倍点，
∴，，
∴解得，
①＋②得，，
∵点在上，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴解得；
（3）如图所示，
由图象可得，当时，直线表达式为，
当时，直线经过点
此时点B和点刚好关于点M对称，点M的坐标为，
∴b的取值范围是．
【点睛】本题考查的是坐标与图形，中点坐标公式的应用，新定义的理解，利用数形结合是解决这种新定义问题的关键．
3．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A、B．另一条直线与直线交于点，与x轴交于点，点P是直线上一点（不与点C重合）．
(1)求a的值．
(2)当的面积为18时，求点P的坐标．
(3)若直线在平面直角坐标系内运动，且始终与平行，直线交直线于点M，交y轴于点N，当时，求的面积．
【答案】(1)5
(2)P的坐标为或
(3)
【分析】（1）将代入，从而可得答案；
（2）设直线解析式为，求解直线解析式为，及，可得，P不能在线段上，设，再分两种情况讨论：当P在D下面时，如图：当P在C上方时，如图，再利用三角形的面积公式列方程即可；
（3）过M作于H，如图：设，证明是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，可得，从而可得答案．
【详解】（1）解：将代入得：
，
解得，
∴a的值是5；
（2）设直线解析式为，将，代入得：
，
解得，
∴直线解析式为，
在中，令得，
∴，
∴，
∴，
∴P不能在线段上，
设，
当P在D下面时，如图：
∵，，
∴，
∴，
解得，
∴；
当P在C上方时，如图：
∵，，
∴，
∴，
解得，
∴；
综上所述，P的坐标为或；
（3）过M作于H，如图：
设，
在中，令得，
∴，
∵，
∴ ，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵，，
∴，
解得，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，坐标与图形面积，等腰直角三角形的判定与性质，清晰的分类讨论是解本题的关键．
【压轴题型十二 一次函数的几何压轴题】
1．（2023春·北京东城·八年级北京二中校考期中）在平面直角坐标系xOy中，中心为点C的正方形各边分别与两坐标轴垂直，若点P是与C不重合的点，点P关于正方形的“限称点”的定义如下：设为直线CP与正方形的边的一个交点，另一个交点为M，若满足，则称为点P关于正方形的“限称点”．如图，为点P关于正方形的“限称点”的示意图．规定：若点P与点C重合，则点P的“限称点”存在．
(1)若正方形的中心为原点O，边长为2．
①分别判断点、、关于该正方形的“限称点”是否存在，若存在，求其坐标；
②若平面内一动点关于该正方形的“限称点”存在，求n的取值范围；
(2)若正方形的中心T在x轴上，边长为2，记直线在之间的部分为图形K．若图形K上任意一点关于该正方形的“限称点”都存在，请你直接写出正方形中心T的横坐标的取值范围．
【答案】(1)①F有“限称点”，其坐标为；G有“限称点”，其坐标为；H没有“限称点”
②
(2)
【分析】（1）①根据“限称点”的定义，作出图形，观察图形，得出当点在正方形（正方形中心是原点）内部（包括正方形的边上）时，有“限制点”，拓此判定即可；
②由点在直线上，再求出直线与正方形，，根据点关于该正方形的“限称点”存在，得到点在上，即可得出，解之即可．
（2）如图，当中心为T，边长为4的正方形顶点A在直线上时，则，此时；当中心为T，边长为4的正方形顶点B在直线上时，则，此时，即可求解．
【详解】（1）解：①如图，
根据点P关于正方形的“限称点”的定义知：当点在正方形（正方形中心是原点）内部（包括正方形的边上）时，有“限制点”，
观察图可得，点，在边长为4的正方形内，
所以F有“限称点”，其坐标为，G有“限称点”，其坐标为；
在边长为4的正方形外，
所以H没有“限称点”；
②如图，
∵点在直线上，
设直线与正方形交于点D、E，
∴，，
∵点关于该正方形的“限称点”存在，
∴点在上，
∴
解得：．
（2）解：如图，
由（1）知，当中心为T，边长为4的正方形顶点A在直线上时，则，此时，
当中心为T，边长为4的正方形顶点B在直线上时，则，此时，
∴正方形中心T的横坐标的取值范围．
【点睛】本题考查新定义，正方形的性质，一次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考常考题型．
2．（2023春·北京海淀·八年级人大附中校考期中）在平面直角坐标系中，对于没有公共点的两个图形M、N给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，若P、Q两点间距离的最大值和最小值分别为和，则称比值为图形M和图形N的“距离关联值”，记为．已知顶点坐标为，，，．
(1)若E为边上任意一点，则的最大值为______，最小值为______，因此k（点O，）＝______；
(2)若为对角线上一点，为对角线上一点，其中．
①若，则k（线段，）______；
②若（线段，），求m的取值范围；
(3)若的对角线交点为O，且顶点在直线上，顶点在直线上，其中，请直接用含n的代数式表示．
【答案】(1)2，1，2
(2)①6；②或或或
(3)当且时，
【分析】（1）如图1，过作于，过作于，与轴交于，则四边形是正方形，由题意知，当与或重合时，最大，当与重合时，最小，求，，根据(点，) ，计算求解即可；
（2）①如图2，设直线的解析式为，则，解得，即，，由题意知，线段上的点与上的点的最大距离为，最小距离为，根据(线段，)定义求解即可；②将代入，解得，即，分当时；当时；当时；当时；表示出最大与最小距离，然后解一元一次不等式组求解满足要求的解即可；
（3）如图3，将代入，解得，即，由，可得，由（2）可知，将的边等同于线段时求的求解方法求解即可．
【详解】（1）解：如图1，过作于，过作于，与轴交于，则四边形是正方形，
由题意知，当与或重合时，最大，当与重合时，最小，
∴，，
∴最大为2，最小为1，
(点，) ，
故答案为：2，1，2；
（2）解：如图2，
设直线的解析式为，则，解得，
∴，
当，，
∴，
由题意知，线段上的点与上的点的最大距离为，最小距离为，
∴(线段，)，
故答案为：6；
②解：将代入，解得，即，
当时，由题意知，线段上的点与上的点的最大距离为，最小距离为，
∴(线段，)，
令，
解得，
∴；
当时，线段上的点与上的点的最大距离为，最小距离为，
∴(线段，)，
令，
解得，
∴；
当时，由题意知，线段上的点与上的点的最大距离为，最小距离为，
∴(线段，)，
令，
解得，
∴；
当时，线段上的点与上的点的最大距离为，最小距离为，
∴(线段，)，
令，
解得，
∴；
综上所述，或或或；
（3）解：如图3，
将代入，解得，即，
∵，
∴，
由（2）可知，当且时，上的点到上的点的最大距离为，最小距离为，
∴．
【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，平行四边形的性质，一次函数与平行四边形综合，勾股定理，解一元一次不等式组等知识．解题的关键在于理解题意．
3．（2023春·江苏苏州·八年级苏州市立达中学校校考期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，点C在x轴正半轴上，对角线交y轴于点M，边交y轴于点H．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿折线A—B—C向终点C运动．
(1)点B的坐标为______；
(2)设动点P的运动时间为t秒，连接，的面积为S，请用含t的式子表示S；
(3)当点P运动到线段上时，连接，若，求P的运动时间t的值．
【答案】(1)
(2)；
(3)P的运动时间t的值为秒．
【分析】（1）由点A坐标可得，由勾股定理可得，根据菱形的性质可得边长为10，据此即可求解；
（2）分两种情形：如图2-1中，当时，如图2-2中，当时，连分别求解即可；
（3）设，推出，求得，推出，得到是等腰直角三角形，据此即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：连接，
如图2-1中，当时，
∵，，
设直线的解析式为，
则有，解得，
∴直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
∴．
如图2-2中，当时，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述，；
（3）解：∵，，，
∴，
∵，
∴设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴P的运动时间t的值为秒．
【点睛】本题查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积、勾股定理等知识点，正确作出辅助线以及掌握分类讨论思想成为解答本题的关键．
【压轴题型十三 一次函数的应用压轴题】
1．（2023·浙江宁波·统考一模）甲开车从A地前往B地送货，同时，乙从C地出发骑车前往B地，C在A，B两地之间且距离A地15千米．甲到达B地后以相同的速度立马返回A地，在A地休息半小时后，又以相同的速度前往B地送第二批货，乙出发后4小时遇上送货的甲，乙让甲捎上自己（上下车时间忽略不计），甲载上乙后以原速前进．甲、乙两人距离B地的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．
(1)求甲第一次送货前往B地时，甲距离B地的路程y关于x的函数表达式．
(2)问在乙距离B地多远时，甲载上了乙？
(3)问乙比原计划早到多少时间？
【答案】(1)
(2)在乙距离地时，甲载上了乙
(3)乙比原计划早到小时
【分析】（1）根据函数图象可得A、B两地间的路程为千米，进而得出甲第一次到达地用时，得出甲第一次送货去地的函数图象经过，．进而待定系数法求解析式即可求解；
（2）甲第二次送货的函数图象经过，根据速度不变，设甲第二次送货的函数表达式为．待定系数法求解析式，当时，，即可求解；
（3）把代入，得．设乙的函数表达式为．待定系数法求解析式得出，令，得出，求得时间差即可求解．
【详解】（1）由题意得，A、B两地间的路程为千米，
甲第一次到达地用时小时．
∴甲第一次送货去地的函数图象经过，．
设甲第一次送货去地的函数表达式为，
把代入，得，
解得，
∴关于的函数表达式为．
（2）甲第二次送货的函数图象经过，
∵甲送货的速度不变，
∴设甲第二次送货的函数表达式为．
把代入，得，
解得，
∴甲第二次送货的函数表达式为．当时，，
答：在乙距离地时，甲载上了乙．
（3）把代入，得，解得．
∵乙的图象经过点，
∴设乙的函数表达式为．
把代入，得，
解得：
∴
令，即
解得．
∴乙比原计划早到时间为（小时）．
答：乙比原计划早到小时．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意求得函数解析式是解题的关键．
2．（2023春·浙江温州·八年级期中）根据以下素材，完成探索任务．
【答案】任务一，该车进入隧道时的速度为；任务二，；任务三，该车超速．
【分析】任务一，设当该车进入隧道时的速度为v，根据题意列出一元一次方程，即可求解；
任务二，设，利用待定系数法求得，计算当时，即可求解；
任务三，设第二次闪光与第一次闪光的时间差为，对应的速度为，利用梯形面积公式求得的值，据此求解即可．
【详解】解：任务一，设当该车进入隧道时的速度为v，
由题意得，
解得；
任务二，设，
把代入，得，
解得，
∴，
∵90千米/小时，
∴当时，；
任务三，设第二次闪光与第一次闪光的时间差为，对应的速度为，
则，
由梯形面积得，
∴或98（舍去），
∴，
∴，
∴该车超速．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，理解“图形面积的数值与运动距离”以及“用距离差除以两次测速的时间差，算出这段路程的平均车速”是解题的关键．
3．（2023·广东深圳·深圳中学校联考二模）目标检测是一种计算机视觉技术，旨在检测汽车、建筑物和人类等目标．这些目标通常可以通过图像或视频来识别．在常规的目标检测任务中，如图1，一般使用边同轴平行的矩形框进行标示．
在平面直角坐标系中，针对目标图形，可以用其投影矩形来检测．图形的投影矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于轴，轴，图形的顶点在矩形的边上或内部，且矩形的面积最小．设矩形的较长的边与较短的边的比为，我们称常数为图形的投影比．如图2，矩形为的投影矩形，其投影比．
(1)如图3，点，，则投影比的值为______；
(2)如图4，若点，点且投影比，则点的坐标可能是______（填写序号）；
；；；．
(3)如图5，已知点，在函数（其中）的图象上有一点，若的投影比，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点的坐标为或
【分析】（1）过点作轴交轴于点，作轴交轴于点，则矩形为的投影矩形，由点得到，从而即可得到答案；
（2）先根据坐标作出图形，再根据投影比的定义即可求解；
（3）设出点的坐标，分和两种情况考虑，找出两种情况下的投影矩形，根据投影比的定义列出关于的方程，解方程即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，过点作轴交轴于点，作轴交轴于点，
则矩形为的投影矩形，
点，
，
投影比的值为，
故答案为：
（2）解：如图所示：
，
当点的坐标为时，此时投影比，
当点的坐标为时，此时投影比，
当点的坐标为时，此时投影比，
当点的坐标为时，此时投影比，
点的坐标可能是，，
故答案为：；
（3）解：点在函数（其中）的图象上，
设点坐标为，
当时，如图所示，
，
作投影矩形，
，
，
解得：，
；
当时，如图所示，
，
作投影矩形，
点坐标为，点坐标为，
，，
，
，
，
解得：，
点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了一次函数综合，一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，解题的关键是作出图形，找出投影矩形的长边和短边长，分情况考虑，利用数形结合的思想解决问题．
判断车辆是否因超速被罚款？
素材一
我国高速公路上的隧道通常限速80千米/小时，在隧道前会有一个提示牌及限速标志，在标识与隧道口之间的途中会有测速仪测速，且测速时有闪光．根据交规，若超速以上未达的，处以200元以内罚款．
素材二
在物体运动的速度v关于时间t的函数图象中，函数图象与横轴以及直线所围成的图形（如图的阴影部分）面积的数值等于物体从到这个时间段的运动距离．
素材三
测速仪安装是在车辆前进方向的路上，根据短时间的两次测速（均有闪光提示），测出两个时刻车辆和测速仪之间的距离，再用距离差除以两次测速的时间差，算出这段路程的平均车速．
素材四
速度1米/秒千米/小时，某车以108千米/小时的速度驶来，到达限速标志位置（隧道前500米）时开始匀减速，从开始减速到车头进入隧道用了20秒，其速度v关于时间t的函数图象如图所示，和是两次雷达测速的时间．
问题解决
任务一
求该车进入隧道时的速度？
任务二
当第一次闪光时，车速已经降到了90千米/小时，求时间．
任务三
到第二次闪光时，该车又前进了49米，此次该车是否会因超速而被罚款，请通过计算说明理由．
【题型目录】
题型一 二次根式的混合计算压轴题
题型二 二次根式与几何图形综合的压轴题
题型三 用勾股定理解三角形压轴题
题型四 勾股定理逆定理的应用压轴题
题型五 最短路径问题压轴题
题型六 平行四边形的存在性压轴题
题型七 特殊平行四边形的性质与判定压轴题
题型八 四边形中的动点类压轴题
题型九 四边形中的最值类压轴题
题型十 与三角形中位线有关的求解压轴题
题型十一 一次函数的图象与性质压轴题
题型十二 一次函数中的几何压轴题
题型十三 一次函数的应用压轴题
【压轴题型一 二次根式的混合计算压轴题】
1．（2023春·江苏·八年级专题练习）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
若设（其中、、、均为整数），则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：______，______；
(2)若，且、、均为正整数，求的值；
(3)化简下列各式：
①
②
③．
2．（2022秋·四川资阳·九年级校考阶段练习）在日常生活中，有时并不要求某个量的准确值，而只需求出它的整数部分．如今天是星期一，还有55天中考，问中考前还有多少个星期一、容易知，但答案并不是将小数部分四舍五入得到8，而是的整数部分7，所以有7个星期一、为了解决某些实际问题，我们定义一种运算——取一个实数的整数部分，即取出不超过实数x的最大整数．在数轴上就是取出实数x对应的点左边最接近的整数点（包括x本身），简称取整，记为．这里，，其中是一个整数，，a称为实数x的小数部分，记作，所以有．例如，，．
关于取整运算有部分性质如下：
①
②若n为整数，则
请根据以上材料，解决问题：
(1)___________；若，，则___________；
(2)记，求；
(3)解方程：．
3．（2023春·浙江·八年级专题练习）阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 ab2，ab 3 ，求．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令 xab ， y ab ，则．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．
(1)计算：；
(2)m 是正整数， a ，b 且．求 m．
(3)已知，求的值．
【压轴题型二 二次根式与几何图形综合的压轴题】
1．（2023春·全国·八年级阶段练习）正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，轴，与轴交于点，，且，的长满足．
（1）求点A的坐标；
（2）若，求的面积；
（3）在（2）的条件下，正方形的边上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2023春·湖北宜昌·七年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，、、，其中、满足：．平移线段得到线段，使得、两点分别落在轴和轴上．
(1)点坐标______，点坐标______，面积为______；
(2)如图，将点向下移动个单位得到点，连接、，在轴正半轴上恰有一点，使得与面积相等，求出点的坐标．
(3)如图，将图中的、连接，平移线段得到，使得，交线段于点，连接、，求的面积．
3．（2023·河南洛阳·统考二模）阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当，时，有，，当且仅当时取等号．
请利用上述结论解决以下问题：
(1)当时，的最小值为_________；当时，的最大值为_________；
(2)当时，求的最小值；
(3)如图，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别为9和16，求四边形的最小面积．
【压轴题型三 用勾股定理解三角形压轴题】
1．（2023·江西九江·校考模拟预测）已知，点P是平面内任意一点（不与点A，B，C重合），若点P与A，B，C中的某两点的连线的夹角为直角，则称点P为的一个“勾股点”．
(1)如图（1），若点P是内一点，，，，试说明点P是的一个“勾股点”；
(2)如图（2），已知点D是的一个“勾股点”，，且，若，，求的长；
(3)如图（3），在中，，，点D为外一点，，，，点D能否是的“勾股点”，若能，求出的长；若不能，请说明理由．
2．（2023春·山东济南·八年级统考期中）如图，在中，， M、N是边上的两个动点，其中点M从点A出发，沿A→B方向运动，速度为每秒2cm；点N从点B出发，沿B→C→A方向运动，速度为每秒4cm；两点同时开始运动，设运动时间为t秒．
(1)①斜边上的高为 ；
②当时，的长为 ；
(2)当点N在边上运动时，出发几秒钟后，是等腰三角形？
(3)当点N在边上运动时，直接写出所有能使成为等腰三角形的t的值．
3．（2023春·重庆南岸·八年级重庆市第十一中学校校联考期中）在中，，平分，为上一点．
(1)如图，过作交于点，若，，求的面积；
(2)如图，若，过作交的延长线于点，为延长线上一点，连接，过作交于点，交于点，且，
①猜想的形状，并证明；
②猜想线段与之间的数量关系，并证明．
【压轴题型四 勾股定理逆定理的应用压轴题】
1．（2023秋·四川成都·八年级统考期末）在四边形中，，．
(1)如图1，若，，．
①连接，试判断的形状，并说明理由；
②连接，过作，交的延长线于点，求的面积；
(2)如图2，若，，四边形的面积为，求的长．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）问题背景：如图1，某车间生产了一个竖直放在地面上的零件，过点A搭了一个支架AC，测得支架AC与地面成角，即；在的中点D处固定了一个激光扫描仪，需要对零件进行扫描，已知扫描光线的张角恒为，即．
问题提出：数学兴趣小组针对这个装置进行探究，研究零件边上的被扫描部分（即线段EF），和未扫到的部分（即线段和线段）之间的数量关系．
问题解决：
(1)先考虑特殊情况：
①如果点E刚好和点A重合，或者点B刚好和点F重合时，________（填“>”，“<”或“=”）；
②当点E位于特殊位置，比如当时，________（填“>”或“<”）；
(2)特殊到一般：猜想：如图2，当时，________，证明你所得到的结论：
(3)研究特殊关系：如果，求出的值．
3．（2023春·八年级单元测试）如图①，是四边形ABCD的一个外角，，，点F在CD的延长线上，，，垂足为G．
（1）求证：
①DC平分；
②．
（2）如图②，若，，．
①求的度数；
②直接写出四边形ABCF的面积．
【压轴题型五 最短路径问题压轴题】
1．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，一条河流的段长为，在点的正北方处有一村庄，在点的正南方处有一村庄，计划在上建一座桥，使得桥到村和村的距离和最小．请根据以上信息，回答下列问题：
(1)将桥建在何处时，可以使得桥到村和村的距离和最小？请在图中画出此时点的位置；
(2)小明发现：设，则，则，根据（1）中的结论可以求出当______时，的值最小，且最小值为______；
(3)结合（1）（2）问，请直接写出下列代数式的最小值：
①的最小值______；
②的最小值为______．
2．（2023春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期中）
(1)问题提出
如图1，已知点C为线段上一动点，分别过点B、D作，，连接、．已知，，，则的最小值是_______．
(2)问题探究
如图2，在四边形中，，，，，，E是四边形内一动点，且，求的最小值．
(3)问题解决
如图3，已知，长度为2的线段在射线上滑动，点C在射线上，且，的两个内角的角平分线相交于点F，过F作，垂足为G，求的最大值．
3．（2022秋·江苏·八年级期末）将沿AD折叠，使点C刚好落在AB边上的点E处．展开如图1．
【操作观察】（1）图1中，，．
①则_______；
②若，则_______；
【理解应用】（2）如图2，若，试说明：；
【拓展延伸】（3）如图3，若，点G为AC的中点，且．点P是AD上的一个动点，连接PG、PC．求的最小值．
【压轴题型六 平行四边形的存在性问题】
1．（2022春·广东湛江·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，直线与x轴、y轴分别交于点和点C，直线与直线交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)若点E为线段上一个动点，过点E作轴，垂足为F，且与直线交于点G，当时，求点G的坐标；
(3)问在平面上是否存在点H，使得以点A，C，D，H为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出所有满足条件的点H的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2022春·浙江温州·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是平行四边形，O为坐标原点，点A的坐标是(，0)， 线段BC 交y轴于点D，点D的坐标是(0，8)，线段CD=6．动点P从点O出发，沿射线OA的方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q从点D出发，以每秒1个单位的速度向终点B运动，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，运动时间为t秒.
(1)用t的代数式表示：BQ=_______，AP=_______；
(2)若以A，B，Q，P为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值；
(3)当恰好是等腰三角形时，求t的值．
3．（2022秋·全国·九年级阶段练习）已知，平行四边形中，一动点在边上，以每秒的速度从点向点运动．
(1)如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数．
(2)如图②，在（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，求的面积．
(3)如图③，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动同时点也停止，若，则为何值时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形．
【压轴题型七 特殊平行四边形的性质与判定压轴题】
1．（2022春·江苏镇江·八年级统考期末）【问题背景】在矩形纸片中，，，点P在边上，点Q在边上，将纸片沿折叠，使顶点B落在点E处．
【初步认识】
（1）如图①，折痕的端点P与点A重合．
①当时， ______．②若点E恰好在线段上，则的长为_______．
【深入思考】
（2）点E恰好落在边上．
①请在图②中用无刻度的直尺和圆规作出折痕；（不写作法，保留作图痕迹）
②如图③，过点E作交于点F，连接．请根据题意，补全图③并证明四边形是菱形；
③在②的条件下，当时，菱形的边长为___________，的长为_______．
【拓展提升】
（3）如图④，若，连接．当是以为腰的等腰三角形时，求的长．
2．（2022春·广东广州·八年级校联考期中）在正方形中，点是边上任意一点．连接，过点作于．交于．
(1)如图1，过点作于，求证：；
(2)如图2，点为的中点，连接，求证：；
(3)如图3，，连接，点为的中点，在点从点运动到点的过程中，点随之运动，请直接写出点运动的路径长．
3．（2022春·江苏南通·八年级校考期中）【探究与证明】
在正方形中，G是射线上一动点（不与点A，C重合），连接，作，且使，连接、．
(1)如图1，若点G在上，则：
①图中与全等的三角形是 ；
②线段，，之间的数量关系是 ；
(2)如图2，若G在的延长线上，那么线段，，之间有怎样的数量关系？写出结论，并给出证明．
【压轴题型八 四边形中的动点类压轴题】
1．（2022秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，已知在正方形中，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接．
(1)求的长；
(2)探究：的值是不是定值？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由．
2．（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）如图1，中，，点为中点，点为上一点，连结．已知．动点从点出发，以1个单位/秒的速度沿线段向终点运动，设点运动的时间为（秒）．
(1)求证：．
(2)若为等腰三角形时，求的值．
(3)如图2，动点出发的同时，另有一点从点出发沿线段向终点运动，速度为个单位/秒，连结，将线段绕点分别向顺时针和逆时针方向旋转，得到线段和，当三点共线时，直接写出的值为______．
3．（2022秋·山东济南·九年级校考阶段练习）在正方形中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线，上移动．
(1)如图1，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接和交于点P，请写出与的关系，并说明理由；
(2)如图2，当点E，F分别移动到边，的延长线上时，连接和，（1）中的结论还成立吗？（请直接回答“成立”或“不成立”，无需证明）
(3)如图3，当E，F分别在，的延长线上移动时，连接和，（1）的结论还成立吗？请说明理由．
【压轴题型九 四边形中的最值类压轴题】
1．（2022秋·广东深圳·八年级统考期末）如图，在长方形中，，，，，，点P在边上，且不与点B、C重合，直线与的延长线交于点E．
(1)当点P是的中点时，求证：；
(2)将沿直线折叠得到，点落在长方形的内部，延长交直线于点F．
①证明，并求出在（1）条件下的值；
②连接，直接写出周长的最小值．
2．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）（1）如图1，在等腰中，，，D是边的中点，E是边上一动点，则的最小值是______．
（2）如图2，在正中，，P、M、N分别是上的动点，
①的最小值为______；②求的最小值．
（3）如图3，正方形的边长为4，E、F分别是边和上的动点且始终满足，连结，求的最小值．
3．（2022春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考阶段练习）在数学中，我们会用“截长补短”的方法来解决几条线段之间的和差问题．请看这个例题：如图1，在四边形中，，，若，求四边形的面积．
解：延长线段到E，使得，连接，我们可以证明，根据全等三角形的性质得，，则，得，这样，四边形的面积就转化为等腰直角三角形面积．
(1)根据上面的思路，我们可以求得四边形的面积为 cm2．
(2)如图2，在中，，且，求线段的最小值．
(3)如图3，在平行四边形中，对角线与相交于O，且；，则是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出的最小值及此时平行四边形的面积．
【压轴题型十 与三角形中位线有关的求解压轴题】
1．（2023春·四川成都·八年级成都铁路中学校考期中）已知，如图1，中，，D，E分别是线段，的中点，且满足，，P为边上一动点，连接，以为一边在右侧作，使，且，连接并延长交直线于点H．
(1)求证：；
(2)若，判断线段与线段的数量关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，延长交于点G，若，当为直角三角形时，求的长度．
2．（2023·吉林长春·校考二模）【提出问题】兴趣小组活动中老师提出了如下问题：如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使得，，再连接（或将绕点D逆时针旋转180°得到），把集中在中，利用三角形的三边关系可得，则．
【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”，把一条过中点的线段延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法．
【解决问题】如图②，在中，点D是边的中点，点E在边上，过点D作，交边于点F，连接．
(1)求证：．
(2)若，则线段之间的等量关系为 ．
(3)【应用拓展】如图③，在中，，点D为边的中点，点E和点F分别在边上，点M为线段的中点．若，，则的长为 ．
3．（2023春·江苏·八年级姜堰区实验初中校考周测）（1）[方法回顾]课本上“三角形中位线定理”的证明．
已知：如图1，在中，点D、E分别是边的中点． 求证：， ．
证明：如图1，延长到点F，使得，连接；请继续完成证明过程：
（2）[问题解决]
如图2，，E为的中点，G、F分别为射线上的点，，线段有怎样的数量关系？请说明理由．
（3）[思维拓展]
如图3，在四边形中，，，，E为的中点，G、F分别为边上的点，H是的中点，若，，的长为 ．
【压轴题型十一 一次函数的图象与性质压轴题】51．（2023春·四川宜宾·八年级四川省宜宾市第二中学校校考期中）如图1，直线交x轴于点B，交y轴于点C．点A在x轴负半轴上且A点坐标为．
(1)求直线的解析式；
(2)如图2，点P坐标为，过点P的直线把的面积分为，交另一边于点E，求点E的坐标；
(3)如图3，已知点，点M为线段上一动点，点N为直线上一动点，当三角形为等腰直角三角形时，求M点的坐标．
2．（2023春·北京·八年级校联考期中）已知点E和图形G，Q为图形G上一点，若存在点P，使得点E为线段的中点（P，Q不重合），则称点P为图形G关于点E的双倍点．
如图，在平面直角坐标系中，点，，，．
(1)若点E的坐标为，则在，，，是四边形关于点E的双倍点的是______；
(2)点N的坐标为，若在二四象限角平分线上存在四边形关于点N的双倍点，直接写出t的取值范围；
(3)点M为四边形边上的一个动点，平行于二、四象限角平分线的直线交x轴于点，与y轴交于点，若线段上的所有点均可成为四边形关于M的双倍点，直接写出b的取值范围．
3．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A、B．另一条直线与直线交于点，与x轴交于点，点P是直线上一点（不与点C重合）．
(1)求a的值．
(2)当的面积为18时，求点P的坐标．
(3)若直线在平面直角坐标系内运动，且始终与平行，直线交直线于点M，交y轴于点N，当时，求的面积．
【压轴题型十二 一次函数的几何压轴题】
1．（2023春·北京东城·八年级北京二中校考期中）在平面直角坐标系xOy中，中心为点C的正方形各边分别与两坐标轴垂直，若点P是与C不重合的点，点P关于正方形的“限称点”的定义如下：设为直线CP与正方形的边的一个交点，另一个交点为M，若满足，则称为点P关于正方形的“限称点”．如图，为点P关于正方形的“限称点”的示意图．规定：若点P与点C重合，则点P的“限称点”存在．
(1)若正方形的中心为原点O，边长为2．
①分别判断点、、关于该正方形的“限称点”是否存在，若存在，求其坐标；
②若平面内一动点关于该正方形的“限称点”存在，求n的取值范围；
(2)若正方形的中心T在x轴上，边长为2，记直线在之间的部分为图形K．若图形K上任意一点关于该正方形的“限称点”都存在，请你直接写出正方形中心T的横坐标的取值范围．
2．（2023春·北京海淀·八年级人大附中校考期中）在平面直角坐标系中，对于没有公共点的两个图形M、N给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，若P、Q两点间距离的最大值和最小值分别为和，则称比值为图形M和图形N的“距离关联值”，记为．已知顶点坐标为，，，．
(1)若E为边上任意一点，则的最大值为______，最小值为______，因此k（点O，）＝______；
(2)若为对角线上一点，为对角线上一点，其中．
①若，则k（线段，）______；
②若（线段，），求m的取值范围；
(3)若的对角线交点为O，且顶点在直线上，顶点在直线上，其中，请直接用含n的代数式表示．
3．（2023春·江苏苏州·八年级苏州市立达中学校校考期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，点C在x轴正半轴上，对角线交y轴于点M，边交y轴于点H．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿折线A—B—C向终点C运动．
(1)点B的坐标为______；
(2)设动点P的运动时间为t秒，连接，的面积为S，请用含t的式子表示S；
(3)当点P运动到线段上时，连接，若，求P的运动时间t的值．
【压轴题型十三 一次函数的应用压轴题】
1．（2023·浙江宁波·统考一模）甲开车从A地前往B地送货，同时，乙从C地出发骑车前往B地，C在A，B两地之间且距离A地15千米．甲到达B地后以相同的速度立马返回A地，在A地休息半小时后，又以相同的速度前往B地送第二批货，乙出发后4小时遇上送货的甲，乙让甲捎上自己（上下车时间忽略不计），甲载上乙后以原速前进．甲、乙两人距离B地的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．
(1)求甲第一次送货前往B地时，甲距离B地的路程y关于x的函数表达式．
(2)问在乙距离B地多远时，甲载上了乙？
(3)问乙比原计划早到多少时间？
2．（2023春·浙江温州·八年级期中）根据以下素材，完成探索任务．
3．（2023·广东深圳·深圳中学校联考二模）目标检测是一种计算机视觉技术，旨在检测汽车、建筑物和人类等目标．这些目标通常可以通过图像或视频来识别．在常规的目标检测任务中，如图1，一般使用边同轴平行的矩形框进行标示．
在平面直角坐标系中，针对目标图形，可以用其投影矩形来检测．图形的投影矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于轴，轴，图形的顶点在矩形的边上或内部，且矩形的面积最小．设矩形的较长的边与较短的边的比为，我们称常数为图形的投影比．如图2，矩形为的投影矩形，其投影比．
(1)如图3，点，，则投影比的值为______；
(2)如图4，若点，点且投影比，则点的坐标可能是______（填写序号）；
；；；．
(3)如图5，已知点，在函数（其中）的图象上有一点，若的投影比，求点的坐标．
判断车辆是否因超速被罚款？
素材一
我国高速公路上的隧道通常限速80千米/小时，在隧道前会有一个提示牌及限速标志，在标识与隧道口之间的途中会有测速仪测速，且测速时有闪光．根据交规，若超速以上未达的，处以200元以内罚款．
素材二
在物体运动的速度v关于时间t的函数图象中，函数图象与横轴以及直线所围成的图形（如图的阴影部分）面积的数值等于物体从到这个时间段的运动距离．
素材三
测速仪安装是在车辆前进方向的路上，根据短时间的两次测速（均有闪光提示），测出两个时刻车辆和测速仪之间的距离，再用距离差除以两次测速的时间差，算出这段路程的平均车速．
素材四
速度1米/秒千米/小时，某车以108千米/小时的速度驶来，到达限速标志位置（隧道前500米）时开始匀减速，从开始减速到车头进入隧道用了20秒，其速度v关于时间t的函数图象如图所示，和是两次雷达测速的时间．
问题解决
任务一
求该车进入隧道时的速度？
任务二
当第一次闪光时，车速已经降到了90千米/小时，求时间．
任务三
到第二次闪光时，该车又前进了49米，此次该车是否会因超速而被罚款，请通过计算说明理由．
期末重难点特训（四）之压轴满分题型专训
【题型目录】
题型一 二次根式的混合计算压轴题
题型二 二次根式与几何图形综合的压轴题
题型三 用勾股定理解三角形压轴题
题型四 勾股定理逆定理的应用压轴题
题型五 最短路径问题压轴题
题型六 平行四边形的存在性压轴题
题型七 特殊平行四边形的性质与判定压轴题
题型八 四边形中的动点类压轴题
题型九 四边形中的最值类压轴题
题型十 与三角形中位线有关的求解压轴题
题型十一 一次函数的图象与性质压轴题
题型十二 一次函数中的几何压轴题
题型十三 一次函数的应用压轴题
【压轴题型一 二次根式的混合计算压轴题】
1．（2023春·江苏·八年级专题练习）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
若设（其中、、、均为整数），则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：______，______；
(2)若，且、、均为正整数，求的值；
(3)化简下列各式：
①
②
③．
【答案】(1)，
(2)12或28
(3)①，②，③
【分析】（1）利用完全平方公式展开可得到用m、n表示出a、b；
（2）利用（1）中结论得到，利用a、m、n均为正整数得到，或，，然后利用计算对应a的值；
（3）设，两边平方得到，然后利用（1）中的结论化简得到，最后把写成完全平方形式可得到t的值．
【详解】（1）设（其中a、b、m、n均为整数），
则有，；
故答案为：，；
（2）∵，
∴，
∵a、m、n均为正整数，
∴，或，，
当，时，；
当，时，；
即a的值为12或28；
（3）①
②
③设，
则
，
∴．
【点睛】本题考查根据二次根式的性质进行化简，解题的关键是在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
2．（2022秋·四川资阳·九年级校考阶段练习）在日常生活中，有时并不要求某个量的准确值，而只需求出它的整数部分．如今天是星期一，还有55天中考，问中考前还有多少个星期一、容易知，但答案并不是将小数部分四舍五入得到8，而是的整数部分7，所以有7个星期一、为了解决某些实际问题，我们定义一种运算——取一个实数的整数部分，即取出不超过实数x的最大整数．在数轴上就是取出实数x对应的点左边最接近的整数点（包括x本身），简称取整，记为．这里，，其中是一个整数，，a称为实数x的小数部分，记作，所以有．例如，，．
关于取整运算有部分性质如下：
①
②若n为整数，则
请根据以上材料，解决问题：
(1)___________；若，，则___________；
(2)记，求；
(3)解方程：．
【答案】(1)3，
(2)43
(3)或
【分析】（1）根据定义直接求解即可；
（2）先进行分母有理化，再求和即可；
（3）根据题意可得，求出的取值范围可得，再由是整数，可求的值．
【详解】（1）解：，
，
，
，，
，
故答案为：3，；
（2）
，
，
，
；
（3），
，
，
解得，
，
是整数，
或
解得或
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，弄清定义，熟练掌握不等式的基本性质，分母有理数化，准确熟练地进行计算是解题的关键．
3．（2023春·浙江·八年级专题练习）阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 ab2，ab 3 ，求．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令 xab ， y ab ，则．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．
(1)计算：；
(2)m 是正整数， a ，b 且．求 m．
(3)已知，求的值．
【答案】(1)
(2)m=2
(3)
【分析】（1）由题目所给出的规律进行计算即可；
（2）先求出再由进行变形再求值即可；
（3）先得到，然后可得，最后由，求出结果
【详解】（1）原式
，
（2）∵a ，b ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴2，
∵m 是正整数，
∴m=2．
（3）由得出，
∴，
∵，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
【压轴题型二 二次根式与几何图形综合的压轴题】
1．（2023春·全国·八年级阶段练习）正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，轴，与轴交于点，，且，的长满足．
（1）求点A的坐标；
（2）若，求的面积；
（3）在（2）的条件下，正方形的边上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）9；（3）存在，，
【分析】（1）根据二次根式和绝对值的非负性可求出AE，DE的值，即可得出结果；
（2）如图1，过点做轴的垂线，交和的延长线于点和点，利用长方形DCFG即可得解；
（3）通过可知，分别讨论M点在四条边上时是否存在即可．
【详解】（1），，且，
，．
，．
，
．
（2）如图1，过点做轴的垂线，交和的延长线于点和点．
，，
．
，
，．
，
．
长方形DCFG，
，
，
．
长方形DCFG．
（3）正方形的边上存在点，使，
，
，
如图2，当点在线段AD上时，
当点在线段BC上时，
当点在线段CD上时，
此时不存在；
当点在线段AB上时，
可知当点在点A的位置时到CE的距离最近，
此时不存在，
，．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标，面积以及动点问题，有一定综合性，也有一定难度，需要利用数形结合的思想解题，熟练掌握平面直角坐标系中面积的求解方法是解题的关键．
2．（2023春·湖北宜昌·七年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，、、，其中、满足：．平移线段得到线段，使得、两点分别落在轴和轴上．
(1)点坐标______，点坐标______，面积为______；
(2)如图，将点向下移动个单位得到点，连接、，在轴正半轴上恰有一点，使得与面积相等，求出点的坐标．
(3)如图，将图中的、连接，平移线段得到，使得，交线段于点，连接、，求的面积．
【答案】(1)（0，3），（4，0），6
(2)
(3)
【分析】根据二次根式的性质求出、的值得出点、的坐标，再由平移可得点、的坐标，即可得出答案；
根据三角形面积可求出的长，则可得出答案；
过点作轴交于点，交轴于点，设，则，求出点坐标和的长，根据三角形面积公式可得出答案．
【详解】（1）解：，
，
，
，
、，
平移线段得到线段，使得、两点分别落在轴和轴上，
，，
，，
；
故答案为：，，；
（2）解：，将点向下移动个单位得到点，
，
，，
，
，
，
，
点在轴正半轴上，
；
（3）解：过点作轴交于点，交轴于点，
平移线段得到，
，
设，则，
，
，
，
解得，
，
，
，
，
．
∵，
∴；
【点睛】本题主要考查二次根式的性质、坐标与图形的性质及平移的性质，三角形面积公式，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
3．（2023·河南洛阳·统考二模）阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当，时，有，，当且仅当时取等号．
请利用上述结论解决以下问题：
(1)当时，的最小值为_________；当时，的最大值为_________；
(2)当时，求的最小值；
(3)如图，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别为9和16，求四边形的最小面积．
【答案】(1)2；
(2)y的最小值为11
(3)49
【分析】（1）根据题目中给出的信息进行解答即可；
（2）先将变形得到，然后根据题目中给出的信息进行解答即可；
（3）设，根据等高三角形性质得出 ，求出 ，根据四边形的面积为，求出最小值即可．
【详解】（1）解：∵当时，，即，
∴的最小值为2；
∵当时，，
∴，即，
∴，
∴，
∴的最大值为；
故答案为：2；；
（2）解：，
，
，
∴当时，y的最小值为11．
（3）解：设，已知，，则由等高三角形性质可知， ，
∴，
，
因此四边形的面积，
当且仅当时取等号，即四边形面积的最小值为49 ．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，三角形面积的计算，解题的关键是理解题意，准确计算．
【压轴题型三 用勾股定理解三角形压轴题】
1．（2023·江西九江·校考模拟预测）已知，点P是平面内任意一点（不与点A，B，C重合），若点P与A，B，C中的某两点的连线的夹角为直角，则称点P为的一个“勾股点”．
(1)如图（1），若点P是内一点，，，，试说明点P是的一个“勾股点”；
(2)如图（2），已知点D是的一个“勾股点”，，且，若，，求的长；
(3)如图（3），在中，，，点D为外一点，，，，点D能否是的“勾股点”，若能，求出的长；若不能，请说明理由．
【答案】(1)说明见解析
(2)
(3)点D可以是的“勾股点”， 的长是
【分析】（1）根据，求出，根据，，求出，即可证明结论；
（2）先求出，得出，求出，得出，根据勾股定理求出即可．
（3）分三种情况讨论：当时，点D是的“勾股点”；当时，点D是的“勾股点”；当时，点D是的“勾股点”；其中只有第一种情况存在求出结果即可．
【详解】（1）证明：∵在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴点P是的一个“勾股点”．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
在中，，
∴在中，．
（3）解：点D可以是的“勾股点”．
由题意可知，分三种情况讨论．
①当时，点D是的“勾股点”．如图，分别过点A，B作的垂线，垂足分别为点E，F．
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴．
又∵在中，，
∴，
∴，
∴；
②当时，点D是的“勾股点”．
由题可知，
∴．
又∵，
∴，
∵在中，，
∴，
∴此种情况不成立．
③当时，点D是的“勾股点”．
∵在中，，
∴是锐角，∴此种情况不成立．
综上，点D可以是的“勾股点”，的长是．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形内角和定理的应用，三角形全等的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握基本的判定和性质，作出相应的辅助线，并注意分类讨论．
2．（2023春·山东济南·八年级统考期中）如图，在中，， M、N是边上的两个动点，其中点M从点A出发，沿A→B方向运动，速度为每秒2cm；点N从点B出发，沿B→C→A方向运动，速度为每秒4cm；两点同时开始运动，设运动时间为t秒．
(1)①斜边上的高为 ；
②当时，的长为 ；
(2)当点N在边上运动时，出发几秒钟后，是等腰三角形？
(3)当点N在边上运动时，直接写出所有能使成为等腰三角形的t的值．
【答案】(1)①cm；②
(2)出发秒后能形成等腰三角形
(3)运动时间为6.6秒或6秒或5.5秒时，为等腰三角形
【分析】（1）根据勾股定理求出的长，再用面积法求得斜边上的高；求出当时，和的长，同理用勾股定理求得的长；
（2）根据题意，可得，，列方程，即可解答；
（3）需要分类讨论：即三种情况，依次讨论即可解答．
【详解】（1）解：①在中，cm
根据面积法，斜边上的高为；
②当时，，，
；
（2）由题意可知
当为等腰三角形时，则有即
解得，
∴出发秒后能形成等腰三角形；
（3）
当时，
，
，
，
秒；
当时，，
秒；
当时，过点B作的垂线段，交于点D，
根据勾股定理，，
,，
，
秒，
综上所述，当运动时间为6.6秒或6秒或5.5秒时，△BCN为等腰三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，等积法，方程思想和分类讨论，注意方程思想的运用是解题的关键．
3．（2023春·重庆南岸·八年级重庆市第十一中学校校联考期中）在中，，平分，为上一点．
(1)如图，过作交于点，若，，求的面积；
(2)如图，若，过作交的延长线于点，为延长线上一点，连接，过作交于点，交于点，且，
①猜想的形状，并证明；
②猜想线段与之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2)①等腰直角三角形，证明见解析；②，证明见解析
【分析】（1）过作于，证明得出，，利用等腰三角形的性质可求，进而求出，利用勾股定理求出，最后利用三角形的面积公式解答即可；
（2）连接，根据三角形内角和定理和等腰直角三角形的判定解答即可；
连接，作于，根据证明三角形全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【详解】（1）解：过作于，
则，
平分，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的面积；
（2）解：等腰直角三角形，理由如下：
连接，
，，
，，
，，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形；
，理由如下：
如图，连接，作于，
设，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
．
【点睛】此题是三角形综合题，考查全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的判定与性质和三角形内角和定理，关键是构建全等三角形解答．
【压轴题型四 勾股定理逆定理的应用压轴题】
1．（2023秋·四川成都·八年级统考期末）在四边形中，，．
(1)如图1，若，，．
①连接，试判断的形状，并说明理由；
②连接，过作，交的延长线于点，求的面积；
(2)如图2，若，，四边形的面积为，求的长．
【答案】(1)①直角三角形，理由见解析 ②
(2)
【分析】（1）①利用勾股定理的逆定理即可判断的形状；②证明，利用全等三角形的性质可得，易得，即可获得答案；
（2）过作交的延长线于点，连接，过作，交的延长线于点，首先证明是等腰直角三角形，可得；结合（1）中，可得，，再由，可解得，进而可求得，然后由即可获得答案．
【详解】（1）解： ①是直角三角形，理由如下：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
②∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即
；
（2）过作交的延长线于点，连接，过作，交的延长线于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
同（1）②，可证，
∴，，
由（1）②，可知，
即，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，理解并掌握相关知识是解题关键．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）问题背景：如图1，某车间生产了一个竖直放在地面上的零件，过点A搭了一个支架AC，测得支架AC与地面成角，即；在的中点D处固定了一个激光扫描仪，需要对零件进行扫描，已知扫描光线的张角恒为，即．
问题提出：数学兴趣小组针对这个装置进行探究，研究零件边上的被扫描部分（即线段EF），和未扫到的部分（即线段和线段）之间的数量关系．
问题解决：
(1)先考虑特殊情况：
①如果点E刚好和点A重合，或者点B刚好和点F重合时，________（填“>”，“<”或“=”）；
②当点E位于特殊位置，比如当时，________（填“>”或“<”）；
(2)特殊到一般：猜想：如图2，当时，________，证明你所得到的结论：
(3)研究特殊关系：如果，求出的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）连接，先证明是等边三角形，即，当F点与B点重合时，即，根据“三线合一”可得，即有，同理：如果点E刚好和点A重合，同样有；问题得解；先证明是等边三角形，根据等腰三角形的性质可得，再结合含角的直角三角形的性质可以求出，即问题得解；
（2）将绕D点逆时针旋转120°至，连接，先证明，再证明，问题即可得解；
（3）将绕D点逆时针旋转至，连接，根据（2）中的方法，同理可证明：，，再证明是直角三角形，，结合含角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】（1）如图，连接根据题意有，，即，
∵点D为中点，
∴，
∴是等边三角形，（此结论也适用于第（2）和（3）问）
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
当F点与B点重合时，如上图左图，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
同理：如果点E刚好和点A重合，同样有，
故答案为：；
当时，如图，
∵，，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，，
∴，
∴，
∵，，
∴在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：；
（2），理由如下：
将绕D点逆时针旋转至连接如图，
根据旋转的性质有：，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即：，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
故答案为：；
（3）将绕D点逆时针旋转至，连接如图，
根据（2）中的方法，同理可证明：，，
∴，，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∵在（1）中已证明，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，含角直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理等知识，合理构筑辅助线，证明三角形全等是解答本题的关键．
3．（2023春·八年级单元测试）如图①，是四边形ABCD的一个外角，，，点F在CD的延长线上，，，垂足为G．
（1）求证：
①DC平分；
②．
（2）如图②，若，，．
①求的度数；
②直接写出四边形ABCF的面积．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）①90°；②
【分析】（1）①根据等边对等角性质和平行线的性质证得即可；
②过点F作，垂足为H，根据全等三角形的判定证明（AAS）和，再根据全等三角形的性质即可证得结论；
（2）①AD，BF的交点记为O．由（1）结论可求得AD，利用勾股定理在逆定理证得∠ABD=90°，根据三角形的内角和定了可推导出，再根据平角定义和四边形的内角和为360°求得∠AFD=90°；
②过B作BM⊥AD于M，根据三角形等面积法可求得BM，然后根据勾股定理求得FG，进而由求解即可．
【详解】（1）①证明：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴DC平分；
②证明：如图①，过点F作，垂足为H，
∵，又，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴（AAS），
∴，．
∵，
∴．
∴（LH），
∴=．
∴；
（2）①如图②，AD，BF的交点记为O．
由（1）知，，，,
∵，，
∴,
在中，，，
∴．
∴．
∵，
又，．
∴．
∵，又，
∴．
∵，
又，
∴．
∴．
∵，
∴
∴．
∴；
②过B作BM⊥AD于M，
∵∠ABD=90°，AB=4，BD=BC=3，AD=5，
∴ ，
∵AD∥BC，
∴△BCD边BC上的高为，
∴，
∵∠AFD=90°，FG⊥AE，
∴，，
∵DG=1，，AD=4+1=5，
∴，，
解得：，，
∴，
∴FG=2，
∴，
∴四边形ABCF的面积为=．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理、三角形的内角和定理、四边形的内角和、三角形的面积公式、等角的余角相等、解方程等知识，涉及知识点较多，综合性强，难度较难，解答的关键是熟练掌握相关知识的联系和运用．
【压轴题型五 最短路径问题压轴题】
1．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，一条河流的段长为，在点的正北方处有一村庄，在点的正南方处有一村庄，计划在上建一座桥，使得桥到村和村的距离和最小．请根据以上信息，回答下列问题：
(1)将桥建在何处时，可以使得桥到村和村的距离和最小？请在图中画出此时点的位置；
(2)小明发现：设，则，则，根据（1）中的结论可以求出当______时，的值最小，且最小值为______；
(3)结合（1）（2）问，请直接写出下列代数式的最小值：
①的最小值______；
②的最小值为______．
【答案】(1)见解析
(2)；
(3)①；②
【分析】（1）直接根据两点之间线段最短，连接，交于点即可；
（2）根据平行线分线段成比例定理得出的长度，根据勾股定理求出即为最小值；
（3）①根据题意可知的最小值，计算即可；
②将转换为，然后根据上述规律求最小值即可．
【详解】（1）解：如图，点即为所作：
；
（2）过点作，交与点,
则，，
，
设为，则，
则，
即，
解得，
，当时，最小值为，
故答案为：；；
（3）①的最小值，
故答案为：；
②
的最小值，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，考查了数形结合的思想，读懂题意，将已知式子转换为相应的图形进行解答是本题的关键．
2．（2023春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期中）
(1)问题提出
如图1，已知点C为线段上一动点，分别过点B、D作，，连接、．已知，，，则的最小值是_______．
(2)问题探究
如图2，在四边形中，，，，，，E是四边形内一动点，且，求的最小值．
(3)问题解决
如图3，已知，长度为2的线段在射线上滑动，点C在射线上，且，的两个内角的角平分线相交于点F，过F作，垂足为G，求的最大值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）连接交于点，根据“两点之间，线段最短”可得当点C位于点处时，的值最小，此时构造直角三角形，利用勾股定理即可求解；
（2）过点A作于点F，利用勾股定理求出的长，过点E作于点M，作于点N，利用，得到，根据过一点有且只有一条直线与已知直线垂直可得点M、E、N三点共线，根据平行线的距离可得，进而得到的长．过点E作，作点D关于直线的对称点，连接，交直线于点，连接，，则点E位于点时，根据对称性，为最小值．根据平行线距离的意义可得，根据对称性得到的长，进而利用勾股定理可得的长，即为的最小值
（3）过点C作于点M，过点F分别作于点P，于点Q．利用角平分线的性质与三角形的面积公式得到，将问题求的最大值转化为求的最小值．作点C关于的对称点，连接、，以、为邻边作平行四边形，要使的值最小，只需C、E、H三点共线．由轴对称图形的性质可得点G是的中点，进而为的中位线，得到，从而在等腰中，利用“三线合一”的性质与勾股定理求出，即的最小值为，从而求出的最大值．
【详解】（1）
如图①，连接交于点，
，
∴当点C位于点处时，的值最小．过点E作交延长线于点F，则四边形是矩形，
，．
．
在中，，
的最小值是．
故答案为：．
（2）
如图②，过点A作于点F
∴
过点E作于点M，作于点N，
，
∴点M、E、N三点共线
，，
，且
过点E作，作点D关于直线的对称点，连接，交直线于点，连接，，则点E位于点时，根据对称性，为最小值．
∵点与点D关于直线对称
∵在中，,
即的最小值为
（3）
如图③，过点C作于点M，过点F分别作于点P，于点Q．
，，
．
平分，，，
．
平分，，，
．
．
∴要使的值最大，即的值最小即可．
如图③，作点C关于的对称点，连接、，以、为邻边作平行四边形，
，，，．
要使的值最小，只需C、E、H三点共线．如图④
此时点M与点G重合，点G为的中点，且，
为的中位线，即．
．
在等腰中，，
．
．
．
．
的最大值为．
【点睛】本题考查最短路径问题，角平分线的性质，轴对称的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
3．（2022秋·江苏·八年级期末）将沿AD折叠，使点C刚好落在AB边上的点E处．展开如图1．
【操作观察】（1）图1中，，．
①则_______；
②若，则_______；
【理解应用】（2）如图2，若，试说明：；
【拓展延伸】（3）如图3，若，点G为AC的中点，且．点P是AD上的一个动点，连接PG、PC．求的最小值．
【答案】（1）①2；②12；（2）见解析；（3）75
【分析】（1）①由于翻折，故AE=AC，所以BE=AB－AE；②由于翻折，故AD平分∠BAC，故点D到AC的距离等于点D到AB的距离，即△ACD边AC上的高等于△ABD边AB上的高．再由三角形面积公式可知，，从而得到；（2）由于翻折，知∠AED=∠C，又因为，等量代换得∠B=∠BDE，从而BE=DE，整理代换即可；（3）根据“将军饮马”模型知，PG+PE的最小值为EG．再根据AE=2AG，∠BAC=60°，可推断出△AEG是含60°角的直角三角形，从而得到EG的长，得解．
【详解】解：（1）①∵翻折
∴△ACD≌△AED
∴AE=AC
∴BE=AB－AE= AB－AC=8－6=2
∴BE=2；
②∵翻折，
∴AD平分∠BAC，
∴点D到AC的距离等于点D到AB的距离，即△ACD边AC上的高等于△ABD边AB上的高
∴由三角形面积公式可知，，
又∵，
∴．
（2）∵翻折
∴△ACD≌△AED
∴AE=AC，∠AED=∠C，DE=CD
又∵，∠AED=∠B+∠BDE
∴∠B=∠BDE
∴BE=DE
又∵AB=AE+BE
∴AB=AC+DE=AC+CD．
（3）∵翻折
∴PC=PE
∴PG+PC=PG+PE，当点P运动到EG连线时，PG+PE有最小值为EG
∴的最小值为EG2
∵AG=5，AE=AC=2AG，∠BAC=60°
∴△AEG是含30°角的直角三角形
∴EG=，即
∴的最小值为75．
【点睛】本题考查了翻折的性质、角平分线的性质，“将军饮马”问题，利用翻折得到全等三角形是解决本题的关键．
【压轴题型六 平行四边形的存在性问题】
1．（2022春·广东湛江·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，直线与x轴、y轴分别交于点和点C，直线与直线交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)若点E为线段上一个动点，过点E作轴，垂足为F，且与直线交于点G，当时，求点G的坐标；
(3)问在平面上是否存在点H，使得以点A，C，D，H为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出所有满足条件的点H的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)直线的解析式为
(2)
(3)存在，符合条件的H点的坐标为或或
【分析】（1）根据题意求出D点的坐标，然后用待定系数法求出直线的解析式即可；
（2）设出G点的坐标，根据直线解析式得出E点坐标，根据，列方程求解即可得出G点的坐标；
（3）分为对角线，为对角线，为对角线三种情况分别讨论求出H点的坐标即可．
【详解】（1）解：由题意知，在直线上，
∵当时，，
∴，
设直线的解析式为，
由题意得：，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：∵轴，
∴G，E的横坐标相同，
设，则，
∴，，
∴，
解得：，
∴；
（3）解：存在，点H的坐标为：或或，
①如下图，当四边形是以为对角线的平行四边形时，
令，则，
∴，
∵，
∴直线的解析式为，
令，则，
∴，
∵，
∴直线的解析式为，
∴，
解得，
∴此时；
②如下图，当四边形是以为对角线的平行四边形时，
∵，
∴直线为，
∵，，
∴；
③如下图，当四边形是以为对角线的平行四边形时，
∵，
∴直线为，
∵，，
∴；
综上所述，符合条件的H点的坐标为：或或．
【点睛】本题主要考查一次函数的图像和性质，待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的存在性问题，熟练掌握平行四边形的性质，注意分情况讨论是解题的关键．
2．（2022春·浙江温州·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是平行四边形，O为坐标原点，点A的坐标是(，0)， 线段BC 交y轴于点D，点D的坐标是(0，8)，线段CD=6．动点P从点O出发，沿射线OA的方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q从点D出发，以每秒1个单位的速度向终点B运动，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，运动时间为t秒.
(1)用t的代数式表示：BQ=_______，AP=_______；
(2)若以A，B，Q，P为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值；
(3)当恰好是等腰三角形时，求t的值．
【答案】(1)
(2)6或
(3)或
【分析】（1）由平行四边形的性质结合题意可得出，，，从而可求出．分类讨论：当P在A点右侧时、当P与A点重合时和当P在A点左侧时，分别求出AP的长即可；
（2）分类讨论：①当P在A点右侧时和②当P在A点左侧时，根据平行四边形的性质即可分别得出关于t的等式，解出t即可；
（3）分类讨论：①当BP=PQ时、②当BQ=PQ时，③当BQ=PB时和④当点P在A点左侧时，分别根据等腰三角形的性质，勾股定理，结合题意列出关于t的等式或判断情况是否存在，再解出t即可．
【详解】（1）∵四边形ABCO是平行四边形，A(，0)，
∴．
∵CD=6，
∴，
∴，
∵动点P从点O出发，沿射线OA的方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q从点D出发，以每秒1个单位的速度向终点B运动，
∴OP=2t，DQ=t，
∴．
当P在A点右侧时，此时，，
当P与A点重合时，此时，，
当P在A点左侧时，此时，；
∴
故答案为：；
（2）分类讨论：①当P在A点右侧时，如图，
∵四边形ABQP为平行四边形，
∴BQ=AP， 即，
解得t=6；
②当P在A点左侧时，如图，
∵四边形BQAP为平行四边形，
∴BQ=AP，即，
解得．
综上可知，当以A，B，Q，P为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为6或；
（3）当恰好是等腰三角形时，有以下四种情况：
①当BP=PQ时，如图，过点Q作轴于点E，过点P作于点F，
∴，，
∴．
∵BP=PQ，
∴，
∴，
解得；
②当BQ=PQ时，如图，过点Q作轴于点G．
由①可知，
∵，即，
∴，
解得：t=；
③当BQ=PB时，由②同理可得出，
此时方程无解；
④当点P在A点左侧时，不可能是等腰三角形，此情况舍．
综上可知当恰好是等腰三角形，或．
【点睛】本题考查坐标与图形，平行四边形的性质，等腰三角形的定义，勾股定理等知识．利用数形结合的思想是解题关键．
3．（2022秋·全国·九年级阶段练习）已知，平行四边形中，一动点在边上，以每秒的速度从点向点运动．
(1)如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数．
(2)如图②，在（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，求的面积．
(3)如图③，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动同时点也停止，若，则为何值时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形．
【答案】(1)60°
(2)
(3)当运动时间为4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
【分析】（1）易证∠DPC=∠DCP，得DP=CD，又CD=CP，则△PDC是等边三角形，即可得出结果；
（2）如图②中，由四边形ABCD是平行四边形，推出ABCD，BCAD，，推出，推出，可得由此即可解决问题；
（3）若以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，则PD=BQ，设运动时间为t秒，分①当0＜t≤3时；②当3＜t≤6时；③当6＜t≤9时；④当9＜t≤12时，四种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠DPC＝∠PCB
∵CP平分∠BCD，
∴∠PCD＝∠PCB，
∴∠DPC＝∠DCP，
∴DP＝DC．
∵CD＝CP，
∴PC＝CD＝PD，
∴△PDC是等边三角形
∴∠D＝∠B＝60° ；
（2）解：如图②中，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ABCD，BCAD，，
∴，
∴
∴
∴，
∵△PCD为等边三角形，
∴PD=CD=8cm，PD边上的高为=，
∴；
（3）解：解：四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，
∴PDBC
若要使四边形PDQB是平行四边形，则PD＝BQ，
设运动时间为t秒，
①当0＜t≤3时，PD＝12-t，BQ＝12-4t，
∴12-t＝12-4t，解得t＝0，不合题意，舍去；
②当3＜t≤6时，PD＝12-t，BQ＝4（t-3）=4t-12，
∴12-t＝4t-12，解得t＝4.8；
③当6＜t≤9时，PD＝12-t，BQ＝12-4（t-6）=36-4t，
∴12-t＝36-4t，解得t＝8；
④当9＜t≤12时，PD＝12-t，BQ＝4（t-9）=4t-36，
∴12-t＝4t-36，解得t＝9.6；
综上所述，当运动时间为4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，第二个问题的关键是灵活应用同底等高的两个三角形面积相等，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
【压轴题型七 特殊平行四边形的性质与判定压轴题】
1．（2022春·江苏镇江·八年级统考期末）【问题背景】在矩形纸片中，，，点P在边上，点Q在边上，将纸片沿折叠，使顶点B落在点E处．
【初步认识】
（1）如图①，折痕的端点P与点A重合．
①当时， ______．②若点E恰好在线段上，则的长为_______．
【深入思考】
（2）点E恰好落在边上．
①请在图②中用无刻度的直尺和圆规作出折痕；（不写作法，保留作图痕迹）
②如图③，过点E作交于点F，连接．请根据题意，补全图③并证明四边形是菱形；
③在②的条件下，当时，菱形的边长为___________，的长为_______．
【拓展提升】
（3）如图④，若，连接．当是以为腰的等腰三角形时，求的长．
【答案】（1）①；②2；（2）①见解析；②见解析；③；；（3）的长为或．
【分析】（1）①根据折叠的性质直接计算即可；
②根据折叠可知，，，，根据勾股定理求出，根据勾股定理得出，求出结果即可；
（2）①连接，作的垂直平分线交于点P，交于点Q，则即为所求；
②先证明四边形为平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可得出答案；
③根据勾股定理列出方程求解即可；
（3）分两种情况：当时，当时，过点D作于点F，根据勾股定理和三角形全等的判定和性质，分别求出结果即可．
【详解】解：（1）①根据折叠可知，，
∵，
∴；
故答案为：；
②根据折叠可知，，，，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
∴；
故答案为：2；
（3）①连接，作的垂直平分线交于点P，交于点Q，则即为所求；如图所示：
②∵，
∴，
由折叠可知，，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形；
③由折叠可知，，
∵，
∴，
在中，，
即，
解得：，
∴菱形的边长为；
由折叠可知，，
∵，
∴，
在中，，
即，
解得：；
故答案为：；；
（3）由折叠可知，，设，则，，
当时，在中，，
解得：，
∴此时；
当时，过点D作于点F，如图所示：
∴，
由折叠可知，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴此时；
综上分析可知，的长为或．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠性质，勾股定理，菱形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，余角的性质，垂直平分线的性质，尺规作线段的垂直平分线，解题的关键是熟练掌握相关性质，作出图形，数形结合，并注意分类讨论．
2．（2022春·广东广州·八年级校联考期中）在正方形中，点是边上任意一点．连接，过点作于．交于．
(1)如图1，过点作于，求证：；
(2)如图2，点为的中点，连接，求证：；
(3)如图3，，连接，点为的中点，在点从点运动到点的过程中，点随之运动，请直接写出点运动的路径长．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)
【分析】（1）由正方形的性质得，，再证，然后由证即可；
（2）过点作于，交的延长线于，先证，得，再证，得，，则四边形是正方形，得，则，进而得出结论；
（3）取的中点，连接，延长交于，过点作于，于，设，由（2）得，则，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后由等腰三角形的性质得，，则，证出，最后证点在线段上运动，由等腰直角三角形的性质得，即可求解．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，，
，，
，
，，
，
在和中，
，
；
（2）证明：过点作于，交的延长线于，如图2所示：
四边形是正方形，
，，
，
，
，，
，
在和中，
，
∴，
，
点为的中点，
，
，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
在和中，
，
∴，
，，
四边形是正方形，
，
，
；
（3）解：如图3，取的中点，连接，延长交于，过点作于，于，
设，
由（2）得：，
，
，点为的中点，
，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，，，
，，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
点在线段上运动，是等腰直角三角形，
，
点的运动的路径长为．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明和是解题的关键，属于中考常考题型．
3．（2022春·江苏南通·八年级校考期中）【探究与证明】
在正方形中，G是射线上一动点（不与点A，C重合），连接，作，且使，连接、．
(1)如图1，若点G在上，则：
①图中与全等的三角形是 ；
②线段，，之间的数量关系是 ；
(2)如图2，若G在的延长线上，那么线段，，之间有怎样的数量关系？写出结论，并给出证明．
【答案】(1)①；②
(2)，证明见解析
【分析】（1）①由正方形的性质得，，，,再证，然后由证 即可；②由全等三角形的性质得，，得，然后由勾股定理得，即可得出结论；
（2）证，得，，再证，然后由勾股定理即可解决问题．
【详解】（1）解：①图中与全等的三角形是，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
即，
又∵，
∴，
故答案为：；
②，理由如下：
由①可知，，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
故答案为：；
（2）解：，证明如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
即，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
【压轴题型八 四边形中的动点类压轴题】
1．（2022秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，已知在正方形中，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接．
(1)求的长；
(2)探究：的值是不是定值？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由．
【答案】(1)2；
(2)是，2．
【分析】（1）利用勾股定理求斜边即可解题；
（2）过E作于M点，过E作于N点，即可得到，然后判断，得到，则有即可， 然后证出得到，得出即可．
【详解】（1）解：∵是正方形，
∴，，
∴，
（2）解：的值为定值，理由如下：
如图所示，过E作于M点，过E作于N点，
∵正方形，
∴，
∴，，
∴四边形为正方形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴， 又，
在和中，
，
∴，
∴，
∴矩形为正方形，
∴，
∵四边形是正方形，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴是定值．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，三角形的全等的性质和判定，勾股定理的综合运用，解本题的关键是作出辅助线，构造三角形全等，利用全等三角形的对应边相等得出结论．
2．（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）如图1，中，，点为中点，点为上一点，连结．已知．动点从点出发，以1个单位/秒的速度沿线段向终点运动，设点运动的时间为（秒）．
(1)求证：．
(2)若为等腰三角形时，求的值．
(3)如图2，动点出发的同时，另有一点从点出发沿线段向终点运动，速度为个单位/秒，连结，将线段绕点分别向顺时针和逆时针方向旋转，得到线段和，当三点共线时，直接写出的值为______．
【答案】(1)证明见详解；
(2)的值为或；
(3)；
【分析】（1）设，，，则，再利用勾股定理的逆定理证明即可；
（2）如图1中，，取得中点，连接，分两种情况：，，分别求解即可；
（3）如图2中，过点作于点，过点作交的延长线于点，证得，由此构建方程求解即可．
【详解】（1）证明：设，，，
则，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴；
（2）如图1中，取得中点，连接，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，，
∴，
当时，，
∴，
当时，，
∵点在上运动，
∴不可能，
综上所述，满足条件的的值为或；
（3）如图2中，过点作于点，过点作交的延长线于点，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴（），
∴，，
同理可证，
∴，，
∴，
∵，，
∴（），
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
3．（2022秋·山东济南·九年级校考阶段练习）在正方形中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线，上移动．
(1)如图1，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接和交于点P，请写出与的关系，并说明理由；
(2)如图2，当点E，F分别移动到边，的延长线上时，连接和，（1）中的结论还成立吗？（请直接回答“成立”或“不成立”，无需证明）
(3)如图3，当E，F分别在，的延长线上移动时，连接和，（1）的结论还成立吗？请说明理由．
【答案】(1)，理由见解析
(2)成立
(3)成立，理由见解析
【分析】（1）动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线，上移动，所以，再由正方形的性质可得，，证得，即可求得结果；
（2）同（1）；
（3）由题得，再由正方形的性质可得，，所以和的邻补角也相等，即可证得，最终证得（1）中结论．
【详解】（1）解：，理由如下：
由题可得，
正方形，
，，
在和中，
，
（SAS），
；
（2）解：成立，理由如下：
由题可得，
正方形，
，，
在和中，
，
（SAS），
；
（3）解：成立，理由如下：
由题可得，
正方形，
，，
，
在和中，
，
（SAS），
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，解决问题的关键是由题干条件得出．
【压轴题型九 四边形中的最值类压轴题】
1．（2022秋·广东深圳·八年级统考期末）如图，在长方形中，，，，，，点P在边上，且不与点B、C重合，直线与的延长线交于点E．
(1)当点P是的中点时，求证：；
(2)将沿直线折叠得到，点落在长方形的内部，延长交直线于点F．
①证明，并求出在（1）条件下的值；
②连接，直接写出周长的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)①证明见解析，；②周长的最小值为12
【分析】（1）根据长方形的性质得，可得，利用即可得出结论；
（2）①根据平行线的性质和折叠的性质得出，等角对等边即可得，设，则，，在中，由勾股定理得，即；
②可得的周长，当点恰好位于对角线上时，最小，在中，由勾股定理得，则的最小值，即可得周长的最小值．
【详解】（1）证明：在长方形中，
，，
点P是的中点，
，
；
（2）解：①在长方形中，，
，
由折叠得，
，
，
在长方形中，，，
，
点P是的中点，
，
由折叠得，，，
设，则，
，
在中，，
，
解得，即；
②由折叠得，，
的周长，
连接，，
，
当点恰好位于对角线上时，最小，
在中，，，
，
′的最小值，
∴周长的最小值．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握折叠是一种轴对称，折叠前后的图形对应角相等、对应边相等，灵活运用相关的性质是解题的关键．
2．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）（1）如图1，在等腰中，，，D是边的中点，E是边上一动点，则的最小值是______．
（2）如图2，在正中，，P、M、N分别是上的动点，
①的最小值为______；②求的最小值．
（3）如图3，正方形的边长为4，E、F分别是边和上的动点且始终满足，连结，求的最小值．
【答案】（1）；（2）①；②6；（3）
【分析】（1）作点C关于的对称点，连接交于，此时的最小值为的长，再利用勾股定理求出的长，即可；
（2）①作点P关于的对称点，连接，此时的最小值为的最小值，根据对称性可得，然后作于H，可得的最小值为的长， 再利用勾股定理求出的长，即可；②分别作点N关于的对称点，作于点H，根据对称性可得，然后根据等边三角形和直角三角形的性质，求出的长，即可；
（3）连接，作点D关于点A的对称点，连接交于点，先证明，可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：（1）作点C关于的对称点，连接交于，此时的最小值为的长，
由对称性知，，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴的最小值为，
故答案为：；
（2）①作点P关于的对称点，连接，此时的最小值为的最小值，
由对称性知，
，
∴，
作于H，
∴的最小值为的长，
∵，
∴，
故答案为∶；
②如图，分别作点N关于的对称点，作于点H，
由对称得：，，
∴，
即当取得最小值时，点N与点H重合共线，
此时，
设与交于点F，
在正中，，
∴，
∴，
此时，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值为6；
（3）如图，连接，作点D关于点A的对称点，连接交于点，
在正方形中，，
，
，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了轴对称——最短路线问题，等边三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟悉将军饮马基本模型是解决问题的关键．
3．（2022春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考阶段练习）在数学中，我们会用“截长补短”的方法来解决几条线段之间的和差问题．请看这个例题：如图1，在四边形中，，，若，求四边形的面积．
解：延长线段到E，使得，连接，我们可以证明，根据全等三角形的性质得，，则，得，这样，四边形的面积就转化为等腰直角三角形面积．
(1)根据上面的思路，我们可以求得四边形的面积为 cm2．
(2)如图2，在中，，且，求线段的最小值．
(3)如图3，在平行四边形中，对角线与相交于O，且；，则是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出的最小值及此时平行四边形的面积．
【答案】(1)12.5
(2)
(3)不是，，
【分析】（1）根据题意，可以计算出等腰直角三角形的面积，从而可以得到四边形的面积；
（2）由勾股定理可得，由配方法可求解；
（3）由平行四边形的性质可得，，由勾股定理可求，由配方法可求的最小值，即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得，，，
则的面积，
即四边形的面积为，
故答案为：12.5；
（2）解：，
，
，
，
当时，取最小值，最小值为2；
（3）解：如图，过点B作于H，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
当时，有最小值，即的最小值为，
此时：，，
是等边三角形，
．
综上可知，不是定值，的最小值为，此时平行四边形的面积为．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质，灵活运用这些性质是解题的关键．
【压轴题型十 与三角形中位线有关的求解压轴题】
1．（2023春·四川成都·八年级成都铁路中学校考期中）已知，如图1，中，，D，E分别是线段，的中点，且满足，，P为边上一动点，连接，以为一边在右侧作，使，且，连接并延长交直线于点H．
(1)求证：；
(2)若，判断线段与线段的数量关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，延长交于点G，若，当为直角三角形时，求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)；理由见解析
(3)的长为或
【分析】（1）根据证明即可；
（2）连接，根据直角三角形性质得出，根据，得出，根据平行线的性质得出，证明，得出，即可证明结论；
（3）分两种情况，当点Q与点N重合时，为直角三角形，当时，分别画出图形，求出的长即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵D，E分别是线段，的中点，
∴，，，
∴，，
∵，，，
∴，
，
∴，
在和中，
∴．
（2）解：；理由如下：
连接，如图所示：
∵，，E为的中点，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：设与的交点为N，
∵，，
∴，
当点Q与点N重合时，为直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∵D为的中点，，
∴，
∵，，
∴，
；
当时，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∴，
综上分析可知，的长为或．
【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握这些基本的性质，数形结合，并注意分类讨论．
2．（2023·吉林长春·校考二模）【提出问题】兴趣小组活动中老师提出了如下问题：如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使得，，再连接（或将绕点D逆时针旋转180°得到），把集中在中，利用三角形的三边关系可得，则．
【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”，把一条过中点的线段延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法．
【解决问题】如图②，在中，点D是边的中点，点E在边上，过点D作，交边于点F，连接．
(1)求证：．
(2)若，则线段之间的等量关系为 ．
(3)【应用拓展】如图③，在中，，点D为边的中点，点E和点F分别在边上，点M为线段的中点．若，，则的长为 ．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）延长到点G，使得，连接，根据证得，可得结论；
（2）延长到点G，使得，连接，由（1）得，，则，，即，利用勾股定理解题即可；
（3）如图，延长到点G，使得，连接，由（1）得，则，，即，可求出，利用中位线解得．
【详解】（1）解：如图，延长到点G，使得，连接，
∵，
∴，
∵D是的中点，
∴
又∵，
∴，
∴，
在中
∵，
∴；
（2）解：如图，延长到点G，使得，连接，
∵，
∴
由（1）得，，
∴，，
∴
在中，
∵，
∴，
故答案为：；
（3）如图，如图，延长到点G，使得，连接，
∵，
∴
由（1）得，
∴，，
∴，
在中，
∵，
∵M，D是的中点，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查倍长中线问题，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，勾股定理，三角形的中位线，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，并用类比的方法解决问题．
3．（2023春·江苏·八年级姜堰区实验初中校考周测）（1）[方法回顾]课本上“三角形中位线定理”的证明．
已知：如图1，在中，点D、E分别是边的中点． 求证：， ．
证明：如图1，延长到点F，使得，连接；请继续完成证明过程：
（2）[问题解决]
如图2，，E为的中点，G、F分别为射线上的点，，线段有怎样的数量关系？请说明理由．
（3）[思维拓展]
如图3，在四边形中，，，，E为的中点，G、F分别为边上的点，H是的中点，若，，的长为 ．
【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）
【分析】（1）利用证明，得到，再得四边形是平行四边形，最后得到，；
（2）过延长交的延长线于点H，得到三角形全等，据此即可求解；
（3）延长至点M，使得，得三角形全等，和特殊的直角三角形，再求．
【详解】证明：（1）∵点D和点E分别是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴．
∴，；
（2），理由如下，
延长交的延长线于点H，
则：，，
∵点E是的中点，
∴，
∴，
∴，，
又∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴；
（3）延长至点M，使得，连接，过点M作，交的延长线于点N，
同理可证，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵H是的中点，，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，三角形中位线定理．本题主要要求同学们掌握常见辅助线作法“倍长中线法”的解题技巧．
【压轴题型十一 一次函数的图象与性质压轴题】51．（2023春·四川宜宾·八年级四川省宜宾市第二中学校校考期中）如图1，直线交x轴于点B，交y轴于点C．点A在x轴负半轴上且A点坐标为．
(1)求直线的解析式；
(2)如图2，点P坐标为，过点P的直线把的面积分为，交另一边于点E，求点E的坐标；
(3)如图3，已知点，点M为线段上一动点，点N为直线上一动点，当三角形为等腰直角三角形时，求M点的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】（1）先求得点C坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）分点E在边上和点E在边上两种情况，根据题意和三角形的面积公式、坐标与图形求解即可；
（3）设，，且，根据题意，分时、时、时三种情况，分别画出图形，利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质列方程组求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得，，
设直线的解析式为，
将、代入，得，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：∵，，
∴，则；
根据题意，分两种情况：
当点E在边上时，设，且，
∵点P坐标为，过点P的直线把的面积分为，
∴或，
解得或（舍去），
∴；
点E在边上时，设，且，
则或，
解得或（舍去），
∴，
综上，满足条件的点E坐标为或；
（3）解：根据题意，设，，且，
∵三角形为等腰直角三角形，点，
∴分三种情况：
若时，如图，过M作y轴的平行线，交x轴于点P，过N作x轴的平行线，交延长线于H，则，
∵，，
∴，又，
∴，
∴，，
则，，
解得，，则；
若时，如图，过N作x轴的平行线，过M作于P，过Q作于H，则，，
同理，证明，
∴，，
则，，
解得，，则；
若时，如图，过M作轴于P，过N作轴于H，则，，
同理，证明，
∴，，
则，，
解得：，，不满足，舍去，
综上，满足条件的M的坐标为或．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式、坐标与图形、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、解二元一次方程组等知识，理解题意，综合运用相关联知识，注意分类讨论思想的运用是解答的关键．
2．（2023春·北京·八年级校联考期中）已知点E和图形G，Q为图形G上一点，若存在点P，使得点E为线段的中点（P，Q不重合），则称点P为图形G关于点E的双倍点．
如图，在平面直角坐标系中，点，，，．
(1)若点E的坐标为，则在，，，是四边形关于点E的双倍点的是______；
(2)点N的坐标为，若在二四象限角平分线上存在四边形关于点N的双倍点，直接写出t的取值范围；
(3)点M为四边形边上的一个动点，平行于二、四象限角平分线的直线交x轴于点，与y轴交于点，若线段上的所有点均可成为四边形关于M的双倍点，直接写出b的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据双倍点的概念求解即可；
（2）设上的点的坐标为，四边形上的点的坐标为，根据题意得到，，解得，然后利用和四边形上点的坐标得到，然后代入即可求出t的取值范围；
（3）根据题意画出图象，由图象求解即可．
【详解】（1）如图所示，
∵，，
∴，
∵点，E，C三点在一条直线上，
∴点E为线段的中点，
∴点是四边形关于点E的双倍点；
∵，，
∴，
∵点，E，D三点在一条直线上，
∴点E为线段的中点，
∴点是四边形关于点E的双倍点，
综上所述，四边形关于点E的双倍点的是，，
故答案为：，；
（2）设上的点的坐标为，四边形上的点的坐标为，
∵在二四象限角平分线上存在四边形关于点N的双倍点，
∴，，
∴解得，
①＋②得，，
∵点在上，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴解得；
（3）如图所示，
由图象可得，当时，直线表达式为，
当时，直线经过点
此时点B和点刚好关于点M对称，点M的坐标为，
∴b的取值范围是．
【点睛】本题考查的是坐标与图形，中点坐标公式的应用，新定义的理解，利用数形结合是解决这种新定义问题的关键．
3．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A、B．另一条直线与直线交于点，与x轴交于点，点P是直线上一点（不与点C重合）．
(1)求a的值．
(2)当的面积为18时，求点P的坐标．
(3)若直线在平面直角坐标系内运动，且始终与平行，直线交直线于点M，交y轴于点N，当时，求的面积．
【答案】(1)5
(2)P的坐标为或
(3)
【分析】（1）将代入，从而可得答案；
（2）设直线解析式为，求解直线解析式为，及，可得，P不能在线段上，设，再分两种情况讨论：当P在D下面时，如图：当P在C上方时，如图，再利用三角形的面积公式列方程即可；
（3）过M作于H，如图：设，证明是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，可得，从而可得答案．
【详解】（1）解：将代入得：
，
解得，
∴a的值是5；
（2）设直线解析式为，将，代入得：
，
解得，
∴直线解析式为，
在中，令得，
∴，
∴，
∴，
∴P不能在线段上，
设，
当P在D下面时，如图：
∵，，
∴，
∴，
解得，
∴；
当P在C上方时，如图：
∵，，
∴，
∴，
解得，
∴；
综上所述，P的坐标为或；
（3）过M作于H，如图：
设，
在中，令得，
∴，
∵，
∴ ，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵，，
∴，
解得，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，坐标与图形面积，等腰直角三角形的判定与性质，清晰的分类讨论是解本题的关键．
【压轴题型十二 一次函数的几何压轴题】
1．（2023春·北京东城·八年级北京二中校考期中）在平面直角坐标系xOy中，中心为点C的正方形各边分别与两坐标轴垂直，若点P是与C不重合的点，点P关于正方形的“限称点”的定义如下：设为直线CP与正方形的边的一个交点，另一个交点为M，若满足，则称为点P关于正方形的“限称点”．如图，为点P关于正方形的“限称点”的示意图．规定：若点P与点C重合，则点P的“限称点”存在．
(1)若正方形的中心为原点O，边长为2．
①分别判断点、、关于该正方形的“限称点”是否存在，若存在，求其坐标；
②若平面内一动点关于该正方形的“限称点”存在，求n的取值范围；
(2)若正方形的中心T在x轴上，边长为2，记直线在之间的部分为图形K．若图形K上任意一点关于该正方形的“限称点”都存在，请你直接写出正方形中心T的横坐标的取值范围．
【答案】(1)①F有“限称点”，其坐标为；G有“限称点”，其坐标为；H没有“限称点”
②
(2)
【分析】（1）①根据“限称点”的定义，作出图形，观察图形，得出当点在正方形（正方形中心是原点）内部（包括正方形的边上）时，有“限制点”，拓此判定即可；
②由点在直线上，再求出直线与正方形，，根据点关于该正方形的“限称点”存在，得到点在上，即可得出，解之即可．
（2）如图，当中心为T，边长为4的正方形顶点A在直线上时，则，此时；当中心为T，边长为4的正方形顶点B在直线上时，则，此时，即可求解．
【详解】（1）解：①如图，
根据点P关于正方形的“限称点”的定义知：当点在正方形（正方形中心是原点）内部（包括正方形的边上）时，有“限制点”，
观察图可得，点，在边长为4的正方形内，
所以F有“限称点”，其坐标为，G有“限称点”，其坐标为；
在边长为4的正方形外，
所以H没有“限称点”；
②如图，
∵点在直线上，
设直线与正方形交于点D、E，
∴，，
∵点关于该正方形的“限称点”存在，
∴点在上，
∴
解得：．
（2）解：如图，
由（1）知，当中心为T，边长为4的正方形顶点A在直线上时，则，此时，
当中心为T，边长为4的正方形顶点B在直线上时，则，此时，
∴正方形中心T的横坐标的取值范围．
【点睛】本题考查新定义，正方形的性质，一次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考常考题型．
2．（2023春·北京海淀·八年级人大附中校考期中）在平面直角坐标系中，对于没有公共点的两个图形M、N给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，若P、Q两点间距离的最大值和最小值分别为和，则称比值为图形M和图形N的“距离关联值”，记为．已知顶点坐标为，，，．
(1)若E为边上任意一点，则的最大值为______，最小值为______，因此k（点O，）＝______；
(2)若为对角线上一点，为对角线上一点，其中．
①若，则k（线段，）______；
②若（线段，），求m的取值范围；
(3)若的对角线交点为O，且顶点在直线上，顶点在直线上，其中，请直接用含n的代数式表示．
【答案】(1)2，1，2
(2)①6；②或或或
(3)当且时，
【分析】（1）如图1，过作于，过作于，与轴交于，则四边形是正方形，由题意知，当与或重合时，最大，当与重合时，最小，求，，根据(点，) ，计算求解即可；
（2）①如图2，设直线的解析式为，则，解得，即，，由题意知，线段上的点与上的点的最大距离为，最小距离为，根据(线段，)定义求解即可；②将代入，解得，即，分当时；当时；当时；当时；表示出最大与最小距离，然后解一元一次不等式组求解满足要求的解即可；
（3）如图3，将代入，解得，即，由，可得，由（2）可知，将的边等同于线段时求的求解方法求解即可．
【详解】（1）解：如图1，过作于，过作于，与轴交于，则四边形是正方形，
由题意知，当与或重合时，最大，当与重合时，最小，
∴，，
∴最大为2，最小为1，
(点，) ，
故答案为：2，1，2；
（2）解：如图2，
设直线的解析式为，则，解得，
∴，
当，，
∴，
由题意知，线段上的点与上的点的最大距离为，最小距离为，
∴(线段，)，
故答案为：6；
②解：将代入，解得，即，
当时，由题意知，线段上的点与上的点的最大距离为，最小距离为，
∴(线段，)，
令，
解得，
∴；
当时，线段上的点与上的点的最大距离为，最小距离为，
∴(线段，)，
令，
解得，
∴；
当时，由题意知，线段上的点与上的点的最大距离为，最小距离为，
∴(线段，)，
令，
解得，
∴；
当时，线段上的点与上的点的最大距离为，最小距离为，
∴(线段，)，
令，
解得，
∴；
综上所述，或或或；
（3）解：如图3，
将代入，解得，即，
∵，
∴，
由（2）可知，当且时，上的点到上的点的最大距离为，最小距离为，
∴．
【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，平行四边形的性质，一次函数与平行四边形综合，勾股定理，解一元一次不等式组等知识．解题的关键在于理解题意．
3．（2023春·江苏苏州·八年级苏州市立达中学校校考期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，点C在x轴正半轴上，对角线交y轴于点M，边交y轴于点H．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿折线A—B—C向终点C运动．
(1)点B的坐标为______；
(2)设动点P的运动时间为t秒，连接，的面积为S，请用含t的式子表示S；
(3)当点P运动到线段上时，连接，若，求P的运动时间t的值．
【答案】(1)
(2)；
(3)P的运动时间t的值为秒．
【分析】（1）由点A坐标可得，由勾股定理可得，根据菱形的性质可得边长为10，据此即可求解；
（2）分两种情形：如图2-1中，当时，如图2-2中，当时，连分别求解即可；
（3）设，推出，求得，推出，得到是等腰直角三角形，据此即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：连接，
如图2-1中，当时，
∵，，
设直线的解析式为，
则有，解得，
∴直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
∴．
如图2-2中，当时，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述，；
（3）解：∵，，，
∴，
∵，
∴设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴P的运动时间t的值为秒．
【点睛】本题查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积、勾股定理等知识点，正确作出辅助线以及掌握分类讨论思想成为解答本题的关键．
【压轴题型十三 一次函数的应用压轴题】
1．（2023·浙江宁波·统考一模）甲开车从A地前往B地送货，同时，乙从C地出发骑车前往B地，C在A，B两地之间且距离A地15千米．甲到达B地后以相同的速度立马返回A地，在A地休息半小时后，又以相同的速度前往B地送第二批货，乙出发后4小时遇上送货的甲，乙让甲捎上自己（上下车时间忽略不计），甲载上乙后以原速前进．甲、乙两人距离B地的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．
(1)求甲第一次送货前往B地时，甲距离B地的路程y关于x的函数表达式．
(2)问在乙距离B地多远时，甲载上了乙？
(3)问乙比原计划早到多少时间？
【答案】(1)
(2)在乙距离地时，甲载上了乙
(3)乙比原计划早到小时
【分析】（1）根据函数图象可得A、B两地间的路程为千米，进而得出甲第一次到达地用时，得出甲第一次送货去地的函数图象经过，．进而待定系数法求解析式即可求解；
（2）甲第二次送货的函数图象经过，根据速度不变，设甲第二次送货的函数表达式为．待定系数法求解析式，当时，，即可求解；
（3）把代入，得．设乙的函数表达式为．待定系数法求解析式得出，令，得出，求得时间差即可求解．
【详解】（1）由题意得，A、B两地间的路程为千米，
甲第一次到达地用时小时．
∴甲第一次送货去地的函数图象经过，．
设甲第一次送货去地的函数表达式为，
把代入，得，
解得，
∴关于的函数表达式为．
（2）甲第二次送货的函数图象经过，
∵甲送货的速度不变，
∴设甲第二次送货的函数表达式为．
把代入，得，
解得，
∴甲第二次送货的函数表达式为．当时，，
答：在乙距离地时，甲载上了乙．
（3）把代入，得，解得．
∵乙的图象经过点，
∴设乙的函数表达式为．
把代入，得，
解得：
∴
令，即
解得．
∴乙比原计划早到时间为（小时）．
答：乙比原计划早到小时．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意求得函数解析式是解题的关键．
2．（2023春·浙江温州·八年级期中）根据以下素材，完成探索任务．
【答案】任务一，该车进入隧道时的速度为；任务二，；任务三，该车超速．
【分析】任务一，设当该车进入隧道时的速度为v，根据题意列出一元一次方程，即可求解；
任务二，设，利用待定系数法求得，计算当时，即可求解；
任务三，设第二次闪光与第一次闪光的时间差为，对应的速度为，利用梯形面积公式求得的值，据此求解即可．
【详解】解：任务一，设当该车进入隧道时的速度为v，
由题意得，
解得；
任务二，设，
把代入，得，
解得，
∴，
∵90千米/小时，
∴当时，；
任务三，设第二次闪光与第一次闪光的时间差为，对应的速度为，
则，
由梯形面积得，
∴或98（舍去），
∴，
∴，
∴该车超速．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，理解“图形面积的数值与运动距离”以及“用距离差除以两次测速的时间差，算出这段路程的平均车速”是解题的关键．
3．（2023·广东深圳·深圳中学校联考二模）目标检测是一种计算机视觉技术，旨在检测汽车、建筑物和人类等目标．这些目标通常可以通过图像或视频来识别．在常规的目标检测任务中，如图1，一般使用边同轴平行的矩形框进行标示．
在平面直角坐标系中，针对目标图形，可以用其投影矩形来检测．图形的投影矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于轴，轴，图形的顶点在矩形的边上或内部，且矩形的面积最小．设矩形的较长的边与较短的边的比为，我们称常数为图形的投影比．如图2，矩形为的投影矩形，其投影比．
(1)如图3，点，，则投影比的值为______；
(2)如图4，若点，点且投影比，则点的坐标可能是______（填写序号）；
；；；．
(3)如图5，已知点，在函数（其中）的图象上有一点，若的投影比，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点的坐标为或
【分析】（1）过点作轴交轴于点，作轴交轴于点，则矩形为的投影矩形，由点得到，从而即可得到答案；
（2）先根据坐标作出图形，再根据投影比的定义即可求解；
（3）设出点的坐标，分和两种情况考虑，找出两种情况下的投影矩形，根据投影比的定义列出关于的方程，解方程即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，过点作轴交轴于点，作轴交轴于点，
则矩形为的投影矩形，
点，
，
投影比的值为，
故答案为：
（2）解：如图所示：
，
当点的坐标为时，此时投影比，
当点的坐标为时，此时投影比，
当点的坐标为时，此时投影比，
当点的坐标为时，此时投影比，
点的坐标可能是，，
故答案为：；
（3）解：点在函数（其中）的图象上，
设点坐标为，
当时，如图所示，
，
作投影矩形，
，
，
解得：，
；
当时，如图所示，
，
作投影矩形，
点坐标为，点坐标为，
，，
，
，
，
解得：，
点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了一次函数综合，一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，解题的关键是作出图形，找出投影矩形的长边和短边长，分情况考虑，利用数形结合的思想解决问题．
判断车辆是否因超速被罚款？
素材一
我国高速公路上的隧道通常限速80千米/小时，在隧道前会有一个提示牌及限速标志，在标识与隧道口之间的途中会有测速仪测速，且测速时有闪光．根据交规，若超速以上未达的，处以200元以内罚款．
素材二
在物体运动的速度v关于时间t的函数图象中，函数图象与横轴以及直线所围成的图形（如图的阴影部分）面积的数值等于物体从到这个时间段的运动距离．
素材三
测速仪安装是在车辆前进方向的路上，根据短时间的两次测速（均有闪光提示），测出两个时刻车辆和测速仪之间的距离，再用距离差除以两次测速的时间差，算出这段路程的平均车速．
素材四
速度1米/秒千米/小时，某车以108千米/小时的速度驶来，到达限速标志位置（隧道前500米）时开始匀减速，从开始减速到车头进入隧道用了20秒，其速度v关于时间t的函数图象如图所示，和是两次雷达测速的时间．
问题解决
任务一
求该车进入隧道时的速度？
任务二
当第一次闪光时，车速已经降到了90千米/小时，求时间．
任务三
到第二次闪光时，该车又前进了49米，此次该车是否会因超速而被罚款，请通过计算说明理由．
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