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高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第02讲基本立体图形的直观图(原卷版+解析)
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这是一份高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第02讲基本立体图形的直观图(原卷版+解析)，共44页。试卷主要包含了建立坐标系的原则等内容，欢迎下载使用。
知识点1 直观图的概念
一个空间图形在投影面上的平行投影（平面图形）可以形象地表示这个空间图形，这种用来表示空间
图形的平面图形叫做空间图形的直观图．
知识点2 水平放置的平面图形的直观图
1．用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴， 两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．（平行关系不变）
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来地一半.
注：用斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点并在直观图中画出．一般情况下，这些点的位置都要通过其所在的平行于x、y轴的线段来确定，当原图中无需线段时，需要作辅助线段．
2．水平放置的平面图形的直观图的画法步骤
（1）画轴：在已知图形中建立适当的直角坐标系xOy，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′=45°．
（2）定点：根据“原图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段；原图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半”的规则，确定平面图形的关键点．
（3）连线成图：连接已确定的关键点，把坐标轴擦去，得到水平放置的平面图形的直观图．
3．建立坐标系的原则
（1）平面图形中若有互相垂直的直线，一般取这两条互相垂直的直线作为坐标轴．
（2）若平面图形为轴对称图形，一般取对称轴作为坐标轴；若平面图形为中心对称图形，一般取对称中心为坐标原点．
（3）若以上条件都不具备，则建系的原则是使多边形的顶点尽可能多地落在坐标轴上．
知识点3 空间几何体的直观图
1、用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤
(1)画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可．
(2)画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出高线(与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可)，连线成图．
(3)擦去辅助线，被遮线用虚线表示．
2．画空间几何体的直观图的原则
（1）坐标系的建立要充分利用几何体的对称性，一般坐标原点建在图形的对称中心处．
（2）要先画出底面的直观图，然后画出其余各面．
（3）与z轴平行的线段在直观图中应与z′轴平行且长度保持不变.
知识点4 对斜二测画法中“斜”“二测”的解读
“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°；
“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半．斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点，并在直观图中画出．
注：在直观图中“变”的量与“不变”量
(1)平面图形用其直观图表示时，一般说来，平行关系不变；
(2)点的共线性不变，线的共点性不变，但角的大小有变化(特别是垂直关系有变化)；
(3)有些线段的度量关系也发生变化. 因此图形的形状发生变化．
斜二测画法的位置特征与度量特征简记为：横不变、纵折半，平行位置不改变.
考点一 水平放置的平面图形的直观图
解题方略：
画平面图形的直观图的技巧
(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．
(2)画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．
【例1】用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴，y轴，且∠A＝90°，则在直观图中∠A′＝( )
A．45° B．135°
C．45°或135° D．90°
变式1：用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是( )
A．原来相交的仍相交 B．原来垂直的仍垂直
C．原来平行的仍平行 D．原来共点的仍共点
变式2：【多选】对于用斜二测画法所得的直观图，以下说法错误的是（ ）
A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B．正方形的直观图为平行四边形
C．梯形的直观图不是梯形D．正三角形的直观图一定为等腰三角形
【例2】画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．
变式1：用斜二测画法画如图所示边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图．
变式2：画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图．
变式3：如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的( )
变式4：水平放置的△ABC，有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．任意三角形
变式5：把△ABC按斜二测画法得到△A′B′C′(如图所示)，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝eq \f(\r(3),2)，那么△ABC是一个( )
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形D．三边互不相等的三角形
变式6：【多选】如图，已知等腰三角形ABC，则如下所示的四个图中，可能是△ABC的直观图的是( )
A B C D
考点二 空间图形直观图的画法
解题方略：
画空间图形的直观图的原则
(1)首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz，并且把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面，再作z′轴与平面x′O′y′垂直．
(2)作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x′轴的线段并且长度不变．
(3)平行于y轴的线段画成平行于y′轴的线段，且线段长度画成原来的一半．
(4)平行于z轴的线段画成平行于z′轴的线段并且长度不变．
【例3】画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．
变式1：用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm,3 cm,2 cm的长方体ABCDA′B′C′D′的直观图．
变式2：用斜二测画法画出正五棱柱的直观图．
【例4】若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应画成( )
A．平行于z′轴且大小为10 cm
B．平行于z′轴且大小为5 cm
C．与z′轴成45°且大小为10 cm
D．与z′轴成45°且大小为5 cm
变式1：已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )
A．2 cm B．3 cm
C．2.5 cm D．5 cm
考点三 直观图的还原与计算
解题方略：
1．直观图的还原技巧
由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴，y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．
2．直观图与原图面积之间的关系
若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′＝eq \f(\r(2),4)S或S＝2eq \r(2)S′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积．
【例5】如图，是用斜二测画法画出的直观图，则的周长为（ ）
A．B．
C．D．
【例6】用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图（尺寸自定），并由此探寻直观图面积与原图形面积之间的关系.
（1）矩形；
（2）平行四边形；
（3）正三角形；
（4）正五边形
变式1：【多选】已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积可能为（ ）
A．16B．64C．32D．无法确定
变式2：如图，边长为2的正方形是一个水平放置的平面图形的直观图，则图形的面积是（ ）
A．B．C．D．
变式3：若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（ ）
A．B．C．D．
变式4：(1)如图①，Rt△O′A′B′是一个平面图形的直观图，若O′B′＝eq \r(2)，则这个平面图形的面积是( )
A．1 B.eq \r(2)
C．2eq \r(2) D．4eq \r(2)
(2)如图②所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝eq \f(2,3)C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1. 试画出原四边形，并求原图形的面积.
变式5：如图所示的直角梯形，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，求原图形的面积.
变式6：如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝3，B′C′∥x′轴，则原平面图形的面积为________．
变式7：在直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在坐标系xOy中原四边形OABC为________(填形状)，面积为________cm2.
变式8：用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，AB边平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2eq \r(2) cm2，则原平面图形A′B′C′D′的面积为( )
A．4 cm2 B．4eq \r(2) cm2
C．8 cm2 D．8eq \r(2) cm2
变式9：已知△ABC是边长为a的正三角形，求其直观图△A′B′C′的面积
变式10：如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝AO＝1，△AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试画出梯形ABCD水平放置的直观图，并求直观图的面积．
变式11：如图，已知点，，,用斜二测画法作出该水平放置的四边形的直观图，并求出面积.
变式9：水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知B′C′＝4，A′C′＝3，B′C′∥y′轴，则△ABC中AB边上的中线的长度为( )
A.eq \f(\r(73),2) B.eq \r(73)
C．5 D.eq \f(5,2)
【例7】水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．
变式1：如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，点B′在x′轴上，A′O′与x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为________．
变式2：如图，是水平放置的的直观图，则中边上的高等于（ ）
A．4B．C．2D．
变式3：如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图，则在直观图中，梯形的高为___________.
【例8】如图所示的是水平放置的三角形直观图，是中边上的一点，且离比离近，又轴∥，那么原的、、三条线段中（ ）
A．最长的是，最短的是B．最长的是，最短的是
C．最长的是，最短的是D．最长的是，最短的是
变式1：如图，用斜二测画法作△ABC水平放置的直观图形得△A1B1C1，其中A1B1＝B1C1，A1D1是B1C1边上的中线，由图形可知在△ABC中，下列四个结论中正确的是（ ）
A．AB＝BC＝ACB．AD⊥BC
C．AC＞AD＞ABD．AC＞AD＞AB＝BC
变式2：【多选】如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则下列说法正确的是（ ）
A．的边上的高为2B．的边上的高为4
C．D．
练习一 水平放置的平面图形的直观图
1、根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为( )
A．90°，90° B．45°，90°
C．135°，90° D．45°或135°，90°
2、用斜二测画法画出下列平面图形水平放置的直观图.
3、如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的（ ）
A．B．
C．D．
4、【多选】如图为一平面图形的直观图，则此平面图形不可能是选项中的（ ）
A．B．C．D．
练习二 空间图形直观图的画法
1、画出底面边长为3cm、高为4.5cm的正三棱柱的直观图.
2、用斜二测画法画出各棱长都为5的正三棱锥的直观图.
3、已知圆柱的底面半径和高分别为2cm，3cm，画出该圆柱的直观图.
练习三 直观图的还原与计算
1、正方形的边长为1，利用斜二测画法得到直观图，其周长等于___________．
2、有一个长为5 cm，宽为4 cm的矩形，则其直观图的面积为________ cm2.
3、已知△ABC的直观图如图所示，则原△ABC的面积为________．
4、正三角形的边长为1，建立如图所示的直角坐标系，则它的直观图的面积是（ ）
A．B．C．D．
5、已知水平放置的四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
第2讲 基本立体图形的直观图
知识点1 直观图的概念
一个空间图形在投影面上的平行投影（平面图形）可以形象地表示这个空间图形，这种用来表示空间
图形的平面图形叫做空间图形的直观图．
知识点2 水平放置的平面图形的直观图
1．用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴， 两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．（平行关系不变）
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来地一半.
注：用斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点并在直观图中画出．一般情况下，这些点的位置都要通过其所在的平行于x、y轴的线段来确定，当原图中无需线段时，需要作辅助线段．
2．水平放置的平面图形的直观图的画法步骤
（1）画轴：在已知图形中建立适当的直角坐标系xOy，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′=45°．
（2）定点：根据“原图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段；原图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半”的规则，确定平面图形的关键点．
（3）连线成图：连接已确定的关键点，把坐标轴擦去，得到水平放置的平面图形的直观图．
3．建立坐标系的原则
（1）平面图形中若有互相垂直的直线，一般取这两条互相垂直的直线作为坐标轴．
（2）若平面图形为轴对称图形，一般取对称轴作为坐标轴；若平面图形为中心对称图形，一般取对称中心为坐标原点．
（3）若以上条件都不具备，则建系的原则是使多边形的顶点尽可能多地落在坐标轴上．
知识点3 空间几何体的直观图
1、用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤
(1)画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可．
(2)画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出高线(与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可)，连线成图．
(3)擦去辅助线，被遮线用虚线表示．
2．画空间几何体的直观图的原则
（1）坐标系的建立要充分利用几何体的对称性，一般坐标原点建在图形的对称中心处．
（2）要先画出底面的直观图，然后画出其余各面．
（3）与z轴平行的线段在直观图中应与z′轴平行且长度保持不变.
知识点4 对斜二测画法中“斜”“二测”的解读
“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°；
“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半．斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点，并在直观图中画出．
注：在直观图中“变”的量与“不变”量
(1)平面图形用其直观图表示时，一般说来，平行关系不变；
(2)点的共线性不变，线的共点性不变，但角的大小有变化(特别是垂直关系有变化)；
(3)有些线段的度量关系也发生变化. 因此图形的形状发生变化．
斜二测画法的位置特征与度量特征简记为：横不变、纵折半，平行位置不改变.
考点一 水平放置的平面图形的直观图
解题方略：
画平面图形的直观图的技巧
(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．
(2)画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．
【例1】用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴，y轴，且∠A＝90°，则在直观图中∠A′＝( )
A．45° B．135°
C．45°或135° D．90°
【解析】在画直观图时，∠A′的两边依然分别平行于x′轴，y′轴，而∠x′O′y′＝45°或135°.故选C.
变式1：用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是( )
A．原来相交的仍相交 B．原来垂直的仍垂直
C．原来平行的仍平行 D．原来共点的仍共点
【解析】由斜二测画法规则知，B选项错误．故选B.
变式2：【多选】对于用斜二测画法所得的直观图，以下说法错误的是（ ）
A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B．正方形的直观图为平行四边形
C．梯形的直观图不是梯形D．正三角形的直观图一定为等腰三角形
【解析】由直观图的做法可知：原图形中的平行性质仍然保持，而相当长度和角的大小不一定与原来的相等.
对于A：等腰三角形的直观图不再是等腰三角形，故A错误；
对于B：因为正方形的对边平行，所以在直观图中仍然平行，故正方形的直观图为平行四边形成立.故B正确；
对于C：梯形的上下底平行，在直观图中仍然平行；两腰不平行，在直观图中仍然不平行；所以梯形的直观图仍是梯形.故C错误；
对于D: 正三角形的直观图不是等腰三角形.故D错误.
故选：ACD
【例2】画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．
【解析】(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图①②所示．
(2)在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝eq \f(1,2)OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图②.
(3)所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图．如图③.
变式1：用斜二测画法画如图所示边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图．
【解析】(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴．
(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝OB＝OC＝2 cm，在y′轴上取O′A′＝eq \f(1,2)OA，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示．
变式2：画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图．
【解析】(1)过点C作CE⊥x轴，垂足为E，如图(1)所示，画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图(2)所示．
(2)如图(2)所示，在x′轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′轴上取一点D，使得O′D′＝eq \f(1,2)OD；过E′作E′C′∥y′轴，使E′C′＝eq \f(1,2)EC.
(3)连接B′C′，C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图(3)所示，四边形O′B′C′D′就是所求的直观图．
变式3：如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的( )
【解析】由直观图知，原四边形一组对边平行且不相等，为梯形，且梯形两腰不能与底垂直．故选A.
变式4：水平放置的△ABC，有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．任意三角形
【解析】如下图所示，斜二测直观图还原为平面图形，故△ABC是钝角三角形．故选C.
变式5：把△ABC按斜二测画法得到△A′B′C′(如图所示)，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝eq \f(\r(3),2)，那么△ABC是一个( )
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形D．三边互不相等的三角形
【解析】根据斜二测画法还原三角形在直角坐标系中的图形，如图所示：由图易得AB＝BC＝AC＝2，故△ABC为等边三角形，故选A．
变式6：【多选】如图，已知等腰三角形ABC，则如下所示的四个图中，可能是△ABC的直观图的是( )
A B C D
【解析】原等腰三角形画成直观图后，原来的腰长不相等，CD两图分别为在∠x′O′y′成135°和45°的坐标系中的直观图．故选CD
考点二 空间图形直观图的画法
解题方略：
画空间图形的直观图的原则
(1)首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz，并且把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面，再作z′轴与平面x′O′y′垂直．
(2)作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x′轴的线段并且长度不变．
(3)平行于y轴的线段画成平行于y′轴的线段，且线段长度画成原来的一半．
(4)平行于z轴的线段画成平行于z′轴的线段并且长度不变．
【例3】画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．
【解析】画法：(1)画轴．画Ox轴，Oy轴，Oz轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图．
(2)画底面．以O为中心在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD.
(3)画顶点．在Oz轴上截取OP使OP的长度等于原四棱锥的高．
(4)成图．顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图．
变式1：用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm,3 cm,2 cm的长方体ABCDA′B′C′D′的直观图．
【解析】画法：(1)画轴．如图，画x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面．以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝eq \f(3,2) cm.
分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.
(3)画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.
(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图．
变式2：用斜二测画法画出正五棱柱的直观图．
【解析】(1)画轴．画x′轴、y′轴和z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，如图①所示．
(2)画底面．按x′轴、y′轴画正五边形的直观图ABCDE.
(3)画侧棱．过点A，B，C，D，E分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′都相等．
(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，E′，去掉辅助线，改被挡部分为虚线，如图②所示．
【例4】若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应画成( )
A．平行于z′轴且大小为10 cm
B．平行于z′轴且大小为5 cm
C．与z′轴成45°且大小为10 cm
D．与z′轴成45°且大小为5 cm
【解析】平行于z轴(或在z轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致．故选A.
变式1：已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )
A．2 cm B．3 cm
C．2.5 cm D．5 cm
【解析】圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2＋3＝5(cm)，在直观图中与z轴平行线段长度不变，仍为5 cm.故选D.
考点三 直观图的还原与计算
解题方略：
1．直观图的还原技巧
由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴，y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．
2．直观图与原图面积之间的关系
若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′＝eq \f(\r(2),4)S或S＝2eq \r(2)S′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积．
【例5】如图，是用斜二测画法画出的直观图，则的周长为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】作出的直观图如下图所示：
由图可得，，
因此，的周长为.
故选：C.
【例6】用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图（尺寸自定），并由此探寻直观图面积与原图形面积之间的关系.
（1）矩形；
（2）平行四边形；
（3）正三角形；
（4）正五边形
【解析】
（1）解：根据斜二测画法的规则，可得：
设，，则，直观图中边边上的高为，
因此，设直观图和原图形的面积分别为、，则.
（2）解：根据斜二测画法的规则，可得：
设，，则，直观图中边边上的高为，
因此，设直观图和原图形的面积分别为、，则.
（3）解：根据斜二测画法的规则，可得：
设，，则，直观图中边边上的高为，
因此，设直观图和原图形的面积分别为、，则.
（4）解：根据斜二测画法的规则，可得：
设，，则，的边边上的高为，
所以，，
同理可得，，，，
设五边形的面积为，直观图五边形的面积为，
则
.
变式1：【多选】已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积可能为（ ）
A．16B．64C．32D．无法确定
【解析】根据题意，正方形的直观图如图所示：
①若直观图中平行四边形的边,
则原正方形的边长为，所以该正方形的面积为；
②若直观图中平行四边形的边,
则原正方形的边长为，所以该正方形的面积为，
故选：AB.
变式2：如图，边长为2的正方形是一个水平放置的平面图形的直观图，则图形的面积是（ ）
A．B．C．D．
【解析】由三视图知原平面图形是平行四边形，，，且，
所以面积为．
故选：A．
变式3：若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（ ）
A．B．C．D．
【解析】等腰梯形的面积
则原平面图形的面积.
故选：C.
变式4：(1)如图①，Rt△O′A′B′是一个平面图形的直观图，若O′B′＝eq \r(2)，则这个平面图形的面积是( )
A．1 B.eq \r(2)
C．2eq \r(2) D．4eq \r(2)
(2)如图②所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝eq \f(2,3)C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1. 试画出原四边形，并求原图形的面积.
【解析】(1)由题图知，△OAB为直角三角形．∵O′B′＝eq \r(2)，∴A′B′＝eq \r(2)，O′A′＝2.
∴在原△OAB中，OB＝eq \r(2)，OA＝4，∴S△OAB＝eq \f(1,2)×eq \r(2)×4＝2eq \r(2).故选C.
[答案] C
(2)如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1；OC＝O′C1＝2.
在过点D与y轴平行的直线上截取DA＝2D1A1＝2.
在过点A与x轴平行的直线上截取AB＝A1B1＝2.连接BC，便得到了原图形(如图)．
由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，
直角腰长度为AD＝2.
所以面积为S＝eq \f(2＋3,2)×2＝5.
变式5：如图所示的直角梯形，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，求原图形的面积.
【解析】如图①，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，则在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，所以BE＝eq \f(\r(2),2).
而四边形AECD为矩形，AD＝1，所以EC＝AD＝1.所以BC＝BE＋EC＝eq \f(\r(2),2)＋1.
由此可还原原图形如图②，是一个直角梯形．
在原图形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝eq \f(\r(2),2)＋1，且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，
所以原图形的面积为
S＝eq \f(1,2)(A′D′＋B′C′)·A′B′＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋1＋\f(\r(2),2)))×2＝2＋eq \f(\r(2),2).
变式6：如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝3，B′C′∥x′轴，则原平面图形的面积为________．
【解析】在直观图中，设B′C′与y′轴的交点为D′，则易得O′D′＝3eq \r(2)，所以原平面图形为一边长为6，高为6eq \r(2)的平行四边形，所以其面积为6×6eq \r(2)＝36eq \r(2).
答案：36eq \r(2)
变式7：在直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在坐标系xOy中原四边形OABC为________(填形状)，面积为________cm2.
【解析】由题意，结合斜二测画法可知，四边形OABC为矩形，其中OA＝2 cm，OC＝4 cm，所以四边形OABC的面积S＝2×4＝8(cm2)．
答案：矩形 8
变式8：用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，AB边平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2eq \r(2) cm2，则原平面图形A′B′C′D′的面积为( )
A．4 cm2 B．4eq \r(2) cm2
C．8 cm2 D．8eq \r(2) cm2
【解析】依题意，可知∠BAD＝45°，则原平面图形A′B′C′D′为直角梯形，上、下底边分别为B′C′，A′D′，且长度分别与BC，AD相等，高为A′B′，且长度为梯形ABCD的高的2eq \r(2)倍，所以原平面图形的面积为8 cm2.故选C.
变式9：已知△ABC是边长为a的正三角形，求其直观图△A′B′C′的面积
【解析】由斜二测画法规则可知，直观图△A′B′C′一底边上的高为eq \f(\r(3),2)a×eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(6),8)a，
所以S△A′B′C′＝eq \f(1,2)×a×eq \f(\r(6),8)a＝eq \f(\r(6),16)a2.
变式10：如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝AO＝1，△AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试画出梯形ABCD水平放置的直观图，并求直观图的面积．
【解析】在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1.由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变．如图所示，
在直观图中，O′D′＝eq \f(1,2)OD，梯形的高D′E′＝eq \f(\r(2),4)，于是，梯形A′B′C′D′的面积S＝eq \f(1,2)×(1＋2)×eq \f(\r(2),4)＝eq \f(3\r(2),8).
变式11：如图，已知点，，,用斜二测画法作出该水平放置的四边形的直观图，并求出面积.
【解析】由斜二测画法可知，在直观图中，，，，，，，，，，
所以
.
变式9：水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知B′C′＝4，A′C′＝3，B′C′∥y′轴，则△ABC中AB边上的中线的长度为( )
A.eq \f(\r(73),2) B.eq \r(73)
C．5 D.eq \f(5,2)
【解析】由斜二测画法规则知AC⊥BC，即△ABC为直角三角形，其中AC＝3，BC＝8，所以AB＝eq \r(73)，AB边上的中线长度为eq \f(\r(73),2).故选A.
【例7】水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．
【解析】由直观图知，由原平面图形为直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计算得AB＝5，所求中线长为2.5.
变式1：如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，点B′在x′轴上，A′O′与x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为________．
【解析】设△AOB的边OB上的高为h，由直观图中边O′B′与原图形中边OB的长度相等，及S原图＝2eq \r(2)S直观图，得eq \f(1,2)OB×h＝2eq \r(2)×eq \f(1,2)×A′O′×O′B′，则h＝4eq \r(2).故△AOB的边OB上的高为4eq \r(2).
答案：4eq \r(2)
变式2：如图，是水平放置的的直观图，则中边上的高等于（ ）
A．4B．C．2D．
【解析】由题意可知，，且，即OA边上的高为4.
故选：A.
变式3：如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图，则在直观图中，梯形的高为___________.
【解析】四边形是上底为2，下底为6，底角为的等腰梯形，
故的高为2，面积，
故其直观图的面积，
设直观图的高为，则，
解得：，
即在直观图中，梯形的高为.
故答案为：.
【例8】如图所示的是水平放置的三角形直观图，是中边上的一点，且离比离近，又轴∥，那么原的、、三条线段中（ ）
A．最长的是，最短的是B．最长的是，最短的是
C．最长的是，最短的是D．最长的是，最短的是
【解析】由题意，得到的原图如下图所示，
其中，，
所以
所以的、、三条线段中最长的是，最短的是.
故选：C.
变式1：如图，用斜二测画法作△ABC水平放置的直观图形得△A1B1C1，其中A1B1＝B1C1，A1D1是B1C1边上的中线，由图形可知在△ABC中，下列四个结论中正确的是（ ）
A．AB＝BC＝ACB．AD⊥BC
C．AC＞AD＞ABD．AC＞AD＞AB＝BC
【解析】根据斜二测画法，把直观图形中的△A1B1C1，还原成原图形，
如图所示；
为直角三角形，且，
则.
故选：C．
变式2：【多选】如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则下列说法正确的是（ ）
A．的边上的高为2B．的边上的高为4
C．D．
【解析】如图，过作轴，交轴于点，
则可得，又与轴垂直，且，则,
则在原图中，，且，即的边上的高为4，
又在上，可得.
故选：BD.
练习一 水平放置的平面图形的直观图
1、根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为( )
A．90°，90° B．45°，90°
C．135°，90° D．45°或135°，90°
【解析】根据斜二测画法的规则，∠x′O′y′的度数应为45°或135°，∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角，所以度数为90°.故选D.
2、用斜二测画法画出下列平面图形水平放置的直观图.
【解析】（1）
画，轴，使，在轴上截取，在轴上截取．
过作轴的平行线，且取线段长度为2，连接，，，，
则四边形的直观图即为四边形；
（2）
画，轴，使，在轴上截取，
在轴过、分别作的平行线，与在轴上过作轴的平行线分别交于，，连接，，，．
则四边形的直观图即为四边形．
3、如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的（ ）
A．B．
C．D．
【解析】由斜二测画法的规则可知，该平面图形为直角梯形，又因为第一象限内的边平行于y′轴，
故选：C.
4、【多选】如图为一平面图形的直观图，则此平面图形不可能是选项中的（ ）
A．B．C．D．
【解析】根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形，且在直观图中平行于轴的边与底边垂直，原图形如图所示：
即可判断不可能的为A，B，D.
故选：ABD.
练习二 空间图形直观图的画法
1、画出底面边长为3cm、高为4.5cm的正三棱柱的直观图.
【解析】一、画轴，如图：画轴、轴、轴，三轴相交于点，使得，；
二、画底面，以为中点，在轴上取，在轴正半上截取
，连接，，则就是正三棱柱的底面；
三、画侧棱、过点，，分别作轴的平行线，并在这些平行线上分别截取4.5cm长的线段，，；
四、成图，顺次连接，，，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），即得正三棱柱的直观图.
2、用斜二测画法画出各棱长都为5的正三棱锥的直观图.
【解析】分两个步骤完成：
（1）先画出水平放置的边长为的正三角形的直观图：
1°在正三角形中，设的中点为，取中心为原点，过且与平行的直线为轴，以为轴建立直角坐标系，如图：
，
则，，
2°作出斜坐标系，使，
在轴正半轴上取使，在轴负半轴上取点，使，
过作轴的平行线，使得，连，则三角形就是水平放置的边长为的正三角形的直观图，如图：
（2）过作轴，在轴正半轴上取点，使，连，可得各棱长都为5的正三棱锥的直观图，如图：
3、已知圆柱的底面半径和高分别为2cm，3cm，画出该圆柱的直观图.
【解析】第一步：画轴：如图1，画轴，使得；
第二步：画下底面，以点为中心，在轴上取线段，使得cm，利用椭圆模板画椭圆，使其经过两点，这个椭圆就是圆柱的底面；
第三步：画上底面，在上截取点，使得cm，过作平行于轴的轴，类似下底面的作法做出圆柱的上底面；
第四步：成图，顺次连接，再去掉辅助线，将遮挡的部分改为虚线，就得的直观图，如图2.
练习三 直观图的还原与计算
1、正方形的边长为1，利用斜二测画法得到直观图，其周长等于___________．
【解析】根据斜二测画法的原则可得：直观图中，x方向长度不变，y方向长度减半，如图所示：
所以的周长为.
故答案为：3
2、有一个长为5 cm，宽为4 cm的矩形，则其直观图的面积为________ cm2.
【解析】该矩形的面积为S＝5×4＝20(cm2)，由平面图形的面积与直观图的面积间的关系，可得直观图的面积为S′＝eq \f(\r(2),4)S＝5eq \r(2)(cm2)．
答案：5eq \r(2)
3、已知△ABC的直观图如图所示，则原△ABC的面积为________．
【解析】由题意，易知在△ABC中，AC⊥AB，且AC＝6，AB＝3，∴S△ABC＝eq \f(1,2)×6×3＝9.
答案：9
4、正三角形的边长为1，建立如图所示的直角坐标系，则它的直观图的面积是（ ）
A．B．C．D．
【解析】原图中：设是的中点，则，.
直观图中：，，
所以.
故选：D
5、已知水平放置的四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【解析】过点作，垂足为
则由已知可得四边形为矩形，为等腰直角三角形
，
根据直观图画出原图如下：
可得原图形为直角梯形，，
且，
可得原四边形的面积为
故选：B.
知识点1 直观图的概念
一个空间图形在投影面上的平行投影（平面图形）可以形象地表示这个空间图形，这种用来表示空间
图形的平面图形叫做空间图形的直观图．
知识点2 水平放置的平面图形的直观图
1．用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴， 两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．（平行关系不变）
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来地一半.
注：用斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点并在直观图中画出．一般情况下，这些点的位置都要通过其所在的平行于x、y轴的线段来确定，当原图中无需线段时，需要作辅助线段．
2．水平放置的平面图形的直观图的画法步骤
（1）画轴：在已知图形中建立适当的直角坐标系xOy，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′=45°．
（2）定点：根据“原图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段；原图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半”的规则，确定平面图形的关键点．
（3）连线成图：连接已确定的关键点，把坐标轴擦去，得到水平放置的平面图形的直观图．
3．建立坐标系的原则
（1）平面图形中若有互相垂直的直线，一般取这两条互相垂直的直线作为坐标轴．
（2）若平面图形为轴对称图形，一般取对称轴作为坐标轴；若平面图形为中心对称图形，一般取对称中心为坐标原点．
（3）若以上条件都不具备，则建系的原则是使多边形的顶点尽可能多地落在坐标轴上．
知识点3 空间几何体的直观图
1、用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤
(1)画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可．
(2)画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出高线(与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可)，连线成图．
(3)擦去辅助线，被遮线用虚线表示．
2．画空间几何体的直观图的原则
（1）坐标系的建立要充分利用几何体的对称性，一般坐标原点建在图形的对称中心处．
（2）要先画出底面的直观图，然后画出其余各面．
（3）与z轴平行的线段在直观图中应与z′轴平行且长度保持不变.
知识点4 对斜二测画法中“斜”“二测”的解读
“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°；
“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半．斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点，并在直观图中画出．
注：在直观图中“变”的量与“不变”量
(1)平面图形用其直观图表示时，一般说来，平行关系不变；
(2)点的共线性不变，线的共点性不变，但角的大小有变化(特别是垂直关系有变化)；
(3)有些线段的度量关系也发生变化. 因此图形的形状发生变化．
斜二测画法的位置特征与度量特征简记为：横不变、纵折半，平行位置不改变.
考点一 水平放置的平面图形的直观图
解题方略：
画平面图形的直观图的技巧
(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．
(2)画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．
【例1】用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴，y轴，且∠A＝90°，则在直观图中∠A′＝( )
A．45° B．135°
C．45°或135° D．90°
变式1：用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是( )
A．原来相交的仍相交 B．原来垂直的仍垂直
C．原来平行的仍平行 D．原来共点的仍共点
变式2：【多选】对于用斜二测画法所得的直观图，以下说法错误的是（ ）
A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B．正方形的直观图为平行四边形
C．梯形的直观图不是梯形D．正三角形的直观图一定为等腰三角形
【例2】画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．
变式1：用斜二测画法画如图所示边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图．
变式2：画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图．
变式3：如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的( )
变式4：水平放置的△ABC，有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．任意三角形
变式5：把△ABC按斜二测画法得到△A′B′C′(如图所示)，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝eq \f(\r(3),2)，那么△ABC是一个( )
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形D．三边互不相等的三角形
变式6：【多选】如图，已知等腰三角形ABC，则如下所示的四个图中，可能是△ABC的直观图的是( )
A B C D
考点二 空间图形直观图的画法
解题方略：
画空间图形的直观图的原则
(1)首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz，并且把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面，再作z′轴与平面x′O′y′垂直．
(2)作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x′轴的线段并且长度不变．
(3)平行于y轴的线段画成平行于y′轴的线段，且线段长度画成原来的一半．
(4)平行于z轴的线段画成平行于z′轴的线段并且长度不变．
【例3】画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．
变式1：用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm,3 cm,2 cm的长方体ABCDA′B′C′D′的直观图．
变式2：用斜二测画法画出正五棱柱的直观图．
【例4】若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应画成( )
A．平行于z′轴且大小为10 cm
B．平行于z′轴且大小为5 cm
C．与z′轴成45°且大小为10 cm
D．与z′轴成45°且大小为5 cm
变式1：已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )
A．2 cm B．3 cm
C．2.5 cm D．5 cm
考点三 直观图的还原与计算
解题方略：
1．直观图的还原技巧
由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴，y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．
2．直观图与原图面积之间的关系
若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′＝eq \f(\r(2),4)S或S＝2eq \r(2)S′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积．
【例5】如图，是用斜二测画法画出的直观图，则的周长为（ ）
A．B．
C．D．
【例6】用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图（尺寸自定），并由此探寻直观图面积与原图形面积之间的关系.
（1）矩形；
（2）平行四边形；
（3）正三角形；
（4）正五边形
变式1：【多选】已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积可能为（ ）
A．16B．64C．32D．无法确定
变式2：如图，边长为2的正方形是一个水平放置的平面图形的直观图，则图形的面积是（ ）
A．B．C．D．
变式3：若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（ ）
A．B．C．D．
变式4：(1)如图①，Rt△O′A′B′是一个平面图形的直观图，若O′B′＝eq \r(2)，则这个平面图形的面积是( )
A．1 B.eq \r(2)
C．2eq \r(2) D．4eq \r(2)
(2)如图②所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝eq \f(2,3)C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1. 试画出原四边形，并求原图形的面积.
变式5：如图所示的直角梯形，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，求原图形的面积.
变式6：如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝3，B′C′∥x′轴，则原平面图形的面积为________．
变式7：在直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在坐标系xOy中原四边形OABC为________(填形状)，面积为________cm2.
变式8：用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，AB边平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2eq \r(2) cm2，则原平面图形A′B′C′D′的面积为( )
A．4 cm2 B．4eq \r(2) cm2
C．8 cm2 D．8eq \r(2) cm2
变式9：已知△ABC是边长为a的正三角形，求其直观图△A′B′C′的面积
变式10：如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝AO＝1，△AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试画出梯形ABCD水平放置的直观图，并求直观图的面积．
变式11：如图，已知点，，,用斜二测画法作出该水平放置的四边形的直观图，并求出面积.
变式9：水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知B′C′＝4，A′C′＝3，B′C′∥y′轴，则△ABC中AB边上的中线的长度为( )
A.eq \f(\r(73),2) B.eq \r(73)
C．5 D.eq \f(5,2)
【例7】水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．
变式1：如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，点B′在x′轴上，A′O′与x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为________．
变式2：如图，是水平放置的的直观图，则中边上的高等于（ ）
A．4B．C．2D．
变式3：如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图，则在直观图中，梯形的高为___________.
【例8】如图所示的是水平放置的三角形直观图，是中边上的一点，且离比离近，又轴∥，那么原的、、三条线段中（ ）
A．最长的是，最短的是B．最长的是，最短的是
C．最长的是，最短的是D．最长的是，最短的是
变式1：如图，用斜二测画法作△ABC水平放置的直观图形得△A1B1C1，其中A1B1＝B1C1，A1D1是B1C1边上的中线，由图形可知在△ABC中，下列四个结论中正确的是（ ）
A．AB＝BC＝ACB．AD⊥BC
C．AC＞AD＞ABD．AC＞AD＞AB＝BC
变式2：【多选】如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则下列说法正确的是（ ）
A．的边上的高为2B．的边上的高为4
C．D．
练习一 水平放置的平面图形的直观图
1、根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为( )
A．90°，90° B．45°，90°
C．135°，90° D．45°或135°，90°
2、用斜二测画法画出下列平面图形水平放置的直观图.
3、如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的（ ）
A．B．
C．D．
4、【多选】如图为一平面图形的直观图，则此平面图形不可能是选项中的（ ）
A．B．C．D．
练习二 空间图形直观图的画法
1、画出底面边长为3cm、高为4.5cm的正三棱柱的直观图.
2、用斜二测画法画出各棱长都为5的正三棱锥的直观图.
3、已知圆柱的底面半径和高分别为2cm，3cm，画出该圆柱的直观图.
练习三 直观图的还原与计算
1、正方形的边长为1，利用斜二测画法得到直观图，其周长等于___________．
2、有一个长为5 cm，宽为4 cm的矩形，则其直观图的面积为________ cm2.
3、已知△ABC的直观图如图所示，则原△ABC的面积为________．
4、正三角形的边长为1，建立如图所示的直角坐标系，则它的直观图的面积是（ ）
A．B．C．D．
5、已知水平放置的四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
第2讲 基本立体图形的直观图
知识点1 直观图的概念
一个空间图形在投影面上的平行投影（平面图形）可以形象地表示这个空间图形，这种用来表示空间
图形的平面图形叫做空间图形的直观图．
知识点2 水平放置的平面图形的直观图
1．用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴， 两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．（平行关系不变）
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来地一半.
注：用斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点并在直观图中画出．一般情况下，这些点的位置都要通过其所在的平行于x、y轴的线段来确定，当原图中无需线段时，需要作辅助线段．
2．水平放置的平面图形的直观图的画法步骤
（1）画轴：在已知图形中建立适当的直角坐标系xOy，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′=45°．
（2）定点：根据“原图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段；原图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半”的规则，确定平面图形的关键点．
（3）连线成图：连接已确定的关键点，把坐标轴擦去，得到水平放置的平面图形的直观图．
3．建立坐标系的原则
（1）平面图形中若有互相垂直的直线，一般取这两条互相垂直的直线作为坐标轴．
（2）若平面图形为轴对称图形，一般取对称轴作为坐标轴；若平面图形为中心对称图形，一般取对称中心为坐标原点．
（3）若以上条件都不具备，则建系的原则是使多边形的顶点尽可能多地落在坐标轴上．
知识点3 空间几何体的直观图
1、用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤
(1)画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可．
(2)画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出高线(与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可)，连线成图．
(3)擦去辅助线，被遮线用虚线表示．
2．画空间几何体的直观图的原则
（1）坐标系的建立要充分利用几何体的对称性，一般坐标原点建在图形的对称中心处．
（2）要先画出底面的直观图，然后画出其余各面．
（3）与z轴平行的线段在直观图中应与z′轴平行且长度保持不变.
知识点4 对斜二测画法中“斜”“二测”的解读
“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°；
“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半．斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点，并在直观图中画出．
注：在直观图中“变”的量与“不变”量
(1)平面图形用其直观图表示时，一般说来，平行关系不变；
(2)点的共线性不变，线的共点性不变，但角的大小有变化(特别是垂直关系有变化)；
(3)有些线段的度量关系也发生变化. 因此图形的形状发生变化．
斜二测画法的位置特征与度量特征简记为：横不变、纵折半，平行位置不改变.
考点一 水平放置的平面图形的直观图
解题方略：
画平面图形的直观图的技巧
(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．
(2)画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．
【例1】用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴，y轴，且∠A＝90°，则在直观图中∠A′＝( )
A．45° B．135°
C．45°或135° D．90°
【解析】在画直观图时，∠A′的两边依然分别平行于x′轴，y′轴，而∠x′O′y′＝45°或135°.故选C.
变式1：用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是( )
A．原来相交的仍相交 B．原来垂直的仍垂直
C．原来平行的仍平行 D．原来共点的仍共点
【解析】由斜二测画法规则知，B选项错误．故选B.
变式2：【多选】对于用斜二测画法所得的直观图，以下说法错误的是（ ）
A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B．正方形的直观图为平行四边形
C．梯形的直观图不是梯形D．正三角形的直观图一定为等腰三角形
【解析】由直观图的做法可知：原图形中的平行性质仍然保持，而相当长度和角的大小不一定与原来的相等.
对于A：等腰三角形的直观图不再是等腰三角形，故A错误；
对于B：因为正方形的对边平行，所以在直观图中仍然平行，故正方形的直观图为平行四边形成立.故B正确；
对于C：梯形的上下底平行，在直观图中仍然平行；两腰不平行，在直观图中仍然不平行；所以梯形的直观图仍是梯形.故C错误；
对于D: 正三角形的直观图不是等腰三角形.故D错误.
故选：ACD
【例2】画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．
【解析】(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图①②所示．
(2)在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝eq \f(1,2)OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图②.
(3)所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图．如图③.
变式1：用斜二测画法画如图所示边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图．
【解析】(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴．
(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝OB＝OC＝2 cm，在y′轴上取O′A′＝eq \f(1,2)OA，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示．
变式2：画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图．
【解析】(1)过点C作CE⊥x轴，垂足为E，如图(1)所示，画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图(2)所示．
(2)如图(2)所示，在x′轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′轴上取一点D，使得O′D′＝eq \f(1,2)OD；过E′作E′C′∥y′轴，使E′C′＝eq \f(1,2)EC.
(3)连接B′C′，C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图(3)所示，四边形O′B′C′D′就是所求的直观图．
变式3：如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的( )
【解析】由直观图知，原四边形一组对边平行且不相等，为梯形，且梯形两腰不能与底垂直．故选A.
变式4：水平放置的△ABC，有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．任意三角形
【解析】如下图所示，斜二测直观图还原为平面图形，故△ABC是钝角三角形．故选C.
变式5：把△ABC按斜二测画法得到△A′B′C′(如图所示)，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝eq \f(\r(3),2)，那么△ABC是一个( )
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形D．三边互不相等的三角形
【解析】根据斜二测画法还原三角形在直角坐标系中的图形，如图所示：由图易得AB＝BC＝AC＝2，故△ABC为等边三角形，故选A．
变式6：【多选】如图，已知等腰三角形ABC，则如下所示的四个图中，可能是△ABC的直观图的是( )
A B C D
【解析】原等腰三角形画成直观图后，原来的腰长不相等，CD两图分别为在∠x′O′y′成135°和45°的坐标系中的直观图．故选CD
考点二 空间图形直观图的画法
解题方略：
画空间图形的直观图的原则
(1)首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz，并且把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面，再作z′轴与平面x′O′y′垂直．
(2)作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x′轴的线段并且长度不变．
(3)平行于y轴的线段画成平行于y′轴的线段，且线段长度画成原来的一半．
(4)平行于z轴的线段画成平行于z′轴的线段并且长度不变．
【例3】画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．
【解析】画法：(1)画轴．画Ox轴，Oy轴，Oz轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图．
(2)画底面．以O为中心在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD.
(3)画顶点．在Oz轴上截取OP使OP的长度等于原四棱锥的高．
(4)成图．顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图．
变式1：用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm,3 cm,2 cm的长方体ABCDA′B′C′D′的直观图．
【解析】画法：(1)画轴．如图，画x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面．以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝eq \f(3,2) cm.
分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.
(3)画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.
(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图．
变式2：用斜二测画法画出正五棱柱的直观图．
【解析】(1)画轴．画x′轴、y′轴和z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，如图①所示．
(2)画底面．按x′轴、y′轴画正五边形的直观图ABCDE.
(3)画侧棱．过点A，B，C，D，E分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′都相等．
(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，E′，去掉辅助线，改被挡部分为虚线，如图②所示．
【例4】若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应画成( )
A．平行于z′轴且大小为10 cm
B．平行于z′轴且大小为5 cm
C．与z′轴成45°且大小为10 cm
D．与z′轴成45°且大小为5 cm
【解析】平行于z轴(或在z轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致．故选A.
变式1：已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )
A．2 cm B．3 cm
C．2.5 cm D．5 cm
【解析】圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2＋3＝5(cm)，在直观图中与z轴平行线段长度不变，仍为5 cm.故选D.
考点三 直观图的还原与计算
解题方略：
1．直观图的还原技巧
由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴，y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．
2．直观图与原图面积之间的关系
若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′＝eq \f(\r(2),4)S或S＝2eq \r(2)S′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积．
【例5】如图，是用斜二测画法画出的直观图，则的周长为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】作出的直观图如下图所示：
由图可得，，
因此，的周长为.
故选：C.
【例6】用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图（尺寸自定），并由此探寻直观图面积与原图形面积之间的关系.
（1）矩形；
（2）平行四边形；
（3）正三角形；
（4）正五边形
【解析】
（1）解：根据斜二测画法的规则，可得：
设，，则，直观图中边边上的高为，
因此，设直观图和原图形的面积分别为、，则.
（2）解：根据斜二测画法的规则，可得：
设，，则，直观图中边边上的高为，
因此，设直观图和原图形的面积分别为、，则.
（3）解：根据斜二测画法的规则，可得：
设，，则，直观图中边边上的高为，
因此，设直观图和原图形的面积分别为、，则.
（4）解：根据斜二测画法的规则，可得：
设，，则，的边边上的高为，
所以，，
同理可得，，，，
设五边形的面积为，直观图五边形的面积为，
则
.
变式1：【多选】已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积可能为（ ）
A．16B．64C．32D．无法确定
【解析】根据题意，正方形的直观图如图所示：
①若直观图中平行四边形的边,
则原正方形的边长为，所以该正方形的面积为；
②若直观图中平行四边形的边,
则原正方形的边长为，所以该正方形的面积为，
故选：AB.
变式2：如图，边长为2的正方形是一个水平放置的平面图形的直观图，则图形的面积是（ ）
A．B．C．D．
【解析】由三视图知原平面图形是平行四边形，，，且，
所以面积为．
故选：A．
变式3：若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（ ）
A．B．C．D．
【解析】等腰梯形的面积
则原平面图形的面积.
故选：C.
变式4：(1)如图①，Rt△O′A′B′是一个平面图形的直观图，若O′B′＝eq \r(2)，则这个平面图形的面积是( )
A．1 B.eq \r(2)
C．2eq \r(2) D．4eq \r(2)
(2)如图②所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝eq \f(2,3)C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1. 试画出原四边形，并求原图形的面积.
【解析】(1)由题图知，△OAB为直角三角形．∵O′B′＝eq \r(2)，∴A′B′＝eq \r(2)，O′A′＝2.
∴在原△OAB中，OB＝eq \r(2)，OA＝4，∴S△OAB＝eq \f(1,2)×eq \r(2)×4＝2eq \r(2).故选C.
[答案] C
(2)如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1；OC＝O′C1＝2.
在过点D与y轴平行的直线上截取DA＝2D1A1＝2.
在过点A与x轴平行的直线上截取AB＝A1B1＝2.连接BC，便得到了原图形(如图)．
由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，
直角腰长度为AD＝2.
所以面积为S＝eq \f(2＋3,2)×2＝5.
变式5：如图所示的直角梯形，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，求原图形的面积.
【解析】如图①，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，则在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，所以BE＝eq \f(\r(2),2).
而四边形AECD为矩形，AD＝1，所以EC＝AD＝1.所以BC＝BE＋EC＝eq \f(\r(2),2)＋1.
由此可还原原图形如图②，是一个直角梯形．
在原图形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝eq \f(\r(2),2)＋1，且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，
所以原图形的面积为
S＝eq \f(1,2)(A′D′＋B′C′)·A′B′＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋1＋\f(\r(2),2)))×2＝2＋eq \f(\r(2),2).
变式6：如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝3，B′C′∥x′轴，则原平面图形的面积为________．
【解析】在直观图中，设B′C′与y′轴的交点为D′，则易得O′D′＝3eq \r(2)，所以原平面图形为一边长为6，高为6eq \r(2)的平行四边形，所以其面积为6×6eq \r(2)＝36eq \r(2).
答案：36eq \r(2)
变式7：在直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在坐标系xOy中原四边形OABC为________(填形状)，面积为________cm2.
【解析】由题意，结合斜二测画法可知，四边形OABC为矩形，其中OA＝2 cm，OC＝4 cm，所以四边形OABC的面积S＝2×4＝8(cm2)．
答案：矩形 8
变式8：用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，AB边平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2eq \r(2) cm2，则原平面图形A′B′C′D′的面积为( )
A．4 cm2 B．4eq \r(2) cm2
C．8 cm2 D．8eq \r(2) cm2
【解析】依题意，可知∠BAD＝45°，则原平面图形A′B′C′D′为直角梯形，上、下底边分别为B′C′，A′D′，且长度分别与BC，AD相等，高为A′B′，且长度为梯形ABCD的高的2eq \r(2)倍，所以原平面图形的面积为8 cm2.故选C.
变式9：已知△ABC是边长为a的正三角形，求其直观图△A′B′C′的面积
【解析】由斜二测画法规则可知，直观图△A′B′C′一底边上的高为eq \f(\r(3),2)a×eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(6),8)a，
所以S△A′B′C′＝eq \f(1,2)×a×eq \f(\r(6),8)a＝eq \f(\r(6),16)a2.
变式10：如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝AO＝1，△AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试画出梯形ABCD水平放置的直观图，并求直观图的面积．
【解析】在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1.由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变．如图所示，
在直观图中，O′D′＝eq \f(1,2)OD，梯形的高D′E′＝eq \f(\r(2),4)，于是，梯形A′B′C′D′的面积S＝eq \f(1,2)×(1＋2)×eq \f(\r(2),4)＝eq \f(3\r(2),8).
变式11：如图，已知点，，,用斜二测画法作出该水平放置的四边形的直观图，并求出面积.
【解析】由斜二测画法可知，在直观图中，，，，，，，，，，
所以
.
变式9：水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知B′C′＝4，A′C′＝3，B′C′∥y′轴，则△ABC中AB边上的中线的长度为( )
A.eq \f(\r(73),2) B.eq \r(73)
C．5 D.eq \f(5,2)
【解析】由斜二测画法规则知AC⊥BC，即△ABC为直角三角形，其中AC＝3，BC＝8，所以AB＝eq \r(73)，AB边上的中线长度为eq \f(\r(73),2).故选A.
【例7】水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．
【解析】由直观图知，由原平面图形为直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计算得AB＝5，所求中线长为2.5.
变式1：如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，点B′在x′轴上，A′O′与x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为________．
【解析】设△AOB的边OB上的高为h，由直观图中边O′B′与原图形中边OB的长度相等，及S原图＝2eq \r(2)S直观图，得eq \f(1,2)OB×h＝2eq \r(2)×eq \f(1,2)×A′O′×O′B′，则h＝4eq \r(2).故△AOB的边OB上的高为4eq \r(2).
答案：4eq \r(2)
变式2：如图，是水平放置的的直观图，则中边上的高等于（ ）
A．4B．C．2D．
【解析】由题意可知，，且，即OA边上的高为4.
故选：A.
变式3：如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图，则在直观图中，梯形的高为___________.
【解析】四边形是上底为2，下底为6，底角为的等腰梯形，
故的高为2，面积，
故其直观图的面积，
设直观图的高为，则，
解得：，
即在直观图中，梯形的高为.
故答案为：.
【例8】如图所示的是水平放置的三角形直观图，是中边上的一点，且离比离近，又轴∥，那么原的、、三条线段中（ ）
A．最长的是，最短的是B．最长的是，最短的是
C．最长的是，最短的是D．最长的是，最短的是
【解析】由题意，得到的原图如下图所示，
其中，，
所以
所以的、、三条线段中最长的是，最短的是.
故选：C.
变式1：如图，用斜二测画法作△ABC水平放置的直观图形得△A1B1C1，其中A1B1＝B1C1，A1D1是B1C1边上的中线，由图形可知在△ABC中，下列四个结论中正确的是（ ）
A．AB＝BC＝ACB．AD⊥BC
C．AC＞AD＞ABD．AC＞AD＞AB＝BC
【解析】根据斜二测画法，把直观图形中的△A1B1C1，还原成原图形，
如图所示；
为直角三角形，且，
则.
故选：C．
变式2：【多选】如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则下列说法正确的是（ ）
A．的边上的高为2B．的边上的高为4
C．D．
【解析】如图，过作轴，交轴于点，
则可得，又与轴垂直，且，则,
则在原图中，，且，即的边上的高为4，
又在上，可得.
故选：BD.
练习一 水平放置的平面图形的直观图
1、根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为( )
A．90°，90° B．45°，90°
C．135°，90° D．45°或135°，90°
【解析】根据斜二测画法的规则，∠x′O′y′的度数应为45°或135°，∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角，所以度数为90°.故选D.
2、用斜二测画法画出下列平面图形水平放置的直观图.
【解析】（1）
画，轴，使，在轴上截取，在轴上截取．
过作轴的平行线，且取线段长度为2，连接，，，，
则四边形的直观图即为四边形；
（2）
画，轴，使，在轴上截取，
在轴过、分别作的平行线，与在轴上过作轴的平行线分别交于，，连接，，，．
则四边形的直观图即为四边形．
3、如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的（ ）
A．B．
C．D．
【解析】由斜二测画法的规则可知，该平面图形为直角梯形，又因为第一象限内的边平行于y′轴，
故选：C.
4、【多选】如图为一平面图形的直观图，则此平面图形不可能是选项中的（ ）
A．B．C．D．
【解析】根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形，且在直观图中平行于轴的边与底边垂直，原图形如图所示：
即可判断不可能的为A，B，D.
故选：ABD.
练习二 空间图形直观图的画法
1、画出底面边长为3cm、高为4.5cm的正三棱柱的直观图.
【解析】一、画轴，如图：画轴、轴、轴，三轴相交于点，使得，；
二、画底面，以为中点，在轴上取，在轴正半上截取
，连接，，则就是正三棱柱的底面；
三、画侧棱、过点，，分别作轴的平行线，并在这些平行线上分别截取4.5cm长的线段，，；
四、成图，顺次连接，，，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），即得正三棱柱的直观图.
2、用斜二测画法画出各棱长都为5的正三棱锥的直观图.
【解析】分两个步骤完成：
（1）先画出水平放置的边长为的正三角形的直观图：
1°在正三角形中，设的中点为，取中心为原点，过且与平行的直线为轴，以为轴建立直角坐标系，如图：
，
则，，
2°作出斜坐标系，使，
在轴正半轴上取使，在轴负半轴上取点，使，
过作轴的平行线，使得，连，则三角形就是水平放置的边长为的正三角形的直观图，如图：
（2）过作轴，在轴正半轴上取点，使，连，可得各棱长都为5的正三棱锥的直观图，如图：
3、已知圆柱的底面半径和高分别为2cm，3cm，画出该圆柱的直观图.
【解析】第一步：画轴：如图1，画轴，使得；
第二步：画下底面，以点为中心，在轴上取线段，使得cm，利用椭圆模板画椭圆，使其经过两点，这个椭圆就是圆柱的底面；
第三步：画上底面，在上截取点，使得cm，过作平行于轴的轴，类似下底面的作法做出圆柱的上底面；
第四步：成图，顺次连接，再去掉辅助线，将遮挡的部分改为虚线，就得的直观图，如图2.
练习三 直观图的还原与计算
1、正方形的边长为1，利用斜二测画法得到直观图，其周长等于___________．
【解析】根据斜二测画法的原则可得：直观图中，x方向长度不变，y方向长度减半，如图所示：
所以的周长为.
故答案为：3
2、有一个长为5 cm，宽为4 cm的矩形，则其直观图的面积为________ cm2.
【解析】该矩形的面积为S＝5×4＝20(cm2)，由平面图形的面积与直观图的面积间的关系，可得直观图的面积为S′＝eq \f(\r(2),4)S＝5eq \r(2)(cm2)．
答案：5eq \r(2)
3、已知△ABC的直观图如图所示，则原△ABC的面积为________．
【解析】由题意，易知在△ABC中，AC⊥AB，且AC＝6，AB＝3，∴S△ABC＝eq \f(1,2)×6×3＝9.
答案：9
4、正三角形的边长为1，建立如图所示的直角坐标系，则它的直观图的面积是（ ）
A．B．C．D．
【解析】原图中：设是的中点，则，.
直观图中：，，
所以.
故选：D
5、已知水平放置的四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【解析】过点作，垂足为
则由已知可得四边形为矩形，为等腰直角三角形
，
根据直观图画出原图如下：
可得原图形为直角梯形，，
且，
可得原四边形的面积为
故选：B.
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