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《高二数学人教A版2019选择性必修第二册同步单元测试AB卷（新高考）》 专题4.6等比数列(B)（原卷版+解析）
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这是一份《高二数学人教A版2019选择性必修第二册同步单元测试AB卷（新高考）》 专题4.6等比数列(B)（原卷版+解析），共20页。试卷主要包含了6等比数列等内容，欢迎下载使用。
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·江苏·吴江汾湖高级中学高二阶段练习）已知等比数列的前项和为，若，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·广东·广州六中高三阶段练习）己知在等比数列中，，则等于（ ）
A．B．C．2D．
3．（2022·北京海淀·高三期中）若等差数列和等比数列满足，，，则的公比为（ ）
A．2B．C．4D．
4．（2022·广东·高三阶段练习）已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列，若，则（ ）
A．568B．566C．675D．696
5．（2020·河南·高三阶段练习（文））已知等比数列{}为递增数列，是它的前项和，若＝，且与的等差中项为，则＝（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·山西忻州·高三阶段练习）在各项均为正数的等差数列中，、、构成公比不为的等比数列，是的前项和．若，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·上海市复兴高级中学高三期中）已知数列的各项均为正数，其前n项和为，满足，给出下列四个结论：
①的第2项小于3；②为等比数列；③为递减数列；④中存在小于的项
其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．（2022·贵州·黔西南州义龙蓝天学校高三阶段练习（理））设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列选项错误的是（ ）
A．B．
C．是数列中的最大项D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2022·广东惠州·高三阶段练习）已知数列中，，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．是等比数列D．
10．（2022·吉林吉林·高三阶段练习）中国音乐有悠久的历史和独特的创造.当今世界公认的音乐律制，如五度相生律（中国称三分损益律）、纯律和十二平均律，皆为中国独立发明.其中，“三分损益法”是以“宫”为基本音，宫生徵，徵生商，商生羽，羽生角，即“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”……依次损益交替变化，得到“宫、徵、商、羽、角”这五个音阶，据此可推得（ ）
A．“商、羽、角”的频率成等比数列
B．“角、商、宫”的频率成等比数列
C．“宫、徵、商、羽、角”的频率依次递增
D．“宫、商、角、徵、羽”的频率依次递增
11．（2022·重庆八中高三阶段练习）设首项为1的数列的前n项和为，已知，则下列结论正确的是（ ）
A．数列为等比数列B．数列不是等比数列
C．D．中任意三项不能构成等差数列
12．（2022·山东·安丘市普通教育教学研究室高三阶段练习）将各项均为正数的数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规律排成数表，如图所示．记表中各行的第一个数，，，，…构成数列，各行的最后一个数，，，，…构成数列，第行所有数的和为．已知数列是公差为的等差数列，从第二行起，每一行中的数按照从左到右的顺序成公比为的等比数列，且，，．则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（四川省绵阳市2023届高三上学期第一次诊断性考试理科数学试题）已知等比数列的各项均为正数，设是数列的前项和，且，，则______．
14．（2020·山东·青岛三十九中高三期中）已知等比数列的前n项和为，，，则______．
15．（2022·四川·简阳市阳安中学高三阶段练习（理））记为正项等比数列的前项和，若，，则的值为__________．
16．（2022·四川雅安·模拟预测（文））已知数列的前n项和为，且．若对任意，恒成立，则t的取值范围是______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·陕西·礼泉县第二中学高二阶段练习）在数列中，已知，且.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)记数列的前项和为.若，求的值.
18．（2022·湖南·高三阶段练习）已知数列的前项和为，且，.
(1)证明：是等比数列；
(2)求数列的通项公式.
19．（2022·江西·临川一中高三期中（文））已知等比数列的公比与等差数列的公差相等，且，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
20．（2022·辽宁·丹东市教师进修学院高三期中）已知公比小于的等比数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)记为的前项和，若，求的最小值．
21．（2022·辽宁·丹东市教师进修学院高三期中）等差数列的首项，公差，数列中，，，，已知数列为等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)记为的前项和，求的最大值．
22．（北京市朝阳区2023届高三上学期期中质量检测数学试题）已知公差大于0的等差数列满足，，为数列的前项和.
(1)求的通项公式；
(2)若，，成等比数列，求，的值.
专题4.6等比数列(B)
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·江苏·吴江汾湖高级中学高二阶段练习）已知等比数列的前项和为，若，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用等比数列片段和的性质可求得的值.
【详解】由等比数列片段和的性质可知，、、成等比数列，
所以，，即，解得.
故选：C.
2．（2022·广东·广州六中高三阶段练习）己知在等比数列中，，则等于（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【分析】先根据等比数列的性质得到和，再根据可求得的大小，解题时要注意对的符号的处理．
【详解】由等比数列的性质可得，
∴ ．
∴，
又与和同号，
∴．
故选：C．
3．（2022·北京海淀·高三期中）若等差数列和等比数列满足，，，则的公比为（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】B
【分析】根据等差数列的基本量运算可得，然后利用等比数列的概念结合条件即得.
【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
则，
所以，
∴，，
所以.
故选：B.
4．（2022·广东·高三阶段练习）已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列，若，则（ ）
A．568B．566C．675D．696
【答案】C
【分析】利用等差中项求出，结合成等比数列，求出公差，从而求出通项公式，计算出结果.
【详解】在等差数列中，设公差为，因为，所以，
解得：.
又，，成等比数列，
所以，故有，
整理得，
因为，
所以，
从而.
即，
∵，
∴，
故.
故选：C.
5．（2020·河南·高三阶段练习（文））已知等比数列{}为递增数列，是它的前项和，若＝，且与的等差中项为，则＝（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据等比数列的通项公式和等差中项的应用求出等比数列的首项和公比，结合等比数列前n项求和公式计算即可.
【详解】设该等比数列的通项公式为()，
由题意知，即，
解得，
所以.
故选：B
6．（2022·山西忻州·高三阶段练习）在各项均为正数的等差数列中，、、构成公比不为的等比数列，是的前项和．若，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设等差数列的公差为，则且，根据已知条件可得出与的关系式，求出数列的通项公式，再利用裂项相消法求出，根据题意可得出关于，解之即可.
【详解】设等差数列的公差为，则且，
由已知可得，即，可得，
所以，，
，
所以，，
，，则，可得，
因此，的最小值为.
故选：A.
7．（2022·上海市复兴高级中学高三期中）已知数列的各项均为正数，其前n项和为，满足，给出下列四个结论：
①的第2项小于3；②为等比数列；③为递减数列；④中存在小于的项
其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】令求出，进而令，求出，①正确；
假设为等比数列，得到，代入验证，故②错误；
逻辑分析及反证可得，③④正确.
【详解】当时，，
因为数列的各项均为正数，所以，
当时，，
由数列的各项均为正数，解得：，①正确；
若为等比数列，则，解得：，
将代入，
故不是等比数列，②错误；
因为数列的各项均为正数，故必单调递增，而，
所以单调递减，③正确；
假设的所有项大于等于，取，则，，
则与已知矛盾，故④正确.
故选：C
8．（2022·贵州·黔西南州义龙蓝天学校高三阶段练习（理））设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列选项错误的是（ ）
A．B．
C．是数列中的最大项D．
【答案】D
【分析】根据题意，分析可得，，从而有，，则等比数列为正项的递减数列．再结合等比数列的性质逐一判断即可．
【详解】等比数列的公比为，若，则，
由，可得，则数列各项均为正值，
若，当时，由则恒成立，显然不适合，故，且，，故正确；
因为，所以，故正确；
根据，可知是数列中的最大项，故正确；
由等比数列的性质可得，
所以，故错误．
故选：．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2022·广东惠州·高三阶段练习）已知数列中，，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．是等比数列D．
【答案】AC
【分析】根据递推关系求得，由此判断ABD选项的正确性，结合等比数列的定义判断C选项的正确性.
【详解】，即，则，，，所以A正确；
显然有，所以B不正确；亦有，所以D不正确；
又，相除得，
因此数列，分别是以1，2为首项，2为公比的等比数列，故C正确.
故选：AC
10．（2022·吉林吉林·高三阶段练习）中国音乐有悠久的历史和独特的创造.当今世界公认的音乐律制，如五度相生律（中国称三分损益律）、纯律和十二平均律，皆为中国独立发明.其中，“三分损益法”是以“宫”为基本音，宫生徵，徵生商，商生羽，羽生角，即“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”……依次损益交替变化，得到“宫、徵、商、羽、角”这五个音阶，据此可推得（ ）
A．“商、羽、角”的频率成等比数列
B．“角、商、宫”的频率成等比数列
C．“宫、徵、商、羽、角”的频率依次递增
D．“宫、商、角、徵、羽”的频率依次递增
【答案】BD
【分析】根据“损”、“益”变化规律可得到“宫、徵、商、羽、角”五个音阶对应的频率，由此可得结论.
【详解】设“宫”的频率为，则“徵”的频率为，“商”的频率为；
“商”经过一次“损”，得到“羽”的频率为；
“羽”经过一次“益”，得到“角”的频率为；
成公比为的等比数列，“角、商、宫”的频率成等比数列；
又，“宫、商、角、徵、羽”的频率依次递增.
故选：BD.
11．（2022·重庆八中高三阶段练习）设首项为1的数列的前n项和为，已知，则下列结论正确的是（ ）
A．数列为等比数列B．数列不是等比数列
C．D．中任意三项不能构成等差数列
【答案】ACD
【分析】利用数列的前项和以及等比数列的定义，逐项判断即可.
【详解】因为，所以写．又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故A正确；
所以，则．当时，，且，故B错误；
由当时，可得，故C正确；
因为，设，，，由，故矛盾，故D正确.
故选：ACD．
12．（2022·山东·安丘市普通教育教学研究室高三阶段练习）将各项均为正数的数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规律排成数表，如图所示．记表中各行的第一个数，，，，…构成数列，各行的最后一个数，，，，…构成数列，第行所有数的和为．已知数列是公差为的等差数列，从第二行起，每一行中的数按照从左到右的顺序成公比为的等比数列，且，，．则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】由条件结合确定与的关系，根据等差数列通项公式和等比数列通项公式求出数列的公差，由此可得的通项公式，再求，并根据等比数列求和公式求，由此判断各选项.
【详解】由已知第行有个数，各行的最后一个数，，，，…构成数列，所以，，，，由此可得，所以，B对，又，，，，，由此可得，因为数列是首项为1，公差为的等差数列，所以，所以，，由因为从第二行起，每一行中的数按照从左到右的顺序成公比为的等比数列，所以，，由已知可得，，所以，，所以，A正确，由已知，所以，C错误，
所以
，D对，
故选：ABD.
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（四川省绵阳市2023届高三上学期第一次诊断性考试理科数学试题）已知等比数列的各项均为正数，设是数列的前项和，且，，则______．
【答案】
【分析】利用等比数列通项公式，结合，可求得公比，进而得到，利用等比数列求和公式可求得结果.
【详解】设等比数列的公比为，
，，又，，，
.
故答案为：.
14．（2020·山东·青岛三十九中高三期中）已知等比数列的前n项和为，，，则______．
【答案】
【分析】根据条件建立关于的方程组，解出的值，然后可算出答案.
【详解】设等比数列的公比为q，则，
解得，，则．
故答案为：．
15．（2022·四川·简阳市阳安中学高三阶段练习（理））记为正项等比数列的前项和，若，，则的值为__________．
【答案】
【分析】设正项等比数列的公比为，根据等比数列的前项和公式，即可求出公比，再根据等比数列的性质可知，由此即可求出结果.
【详解】设正项等比数列的公比为，
当时，，不能同时成立；
当时，因为为正项等比数列的前项和，且，
所以，即
所以，所以（（舍去）），
又，所以的值为.
故答案为：.
16．（2022·四川雅安·模拟预测（文））已知数列的前n项和为，且．若对任意，恒成立，则t的取值范围是______．
【答案】
【分析】利用求得，结合等比数列的知识求得的取值范围.
【详解】，
当时，；
，当时，，
两式相减得，也符合，
所以，，，所以是等比数列，
，是首项为，公比为的等比数列.
，
对任意，恒成立，
所以，所以的取值范围是.
故答案为：
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·陕西·礼泉县第二中学高二阶段练习）在数列中，已知，且.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)记数列的前项和为.若，求的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)9
【分析】（1）根据等比数列的定义证明即可；
（2）结合等比数列求和公式得，进而根据，结合数列是单调递增数列即可求解.
（1）
证明：∵，且，
∴，，即
∴数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2）
解：由（1）知，即，
∴.
∵，
∴数列是单调递增数列，
又∵，
∴的值为9.
18．（2022·湖南·高三阶段练习）已知数列的前项和为，且，.
(1)证明：是等比数列；
(2)求数列的通项公式.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据递推关系得，进而根据等比数列定义直接证明即可；
（2）结合（1）得，再根据求解即可.
【详解】（1）证明：由得，即，
又，
所以，是以3为首项，3为公比的等比数列.
（2）解：由（1）可得，即.
当时，
又满足，
所以.
19．（2022·江西·临川一中高三期中（文））已知等比数列的公比与等差数列的公差相等，且，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设的公比为的公差为，则由已知条件列方程可求出，从而可求出的通项公式；
（2）由（1）得，然后利用分组求和法可求得结果.
【详解】（1）设的公比为的公差为，
因，则，解得，
而，则，
又，有，
所以的通项公式分别为.
（2）由（1）可知，，
令数列的前项和为，
则
.
20．（2022·辽宁·丹东市教师进修学院高三期中）已知公比小于的等比数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)记为的前项和，若，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可求得数列的通项公式；
（2）求出，由题意可得出关于的不等式，结合可得出的最小值.
（1）
解：设等比数列的公比为，则，解得，
.
（2）
解：由（1）可知，
由可得，可得．
因为，所以的最小值为．
21．（2022·辽宁·丹东市教师进修学院高三期中）等差数列的首项，公差，数列中，，，，已知数列为等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)记为的前项和，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列、等比数列的通项公式进行计算即可；
（2）设，根据数列单调性判断方法确定的单调性，从而求的最大值.
（1）
解：由题意成等比数列，所以，则．
因为，所以，
故数列的公比，
所以．
又，所以．
（2）
解：由（1）可知，，
设，则．
设，则．
故单调递减，
因为，，所以当时，，当时，．
于是的最大值为．
22．（北京市朝阳区2023届高三上学期期中质量检测数学试题）已知公差大于0的等差数列满足，，为数列的前项和.
(1)求的通项公式；
(2)若，，成等比数列，求，的值.
【答案】(1);
(2)或.
【分析】（1）由等差数列的性质和通项公式即可求解；
（2）由等比中项的性质即可求解.
【详解】（1）因为，所以，
而，所以或，
又因为公差大于0，所以，得，
所以.
即
（2），
所以，，
若，，成等比数列，则有，
即，又因为，且，
所以或，
解得或.
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·江苏·吴江汾湖高级中学高二阶段练习）已知等比数列的前项和为，若，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·广东·广州六中高三阶段练习）己知在等比数列中，，则等于（ ）
A．B．C．2D．
3．（2022·北京海淀·高三期中）若等差数列和等比数列满足，，，则的公比为（ ）
A．2B．C．4D．
4．（2022·广东·高三阶段练习）已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列，若，则（ ）
A．568B．566C．675D．696
5．（2020·河南·高三阶段练习（文））已知等比数列{}为递增数列，是它的前项和，若＝，且与的等差中项为，则＝（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·山西忻州·高三阶段练习）在各项均为正数的等差数列中，、、构成公比不为的等比数列，是的前项和．若，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·上海市复兴高级中学高三期中）已知数列的各项均为正数，其前n项和为，满足，给出下列四个结论：
①的第2项小于3；②为等比数列；③为递减数列；④中存在小于的项
其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．（2022·贵州·黔西南州义龙蓝天学校高三阶段练习（理））设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列选项错误的是（ ）
A．B．
C．是数列中的最大项D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2022·广东惠州·高三阶段练习）已知数列中，，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．是等比数列D．
10．（2022·吉林吉林·高三阶段练习）中国音乐有悠久的历史和独特的创造.当今世界公认的音乐律制，如五度相生律（中国称三分损益律）、纯律和十二平均律，皆为中国独立发明.其中，“三分损益法”是以“宫”为基本音，宫生徵，徵生商，商生羽，羽生角，即“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”……依次损益交替变化，得到“宫、徵、商、羽、角”这五个音阶，据此可推得（ ）
A．“商、羽、角”的频率成等比数列
B．“角、商、宫”的频率成等比数列
C．“宫、徵、商、羽、角”的频率依次递增
D．“宫、商、角、徵、羽”的频率依次递增
11．（2022·重庆八中高三阶段练习）设首项为1的数列的前n项和为，已知，则下列结论正确的是（ ）
A．数列为等比数列B．数列不是等比数列
C．D．中任意三项不能构成等差数列
12．（2022·山东·安丘市普通教育教学研究室高三阶段练习）将各项均为正数的数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规律排成数表，如图所示．记表中各行的第一个数，，，，…构成数列，各行的最后一个数，，，，…构成数列，第行所有数的和为．已知数列是公差为的等差数列，从第二行起，每一行中的数按照从左到右的顺序成公比为的等比数列，且，，．则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（四川省绵阳市2023届高三上学期第一次诊断性考试理科数学试题）已知等比数列的各项均为正数，设是数列的前项和，且，，则______．
14．（2020·山东·青岛三十九中高三期中）已知等比数列的前n项和为，，，则______．
15．（2022·四川·简阳市阳安中学高三阶段练习（理））记为正项等比数列的前项和，若，，则的值为__________．
16．（2022·四川雅安·模拟预测（文））已知数列的前n项和为，且．若对任意，恒成立，则t的取值范围是______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·陕西·礼泉县第二中学高二阶段练习）在数列中，已知，且.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)记数列的前项和为.若，求的值.
18．（2022·湖南·高三阶段练习）已知数列的前项和为，且，.
(1)证明：是等比数列；
(2)求数列的通项公式.
19．（2022·江西·临川一中高三期中（文））已知等比数列的公比与等差数列的公差相等，且，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
20．（2022·辽宁·丹东市教师进修学院高三期中）已知公比小于的等比数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)记为的前项和，若，求的最小值．
21．（2022·辽宁·丹东市教师进修学院高三期中）等差数列的首项，公差，数列中，，，，已知数列为等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)记为的前项和，求的最大值．
22．（北京市朝阳区2023届高三上学期期中质量检测数学试题）已知公差大于0的等差数列满足，，为数列的前项和.
(1)求的通项公式；
(2)若，，成等比数列，求，的值.
专题4.6等比数列(B)
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·江苏·吴江汾湖高级中学高二阶段练习）已知等比数列的前项和为，若，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用等比数列片段和的性质可求得的值.
【详解】由等比数列片段和的性质可知，、、成等比数列，
所以，，即，解得.
故选：C.
2．（2022·广东·广州六中高三阶段练习）己知在等比数列中，，则等于（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【分析】先根据等比数列的性质得到和，再根据可求得的大小，解题时要注意对的符号的处理．
【详解】由等比数列的性质可得，
∴ ．
∴，
又与和同号，
∴．
故选：C．
3．（2022·北京海淀·高三期中）若等差数列和等比数列满足，，，则的公比为（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】B
【分析】根据等差数列的基本量运算可得，然后利用等比数列的概念结合条件即得.
【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
则，
所以，
∴，，
所以.
故选：B.
4．（2022·广东·高三阶段练习）已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列，若，则（ ）
A．568B．566C．675D．696
【答案】C
【分析】利用等差中项求出，结合成等比数列，求出公差，从而求出通项公式，计算出结果.
【详解】在等差数列中，设公差为，因为，所以，
解得：.
又，，成等比数列，
所以，故有，
整理得，
因为，
所以，
从而.
即，
∵，
∴，
故.
故选：C.
5．（2020·河南·高三阶段练习（文））已知等比数列{}为递增数列，是它的前项和，若＝，且与的等差中项为，则＝（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据等比数列的通项公式和等差中项的应用求出等比数列的首项和公比，结合等比数列前n项求和公式计算即可.
【详解】设该等比数列的通项公式为()，
由题意知，即，
解得，
所以.
故选：B
6．（2022·山西忻州·高三阶段练习）在各项均为正数的等差数列中，、、构成公比不为的等比数列，是的前项和．若，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设等差数列的公差为，则且，根据已知条件可得出与的关系式，求出数列的通项公式，再利用裂项相消法求出，根据题意可得出关于，解之即可.
【详解】设等差数列的公差为，则且，
由已知可得，即，可得，
所以，，
，
所以，，
，，则，可得，
因此，的最小值为.
故选：A.
7．（2022·上海市复兴高级中学高三期中）已知数列的各项均为正数，其前n项和为，满足，给出下列四个结论：
①的第2项小于3；②为等比数列；③为递减数列；④中存在小于的项
其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】令求出，进而令，求出，①正确；
假设为等比数列，得到，代入验证，故②错误；
逻辑分析及反证可得，③④正确.
【详解】当时，，
因为数列的各项均为正数，所以，
当时，，
由数列的各项均为正数，解得：，①正确；
若为等比数列，则，解得：，
将代入，
故不是等比数列，②错误；
因为数列的各项均为正数，故必单调递增，而，
所以单调递减，③正确；
假设的所有项大于等于，取，则，，
则与已知矛盾，故④正确.
故选：C
8．（2022·贵州·黔西南州义龙蓝天学校高三阶段练习（理））设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列选项错误的是（ ）
A．B．
C．是数列中的最大项D．
【答案】D
【分析】根据题意，分析可得，，从而有，，则等比数列为正项的递减数列．再结合等比数列的性质逐一判断即可．
【详解】等比数列的公比为，若，则，
由，可得，则数列各项均为正值，
若，当时，由则恒成立，显然不适合，故，且，，故正确；
因为，所以，故正确；
根据，可知是数列中的最大项，故正确；
由等比数列的性质可得，
所以，故错误．
故选：．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2022·广东惠州·高三阶段练习）已知数列中，，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．是等比数列D．
【答案】AC
【分析】根据递推关系求得，由此判断ABD选项的正确性，结合等比数列的定义判断C选项的正确性.
【详解】，即，则，，，所以A正确；
显然有，所以B不正确；亦有，所以D不正确；
又，相除得，
因此数列，分别是以1，2为首项，2为公比的等比数列，故C正确.
故选：AC
10．（2022·吉林吉林·高三阶段练习）中国音乐有悠久的历史和独特的创造.当今世界公认的音乐律制，如五度相生律（中国称三分损益律）、纯律和十二平均律，皆为中国独立发明.其中，“三分损益法”是以“宫”为基本音，宫生徵，徵生商，商生羽，羽生角，即“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”……依次损益交替变化，得到“宫、徵、商、羽、角”这五个音阶，据此可推得（ ）
A．“商、羽、角”的频率成等比数列
B．“角、商、宫”的频率成等比数列
C．“宫、徵、商、羽、角”的频率依次递增
D．“宫、商、角、徵、羽”的频率依次递增
【答案】BD
【分析】根据“损”、“益”变化规律可得到“宫、徵、商、羽、角”五个音阶对应的频率，由此可得结论.
【详解】设“宫”的频率为，则“徵”的频率为，“商”的频率为；
“商”经过一次“损”，得到“羽”的频率为；
“羽”经过一次“益”，得到“角”的频率为；
成公比为的等比数列，“角、商、宫”的频率成等比数列；
又，“宫、商、角、徵、羽”的频率依次递增.
故选：BD.
11．（2022·重庆八中高三阶段练习）设首项为1的数列的前n项和为，已知，则下列结论正确的是（ ）
A．数列为等比数列B．数列不是等比数列
C．D．中任意三项不能构成等差数列
【答案】ACD
【分析】利用数列的前项和以及等比数列的定义，逐项判断即可.
【详解】因为，所以写．又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故A正确；
所以，则．当时，，且，故B错误；
由当时，可得，故C正确；
因为，设，，，由，故矛盾，故D正确.
故选：ACD．
12．（2022·山东·安丘市普通教育教学研究室高三阶段练习）将各项均为正数的数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规律排成数表，如图所示．记表中各行的第一个数，，，，…构成数列，各行的最后一个数，，，，…构成数列，第行所有数的和为．已知数列是公差为的等差数列，从第二行起，每一行中的数按照从左到右的顺序成公比为的等比数列，且，，．则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】由条件结合确定与的关系，根据等差数列通项公式和等比数列通项公式求出数列的公差，由此可得的通项公式，再求，并根据等比数列求和公式求，由此判断各选项.
【详解】由已知第行有个数，各行的最后一个数，，，，…构成数列，所以，，，，由此可得，所以，B对，又，，，，，由此可得，因为数列是首项为1，公差为的等差数列，所以，所以，，由因为从第二行起，每一行中的数按照从左到右的顺序成公比为的等比数列，所以，，由已知可得，，所以，，所以，A正确，由已知，所以，C错误，
所以
，D对，
故选：ABD.
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（四川省绵阳市2023届高三上学期第一次诊断性考试理科数学试题）已知等比数列的各项均为正数，设是数列的前项和，且，，则______．
【答案】
【分析】利用等比数列通项公式，结合，可求得公比，进而得到，利用等比数列求和公式可求得结果.
【详解】设等比数列的公比为，
，，又，，，
.
故答案为：.
14．（2020·山东·青岛三十九中高三期中）已知等比数列的前n项和为，，，则______．
【答案】
【分析】根据条件建立关于的方程组，解出的值，然后可算出答案.
【详解】设等比数列的公比为q，则，
解得，，则．
故答案为：．
15．（2022·四川·简阳市阳安中学高三阶段练习（理））记为正项等比数列的前项和，若，，则的值为__________．
【答案】
【分析】设正项等比数列的公比为，根据等比数列的前项和公式，即可求出公比，再根据等比数列的性质可知，由此即可求出结果.
【详解】设正项等比数列的公比为，
当时，，不能同时成立；
当时，因为为正项等比数列的前项和，且，
所以，即
所以，所以（（舍去）），
又，所以的值为.
故答案为：.
16．（2022·四川雅安·模拟预测（文））已知数列的前n项和为，且．若对任意，恒成立，则t的取值范围是______．
【答案】
【分析】利用求得，结合等比数列的知识求得的取值范围.
【详解】，
当时，；
，当时，，
两式相减得，也符合，
所以，，，所以是等比数列，
，是首项为，公比为的等比数列.
，
对任意，恒成立，
所以，所以的取值范围是.
故答案为：
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·陕西·礼泉县第二中学高二阶段练习）在数列中，已知，且.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)记数列的前项和为.若，求的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)9
【分析】（1）根据等比数列的定义证明即可；
（2）结合等比数列求和公式得，进而根据，结合数列是单调递增数列即可求解.
（1）
证明：∵，且，
∴，，即
∴数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2）
解：由（1）知，即，
∴.
∵，
∴数列是单调递增数列，
又∵，
∴的值为9.
18．（2022·湖南·高三阶段练习）已知数列的前项和为，且，.
(1)证明：是等比数列；
(2)求数列的通项公式.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据递推关系得，进而根据等比数列定义直接证明即可；
（2）结合（1）得，再根据求解即可.
【详解】（1）证明：由得，即，
又，
所以，是以3为首项，3为公比的等比数列.
（2）解：由（1）可得，即.
当时，
又满足，
所以.
19．（2022·江西·临川一中高三期中（文））已知等比数列的公比与等差数列的公差相等，且，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设的公比为的公差为，则由已知条件列方程可求出，从而可求出的通项公式；
（2）由（1）得，然后利用分组求和法可求得结果.
【详解】（1）设的公比为的公差为，
因，则，解得，
而，则，
又，有，
所以的通项公式分别为.
（2）由（1）可知，，
令数列的前项和为，
则
.
20．（2022·辽宁·丹东市教师进修学院高三期中）已知公比小于的等比数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)记为的前项和，若，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可求得数列的通项公式；
（2）求出，由题意可得出关于的不等式，结合可得出的最小值.
（1）
解：设等比数列的公比为，则，解得，
.
（2）
解：由（1）可知，
由可得，可得．
因为，所以的最小值为．
21．（2022·辽宁·丹东市教师进修学院高三期中）等差数列的首项，公差，数列中，，，，已知数列为等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)记为的前项和，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列、等比数列的通项公式进行计算即可；
（2）设，根据数列单调性判断方法确定的单调性，从而求的最大值.
（1）
解：由题意成等比数列，所以，则．
因为，所以，
故数列的公比，
所以．
又，所以．
（2）
解：由（1）可知，，
设，则．
设，则．
故单调递减，
因为，，所以当时，，当时，．
于是的最大值为．
22．（北京市朝阳区2023届高三上学期期中质量检测数学试题）已知公差大于0的等差数列满足，，为数列的前项和.
(1)求的通项公式；
(2)若，，成等比数列，求，的值.
【答案】(1);
(2)或.
【分析】（1）由等差数列的性质和通项公式即可求解；
（2）由等比中项的性质即可求解.
【详解】（1）因为，所以，
而，所以或，
又因为公差大于0，所以，得，
所以.
即
（2），
所以，，
若，，成等比数列，则有，
即，又因为，且，
所以或，
解得或.
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