人教A版 (2019)必修 第二册8.2 立体图形的直观图精练
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考点一 斜二测画法的概念理解
【例1-1】(2022·高一课时练习)关于斜二测画法,下列说法错误的是( )
A.平行直线的直观图仍然是平行直线
B.垂直直线的直观图仍然是垂直直线
C.直观图中分别与两条坐标轴重合的直线,实际的位置是相互垂直的
D.线段的中点在直观图中仍然是中点
【例1-2】(2022·全国·高一专题练习)如图,已知等腰三角形,则在如图所示的四个图中,可能是的直观图的是( )
A.①②B.②③C.②④D.③④
【
【一隅三反】
1.(2022春·吉林长春·高一统考期末)(多选)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时,下列结论正确的是( )
A.相等的线段在直观图中仍然相等
B.平行的线段在直观图中仍然平行
C.一个角的直观图仍是一个角
D.相等的角在直观图中仍然相等
2.(2022·高一课时练习)关于“斜二测画法”,下列说法不正确的是______.(填序号)
①原图形中平行于轴的线段,其对应线段平行于轴,长度不变;
②原图形中平行于轴的线段,其对应线段平行于轴,长度变为原来的;
③画与直角坐标系对应的时,必须是;
④在画直观图时,由于选轴的不同,所得的直观图可能不同.
考点二 斜二测画法画平面图形
【例2-1】(2022·高一课时练习)如图,用斜二测画法作水平放置的正三角形的直观图,则正确的图形是( )
A. B.
C.D.
【例2-2】(2022春·上海闵行·高一校考期末)在斜二测画法的规则下,下列结论正确的是( )
(1)三角形的直观图一定是三角形 (2)正方形的直观图一定是菱形
(3)等腰梯形的直观图可以是平行四边形 (4)菱形的直观图一定是菱形
A.(1)(2)B.(1)C.(1)(3)(4)D.(1)(2)(3)(4)
【一隅三反】
1(2022春·江苏徐州·高一统考阶段练习)斜二测画法是绘制直观图的常用方法,下列关于斜二测画法和直观图的说法正确的是( )
A.矩形的直观图一定是矩形
B.等腰三角形的直观图一定是等腰三角形
C.平行四边形的直观图一定是平行四边形
D.菱形的直观图一定是菱形
2.(2022山西)用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图(尺寸自定),并由此探寻直观图面积与原图形面积之间的关系.
(1)矩形;(2)平行四边形;(3)正三角形;(4)正五边形
.
考点三 斜二测画法画空间图形
【例3-1】(2022·高一课时练习)用斜二测画法画长、宽、高分别是8cm,6cm,3cm的长方体的直观图.
【例3-2】.(2022·高一课时练习)画出一个正六棱柱的直观图,底面为边长为3的正六边形,高为5.
【例3-3】(2022·高一课时练习)已知一个正四棱台的上底面边长为2,下底面边长为6,高为4,用斜二测画法画出此正四棱台的直观图.
【一隅三反】
1.(2022·全国·高一假期作业)如图,绕BC边所在的直线旋转一周,由此形成的空间图形是由哪些简单的空间图形构成的?画出这个空间图形的直观图.若绕AC边所在的直线旋转一周呢?
2.(2021·高一课时练习)已知一棱柱的底面是边长为的正方形,各侧面都是矩形,且侧棱长为,试用斜二测画法画出此棱柱的直观图.
3.(2022·全国·高一专题练习)如图为一几何体的平面展开图,按图中虚线将它折叠起来,画出它的直观图.
考点四 斜二测画法的相关计算
【例4-1】(2022·高一课前预习)已知正△ABC的边长为a,建立如图所示的直角坐标系xOy,则它的直观图的面积是( )
A.a2B.a2C.a2D.a2
【例4-2】(2022春·广东东莞·高一东莞市东华高级中学校考阶段练习)如图是四边形ABCD的水平放置的直观图A′B′C′D′,则原四边形ABCD的面积是( )
A.14B.10C.28D.14
【例4-3】.(2022春·广东广州·高一西关外国语学校校考期中)如图所示,四边形OABC是上底为2,下底为6,底角为45°的等腰梯形,用斜二测画法画出这个梯形的直观图,则在直观图中,梯形的高为___________.
【一隅三反】
1.(2022广东佛山)如图,水平放置的的斜二测直观图为,已知,则的周长为( )
A.B.C.D.
2.(2022春·河北保定·高一统考期末)如图,已知通过斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰直角三角形,则为( )
A.面积为的等腰三角形B.面积为的等腰三角形
C.面积为的直角三角形D.面积为的直角三角形
3.(2022春·山西运城·高一统考期末)如图所示,正方形的边长为1,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长为( )
A.B.C.D.
4.(2022·高一单元测试)用斜二测画法画△ABC的直观图为如图所示的△,其中,,则△ABC的面积为( )
A.1B.2C.D.
8.2 立体图形的直观图(精讲)
思维导图
典例精讲
考点一 斜二测画法的概念理解
【例1-1】(2022·高一课时练习)关于斜二测画法,下列说法错误的是( )
A.平行直线的直观图仍然是平行直线
B.垂直直线的直观图仍然是垂直直线
C.直观图中分别与两条坐标轴重合的直线,实际的位置是相互垂直的
D.线段的中点在直观图中仍然是中点
【答案】B
【解析】对于A,平行直线在直观图中长度可能会变化,但平行关系不变,A正确;
对于B,平行于轴和轴的两条直线,在直观图中夹角为,B错误;
对于C,直观图中与两条坐标轴重合的直线,还原后与平面直角坐标系中的轴重合,实际位置互相垂直,C正确;
对于D,线段的中点在直观图中依然会是该线段直观图画法中的中点,D正确.
故选:B.
【例1-2】(2022·全国·高一专题练习)如图,已知等腰三角形,则在如图所示的四个图中,可能是的直观图的是( )
A.①②B.②③C.②④D.③④
【答案】D
【解析】根据坐标轴夹角为或,等腰三角形的直观图如图所示:
只有③④符合故选:D
【一隅三反】
1.(2022春·吉林长春·高一统考期末)(多选)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时,下列结论正确的是( )
A.相等的线段在直观图中仍然相等
B.平行的线段在直观图中仍然平行
C.一个角的直观图仍是一个角
D.相等的角在直观图中仍然相等
【答案】BC
【解析】由斜二测画法原则:平行依旧垂改斜,横等纵半竖不变,
平行于x轴且相等的线段在直观图中仍相等,而不是所有相等线段都能相等,A错误;
平行线段在直观图中仍然平行,B正确;
一个角在直观图中也是一个角的形式出现,C正确;
如直角梯形在直观图中与直角对应的两个角不相等,D错误.
故选:BC
2.(2022·高一课时练习)关于“斜二测画法”,下列说法不正确的是______.(填序号)
①原图形中平行于轴的线段,其对应线段平行于轴,长度不变;
②原图形中平行于轴的线段,其对应线段平行于轴,长度变为原来的;
③画与直角坐标系对应的时,必须是;
④在画直观图时,由于选轴的不同,所得的直观图可能不同.
【答案】③
【解析】原图形中平行于轴的线段,其对应线段平行于轴,长度不变,故①正确;
原图形中平行于轴的线段,其对应线段平行于轴,长度变为原来的,故②正确;
画与直角坐标系对应的坐标系时,也可以是,故③错误;
在画直观图时,由于选轴的不同,所得的直观图可能不同,故④正确.
故答案为:③.
考点二 斜二测画法画平面图形
【例2-1】(2022·高一课时练习)如图,用斜二测画法作水平放置的正三角形的直观图,则正确的图形是( )
A. B.
C.D.
【答案】A
【解析】先作出一个正三角形,
然后以所在直线为轴,以边上的高所在的直线为轴建立平面直角坐标系,
画对应的轴,使夹角为,
画直观图时与轴平行的直线的线段长度保持不变,与轴平行的线段长度变为原来的一半,得到的图形如图,
然后去掉辅助线即可得到正三角形的直观图如图,
故选:A
【例2-2】(2022春·上海闵行·高一校考期末)在斜二测画法的规则下,下列结论正确的是( )
(1)三角形的直观图一定是三角形 (2)正方形的直观图一定是菱形
(3)等腰梯形的直观图可以是平行四边形 (4)菱形的直观图一定是菱形
A.(1)(2)B.(1)C.(1)(3)(4)D.(1)(2)(3)(4)
【答案】B
【解析】由斜二测画法的规则可知(1)正确,(2)错误;
(3)中的平行性质不变,但梯形两底平行且长度不相等,故在直观图中平行且长度不相等,故可能为平行四边形,(3)错误;
(4)中由平行于轴的长度不变,平行于轴的长度减半,故菱形的直观图为平行四边形,(4)错误;
故选:B.
【一隅三反】
1(2022春·江苏徐州·高一统考阶段练习)斜二测画法是绘制直观图的常用方法,下列关于斜二测画法和直观图的说法正确的是( )
A.矩形的直观图一定是矩形
B.等腰三角形的直观图一定是等腰三角形
C.平行四边形的直观图一定是平行四边形
D.菱形的直观图一定是菱形
【答案】C
【解析】对A,矩形的直观图可以是平行四边形,故A错误;
对B,等腰三角形的直观图的两腰不相等,不一定为等腰三角形,故B错误;
对C,根据斜二测画法的规则线段的平行性不变,所以平行四边形的直观图一定是平行四边形,故C正确;
对D,菱形的直观图中,一组对边长度可以改变,所以直观图不一定是菱形,故D错误.
故选:C.
2.(2022山西)用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图(尺寸自定),并由此探寻直观图面积与原图形面积之间的关系.
(1)矩形;(2)平行四边形;(3)正三角形;(4)正五边形
【答案】答案见解析
【解析】(1)解:根据斜二测画法的规则,可得:
设,,则,直观图中边边上的高为,
因此,设直观图和原图形的面积分别为、,则.
(2)解:根据斜二测画法的规则,可得:
设,,则,直观图中边边上的高为,
因此,设直观图和原图形的面积分别为、,则.
(3)解:根据斜二测画法的规则,可得:
设,,则,直观图中边边上的高为,
因此,设直观图和原图形的面积分别为、,则.
(4)解:根据斜二测画法的规则,可得:
设,,则,的边边上的高为,
所以,,
同理可得,,,,
设五边形的面积为,直观图五边形的面积为,
则
.
考点三 斜二测画法画空间图形
【例3-1】(2022·高一课时练习)用斜二测画法画长、宽、高分别是8cm,6cm,3cm的长方体的直观图.
【答案】作图见解析
【解析】根据斜二测画法的规则可知,底面矩形的直观图为平行四边形.
①画出水平放置的长、宽分别是8 cm、6 cm的矩形ABCD的直观图.
②作Az垂直于AB,在Az轴上截取.
分别过点B、C、D作,,,且.
③连接、、、,并擦去辅助线,将被遮挡的部分改为虚线,即得长方体的直观图,如图2所示.
【例3-2】.(2022·高一课时练习)画出一个正六棱柱的直观图,底面为边长为3的正六边形,高为5.
【答案】答案见解析
【解析】(1)画轴.如图,画x,y,z轴,三轴相交于O,使得 .
(2)画底面.在x轴上以O为中点截取线段FC,使FC=6cm,在y轴上以O为中点取线段GH,
使 ,分别过点G,H作x轴的平行线,并在平行线上分别以G,H为中点截取AB=3cm,ED=3cm,
连接BC,CD,EF,FA,则六边形ABCDEF就是正六棱柱的底面的直观图.
(3)画侧棱.在z轴正半轴上取线段,使,过A,B,C,D,E,F各点作z轴的平行线,
在这些平行线上分别截取5cm长的线段 .
(4)成图.顺次连接,并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),得到所要求作的正六棱柱的直观图
【例3-3】(2022·高一课时练习)已知一个正四棱台的上底面边长为2,下底面边长为6,高为4,用斜二测画法画出此正四棱台的直观图.
【答案】答案见解析
【解析】(1)画轴.如图①,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.
(2)画下底面.以O为中点,在x轴上取线段EF,使得EF=6,在y轴上取线段GH,使得GH=3,再过G,H分别作AB綊EF,CD綊EF,且使得AB的中点为G,CD的中点为H,连接AD,BC,这样就得到了正四棱台的下底面ABCD的直观图.
(3)画上底面.在z轴上截取线段OO1=4,过O1作O1x′∥Ox,O1y′∥Oy,使∠x′O1y′=45°,建立坐标系x′O1y′,在x′O1y′中仿照(2)的步骤画出上底面A1B1C1D1的直观图.
(4)连接AA1、BB1、CC1、DD1,擦去辅助线,得到的图形就是所求的正四棱台的直观图
如图②).
【一隅三反】
1.(2022·全国·高一假期作业)如图,绕BC边所在的直线旋转一周,由此形成的空间图形是由哪些简单的空间图形构成的?画出这个空间图形的直观图.若绕AC边所在的直线旋转一周呢?
【答案】答案见解析
【解析】在图(1)中,过A作AO⊥BC于O,如图,
显然,是由公共直角边OA,且另外一条直角边在旋转轴上的两个直角三角形拼接而成,
则绕直线BC旋转一周所得几何体,是与绕直线BC旋转一周的两个同底圆锥构成的组合体,
所以这个空间图形是两个同底的圆锥构成的组合体,其直观图如图,
在图(2)中,过B作BO1⊥AC于O1,如图,
显然,是由去掉而成,它们有公共直角边O1B,且另外一条直角边在旋转轴上,
则绕直线AC旋转一周所得几何体,是绕直线AC旋转一周所得圆锥挖去绕直线AC旋转一周所得圆锥构成的几何体,
所以这个空间图形是一个圆锥挖去一个同底的小圆锥构成,其直观图如图.
2.(2021·高一课时练习)已知一棱柱的底面是边长为的正方形,各侧面都是矩形,且侧棱长为,试用斜二测画法画出此棱柱的直观图.
【答案】见解析
【解析】(1)画轴.画出轴、轴轴,三轴相交于点,使,.
(2)画底面.以点为中点,在轴上画,在轴上画,分别过点,作轴的平行线,过点,作轴的平行线,设它们的交点分别为,,,,则四边形就是该棱柱的底面.
(3)画侧棱.过点,,,分别作轴的平行线,并在这些平行线上分别截取长的线段,,,,如图①所示.
(4)成图.连接,,,,并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到该棱柱的直观图,如图②所示.
3.(2022·全国·高一专题练习)如图为一几何体的平面展开图,按图中虚线将它折叠起来,画出它的直观图.
【答案】见解析
【解析】
由题设中所给的展开图可以得出,此几何体是一个四棱锥,
其底面是一个边长为2的正方形,垂直于底面的侧棱长为2,其直观图如图所示.
考点四 斜二测画法的相关计算
【例4-1】(2022·高一课前预习)已知正△ABC的边长为a,建立如图所示的直角坐标系xOy,则它的直观图的面积是( )
A.a2B.a2C.a2D.a2
【答案】D
【解析】因为正△ABC的边长为a,所以其面积S=a2,又因为直观图面积S′与原图面积之比为,即=,所以S′=×a2=a2.
答案:D
【例4-2】(2022春·广东东莞·高一东莞市东华高级中学校考阶段练习)如图是四边形ABCD的水平放置的直观图A′B′C′D′,则原四边形ABCD的面积是( )
A.14B.10C.28D.14
【答案】C
【解析】∵A′D′∥y′轴,A′B′∥C′D′,A′B′≠C′D′,
∴原图形是一个直角梯形.
又A′D′=4,
∴原直角梯形的上、下底及高分别是2,5,8,
故其面积为.
故选:C
【例4-3】.(2022春·广东广州·高一西关外国语学校校考期中)如图所示,四边形OABC是上底为2,下底为6,底角为45°的等腰梯形,用斜二测画法画出这个梯形的直观图,则在直观图中,梯形的高为___________.
【答案】
【解析】四边形是上底为2,下底为6,底角为的等腰梯形,
故的高为2,面积,
故其直观图的面积,
设直观图的高为,则,
解得:,
即在直观图中,梯形的高为.
故答案为:.
【一隅三反】
1.(2022广东佛山)如图,水平放置的的斜二测直观图为,已知,则的周长为( )
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】由直观图可还原如下图所示,
其中,,,
,的周长为.
故选:C.
2.(2022春·河北保定·高一统考期末)如图,已知通过斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰直角三角形,则为( )
A.面积为的等腰三角形
B.面积为的等腰三角形
C.面积为的直角三角形
D.面积为的直角三角形
【答案】D
【解析】如图因为斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰直角三角形,
故,,
将直观图还原,则,,
故所得三角形为直角三角形,面积为.
故选:D.
3.(2022春·山西运城·高一统考期末)如图所示,正方形的边长为1,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长为( )
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】由斜二测画法规则知,正方形的原实际图形是平行四边形,如图,
其中,因此有,
所以原图形的周长为(cm).
故选:B
4.(2022·高一单元测试)用斜二测画法画△ABC的直观图为如图所示的△,其中,,则△ABC的面积为( )
A.1B.2C.D.
【答案】C
【解析】由题设,△和△均为等腰直角三角形,
所以,即轴,原直角坐标系中轴,
而,则,
在△中边上的高等于的长,又,
所以△ABC的面积为.
故选:C
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高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.1 基本立体图形课后作业题: 这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册<a href="/sx/tb_c4000301_t7/?tag_id=28" target="_blank">8.1 基本立体图形课后作业题</a>,共32页。试卷主要包含了多面体,旋转体,组合体,展开图,最短距离,截面问题等内容,欢迎下载使用。
高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第02讲基本立体图形的直观图(原卷版+解析): 这是一份高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第02讲基本立体图形的直观图(原卷版+解析),共44页。试卷主要包含了建立坐标系的原则等内容,欢迎下载使用。