苏科版九年级下册6.5 相似三角形的性质课后作业题

这是一份苏科版九年级下册6.5 相似三角形的性质课后作业题，共37页。试卷主要包含了单选，填空，解答题等内容，欢迎下载使用。

1 .如图所示，中，，若，则下列结论中正确的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
2 .如图，已知，，则下列等式一定成立的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
3 .如图，是等边三角形，被一平行于的矩形所截，被截成三等分，则图中阴影部分的面积是的面积的（ ）．
A.
B.
C.
D.
4 .如图，直角梯形中，，，，为梯形内一点，且，将绕点旋转使与重合，得到，连交于．已知，，则的值为（ ）．
A.
B.
C.
D.
5 .已知，，与的面积之比为，当，对应边的长是（ ）．
A.
B.
C.
D.
6 .如图，中，点在线段上，且，则下列结论一定正确的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
7 .如果，、分别对应、，且，那么下列等式一定成立的是（ ）．
A.
B.的面积的面积
C.的度数的度数
D.的周长的周长
8 .如图，已知、两点的坐标分别为、，⊙的圆心坐标为，半径为．若是上的一个动点，线段与轴交于点，则面积的最小值是（ ）．
A.
B.
C.
D.
9 .如图，菱形的边，面积为，，⊙与边，都相切，，则⊙的半径长等于（ ）．
A.
B.
C.
D.
10 .如图所示，，且，，则的长是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空
1 .已知，相似比为，且的周长为，则的周长为 ．
2 .如图，在中，，，，，则 ．
3 .如图，中，，，若，则 ．
4 .根据图中所给两个三角形的角度和边长，可 ．
5 .如图，一个边长为、、厘米的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点重合，另两个顶点分别在正方形的两条边、上，那么这个正方形的面积是 ．
6 .如图，矩形的四个顶点分别落在矩形的各条边上，，，，有以下四个结论：①，②≌，③，④矩形的面积是，其中一定成立的是 （把所有正确结论的序号都填在横线上）．
7 .如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点，，，都在这些小正方形的顶点上，，相交于点，则的值是 ．
8 .如图，在⊙中，是直径，半径弦，垂足为，连接．若，的面积为，则 ．
三、解答题
1 .请你认真阅读下面的探究过程，完成所提出的问题．
( 1 )如图，将角尺放在正方形上，使角尺的直角顶点与正方形的顶点重合，角尺的一边交于点，另一边交的延长线于点．求证：．
( 2 )如图，移动角尺，使角尺的顶点始终在正方形的对角线上，其余条件不变，请你思考后直接回答和的数量关系： （用“”或“”填空）．
( 3 )运用（）（）所积累的活动经验和数学知识，完成下题：如图，将（）中的“正方形”改成“矩形”，使角尺的一边经过点（即点、重合），其余条件不变，若，，求的值．
2 .如图，在中，，是边上的一点，，，垂足分别是、，．
( 1 )求证：≌．
( 2 )若，求证：四边形是正方形．
3 .如图，是⊙的直径，为⊙的弦，，与的延长线交于点．点在上，且．
( 1 )求证：直线是⊙的切线．
( 2 )若，，求的长．
4 .如图①，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，二次函数的图象经过、两点，与轴交于另一点．
( 1 )求二次函数的关系式及点的坐标．
( 2 )如图②，若点是直线上方的抛物线上一点，过点作轴交于点，轴交于点，求的最大值．
( 3 )如图③，若点在抛物线的对称轴上，且，求出所有满足条件的点的坐标．
5 .如图，矩形的顶点、分别在轴和轴上，点的坐标为．双曲线（）的图象经过的中点，且与交于点，连接．
( 1 )求的值及点的坐标．
( 2 )若点是边上一点，且，求直线的解析式．
6 .如图，⊙的直径与弦相交于点，点是延长线上的一点，．
( 1 )求证：是⊙的切线．
( 2 )已知点是的中点，求证：．
( 3 )已知，．在（）条件下，求的长．
7 .如图，为⊙的直径，点，在⊙上，且点是的中点．过点作的垂线交直线于点．
( 1 )求证：是⊙的切线．
( 2 )连接．若，，求线段的长．
8 .如图，在中，，，为延长线上一点，．过点作，交的延长线于点．
( 1 )求的值．
( 2 )若，求的长．
9 .如图在中，是高，矩形的顶点、分别在、上，在边上．若，．
( 1 )，求矩形的周长．
( 2 )当为多少时矩形的面积最大，最大值为多少？
10 .在中，，，、分别在、上，连接，设，（），（）．
( 1 )当，时，求证：．
( 2 )若和相似，求与的函数表达式．
6.5 相似三角形的性质练习
一、单选
1 .如图所示，中，，若，则下列结论中正确的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】 C
【解析】 ∵，∴，
∵，∴，
∴两相似三角形的相似比为，
∵周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，∴正确．
2 .如图，已知，，则下列等式一定成立的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】 D
【解析】 ∵，
∴，不一定成立．
，不成立．
，不成立．
，成立．
由题意，根据相似三角形对应角相等，对应边的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，可知，两三角形的周长比为，两三角形的面积比为，而与不是对应边，故项正确．
3 .如图，是等边三角形，被一平行于的矩形所截，被截成三等分，则图中阴影部分的面积是的面积的（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】 C
【解析】 被截成三等分，
，
，，
，
，
，
，
．
故选：．
4 .如图，直角梯形中，，，，为梯形内一点，且，将绕点旋转使与重合，得到，连交于．已知，，则的值为（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】 C
【解析】 由题意知绕点顺势转动了，
∴≌，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
5 .已知，，与的面积之比为，当，对应边的长是（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】 A
【解析】 ，与的面积之比为，
∴，
解得，
∵，
∴．
6 .如图，中，点在线段上，且，则下列结论一定正确的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】 C
【解析】 由相似可得，
由更比性质可得．
7 .如果，、分别对应、，且，那么下列等式一定成立的是（ ）．
A.
B.的面积的面积
C.的度数的度数
D.的周长的周长
【答案】 D
【解析】 、，不是对应边，
、面积之比应为，
、，对应角相等，
、正确．
故选．
8 .如图，已知、两点的坐标分别为、，⊙的圆心坐标为，半径为．若是上的一个动点，线段与轴交于点，则面积的最小值是（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】 C
【解析】 过点作，面积的最小值，即最小，

故最小，最大，即为的切线，
∵，
故，，．
9 .如图，菱形的边，面积为，，⊙与边，都相切，，则⊙的半径长等于（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】 C
【解析】 如图作于，连接，延长交于．
∵菱形的边，面积为，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
设⊙与相切于，连接．
∵，平分，
∴，
∵，，
∴，∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
10 .如图所示，，且，，则的长是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】 A
【解析】 解：，
，
，，
，
．
故选A．
二、填空
1 .已知，相似比为，且的周长为，则的周长为 ．
【答案】
【解析】 ∵，相似比为，
∴周长比为，
∵的周长为，
∴，
∴的周长为．
2 .如图，在中，，，，，则 ．
【答案】
【解析】 ∵，
∴．
3 .如图，中，，，若，则 ．
【答案】
【解析】 ∵，
∴，又．
∴，．
∴．
故答案为：．
4 .根据图中所给两个三角形的角度和边长，可 ．
【答案】
【解析】 如图所示：
则，
∴，，
∴，
∴，
∴，
解得：．
故答案为：．
5 .如图，一个边长为、、厘米的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点重合，另两个顶点分别在正方形的两条边、上，那么这个正方形的面积是 ．
【答案】
【解析】 设，则，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
得，又，
即，
解得．
故答案为：．
6 .如图，矩形的四个顶点分别落在矩形的各条边上，，，，有以下四个结论：①，②≌，③，④矩形的面积是，其中一定成立的是 （把所有正确结论的序号都填在横线上）．
【答案】 ①②④
【解析】 在矩形和矩形中，，
∴
即，
∴结论①成立．
与①同理，，
又，，
∴≌，
∴结论②成立．
由②得：，设，，
则，由，，
得：，
∴，即，
解得：，即，
又在中，，
即，解得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴结论③不成立．
由③知，
∴，
∴结论④成立．
综上所述，一定成立的结论是①②④．
故答案为：①②④．
7 .如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点，，，都在这些小正方形的顶点上，，相交于点，则的值是 ．
【答案】
【解析】 如图，连接，与相交于点，
∵四边形是正方形，
∴，，
，，
∴，
根据题意得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴．
8 .如图，在⊙中，是直径，半径弦，垂足为，连接．若，的面积为，则 ．
【答案】
【解析】 连接，
∵为⊙直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，
，
∴，
∴．
三、解答题
1 .请你认真阅读下面的探究过程，完成所提出的问题．
( 1 )如图，将角尺放在正方形上，使角尺的直角顶点与正方形的顶点重合，角尺的一边交于点，另一边交的延长线于点．求证：．
( 2 )如图，移动角尺，使角尺的顶点始终在正方形的对角线上，其余条件不变，请你思考后直接回答和的数量关系： （用“”或“”填空）．
( 3 )运用（）（）所积累的活动经验和数学知识，完成下题：如图，将（）中的“正方形”改成“矩形”，使角尺的一边经过点（即点、重合），其余条件不变，若，，求的值．
【答案】 (1)证明见解析．
(2)
(3)．
【解析】 (1)由题意得，，
∴，
又∵，，
∴≌,
∴．
(2)过点作于点，作于点，如图所示，
则，，
∵，
，
∴，
又∵，
∴≌，
∴，
故答案为：．
(3)过点作于点，作于点，如图所示：
则，，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
2 .如图，在中，，是边上的一点，，，垂足分别是、，．
( 1 )求证：≌．
( 2 )若，求证：四边形是正方形．
【答案】 (1)证明见解析．
(2)证明见解析．
【解析】 (1)∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，垂足分别是、，
∴，
∴≌．
(2)∵≌，
∴，，
∵，
∴是边上的高，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴矩形是正方形．
3 .如图，是⊙的直径，为⊙的弦，，与的延长线交于点．点在上，且．
( 1 )求证：直线是⊙的切线．
( 2 )若，，求的长．
【答案】 (1)证明见解析．
(2)．
【解析】 (1)连结．
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点在⊙上，
∴直线是⊙的切线．
(2)连结．
∵是⊙的直径，
∴，
∴，
∴，即 ，
∴，
∴．
4 .如图①，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，二次函数的图象经过、两点，与轴交于另一点．
( 1 )求二次函数的关系式及点的坐标．
( 2 )如图②，若点是直线上方的抛物线上一点，过点作轴交于点，轴交于点，求的最大值．
( 3 )如图③，若点在抛物线的对称轴上，且，求出所有满足条件的点的坐标．
【答案】 (1)二次函数的关系式为，．
(2)．
(3)点的坐标为或．
【解析】 (1)令，解得，则．
令，得，则．
∵二次函数的图象经过、两点，
∴，解得
∴二次函数的关系式为．
当时，，解得，，则．
(2)如图，∵轴，轴，
∴，．
∴．
∴，
∴．
设，则．
∴．
∵，
∴当时，有最大值．
(3)当点在直线上方时，则点在的外接圆上，如图．
∵的外接圆的圆心在对称轴上，设圆心的坐标为，
∵，
∴，解得．
∴圆心的坐标为．
∴，
即⊙的半径半径为．此时点坐标为．
当点在在直线下方时，作关于的对称点，如图．
∵，
∴．
∵轴，
∴．
∴，在轴上，
∴点的坐标为．
∴，
∴．此时点的坐标为．
综上所述，点的坐标为或．
5 .如图，矩形的顶点、分别在轴和轴上，点的坐标为．双曲线（）的图象经过的中点，且与交于点，连接．
( 1 )求的值及点的坐标．
( 2 )若点是边上一点，且，求直线的解析式．
【答案】 (1)，点的坐标为．
(2)．
【解析】 (1)∵轴，点的坐标为，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴点的坐标为，
代入双曲线（）得，
∵轴，
∴点的横坐标与点的横坐标相等，为，
∵点在双曲线上，
∴．
∴点的坐标为．
(2)∵点的坐标为，的坐标为，点的坐标为，
∴，，．
∵，
∴．
即：．
∴．
∴点的坐标为．
设直线的解析式（），
则，
解得：，．
∴直线的解析式．
6 .如图，⊙的直径与弦相交于点，点是延长线上的一点，．
( 1 )求证：是⊙的切线．
( 2 )已知点是的中点，求证：．
( 3 )已知，．在（）条件下，求的长．
【答案】 (1)答案见解析．
(2)．
(3)．
【解析】 (1)证明：如图，连接，
∵是⊙的直径，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴是⊙的切线．
(2)证明：如图，连接，
∵是⊙的直径，
∴，
∴
∵是的中点，
∴在中，，
∴，
∴．
(3)解：∵，
∴，
∵，．
∴，，
∴，解得．
∴，
∴．
7 .如图，为⊙的直径，点，在⊙上，且点是的中点．过点作的垂线交直线于点．
( 1 )求证：是⊙的切线．
( 2 )连接．若，，求线段的长．
【答案】 (1)证明见解析．
(2)．
【解析】 (1)连接．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵是⊙的半径，
∴是⊙的切线．
(2)∵为⊙的直径，
∴．
根据勾股定理，由，，可求得．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
8 .如图，在中，，，为延长线上一点，．过点作，交的延长线于点．
( 1 )求的值．
( 2 )若，求的长．
【答案】 (1)．
(2)．
【解析】 (1)∵，
∴，
，
∴，
∵，，
∴，
，
在中，，
∴．
(2)方法一： ∵，，
∴，
∴， ∵，
∴，
∴，
∴，，
∴．
方法二：
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
9 .如图在中，是高，矩形的顶点、分别在、上，在边上．若，．
( 1 )，求矩形的周长．
( 2 )当为多少时矩形的面积最大，最大值为多少？
【答案】 (1)．
(2)最大面积是，此时．
【解析】 (1)由题意得：，设，则，
∴，解得，
∴，
则，
∴矩形的周长．
(2)∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
设，，矩形的面积为，
则，解得，
则，整理得到：，
∴当时，的最大值为，
∴当时，矩形的面积最大，最大面积是，此时．
10 .在中，，，、分别在、上，连接，设，（），（）．
( 1 )当，时，求证：．
( 2 )若和相似，求与的函数表达式．
【答案】 (1)证明见解析．
(2)（）或（）．
【解析】 (1)∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴
，
∴，
又∵，
∴．
(2)由题得，故和相似可去重后分为以下两种情况：
①，则，
∴（）．
②若，则，
∴（）．