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    人教A版(2019)必修第二册8.2立体图形的直观图(精讲)(原卷版+解析)
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    人教A版 (2019)必修 第二册8.2 立体图形的直观图精练

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    这是一份人教A版 (2019)必修 第二册8.2 立体图形的直观图精练,共26页。试卷主要包含了斜二测画法的概念理解,斜二测画法画平面图形,斜二测画法画空间图形,斜二测画法的相关计算等内容,欢迎下载使用。


    典例精讲
    考点一 斜二测画法的概念理解
    【例1-1】(2022·高一课时练习)关于斜二测画法,下列说法错误的是( )
    A.平行直线的直观图仍然是平行直线
    B.垂直直线的直观图仍然是垂直直线
    C.直观图中分别与两条坐标轴重合的直线,实际的位置是相互垂直的
    D.线段的中点在直观图中仍然是中点
    【例1-2】(2022·全国·高一专题练习)如图,已知等腰三角形,则在如图所示的四个图中,可能是的直观图的是( )
    A.①②B.②③C.②④D.③④

    【一隅三反】
    1.(2022春·吉林长春·高一统考期末)(多选)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时,下列结论正确的是( )
    A.相等的线段在直观图中仍然相等
    B.平行的线段在直观图中仍然平行
    C.一个角的直观图仍是一个角
    D.相等的角在直观图中仍然相等
    2.(2022·高一课时练习)关于“斜二测画法”,下列说法不正确的是______.(填序号)
    ①原图形中平行于轴的线段,其对应线段平行于轴,长度不变;
    ②原图形中平行于轴的线段,其对应线段平行于轴,长度变为原来的;
    ③画与直角坐标系对应的时,必须是;
    ④在画直观图时,由于选轴的不同,所得的直观图可能不同.
    考点二 斜二测画法画平面图形
    【例2-1】(2022·高一课时练习)如图,用斜二测画法作水平放置的正三角形的直观图,则正确的图形是( )
    A. B.
    C.D.
    【例2-2】(2022春·上海闵行·高一校考期末)在斜二测画法的规则下,下列结论正确的是( )
    (1)三角形的直观图一定是三角形 (2)正方形的直观图一定是菱形
    (3)等腰梯形的直观图可以是平行四边形 (4)菱形的直观图一定是菱形
    A.(1)(2)B.(1)C.(1)(3)(4)D.(1)(2)(3)(4)
    【一隅三反】
    1(2022春·江苏徐州·高一统考阶段练习)斜二测画法是绘制直观图的常用方法,下列关于斜二测画法和直观图的说法正确的是( )
    A.矩形的直观图一定是矩形
    B.等腰三角形的直观图一定是等腰三角形
    C.平行四边形的直观图一定是平行四边形
    D.菱形的直观图一定是菱形
    2.(2022山西)用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图(尺寸自定),并由此探寻直观图面积与原图形面积之间的关系.
    (1)矩形;(2)平行四边形;(3)正三角形;(4)正五边形
    .
    考点三 斜二测画法画空间图形
    【例3-1】(2022·高一课时练习)用斜二测画法画长、宽、高分别是8cm,6cm,3cm的长方体的直观图.
    【例3-2】.(2022·高一课时练习)画出一个正六棱柱的直观图,底面为边长为3的正六边形,高为5.
    【例3-3】(2022·高一课时练习)已知一个正四棱台的上底面边长为2,下底面边长为6,高为4,用斜二测画法画出此正四棱台的直观图.
    【一隅三反】
    1.(2022·全国·高一假期作业)如图,绕BC边所在的直线旋转一周,由此形成的空间图形是由哪些简单的空间图形构成的?画出这个空间图形的直观图.若绕AC边所在的直线旋转一周呢?
    2.(2021·高一课时练习)已知一棱柱的底面是边长为的正方形,各侧面都是矩形,且侧棱长为,试用斜二测画法画出此棱柱的直观图.
    3.(2022·全国·高一专题练习)如图为一几何体的平面展开图,按图中虚线将它折叠起来,画出它的直观图.
    考点四 斜二测画法的相关计算
    【例4-1】(2022·高一课前预习)已知正△ABC的边长为a,建立如图所示的直角坐标系xOy,则它的直观图的面积是( )
    A.a2B.a2C.a2D.a2
    【例4-2】(2022春·广东东莞·高一东莞市东华高级中学校考阶段练习)如图是四边形ABCD的水平放置的直观图A′B′C′D′,则原四边形ABCD的面积是( )
    A.14B.10C.28D.14
    【例4-3】.(2022春·广东广州·高一西关外国语学校校考期中)如图所示,四边形OABC是上底为2,下底为6,底角为45°的等腰梯形,用斜二测画法画出这个梯形的直观图,则在直观图中,梯形的高为___________.
    【一隅三反】
    1.(2022广东佛山)如图,水平放置的的斜二测直观图为,已知,则的周长为( )
    A.B.C.D.
    2.(2022春·河北保定·高一统考期末)如图,已知通过斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰直角三角形,则为( )
    A.面积为的等腰三角形B.面积为的等腰三角形
    C.面积为的直角三角形D.面积为的直角三角形
    3.(2022春·山西运城·高一统考期末)如图所示,正方形的边长为1,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长为( )
    A.B.C.D.
    4.(2022·高一单元测试)用斜二测画法画△ABC的直观图为如图所示的△,其中,,则△ABC的面积为( )
    A.1B.2C.D.
    8.2 立体图形的直观图(精讲)
    思维导图
    典例精讲
    考点一 斜二测画法的概念理解
    【例1-1】(2022·高一课时练习)关于斜二测画法,下列说法错误的是( )
    A.平行直线的直观图仍然是平行直线
    B.垂直直线的直观图仍然是垂直直线
    C.直观图中分别与两条坐标轴重合的直线,实际的位置是相互垂直的
    D.线段的中点在直观图中仍然是中点
    【答案】B
    【解析】对于A,平行直线在直观图中长度可能会变化,但平行关系不变,A正确;
    对于B,平行于轴和轴的两条直线,在直观图中夹角为,B错误;
    对于C,直观图中与两条坐标轴重合的直线,还原后与平面直角坐标系中的轴重合,实际位置互相垂直,C正确;
    对于D,线段的中点在直观图中依然会是该线段直观图画法中的中点,D正确.
    故选:B.
    【例1-2】(2022·全国·高一专题练习)如图,已知等腰三角形,则在如图所示的四个图中,可能是的直观图的是( )
    A.①②B.②③C.②④D.③④
    【答案】D
    【解析】根据坐标轴夹角为或,等腰三角形的直观图如图所示:
    只有③④符合故选:D
    【一隅三反】
    1.(2022春·吉林长春·高一统考期末)(多选)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时,下列结论正确的是( )
    A.相等的线段在直观图中仍然相等
    B.平行的线段在直观图中仍然平行
    C.一个角的直观图仍是一个角
    D.相等的角在直观图中仍然相等
    【答案】BC
    【解析】由斜二测画法原则:平行依旧垂改斜,横等纵半竖不变,
    平行于x轴且相等的线段在直观图中仍相等,而不是所有相等线段都能相等,A错误;
    平行线段在直观图中仍然平行,B正确;
    一个角在直观图中也是一个角的形式出现,C正确;
    如直角梯形在直观图中与直角对应的两个角不相等,D错误.
    故选:BC
    2.(2022·高一课时练习)关于“斜二测画法”,下列说法不正确的是______.(填序号)
    ①原图形中平行于轴的线段,其对应线段平行于轴,长度不变;
    ②原图形中平行于轴的线段,其对应线段平行于轴,长度变为原来的;
    ③画与直角坐标系对应的时,必须是;
    ④在画直观图时,由于选轴的不同,所得的直观图可能不同.
    【答案】③
    【解析】原图形中平行于轴的线段,其对应线段平行于轴,长度不变,故①正确;
    原图形中平行于轴的线段,其对应线段平行于轴,长度变为原来的,故②正确;
    画与直角坐标系对应的坐标系时,也可以是,故③错误;
    在画直观图时,由于选轴的不同,所得的直观图可能不同,故④正确.
    故答案为:③.
    考点二 斜二测画法画平面图形
    【例2-1】(2022·高一课时练习)如图,用斜二测画法作水平放置的正三角形的直观图,则正确的图形是( )
    A. B.
    C.D.
    【答案】A
    【解析】先作出一个正三角形,
    然后以所在直线为轴,以边上的高所在的直线为轴建立平面直角坐标系,
    画对应的轴,使夹角为,
    画直观图时与轴平行的直线的线段长度保持不变,与轴平行的线段长度变为原来的一半,得到的图形如图,
    然后去掉辅助线即可得到正三角形的直观图如图,
    故选:A
    【例2-2】(2022春·上海闵行·高一校考期末)在斜二测画法的规则下,下列结论正确的是( )
    (1)三角形的直观图一定是三角形 (2)正方形的直观图一定是菱形
    (3)等腰梯形的直观图可以是平行四边形 (4)菱形的直观图一定是菱形
    A.(1)(2)B.(1)C.(1)(3)(4)D.(1)(2)(3)(4)
    【答案】B
    【解析】由斜二测画法的规则可知(1)正确,(2)错误;
    (3)中的平行性质不变,但梯形两底平行且长度不相等,故在直观图中平行且长度不相等,故可能为平行四边形,(3)错误;
    (4)中由平行于轴的长度不变,平行于轴的长度减半,故菱形的直观图为平行四边形,(4)错误;
    故选:B.
    【一隅三反】
    1(2022春·江苏徐州·高一统考阶段练习)斜二测画法是绘制直观图的常用方法,下列关于斜二测画法和直观图的说法正确的是( )
    A.矩形的直观图一定是矩形
    B.等腰三角形的直观图一定是等腰三角形
    C.平行四边形的直观图一定是平行四边形
    D.菱形的直观图一定是菱形
    【答案】C
    【解析】对A,矩形的直观图可以是平行四边形,故A错误;
    对B,等腰三角形的直观图的两腰不相等,不一定为等腰三角形,故B错误;
    对C,根据斜二测画法的规则线段的平行性不变,所以平行四边形的直观图一定是平行四边形,故C正确;
    对D,菱形的直观图中,一组对边长度可以改变,所以直观图不一定是菱形,故D错误.
    故选:C.
    2.(2022山西)用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图(尺寸自定),并由此探寻直观图面积与原图形面积之间的关系.
    (1)矩形;(2)平行四边形;(3)正三角形;(4)正五边形
    【答案】答案见解析
    【解析】(1)解:根据斜二测画法的规则,可得:
    设,,则,直观图中边边上的高为,
    因此,设直观图和原图形的面积分别为、,则.
    (2)解:根据斜二测画法的规则,可得:
    设,,则,直观图中边边上的高为,
    因此,设直观图和原图形的面积分别为、,则.
    (3)解:根据斜二测画法的规则,可得:
    设,,则,直观图中边边上的高为,
    因此,设直观图和原图形的面积分别为、,则.
    (4)解:根据斜二测画法的规则,可得:
    设,,则,的边边上的高为,
    所以,,
    同理可得,,,,
    设五边形的面积为,直观图五边形的面积为,

    .
    考点三 斜二测画法画空间图形
    【例3-1】(2022·高一课时练习)用斜二测画法画长、宽、高分别是8cm,6cm,3cm的长方体的直观图.
    【答案】作图见解析
    【解析】根据斜二测画法的规则可知,底面矩形的直观图为平行四边形.
    ①画出水平放置的长、宽分别是8 cm、6 cm的矩形ABCD的直观图.
    ②作Az垂直于AB,在Az轴上截取.
    分别过点B、C、D作,,,且.
    ③连接、、、,并擦去辅助线,将被遮挡的部分改为虚线,即得长方体的直观图,如图2所示.
    【例3-2】.(2022·高一课时练习)画出一个正六棱柱的直观图,底面为边长为3的正六边形,高为5.
    【答案】答案见解析
    【解析】(1)画轴.如图,画x,y,z轴,三轴相交于O,使得 .
    (2)画底面.在x轴上以O为中点截取线段FC,使FC=6cm,在y轴上以O为中点取线段GH,
    使 ,分别过点G,H作x轴的平行线,并在平行线上分别以G,H为中点截取AB=3cm,ED=3cm,
    连接BC,CD,EF,FA,则六边形ABCDEF就是正六棱柱的底面的直观图.
    (3)画侧棱.在z轴正半轴上取线段,使,过A,B,C,D,E,F各点作z轴的平行线,
    在这些平行线上分别截取5cm长的线段 .
    (4)成图.顺次连接,并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),得到所要求作的正六棱柱的直观图

    【例3-3】(2022·高一课时练习)已知一个正四棱台的上底面边长为2,下底面边长为6,高为4,用斜二测画法画出此正四棱台的直观图.
    【答案】答案见解析
    【解析】(1)画轴.如图①,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.
    (2)画下底面.以O为中点,在x轴上取线段EF,使得EF=6,在y轴上取线段GH,使得GH=3,再过G,H分别作AB綊EF,CD綊EF,且使得AB的中点为G,CD的中点为H,连接AD,BC,这样就得到了正四棱台的下底面ABCD的直观图.
    (3)画上底面.在z轴上截取线段OO1=4,过O1作O1x′∥Ox,O1y′∥Oy,使∠x′O1y′=45°,建立坐标系x′O1y′,在x′O1y′中仿照(2)的步骤画出上底面A1B1C1D1的直观图.
    (4)连接AA1、BB1、CC1、DD1,擦去辅助线,得到的图形就是所求的正四棱台的直观图
    如图②).
    【一隅三反】
    1.(2022·全国·高一假期作业)如图,绕BC边所在的直线旋转一周,由此形成的空间图形是由哪些简单的空间图形构成的?画出这个空间图形的直观图.若绕AC边所在的直线旋转一周呢?
    【答案】答案见解析
    【解析】在图(1)中,过A作AO⊥BC于O,如图,
    显然,是由公共直角边OA,且另外一条直角边在旋转轴上的两个直角三角形拼接而成,
    则绕直线BC旋转一周所得几何体,是与绕直线BC旋转一周的两个同底圆锥构成的组合体,
    所以这个空间图形是两个同底的圆锥构成的组合体,其直观图如图,
    在图(2)中,过B作BO1⊥AC于O1,如图,
    显然,是由去掉而成,它们有公共直角边O1B,且另外一条直角边在旋转轴上,
    则绕直线AC旋转一周所得几何体,是绕直线AC旋转一周所得圆锥挖去绕直线AC旋转一周所得圆锥构成的几何体,
    所以这个空间图形是一个圆锥挖去一个同底的小圆锥构成,其直观图如图.
    2.(2021·高一课时练习)已知一棱柱的底面是边长为的正方形,各侧面都是矩形,且侧棱长为,试用斜二测画法画出此棱柱的直观图.
    【答案】见解析
    【解析】(1)画轴.画出轴、轴轴,三轴相交于点,使,.
    (2)画底面.以点为中点,在轴上画,在轴上画,分别过点,作轴的平行线,过点,作轴的平行线,设它们的交点分别为,,,,则四边形就是该棱柱的底面.
    (3)画侧棱.过点,,,分别作轴的平行线,并在这些平行线上分别截取长的线段,,,,如图①所示.
    (4)成图.连接,,,,并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到该棱柱的直观图,如图②所示.
    3.(2022·全国·高一专题练习)如图为一几何体的平面展开图,按图中虚线将它折叠起来,画出它的直观图.
    【答案】见解析
    【解析】
    由题设中所给的展开图可以得出,此几何体是一个四棱锥,
    其底面是一个边长为2的正方形,垂直于底面的侧棱长为2,其直观图如图所示.
    考点四 斜二测画法的相关计算
    【例4-1】(2022·高一课前预习)已知正△ABC的边长为a,建立如图所示的直角坐标系xOy,则它的直观图的面积是( )
    A.a2B.a2C.a2D.a2
    【答案】D
    【解析】因为正△ABC的边长为a,所以其面积S=a2,又因为直观图面积S′与原图面积之比为,即=,所以S′=×a2=a2.
    答案:D
    【例4-2】(2022春·广东东莞·高一东莞市东华高级中学校考阶段练习)如图是四边形ABCD的水平放置的直观图A′B′C′D′,则原四边形ABCD的面积是( )
    A.14B.10C.28D.14
    【答案】C
    【解析】∵A′D′∥y′轴,A′B′∥C′D′,A′B′≠C′D′,
    ∴原图形是一个直角梯形.
    又A′D′=4,
    ∴原直角梯形的上、下底及高分别是2,5,8,
    故其面积为.
    故选:C
    【例4-3】.(2022春·广东广州·高一西关外国语学校校考期中)如图所示,四边形OABC是上底为2,下底为6,底角为45°的等腰梯形,用斜二测画法画出这个梯形的直观图,则在直观图中,梯形的高为___________.
    【答案】
    【解析】四边形是上底为2,下底为6,底角为的等腰梯形,
    故的高为2,面积,
    故其直观图的面积,
    设直观图的高为,则,
    解得:,
    即在直观图中,梯形的高为.
    故答案为:.
    【一隅三反】
    1.(2022广东佛山)如图,水平放置的的斜二测直观图为,已知,则的周长为( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【解析】由直观图可还原如下图所示,
    其中,,,
    ,的周长为.
    故选:C.
    2.(2022春·河北保定·高一统考期末)如图,已知通过斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰直角三角形,则为( )
    A.面积为的等腰三角形
    B.面积为的等腰三角形
    C.面积为的直角三角形
    D.面积为的直角三角形
    【答案】D
    【解析】如图因为斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰直角三角形,
    故,,
    将直观图还原,则,,
    故所得三角形为直角三角形,面积为.
    故选:D.
    3.(2022春·山西运城·高一统考期末)如图所示,正方形的边长为1,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长为( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【解析】由斜二测画法规则知,正方形的原实际图形是平行四边形,如图,
    其中,因此有,
    所以原图形的周长为(cm).
    故选:B
    4.(2022·高一单元测试)用斜二测画法画△ABC的直观图为如图所示的△,其中,,则△ABC的面积为( )
    A.1B.2C.D.
    【答案】C
    【解析】由题设,△和△均为等腰直角三角形,
    所以,即轴,原直角坐标系中轴,
    而,则,
    在△中边上的高等于的长,又,
    所以△ABC的面积为.
    故选:C
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