苏科版九年级数学下册基础知识专项讲练 专题5.28 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)最值（巩固篇）（专项练习）（附答案）

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专题5.28 二次函数最值（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．已知实数，满足，则的最大值为（       ）A．10 B．22 C．34 D．1422．已知二次函数，当时，y有最小值7，最大值11，则的值为（       ）A．3 B．9 C． D．3．二次函数，当时，y的取值范围为（       ）A． B． C． D．4．已知：二次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线与新图象有2个交点时，的取值范围是（       ）A． B．或 C．或 D．5．当时，二次函数的最小值为－1，则a的值为（       ）A．-2 B．±2 C．2或 D．2或6．若式子不论取任何数总有意义，则的取值范围是（       ）A． B． C．且 D．7．已知二次函数，当时，y的最大值与最小值的差为6，则m的值为（       ）A． B． C． D．8．已知二次函数（h为常数），在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（       ）A．5或 B．3或 C．5或3 D．3或19．如图，已知抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，下列结论不正确的是（       ）A．抛物线的对称轴为直线 B．若，则C．y的最大值为1 D．若轴交抛物线于点D，则10．二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（       ）A．函数的最大值为4B．函数图象关于直线对称C．当时，y随x的增大而减小D．x＝1或是方程的两个根11．二次函数y=ax2+2ax+3（a为常数，a≠0），当a-1≤x≤2时二次函数的函数值y恒小于4，则a的取值范围为（       ）A． B． C．或 D．或12．已知二次函数（a、b是常数，）的图象经过点和，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则m的取值范围是（       ）A． B． C． D．二、填空题13．如图，已知二次函数的图象经过点．（1）的值为______，图象的顶点坐标为______；（2）若点在该二次函数图象上，且点到轴的距离小于，则的取值范围为______．14．如图，P是抛物线y＝x2﹣2x﹣3在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为______．15．如图，四边形的两条对角线互相垂直，且，则四边形面积的最大值为_____．16．一个斜抛物体的水平运动距离记为x（m），对应的高度记为y（m），y是关于x的二次函数．已知当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝3；当x=4时，y＝0．该斜抛物体的所能达到的最大高度是_______m．17．如图，点O是正方形ABCD的对称中心，射线OM，ON分别交正方形的边AD，CD于E，F两点，连接EF，已知，．（1）以点E，O，F，D为顶点的图形的面积为_________；（2）线段EF的最小值是_________．18．如图，正方形ABCD中，AB＝4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP＝PF，则△APF的面积最大值为_______19．平面直角坐标系中，已知点，且实数m，n满足，则点P到原点O的距离的最小值为______．20．已知二次函数（是常数），当时，函数的最大值是，则的值为________．21．如图，已知抛物线与x轴相交于于点，，与轴的交于点．点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设的面积为．下列结论：①；②；③，其中，正确结论的序号是________．（所有正确的序号都填上）22．已知抛物线．（1）当m＝0时，点（2，4） _____（填“在”或“不在”）该抛物线上；（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，该抛物线的顶点坐标为____．23．若x＋y＝5，则xy＋1的最大值为______．24．已知抛物线过点，两点，若线段的长不大于2，则代数式的最小值是________．三、解答题25．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点，抛物线的对称轴是直线，连接、．(1)用含a的代数式求；(2)若，求抛物线的函数表达式：(3)在（2）的条件下，当时，y的最小值是-2，求m的值．26．已知关于的一元二次方程，有两个不相等的实数根，．(1)求的取值范围；(2)当时，解这个方程；(3)若，是方程的两个实数根，设，试求的最小值．参考答案1．C【分析】利用二次函数的性质求解即可．解：∵x+y=12，∴y=12-x，∴xy-2=x(12-x)-2=-x2+12x-2=-(x-6)2+34，∵-1＜0，∴当x=6时，xy-2有最大值，最大值为34，故选：C．【点拨】本题考查二次函数的性质，会利用二次函数的性质求最值是解答的关键．2．B【分析】先求出二次函数的对称轴为直线，再分①和②两种情况，然后利用二次函数的性质求出最大值与最小值，据此建立方程组求出的值，由此即可得．解：二次函数的对称轴为直线，①当时，则当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，所以当时，取得最小值；当时，取得最大值，所以，解得，符合题设，则此时；②当时，则当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，所以当时，取得最大值；当时，取得最小值，所以，解得，符合题设，则此时；综上，的值为9，故选：B．【点拨】本题考查了二次函数的性质，正确分两种情况讨论是解题关键．3．C【分析】根据二次函数的性质先求解函数的最大值，再分别计算当时， 当时， 从而可得答案．解：二次函数， 所以函数有最大值，而，当时， 当时， 当时， y的取值范围为 故选C【点拨】本题考查的是二次函数的性质，掌握“二次函数的增减性”是解本题的关键．4．C【分析】画出翻折前后的图象，求出原图象的顶点坐标，利用翻折的性质求出原顶点翻折后对应点的坐标，上下移动，观察与新图象的交点情况，即可得出答案解：二次函数的图象及翻折后的图象如下图如所示，，二次函数图象的顶点C的坐标为，翻折后顶点C对应点的坐标为，观察图象可知，当或时，与新图象有2个交点，故答案为：C．【点拨】本题考查了二次函数的图像和性质以及翻折的性质，解题的关键是求出原抛物线顶点翻折后对应点的坐标．5．A【分析】将二次函数化成顶点式，再分类讨论求最值即可．解：y=x2+2ax+3=（x+a）2+3-a2．抛物线开口向上，对称轴为直线x=-a．∴当-a≤1时，即a≥-1，当1≤x≤3时，y随x的增大而增大，当x=1时，y有最小值=1+2a+3=4+2a，∴4+2a=-1，∴a=-，不合题意，舍去．当1<-a<3时，x=-a，y有最小值3-a2．∴3-a2=-1．∴a2=4，∵1<-a<3，∴a=-2．当-a≥3时，即a≤-3，当1≤x≤3，y随x的增大而减少．∴当x=3时，y有最小值=9+6a+3=12+6a．∴12+6a=-1．∴a=-．∵a≤-3．∴不合题意，舍去．综上：a=-2．故选：A．【点拨】本题考查二次函数的最值，对a的范围进行分类讨论是求解本题的关键．6．D【分析】利用根号下的非负性，以及分母不为进行求解，只需恒成立，即只需函数的最小值大于．解：若对任意总有意义，则恒成立，的最小值为，，即．故选：D．【点拨】本题考查了二次函数的最值，根号下的非负性，分母不能为，解决本题的关键是求出二次函数的最小值．7．A【分析】将二次函数解析式配成顶点式，根据自变量的取值范围求出最大值和最小值，即可求解．解：由，可得，∵m＜0，∴当x=-1时，函数有最大值，且，在范围内，函数先递增再递减，则：当x=-3时，y=3+6m，当x=2时，y=3+16m，∵m＜0，∴函数的最小值为：，∵，∴，∴解得，故选：A．【点拨】本题考查了根据自变量的取值范围求解二次函数的最值的问题，将二次函数的解析式配成顶点式是解答本题的关键．8．A【分析】由解析式可知该函数在时取得最小值1、时，随的增大而增大、当时，随的增大而减小，根据时，函数的最小值为5可分如下两种情况：①若，时，取得最小值5；②若，当时，取得最小值5，分别列出关于的方程求解即可．解：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，①若，时，取得最小值5，可得：，解得：或（舍；②若，当时，取得最小值5，可得：，解得：或（舍．综上，的值为或5，故选：A．【点拨】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．9．B【分析】从图象得到、、 ，结合抛物线对称性求对称轴、利用待定系数法求表达式、根据抛物线图象和性质逐项判定即可．解：A、根据抛物线与x轴交于点、，可得出对称轴，该选项不符合题意；B、根据抛物线的对称轴为，开口向下可知：当时，随增大而增大；当时，随增大而减小，所以当，无法判断与的大小，该选项符合题意；C、根据抛物线与x轴交于点、，可设交点式，再根据抛物线与y轴交于点，代值求解得，即抛物线表达式为，当时，的最大值为1，该选项不符合题意；D、若轴交抛物线于点D，则、关于对称轴对称，从而得到，则，该选项不符合题意；故选：B．【点拨】本题考查二次函数的图象与性质，涉及到图象上点的对称性、待定系数法求表达式、二次函数增减性比较大小、二次函数最值等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解决问题的关键．10．C【分析】根据二次函数的图象结合二次函数的性质即可得出、二次函数对称轴为以及二次函数的顶点坐标，再逐项分析四个选项即可得出结论．解：观察二次函数图象，发现：开口向下，，抛物线的顶点坐标为，对称轴为，与轴的一个交点为．A、，二次函数的最大值为顶点的纵坐标，即函数的最大值是4，选项正确，不符合题意；B、二次函数的对称轴为，函数的图象关于直线对称，选项正确，不符合题意；C、当时，随的增大而增大，选项错误，符合题意；D、二次函数的图象关于直线对称，且函数图象与轴有一个交点，二次函数与轴的另一个交点为． x＝1或是方程的两个根，选项正确，不符合题意．故选：C．【点拨】本题考查了二次函数的图象以及二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的性质逐条分析四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合函数图象以及二次函数的性质求解．11．D【分析】先求得对称轴为x=-1，再分a>0和a<0两种情况讨论，利用二次函数的性质求解即可．解：对于二次函数y=ax2+2ax+3，其函数图象的对称轴为x=-=-1，当a>0时，a-1>-1，开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而减少，当a-1≤x≤2时，函数y的值在x=2时，取得最大值，∴a×22+2a×2+3<4，解得：a<，∴a的取值范围为；当a<0时，a-1<-1，开口向下，当a-1≤x≤2时，函数y的值在顶点时，取得最大值，∴a×(-1)2+2a×(-1)+3<4，解得：a>-1，∴a的取值范围为；综上，a的取值范围为或，故选：D．【点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，利用已知条件画出函数的大致图象，结合图象利用数形结合的方法解答是解题的关键．12．C【分析】求出二次函数的解析式，确定函数的最值，根据所给函数的取值范围，结合函数的图象与性质进行求解即可．解：二次函数（、是常数，）的图象经过点和，∴，解得：，∴，∴二次函数的顶点坐标为，最大值为1，∵当时，函数的最小值为，最大值为1，∴令，则，解得：，，∴，故选：C．【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质．13．               【分析】（1）把P（−2，3）代入中，即可求解；（2）由|m|＜2，结合二次函数的图像和性质，即可求n的范围．解：（1）把P（−2，3）代入中，得：，∴a＝2，∴＝（x＋1）2＋2；∴图象的顶点坐标为（−1，2）；    （2）点Q到y轴的距离小于2，∴|m|＜2，∴−2＜m＜2，∴当m=-1时，y的最小值= 2，当m=2时，y的最大值= 11，∴2≤n＜11．【点拨】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，找到二次函数图像的对称轴，是解题的关键．14．．【分析】设P（x，x2−2x−3）（00，当x=0时，y=-3a，∴C（0,-3a），∴OC=3a，∴ ；(2)解：∵，∴a=1，∴抛物线的表达式为：y=x2+2x-3；(3)解：①当m-1≥-1时，即m>0，函数在x= m-1 时，取得最小值，即 ，解得 （负值舍去），∴；②当m-1＜-1时，即m＜0，当x=-1时，函数取得最小值，而顶点的纵坐标，故此时，不存在m的值，使得y的最小值是-2；综上所述，．【点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与面积问题，二次函数的最小值问题，解题的关键是要熟练掌握二次函数的性质．26．(1)(2)(3)【分析】（1）利用根的判别式的意义得到Δ=（-2t）2-4（t2-2t+4）＞0，然后解不等式即可；（2）当t=3时，方程化为x2-6x+7=0，然后利用配方法解方程即可；（3）根据根与系数的关系得m+n=2t，mn=t2-2t+4，则Q=t2-6t+8，配方得到Q=（t-3）2-1，利用非负数的性质得到当t=3时，Q有最小值，最小值为-1．解：(1)根据题意得Δ=（-2t）2-4（t2-2t+4）＞0，解得t＞2，即t的取值范围为t＞2；(2)当t=3时，方程化为x2-6x+7=0，x2-6x+9=2，（x-3）2=2，x-3=±(3)根据根与系数的关系得m+n=2t，mn=t2-2t+4，Q=mn-2（m+n）+4=t2-2t+4-4t+4=t2-6t+8=（t-3）2-1，∵t＞2，∴当t=3时，Q有最小值，最小值为-1．【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的最值等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．