初中数学北师大版（2024）九年级上册7 相似三角形的性质教学设计

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册7 相似三角形的性质教学设计，共10页。
课时目标
1.经历探索相似三角形中对应线段的比与相似比的关系的过程,理解相似三角形的性质.利用相似三角形的性质解决一些实际问题.
2.培养学生的探索精神和合作意识;通过运用相似三角形的性质,增强学生的应用意识.在探索过程中发展学生类比的数学思想及全面思考的思维品质.
学习重点
探索相似三角形中对应线段的比与相似比的关系.
学习难点
利用相似三角形的性质解决一些实际问题.
课时活动设计
复习回顾
如图,已知△ABC∽△A'B'C',AB=2,A'B'=4,AC=5,则A'C'= 10 .
设计意图:以练习题的形式带领学生回顾之前知识点,巩固学生对以前知识的理解,同时激发学生学习兴趣,为本节课作铺垫.
探究活动一
在生活中,我们经常利用相似的知识解决建筑类问题.如图,小王依据图纸上的△ABC,以1∶2的比例建造了模型房的房梁△A'B'C',CD和C'D'分别是它们的立柱.
教师提出问题,学生尝试进行解答.
(1)试写出△ABC与△A'B'C'的对应边之间的关系,对应角之间的关系.
(2)△ACD与△A'C'D'相似吗?为什么?如果相似,指出它们的相似比.
(3)如果CD=1.5 cm,那么模型房的房梁立柱有多高?
(4)据此,你可以发现相似三角形怎样的性质?
解:(1)ABA'B'=BCB'C'=ACA'C'=12,
∠A=∠A',∠B=∠B',∠ACB=∠A'C'B'.
(2)△ACD∽△A'C'D'.
理由:∵CD⊥AB,C'D'⊥A'B',
∴∠ADC=∠A'D'C'=90°.
∵∠A=∠A',
∴△ACD∽△A'C'D(两个角分别相等的两个三角形相似).
∴ACA'C'=ADA'D'=CDC'D'=12.
(3)∵CDC'D'=12,CD=1.5 cm.
∴C'D'=3 cm.
(4)相似三角形对应高的比等于相似比.
设计意图:通过学生熟悉的建筑模型入手,从相似三角形的最基本性质展开研究,使学生明确相似比与对应高的比的关系.
探究活动二
如图,已知△ABC∽△A'B'C',△ABC与△A'B'C'的相似比为k,AD平分∠BAC,A'D'平分∠B'A'C';E,E'分别为BC,B'C'的中点.
(1)试探究AD与A'D'的比值关系.
(2)AE与A'E'呢?
要求:类比探究,小组合作,至少证明其中一个结论.
解:(1)∵△ABC∽△A'B'C',
∴∠BAC=∠B'A'C',∠B=∠B',ABA'B'=k.
∵AD平分∠BAC,A'D'平分∠B'A'C',
∴∠BAD=∠B'A'D'.
∴△BAD∽△B'A'D'(两个角分别相等的两个三角形相似).
∴ADA'D'=ABA'B'=BDB'D'=k.
(2)∵△ABC∽△A'B'C',
∴∠B=∠B',ABA'B'=BCB'C'=k.
∵E,E'分别为BC,B'C'的中点,
∴BE=12BC,B'E'=12B'C'.
∴BEB'E'=BCB'C'.
∵ABA'B'=BCB'C'=k,
∴ABA'B'=BEB'E'=k.
∵∠B=∠B',
∴△BAE∽△B'A'E'(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似).
∴AEA'E'=ABA'B'=BEB'E'=k.
教师引导学生自主探究,及时给予指导,最后进行归纳总结.
小结:相似三角形对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.
设计意图:通过小组合作,类比前面的探究过程,提高学生主动探究意识,发展类比思维与归纳总结的能力.
探究活动三
如图,已知△ABC∽△A'B'C',△ABC与△A'B'C'的相似比为k(k>0),点D,E在BC边上,点D',E'在B'C'边上.
(1)若∠BAD=13∠BAC,∠B'A'D'=13∠B'A'C',则ADA'D'等于多少?
(2)若BE=13BC,B'E'=13B'C',则AEA'E'等于多少?
(3)你能得到哪些结论?
解:(1)∵△ABC∽△A'B'C',
∴∠BAC=∠B'A'C',∠B=∠B',ABA'B'=k.
∵∠BAD=13∠BAC,∠B'A'D'=13∠B'A'C',
∴∠BAD=∠B'A'D'.
∴△BAD∽△B'A'D'(两个角分别相等的两个三角形相似).
∴ADA'D'=ABA'B'=BDB'D'=k.
(2)∵△ABC∽△A'B'C',
∴∠B=∠B',ABA'B'=BCB'C'=k.
∵BE=13BC,B'E'=13B'C',
∴BEB'E'=BCB'C'.
∵ABA'B'=BCB'C'=k,
∴ABA'B'=BEB'E'=k.
∵∠B=∠B',
∴△BAE∽△B'A'E'(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似).
∴AEA'E'=ABA'B'=BEB'E'=k.
(3)相似三角形对应角的n等分线的比和对应边的n等分线的比均等于相似比.
设计意图:通过问题探索,提升学生类比探究与独立解决问题的能力.
典例精讲
例 如图,AD是△ABC的高,AD=h,点R在AC边上,点S在AB边上,SR⊥AD,垂足为E.当SR=12BC时,求DE的长.如果SR=13BC呢?
解:∵SR⊥AD,BC⊥AD,∴RS∥BC.
∴∠ASR=∠B,∠ARS=∠C.
∴△ASR∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似).
∴AEAD=SRBC,即AD-DEAD=SRBC.
当SR=12BC时,得h-DEh=12,解得DE=12h.
当SR=13BC时,得h-DEh=13,解得DE=23h.
设计意图:训练学生用相似三角形的性质来解决问题,增强学生的应用意识.
巩固训练
1.如图,AD是△ABC的高,点P,Q在BC边上,点R在AC边上,点S在AB边上,BC=60 cm,AD=40 cm,四边形PQRS是正方形.
(1)△ASR与△ABC相似吗?为什么?
(2)求正方形PQRS的边长.
解:(1)相似.理由:∵四边形PQRS是正方形,
∴RS∥BC.
∴∠ASR=∠B,∠ARS=∠C.
∴△ASR∽△ABC.
(2)∵△ASR∽△ABC,∴AEAD=SRBC.
设正方形PQRS的边长为x cm,
则AE为(40-x)cm,∴40-x40=x60.
解得x=24.
答:正方形PQRS的边长为24 cm.
2.两个相似三角形中一组对应角平分线的长分别是2 cm和5 cm,求这两个三角形的相似比.在这两个三角形的一组对应中线中,如果较短的中线是3 cm,那么较长的中线多长?
解:根据相似三角形对应角平分线、对应中线的比等于相似比可知:相似比为25;较长中线的长等于3×5÷2=7.5(cm).
设计意图:要求学生能用相似三角形对应线段的比等于相似比的性质来解决实际问题,增强学生的应用意识.
课堂小结
经历了这节课的探索学习,你在知识上和方法上有什么收获呢?请说说看.
相似三角形的性质:相似三角形对应高的比,对应角平分线的比,对应中线的比都等于相似比.
设计意图:培养学生的归纳总结能力,加深对知识的理解和应用能力.
课堂8分钟.
1.教材第108页习题4.11第1,2,3,4题.
2.七彩作业.
第1课时 相似三角形对应线段的比
相似三角形对应高的比,对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.
相似三角形对应线段的比都等于相似比.
教学反思


第2课时 相似三角形的周长与面积的比
课时目标
1.掌握相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系,并能灵活运用相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系解决实际问题.
2.经历探索相似三角形性质的过程,进一步体验由特殊到一般的归纳思想和方法,感悟转化的思想,积累数学活动经验.
学习重点
探索相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系.
学习难点
运用相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系解决实际问题.
课时活动设计
情境引入
让学生们拿出事先准备的河北省地图,根据教师给出的问题进行分组讨论:
1.地图的比例尺是多少?
2.根据地图所给的数据,你能否计算出高铁站离你家大致有多远?
设计意图:学生们在一个开放的环境下展示、讲解生活中遇到的实际问题,亲身经历和感受数学知识来源于生活中的过程.在交流过程中,学生们已能用自己的语言归纳总结出相似多边形周长和面积的关系,为学习相似多边形性质打下了基础.
探究新知
1.已知:如图,△ABC∽△A'B'C',相似比为2,△ABC与△A'B'C'的周长比是多少?面积比呢?
解:△ABC的周长△A'B'C'的周长=2;S△ABCS△A'B'C'=22.
理由如下:
∵ABA'B'=BCB'C'=ACA'C'=2,
∴C△ABCC△A'B'C'=AB+BC+ACA'B'+B'C'+A'C'=2A'B'+2B'C'+2A'C'A'B'+B'C'+A'C'=2(A'B'+B'C'+A'C')A'B'+B'C'+A'C'=2.
∵S△ABC=12AB·CD,S△A'B'C'=12A'B'·C'D'.
∴S△ABCS△A'B'C'=12AB·CD12A'B'·C'D'=ABA'B'·CDC'D'=22.
使学生建立从特殊到一般的思想.
2.如图,△ABC∽△A'B'C',相似比为k,那么△ABC与△A'B'C'的周长比和面积比分别是多少?
解:△ABC的周长△A'B'C'的周长=k,S△ABCS△A'B'C'=k2
小结:相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.
3.相似多边形是否也具有类似的性质呢?
已知:如图,四边形ABCD∽四边形A'B'C'D',相似比为k(k>0).
(1)四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的周长比是多少?
(2)连接相应的对角线BD,B'D',所得的△BCD与△B'C'D'相似吗?△ABD与△A'B'D'相似吗?如果相似,它们的相似比各是多少?为什么?
(3)设△ABD,△A'B'D',△BCD,△B'C'D'的面积分别是S△ABD,S△A'B'D',S△BCD,S△B'C'D',则S△ABDS△A'B'D',S△BCDS△B'C'D'各是多少?
(4)四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的面积比是多少?如果把四边形换成五边形,那么结论又如何呢?
解:(1)∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D',相似比为k,
∴ABA'B'=BCB'C'=CDC'D'=ADA'D'=k.
∴C四边形ABCDC四边形A'B'C'D'.=AB+BC+CD+ADA'B'+B'C'+C'D'+A'D'=k.
(2)△BCD∽△B'C'D',且相似比都为k.
理由:∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D',
∴ABA'B'=BCB'C'=CDC'D'=ADA'D',∠C=∠C'.
在△BCD和△B'C'D'中,
∵BCB'C'=CDC'D',∠C=∠C',
∴△BCD∽△B'C'D'.
∴BCB'C'=CDC'D'=k.
同理可知,△ABD∽△A'B'D',且相似比为k.
(3)∵△ABD∽△A'B'D',△BCD∽△B'C'D',
∴S△ABDS△A'B'D'=S△BCDS△B'C'D'=k2.
(4)S四边形ABCDS四边形A'B'C'D'=S△ABD+S△BCDS△A'B'D'+S△B'C'D'=k2.
把四边形换成五边形结论不变.
设计意图:引导学生发现,无论是三角形、四边形,还是多边形,都有相同的结论,相似多边形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.学生亲身经历问题发现的过程,对知识从初步印象上升到了理论探求、证明的高度,今后在记忆和应用上会更加深刻.
典例精讲
例 如图,在△ABC中,BC=2,将△ABC沿BC方向平移得到△DEF,如果△ABC与△DEF重叠部分(图中阴影部分)的面积是△ABC的面积的一半,求△ABC平移的距离.
解:根据题意,可知EG∥AB.
∴∠GEC=∠B,∠EGC=∠A.
∴△GEC∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似).
∴S△GECS△ABC=ECBC2=EC2BC2(相似三角形的面积比等于相似比的平方),
即12=EC222.
∴EC2=2.即EC=2.
∴BE=BC-EC=2-2.
即△ABC平移的距离为2-2.
设计意图:运用相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方,求出边长和三角形的面积,再把面积转化为所需要的条件,考查学生综合运用知识的能力.
巩固训练
判断正误:
(1)如果把一个三角形三边的长同时扩大为原来的10倍,那么它的周长也扩大为原来的10倍;(正确)
(2)如果把一个三角形的面积扩大为原来的9倍,那么它的三边的长都扩大为原来的9倍.(错误)
设计意图:学生在相似多边形性质的证明的过程中,对性质已经有了全面的认识,通过上面两个问题的回答,进一步完善了对相似多边形性质的理解和认识.
课堂小结
师生共同回忆、交流相似多边形的性质:对应线段(高、中线、角平分线)的比,周长比都等于相似比;面积比等于相似比的平方.
设计意图:培养学生的归纳总结能力,加深对知识的理解和应用能力.
课堂8分钟
1.教材第110页习题4.12第1,2,4题.
2.七彩作业.
第2课时 相似三角形的周长与面积的比
对应线段(高、中线、角平分线)的比,周长比都等于相似比;
面积比等于相似比的平方.
教学反思