苏科版（2024）1.1 一元二次方程习题

这是一份苏科版（2024）1.1 一元二次方程习题，共28页。

【考点1】一元二次方程的定义与一般形式；
【考点2】一元二次方程的解（整体思想）；
【考点3】直接开平方法与配方解一元二次方程；
【考点4】公式法与因式分解法解一元二次方程；
【考点5】可化为一元二次方程的无理方程和分式方程；
【考点6】配方法求（最）值、比较大小与求值；
【考点7】根的判别式判断根的情况与求参数取值范围；
【考点8】韦达定理求值；
【考点9】韦达定理与根的判别式综合；
【考点10】韦达定理与根的判别式求特殊几何图形中的值；
【考点11】实际问题与一元二次方程（增长率与营销问题）；
【考点12】实际问题与一元二次方程（图形与行程问题）；
【考点13】一元二次方程一次函数问题；
单选题
【考点1】一元二次方程的定义与一般形式；
1．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25九年级上·浙江·假期作业）若一元二次方程（为常数），化成一般形式为，则的值分别是（ ）
A．B．C．D．
【考点2】一元二次方程的解（整体思想）；
3．（23-24八年级下·河南郑州·期末）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ）
A．2024B．2025C．2026D．2027
4．（23-24八年级下·山东烟台·期中）若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值等于（ ）
A．2027B．2024C．2025D．2026
【考点3】直接开平方法与配方解一元二次方程；
5．（2024·山东滨州·三模）方程的解为（ ）
A．B．2C．D．
6．（23-24八年级下·浙江衢州·期中）用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ）
A．B．C．D．
【考点5】可化为一元二次方程的无理方程和分式方程；
7．（23-24八年级下·全国·假期作业）在用公式法解方程时，下列求根公式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2024·浙江金华·二模）已知和是关于x的函数，当时，函数值分别是和，若存在实数a，使得，则称函数和是“奇妙函数”．以下函数和不是“奇妙函数”的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【考点6】配方法求（最）值、比较大小与求值；
9．（2024八年级下·江苏·专题练习）若分式方程无解，则实数a的取值是（ ）
A．0或2B．4C．8D．4或8
10．（23-24八年级下·上海宝山·期末）下列方程为无理方程的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点7】根的判别式判断根的情况与求参数取值范围；
11．（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）已知，则的最小值是（ ）
A．B．0C．2D．4
12．（23-24八年级下·四川眉山·期中）已知、是实数，，．则、的大小关系是（ ）
A．B．C．＜D．＞
【考点8】韦达定理求值；
13．（2024·河南驻马店·三模）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）
A．B．
C．D．
14．（24-25八年级上·上海·假期作业）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
【考点9】韦达定理与根的判别式综合；
15．（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）关于的一元二次方程一个实数根为2，则另一实数根和的值分别为（ ）
A．6，B．，C．6，4D．，4
16．（2024·广东佛山·三模）已知是方程的一个根，则它的另一根是（ ）
A．B．C．D．
【考点10】韦达定理与根的判别式求特殊几何图形中的值；
17．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）一元二次方程根的情况是（ ）
A．有两个相等的实根B．有两个正根
C．有两个负根D．有一个正根，一个负根
18．（2024九年级·全国·竞赛）已知方程有两个同号的实数根，则的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【考点11】实际问题与一元二次方程（增长率与营销问题）；
19．（2021·贵州遵义·三模）等腰三角形三边长分别为、、2，且、是关于的一元二次方程的两根则的值为（ ）
A．15B．24C．15或24D．22或24
20．（19-20九年级上·山东·课后作业）已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程的根，则等于( )
A．B．C．D．
【考点12】实际问题与一元二次方程（图形与行程问题）；
21．（21-22九年级上·福建福州·阶段练习）某厂一月份的总产量为500吨，三月份的总产量达到为720吨．若平均每月增长率是x，则可以列方程（ ）
A．B．
C．D．
22．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）中秋节临近，某商场平均每天可销售月饼100盒，每盒可盈利20元．中秋节过后，月饼因滞销而降价，如果降价1元，则每天可多售出2盒，若要平均每天盈利1650元，则每盒应降价多少元？设每盒应降价元，根据题意，可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【考点13】一元二次方程一次函数问题；
23．如图，东西方向上有A，C两地相距10千米，甲以16千米/时的速度从A地出发向正东方向前进，乙以12千米/时的速度从C地出发向正南方向前进，那么最快经过( )小时，甲、乙两人相距6千米？
A．B．C．1.5D．
24．（23-24八年级下·山东威海·期中）如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成．为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的木板门，设花圃与墙垂直的一边长为，若花圃的面积为，所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
25．（23-24九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P在线段上（不与点A、B重合），过点P分别作和的垂线，垂足为C，D．当矩形的面积为4时，点P的坐标为（ ）

A．B．C．或D．或
26．（2022·广东深圳·二模）如图，一次函数y＝2x+3的图像交y轴于点A，交x轴于点B，点P在线段AB上（不与A，B重合），过点P分别作OB和OA的垂线，垂足分别为C，D．当矩形OCPD的面积为1时，点P的坐标为（）
A．B．（1，1）C．或（1，1）D．不存在
填空题
【考点1】一元二次方程的定义与一般形式；
27．（23-24八年级下·山东威海·期中）若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ．
28．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）方程化为一元二次方程的一般形式是 ．
【考点2】一元二次方程的解（整体思想）；
29．（2024·福建厦门·三模）已知一元二次方程的一个根为1，则 ．
30．（2024·福建·模拟预测）已知为方程的根，那么的值为
【考点3】直接开平方法与配方解一元二次方程；
31．（23-24八年级下·吉林长春·期中）将一元二次方程化成的形式，则 ．
32．（2024·河北张家口·三模）若关于的一元二次方程的两个根均为正整数，写出满足条件的一个的值为 ．
【考点4】公式法与因式分解法解一元二次方程；
33．（23-24九年级上·四川成都·期末）定义：我们把形如的数成为“无限连分数”．如果a是一个无理数，那么a就可以展成无限连分数，例如：，如果，则 ．
34．（2024八年级下·浙江·专题练习）一元二次方程的根是 ．
【考点5】可化为一元二次方程的无理方程和分式方程；
35．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知关于的分式方程，则该分式方程的解为 ．
36．（2024·上海·模拟预测）方程的解为
【考点6】配方法求（最）值、比较大小与求值；
37．（2024·四川巴中·一模）若x、y均为实数，则代数式的最小值是 ．
38．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，则点关于轴的对称点坐标是 ．
【考点7】根的判别式判断根的情况与求参数取值范围；
39．（2024·上海徐汇·二模）关于的一元二次方程根的情况是：原方程 实数根．
40．（23-24九年级下·山东淄博·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
【考点8】韦达定理求值；
41．（2024·江西宜春·模拟预测）一元二次方程的两根分别为，，则 ．
42．（2024·四川泸州·三模）若，且有，及，则的值是 ．
【考点9】韦达定理与根的判别式综合；
43．（2024·江西南昌·二模）已知，为关于的方程的两个实数根，若，则 ．
44．（2024·北京东城·二模）若关于的一元二次方程的两个实数根的差等于2，则实数的值是 ．
【考点10】韦达定理与根的判别式求特殊几何图形中的值；
45．（20-21九年级上·福建厦门·期中）设x1、x2是方程x2﹣6x+a＝0的两个根，以x1、x2为两边长的等腰三角形只可以画出一个，则实数a的取值范围是 ．
46．（23-24九年级上·湖南岳阳·期中）如图，四边形是边长为5的菱形，对角线的长度分别是一元二次方程的两实数根，是边上的高，则值为

【考点11】实际问题与一元二次方程（增长率与营销问题）；
47．（2024·江苏南通·模拟预测）某商品进价为25元，当每件售价为50元时，每天能售出100件，经市场调查发现，每件售价每降低1元，则每天可多售出5件，店里每天的利润要达到1500元．若设店主把该商品每件售价降低x元，求解可列方程为 ．
48．（2024·浙江嘉兴·三模）随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．据统计某市2024年4月份累计租车6500人次，租车量逐月增加，预计到6月份租车量达7600人次，求平均每个月的增长率．若设平均每月增长率为x，根据题意可列方程为 ．
【考点12】实际问题与一元二次方程（图形与行程问题）；
49．（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，绿化的面积为，则道路的宽为 ．
50．（18-19九年级上·山东·单元测试）甲、乙两人同时从地出发，骑自行车去地，已知甲比乙每小时多走千米，结果比乙早到小时，若两地相距千米，则乙每小时 千米．
【考点13】一元二次方程一次函数问题；
51．（23-24九年级上·江西九江·阶段练习）若关于的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过第 象限．
52．（2023·浙江台州·一模）已知点在一次函数图象上，则的最小值为 ．
参考答案：
1．C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解并掌握一元二次方程的定义是解题关键．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论．
【详解】解：A. ，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意；
B. ，当时不是一元二次方程，不符合题意；
C. ，整理可得，是一元二次方程，符合题意；
D. ，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意．
故选：C．
2．B
【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式．要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式，根据完全平方公式、移项法则把原方程化为一般形式，根据题意列出方程，解方程得到答案．
【详解】解：，
则，
∴，
由题意得：，，
解得：，，
故选：B．
3．B
【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，理解一元二次方程根的定义是解题的关键．根据一元二次方程根的定义，可得一元二次方程中，满足该方程，进而即可求解．
【详解】解：设，则一元二次方程可化为，
，
关于x的一元二次方程有一根为，
一元二次方程有一个根为，
则，即，
一元二次方程必有一根为2025．
故选：B．
4．D
【分析】本题考查一元二次方程的解，掌握方程解的概念和整体代入思想是解题的关键．
将代入一元二次方程，求得，整体代入即可．
【详解】解：将代入一元二次方程得，
，即
∴．
故选：D．
5．D
【分析】本题考查了直接开方法解一元二次方程的，解答此题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法．利用直接开平方法求解即可．
【详解】解：
∴，
．
故选D．
6．D
【分析】本题主要考查用配方法解一元二次方程，将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得．
【详解】
．
故选：D．
7．D
【解析】略
8．B
【分析】本题考查了解一元二次方程、分式方程，根据题意令，然后得出关于x的方程，如果方程有解，则称函数和是“奇妙函数”，若无解，则称函数和不是“奇妙函数”．
【详解】解：A、令，
则，
整理得：，
解得：，，
∴函数和是“奇妙函数”，故A不符合题意；
B、令，
则，
整理得：，
∵，
∴方程无实数解，
∴函数和不是“奇妙函数”，故B符合题意；
C、令，
则，
整理得：，
解得：，，
∴函数和是“奇妙函数”，故C不符合题意；
D、令，
则，
整理得：，
解得：，，
∴函数和是“奇妙函数”，故D不符合题意．
故选：B．
9．D
【分析】本题考查的是分式方程的增根，增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0叫做原方程的增根．先把分式方程化为整式方程，确定分式方程的增根，代入计算即可．
【详解】解：
去分母，得，
去括号、移项、合并同类项，得，
两边同时除以2，得．
若原分式方程无解，则，
解得或2．
当时，，解得；
当时，，解得．
∴或8．
故选：D．
10．B
【分析】本题考查了无理方程的定义，能熟记无理方程的定义是解此题的关键，注意：根号内含有未知数的方程叫无理方程．
根据无理方程的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．根号内不含有未知数，方程属于有理方程，不属于无理方程，故本选项不符合题意；
B．根号内含有未知数，方程属于无理方程，故本选项符合题意；
C．根号内不含有未知数，方程属于有理方程，不属于无理方程，故本选项不符合题意；
D．根号内不含有未知数，方程属于有理方程，不属于无理方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
11．D
【分析】本题考查了配方法的应用．利用配方法对原式进行变形，再根据偶次方的运算计算出结果．
【详解】解：
因为，，
，
所以当，时，
原式有最小值4，
故选：D．
12．B
【分析】判断、的大小关系，把进行整理，判断结果的符号可得、的大小关系．考查了配方法的应用；关键是根据比较式子的大小进行计算；通常是让两个式子相减，若为正数，则被减数大；反之减数大．
【详解】解：，
，，
，
，
故选：B
13．C
【分析】本题主要考查根的判别式，分别求出每个方程判别式的值，根据判别式的值与方程的解的个数间的关系得出答案．
【详解】解：A．∵，
∴方程没有实数根，不符合题意；
B．∵，
∴方程有两个相等的实数根，不符合题意；
C．方程化为，
∵，
∴方程有两个不相等的实数根，符合题意；
D．∵，
∴方程没有实数根，不符合题意；
故选：C．
14．D
【分析】本题主要考查了一元二次方程有实数根的情况，一元二次方程的定义，解不等式，熟练地掌握根的判别式在不同情况下根的情况是解题的关键．当时，一元二次方程有实数根；否则，无实数根．
根据题意可得，然后解不等式即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：且．
故选：D．
15．D
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．设该方程的两个实数根为和，由根与系数的关系得，，，将代入即可求解．
【详解】解： 设关于的一元二次方程实数根为和，
则：，，
，解得，
，解得，
故选：D．
16．C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握、是一元二次方程的两个根，则有是解题的关键．
【详解】解：设另一根是，则有
，
解得：，
故选：C．
17．D
【分析】本题考查了一元二次方程（为常数）的根的判别式与根的个数．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．熟练掌握相关知识点是解题的关键．求出，判断其符号即可得解，也考查了根与系数的关系．
【详解】解：由，得，
，又，
，
该方程有两个不相等的实根，并设为，，
∵，
∴两个根为一个正根，一个负根．
故选：D．
18．B
【分析】本题考查根的判别式和根与系数的关系，理解“时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程没有实数根”并灵活运用是解题的关键．
首先根据有两个实数根得到，求出，然后由两根同号得到，求出，即可求解．
【详解】∵方程有两个同号的实数根，
∴
解得；
∵两根同号，
∴
∴解得
．
故选：B．
19．B
【分析】分2为底边长或腰长两种情况考虑：当2为底时，由a=b及a+b=10即可求出a、b的值，利用三角形的三边关系确定此种情况存在，再利用根与系数的关系找出n+1=5×5即可；当2为腰时，则a、b中有一个为2另一个为8，由2、2、8不能围成三角形可排除此种情况．综上即可得出结论．
【详解】解：当2为底边长时，则a=b，
∵、是关于的一元二次方程的两根，
∴a+b=10，ab= n+1，
∴a=b=5．
∵5，5，2能围成三角形，
∴n+1=5×5，
解得：n=24；
当2为腰长时，a、b中有一个为2，则另一个为8，
∵8，2，2不能围成三角形，
∴此种情况不存在．
故选：B．
【点拨】本题考查了根与系数的关系、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，分2为底边长或腰长两种情况考虑是解题的关键．
20．A
【分析】由题意可知：菱形ABCD的边长是5，则，则再根据根与系数的关系可得：；代入中，得到关于m的方程后，求得m的值．
【详解】由直角三角形的三边关系可得：
又有根与系数的关系可得：
∴
整理得：
解得：m=−3或5.
又∵,
∴ 解得
∴.
故选:A.
【点拨】考查一元二次方程根与系数的关系以及菱形的性质，注意掌握勾股定理在解题中的应用.
21．B
【分析】增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设平均每月增率是x，那么根据三月份的产量可以列出方程．
【详解】解：设平均每月增率是x，
二月份的产量为：500×（1+x）；
三月份的产量为：；
故选：B．
【点拨】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键.
22．C
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意设每盒应降价元，再根据利润=（售价-进价）销量即可列出方程．
【详解】解：设每盒应降价元，
∵商场平均每天可销售月饼100盒，如果降价1元，则每天可多售出2盒，
∴销量为：盒，
∵平均每天盈利1650元，
∴，
故选：C．
23．A
【分析】根据题意表示出BC，DC的长，进而利用勾股定理求出答案
【详解】解：设最快经过x小时，甲、乙两人相距6km，根据题意可得：
BC＝（10﹣16x）km，DC＝12xkm，
因为BC2+DC2＝BD2，
则（10﹣16x）2+（12x）2＝62，
解得：x1＝x2＝0.4．
答：最快经过0.4小时，甲、乙两人相距6km．
故选A．
【点拨】此题主要考查了勾股定理以及一元二次方程的应用，利用勾股定理列出方程是解题的关键．
24．A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，根据花圃面积为即可列出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，
根据题意得：．
故选：A．
25．D
【分析】设，根据矩形的面积为4求解即可．
【详解】解：设，则，
由题意可得：，化简可得：
解得或
即点的坐标为：或
故选：D
【点拨】此题考查了一元二次方程的应用，涉及了一次函数的性质，解题的关键是理解题意，正确的列出方程．
26．C
【分析】设，由题意可得，则，，列方程求解即可．
【详解】解：设，
由题意可得：，
点P在线段AB上（不与A，B重合），则
∴，，
由题意可得：，即，
解得：或，均符合题意，
即，或
故选：C
【点拨】此题考查了一元二次方程的应用，涉及了一次函数的性质，解题的关键是设点P坐标，根据题意列出方程．
27．1
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题关键是根据一元二次方程的定义列出方程，注意：二次项系数不为0．根据未知数的次数为2和二次项系数不为0列方程和不等式求解即可．
【详解】解：∵是关于的一元二次方程，
∴，，
解得，；
故答案为：1．
28．
【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．去括号合并同类项整理即可．
【详解】解：∵
∴
∴
故答案为：
29．
【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解的定义，将代入原方程，列出关于的方程，然后解方程即可．
【详解】解：关于的一元二次方程的一个根为，
满足一元二次方程，
，
解得，．
故答案为：．
30．
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义；将方程的根代入方程，化简得，将代数式变形，整体代入求值即可．
【详解】∵为方程的根，
∴，
∴，
∴原式
．
故答案为：．
31．
【分析】此题考查的是配方法的应用，在方程的两边都加上 ，配方后可求解的值，从而可得答案．
【详解】解：∵ ，
，
，
．
故答案为：．
32．（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了解一元二次方程及一元一次不等式组的应用，熟练求解一元二次方程是解题的关键，先解一元二次方程，然后根据个根均为正整数列不等式组求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
∵关于的一元二次方程的两个根均为正整数，
∴，且为正整数，
解得，且为正整数，
∴可以为
故答案为：（答案不唯一）．
33．或
【分析】根据题意，得，整理得，解方程即可．
本题考查了新定义问题，正确转化成分式方程，一元二次方程是是解题的关键．
【详解】根据题意，得，
整理得，
解得．
经检验，是原方程的根，
故答案为：或．
34．，
【分析】先移项，再提公因式，使每一个因式为0，从而得出答案．本题考查了一元二次方程的解法：解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
【详解】解：移项，得，
提公因式得，，
或，
，．
故答案为：，．
35．
【分析】本题考查了解分式方程以及因式分解法解一元二次方程，先把分式方程化为整式方程，再移项合并同类项，运用因式分解法解方程，注意验根，即可作答．
【详解】解：
去括号，得
得
即、
解得
经检验，是原方程的解，使得原方程无解
∴该分式方程的解为
故答案为：
36．
【分析】本题考查了解无理方程，将方程两边同时平方，再解方程得出的值，检验即可得出答案．
【详解】解：两边平方得：，
移项得：，
解得：，，
经检验，是原方程的解，
故答案为：．
37．
【分析】此题考查了配方法，将转化为，即可得到原式的最小值，熟练掌握配方法是解本题的关键．
【详解】解：可转换为，
当时，原式取到最小值，为1，
故答案为：1．
38．
【分析】本题考查的是配方法的应用，关于轴、轴对称的点的坐标，利用配方法把原式化为平方和的形式，根据偶次方的非负性分别求出、根据关于轴对称的点的坐标特征解答，掌握完全平方公式，偶次方的非负性是解题的关键．
【详解】解：
∴，
∴，
则 ，，
解得：，，
则点 关于轴的对称点坐标是，
故答案为：．
39．有两个不相等的
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可．
【详解】解：由题意得，，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故答案为：有两个不相等的．
40．
【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，掌握一元二次方程根的判别式的运用是解题的关键．
根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得，由此即可求解．
【详解】解：根据题意得，，
∴
解得，，
故答案为： ．
41．
【分析】此题考查一元二次方程根与系数的关系式：一元二次方程，两根的和等于，两根的积等于，熟记公式是解题的关键.根据一元二次方程根与系数的关系得到，再将代数式化简代入即可得到答案.
【详解】∵一元二次方程的两根分别为，，
∴，
∴，
故答案为：.
42．
【分析】
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系和解的定义，方程两边同时除以，等式仍成立，和可看作方程的两根，由此可解答．
【详解】
解：，
，即，
和可看作方程的两根，
，即．
故答案为：．
43．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根及根的判别式，先根据题意可知，求出k的取值范围，再根据一元二次方程的根及根与系数的关系代入等式，求出答案即可．
【详解】根据题意可知，
即，
解得．
∵，是方程的根，
∴，．
∵，
则，
解得．
故答案为：．
44．或
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，设方程的两个根为，，由题意得：，，，再利用完全平方公式的变形得出，求出的值，再利用判别式检验即可得出答案．
【详解】解：设方程的两个根为，，
由题意得：，，，
，
，
解得：或，
当时，，符合题意；
当时，，符合题意，
综上所述，实数的值是或，
故答案为：或．
45．或
【分析】用公式法解一元二次方程，结合二次根式有意义的条件及三角形边长为正的性质，可解得进而分两种情况讨论：当时，或当时，根据一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、等腰三角形的性质解题即可．
【详解】设为方程的两个根，则
（1）当时，
即
时为正三角形；
（2）当时，
以为腰的等腰三角形必有一个，
又因为等腰三角形只有一个，故不存在以为底，为腰的三角形，
综上所述：当或时只有一个等腰三角形
故答案为：或．
【点拨】本题考查三角形三边关系、等腰三角形的性质、根的判别式、根与系数的关系，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
46．
【分析】本题考查了菱形的面积，一元二次方程根与系数的关系的应用，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解．
【详解】解：对角线的长度分别是一元二次方程的两实数根，
，
，
是边上的高，四边形是边长为5的菱形，
，
，
．
故答案为：．
47．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意列出方程是解题关键．
设每件商品售价降低元，根据题意列出方程即可．
【详解】解：设每件商品售价降低元
则每天的利润为：，
故答案为：．
48．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，可得月份租车量为次，进而可求解；掌握增长率的典型模型（）的解法是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
故答案：．
49．2
【分析】本题考查了一元二次方程的运用，理解题目中的数量关系，设道路的宽为，由此列式求解即可，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【详解】解：设道路的宽为，
∴，整理得，，
∴，
解得，，（不符合题意，舍去），
∴道路的宽为，
故答案为：2 ．
50．
【分析】设乙每小时走千米，则甲每小时走千米，根据题意“甲比乙每小时多走千米，结果比乙早到小时”列出方程，解方程即可求解．
【详解】设乙每小时走千米，则甲每小时走千米，
根据题意得：，
解得或（舍去），
经检验是原方程的解；
故答案为12．
【点拨】本题考查了分式方程的应用，解一元二次方程，根据题意列出方程是解题的关键．
51．一
【分析】先根据一元二次方程无实数根得到，求出，即可得到一次函数的图象经过二、三、四象限，不经过第一象限．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根，
∴，
∴，，，
∴一次函数的图象经过二、三、四象限，
∴一次函数的图象不经过第一象限．
故答案为：一．
【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式，一次函数的图象等知识．一元二次方程 的根与判别式有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根．熟知一元二次方程根的判别式和一次函数的图象与性质是解题关键．
52．
【分析】将点代入一次函数解析式得出，，代入代数式，根据配方法即可求解．
【详解】解：∵点在一次函数图象上，
∴
∴
故答案为：．
【点拨】本题考查了一次函数的性质，配方法的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．