初中1.1 一元二次方程综合训练题

这是一份初中1.1 一元二次方程综合训练题，共34页。

【考点1】一元二次方程的定义与一般形式；
【考点2】一元二次方程的解及解的估值；
【考点3】直接开平方法与配方解一元二次方程；
【考点4】公式法与因式分解法解一元二次方程；
【考点5】配方法的应用；
【考点6】可化为一元二次方程的无理方程和分式方程；
【考点7】 根的判别式求取值范围或求参数；
【考点8】韦达定理与一元二次方程的解综合；
【考点9】韦达定理与根的判别式综合；
【考点10】韦达定理与几何问题综合；
【考点11】实际问题与一元二次方程（增长率与营销问题）；
【考点12】实际问题与一元二次方程（图形与行程问题）；
【考点13】一元二次方程与函数问题；
单选题
【考点1】一元二次方程的定义与一般形式；
1．（23-24九年级上·吉林白城·期末）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）方程化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．，，B．，，
C．2，，0D．2，，
【考点2】一元二次方程的解及解的估值；
3．（23-24八年级下·河南郑州·期末）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ）
A．2024B．2025C．2026D．2027
4．（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）根据下列表格中的对应值，可以判断关于的一元二次方程的一个解的范围是（ ）
A．B．C．D．
【考点3】直接开平方法与配方解一元二次方程；
5．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）关于的一元二次方程的根的判别式等于，则的值是（ ）
A．B．C．D．或
6．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）用配方法解一元二次方程的部分步骤如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
【考点4】公式法与因式分解法解一元二次方程；
7．（23-24八年级下·浙江温州·期中）已知是方程和方程的一个实数根，则方程一定有实数根（ ）
A．B．C．D．
8．（23-24九年级下·广东佛山·阶段练习）已知等腰的底边长为5，其余两边长恰好是关于的方程的两个根，则的值是（ ）
A．2B．2或10C．4D．4或10
【考点5】配方法的应用；
9．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于的多项式，当时，该多项式的值为，则多项式的值可以是（ ）
A．3.5B．3.25C．3D．2.75
10．（2024·江苏宿迁·二模）已知点是反比例函数图像上一点，则的最小值为( )
A．B．C．D．
【考点6】可化为一元二次方程的无理方程和分式方程；
11．（23-24八年级下·四川内江·期中）若分式方程有增根，则a的值是（ ）
A．1B．3C．D．
12．（23-24八年级下·上海松江·期中）下列方程中，没有实数根的方程是（ ）
A．B．C．D．
【考点7】 根的判别式求取值范围或求参数；
13．（2024·河南南阳·二模）对于实数a，b定义运算“”为 ，例如： ，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
14．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）若关于x的方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A．2015B．2033C．2024D．2027
【考点8】韦达定理与一元二次方程的解综合；
15．（2024·湖北黄石·二模）设分别为一元二次方程的两个实数根，则（ ）
A．B．C．D．
16．（2024·湖北十堰·二模）已知，是一元二次方程的两个根，则的值等于（ ）
A．8B．9C．10D．与的值有关
【考点9】韦达定理与根的判别式综合；
17．（2024·江苏无锡·一模）设是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为（ ）
A．1B．C．3或D．1或
18．（2024·广东广州·一模）已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值是（ ）
A．B．C．D．或
【考点10】韦达定理与几何问题综合；
19．（21-22九年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知关于x的一元二次方程．若方程的两个根是矩形相邻的两条边长，且矩形对角线长为，则m的值为（ ）
A．B．5C．或5D．9或
20．（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）等腰三角形三边长分别为a，b，3，且a，b是关于x的一元二次方程的两根，则m的值为（ ）
A．15B．16C．15或16D．16或17
【考点11】实际问题与一元二次方程（增长率与营销问题）；
21．（23-24九年级上·江苏镇江·期末）为助力当地经济发展，某地市长连续三天在某直播间推介当地特色产品．据统计，第一天的销售额为1000万元，第三天的销售额达到1960万元，则第二天、第三天销售额的平均增长率为（ ）
A．B．C．D．
22．（2024·山西晋中·二模）某旅游景点的商场销售一款山西文创产品，平均每天可售出件，每件获利元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．调查发现，如果这款文创产品的售价每降低元，那么平均每天可多售出件．商场要想平均每天获利元，这款文创产品每件应降价多少元？设这款文创产品每件降价元，根据题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【考点12】实际问题与一元二次方程（图形与行程问题）；
23．（23-24七年级下·广东深圳·期中）深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则关于的函数关系式为（ ）
A．B．
C．D．
24．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远（ ）
A．步B．步C．步D．步
【考点13】一元二次方程与函数问题.
25．（2024·四川南充·中考真题）当时，一次函数有最大值6，则实数m的值为（ ）
A．或0B．0或1C．或D．或1
26．（23-24九年级上·湖北襄阳·阶段练习）一元二次方程无实根，则一次函数的图象不过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
二、填空题
【考点1】一元二次方程的定义与一般形式；
27．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）若关于x的方程：是一元二次方程，则a的取值范围是 ．
28．（23-24九年级上·湖北恩施·阶段练习）关于x的一元二次方程的一次项系数为4，则常数项为： ．
【考点2】一元二次方程的解及解的估值；
29．（23-24八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）已知实数是关于的一元二次方程的一个解，则的值是 ．
30．（22-23九年级上·山东青岛·期中）根据下表得知，方程的一个近似解为 （精确到0.1）
【考点3】直接开平方法与配方解一元二次方程；
31．（2024·安徽六安·模拟预测）已知关于的一元二次方程有解．
（1）当时，方程的解为 ；
（2）若m是该一元二次方程的一个根，令，则y的最大值和最小值的和为 ．
32．（23-24九年级上·河北邯郸·期末）若关于 的一元二次方程 配方后得到方程 ，则 的值为 ．
【考点4】公式法与因式分解法解一元二次方程；
33．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知是一个关于x的完全平方式，则常数 ．
34．（23-24八年级下·山东烟台·期中）若实数x满足，则代数式的值是 ．
【考点5】配方法的应用；
35．（23-24八年级下·上海闵行·期中）将方程化成两个一次方程是 和 ．
36．（2024·四川巴中·一模）若x、y均为实数，则代数式的最小值是 ．
【考点6】可化为一元二次方程的无理方程和分式方程；
37．（23-24八年级下·四川成都·期中）关于x的方程无解，则 ．
38．（22-23八年级下·上海虹口·期末）关于x的方程有两个不相等的实数解，则k的范围为 ．
【考点7】 根的判别式求取值范围或求参数；
39．（2024·上海徐汇·三模）如果实数x满足，那么的值是 ．
40．（2024·甘肃定西·三模）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
【考点8】韦达定理与一元二次方程的解综合；
41．（2024·广东·二模）若a，b是一元二次方程的两个根，则 ．
42．（23-24八年级下·江苏南通·期中）设，是的两根，则 ．
【考点9】韦达定理与根的判别式综合；
43．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数的取值范围为 ．
44．（2024·浙江杭州·二模）关于一元二次方程，有以下命题：
①若，则；
②若该方程的两根为和1，则；
③若上述方程有两个相等的实数根，则必有实数根；
④若r是该方程的一个根，则一定是方程的一个根．
其中真命题是 ．（只需填写序号）
【考点10】韦达定理与几何问题综合；
45．（23-24九年级上·湖北·周测）若的一条边的长为5，另两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，当 时，是等腰三角形；当 时，是以为斜边的直角三角形．
46．（20-21九年级上·四川眉山·期中）如图，四边形是边长为5的菱形，对角线，的长度分别是一元二次方程的两实数根，是边上的高，则 ．

【考点11】实际问题与一元二次方程（增长率与营销问题）；
47．（23-24八年级下·上海嘉定·期中）某公司在2022年的盈利额为300万元，预计2024年的盈利额将达到363万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在2023年的盈利额为 万元．
48．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，则第二周每个旅游纪念品的销售价格为 元．
【考点12】实际问题与一元二次方程（图形与行程问题）；
49．（2024九年级·全国·竞赛）望望同学和他的体育教练王老师同时从圆形跑道上的同一起点出发，都按顺时针方向跑步，王老师的速度比望望的速度快多了，过一段时间后王老师第一次从后面追上了望望，这时王老师立即改变方向，按逆时针方向以原来的速度跑去，当他们俩再次相遇时，望望恰好跑了4圈，则王老师的速度与望望的速度之比为 ．
50．（22-23九年级上·广东韶关·阶段练习）如图，在宽为、长为的长方形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干块作为小麦试验田，假设试验田面积为，则道路的宽为 ．
【考点13】一元二次方程与函数问题.
51．（2024·浙江台州·一模）点A在一次函数（）的图象上，点B在反比例函数 的图象上．点A，B之间的距离记为k．当时，k的最小值是 ．当k的最小值是0时，则b的取值范围是 ．
52．（2024·四川广元·三模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于 A、B两点上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，在反比例函数第三象限的图象上存在一点P，使点P到直线的距离最短，则点P的坐标为 ．
x
…
…
…
0.56
1.25
1.96
…
参考答案：
1．C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义得出，求出即可，能熟记一元二次方程的定义的内容是解此题的关键．
【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴，
∴，
故选：．
2．D
【分析】首先把方程化成一般形式，然后再确定二次项系数、一次项系数、常数项即可．
【详解】解：将方程化成一般形式，
可得，
∴二次项系数、一次项系数、常数项分别为2，，．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元二方程的一般形式，熟练掌握一元二方程的一般形式是解题关键．
3．B
【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，理解一元二次方程根的定义是解题的关键．根据一元二次方程根的定义，可得一元二次方程中，满足该方程，进而即可求解．
【详解】解：设，则一元二次方程可化为，
，
关于x的一元二次方程有一根为，
一元二次方程有一个根为，
则，即，
一元二次方程必有一根为2025．
故选：B．
4．C
【分析】根据表格中与的值的特征，确定出解的范围即可．
【详解】解：根据表格得：
当时，，
当时，，
则关于的一元二次方程的一个解的范围是．
故选：C．
【点睛】此题考查了估算一元二次方程的近似解，弄清表格中的数据是解本题的关键．
5．D
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，利用根的判别式的定义得到，然后解关于的方程即可．解题的关键是掌握：一元二次方程的根的判别式为．也考查了解一元二次方程．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的根的判别式等于，
∴，
整理，得：，
解得：，，
即的值为或．
故选：D．
6．A
【分析】本题考查一元二次方程的解法、求代数式的值，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．据此解答即可．
【详解】解：，
则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
故选：A．
7．B
【分析】本题考查了一元二次方程的解，公式法解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的解，公式法解一元二次方程是解题的关键．
由题意知，，，则，即，可求，则，即，公式法解方程，然后作答即可．
【详解】解：由题意知，，，
∴，即，
解得，，即，
∴，即，
解得，，，
∴方程一定有实数根，
故选：B．
8．A
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，以及三角形的三边关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键．
根据一元二次方程根的判别式，求得，再将的分别代入一元二次方程求出腰长，结合三角形的三边关系，即可确定m的值．
【详解】解：∵等腰三角形的两腰相等，
∴方程有两个相等的实根，
，，，
，
解得：，
∴，
解得：，
，满足三角形的三边关系，
即m的值是2，
故选：A．
9．A
【分析】本题考查了代数式及配方法，不等式及偶次方的非负性，熟练掌握知识点是解题的关键．先将代入原式，可整理得，再代入到，配方得，进而求解即可．
【详解】∵当时，该多项式的值为，
∴，
整理得，即
∵，
∴，即，
∴，
∴，
四个选项中，只有A符合，
故选：A．
10．A
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，根据反比例函数图象上点的坐标特征可知，把变形为，即可求解．
【详解】解：点是反比例函数图象上一点，
，，
，
，
当，时，有最小值为，
故选：A．
11．B
【分析】本题考查的是分式方程的增根，在分式方程变形的过程中，产生的不适合原方程的根叫做分式方程的增根．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出的值，代入整式方程计算即可求出的值．
【详解】解：去分母得：，
分式方程有增根，
，
，
把代入，
得，
，
经检验：时分式方程有增根，符合题意．
故选B．
12．C
【分析】本题考查了解无理方程，解分式方程和根的判别式等知识点，先把分式方程转化成整式方程,求出方程的解，再进行检验即可判断选项A；根据根的判别式即可判断选项B；根据和算术平方根即可判断选项C；根据二次根式的性质进行判断选项D．
【详解】解：A、，
，
去分母得：，
解得：，
经检验，是分式方程的解，即方程有实数根，不符合题意；
B、，
，方程有实数根，不符合题意；
C、，不论x为何值，，
即，方程无实数根，符合题意；
D、当时，，即方程有实数根，不符合题意，
故选：C．
13．A
【分析】本题考查定义新运算，根的判别式，先根据新运算的法则，列出一元二次方程，再根据判别式，判断根的情况即可．
【详解】解：由题意，得：，
即：，
∴；
∴方程有两个不相等的实数根；
故选：A．
14．A
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，以及代数式求值，根据一元二次方程判别式与根的关系可得到，进而得到，然后进一步整体代入求解即可．
【详解】解：关于x的方程有两个相等的实数根，
，
整理得，
有，
，
故选：A．
15．B
【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根和系数的关系，代数式求值，由一元二次方程根的定义可得，进而得，由一元二次方程根和系数的关系可得，再把转化为，代入前面所得式子的值计算即可求解，掌握一元二次方程根的定义及根和系数的关系是解题的关键．
【详解】解：∵分别为一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴，
故选：．
16．B
【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，利用一元二次方程的解及根与系数的关系，找出“，，”是解题的关键．利用一元二次方程的解及根与系数的关系可得出，，，再将其代入中即可求出结论．
【详解】解：，是一元二次方程的两个根，
，，，
．
故选：B．
17．A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数关系：．
先根据一元二次方程根与系数的关系得出，再得出，得出关于m的一元二次方程，求解，再根据判别式检验即可．
【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，
∵，
∴，
整理得：，
，
解得：或，
当时，原方程为，，
则原方程有实数根，符合题意；
当时，原方程为，，
则原方程无实数根，不符合题意；
综上：．
故选：A．
18．C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，由可知，然后根据根与系数的关系代入计算即可；熟知一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程根的判别式是关键．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，，
经检验时，，符合题意；
故的值为
故选：C．
19．B
【分析】利用根与系数的关系可用m表示出和，再利用矩形的性质可得到，可得到关于m的方程，则可求得m的值，再根据实际情况选取符合实际的值．
【详解】解：由题意可知、为方程有两个实数根，
，，
，
四边形为矩形，则有，
，
整理可得，即，
解得或，
方程有两个实数根，
当，，，、为正数，符合题意；
当，，、不全为正数，不符合题意；
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，利用矩形的性质得到关于m的方程是解题的关键．
20．D
【分析】本题考查了根与系数的关系、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，分两种情况讨论，①当底是4时，②当腰为4时，结合根与系数的关系即可求解，分3为底边长或腰长两种情况考虑是解题的关键．
【详解】当3为底边长时，则，
∴，
∵4，4，3能围成三角形，
∴，
解得：；
当3为腰长时，a、b中有一个为3，假定，
∴
∴
∴另一个边长为5，
∵5，3，3能围成三角形，
∴，
解得：；
∴m的值为17或16，
故选：D．
21．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，在解题时要根据已知条件找出等量关系，列出方程是本题的关键．
增长后的量增长前的量增长率），设人均年收入的平均增长率为，根据题意即可列出方程．
【详解】解：设第二天、第三天销售额的平均增长率为，
．
解得：，
，
所以，（舍去）．
答：第二天、第三天销售额的平均增长率为．
故选：C．
22．C
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设这款文创产品每件降价元，根据题意列出方程即可，根据题意列出方程是解题的关键．
【详解】解：设这款文创产品每件降价元，
根据题意可列方程为：，
故选：．
23．D
【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式是解题的关键．由铁栅栏的全长及的长，可得出平行于墙的一边长为米，再利用长方形的面积公式，即可找出关于的函数关系式．
【详解】解：铁栅栏的全长为15米，米，
平行于墙的一边长为米．
根据题意得：．
故选：D
24．C
【分析】题目主要考查一元二次方程的应用，勾股定理的运用，根据题意作出如下图所示，设经秒二人在处相遇，可得：，，，然后利用勾股定理列出方程求解，然后即可得出甲走的步数．
【详解】设经x秒二人在B处相遇，这时乙共行走：，

甲共行走：，
，
，
又，
，
，
解得：（舍去）或，
，
，
即甲走了步，
故选：C．
25．A
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，以及解一元二次方程，分两种情况，当时和当，根据一次函数性质列出关于m的一元二次方程，求解即可得出答案．
【详解】解：当即时，一次函数y随x的增大而增大，
∴当时，，
即，
整理得：
解得：或（舍去）
当即时，一次函数y随x的增大而减小，
∴当时，，
即，
整理得：
解得：或（舍去）
综上，或，
故选：A
26．A
【分析】根据判别式的意义得到，解得，然后根据一次函数的性质可得到一次函数图象经过的象限．
【详解】解：∵一元二次方程无实数根，
∴，
∴，
∴，
即，
∴一次函数的图象经过二、三、四象限，不经过第一象限；
故选：A.
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一次函数图象与系数的关系，掌握根的判别式是解题的关键.
27．
【分析】方程可整理为，再根据一元二次方程定义直接列式即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴
∵是关于的一元二次方程，
∴，
则，
故答案为：．
【点睛】本题考查根据一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义：是解决问题的关键．
28．5
【分析】移项并整理，然后根据一次项系数列方程求出a的值，再求解即可．
【详解】解：
整理得：，
∵一次项系数为4，
∴，解得：，
∴常数项：，
故答案为：5．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确得出a的值是解题关键．
29．
【分析】本题考查了一元二次方程的解是指能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先把代入方程得到，变形可得，，然后把它们整体代入中，通分、化简、约分即可．
【详解】实数是关于的一元二次方程的一个解，
，
，
，
故答案为：
30．
【分析】看0在相对应的哪两个的值之间，那么近似根就在这两个对应的的值之间．
【详解】解：，
当时，随增大而减小，
根据表格得，当时，，即，
∵0距近一些，
∴方程的一个近似根是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．
31． ， 2
【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程、一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）当时，则，再利用直接开平方法求解即可；
（2）根据原方程有解得出，将代入方程得出，从而得到，求出的最大值与最小值即可得解．
【详解】解：（1）当时，则，
解得，，
故答案为：，；
（2）关于的一元二次方程有解，
，
得．
若是该一元二次方程的一个根，则，
得，
，
的最大值为4，
∴当取最大值时，取最大值，的最大值为．
∵的最小值为，
∴的最大值和最小值的和为，
故答案为：．
32．
【分析】本题考查了配方法，代数式求值，先对方程配方得，再跟方程对照得到，，得到，，代入算式计算即可求解，掌握配方法是解题的关键．
【详解】解：方程移项得，，
配方得，，
即，
∵一元二次方程 配方后得到方程 ，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
33．
【分析】本题考查了完全平方式及解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
利用完全平方公式的结构特征判断得出，然后解方程即可得出结果．
【详解】解：∵是一个关于x的完全平方式，
∴
∴
∴，
∴，
故答案为：．
34．2
【分析】本题考查了解一元二次方程．设，则，利用因式分解法求得即可．
【详解】解：设，则，
∴，
∴或，
解得或，
即或（方程无解，舍去），
∴代数式的值是2，
故答案为：2．
35．
【分析】本题主要考查高次方程的知识点，解答本题的关键是熟练运用因式分解，此题比较简单．首先把方程的前两项构成完全平方式，然后进行因式分解把二次方程化成两个一元一次方程即可．
【详解】解：，
，
，
，
解得：，，
故答案为：，．
36．
【分析】此题考查了配方法，将转化为，即可得到原式的最小值，熟练掌握配方法是解本题的关键．
【详解】解：可转换为，
当时，原式取到最小值，为1，
故答案为：1．
37．0或6/6或0
【分析】本题考查分式方程无解求参数的值，将分式方程转化为整式方程后，根据分式方程无解分两种情况：整式方程无解和分式方程有增根，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：方程去分母，得：，
整理，得：，
∵方程无解，
∴，
∴或，
当时，，当时，；
故答案为：0或6．
38．
【分析】利用平方法将原方程转化为一元二次方程，然后根据判别式的意义解不等式即可．
【详解】解：，
，
∴，
∵关于x的方程有两个不相等的实数解，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】此题考查了一元二次方程的根的判别式：当0，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
39．3
【分析】本题主要考查了用换元法解一元二次方程、解分式方程，利用完全平方公式把方程变形是解题的关键．
利用完全平方公式把方程变形为，利用换元法，设，则，转化为解一元二次方程，求出可能的值，分别得出分式方程，计算检验是否有解，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
，
设，则，
因式分解得：，
∴或，
解得：或，
当时，则，
整理得：，
∴，
解得：，，
经检验，，都是方程的解，
∴的值为；
当时，则，
整理得：，
，
∴时，方程无解．
综上所述，的值为，
故答案为：．
40．且
【分析】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式的意义，解题的关键是记住：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．根据一元二次方程的定义结合根的判别式的意义列不等式求解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，且，
解得，且，
故答案为：且．
41．4
【分析】本题考查根与系数的关系及一元二次方程的解，关键掌握用根与系数的关系与代数式变形相结合进行解题．由题意可得，，再整体代入计算即可．
【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，
∴
；
故答案为：
42．2016
【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题意得出，，，，再逐步代入计算即可得出答案．
【详解】解：∵，是的两根，
∴，，，，
∴，，
∴
，
故答案为：．
43．
【分析】本题考查了根的判别式、一元二次方程根系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一元二次方程的知识解答．根据关于x的方程有两个不相等的实数根，，可以得到a的取值范围，再根据得出，利用根与系数的关系得出，，再利用分类讨论的方法求出a的取值范围，本题得以解决．
【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，，
∴，
解得，
∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
当时，解不等式得：，
∴；
当时，解不等式得：，
∴此时无解；
综上分析可知：．
故答案为：．
44．①②④
【分析】本题主要考查一元二次方程的根，根据题意得，则，故①是真命题；根据题意得，则②是真命题；由题意得，则方程的判别式：，由于a的符号不确定，故③是假命题；由题意得，且，则，有，可得是的一个根，故④是真命题．
【详解】解：若，则，
∴，故①是真命题；
若该方程的两根为和1，则，
∴，
∴，故②是真命题；
若有两个相等的实数根，则，
∴的判别式：，
∵a的符号不确定，
∴方程根的情况不确定，故③是假命题；
若r是该方程的一个根，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的一个根，故④是真命题；
故答案为：①②④．
45． 或
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
要使是等腰三角形，结合方程根的判别式可得时，把代入求出的值即可．
要使是以为斜边的直角三角形，根据勾股定理，，再根据根与系数的关系求出答案即可．
【详解】解：，
故方程总有两个不相等的实数根，
若时，把代入，
得，
解得或，
无论为何值，，
，故或；
根据根与系数的关系：，
则，
即，
解得或，
根据三角形的边长一定为正数，故，
解得，
．
故答案为：3或4；2．
46．//
【分析】根据菱形的性质得出，，，，求出，根据勾股定理得出，根据根与系数的关系得出，，变形后代入求出的值，即可得出答案．
【详解】解：四边形是菱形，
，，，，
，
，
对角线，的长度分别是一元二次方程的两实数根，
，，
，，
，
，
解得：，，
当时，，不符合题意，舍去，
即，
则，，
是边上的高，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质和面积，勾股定理，根与系数的关系的应用，能得出关于的方程是解此题的关键，注意：菱形的对角线互相平分且垂直．
47．330
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设平均每年盈利额增长的百分率为x，利用2023年的盈利额年的盈利额平均每年盈利额增长的百分率，列出一元二次方程，解之取其正值得出平均每年盈利额增长的百分率，即可解决问题．
【详解】解：依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去），
（万元）
即该公司在2022年的盈利额为330万元，
故答案为：330．
48．9
【分析】本题考查一元二次方程的应用，由纪念品的进价和售价以及销量分别表示出两周的总利润，根据“这批旅游纪念品共获利1250元”等式求出即可．理解题意，正确列出方程是解答的关键．
【详解】解：设降低x元，由题意得出:
，
整理得：，
解得：．
∴．
即：第二周的销售价格为9元．
故答案为：9．
49．
【分析】本题考查的是有关环形跑道的问题，解决本题的关键是设环形跑道周长为，根据甲、乙两人两次相遇时所用的时间相等建立等量关系．设王老师的速度为，望望的速度为，圆形跑道的周长为，根据望望和王老师两人两次相遇时所用的时间相等建立等量关系，然后将方程恒等变形后解方程就可解决问题．
【详解】解：设王老师的速度为，望望的速度为，圆形跑道的周长为，则
，
整理得，
解得（舍去）或．
则王老师的速度与望望的速度之比为，
故答案为：
50．/1 米
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设道路的宽为xm，则种植小麦的部分可合成长为 ，宽为的矩形，根据试验田面积为，即可得出关于x的一元二次方程，化简后即可得出结论．
【详解】解：设道路的宽为xm，则种植小麦的部分可合成长为，宽为的矩形，依题意得
，
化简得．
解得：，（不合题意舍去）
故答案为：．
51． 0
【分析】本题考查一次函数图象及性质，根据题意可得当时，一次函数为，反比例函数为，继而求得俩函数交点为，即可求出k的最小值，第二空利用有交点联立方程组即为，继而得到本题答案．
【详解】解：∵，
∴一次函数为：，反比例函数为：，
∴，解得：，
∴俩函数交于点时距离最小，即k的最小值为0，
∵k的最小值是0时，
∴，整理得：，
∴，即：，
∵，
∴，
故答案为：0，．
52．
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，二次根式的运算，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据反比例函数确定点A、B坐标，利用待定系数法求出次函数解析式，过点点P作直线，当直线与反比例函数只有一个交点时，点P到直线的距离最短，联立求解将问题转化为一元二次方程，利用判别式，构建方程求解即可．
【详解】解：反比例函数过点A、B，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，
，，
一次函数过点A、B，
，
解得，
一次函数解析式为，
过点P作直线，
当直线与反比例函数只有一个交点时，点P到直线的距离最短，设直线的解析式为，
点P为直线与反比例函数的交点，
，即，
，
即，解得（不合题意，舍去）或，
，解得，
当时，，
点P的坐标为．