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人教A版 (2019)必修 第一册1.4.1 充分条件与必要条件学案设计
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这是一份人教A版 (2019)必修 第一册1.4.1 充分条件与必要条件学案设计，共45页。学案主要包含了即学即练1，即学即练2，考查意图等内容，欢迎下载使用。
知识点01：充分条件与必要条件
一般地,“若,则”为真命题,就说是的充分条件,是的必要条件.记作：
在逻辑推理中“”的几种说法
(1)“如果,那么”为真命题.
(2)是的充分条件.
(3)是的必要条件.
(4)的必要条件是.
(5)的充分条件是.
这五种说法表示的逻辑关系是一样的,说法不同而已.
知识点2：充分条件、必要条件与充要条件的概念
（1）若，则是的充分条件，是的必要条件；
（2）若且，则是的充分不必要条件；
（3）若且，则是的必要不充分条件；
（4） 若，则是的充要条件；
（5）若且，则是的既不充分也不必要条件.
【即学即练1】（23-24高二下·广东广州·阶段练习）若非空集合，则“或”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件
知识点3：从集合的角度理解充分与必要条件
若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则
（1）若，则是的充分条件；
（2）若，则是的必要条件；
（3）若，则是的充分不必要条件；
（4）若，则是的必要不充分条件；
（5）若，则是的充要条件；
（6）若且，则是的既不充分也不必要条件.
知识点4：充分性必要性高考高频考点结构
（1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序）
（2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序）
【即学即练2】（多选）（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）若不等式成立的必要条件是，则实数的取值可以是（ ）
A．B．C．0D．1
题型01判断命题的真假
【典例1】（23-24高一上·上海闵行·期中）下列命题中：
①关于x的方程是一元二次方程；
②空集是任意非空集合的真子集；
③如果，那么；
④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（ ）
A．①②③B．②③C．②③④D．①②④
【典例2】（23-24高一上·上海杨浦·阶段练习）下列命题中真命题的编号是
①是一元二次方程；②空集是任何集合的真子集；③互相包含的两个集合相等；④函数的图像与轴有一个交点；⑤若，则；⑥满足的集合有7个.
【变式1】（23-24高一上·广东·阶段练习）甲､乙､丙､丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测：
甲预测说：我不会获奖，丙获奖；
乙预测说：甲和丁中有一人获奖；
丙预测说：甲的猜测是对的；
丁预测说：获奖者在甲、乙、丙三人中．
成绩公布后表明，四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符；已知有两人获奖，则获奖者可能是（ ）．
A．甲和丁B．乙和丙
C．甲和丙D．乙和丁
【变式2】（多选）（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）下列命题中为真命题的有（ ）
A．所有的素数都是奇数.
B．的个位数字不等于2.
C．两个三角形相似的一个充要条件为三边成比例.
D．存在一个无理数，它的立方是有理数.
题型02充分条件、必要条件的判断
【典例1】（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【典例2】（23-24高一上·天津·期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
【典例3】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）在下列所示电路图中，下列说法正确的是 .（填序号）.
（1）如图①所示，开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件；
（2）如图②所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件；
（3）如图③所示，开关闭合是灯泡亮的充要条件；
（4）如图④所示，开关闭合是奵泡亮的必要不充分条件.
【变式1】（23-24高一上·湖北荆州·期末）“”是“” 的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式2】（23-24高一下·宁夏吴忠·开学考试）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【变式3】（23-24高一上·湖北·期中）设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式4】（23-24高三上·贵州贵阳·阶段练习）“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
题型03 根据充分性，必要性求参数
【典例1】（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（23-24高一上·全国·课后作业）已知，，若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是 ．
【典例3】（23-24高一下·安徽淮南·开学考试）已知全集为R，集合，．
(1)求；
(2)若，且“”是“”的必要不充分条件，求a的取值范围．
【典例4】（23-24高一上·江苏南京·期中）已知集合，.
（1）求集合；
（2）请在：①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.若是成立的___________条件，判断实数是否存在？
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
【变式1】（多选）（23-24高一上·陕西渭南·期末）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（ ）
A．B．C．D．1
【变式2】（23-24高一上·上海宝山·阶段练习）已知，.若是的充分非必要条件，则实数m的取值范围是 .
【变式3】（23-24高一上·云南德宏·期末）设集合，集合或．
(1)当时，求，；
(2)设命题，命题，若p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【变式4】（23-24高一上·安徽·阶段练习）已知，
(1)若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
题型04探索命题为真的充要条件
A夯实基础 B能力提升 C新定义题型
A夯实基础
一、单选题
1．（2024·天津·二模）已知，则“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（23-24高一上·广东东莞·期末）使“”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高一上·贵州黔西·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（ ）
A．或B．或
C．D．
6．（2024·贵州·模拟预测）设，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件D．必要不充分条件
7．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）二次函数有两个异号零点的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
8．（23-24高一上·福建泉州·期中）使得不等式“成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）设，是的充分不必要条件，则实数的值可以为（ ）
A．B．0C．3D．
10．（23-24高一上·甘肃庆阳·期中）已知：，：，若是的必要不充分条
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ．
3．（23-24高一上·江西赣州·期末）已知集合，．
(1)若，求；
(2)若______，求实数的取值范围．
请从①②③中选取一个作为条件补充到上面的横线处，解答相应问题．
①；②“”是“”充分不必要条件；③．
4．（23-24高一上·云南昭通·期中）已知命题方程没有实数根.
(1)若是假命题，求实数的取值集合；
(2)在（1）的条件下，已知非空集合，从①充分而不必要，②必要而不充分，这两个条件中任选一个条件补充到下面问题中的横线上，并解答.问题：是否存在实数，使得若是的______条件.若存在，求的取值范围.若不存在，请说明理由.
C新定义题型
1．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）如果对于任意实数，表示不超过的最大整数.例如，.那么“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
2．（23-24高一上·北京·阶段练习）小华同学学完集合的基本运算后，自己定义了如下集合运算：且，小华列举了如下命题：
①任意集合
②任意集合
③任意集合
④若，则
其中，所有正确命题的序号是 .
3．（23-24高一上·北京·期中）已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”.
(1)试判断集合是否为集合的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由）
(2)如果一个集合中含有三个元素，同时满足①，②，③为偶数.那么称该集合具有性质.对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质.
4．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）设集合.
（1）证明：属于的两个整数，其积也属于；
（2）判断32、33、34是否属于，并说明理由；
（3）写出“偶数属于”的一个充要条件并证明.课程标准
学习目标
①理解充分条件、必要条件、充分必要条件的意义与具体要求.
②会判断命题成立的充分、必要、充分必要条件.
1．能利用命题成立的充分、必要、充要条件对命题的形式进行判断.
2.能利用充分、必要条件求参数以及进行简单的证明.
第04讲 1.4充分条件与必要条件
知识点01：充分条件与必要条件
一般地,“若,则”为真命题,就说是的充分条件,是的必要条件.记作：
在逻辑推理中“”的几种说法
(1)“如果,那么”为真命题.
(2)是的充分条件.
(3)是的必要条件.
(4)的必要条件是.
(5)的充分条件是.
这五种说法表示的逻辑关系是一样的,说法不同而已.
知识点2：充分条件、必要条件与充要条件的概念
（1）若，则是的充分条件，是的必要条件；
（2）若且，则是的充分不必要条件；
（3）若且，则是的必要不充分条件；
（4） 若，则是的充要条件；
（5）若且，则是的既不充分也不必要条件.
【即学即练1】（23-24高二下·广东广州·阶段练习）若非空集合，则“或”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件
【答案】B
【分析】
根据集合之间的关系以及交运算中元素的特点，结合题意，即可判断充分性和必要性.
【详解】因为，故；
若，且，满足“或”，显然，故充分性不满足；
若，则，满足“或”，故必要性满足；
故“或”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
知识点3：从集合的角度理解充分与必要条件
若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则
（1）若，则是的充分条件；
（2）若，则是的必要条件；
（3）若，则是的充分不必要条件；
（4）若，则是的必要不充分条件；
（5）若，则是的充要条件；
（6）若且，则是的既不充分也不必要条件.
知识点4：充分性必要性高考高频考点结构
（1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序）
（2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序）
【即学即练2】（多选）（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）若不等式成立的必要条件是，则实数的取值可以是（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】ABC
【分析】化简得，由充分与必要条件判断的取值范围即可.
【详解】由得，因为不等式成立的必要条件是，所以，解得，符合题意的选项有：A，B，C.
故选：ABC
题型01判断命题的真假
【典例1】（23-24高一上·上海闵行·期中）下列命题中：
①关于x的方程是一元二次方程；
②空集是任意非空集合的真子集；
③如果，那么；
④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（ ）
A．①②③B．②③C．②③④D．①②④
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义、空集的性质，结合不等式的性质、有理数的性质逐一判断即可.
【详解】①：当时，方程变为，显然不是一元二次方程，因此本序号命题不是真命题；
②：因为空集是任何非空集合的真子集，所以本序号命题是真命题；
③：由显然能推出，所以本序号命题是真命题；
④：因为与的和是有理数，但是和都不是有理数，所以本序号命题不是真命题，
故选：B
【典例2】（23-24高一上·上海杨浦·阶段练习）下列命题中真命题的编号是
①是一元二次方程；②空集是任何集合的真子集；③互相包含的两个集合相等；④函数的图像与轴有一个交点；⑤若，则；⑥满足的集合有7个.
【答案】③④⑤
【分析】当时即可判断①，根据空集定义判断②，根据集合相等判断③，解方程判断④，利用不等式的性质判断⑤，求出集合，即可判断⑥.
【详解】对于①：当时方程是一元一次方程，故①错误；
对于②：空集是任何非空集合的真子集，故②错误；
对于③：互相包含的两个集合相等，故③正确；
对于④：令，解得，所以函数的图像与轴有一个交点，故④正确；
对于⑤：若则，所以，故⑤正确；
对于⑥：满足的集合有，，，
，，共个，故⑥错误；
故答案为：③④⑤
【变式1】（23-24高一上·广东·阶段练习）甲､乙､丙､丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测：
甲预测说：我不会获奖，丙获奖；
乙预测说：甲和丁中有一人获奖；
丙预测说：甲的猜测是对的；
丁预测说：获奖者在甲、乙、丙三人中．
成绩公布后表明，四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符；已知有两人获奖，则获奖者可能是（ ）．
A．甲和丁B．乙和丙
C．甲和丙D．乙和丁
【答案】C
【分析】根据四人的描述可知，甲和丙的说法要么同时成立，要么同时不成立；若同时成立则可知丁的说法也对，这不合题意；所以甲和丙的说法都不成立，据此分情况讨论即可得出结论.
【详解】由“甲预测说：我不会获奖，丙获奖”，而“丙预测说：甲的猜测是对的”．
所以甲和丙的说法要么同时与结果相符，要么同时与结果不符．
若甲和丙的说法要么同时与结果相符，则丁的说法也对，
这与“四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符已知有两人获奖，”相矛盾，故错误；
若甲和丙的说法与结果不符，则乙､丁的预测成立
所以甲获奖，丁不获奖；丙获奖､乙不获奖或者乙获奖､丙不获奖．
即获奖的两人为甲和丙，或者甲和乙.
故选：C
【变式2】（多选）（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）下列命题中为真命题的有（ ）
A．所有的素数都是奇数.
B．的个位数字不等于2.
C．两个三角形相似的一个充要条件为三边成比例.
D．存在一个无理数，它的立方是有理数.
【答案】BCD
【分析】逐个判断命题即可.
【详解】对于A：2也是素数，但2不是奇数，所以A错误；
对于B：，则的末位数只能是0，1，4，5，6，9，所以B正确；
对于C：“两个三角形相似”，则三边成比例，“若三角形的三边成比例”，则这两个三角形是相似三角形，所以C正确；
对于D：当时，为无理数，则为有理数，所以存在一个无理数，他的立方是有理数，所以D正确，
故选：BCD
题型02充分条件、必要条件的判断
【典例1】（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】解出绝对值不等式，根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可.
【详解】因为，所以或，
易得“”是“或”的充分不必要条件，
故选：A.
【典例2】（23-24高一上·天津·期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】先解不等式，再利用集合的包含关系判断.
【详解】由题易知的解集为，真包含于，
故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
【典例3】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）在下列所示电路图中，下列说法正确的是 .（填序号）.
（1）如图①所示，开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件；
（2）如图②所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件；
（3）如图③所示，开关闭合是灯泡亮的充要条件；
（4）如图④所示，开关闭合是奵泡亮的必要不充分条件.
【答案】（1）（2）（3）
【分析】
根据充分、必要条件的定义，结合图形依次判断即可求解.
【详解】（1）开关A闭合，灯泡B亮；灯泡B亮时，开关A不一定闭合.
所以开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件，故（1）正确；
（2）开关A闭合，灯泡B不一定亮；灯泡B亮时，开关A必须闭合.
所以开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件，故（2）正确；
（3）开关A闭合，灯泡B亮；灯泡B亮时，开关A必须闭合.
所以开关A闭合是灯泡B亮的充要条件，故（3）正确；
（4）开关A闭合，灯泡B不一定亮；灯泡B亮时，开关A不一定闭合.
所以开关A闭合是灯泡B亮的既不充分也不必要条件，故（4）错误.
故答案为：（1）（2）（3）
【变式1】（23-24高一上·湖北荆州·期末）“”是“” 的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件、必要条件概念直接判断即可.
【详解】将代入中，得，
所以“”是“”的充分条件；
由，得，即或，
∴“”不是“”的必要条件，
“”是“”的充分不必要条件.
故选：A．
【变式2】（23-24高一下·宁夏吴忠·开学考试）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用不等式的性质及二次不等式的解法即可得证.
【详解】先证：
因为，所以，，故，即，故；
再证：
因为，所以，即，故；
综上：“”是“”的充分必要条件.
故选：C
【变式3】（23-24高一上·湖北·期中）设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由可得，结合充分、必要条件的定义即可求解.
【详解】由可得，
由“”不能推出“”，
但由“”可以推出“”．
故“”是“”的必要而不充分条件．
故选：B.
【变式4】（23-24高三上·贵州贵阳·阶段练习）“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由可得或，结合充分、必要条件的定义即可求解.
【详解】由，所以或，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：B.
题型03 根据充分性，必要性求参数
【典例1】（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】将是的必要不充分条件转化为，然后根据集合间的包含关系列不等式求解即可.
【详解】设，，
因为是的必要不充分条件，所以，
所以，解得，
当时，，成立，
所以.
故选：A.
【典例2】（23-24高一上·全国·课后作业）已知，，若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由成立的一个充分不必要条件是，可得，再列不等式求解即可.
【详解】解：由题意，得，但，
∴，∴，即，
故答案为．
【点睛】本题考查了充要条件与集合间的包含关系、集合相等的充要条件,利用集合的包含关系求解参数的范围,重点考查了集合思想,属中档题.
【典例3】（23-24高一下·安徽淮南·开学考试）已知全集为R，集合，．
(1)求；
(2)若，且“”是“”的必要不充分条件，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用交集的定义求解．
（2）利用必要不充分条件的定义列出不等式组即可求解．
【详解】（1）∵，又，
∴．
（2）∵是的必要不充分条件，
∴，
∴（等号不同时成立），解得，
∴a的取值范围为．
【典例4】（23-24高一上·江苏南京·期中）已知集合，.
（1）求集合；
（2）请在：①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.若是成立的___________条件，判断实数是否存在？
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
【答案】（1），；（2）答案见解析.
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可得答案；
（2）选：①充分不必要条件，则集合是集合的真子集，再根据集合关系求解即可；
选：②必要不充分条件，则集合是集合的真子集，再根据集合关系求解即可；
选：③充要条件，则，再根据集合关系求解即可；
【详解】解：（1）不等式，故，
不等式，由于，
故
（2）选：①充分不必要条件
由（1）知，，
因为若是成立的充分不必要条件，
所以集合是集合的真子集；
所以，解得，
所以实数的取值范围为：
选：②必要不充分条件
由（1）知，，
因为若是成立的必要不充分条件，
所以集合是集合的真子集；
所以，解得，又因为，故
所以实数的取值范围为：；
选：③充要条件
由（1）知，，
因为若是成立的充要条件，所以，
所以，方程组无解.
所以不存在实数使得是成立的充要条件；
【变式1】（多选）（23-24高一上·陕西渭南·期末）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】AD
【分析】根据必要不充分条件列不等式，由此求得正确答案.
【详解】若“或”是“”的必要不充分条件，
则或，解得或，
所以AD选项符合，BC选项不符合.
故选：AD
【变式2】（23-24高一上·上海宝山·阶段练习）已知，.若是的充分非必要条件，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【点睛】由是的充分非必要条件，集合的包含关系列出不等式组，解之即可.
【详解】因为是的充分非必要条件，
所以是的真子集，
则（不同时取等号），解得，
所以实数m的取值范围是.
故答案为：.
【变式3】（23-24高一上·云南德宏·期末）设集合，集合或．
(1)当时，求，；
(2)设命题，命题，若p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)，或
(2)或，
【分析】（1）根据交集、并集的知识求得正确答案.
（2）根据充分不必要条件列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】（1）当时，；
所以，或．
（2）若是的充分不必要条件，则是的真子集；
∴或，解得：或，
所以，实数的取值范围是或，
【变式4】（23-24高一上·安徽·阶段练习）已知，
(1)若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将充分不必要条件转化为真子集关系即可求解，
（2）将必要不充分条件转化为真子集关系即可求解，
【详解】（1）由p是q的充分不必要条件，得集合是集合的真子集，
所以或
解得.
所以实数m的取值范围是.
（2）由p是q的必要不充分条件，得集合是集合的真子集，
当，则，即时，符合题意；
当，即时，
可得或，解得．
综上可得
题型04探索命题为真的充要条件
【典例1】（23-24高一上·上海黄浦·期中）“或”是“存在实数x使得不等式成立”的（ ）．
A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分非必条件
【答案】C
【分析】根据不等式有解得到，解得答案.
【详解】存在实数x使得不等式成立，则，
解得或.
故“或”是“存在实数x使得不等式成立”的充要条件.
故选：C.
【典例2】（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）“一元二次方程有实数根”的充要条件是 ．
【答案】或，
【分析】利用判别式即可求出实数的取值范围．
【详解】一元二次方程有实数根，应满足，
解得或，
所以实数的取值范围是或，
故答案为：或，
【典例3】（23-24高一上·云南昆明·期中）已知集合， ，请在①充分条件，②必要条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若问题（2）中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若是的________条件，判断实数是否存在？
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由集合运算得出集合关系，通过包含得出结果；
（2）分别将题目中给出的三个不同条件转化为集合之间的包含（或相等）关系，根据集合之间的包含（或相等）关系，得出结果.
【详解】（1）若，则，
则，解得，
所以实数的取值范围是．
（2）若选择条件，即是的充分条件，则，
所以，解得，
所以实数的取值范围是；
若选择条件，即是的必要条件，则，
所以，解得．
又，所以，
所以实数的取值范围是；
若选择条件，即是的充要条件，则，
所以，方程组无解，
所以不存在满足条件的实数．
【典例4】（23-24高二上·海南三亚·期中）已知命题，命题.
（1）若是的充分条件，求实数的取值范围.
（2）是否存在实数，使得是的充要条件？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）或；（2）不存在，理由见解析.
【分析】（1）由已知得，分为或两种情况来讨论，建立不等式（组），求解可得出实数的取值范围.
（2）由已知可得，根据集合相等建立不等式组可得结论.
【详解】（1）集合，集合.
因为是的充分条件，所以，
∴集合可以分为或两种情况来讨论：
当时，满足题意，此时，解得：；
当时，要使成立，
需满足，
综上所得，实数的取值范围.或
（2）假设存在实数，使得是的充要条件，那么，
则必有，解得，综合得无解.
故不存在实数，使得，
即不存在实数，使得是的充要条件.
【点睛】本题考查充分必要条件，集合间的关系，根据集合间的关系求参数的范围，属于中档题.
【变式1】（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）关于的方程有实数根的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由方程有实根，应用判别式求参数范围，结合充分、必要性定义判断充要条件.
【详解】由方程有实根，则，可得.
所以是题设方程有实根的充要条件.
故选：C
【变式2】（23-24高二上·陕西咸阳·期末）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】结合分式不等式的解法以及充分、必要条件的知识确定正确答案.
【详解】由得，
所以“”是“”的充要条件.
故选：C
【变式3】（23-24高一上·黑龙江鸡西·阶段练习）命题“”的一个充要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】解出的范围，再根据充要条件的定义即可得出答案.
【详解】，
，
解得：，
则为的充要条件，
故选：A.
【变式4】（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）设集合，命题，命题
(1)若是的充要条件，求正实数的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据是的充要条件转化为求解即可；
（2）根据是的充分不必要条件，得真包含于，列出不等式求解即可.
【详解】（1）由条件， 是的充要条件，
得，即，解得，
所以实数的取值范围是.
（2）由是的充分不必要条件，得真包含于，
所以，或，解得，
综上实数的取值范围是
题型05 易错题型：充分条件与必要条件（“是”，“的”）结构对比
【典例1】（23-24高二下·山东青岛·期中）若关于的不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用充分条件的定义求解.
【详解】解：由得：，
因为成立的充分条件是，
所以，即，
解得，
故选：D
【典例2】（2024高三·全国·专题练习）若关于x的不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求出不等式的解集，利用充分条件的定义，结合集合的包含关系列式求解即得.
【详解】依题意，，解不等式，得，
由不等式成立的充分条件是，得，
于是，解得，
所以实数a的取值范围是.
故选：D
【变式1】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知或，，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】令，，依题意可得，即可求出参数的取值范围.
【详解】因为或，，
令，，
因为是的充分不必要条件，所以，
所以.
故选：D
【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知不等式m－1【答案】
【详解】
解析：由题意得（，）⊆（m－1，m＋1），所以且等号不能同时成立，解得－≤m≤.
【考查意图】
已知充要关系求参数的取值范围．
A夯实基础 B能力提升 C新定义题型
A夯实基础
一、单选题
1．（2024·天津·二模）已知，则“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据题意可直接判断充分性，举例说明必要性不成立即可.
【详解】若，则，即充分性成立；
若，例如，满足条件，但不成立，即必要性不成立；
综上所述：“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
2．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由可得，根据充分、必要条件的定义，结合选项即可求解.
【详解】因为一元二次方程有实根，
所以，解得.
又是的真子集，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：A
3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由充分不必要条件的定义即可判断.
【详解】因为，所以p是q的充分不必要条件.
故选：A.
4．（23-24高一上·广东东莞·期末）使“”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用充分条件、必要条件的定义求解作答.
【详解】设，解得，
使“”成立的充分不必要条件只需要为集合的真子集，由选项可知A符合.
故选：A.
5．（23-24高一上·贵州黔西·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（ ）
A．或B．或
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，结合一元二次方程的的性质，列出不等式，即可求解.
【详解】由方程关于的方程有两个不相等的实数根，则满足，
解得或，即方程有两个不相等的实数根的充要条件是或.
故选：A.
6．（2024·贵州·模拟预测）设，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件D．必要不充分条件
【答案】D
【分析】由题意解绝对值不等式，再结合必要不充分条件的定义即可得解.
【详解】的解集为，所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：D.
7．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）二次函数有两个异号零点的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】计算出有两个异号零点时的取值范围，再根据真包含关系得到答案.
【详解】有两个异号零点，
需满足，解得，
A选项，是有两个异号零点的充要条件，A错误；
B选项，与无包含关系，不合要求，B错误；
C选项，是的真子集，满足要求；
D选项，是的真子集，故是充分不必要条件，D错误.
故选：C
8．（23-24高一上·福建泉州·期中）使得不等式“成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先求解出不等式解集，根据题意可知所选取的条件为不等式解集的真子集，由此作出选择即可.
【详解】由题意可得，
又因为，
所以的一个充分不必要条件可以是D选项，
故选：D.
二、多选题
9．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）设，是的充分不必要条件，则实数的值可以为（ ）
A．B．0C．3D．
【答案】ABD
【分析】根据是的充分不必要条件，得到是的真子集，再分情况讨论即可得到的可能取值.
【详解】因为的两个根为3和5，所以，
是的充分不必要条件，所以是的真子集，
所以或或，
当时，满足即可，
当时，满足，所以，
当，满足，所以，
所以的值可以是0，，.
故选：ABD.
10．（23-24高一上·甘肃庆阳·期中）已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数m的值可能是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】CD
【分析】根据题意可得：，且是的真子集，根据真子集关系分析可得，对比选项判断即可.
【详解】对于，因为，
则，解得，即：，
若是的必要不充分条件，则是的真子集，
则，结合选项可知AB错误，CD正确.
故选：CD.
三、填空题
11．（23-24高一上·上海·期末）若不等式 成立的一个充分不必要条件是 ，则实数 的取值范围为
【答案】
【分析】根据绝对值不等式的解法，结合充分不必要条件的性质进行求解即可.
【详解】由，
因为不等式 成立的一个充分不必要条件是 ，
所以有，等号不同时成立，解得.
故答案为：
12．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知，若是的一个必要不充分条件，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】化简条件，再结合必要不充分条件列出不等式即可求解.
【详解】由，得，
因为是的一个必要不充分条件，则不能推出，但能推出，
则，即.
故答案为：
四、解答题
13．（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）已知集合，或，．
(1)求；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出集合，再求出，最后由交集的运算求出；
（2）先求出，再求出，再由充分不必要条件构造关于的方程组，解出即可.
【详解】（1）因为，又，
所以.
（2）或，所以，
因为“”是“”的充分不必要条件，
则，又，
所以，解得，
即的取值范围是.
若选取②：由“”是“”的充分不必要条件，
可得，
则或，
解得，
即的取值范围是.
若选取③：因为，
所以或，解得或，
即的取值范围是或，
4．（23-24高一上·云南昭通·期中）已知命题方程没有实数根.
(1)若是假命题，求实数的取值集合；
(2)在（1）的条件下，已知非空集合，从①充分而不必要，②必要而不充分，这两个条件中任选一个条件补充到下面问题中的横线上，并解答.问题：是否存在实数，使得若是的______条件.若存在，求的取值范围.若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)选择条件，答案见解析.
【分析】（1）利用方程的判别式求出命题，进而求出集合.
（2）利用（1）的结论，再选择条件①②，借助集合的包含关系，列式求解即得.
【详解】（1）由方程没有实数根，得，解得，
由是假命题，则是真命题，
所以实数的取值集合.
（2）由（1）知，，由集合非空，得，解得，
选①，是的充分而不必要条件，则，于是或，无解，
所以不存在实数，使得是的充分而不必要条件.
选②，是的必要而不充分条件，则，于是或，而，解得，
所以存在实数，使得是的必要而不充分条件，的取值范围是.
C新定义题型
1．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）如果对于任意实数，表示不超过的最大整数.例如，
3．（23-24高一上·北京·期中）已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”.
(1)试判断集合是否为集合的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由）
(2)如果一个集合中含有三个元素，同时满足①，②，③为偶数.那么称该集合具有性质.对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质.
【答案】(1)是集合的“期待子集”，不是集合的“期待子集”
(2)证明见解析
【分析】（1）根据所给定义判断即可.
（2）先证明必要性，再证明充分性，结合所给“期待子集”的定义及性质的定义证明即可；
【详解】（1）因为，
对于集合，令，解得，显然，，
所以是集合的“期待子集”；
对于集合，令，则，
因为，即，故矛盾，所以不是集合的“期待子集”
（2）先证明必要性：
当集合是集合的“期待子集”时，由题意，存在互不相同的，使得，
不妨设，令，，，则，即条件中的①成立；
又，所以，即条件中的②成立；
因为，
所以为偶数，即条件中的③成立；
所以集合满足条件.
再证明充分性：
当集合满足条件时，有存在，满足①，②，③为偶数，
记，，，
由③得，由①得，由②得，
所以，
因为，，，所以，，均属于，
即集合是集合的“期待子集”
【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决.
4．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）设集合.
（1）证明：属于的两个整数，其积也属于；
（2）判断32、33、34是否属于，并说明理由；
（3）写出“偶数属于”的一个充要条件并证明.
【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析；（3）为偶数，证明见解析.
【分析】（1）设，，则对进行化简，观察其是否满足集合M的条件，进行判断即可；（2）用反证法进行判断即可；（3）证明充要条件时既要证充分性，又要证必要性.
【详解】（1）设集合中的元素，，所以
，
因为，所以，，所以有，，则，所以属于的两个整数，其积也属于.
（2）因为，所以；
假设，则，因为，所以与有相同奇偶性，因为33为奇数，所以与一个为奇数一个为偶数，则与有相同奇偶性相矛盾，所以不成立，所以；
假设，同上可得，因为，所以与有相同奇偶性，因为34为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，而34不是4的倍数，所以假设不成立，所以.
（3）“偶数属于”的一个充要条件是为偶数.
充分性：因为为偶数，设，所以，而，所以满足集合，所以偶数属于；
必要性：因为偶数属于，所以，因为，所以与有相同奇偶性，因为为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，必为4的倍数，即必为2的倍数，所以为偶数.课程标准
学习目标
①理解充分条件、必要条件、充分必要条件的意义与具体要求.
②会判断命题成立的充分、必要、充分必要条件.
1．能利用命题成立的充分、必要、充要条件对命题的形式进行判断.
2.能利用充分、必要条件求参数以及进行简单的证明.
知识点01：充分条件与必要条件
一般地,“若,则”为真命题,就说是的充分条件,是的必要条件.记作：
在逻辑推理中“”的几种说法
(1)“如果,那么”为真命题.
(2)是的充分条件.
(3)是的必要条件.
(4)的必要条件是.
(5)的充分条件是.
这五种说法表示的逻辑关系是一样的,说法不同而已.
知识点2：充分条件、必要条件与充要条件的概念
（1）若，则是的充分条件，是的必要条件；
（2）若且，则是的充分不必要条件；
（3）若且，则是的必要不充分条件；
（4） 若，则是的充要条件；
（5）若且，则是的既不充分也不必要条件.
【即学即练1】（23-24高二下·广东广州·阶段练习）若非空集合，则“或”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件
知识点3：从集合的角度理解充分与必要条件
若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则
（1）若，则是的充分条件；
（2）若，则是的必要条件；
（3）若，则是的充分不必要条件；
（4）若，则是的必要不充分条件；
（5）若，则是的充要条件；
（6）若且，则是的既不充分也不必要条件.
知识点4：充分性必要性高考高频考点结构
（1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序）
（2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序）
【即学即练2】（多选）（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）若不等式成立的必要条件是，则实数的取值可以是（ ）
A．B．C．0D．1
题型01判断命题的真假
【典例1】（23-24高一上·上海闵行·期中）下列命题中：
①关于x的方程是一元二次方程；
②空集是任意非空集合的真子集；
③如果，那么；
④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（ ）
A．①②③B．②③C．②③④D．①②④
【典例2】（23-24高一上·上海杨浦·阶段练习）下列命题中真命题的编号是
①是一元二次方程；②空集是任何集合的真子集；③互相包含的两个集合相等；④函数的图像与轴有一个交点；⑤若，则；⑥满足的集合有7个.
【变式1】（23-24高一上·广东·阶段练习）甲､乙､丙､丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测：
甲预测说：我不会获奖，丙获奖；
乙预测说：甲和丁中有一人获奖；
丙预测说：甲的猜测是对的；
丁预测说：获奖者在甲、乙、丙三人中．
成绩公布后表明，四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符；已知有两人获奖，则获奖者可能是（ ）．
A．甲和丁B．乙和丙
C．甲和丙D．乙和丁
【变式2】（多选）（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）下列命题中为真命题的有（ ）
A．所有的素数都是奇数.
B．的个位数字不等于2.
C．两个三角形相似的一个充要条件为三边成比例.
D．存在一个无理数，它的立方是有理数.
题型02充分条件、必要条件的判断
【典例1】（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【典例2】（23-24高一上·天津·期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
【典例3】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）在下列所示电路图中，下列说法正确的是 .（填序号）.
（1）如图①所示，开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件；
（2）如图②所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件；
（3）如图③所示，开关闭合是灯泡亮的充要条件；
（4）如图④所示，开关闭合是奵泡亮的必要不充分条件.
【变式1】（23-24高一上·湖北荆州·期末）“”是“” 的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式2】（23-24高一下·宁夏吴忠·开学考试）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【变式3】（23-24高一上·湖北·期中）设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式4】（23-24高三上·贵州贵阳·阶段练习）“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
题型03 根据充分性，必要性求参数
【典例1】（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（23-24高一上·全国·课后作业）已知，，若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是 ．
【典例3】（23-24高一下·安徽淮南·开学考试）已知全集为R，集合，．
(1)求；
(2)若，且“”是“”的必要不充分条件，求a的取值范围．
【典例4】（23-24高一上·江苏南京·期中）已知集合，.
（1）求集合；
（2）请在：①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.若是成立的___________条件，判断实数是否存在？
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
【变式1】（多选）（23-24高一上·陕西渭南·期末）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（ ）
A．B．C．D．1
【变式2】（23-24高一上·上海宝山·阶段练习）已知，.若是的充分非必要条件，则实数m的取值范围是 .
【变式3】（23-24高一上·云南德宏·期末）设集合，集合或．
(1)当时，求，；
(2)设命题，命题，若p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【变式4】（23-24高一上·安徽·阶段练习）已知，
(1)若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
题型04探索命题为真的充要条件
A夯实基础 B能力提升 C新定义题型
A夯实基础
一、单选题
1．（2024·天津·二模）已知，则“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（23-24高一上·广东东莞·期末）使“”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高一上·贵州黔西·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（ ）
A．或B．或
C．D．
6．（2024·贵州·模拟预测）设，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件D．必要不充分条件
7．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）二次函数有两个异号零点的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
8．（23-24高一上·福建泉州·期中）使得不等式“成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）设，是的充分不必要条件，则实数的值可以为（ ）
A．B．0C．3D．
10．（23-24高一上·甘肃庆阳·期中）已知：，：，若是的必要不充分条
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ．
3．（23-24高一上·江西赣州·期末）已知集合，．
(1)若，求；
(2)若______，求实数的取值范围．
请从①②③中选取一个作为条件补充到上面的横线处，解答相应问题．
①；②“”是“”充分不必要条件；③．
4．（23-24高一上·云南昭通·期中）已知命题方程没有实数根.
(1)若是假命题，求实数的取值集合；
(2)在（1）的条件下，已知非空集合，从①充分而不必要，②必要而不充分，这两个条件中任选一个条件补充到下面问题中的横线上，并解答.问题：是否存在实数，使得若是的______条件.若存在，求的取值范围.若不存在，请说明理由.
C新定义题型
1．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）如果对于任意实数，表示不超过的最大整数.例如，.那么“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
2．（23-24高一上·北京·阶段练习）小华同学学完集合的基本运算后，自己定义了如下集合运算：且，小华列举了如下命题：
①任意集合
②任意集合
③任意集合
④若，则
其中，所有正确命题的序号是 .
3．（23-24高一上·北京·期中）已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”.
(1)试判断集合是否为集合的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由）
(2)如果一个集合中含有三个元素，同时满足①，②，③为偶数.那么称该集合具有性质.对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质.
4．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）设集合.
（1）证明：属于的两个整数，其积也属于；
（2）判断32、33、34是否属于，并说明理由；
（3）写出“偶数属于”的一个充要条件并证明.课程标准
学习目标
①理解充分条件、必要条件、充分必要条件的意义与具体要求.
②会判断命题成立的充分、必要、充分必要条件.
1．能利用命题成立的充分、必要、充要条件对命题的形式进行判断.
2.能利用充分、必要条件求参数以及进行简单的证明.
第04讲 1.4充分条件与必要条件
知识点01：充分条件与必要条件
一般地,“若,则”为真命题,就说是的充分条件,是的必要条件.记作：
在逻辑推理中“”的几种说法
(1)“如果,那么”为真命题.
(2)是的充分条件.
(3)是的必要条件.
(4)的必要条件是.
(5)的充分条件是.
这五种说法表示的逻辑关系是一样的,说法不同而已.
知识点2：充分条件、必要条件与充要条件的概念
（1）若，则是的充分条件，是的必要条件；
（2）若且，则是的充分不必要条件；
（3）若且，则是的必要不充分条件；
（4） 若，则是的充要条件；
（5）若且，则是的既不充分也不必要条件.
【即学即练1】（23-24高二下·广东广州·阶段练习）若非空集合，则“或”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件
【答案】B
【分析】
根据集合之间的关系以及交运算中元素的特点，结合题意，即可判断充分性和必要性.
【详解】因为，故；
若，且，满足“或”，显然，故充分性不满足；
若，则，满足“或”，故必要性满足；
故“或”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
知识点3：从集合的角度理解充分与必要条件
若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则
（1）若，则是的充分条件；
（2）若，则是的必要条件；
（3）若，则是的充分不必要条件；
（4）若，则是的必要不充分条件；
（5）若，则是的充要条件；
（6）若且，则是的既不充分也不必要条件.
知识点4：充分性必要性高考高频考点结构
（1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序）
（2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序）
【即学即练2】（多选）（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）若不等式成立的必要条件是，则实数的取值可以是（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】ABC
【分析】化简得，由充分与必要条件判断的取值范围即可.
【详解】由得，因为不等式成立的必要条件是，所以，解得，符合题意的选项有：A，B，C.
故选：ABC
题型01判断命题的真假
【典例1】（23-24高一上·上海闵行·期中）下列命题中：
①关于x的方程是一元二次方程；
②空集是任意非空集合的真子集；
③如果，那么；
④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（ ）
A．①②③B．②③C．②③④D．①②④
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义、空集的性质，结合不等式的性质、有理数的性质逐一判断即可.
【详解】①：当时，方程变为，显然不是一元二次方程，因此本序号命题不是真命题；
②：因为空集是任何非空集合的真子集，所以本序号命题是真命题；
③：由显然能推出，所以本序号命题是真命题；
④：因为与的和是有理数，但是和都不是有理数，所以本序号命题不是真命题，
故选：B
【典例2】（23-24高一上·上海杨浦·阶段练习）下列命题中真命题的编号是
①是一元二次方程；②空集是任何集合的真子集；③互相包含的两个集合相等；④函数的图像与轴有一个交点；⑤若，则；⑥满足的集合有7个.
【答案】③④⑤
【分析】当时即可判断①，根据空集定义判断②，根据集合相等判断③，解方程判断④，利用不等式的性质判断⑤，求出集合，即可判断⑥.
【详解】对于①：当时方程是一元一次方程，故①错误；
对于②：空集是任何非空集合的真子集，故②错误；
对于③：互相包含的两个集合相等，故③正确；
对于④：令，解得，所以函数的图像与轴有一个交点，故④正确；
对于⑤：若则，所以，故⑤正确；
对于⑥：满足的集合有，，，
，，共个，故⑥错误；
故答案为：③④⑤
【变式1】（23-24高一上·广东·阶段练习）甲､乙､丙､丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测：
甲预测说：我不会获奖，丙获奖；
乙预测说：甲和丁中有一人获奖；
丙预测说：甲的猜测是对的；
丁预测说：获奖者在甲、乙、丙三人中．
成绩公布后表明，四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符；已知有两人获奖，则获奖者可能是（ ）．
A．甲和丁B．乙和丙
C．甲和丙D．乙和丁
【答案】C
【分析】根据四人的描述可知，甲和丙的说法要么同时成立，要么同时不成立；若同时成立则可知丁的说法也对，这不合题意；所以甲和丙的说法都不成立，据此分情况讨论即可得出结论.
【详解】由“甲预测说：我不会获奖，丙获奖”，而“丙预测说：甲的猜测是对的”．
所以甲和丙的说法要么同时与结果相符，要么同时与结果不符．
若甲和丙的说法要么同时与结果相符，则丁的说法也对，
这与“四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符已知有两人获奖，”相矛盾，故错误；
若甲和丙的说法与结果不符，则乙､丁的预测成立
所以甲获奖，丁不获奖；丙获奖､乙不获奖或者乙获奖､丙不获奖．
即获奖的两人为甲和丙，或者甲和乙.
故选：C
【变式2】（多选）（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）下列命题中为真命题的有（ ）
A．所有的素数都是奇数.
B．的个位数字不等于2.
C．两个三角形相似的一个充要条件为三边成比例.
D．存在一个无理数，它的立方是有理数.
【答案】BCD
【分析】逐个判断命题即可.
【详解】对于A：2也是素数，但2不是奇数，所以A错误；
对于B：，则的末位数只能是0，1，4，5，6，9，所以B正确；
对于C：“两个三角形相似”，则三边成比例，“若三角形的三边成比例”，则这两个三角形是相似三角形，所以C正确；
对于D：当时，为无理数，则为有理数，所以存在一个无理数，他的立方是有理数，所以D正确，
故选：BCD
题型02充分条件、必要条件的判断
【典例1】（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】解出绝对值不等式，根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可.
【详解】因为，所以或，
易得“”是“或”的充分不必要条件，
故选：A.
【典例2】（23-24高一上·天津·期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】先解不等式，再利用集合的包含关系判断.
【详解】由题易知的解集为，真包含于，
故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
【典例3】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）在下列所示电路图中，下列说法正确的是 .（填序号）.
（1）如图①所示，开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件；
（2）如图②所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件；
（3）如图③所示，开关闭合是灯泡亮的充要条件；
（4）如图④所示，开关闭合是奵泡亮的必要不充分条件.
【答案】（1）（2）（3）
【分析】
根据充分、必要条件的定义，结合图形依次判断即可求解.
【详解】（1）开关A闭合，灯泡B亮；灯泡B亮时，开关A不一定闭合.
所以开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件，故（1）正确；
（2）开关A闭合，灯泡B不一定亮；灯泡B亮时，开关A必须闭合.
所以开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件，故（2）正确；
（3）开关A闭合，灯泡B亮；灯泡B亮时，开关A必须闭合.
所以开关A闭合是灯泡B亮的充要条件，故（3）正确；
（4）开关A闭合，灯泡B不一定亮；灯泡B亮时，开关A不一定闭合.
所以开关A闭合是灯泡B亮的既不充分也不必要条件，故（4）错误.
故答案为：（1）（2）（3）
【变式1】（23-24高一上·湖北荆州·期末）“”是“” 的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件、必要条件概念直接判断即可.
【详解】将代入中，得，
所以“”是“”的充分条件；
由，得，即或，
∴“”不是“”的必要条件，
“”是“”的充分不必要条件.
故选：A．
【变式2】（23-24高一下·宁夏吴忠·开学考试）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用不等式的性质及二次不等式的解法即可得证.
【详解】先证：
因为，所以，，故，即，故；
再证：
因为，所以，即，故；
综上：“”是“”的充分必要条件.
故选：C
【变式3】（23-24高一上·湖北·期中）设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由可得，结合充分、必要条件的定义即可求解.
【详解】由可得，
由“”不能推出“”，
但由“”可以推出“”．
故“”是“”的必要而不充分条件．
故选：B.
【变式4】（23-24高三上·贵州贵阳·阶段练习）“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由可得或，结合充分、必要条件的定义即可求解.
【详解】由，所以或，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：B.
题型03 根据充分性，必要性求参数
【典例1】（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】将是的必要不充分条件转化为，然后根据集合间的包含关系列不等式求解即可.
【详解】设，，
因为是的必要不充分条件，所以，
所以，解得，
当时，，成立，
所以.
故选：A.
【典例2】（23-24高一上·全国·课后作业）已知，，若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由成立的一个充分不必要条件是，可得，再列不等式求解即可.
【详解】解：由题意，得，但，
∴，∴，即，
故答案为．
【点睛】本题考查了充要条件与集合间的包含关系、集合相等的充要条件,利用集合的包含关系求解参数的范围,重点考查了集合思想,属中档题.
【典例3】（23-24高一下·安徽淮南·开学考试）已知全集为R，集合，．
(1)求；
(2)若，且“”是“”的必要不充分条件，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用交集的定义求解．
（2）利用必要不充分条件的定义列出不等式组即可求解．
【详解】（1）∵，又，
∴．
（2）∵是的必要不充分条件，
∴，
∴（等号不同时成立），解得，
∴a的取值范围为．
【典例4】（23-24高一上·江苏南京·期中）已知集合，.
（1）求集合；
（2）请在：①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.若是成立的___________条件，判断实数是否存在？
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
【答案】（1），；（2）答案见解析.
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可得答案；
（2）选：①充分不必要条件，则集合是集合的真子集，再根据集合关系求解即可；
选：②必要不充分条件，则集合是集合的真子集，再根据集合关系求解即可；
选：③充要条件，则，再根据集合关系求解即可；
【详解】解：（1）不等式，故，
不等式，由于，
故
（2）选：①充分不必要条件
由（1）知，，
因为若是成立的充分不必要条件，
所以集合是集合的真子集；
所以，解得，
所以实数的取值范围为：
选：②必要不充分条件
由（1）知，，
因为若是成立的必要不充分条件，
所以集合是集合的真子集；
所以，解得，又因为，故
所以实数的取值范围为：；
选：③充要条件
由（1）知，，
因为若是成立的充要条件，所以，
所以，方程组无解.
所以不存在实数使得是成立的充要条件；
【变式1】（多选）（23-24高一上·陕西渭南·期末）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】AD
【分析】根据必要不充分条件列不等式，由此求得正确答案.
【详解】若“或”是“”的必要不充分条件，
则或，解得或，
所以AD选项符合，BC选项不符合.
故选：AD
【变式2】（23-24高一上·上海宝山·阶段练习）已知，.若是的充分非必要条件，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【点睛】由是的充分非必要条件，集合的包含关系列出不等式组，解之即可.
【详解】因为是的充分非必要条件，
所以是的真子集，
则（不同时取等号），解得，
所以实数m的取值范围是.
故答案为：.
【变式3】（23-24高一上·云南德宏·期末）设集合，集合或．
(1)当时，求，；
(2)设命题，命题，若p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)，或
(2)或，
【分析】（1）根据交集、并集的知识求得正确答案.
（2）根据充分不必要条件列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】（1）当时，；
所以，或．
（2）若是的充分不必要条件，则是的真子集；
∴或，解得：或，
所以，实数的取值范围是或，
【变式4】（23-24高一上·安徽·阶段练习）已知，
(1)若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将充分不必要条件转化为真子集关系即可求解，
（2）将必要不充分条件转化为真子集关系即可求解，
【详解】（1）由p是q的充分不必要条件，得集合是集合的真子集，
所以或
解得.
所以实数m的取值范围是.
（2）由p是q的必要不充分条件，得集合是集合的真子集，
当，则，即时，符合题意；
当，即时，
可得或，解得．
综上可得
题型04探索命题为真的充要条件
【典例1】（23-24高一上·上海黄浦·期中）“或”是“存在实数x使得不等式成立”的（ ）．
A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分非必条件
【答案】C
【分析】根据不等式有解得到，解得答案.
【详解】存在实数x使得不等式成立，则，
解得或.
故“或”是“存在实数x使得不等式成立”的充要条件.
故选：C.
【典例2】（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）“一元二次方程有实数根”的充要条件是 ．
【答案】或，
【分析】利用判别式即可求出实数的取值范围．
【详解】一元二次方程有实数根，应满足，
解得或，
所以实数的取值范围是或，
故答案为：或，
【典例3】（23-24高一上·云南昆明·期中）已知集合， ，请在①充分条件，②必要条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若问题（2）中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若是的________条件，判断实数是否存在？
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由集合运算得出集合关系，通过包含得出结果；
（2）分别将题目中给出的三个不同条件转化为集合之间的包含（或相等）关系，根据集合之间的包含（或相等）关系，得出结果.
【详解】（1）若，则，
则，解得，
所以实数的取值范围是．
（2）若选择条件，即是的充分条件，则，
所以，解得，
所以实数的取值范围是；
若选择条件，即是的必要条件，则，
所以，解得．
又，所以，
所以实数的取值范围是；
若选择条件，即是的充要条件，则，
所以，方程组无解，
所以不存在满足条件的实数．
【典例4】（23-24高二上·海南三亚·期中）已知命题，命题.
（1）若是的充分条件，求实数的取值范围.
（2）是否存在实数，使得是的充要条件？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）或；（2）不存在，理由见解析.
【分析】（1）由已知得，分为或两种情况来讨论，建立不等式（组），求解可得出实数的取值范围.
（2）由已知可得，根据集合相等建立不等式组可得结论.
【详解】（1）集合，集合.
因为是的充分条件，所以，
∴集合可以分为或两种情况来讨论：
当时，满足题意，此时，解得：；
当时，要使成立，
需满足，
综上所得，实数的取值范围.或
（2）假设存在实数，使得是的充要条件，那么，
则必有，解得，综合得无解.
故不存在实数，使得，
即不存在实数，使得是的充要条件.
【点睛】本题考查充分必要条件，集合间的关系，根据集合间的关系求参数的范围，属于中档题.
【变式1】（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）关于的方程有实数根的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由方程有实根，应用判别式求参数范围，结合充分、必要性定义判断充要条件.
【详解】由方程有实根，则，可得.
所以是题设方程有实根的充要条件.
故选：C
【变式2】（23-24高二上·陕西咸阳·期末）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】结合分式不等式的解法以及充分、必要条件的知识确定正确答案.
【详解】由得，
所以“”是“”的充要条件.
故选：C
【变式3】（23-24高一上·黑龙江鸡西·阶段练习）命题“”的一个充要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】解出的范围，再根据充要条件的定义即可得出答案.
【详解】，
，
解得：，
则为的充要条件，
故选：A.
【变式4】（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）设集合，命题，命题
(1)若是的充要条件，求正实数的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据是的充要条件转化为求解即可；
（2）根据是的充分不必要条件，得真包含于，列出不等式求解即可.
【详解】（1）由条件， 是的充要条件，
得，即，解得，
所以实数的取值范围是.
（2）由是的充分不必要条件，得真包含于，
所以，或，解得，
综上实数的取值范围是
题型05 易错题型：充分条件与必要条件（“是”，“的”）结构对比
【典例1】（23-24高二下·山东青岛·期中）若关于的不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用充分条件的定义求解.
【详解】解：由得：，
因为成立的充分条件是，
所以，即，
解得，
故选：D
【典例2】（2024高三·全国·专题练习）若关于x的不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求出不等式的解集，利用充分条件的定义，结合集合的包含关系列式求解即得.
【详解】依题意，，解不等式，得，
由不等式成立的充分条件是，得，
于是，解得，
所以实数a的取值范围是.
故选：D
【变式1】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知或，，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】令，，依题意可得，即可求出参数的取值范围.
【详解】因为或，，
令，，
因为是的充分不必要条件，所以，
所以.
故选：D
【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知不等式m－1
【详解】
解析：由题意得（，）⊆（m－1，m＋1），所以且等号不能同时成立，解得－≤m≤.
【考查意图】
已知充要关系求参数的取值范围．
A夯实基础 B能力提升 C新定义题型
A夯实基础
一、单选题
1．（2024·天津·二模）已知，则“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据题意可直接判断充分性，举例说明必要性不成立即可.
【详解】若，则，即充分性成立；
若，例如，满足条件，但不成立，即必要性不成立；
综上所述：“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
2．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由可得，根据充分、必要条件的定义，结合选项即可求解.
【详解】因为一元二次方程有实根，
所以，解得.
又是的真子集，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：A
3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由充分不必要条件的定义即可判断.
【详解】因为，所以p是q的充分不必要条件.
故选：A.
4．（23-24高一上·广东东莞·期末）使“”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用充分条件、必要条件的定义求解作答.
【详解】设，解得，
使“”成立的充分不必要条件只需要为集合的真子集，由选项可知A符合.
故选：A.
5．（23-24高一上·贵州黔西·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（ ）
A．或B．或
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，结合一元二次方程的的性质，列出不等式，即可求解.
【详解】由方程关于的方程有两个不相等的实数根，则满足，
解得或，即方程有两个不相等的实数根的充要条件是或.
故选：A.
6．（2024·贵州·模拟预测）设，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件D．必要不充分条件
【答案】D
【分析】由题意解绝对值不等式，再结合必要不充分条件的定义即可得解.
【详解】的解集为，所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：D.
7．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）二次函数有两个异号零点的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】计算出有两个异号零点时的取值范围，再根据真包含关系得到答案.
【详解】有两个异号零点，
需满足，解得，
A选项，是有两个异号零点的充要条件，A错误；
B选项，与无包含关系，不合要求，B错误；
C选项，是的真子集，满足要求；
D选项，是的真子集，故是充分不必要条件，D错误.
故选：C
8．（23-24高一上·福建泉州·期中）使得不等式“成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先求解出不等式解集，根据题意可知所选取的条件为不等式解集的真子集，由此作出选择即可.
【详解】由题意可得，
又因为，
所以的一个充分不必要条件可以是D选项，
故选：D.
二、多选题
9．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）设，是的充分不必要条件，则实数的值可以为（ ）
A．B．0C．3D．
【答案】ABD
【分析】根据是的充分不必要条件，得到是的真子集，再分情况讨论即可得到的可能取值.
【详解】因为的两个根为3和5，所以，
是的充分不必要条件，所以是的真子集，
所以或或，
当时，满足即可，
当时，满足，所以，
当，满足，所以，
所以的值可以是0，，.
故选：ABD.
10．（23-24高一上·甘肃庆阳·期中）已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数m的值可能是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】CD
【分析】根据题意可得：，且是的真子集，根据真子集关系分析可得，对比选项判断即可.
【详解】对于，因为，
则，解得，即：，
若是的必要不充分条件，则是的真子集，
则，结合选项可知AB错误，CD正确.
故选：CD.
三、填空题
11．（23-24高一上·上海·期末）若不等式 成立的一个充分不必要条件是 ，则实数 的取值范围为
【答案】
【分析】根据绝对值不等式的解法，结合充分不必要条件的性质进行求解即可.
【详解】由，
因为不等式 成立的一个充分不必要条件是 ，
所以有，等号不同时成立，解得.
故答案为：
12．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知，若是的一个必要不充分条件，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】化简条件，再结合必要不充分条件列出不等式即可求解.
【详解】由，得，
因为是的一个必要不充分条件，则不能推出，但能推出，
则，即.
故答案为：
四、解答题
13．（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）已知集合，或，．
(1)求；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出集合，再求出，最后由交集的运算求出；
（2）先求出，再求出，再由充分不必要条件构造关于的方程组，解出即可.
【详解】（1）因为，又，
所以.
（2）或，所以，
因为“”是“”的充分不必要条件，
则，又，
所以，解得，
即的取值范围是.
若选取②：由“”是“”的充分不必要条件，
可得，
则或，
解得，
即的取值范围是.
若选取③：因为，
所以或，解得或，
即的取值范围是或，
4．（23-24高一上·云南昭通·期中）已知命题方程没有实数根.
(1)若是假命题，求实数的取值集合；
(2)在（1）的条件下，已知非空集合，从①充分而不必要，②必要而不充分，这两个条件中任选一个条件补充到下面问题中的横线上，并解答.问题：是否存在实数，使得若是的______条件.若存在，求的取值范围.若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)选择条件，答案见解析.
【分析】（1）利用方程的判别式求出命题，进而求出集合.
（2）利用（1）的结论，再选择条件①②，借助集合的包含关系，列式求解即得.
【详解】（1）由方程没有实数根，得，解得，
由是假命题，则是真命题，
所以实数的取值集合.
（2）由（1）知，，由集合非空，得，解得，
选①，是的充分而不必要条件，则，于是或，无解，
所以不存在实数，使得是的充分而不必要条件.
选②，是的必要而不充分条件，则，于是或，而，解得，
所以存在实数，使得是的必要而不充分条件，的取值范围是.
C新定义题型
1．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）如果对于任意实数，表示不超过的最大整数.例如，
3．（23-24高一上·北京·期中）已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”.
(1)试判断集合是否为集合的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由）
(2)如果一个集合中含有三个元素，同时满足①，②，③为偶数.那么称该集合具有性质.对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质.
【答案】(1)是集合的“期待子集”，不是集合的“期待子集”
(2)证明见解析
【分析】（1）根据所给定义判断即可.
（2）先证明必要性，再证明充分性，结合所给“期待子集”的定义及性质的定义证明即可；
【详解】（1）因为，
对于集合，令，解得，显然，，
所以是集合的“期待子集”；
对于集合，令，则，
因为，即，故矛盾，所以不是集合的“期待子集”
（2）先证明必要性：
当集合是集合的“期待子集”时，由题意，存在互不相同的，使得，
不妨设，令，，，则，即条件中的①成立；
又，所以，即条件中的②成立；
因为，
所以为偶数，即条件中的③成立；
所以集合满足条件.
再证明充分性：
当集合满足条件时，有存在，满足①，②，③为偶数，
记，，，
由③得，由①得，由②得，
所以，
因为，，，所以，，均属于，
即集合是集合的“期待子集”
【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决.
4．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）设集合.
（1）证明：属于的两个整数，其积也属于；
（2）判断32、33、34是否属于，并说明理由；
（3）写出“偶数属于”的一个充要条件并证明.
【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析；（3）为偶数，证明见解析.
【分析】（1）设，，则对进行化简，观察其是否满足集合M的条件，进行判断即可；（2）用反证法进行判断即可；（3）证明充要条件时既要证充分性，又要证必要性.
【详解】（1）设集合中的元素，，所以
，
因为，所以，，所以有，，则，所以属于的两个整数，其积也属于.
（2）因为，所以；
假设，则，因为，所以与有相同奇偶性，因为33为奇数，所以与一个为奇数一个为偶数，则与有相同奇偶性相矛盾，所以不成立，所以；
假设，同上可得，因为，所以与有相同奇偶性，因为34为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，而34不是4的倍数，所以假设不成立，所以.
（3）“偶数属于”的一个充要条件是为偶数.
充分性：因为为偶数，设，所以，而，所以满足集合，所以偶数属于；
必要性：因为偶数属于，所以，因为，所以与有相同奇偶性，因为为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，必为4的倍数，即必为2的倍数，所以为偶数.课程标准
学习目标
①理解充分条件、必要条件、充分必要条件的意义与具体要求.
②会判断命题成立的充分、必要、充分必要条件.
1．能利用命题成立的充分、必要、充要条件对命题的形式进行判断.
2.能利用充分、必要条件求参数以及进行简单的证明.
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