苏科版（2024）九年级上册第1章 一元二次方程1.1 一元二次方程课时作业

这是一份苏科版（2024）九年级上册第1章 一元二次方程1.1 一元二次方程课时作业，共40页。试卷主要包含了1 一元二次方程，36万元，2022年达到2等内容，欢迎下载使用。


知识点一
一元二次方程的概念
◆1、一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
◆2、一元二次方程必须同时满足的条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
④二次项系数不能为 0 .
知识点二
一元二次方程的一般形式
◆一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a≠0）．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
知识点三
一元二次方程的解（根）
◆一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
◆一元二次方程的解（根）满足的条件：
未知数的值；（2）使方程左右两边相等.
题型一 一元二次方程的识别
【例题1】（2023春•海曙区校级期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．x﹣2y＝1B．x2+3=2xC．x2﹣2y+4＝0D．x2﹣2x+1＝0
【变式1-1】（2023春•肇源县月考）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x2+1x=0B．x＝x2
C．（x﹣1）2＝（x+3）（x﹣2）+1D．ax2+bx+c＝0
【变式1-2】（2023•凉山州模拟）下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．2（x2+2x）＝2x2﹣1B．ax2+bx+c＝0
C．（x+1）2＝2x+1D．1x2+x+1＝0
【变式1-3】（2022春•泰兴市校级月考）下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A．2x2−3x+1=0B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣x
C．5x2﹣4＝0D．ax2+bx+c＝0
【变式1-4】（2023春•肇源县期中）下列方程中一元二次方程的个数为（ ）
①2x2﹣x+1＝0；②x（x﹣1）＝2x2；③1x2+x=2；④ax2+bx+c＝0；⑤12x2=0．
A．0B．1C．2D．3
【变式1-5】（2022秋•聊城期末）下列方程中：①x2﹣2x﹣1＝0；②ax2+bx+c＝0（a≠0）；③1x2+3x−5=0；④﹣x2＝0；⑤（x﹣1）2+y2＝2；⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2．一元二次方程共有（ ）个
A．1B．2C．3D．4
题型二 由一元二次方程的定义求字母的取值范围
【例题2】（2023春•谯城区校级月考）若方程（m+2）x2+mx﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m应满足 ．
【变式2-1】（2022秋•连平县校级期末）若方程（a﹣2）x2+ax﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A．a≥2 且 a≠2B．a≥0 且 a≠2C．a≥2D．a≠2
【变式2-2】（2022秋•罗山县期末）若（a﹣3）xb﹣2﹣5x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则a、b的取值为（ ）
A．a≠0，b＝4B．a≠0，b＝2C．a≠﹣3，b＝4D．a≠3，b＝4
【变式2-3】（2022秋•武城县期末）关于x的方程（m﹣2）xm2−2+x+1＝0是一元二次方程，则m的值
是（ ）
A．m≠2B．m＝2C．m＝﹣2D．m＝±2
【变式2-4】（2023•龙川县校级开学）若（m2﹣4）x2+3x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．m≠2B．m≠﹣2
C．m≠﹣2，或 m≠2D．m≠﹣2，且 m≠2
【变式2-5】（2023春•淮北月考）若(a−1)x2+a+1x=2是关于x的一元二次方程，则a的取值范围为 ．
题型三 由一元二次方程的定义求字母的值
【例题3】（2023春•青田县月考）若方程xm+1﹣（m+1）x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则m的值
为（ ）
A．0B．±1C．1D．﹣1
【变式3-1】（2022秋•南充期末）关于x的一元二次方程为（m﹣2）x2﹣x+3＝0，则m的值是（ ）
A．2B．﹣2C．2或﹣2D．m≠2
【变式3-2】（2023•崂山区二模）关于x的方程x|a|﹣1﹣3x+2＝0是一元二次方程，则a的值为 ．
【变式3-3】（2023春•西湖区校级期中）若xm2−2+x−3=0是关于x的一元二次方程，则m的值
是（ ）
A．2B．﹣2C．0D．2或﹣2
【变式3-4】（2023春•天长市校级期中）已知(a−2)xa2−2−x+3=0是关于x的一元二次方程，那么a的值为（ ）
A．±2 B．2C．﹣2 D．以上选项都不对
【变式3-5】（2021秋•沙依巴克区校级期末）若m2x2+（m2﹣3m）x+5＝0是关于x的一元二次方程，且不含x的一次项，则m＝ ．
【变式3-6】（2023春•崇左月考）已知关于x的方程（m2﹣1）x2+x﹣2＝0．
（1）m为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）m为何值时，此方程是一元二次方程？
题型四 一元二次方程的一般形式
【例题4】（2022秋•恩施市期中）二元一次方程1﹣8x+16x2＝2+4x的二次项系数是 ，一次项系数是 ．常数项是 ．
【变式4-1】（2023•东莞市校级模拟）将方程4x2+8x＝25化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（ ）
A．4，8，25B．4，2，﹣25C．4，8，﹣25D．1，2，25
【变式4-2】（2022秋•北塔区期末）将一元二次方程（x+2）2＝5x﹣2化为一般形式后，对应的a，b，c的值分别是（ ）
A．a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2B．a＝1，b﹣1，c＝6
C．a＝1，b＝﹣5，c＝6D．a＝1，b＝﹣5，c＝2
【变式4-3】（2023•桂林一模）一元二次方程x2﹣（3x﹣2）＝8的一般形式是 ．
【变式4-4】将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数和常数项．
（1）3x（x+1）＝4（x﹣2）；
（2）（x+3）2＝（x+2）（4x﹣1）；
（3）2（y+5）（y﹣1）＝y2﹣8；
（4）2t＝（t+1）2．
【变式4-5】一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0化为一般形式后为2x2﹣3x﹣1＝0，试求a+bc的值．
题型五 由一元二次方程的解求字母的值
【例题5】（2023•蚌埠二模）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+x+2a＝0的一个解，则a的值为（ ）
A．0B．﹣1C．1D．2
【变式5-1】（2023•淮阴区模拟）已知关于x的方程x2﹣x+m＝0的一个根是2，则m的值为 ．
【变式5-2】（2023•巧家县二模）关于x的一元二次方程（m﹣3）x2﹣4x+m2﹣9＝0的一个根为0，则m的值为（ ）
A．﹣3B．±3C．3D．0
【变式5-3】（2023春•鹿城区期中）关于x的一元二次方程x2+x+a2﹣18＝0的一个根是1，则a的值
是（ ）
A．4B．2或﹣2C．4或﹣4D．32
【变式5-4】（2023•绵阳三模）若关于x的一元二次方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣k＝0有一个根为﹣1，则k的值为（ ）
A．﹣3B．3C．±3D．9
【变式5-5】（2023•博罗县校级开学）已知x＝2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+3m+2＝0的一个根，求m的值．
题型六 由一元二次方程的解求代数式的值
【例题6】（2023•香洲区校级三模）若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个解是x＝1，则代数式2022﹣a﹣b的值为（ ）
A．﹣2022B．2021C．2022D．2023
【变式6-1】（2023•福田区校级模拟）若a是一元二次方程 x2+2x﹣3＝0 的一个根，则﹣2a2﹣4a的值是 ．
【变式6-2】（2023•定西二模）若m是方程2x2﹣3x+1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2023的值为 ．
【变式6-3】（2022秋•大荔县期末）已知m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，求m3+2m2﹣2025m+2022的值．
【变式6-4】（2023•鹤山市模拟）先化简，再求值：(a2−4a2−4a+4−12−a)÷2a2−2a，其中a是方程x2+3x﹣4046＝0的一根．
【变式6-5】（2022春•丰城市校级期末）已知a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根．求：
（1）2a2﹣4040a﹣3的值；
（2）代数式a2﹣2019a+2020a2+1的值．
题型七 已知一元二次方程的根求另一方程的根
【例题7】若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，则方程的根是（ ）
A．1，0B．﹣1，0C．1，﹣1D．无法确定
【变式7-1】（2023春•崇左月考）在关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c＝0和4a﹣2b+c＝0，则方程的根是（ ）
A．1，0B．1，﹣2C．1，﹣1D．无法确定
【变式7-2】（2023春•鹿城区校级期中）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有一个根是x＝m，则方程x2+bx+a＝0有一个根是（ ）
A．x＝mB．x＝﹣mC．x=1mD．x＝1﹣m
【变式7-3】若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣3＝0（a≠0）有一个根为x＝2021，则方程a（x﹣1）2+bx﹣3＝b必有一根为（ ）
A．2019B．2020C．2021D．2022
【变式7-4】（2023•安源区校级模拟）若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣3＝0（a≠0）有一个根为x＝5，则方程a（x﹣1）2+bx﹣3＝b必有一根为 ．
【变式7-5】（2022秋•南安市期中）两个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0和cx2+bx+a＝0，其中a，b，c是常数，且a+c＝0，如果x＝2020是方程ax2+bx+c＝0的一个根，那么下列各数中，一定是方程cx2+bx+a＝0的根的是（ ）
A．±2020B．−12020C．﹣2020D．±12020
题型八 根据实际问题列简单的一元二次方程
【例题8】（2023•永州）某2020年人均可支收入为2.36万元，2022年达到2.7万元，若2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A．2.7（1+x）2＝2.36B．2.36（1+x）2＝2.7
C．2.7（1﹣x）2＝2.36D．2.36（1﹣x）2＝2.7
【变式8-1】（2022•襄州区模拟）在一次同学聚会上，每人都向其他人赠送了一份小礼品，共互送110份小礼品，如果参加聚会的同学有x名．根据题意列出的方程是 ．
【变式8-2】（2022•长沙一模）《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，下列方程符合题意的是（ ）
A．（x+2）2+（x﹣4）2＝x2B．（x﹣2）2+（x﹣4）2＝x2
C．x2+（x﹣2）2＝（x﹣4）2D．（x﹣2）2+x2＝（x+4）2
【变式8-3】（2023•喀什地区三模）为大力实施城市绿化行动，某小区规划设置一片面积为1000平方米的矩形绿地，并且长比宽多30米，设绿地长为x米，根据题意可列方程为（ ）
A．x（x+30）＝1000B．x（x﹣30）＝1000
C．2x（x+30）＝1000D．2x（x﹣30）＝1000
【变式8-4】（2023•花都区二模）为丰富乡村文体生活，某区准备组织首届“美丽乡村”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，设邀请x个球队参加比赛，可列方程 得（ ）
A．12x(x−1)=28B．12x(x+1)=28
C．x（x﹣1）＝28D．x（x+1）＝28
【变式8-5】（2023春•铜梁区校级期中）某校在操场东边开发出一块长、宽分别为18m、10m的矩形菜园（如图），作为劳动教育系列课程的实验基地之一，为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，剩下的用于种植，且种植面积为144m2，设小道的宽为xm，根据题意可列方程为（ ）
​
A．（18﹣2x）（10﹣x）＝144B．2x2＝144
C．（18﹣x）（10﹣2x）＝144D．（18﹣2x）（10﹣2x）＝144
（苏科版）九年级上册数学《第1章 一元二次方程》
1.1 一元二次方程

知识点一
一元二次方程的概念
◆1、一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
◆2、一元二次方程必须同时满足的条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
④二次项系数不能为 0 .
知识点二
一元二次方程的一般形式
◆一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a≠0）．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
知识点三
一元二次方程的解（根）
◆一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
◆一元二次方程的解（根）满足的条件：
未知数的值；（2）使方程左右两边相等.
题型一 一元二次方程的识别
【例题1】（2023春•海曙区校级期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．x﹣2y＝1B．x2+3=2xC．x2﹣2y+4＝0D．x2﹣2x+1＝0
【分析】利用一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论．
【解答】解：A．方程x﹣2y＝1是二元一次方程，选项A不符合题意；
B．方程x2+3=2x是分式方程，选项B不符合题意；
C．方程x2﹣2y+4＝0是二元二次方程，选项C不符合题意；
D．方程x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．
【变式1-1】（2023春•肇源县月考）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x2+1x=0B．x＝x2
C．（x﹣1）2＝（x+3）（x﹣2）+1D．ax2+bx+c＝0
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．
【解答】解：A．该方程是分式方程，
故不符合题意；
B．x＝x2是一元二次方程，
故符合题意；
C．该方程化简后得3x＝6，是一元一次方程，
故不符合题意；
D．该方程中当a≠0时才是一元二次方程，
故不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义理解，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
【变式1-2】（2023•凉山州模拟）下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．2（x2+2x）＝2x2﹣1B．ax2+bx+c＝0
C．（x+1）2＝2x+1D．1x2+x+1＝0
【分析】根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证．
【解答】解：A、该方程化简后可得4x+1＝0，是一元一次方程，不符合题意；
B、当a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，不符合题意；
C、该方程是一元二次方程，符合题意；
D、该方程是分式方程，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
【变式1-3】（2022春•泰兴市校级月考）下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A．2x2−3x+1=0B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣x
C．5x2﹣4＝0D．ax2+bx+c＝0
【分析】根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且最高次项的次数是2次，并且得是整式方程，即可判断．
【解答】解：根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
∴A选项不是整式方程，不符合题意；
B选项化简，得x﹣1＝0，不含有2次项，
∴B选项不符合题意；
C选项符合题意；
D选项当a＝0时，不含有2次项，
∴D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程，对一元二次方程的定义的准确理解是解决本题的关键．
【变式1-4】（2023春•肇源县期中）下列方程中一元二次方程的个数为（ ）
①2x2﹣x+1＝0；②x（x﹣1）＝2x2；③1x2+x=2；④ax2+bx+c＝0；⑤12x2=0．
A．0B．1C．2D．3
【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．
【解答】解：①2x2﹣x+1＝0、⑤12x2=0符合一元二次方程的定义，符合题意；
②由x（x﹣1）＝2x2得到：x2+x＝0，符合一元二次方程的定义，符合题意；
③1x2+x=2是分式方程，不符合题意；
④当a＝0时，方程ax2+bx+c＝0不是关于x的一元二次方程，不符合题意；
所以一元二次方程的个数为3个．
故选：D．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．
【变式1-5】（2022秋•聊城期末）下列方程中：①x2﹣2x﹣1＝0；②ax2+bx+c＝0（a≠0）；③1x2+3x−5=0；④﹣x2＝0；⑤（x﹣1）2+y2＝2；⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2．一元二次方程共有（ ）个
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【解答】解：①x2﹣2x﹣1＝0是一元二次方程；
②∵a≠0，∴ax2+bx+c＝0是一元二次方程；
③1x2+3x﹣5＝0是分式方程；
④﹣x2＝0是一元二次方程；
⑤（x﹣1）2+y2＝2是二元二次方程；
⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2是一元一次方程，
故选：C．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
题型二 由一元二次方程的定义求字母的取值范围
【例题2】（2023春•谯城区校级月考）若方程（m+2）x2+mx﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m应满足 ．
【分析】根据一元二次方程的定义，列出关于m的不等式，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意，得m+2≠0，
解得m≠﹣2．
故答案为：m≠﹣2．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．
【变式2-1】（2022秋•连平县校级期末）若方程（a﹣2）x2+ax﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A．a≥2 且 a≠2B．a≥0 且 a≠2C．a≥2D．a≠2
【分析】根据一元二次方程的一般形式：形如：ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数且a≠0），可得a﹣2≠0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
a﹣2≠0，
解得：a≠2，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
【变式2-2】（2022秋•罗山县期末）若（a﹣3）xb﹣2﹣5x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则a、b的取值为（ ）
A．a≠0，b＝4B．a≠0，b＝2C．a≠﹣3，b＝4D．a≠3，b＝4
【分析】根据一元二次方程的定义得出a﹣3≠0，b﹣2＝2求出即可．
【解答】解：由题意，得a﹣3≠0，b﹣2＝2
解得a≠3，b＝4．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
【变式2-3】（2022秋•武城县期末）关于x的方程（m﹣2）xm2−2+x+1＝0是一元二次方程，则m的值
是（ ）
A．m≠2B．m＝2C．m＝﹣2D．m＝±2
【分析】根据一元二次方程的定义得出m﹣2≠0且m2﹣2＝2，再求出m即可．
【解答】解：∵关于x的方程（m﹣2）xm2−2+x+1是一元二次方程，
∴m﹣2≠0且m2﹣2＝2，
解得：m＝﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能根据题意得出m﹣2≠0和m2﹣2＝2是解此题的关键．
【变式2-4】（2023•龙川县校级开学）若（m2﹣4）x2+3x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．m≠2B．m≠﹣2
C．m≠﹣2，或 m≠2D．m≠﹣2，且 m≠2
【分析】根据一元二次方程的定义得出m2﹣4≠0，再求出m即可．
【解答】解：∵（m2﹣4）x2+3x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，
∴m2﹣4≠0，
解得：m≠﹣2且m≠2，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能根据一元二次方程的定义得出m2﹣4≠0是解此题的关键．
【变式2-5】（2023春•淮北月考）若(a−1)x2+a+1x=2是关于x的一元二次方程，则a的取值范围为 ．
【分析】根据一元二次方程的定义及二次根式有意义的条件直接列不等式求解即可得到答案．
【解答】解：∵(a−1)x2+a+1x=2是关于x的一元二次方程，
∴a﹣1≠0，a+1≥0，
解得：a≥﹣1且a≠1．
故答案为：a≥﹣1且a≠1．
【点评】本题考查一元二次方程定义，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件．
题型三 由一元二次方程的定义求字母的值
【例题3】（2023春•青田县月考）若方程xm+1﹣（m+1）x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则m的值
为（ ）
A．0B．±1C．1D．﹣1
【分析】根据一元二次方程的定义，x的最高次数是2，且二次项系数不等于0，从而得出答案．
【解答】解：根据题意得m+1＝2，
∴m＝1，
故选：C．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0）．特别要注意a≠0的条件．
【变式3-1】（2022秋•南充期末）关于x的一元二次方程为（m﹣2）x2﹣x+3＝0，则m的值是（ ）
A．2B．﹣2C．2或﹣2D．m≠2
【分析】根据一元二次方程的定义作答．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程为（m﹣2）x2﹣x+3＝0，
∴m﹣2≠0．
∴m≠2．
故选：D．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
【变式3-2】（2023•崂山区二模）关于x的方程x|a|﹣1﹣3x+2＝0是一元二次方程，则a的值为 ．
【分析】利用一元二次方程的定义，可得出|a|﹣1＝2，解之即可求出a的值．
【解答】解：∵关于x的方程x|a|﹣1﹣3x+2＝0是一元二次方程，
∴|a|﹣1＝2，
解得：a＝±3，
∴a的值为±3．
故答案为：±3．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义以及绝对值，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．
【变式3-3】（2023春•西湖区校级期中）若xm2−2+x−3=0是关于x的一元二次方程，则m的值
是（ ）
A．2B．﹣2C．0D．2或﹣2
【分析】根据一元二次方程的定义可得m2﹣2＝2，进一步求解即可．
【解答】解：∵xm2−2+x−3=0是关于x的一元二次方程，
∴m2﹣2＝2，
∴m＝2或m＝﹣2，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
【变式3-4】（2023春•天长市校级期中）已知(a−2)xa2−2−x+3=0是关于x的一元二次方程，那么a的值为（ ）
A．±2 B．2C．﹣2 D．以上选项都不对
【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，根据定义解答即可．
【解答】解：∵(a−2)xa2−2−x+3=0是关于x的一元二次方程，
∴a2﹣2＝2，a﹣2≠0，
解得a＝﹣2，
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，熟记定义是解题的关键．
【变式3-5】（2021秋•沙依巴克区校级期末）若m2x2+（m2﹣3m）x+5＝0是关于x的一元二次方程，且不含x的一次项，则m＝ ．
【分析】再根据题意可得m≠0，m2﹣3m＝0，进而可得答案．
【解答】解：∵m2x2+（m2﹣3m）x+5＝0是关于x的一元二次方程，且不含x的一次项，
∴m≠0，m2﹣3m＝0，
∴m＝3，
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a≠0）．
【变式3-6】（2023春•崇左月考）已知关于x的方程（m2﹣1）x2+x﹣2＝0．
（1）m为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）m为何值时，此方程是一元二次方程？
【分析】（1）由一元一次方程的定义得到：m2﹣1＝0，由此可求得m的值；
（2）根据一元二次方程的定义得到：m2﹣1≠0，由此可求得m的值．
【解答】解：（1）∵关于x的方程（m2﹣1）x2+x﹣2＝0是一元一次方程，
∴m2﹣1＝0，
解得m＝±1；
（2）∵关于x的方程（m2﹣1）x2+x﹣2＝0是一元二次方程，
∴m2﹣1≠0，
解得m≠±1．
【点评】本题考查了一元二次方程、一元一次方程的定义，熟知一元一次方程的未知数的系数不等于零，一元二次方程的二次项系数不等于零是解题的关键．
题型四 一元二次方程的一般形式
【例题4】（2022秋•恩施市期中）二元一次方程1﹣8x+16x2＝2+4x的二次项系数是 ，一次项系数是 ．常数项是 ．
【分析】方程整理为一般形式后，求出二次项系数、一次项系数、常数项的和即可．
【解答】解：方程整理得：16x2﹣12x﹣3＝0，
∴二次项系数为16，一次项系数为﹣12，常数项为﹣3，
故答案为：16；﹣12；﹣3．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【变式4-1】（2023•东莞市校级模拟）将方程4x2+8x＝25化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（ ）
A．4，8，25B．4，2，﹣25C．4，8，﹣25D．1，2，25
【分析】将原方程化为一般形式，进而可得出a，b，c的值．
【解答】解：将原方程化为一般形式得：4x2+8x﹣25＝0，
∴a＝4，b＝8，c＝﹣25．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，牢记“一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式”是解题的关键．
【变式4-2】（2022秋•北塔区期末）将一元二次方程（x+2）2＝5x﹣2化为一般形式后，对应的a，b，c的值分别是（ ）
A．a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2B．a＝1，b﹣1，c＝6
C．a＝1，b＝﹣5，c＝6D．a＝1，b＝﹣5，c＝2
【分析】按照要求将一元二次方程化成ax2+bx+c＝0的形式，然后确定a，b，c的值即可．
【解答】解：（x+2）2＝5x﹣2，
x2+4x+4﹣5x+2＝0，
x2﹣x+6＝0，
∴a＝1，b＝﹣1，c＝6．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式．解题的关键在于熟练掌握一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c＝0（a＞0）．
【变式4-3】（2023•桂林一模）一元二次方程x2﹣（3x﹣2）＝8的一般形式是 ．
【分析】先去掉括号，再移项、合并同类项，即可得出答案．
【解答】解：x2﹣（3x﹣2）＝8，
x2﹣3x+2＝8，
x2﹣3x﹣6＝0，
故答案为：x2﹣3x﹣6＝0．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）．
【变式4-4】将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数和常数项．
（1）3x（x+1）＝4（x﹣2）；
（2）（x+3）2＝（x+2）（4x﹣1）；
（3）2（y+5）（y﹣1）＝y2﹣8；
（4）2t＝（t+1）2．
【分析】（1）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可；
（2）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可；
（3）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可；
（4）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可．
【解答】解：（1）3x2+3x﹣4x+8＝0，
3x2﹣x+8＝0，
二次项系数为3，一次项系数为﹣1，常数项8；
（2）x2+6x+9＝x2﹣x+8x﹣2，
x﹣11＝0，
二次项系数为0，一次项系数为1，常数项﹣11；
（3）y2+8y﹣10﹣y2+8＝0，
y2+8y﹣2＝0，
二次项系数为1，一次项系数为8，常数项﹣2；
（4）t2+1＝0，
二次项系数为1，一次项系数为0，常数项1．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握去括号、移项，合并同类项的法则是解题的关键．
【变式4-5】一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0化为一般形式后为2x2﹣3x﹣1＝0，试求a+bc的值．
【分析】把原方程运用完全平方公式展开，化为一般形式，与已知方程系数对应相等，求出a、b、c的值，计算得到答案．
【解答】解：原方程可化为：
ax2﹣（2a﹣b）x+a﹣b+c＝0，
由题意得，a＝2，2a﹣b＝3，a﹣b+c＝﹣1，
解得：a＝2，b＝1，c＝﹣2，
a+bc=−32．
【点评】本题考查的是一元二次方程的一般形式，运用完全平方公式和合并同类项的方法正确变形方程是解题的关键，注意系数对应相等的运用．
题型五 由一元二次方程的解求字母的值
【例题5】（2023•蚌埠二模）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+x+2a＝0的一个解，则a的值为（ ）
A．0B．﹣1C．1D．2
【分析】把方程的解代入方程，可以求出字母系数a的值．
【解答】解：∵x＝1是方程的解，
∴1+1+2a＝0，
∴a＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程可以求出字母系数的值．
【变式5-1】（2023•淮阴区模拟）已知关于x的方程x2﹣x+m＝0的一个根是2，则m的值为 ．
【分析】把x＝2代入方程x2﹣x+m＝0得4﹣2﹣m＝0，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣x+m＝0得4﹣2+m＝0，解得m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
【变式5-2】（2023•巧家县二模）关于x的一元二次方程（m﹣3）x2﹣4x+m2﹣9＝0的一个根为0，则m的值为（ ）
A．﹣3B．±3C．3D．0
【分析】先把x＝0代入原方程得到m2﹣9＝0，再解关于m的方程得到m1＝3，m2＝﹣3，然后根据一元二次方程的定义确定m的值．
【解答】解：把x＝0代入一元二次方程（m﹣3）x2﹣4x+m2﹣9＝0得m2﹣9＝0，
解得m1＝3，m2＝﹣3，
∵m﹣3≠0，
∴m的值为﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定义．
【变式5-3】（2023春•鹿城区期中）关于x的一元二次方程x2+x+a2﹣18＝0的一个根是1，则a的值
是（ ）
A．4B．2或﹣2C．4或﹣4D．32
【分析】将方程的根代入求解即可得到答案；
【解答】解：∵x2+x+a2﹣18＝0的一个根是1，
∴12+1+a2﹣18＝0，
解得：a＝±4，
故选：C．
【点评】本题考查根据一元二次方程的根求参数，解题的关键是将根代入列式求解．
【变式5-4】（2023•绵阳三模）若关于x的一元二次方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣k＝0有一个根为﹣1，则k的值为（ ）
A．﹣3B．3C．±3D．9
【分析】根据一元二次方程根的定义，将﹣1代入关于x的一元二次方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣k＝0得到关于k的方程求解，再根据一元二次方程定义确定k值即可得到答案．
【解答】解：由题意得：
把x＝﹣1代入方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣k＝0，
得：（k﹣3）﹣6+k2﹣k＝0，
解得：k＝±3，
∵k﹣3≠0，
∴k≠3，
∴k＝﹣3，
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程的定义及一元二次方程根的定义，熟练掌握相关概念是解决问题的关键．
【变式5-5】（2023•博罗县校级开学）已知x＝2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+3m+2＝0的一个根，求m的值．
【分析】将x＝2代入x2﹣（2m+3）x+m2+3m+2＝0，求出m的值即可．
【解答】解：∵x＝2是方程x2﹣（2m+3）x+m2+3m+2＝0的一个根，
∴22﹣2（2m+3）+m2+3m+2＝0，
∴m2﹣m＝0，
∴m＝0或m＝1．
【点评】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的根与一元二次方程的关系是解题的关键．
题型六 由一元二次方程的解求代数式的值
【例题6】（2023•香洲区校级三模）若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个解是x＝1，则代数式2022﹣a﹣b的值为（ ）
A．﹣2022B．2021C．2022D．2023
【分析】根据一元二次方程解得定义即可得到a+b＝1，再由2022﹣a﹣b＝2022﹣（a+b）进行求解即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个解是x＝1，
∴a+b﹣1＝0，
∴a+b＝1，
∴2022﹣a﹣b＝2022﹣（a+b）＝2022﹣1＝2021，
故选：B．
【点评】本题主要考查了代数式求值和一元二次方程的解，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键．
【变式6-1】（2023•福田区校级模拟）若a是一元二次方程 x2+2x﹣3＝0 的一个根，则﹣2a2﹣4a的值是 ．
【分析】将a代入x2+2x﹣3＝0，即可得出a2+2a＝3，再把a2+2a＝3整体代入﹣2a2﹣4a，即可得出答案．
【解答】解：∵a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，
∴a2+2a﹣3＝0，
∴a2+2a＝3，
∴﹣2a2﹣4a＝﹣2（a2+2a）＝﹣2×3＝﹣6，
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了一元二次方程的根的定义，整体思想的应用是本题的关键．
【变式6-2】（2023•定西二模）若m是方程2x2﹣3x+1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2023的值为 ．
【分析】先根据一元二次方程解的定义得到2m2﹣3m＝﹣1，再把2m2﹣3m＝﹣1整体代入所求式子中求解即可．
【解答】解：∵m是方程2x2﹣3x+1＝0的一个根，
∴2m2﹣3m+1＝0，
∴2m2﹣3m＝﹣1，
∴6m2﹣9m+2023＝3（2m2﹣3m）+2023＝﹣1×3+2023＝2020，
故答案为：2020．
【点评】本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．
【变式6-3】（2022秋•大荔县期末）已知m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，求m3+2m2﹣2025m+2022的值．
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到m2+3m﹣2022＝0，则m2+3m＝2022，然后利用降次的方法对原式进行化简即可．
【解答】解：∵m是方程x2+3x﹣2022＝0的一个根，
∴m2+3m﹣2022＝0，
∴m2+3m＝2022，
∴m3+2m2﹣2025m+2022
＝m（m2+3m﹣2025）﹣m2+2022
＝m（2022﹣2025）﹣m2+2022
＝﹣3m﹣m2+2022
＝﹣2022+2022
＝0．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了代数式的变形．
【变式6-4】（2023•鹤山市模拟）先化简，再求值：(a2−4a2−4a+4−12−a)÷2a2−2a，其中a是方程x2+3x﹣4046＝0的一根．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝[(a+2)(a−2)(a−2)2+1a−2]×a(a−2)2
=a+3a−2⋅a(a−2)2
=a2+3a2，
∵a是方程 x2+3x﹣4046＝0 的一根，
∴a2+3a﹣4046＝0，
∴a2+3a＝4046，
把 a2+3a＝4046 代入原式=40462=2023．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
【变式6-5】（2022春•丰城市校级期末）已知a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根．求：
（1）2a2﹣4040a﹣3的值；
（2）代数式a2﹣2019a+2020a2+1的值．
【分析】（1）根据一元二次方程的解的定义得到a2﹣2020a+1＝0，则a2＝2020a﹣1，然后把a2＝2020a﹣1代入原式即可求解；
（2）可化简得原式＝a+1a−1，然后通分后再次代入后化简即可．
【解答】解：（1）∵a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，
∴a2＝2020a﹣1，
∴a2＝2020a﹣1，
∴2a2﹣4040a﹣3
＝2（2020a﹣1）﹣4040a﹣3
＝4040a﹣2﹣4040a﹣3
＝﹣5；
（2）原式＝2020a﹣1﹣2019a+20202020a−1+1
＝a+1a−1
=a2+1a−1
=2020a−1+1a−1
＝2020﹣1
＝2019．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
题型七 已知一元二次方程的根求另一方程的根
【例题7】若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，则方程的根是（ ）
A．1，0B．﹣1，0C．1，﹣1D．无法确定
【分析】本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解，代入方程的左右两边，看左右两边是否相等．
【解答】解：在这个式子中，如果把x＝1代入方程，左边就变成a+b+c，又由已知a+b+c＝0可知：当x＝1时，方程的左右两边相等，即方程必有一根是1，同理可以判断方程必有一根是﹣1．则方程的根是1，﹣1．
故选：C．
【点评】本题就是考查了方程的解的定义，判断一个数是否是方程的解的方法，就是代入方程的左右两边，看左右两边是否相等．
【变式7-1】（2023春•崇左月考）在关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c＝0和4a﹣2b+c＝0，则方程的根是（ ）
A．1，0B．1，﹣2C．1，﹣1D．无法确定
【分析】分别把x＝1或x＝﹣2代入方程可得到足a+b+c＝0和4a﹣2b+c＝0，则根据一元二次方程的解的定义可判断方程的根．
【解答】解：当x＝1时，a+b+c＝0，
当x＝﹣2时，4a﹣2b+c＝0，
所以方程的根分别为1或﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
【变式7-2】（2023春•鹿城区校级期中）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有一个根是x＝m，则方程x2+bx+a＝0有一个根是（ ）
A．x＝mB．x＝﹣mC．x=1mD．x＝1﹣m
【分析】利用一元二次方程的解，可得出am2+bm+1＝0，在等式的两边同时除以m2，可得出a+b•1m+（1m）2＝0，进而可得出方程x2+bx+a＝0有一个根是x=1m．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有一个根是x＝m，
∴am2+bm+1＝0，
在等式的两边同时除以m2得：a+b•1m+（1m）2＝0，
∴方程x2+bx+a＝0有一个根是x=1m．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，牢记“能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解”是解题的关键．
【变式7-3】若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣3＝0（a≠0）有一个根为x＝2021，则方程a（x﹣1）2+bx﹣3＝b必有一根为（ ）
A．2019B．2020C．2021D．2022
【分析】对于一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）﹣3＝0，设t＝x﹣1得到at2+bt﹣3＝0，利用at2+bt﹣3＝0有一个根为t＝2021得到x﹣1＝2021，从而可判断一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣3＝b必有一根为x＝2022．
【解答】解：对于一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣3＝b即a（x﹣1）2+b（x﹣1）﹣3＝0，
设t＝x﹣1，
所以at2+bt﹣3＝0，
而关于x的一元二次方程ax2+bx﹣3＝0（a≠0）有一根为x＝2021，
所以at2+bt﹣3＝0有一个根为t＝2021，
则x﹣1＝2021，
解得x＝2022，
所以一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣3＝b必有一根为x＝2022．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
【变式7-4】（2023•安源区校级模拟）若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣3＝0（a≠0）有一个根为x＝5，则方程a（x﹣1）2+bx﹣3＝b必有一根为 ．
【分析】把a（x﹣1）2+bx﹣3＝b化为a（x﹣1）2+b（x﹣1）﹣3＝0，再结合题意得到x﹣1＝5，解出即可．
【解答】解：∵a（x﹣1）2+bx﹣3＝b，
∴a（x﹣1）2+b（x﹣1）﹣3＝0．
令x﹣1＝t，则at2+bt﹣3＝0，
∵方程ax2+bx﹣3＝0（a≠0）有一个根为x＝5，
∴方程at2+bt﹣3＝0有一根为t＝5，
∴a（x﹣1）2+b（x﹣1）﹣3＝0有一根为x﹣1＝5，
∴x﹣1＝5，
∴x＝6．
故答案为：x＝6．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的根的含义，掌握利用整体未知数求解方程的根是解此题的关键．
【变式7-5】（2022秋•南安市期中）两个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0和cx2+bx+a＝0，其中a，b，c是常数，且a+c＝0，如果x＝2020是方程ax2+bx+c＝0的一个根，那么下列各数中，一定是方程cx2+bx+a＝0的根的是（ ）
A．±2020B．−12020C．﹣2020D．±12020
【分析】根据一元二次方程的解的定义以及一元二次方程的解法即可求出答案．
【解答】解：∵a≠0，c≠0，a+c＝0，
∴ca=−1，
∴x2+bax+ca=0，cax2+bax+1＝0，
∴x2+bax﹣1＝0，x2−bax﹣1＝0，
∵x＝2020是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
∴x＝2020是方程x2+bax﹣1＝0的一个根，
∴20202+ba×2020﹣1＝0，
∴（﹣2020）2−ba×（﹣2020）﹣1＝0，
∴x＝﹣2020是方程x2−bax﹣1＝0的一个根，
即x＝﹣2020是方程cx2+bx+a＝0的一个根，
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义以及方程的解的概念，本题属于中等题型．
题型八 根据实际问题列简单的一元二次方程
【例题8】（2023•永州）某2020年人均可支收入为2.36万元，2022年达到2.7万元，若2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A．2.7（1+x）2＝2.36B．2.36（1+x）2＝2.7
C．2.7（1﹣x）2＝2.36D．2.36（1﹣x）2＝2.7
【分析】利用2022年间每年人均可支配收入＝2020年间每年人均可支配收入×（1+每年人均可支配收入的增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得2.36（1+x）2＝2.7．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式8-1】（2022•襄州区模拟）在一次同学聚会上，每人都向其他人赠送了一份小礼品，共互送110份小礼品，如果参加聚会的同学有x名．根据题意列出的方程是 ．
【分析】设参加聚会的有x名学生，根据“每人都向其他人赠送了一份小礼品，共互送110份小礼品”，列出关于x的一元二次方程，解之即可．
【解答】解：设参加聚会的有x名学生，
根据题意得：
x（x﹣1）＝110，
故答案为：x（x﹣1）＝110．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
【变式8-2】（2022•长沙一模）《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，下列方程符合题意的是（ ）
A．（x+2）2+（x﹣4）2＝x2B．（x﹣2）2+（x﹣4）2＝x2
C．x2+（x﹣2）2＝（x﹣4）2D．（x﹣2）2+x2＝（x+4）2
【分析】由题意可得门高（x﹣2）尺、宽（x﹣4）尺，长为对角线x尺，根据勾股定理可得的方程．
【解答】解：设门对角线的长为x尺，由题意得：
（x﹣2）2+（x﹣4）2＝x2，
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
【变式8-3】（2023•喀什地区三模）为大力实施城市绿化行动，某小区规划设置一片面积为1000平方米的矩形绿地，并且长比宽多30米，设绿地长为x米，根据题意可列方程为（ ）
A．x（x+30）＝1000B．x（x﹣30）＝1000
C．2x（x+30）＝1000D．2x（x﹣30）＝1000
【分析】设绿地长为x米，则宽为（x﹣30）米，根据矩形绿地的面积为1000平方米列出方程即可．
【解答】解：设绿地长为x米，则宽为（x﹣30）米，根据题意得：
x（x﹣30）＝1000，故B正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握矩形的面积公式．
【变式8-4】（2023•花都区二模）为丰富乡村文体生活，某区准备组织首届“美丽乡村”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，设邀请x个球队参加比赛，可列方程 得（ ）
A．12x(x−1)=28B．12x(x+1)=28
C．x（x﹣1）＝28D．x（x+1）＝28
【分析】利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：12x（x﹣1）＝28．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式8-5】（2023春•铜梁区校级期中）某校在操场东边开发出一块长、宽分别为18m、10m的矩形菜园（如图），作为劳动教育系列课程的实验基地之一，为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，剩下的用于种植，且种植面积为144m2，设小道的宽为xm，根据题意可列方程为（ ）
​
A．（18﹣2x）（10﹣x）＝144B．2x2＝144
C．（18﹣x）（10﹣2x）＝144D．（18﹣2x）（10﹣2x）＝144
【分析】由小道的宽为xm，可得出剩下的用于种植的部分可合成长为（18﹣2x）m，宽为（10﹣x）m的矩形，结合种植面积为144m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵小道的宽为xm，
∴剩下的用于种植的部分可合成长为（18﹣2x）m，宽为（10﹣x）m的矩形．
根据题意得：（18﹣2x）（10﹣x）＝144．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
解题技巧提炼
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
解题技巧提炼
由一元二次方程的定义求字母的取值范围，主要是根据二次的系数不为0得出字母的取值范围，有时要把方程先化为一般式.
解题技巧提炼
根据一元二次方程的定义，利用未知数的最高次数是2和二次项系数不为0得出字母的值.
解题技巧提炼
一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．
解题技巧提炼
将一元二次方程的根代入原方程得到关于字母参数的方程并求解即可．
解题技巧提炼
将一元二次方程的根代入原方程得到关于字母参数的方程，然后利用整体代入法求代数式的值即可.
解题技巧提炼
已知一元二次方程的根求另一方程的根，主要是利用根的定义代入原方程中，得到关于字母参数的方程，再来求另一方程的根.
解题技巧提炼
由实际问题抽象出一元二次方程：在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
解题技巧提炼
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
解题技巧提炼
由一元二次方程的定义求字母的取值范围，主要是根据二次的系数不为0得出字母的取值范围，有时要把方程先化为一般式.
解题技巧提炼
根据一元二次方程的定义，利用未知数的最高次数是2和二次项系数不为0得出字母的值.
解题技巧提炼
一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．
解题技巧提炼
将一元二次方程的根代入原方程得到关于字母参数的方程并求解即可．
解题技巧提炼
将一元二次方程的根代入原方程得到关于字母参数的方程，然后利用整体代入法求代数式的值即可.
解题技巧提炼
已知一元二次方程的根求另一方程的根，主要是利用根的定义代入原方程中，得到关于字母参数的方程，再来求另一方程的根.
解题技巧提炼
由实际问题抽象出一元二次方程：在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．