北师大版九年级数学上册《同步考点解读•专题训练》专题4.1图形的相似(能力提升)(原卷版+解析)

这是一份北师大版九年级数学上册《同步考点解读•专题训练》专题4.1图形的相似(能力提升)(原卷版+解析)，共19页。

专题4.1 图形的相似（能力提升）（原卷版）一、选择题。1．（2021秋•玄武区期末）若a：b＝4：3，且b2＝ac，则b：c等于（　　）A．2：3 B．3：2 C．4：3 D．3：42．（2021春•宁阳县期末）若3x﹣2y＝0，且xy≠0，则的值等于（　　）A．0 B．4 C．﹣5 D．3．（2021•荣昌区校级模拟）若＝（a≠0，b≠0），则＝（　　）A． B． C． D．4．（2021秋•汝阳县期中）下面四组线段中，成比例的是（　　）A．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5 B．a＝1，b＝2，c＝2，d＝4 C．a＝4，b＝6，c＝5 d＝10 D．a＝，b＝，c＝3，d＝5．（2022春•杨浦区校级期中）在比例尺为1：50的图纸上，长度为10cm的线段实际长为（　　）A．50cm B．500cm C． D．6．（2021春•柳江区期中）将直角三角形三条边的长度都扩大同样的倍数后得到的三角形是（　　）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对7．（2021秋•霞浦县期中）下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（　　）A． B． C． D．8．（2021秋•长春期中）如图，平行于正多边形一边的直线，将正多边形分割成两部分，则阴影部分多边形与原多边形相似的是（　　）A． B． C． D．9．（2021秋•封丘县期中）下列图形一定相似的是（　　）A．两个平行四边形 B．两个矩形 C．两个正方形 D．两个等腰三角形10．（2021秋•信都区期中）如图2中的矩形边长分别是将图1中的矩形边长4拉长2x，边长5拉长x得到的，若两个矩形相似（不全等），则x的值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题。11．（2021秋•金牛区校级期中）若，则的值为 　 　．12．（2021秋•盐湖区期中）已知．若b+d+f＝6．则a+c+e的值为 　 　．13．（2021秋•锡山区期中）已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a＝2cm，b＝8cm，则线段c＝　 　cm．14．（2022春•永丰县期中）已知两个相似多边形的周长比为1：2，它们的面积和为100，则较小多边形的面积是 　 　．15．（2021秋•伊川县期中）秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”如图是两片形状相同的枫叶图案，则x的值为 　 　．16．（2021秋•临川区校级期中）北京紫禁城是中国古代汉族宫廷建筑之精华．经测算发现，太和殿，中和殿，保和殿这三大殿的矩形宫院ABCD（北至保和殿，南至太和门，西至弘义阁，东至体仁阁）与三大殿下的工字形大台基所在的矩形区域EFGH为相似形．若比较宫院与台基之间的比例关系，可以发现接近于9：5，取“九五至尊”之意．根据测量数据，三大殿台基的宽为40丈，请你估算三大殿宫院的宽为 　 　丈．17．（2022春•江阴市期中）已知＝＝，则的值为　 　．18．（2021秋•嵩县期中）如图所示，复印纸的型号有A0，A1，A2，A3，A4等，它们之间存在着这样一种关系：将其中某一型号（如A3）的复印纸沿较长边的中点对折，就能得到两张下一型号（A4）的复印纸，且得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么这些型号的复印纸的长、宽之比为　 　． 三、解答题。19．（2021秋•宁波期中）已知a：b＝3：2，求：（1）；（2）的值．20．（2021秋•靖西市期中）在比例尺是1：3000000的地图上，量得两地之间的距离是10厘米，甲、乙两车同时从两地相向而行，2小时后，两车相遇，已知甲、乙两车的速度比是3：2，甲、乙两车的速度各是多少？21．（2021秋•北仑区期中）（1）已知＝，求x：y的值．（2）已知线段a＝3，b＝6，求线段a，b的比例中项．22．（2021秋•宁明县期中）已知a、b、c为△ABC的三边长，且a+b+c＝48，，求△ABC三边的长．23．（2021秋•六盘水月考）如图，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，∠A＝80°，∠B＝75°，∠C＝125°，求x，∠D1．24．（2021秋•滨湖区校级月考）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，求角α、β的大小和EF的长度x．25．（2021秋•遵化市期中）如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'．（1）α＝　 　，它们的相似比是　 　．（2）求边x、y的长度． 26．（2022春•牟平区期中）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形，相似四边形对应边的比叫做相似比．（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．①四条边成比例的两个凸四边形相似；（　 　命题）②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（　 　命题）③两个大小不同的正方形相似．（　 　命题）（2）如图，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，．求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似． 27．（2021春•鄂州期中）书籍和纸张的长与宽比值都有固定的尺寸，如常用的A3、A4、A5的纸张长与宽的比值都相等．一长方形纸张对折后的小长方形的长与宽的比值与原长方形的长与宽的比值相等．（1）求满足这样条件的长方形的长与宽的比值；（2）如图所示的长方形ABCD长与宽之比也满足以上条件，其中宽AB＝2．点P是AD上一点，将△BPA沿BP折叠得到△BPE，当BE垂直AC时，求AP的长．专题4.1 图形的相似（能力提升）（解析版）一、选择题。1．（2021秋•玄武区期末）若a：b＝4：3，且b2＝ac，则b：c等于（　　）A．2：3 B．3：2 C．4：3 D．3：4【答案】C。【解答】解：∵a：b＝4：3，且b2＝ac，∴b：c＝a：b＝4：3．故选：C．2．（2021春•宁阳县期末）若3x﹣2y＝0，且xy≠0，则的值等于（　　）A．0 B．4 C．﹣5 D．【答案】B。【解答】解：∵3x﹣2y＝0，∴3x＝2y，∴＝＝4．故选：B．3．（2021•荣昌区校级模拟）若＝（a≠0，b≠0），则＝（　　）A． B． C． D．【答案】D。【解答】解：∵＝（a≠0，b≠0），∴4a＝3b，故a＝b，则＝＝．故选：D．4．（2021秋•汝阳县期中）下面四组线段中，成比例的是（　　）A．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5 B．a＝1，b＝2，c＝2，d＝4 C．a＝4，b＝6，c＝5 d＝10 D．a＝，b＝，c＝3，d＝【答案】B。【解答】解：A、2×5≠3×4，故选项错误；B、1×4＝2×2，故选项正确；C、4×10≠5×6，故选项错误；D、×3≠×，故选项错误．故选：B．5．（2022春•杨浦区校级期中）在比例尺为1：50的图纸上，长度为10cm的线段实际长为（　　）A．50cm B．500cm C． D．【答案】B。【解答】解：设长度为10cm的线段实际长为xcm，则：＝，解得，x＝500．故选：B．6．（2021春•柳江区期中）将直角三角形三条边的长度都扩大同样的倍数后得到的三角形是（　　）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对【答案】A。【解答】解：∵将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形的三条边与原三角形的三条边对应成比例，∴两三角形相似．又∵原来的三角形是直角三角形，而相似三角形的对应角相等，∴得到的三角形仍是直角三角形．故选：A．7．（2021秋•霞浦县期中）下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（　　）A． B． C． D．【答案】D。【解答】解：A．形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；B．形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；C．形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；D．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项符合题意；故选：D．8．（2021秋•长春期中）如图，平行于正多边形一边的直线，将正多边形分割成两部分，则阴影部分多边形与原多边形相似的是（　　）A． B． C． D．【答案】A。【解答】解：A、阴影三角形与原三角形的对应角相等、对应边的比相等，符合相似多边形的定义，符合题意；B、阴影矩形与原矩形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；C、阴影五边形与原五边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；D、阴影六边形与原六边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；故选：A．9．（2021秋•封丘县期中）下列图形一定相似的是（　　）A．两个平行四边形 B．两个矩形 C．两个正方形 D．两个等腰三角形【答案】C。【解答】解：A．两个平行四边形，对应边不一定成比例，对应角不一定相等，所以不一定相似，故本选项不合题意；B．两个矩形对应角都是直角相等，对应边不一定成比例，所以不一定相似，故本选项不合题意；C．两正方形对应角相等，对应边成比例，所以一定相似，故本选项符合题意；D．两个等腰三角形对应角不一定相等，对应边不一定成比例，所以不一定相似，故本选项不合题意．故选：C．10．（2021秋•信都区期中）如图2中的矩形边长分别是将图1中的矩形边长4拉长2x，边长5拉长x得到的，若两个矩形相似（不全等），则x的值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A。【解答】解：由题意，两个矩形相似，∴＝或＝，解得x＝3或0（0不符合题意舍去），故选：A．二、填空题。11．（2021秋•金牛区校级期中）若，则的值为 　　．【答案】。【解答】解：∵，∴4（2a﹣3b）＝6b，∴8a﹣12b＝6b，∴8a＝6b+12b，∴8a＝18b，两边都除以18a，得＝，即＝，∴＝，故答案为：．12．（2021秋•盐湖区期中）已知．若b+d+f＝6．则a+c+e的值为 　8　．【答案】8。【解答】解：∵＝＝＝，∴a＝b，c＝d，e＝f，∵b+d+f＝6，∴a+c+e＝b+d+f＝（b+d+f）＝×6＝8．故答案为：8．13．（2021秋•锡山区期中）已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a＝2cm，b＝8cm，则线段c＝　4　cm．【答案】4。【解答】解：线段a＝2cm，b＝8cm，线段c是a、b的比例中项，∴＝，∴c2＝ab＝2×8＝16，∴c1＝4，c2＝﹣4（舍去），∴线段c＝4cm．故答案为：4．14．（2022春•永丰县期中）已知两个相似多边形的周长比为1：2，它们的面积和为100，则较小多边形的面积是 　20　．【答案】20。【解答】解：∵两个相似多边形的周长比为1：2，∴两个相似多边形的面积比为1：4，∴设较小多边形的面积为x，则较大多边形的面积为4x，∵它们的面积和为100，∴x+4x＝100，∴x＝20，∴较小多边形的面积是20，故答案为：20．15．（2021秋•伊川县期中）秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”如图是两片形状相同的枫叶图案，则x的值为 　11　．【答案】11。【解答】解：由两个枫叶图案相似，可得，解得x＝11，即x的值为11．故答案为：11．16．（2021秋•临川区校级期中）北京紫禁城是中国古代汉族宫廷建筑之精华．经测算发现，太和殿，中和殿，保和殿这三大殿的矩形宫院ABCD（北至保和殿，南至太和门，西至弘义阁，东至体仁阁）与三大殿下的工字形大台基所在的矩形区域EFGH为相似形．若比较宫院与台基之间的比例关系，可以发现接近于9：5，取“九五至尊”之意．根据测量数据，三大殿台基的宽为40丈，请你估算三大殿宫院的宽为 　72　丈．【答案】72。【解答】解：设三大殿宫院的宽为x丈，由题意得，x：40＝9：5，解得，x＝72丈，故答案为：72．17．（2022春•江阴市期中）已知＝＝，则的值为　　．【答案】。【解答】解：由已知＝＝，令x＝2k，y＝3k，z＝4k，且k≠0，则代入得：＝＝＝故答案为：．18．（2021秋•嵩县期中）如图所示，复印纸的型号有A0，A1，A2，A3，A4等，它们之间存在着这样一种关系：将其中某一型号（如A3）的复印纸沿较长边的中点对折，就能得到两张下一型号（A4）的复印纸，且得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么这些型号的复印纸的长、宽之比为　　． 【答案】：1。【解答】解：设A1型号的长为a，宽为b（a＞b），则A2的长为b，宽为a，∵得到的两个矩形都和原来的矩形相似，∴＝，解得：a2＝2b2，∴a＝b（负数舍去），∴＝＝：1，即这些型号的复印纸的长、宽之比为：1，故答案为：：1．三、解答题。19．（2021秋•宁波期中）已知a：b＝3：2，求：（1）；（2）的值．【解答】解：∵a：b＝3：2，∴设a＝3k，b＝2k，（1）＝＝；（2）＝＝﹣1．20．（2021秋•靖西市期中）在比例尺是1：3000000的地图上，量得两地之间的距离是10厘米，甲、乙两车同时从两地相向而行，2小时后，两车相遇，已知甲、乙两车的速度比是3：2，甲、乙两车的速度各是多少？【解答】解：10×3000000＝30000000（厘米），30000000厘米＝300千米，设甲车的速度是3x千米/时，则乙车的速度是2x千米/时，根据题意得2（2x+3x）＝300，解得x＝30，2x＝2×30＝60，3x＝3×30＝90．答：甲车的速度是90千米/时，乙车的速度是60千米/时．21．（2021秋•北仑区期中）（1）已知＝，求x：y的值．（2）已知线段a＝3，b＝6，求线段a，b的比例中项．【解答】解：（1）∵＝，∴设x＝3k，x+y＝7k，∴y＝4k，∴x：y＝3k：4k＝3：4；（2）设线段x是线段a，b的比例中项，∵a＝3，b＝6，∴，∴x2＝ab＝3×6＝18，∴x＝±3（负值舍去）．∴线段a，b的比例中项是3．22．（2021秋•宁明县期中）已知a、b、c为△ABC的三边长，且a+b+c＝48，，求△ABC三边的长．【解答】解：设＝x，∴a＝3x，b＝4x，c＝5x．∵a+b+c＝48，∴3x+4x+5x＝48，解得x＝4，∴a＝3x＝12，b＝4x＝16，c＝5x＝20．即△ABC三边的长分别为12，16，20．23．（2021秋•六盘水月考）如图，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，∠A＝80°，∠B＝75°，∠C＝125°，求x，∠D1．【解答】解：∵∠C＝125°，∠A＝80°，∠B＝75°，∴∠D＝360°﹣125°﹣80°﹣75°＝80°，∵两个四边形相似，∴∠D1＝∠D＝80°，，解得x＝10．24．（2021秋•滨湖区校级月考）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，求角α、β的大小和EF的长度x．【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∴α＝∠C＝83°，∠F＝∠B＝78°，EH：AD＝EF：AB，∴x：21＝24：18，解得x＝28．在四边形EFGH中，β＝360°﹣83°﹣78°﹣118°＝81°．∴∠G＝∠C＝67°．故α＝83°，β＝81°，x＝28．25．（2021秋•遵化市期中）如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'．（1）α＝　83°　，它们的相似比是　　．（2）求边x、y的长度． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，∴∠A′＝∠A＝62°，∠B′＝∠B＝75°，∴∠C′＝360°﹣62°﹣75°﹣140°＝83°，它们的相似比为：＝，故答案为：83°；；（2）∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，∴＝＝，解得，x＝12，y＝．26．（2022春•牟平区期中）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形，相似四边形对应边的比叫做相似比．（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．①四条边成比例的两个凸四边形相似；（　假　命题）②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（　假　命题）③两个大小不同的正方形相似．（　真　命题）（2）如图，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，．求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似． 【解答】（1）解：①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等；②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例；③两个大小不同的正方形相似，是真命题；故答案为：假，假，真；（2）证明：如图，连接BD，B1D1．∵∠BCD＝∠B1C1D1，且，∴△BCD∽△B1C1D1，∴∠CDB＝∠C1D1B1，∠C1B1D1＝∠CBD，∵，∴，∵∠ABC＝∠A1B1C1，∴∠ABD＝∠A1B1D1，∴△ABD∽△A1B1D1，∴，∴∠A＝∠A1，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．27．（2021春•鄂州期中）书籍和纸张的长与宽比值都有固定的尺寸，如常用的A3、A4、A5的纸张长与宽的比值都相等．一长方形纸张对折后的小长方形的长与宽的比值与原长方形的长与宽的比值相等．（1）求满足这样条件的长方形的长与宽的比值；（2）如图所示的长方形ABCD长与宽之比也满足以上条件，其中宽AB＝2．点P是AD上一点，将△BPA沿BP折叠得到△BPE，当BE垂直AC时，求AP的长．【解答】解：（1）设长方形的长与宽分别为a，b．由题意：＝，∴a2＝2b2，∴＝．（2）①如图1中，延长PE、BC交于点G，∵∠PEB＝90°，∴PE⊥BE，∵BE⊥AC，BE⊥PE，∴PG∥AC，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝2，AD∥BG，∠ABC＝90°，∴四边形APGC是平行四边形，∴PG＝AC＝＝＝2，∵AD∥BC，∴∠APB＝∠GBP，∵∠APB＝∠GPB，∴∠GBP＝∠GPB，∴GP＝GB＝2，∴AP＝CG＝BG＝BC＝2﹣2．