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人教A版 (2019)必修 第二册8.2 立体图形的直观图精练
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这是一份人教A版 (2019)必修 第二册8.2 立体图形的直观图精练，共26页。试卷主要包含了斜二测画法的概念理解，斜二测画法画平面图形，斜二测画法画空间图形，斜二测画法的相关计算等内容，欢迎下载使用。
典例精讲
考点一 斜二测画法的概念理解
【例1-1】（2022·高一课时练习）关于斜二测画法，下列说法错误的是（ ）
A．平行直线的直观图仍然是平行直线
B．垂直直线的直观图仍然是垂直直线
C．直观图中分别与两条坐标轴重合的直线，实际的位置是相互垂直的
D．线段的中点在直观图中仍然是中点
【例1-2】（2022·全国·高一专题练习）如图，已知等腰三角形，则在如图所示的四个图中，可能是的直观图的是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③④
【
【一隅三反】
1．（2022春·吉林长春·高一统考期末）（多选）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（ ）
A．相等的线段在直观图中仍然相等
B．平行的线段在直观图中仍然平行
C．一个角的直观图仍是一个角
D．相等的角在直观图中仍然相等
2．（2022·高一课时练习）关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是______．（填序号）
①原图形中平行于轴的线段，其对应线段平行于轴，长度不变；
②原图形中平行于轴的线段，其对应线段平行于轴，长度变为原来的；
③画与直角坐标系对应的时，必须是；
④在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同．
考点二 斜二测画法画平面图形
【例2-1】（2022·高一课时练习）如图，用斜二测画法作水平放置的正三角形的直观图，则正确的图形是（ ）
A． B．
C．D．
【例2-2】（2022春·上海闵行·高一校考期末）在斜二测画法的规则下，下列结论正确的是（ ）
（1）三角形的直观图一定是三角形 （2）正方形的直观图一定是菱形
（3）等腰梯形的直观图可以是平行四边形 （4）菱形的直观图一定是菱形
A．（1）（2）B．（1）C．（1）（3）（4）D．（1）（2）（3）（4）
【一隅三反】
1（2022春·江苏徐州·高一统考阶段练习）斜二测画法是绘制直观图的常用方法，下列关于斜二测画法和直观图的说法正确的是（ ）
A．矩形的直观图一定是矩形
B．等腰三角形的直观图一定是等腰三角形
C．平行四边形的直观图一定是平行四边形
D．菱形的直观图一定是菱形
2．（2022山西）用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图（尺寸自定），并由此探寻直观图面积与原图形面积之间的关系.
(1)矩形；(2)平行四边形；(3)正三角形；(4)正五边形
.
考点三 斜二测画法画空间图形
【例3-1】（2022·高一课时练习）用斜二测画法画长、宽、高分别是8cm，6cm，3cm的长方体的直观图．
【例3-2】．（2022·高一课时练习）画出一个正六棱柱的直观图，底面为边长为3的正六边形，高为5．
【例3-3】（2022·高一课时练习）已知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为6，高为4，用斜二测画法画出此正四棱台的直观图．
【一隅三反】
1．（2022·全国·高一假期作业）如图，绕BC边所在的直线旋转一周，由此形成的空间图形是由哪些简单的空间图形构成的？画出这个空间图形的直观图.若绕AC边所在的直线旋转一周呢？
2．（2021·高一课时练习）已知一棱柱的底面是边长为的正方形，各侧面都是矩形，且侧棱长为，试用斜二测画法画出此棱柱的直观图.
3．（2022·全国·高一专题练习）如图为一几何体的平面展开图，按图中虚线将它折叠起来，画出它的直观图．
考点四 斜二测画法的相关计算
【例4-1】（2022·高一课前预习）已知正△ABC的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是（ ）
A．a2B．a2C．a2D．a2
【例4-2】（2022春·广东东莞·高一东莞市东华高级中学校考阶段练习）如图是四边形ABCD的水平放置的直观图A′B′C′D′，则原四边形ABCD的面积是（ ）
A．14B．10C．28D．14
【例4-3】．（2022春·广东广州·高一西关外国语学校校考期中）如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图，则在直观图中，梯形的高为___________.
【一隅三反】
1．（2022广东佛山）如图，水平放置的的斜二测直观图为，已知，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022春·河北保定·高一统考期末）如图，已知通过斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰直角三角形，则为（ ）
A．面积为的等腰三角形B．面积为的等腰三角形
C．面积为的直角三角形D．面积为的直角三角形
3．（2022春·山西运城·高一统考期末）如图所示，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·高一单元测试）用斜二测画法画△ABC的直观图为如图所示的△，其中，，则△ABC的面积为（ ）
A．1B．2C．D．
8.2 立体图形的直观图（精讲）
思维导图
典例精讲
考点一 斜二测画法的概念理解
【例1-1】（2022·高一课时练习）关于斜二测画法，下列说法错误的是（ ）
A．平行直线的直观图仍然是平行直线
B．垂直直线的直观图仍然是垂直直线
C．直观图中分别与两条坐标轴重合的直线，实际的位置是相互垂直的
D．线段的中点在直观图中仍然是中点
【答案】B
【解析】对于A，平行直线在直观图中长度可能会变化，但平行关系不变，A正确；
对于B，平行于轴和轴的两条直线，在直观图中夹角为，B错误；
对于C，直观图中与两条坐标轴重合的直线，还原后与平面直角坐标系中的轴重合，实际位置互相垂直，C正确；
对于D，线段的中点在直观图中依然会是该线段直观图画法中的中点，D正确.
故选：B.
【例1-2】（2022·全国·高一专题练习）如图，已知等腰三角形，则在如图所示的四个图中，可能是的直观图的是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③④
【答案】D
【解析】根据坐标轴夹角为或，等腰三角形的直观图如图所示：
只有③④符合故选：D
【一隅三反】
1．（2022春·吉林长春·高一统考期末）（多选）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（ ）
A．相等的线段在直观图中仍然相等
B．平行的线段在直观图中仍然平行
C．一个角的直观图仍是一个角
D．相等的角在直观图中仍然相等
【答案】BC
【解析】由斜二测画法原则：平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变，
平行于x轴且相等的线段在直观图中仍相等，而不是所有相等线段都能相等，A错误；
平行线段在直观图中仍然平行，B正确；
一个角在直观图中也是一个角的形式出现，C正确；
如直角梯形在直观图中与直角对应的两个角不相等，D错误.
故选：BC
2．（2022·高一课时练习）关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是______．（填序号）
①原图形中平行于轴的线段，其对应线段平行于轴，长度不变；
②原图形中平行于轴的线段，其对应线段平行于轴，长度变为原来的；
③画与直角坐标系对应的时，必须是；
④在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同．
【答案】③
【解析】原图形中平行于轴的线段，其对应线段平行于轴，长度不变，故①正确；
原图形中平行于轴的线段，其对应线段平行于轴，长度变为原来的，故②正确；
画与直角坐标系对应的坐标系时，也可以是，故③错误；
在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同，故④正确.
故答案为：③.
考点二 斜二测画法画平面图形
【例2-1】（2022·高一课时练习）如图，用斜二测画法作水平放置的正三角形的直观图，则正确的图形是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】A
【解析】先作出一个正三角形，
然后以所在直线为轴，以边上的高所在的直线为轴建立平面直角坐标系，
画对应的轴，使夹角为，
画直观图时与轴平行的直线的线段长度保持不变，与轴平行的线段长度变为原来的一半，得到的图形如图，
然后去掉辅助线即可得到正三角形的直观图如图，
故选：A
【例2-2】（2022春·上海闵行·高一校考期末）在斜二测画法的规则下，下列结论正确的是（ ）
（1）三角形的直观图一定是三角形 （2）正方形的直观图一定是菱形
（3）等腰梯形的直观图可以是平行四边形 （4）菱形的直观图一定是菱形
A．（1）（2）B．（1）C．（1）（3）（4）D．（1）（2）（3）（4）
【答案】B
【解析】由斜二测画法的规则可知（1）正确，（2）错误；
（3）中的平行性质不变，但梯形两底平行且长度不相等，故在直观图中平行且长度不相等，故可能为平行四边形，（3）错误；
（4）中由平行于轴的长度不变，平行于轴的长度减半，故菱形的直观图为平行四边形，（4）错误；
故选：B.
【一隅三反】
1（2022春·江苏徐州·高一统考阶段练习）斜二测画法是绘制直观图的常用方法，下列关于斜二测画法和直观图的说法正确的是（ ）
A．矩形的直观图一定是矩形
B．等腰三角形的直观图一定是等腰三角形
C．平行四边形的直观图一定是平行四边形
D．菱形的直观图一定是菱形
【答案】C
【解析】对A，矩形的直观图可以是平行四边形，故A错误；
对B，等腰三角形的直观图的两腰不相等，不一定为等腰三角形，故B错误；
对C，根据斜二测画法的规则线段的平行性不变，所以平行四边形的直观图一定是平行四边形，故C正确；
对D，菱形的直观图中，一组对边长度可以改变，所以直观图不一定是菱形，故D错误.
故选：C.
2．（2022山西）用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图（尺寸自定），并由此探寻直观图面积与原图形面积之间的关系.
(1)矩形；(2)平行四边形；(3)正三角形；(4)正五边形
【答案】答案见解析
【解析】(1)解：根据斜二测画法的规则，可得：
设，，则，直观图中边边上的高为，
因此，设直观图和原图形的面积分别为、，则.
(2)解：根据斜二测画法的规则，可得：
设，，则，直观图中边边上的高为，
因此，设直观图和原图形的面积分别为、，则.
(3)解：根据斜二测画法的规则，可得：
设，，则，直观图中边边上的高为，
因此，设直观图和原图形的面积分别为、，则.
(4)解：根据斜二测画法的规则，可得：
设，，则，的边边上的高为，
所以，，
同理可得，，，，
设五边形的面积为，直观图五边形的面积为，
则
.
考点三 斜二测画法画空间图形
【例3-1】（2022·高一课时练习）用斜二测画法画长、宽、高分别是8cm，6cm，3cm的长方体的直观图．
【答案】作图见解析
【解析】根据斜二测画法的规则可知，底面矩形的直观图为平行四边形．
①画出水平放置的长、宽分别是8 cm、6 cm的矩形ABCD的直观图．
②作Az垂直于AB，在Az轴上截取．
分别过点B、C、D作，，，且．
③连接、、、，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，即得长方体的直观图，如图2所示．
【例3-2】．（2022·高一课时练习）画出一个正六棱柱的直观图，底面为边长为3的正六边形，高为5．
【答案】答案见解析
【解析】（1）画轴.如图，画x,y,z轴，三轴相交于O，使得 .
（2）画底面.在x轴上以O为中点截取线段FC，使FC=6cm,在y轴上以O为中点取线段GH,
使 ,分别过点G,H作x轴的平行线，并在平行线上分别以G,H为中点截取AB=3cm,ED=3cm,
连接BC,CD,EF,FA,则六边形ABCDEF就是正六棱柱的底面的直观图.
（3）画侧棱.在z轴正半轴上取线段,使，过A,B,C,D,E,F各点作z轴的平行线，
在这些平行线上分别截取5cm长的线段 .
（4）成图.顺次连接,并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），得到所要求作的正六棱柱的直观图
【例3-3】（2022·高一课时练习）已知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为6，高为4，用斜二测画法画出此正四棱台的直观图．
【答案】答案见解析
【解析】（1）画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
（2）画下底面．以O为中点，在x轴上取线段EF，使得EF＝6，在y轴上取线段GH，使得GH＝3，再过G，H分别作AB綊EF，CD綊EF，且使得AB的中点为G，CD的中点为H，连接AD，BC，这样就得到了正四棱台的下底面ABCD的直观图．
（3）画上底面．在z轴上截取线段OO1＝4，过O1作O1x′∥Ox，O1y′∥Oy，使∠x′O1y′＝45°，建立坐标系x′O1y′，在x′O1y′中仿照（2）的步骤画出上底面A1B1C1D1的直观图．
（4）连接AA1、BB1、CC1、DD1，擦去辅助线，得到的图形就是所求的正四棱台的直观图
如图②）．
【一隅三反】
1．（2022·全国·高一假期作业）如图，绕BC边所在的直线旋转一周，由此形成的空间图形是由哪些简单的空间图形构成的？画出这个空间图形的直观图.若绕AC边所在的直线旋转一周呢？
【答案】答案见解析
【解析】在图(1)中，过A作AO⊥BC于O，如图，
显然，是由公共直角边OA，且另外一条直角边在旋转轴上的两个直角三角形拼接而成，
则绕直线BC旋转一周所得几何体，是与绕直线BC旋转一周的两个同底圆锥构成的组合体，
所以这个空间图形是两个同底的圆锥构成的组合体，其直观图如图，
在图(2)中，过B作BO1⊥AC于O1，如图，
显然，是由去掉而成，它们有公共直角边O1B，且另外一条直角边在旋转轴上，
则绕直线AC旋转一周所得几何体，是绕直线AC旋转一周所得圆锥挖去绕直线AC旋转一周所得圆锥构成的几何体，
所以这个空间图形是一个圆锥挖去一个同底的小圆锥构成，其直观图如图.
2．（2021·高一课时练习）已知一棱柱的底面是边长为的正方形，各侧面都是矩形，且侧棱长为，试用斜二测画法画出此棱柱的直观图.
【答案】见解析
【解析】（1）画轴.画出轴、轴轴，三轴相交于点，使，.
（2）画底面.以点为中点，在轴上画，在轴上画，分别过点，作轴的平行线，过点，作轴的平行线，设它们的交点分别为，，，，则四边形就是该棱柱的底面.
（3）画侧棱.过点，，，分别作轴的平行线，并在这些平行线上分别截取长的线段，，，，如图①所示.
（4）成图.连接，，，，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到该棱柱的直观图，如图②所示.
3．（2022·全国·高一专题练习）如图为一几何体的平面展开图，按图中虚线将它折叠起来，画出它的直观图．
【答案】见解析
【解析】
由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，
其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2，其直观图如图所示.
考点四 斜二测画法的相关计算
【例4-1】（2022·高一课前预习）已知正△ABC的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是（ ）
A．a2B．a2C．a2D．a2
【答案】D
【解析】因为正△ABC的边长为a，所以其面积S＝a2，又因为直观图面积S′与原图面积之比为，即＝，所以S′＝×a2＝a2．
答案：D
【例4-2】（2022春·广东东莞·高一东莞市东华高级中学校考阶段练习）如图是四边形ABCD的水平放置的直观图A′B′C′D′，则原四边形ABCD的面积是（ ）
A．14B．10C．28D．14
【答案】C
【解析】∵A′D′∥y′轴，A′B′∥C′D′，A′B′≠C′D′，
∴原图形是一个直角梯形．
又A′D′＝4，
∴原直角梯形的上、下底及高分别是2，5，8，
故其面积为.
故选：C
【例4-3】．（2022春·广东广州·高一西关外国语学校校考期中）如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图，则在直观图中，梯形的高为___________.
【答案】
【解析】四边形是上底为2，下底为6，底角为的等腰梯形，
故的高为2，面积，
故其直观图的面积，
设直观图的高为，则，
解得：，
即在直观图中，梯形的高为.
故答案为：.
【一隅三反】
1．（2022广东佛山）如图，水平放置的的斜二测直观图为，已知，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由直观图可还原如下图所示，
其中，，，
，的周长为.
故选：C.
2．（2022春·河北保定·高一统考期末）如图，已知通过斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰直角三角形，则为（ ）
A．面积为的等腰三角形
B．面积为的等腰三角形
C．面积为的直角三角形
D．面积为的直角三角形
【答案】D
【解析】如图因为斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰直角三角形，
故，,
将直观图还原，则,,
故所得三角形为直角三角形，面积为.
故选：D.
3．（2022春·山西运城·高一统考期末）如图所示，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由斜二测画法规则知，正方形的原实际图形是平行四边形，如图，
其中，因此有，
所以原图形的周长为（cm）.
故选：B
4．（2022·高一单元测试）用斜二测画法画△ABC的直观图为如图所示的△，其中，，则△ABC的面积为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】C
【解析】由题设，△和△均为等腰直角三角形，
所以，即轴，原直角坐标系中轴，
而，则，
在△中边上的高等于的长，又，
所以△ABC的面积为.
故选：C
典例精讲
考点一 斜二测画法的概念理解
【例1-1】（2022·高一课时练习）关于斜二测画法，下列说法错误的是（ ）
A．平行直线的直观图仍然是平行直线
B．垂直直线的直观图仍然是垂直直线
C．直观图中分别与两条坐标轴重合的直线，实际的位置是相互垂直的
D．线段的中点在直观图中仍然是中点
【例1-2】（2022·全国·高一专题练习）如图，已知等腰三角形，则在如图所示的四个图中，可能是的直观图的是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③④
【
【一隅三反】
1．（2022春·吉林长春·高一统考期末）（多选）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（ ）
A．相等的线段在直观图中仍然相等
B．平行的线段在直观图中仍然平行
C．一个角的直观图仍是一个角
D．相等的角在直观图中仍然相等
2．（2022·高一课时练习）关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是______．（填序号）
①原图形中平行于轴的线段，其对应线段平行于轴，长度不变；
②原图形中平行于轴的线段，其对应线段平行于轴，长度变为原来的；
③画与直角坐标系对应的时，必须是；
④在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同．
考点二 斜二测画法画平面图形
【例2-1】（2022·高一课时练习）如图，用斜二测画法作水平放置的正三角形的直观图，则正确的图形是（ ）
A． B．
C．D．
【例2-2】（2022春·上海闵行·高一校考期末）在斜二测画法的规则下，下列结论正确的是（ ）
（1）三角形的直观图一定是三角形 （2）正方形的直观图一定是菱形
（3）等腰梯形的直观图可以是平行四边形 （4）菱形的直观图一定是菱形
A．（1）（2）B．（1）C．（1）（3）（4）D．（1）（2）（3）（4）
【一隅三反】
1（2022春·江苏徐州·高一统考阶段练习）斜二测画法是绘制直观图的常用方法，下列关于斜二测画法和直观图的说法正确的是（ ）
A．矩形的直观图一定是矩形
B．等腰三角形的直观图一定是等腰三角形
C．平行四边形的直观图一定是平行四边形
D．菱形的直观图一定是菱形
2．（2022山西）用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图（尺寸自定），并由此探寻直观图面积与原图形面积之间的关系.
(1)矩形；(2)平行四边形；(3)正三角形；(4)正五边形
.
考点三 斜二测画法画空间图形
【例3-1】（2022·高一课时练习）用斜二测画法画长、宽、高分别是8cm，6cm，3cm的长方体的直观图．
【例3-2】．（2022·高一课时练习）画出一个正六棱柱的直观图，底面为边长为3的正六边形，高为5．
【例3-3】（2022·高一课时练习）已知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为6，高为4，用斜二测画法画出此正四棱台的直观图．
【一隅三反】
1．（2022·全国·高一假期作业）如图，绕BC边所在的直线旋转一周，由此形成的空间图形是由哪些简单的空间图形构成的？画出这个空间图形的直观图.若绕AC边所在的直线旋转一周呢？
2．（2021·高一课时练习）已知一棱柱的底面是边长为的正方形，各侧面都是矩形，且侧棱长为，试用斜二测画法画出此棱柱的直观图.
3．（2022·全国·高一专题练习）如图为一几何体的平面展开图，按图中虚线将它折叠起来，画出它的直观图．
考点四 斜二测画法的相关计算
【例4-1】（2022·高一课前预习）已知正△ABC的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是（ ）
A．a2B．a2C．a2D．a2
【例4-2】（2022春·广东东莞·高一东莞市东华高级中学校考阶段练习）如图是四边形ABCD的水平放置的直观图A′B′C′D′，则原四边形ABCD的面积是（ ）
A．14B．10C．28D．14
【例4-3】．（2022春·广东广州·高一西关外国语学校校考期中）如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图，则在直观图中，梯形的高为___________.
【一隅三反】
1．（2022广东佛山）如图，水平放置的的斜二测直观图为，已知，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022春·河北保定·高一统考期末）如图，已知通过斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰直角三角形，则为（ ）
A．面积为的等腰三角形B．面积为的等腰三角形
C．面积为的直角三角形D．面积为的直角三角形
3．（2022春·山西运城·高一统考期末）如图所示，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·高一单元测试）用斜二测画法画△ABC的直观图为如图所示的△，其中，，则△ABC的面积为（ ）
A．1B．2C．D．
8.2 立体图形的直观图（精讲）
思维导图
典例精讲
考点一 斜二测画法的概念理解
【例1-1】（2022·高一课时练习）关于斜二测画法，下列说法错误的是（ ）
A．平行直线的直观图仍然是平行直线
B．垂直直线的直观图仍然是垂直直线
C．直观图中分别与两条坐标轴重合的直线，实际的位置是相互垂直的
D．线段的中点在直观图中仍然是中点
【答案】B
【解析】对于A，平行直线在直观图中长度可能会变化，但平行关系不变，A正确；
对于B，平行于轴和轴的两条直线，在直观图中夹角为，B错误；
对于C，直观图中与两条坐标轴重合的直线，还原后与平面直角坐标系中的轴重合，实际位置互相垂直，C正确；
对于D，线段的中点在直观图中依然会是该线段直观图画法中的中点，D正确.
故选：B.
【例1-2】（2022·全国·高一专题练习）如图，已知等腰三角形，则在如图所示的四个图中，可能是的直观图的是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③④
【答案】D
【解析】根据坐标轴夹角为或，等腰三角形的直观图如图所示：
只有③④符合故选：D
【一隅三反】
1．（2022春·吉林长春·高一统考期末）（多选）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（ ）
A．相等的线段在直观图中仍然相等
B．平行的线段在直观图中仍然平行
C．一个角的直观图仍是一个角
D．相等的角在直观图中仍然相等
【答案】BC
【解析】由斜二测画法原则：平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变，
平行于x轴且相等的线段在直观图中仍相等，而不是所有相等线段都能相等，A错误；
平行线段在直观图中仍然平行，B正确；
一个角在直观图中也是一个角的形式出现，C正确；
如直角梯形在直观图中与直角对应的两个角不相等，D错误.
故选：BC
2．（2022·高一课时练习）关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是______．（填序号）
①原图形中平行于轴的线段，其对应线段平行于轴，长度不变；
②原图形中平行于轴的线段，其对应线段平行于轴，长度变为原来的；
③画与直角坐标系对应的时，必须是；
④在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同．
【答案】③
【解析】原图形中平行于轴的线段，其对应线段平行于轴，长度不变，故①正确；
原图形中平行于轴的线段，其对应线段平行于轴，长度变为原来的，故②正确；
画与直角坐标系对应的坐标系时，也可以是，故③错误；
在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同，故④正确.
故答案为：③.
考点二 斜二测画法画平面图形
【例2-1】（2022·高一课时练习）如图，用斜二测画法作水平放置的正三角形的直观图，则正确的图形是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】A
【解析】先作出一个正三角形，
然后以所在直线为轴，以边上的高所在的直线为轴建立平面直角坐标系，
画对应的轴，使夹角为，
画直观图时与轴平行的直线的线段长度保持不变，与轴平行的线段长度变为原来的一半，得到的图形如图，
然后去掉辅助线即可得到正三角形的直观图如图，
故选：A
【例2-2】（2022春·上海闵行·高一校考期末）在斜二测画法的规则下，下列结论正确的是（ ）
（1）三角形的直观图一定是三角形 （2）正方形的直观图一定是菱形
（3）等腰梯形的直观图可以是平行四边形 （4）菱形的直观图一定是菱形
A．（1）（2）B．（1）C．（1）（3）（4）D．（1）（2）（3）（4）
【答案】B
【解析】由斜二测画法的规则可知（1）正确，（2）错误；
（3）中的平行性质不变，但梯形两底平行且长度不相等，故在直观图中平行且长度不相等，故可能为平行四边形，（3）错误；
（4）中由平行于轴的长度不变，平行于轴的长度减半，故菱形的直观图为平行四边形，（4）错误；
故选：B.
【一隅三反】
1（2022春·江苏徐州·高一统考阶段练习）斜二测画法是绘制直观图的常用方法，下列关于斜二测画法和直观图的说法正确的是（ ）
A．矩形的直观图一定是矩形
B．等腰三角形的直观图一定是等腰三角形
C．平行四边形的直观图一定是平行四边形
D．菱形的直观图一定是菱形
【答案】C
【解析】对A，矩形的直观图可以是平行四边形，故A错误；
对B，等腰三角形的直观图的两腰不相等，不一定为等腰三角形，故B错误；
对C，根据斜二测画法的规则线段的平行性不变，所以平行四边形的直观图一定是平行四边形，故C正确；
对D，菱形的直观图中，一组对边长度可以改变，所以直观图不一定是菱形，故D错误.
故选：C.
2．（2022山西）用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图（尺寸自定），并由此探寻直观图面积与原图形面积之间的关系.
(1)矩形；(2)平行四边形；(3)正三角形；(4)正五边形
【答案】答案见解析
【解析】(1)解：根据斜二测画法的规则，可得：
设，，则，直观图中边边上的高为，
因此，设直观图和原图形的面积分别为、，则.
(2)解：根据斜二测画法的规则，可得：
设，，则，直观图中边边上的高为，
因此，设直观图和原图形的面积分别为、，则.
(3)解：根据斜二测画法的规则，可得：
设，，则，直观图中边边上的高为，
因此，设直观图和原图形的面积分别为、，则.
(4)解：根据斜二测画法的规则，可得：
设，，则，的边边上的高为，
所以，，
同理可得，，，，
设五边形的面积为，直观图五边形的面积为，
则
.
考点三 斜二测画法画空间图形
【例3-1】（2022·高一课时练习）用斜二测画法画长、宽、高分别是8cm，6cm，3cm的长方体的直观图．
【答案】作图见解析
【解析】根据斜二测画法的规则可知，底面矩形的直观图为平行四边形．
①画出水平放置的长、宽分别是8 cm、6 cm的矩形ABCD的直观图．
②作Az垂直于AB，在Az轴上截取．
分别过点B、C、D作，，，且．
③连接、、、，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，即得长方体的直观图，如图2所示．
【例3-2】．（2022·高一课时练习）画出一个正六棱柱的直观图，底面为边长为3的正六边形，高为5．
【答案】答案见解析
【解析】（1）画轴.如图，画x,y,z轴，三轴相交于O，使得 .
（2）画底面.在x轴上以O为中点截取线段FC，使FC=6cm,在y轴上以O为中点取线段GH,
使 ,分别过点G,H作x轴的平行线，并在平行线上分别以G,H为中点截取AB=3cm,ED=3cm,
连接BC,CD,EF,FA,则六边形ABCDEF就是正六棱柱的底面的直观图.
（3）画侧棱.在z轴正半轴上取线段,使，过A,B,C,D,E,F各点作z轴的平行线，
在这些平行线上分别截取5cm长的线段 .
（4）成图.顺次连接,并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），得到所要求作的正六棱柱的直观图
【例3-3】（2022·高一课时练习）已知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为6，高为4，用斜二测画法画出此正四棱台的直观图．
【答案】答案见解析
【解析】（1）画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
（2）画下底面．以O为中点，在x轴上取线段EF，使得EF＝6，在y轴上取线段GH，使得GH＝3，再过G，H分别作AB綊EF，CD綊EF，且使得AB的中点为G，CD的中点为H，连接AD，BC，这样就得到了正四棱台的下底面ABCD的直观图．
（3）画上底面．在z轴上截取线段OO1＝4，过O1作O1x′∥Ox，O1y′∥Oy，使∠x′O1y′＝45°，建立坐标系x′O1y′，在x′O1y′中仿照（2）的步骤画出上底面A1B1C1D1的直观图．
（4）连接AA1、BB1、CC1、DD1，擦去辅助线，得到的图形就是所求的正四棱台的直观图
如图②）．
【一隅三反】
1．（2022·全国·高一假期作业）如图，绕BC边所在的直线旋转一周，由此形成的空间图形是由哪些简单的空间图形构成的？画出这个空间图形的直观图.若绕AC边所在的直线旋转一周呢？
【答案】答案见解析
【解析】在图(1)中，过A作AO⊥BC于O，如图，
显然，是由公共直角边OA，且另外一条直角边在旋转轴上的两个直角三角形拼接而成，
则绕直线BC旋转一周所得几何体，是与绕直线BC旋转一周的两个同底圆锥构成的组合体，
所以这个空间图形是两个同底的圆锥构成的组合体，其直观图如图，
在图(2)中，过B作BO1⊥AC于O1，如图，
显然，是由去掉而成，它们有公共直角边O1B，且另外一条直角边在旋转轴上，
则绕直线AC旋转一周所得几何体，是绕直线AC旋转一周所得圆锥挖去绕直线AC旋转一周所得圆锥构成的几何体，
所以这个空间图形是一个圆锥挖去一个同底的小圆锥构成，其直观图如图.
2．（2021·高一课时练习）已知一棱柱的底面是边长为的正方形，各侧面都是矩形，且侧棱长为，试用斜二测画法画出此棱柱的直观图.
【答案】见解析
【解析】（1）画轴.画出轴、轴轴，三轴相交于点，使，.
（2）画底面.以点为中点，在轴上画，在轴上画，分别过点，作轴的平行线，过点，作轴的平行线，设它们的交点分别为，，，，则四边形就是该棱柱的底面.
（3）画侧棱.过点，，，分别作轴的平行线，并在这些平行线上分别截取长的线段，，，，如图①所示.
（4）成图.连接，，，，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到该棱柱的直观图，如图②所示.
3．（2022·全国·高一专题练习）如图为一几何体的平面展开图，按图中虚线将它折叠起来，画出它的直观图．
【答案】见解析
【解析】
由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，
其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2，其直观图如图所示.
考点四 斜二测画法的相关计算
【例4-1】（2022·高一课前预习）已知正△ABC的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是（ ）
A．a2B．a2C．a2D．a2
【答案】D
【解析】因为正△ABC的边长为a，所以其面积S＝a2，又因为直观图面积S′与原图面积之比为，即＝，所以S′＝×a2＝a2．
答案：D
【例4-2】（2022春·广东东莞·高一东莞市东华高级中学校考阶段练习）如图是四边形ABCD的水平放置的直观图A′B′C′D′，则原四边形ABCD的面积是（ ）
A．14B．10C．28D．14
【答案】C
【解析】∵A′D′∥y′轴，A′B′∥C′D′，A′B′≠C′D′，
∴原图形是一个直角梯形．
又A′D′＝4，
∴原直角梯形的上、下底及高分别是2，5，8，
故其面积为.
故选：C
【例4-3】．（2022春·广东广州·高一西关外国语学校校考期中）如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图，则在直观图中，梯形的高为___________.
【答案】
【解析】四边形是上底为2，下底为6，底角为的等腰梯形，
故的高为2，面积，
故其直观图的面积，
设直观图的高为，则，
解得：，
即在直观图中，梯形的高为.
故答案为：.
【一隅三反】
1．（2022广东佛山）如图，水平放置的的斜二测直观图为，已知，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由直观图可还原如下图所示，
其中，，，
，的周长为.
故选：C.
2．（2022春·河北保定·高一统考期末）如图，已知通过斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰直角三角形，则为（ ）
A．面积为的等腰三角形
B．面积为的等腰三角形
C．面积为的直角三角形
D．面积为的直角三角形
【答案】D
【解析】如图因为斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰直角三角形，
故，,
将直观图还原，则,,
故所得三角形为直角三角形，面积为.
故选：D.
3．（2022春·山西运城·高一统考期末）如图所示，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由斜二测画法规则知，正方形的原实际图形是平行四边形，如图，
其中，因此有，
所以原图形的周长为（cm）.
故选：B
4．（2022·高一单元测试）用斜二测画法画△ABC的直观图为如图所示的△，其中，，则△ABC的面积为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】C
【解析】由题设，△和△均为等腰直角三角形，
所以，即轴，原直角坐标系中轴，
而，则，
在△中边上的高等于的长，又，
所以△ABC的面积为.
故选：C
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