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数学必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积一课一练
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这是一份数学必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积一课一练，共28页。
A．B．C．D．
2．（2022北京）已知正四棱锥的侧棱长为2，高为.则该正四棱锥的表面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022春·北京平谷·高一统考期末）如图，在四棱柱中，底面是正方形，底面，，那么该四棱柱的体积为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022春·吉林长春·高一长春十一高校考阶段练习）以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022春·云南昆明·高一校联考期中）将边长为2的正三角形绕着它的一条高线旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·四川成都·统考一模）若圆锥的侧面展开图为一个半圆面，则它的底面面积与侧面面积之比是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023河北）以斜边长为2的等腰直角三角形一直角边为轴，旋转一周形成的几何体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·江苏扬州）已知圆锥的底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
9．（2023湖南娄底）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早 多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图 是阳马，，，，．则该阳马的外接球的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023·湖南岳阳·0）已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，是球O的直径.若平面平面，，，球O的体积为，则三棱锥的体积为（ ）
A．9B．18C．27D．36
11．（2022秋·四川达州）如图，所有棱长都等于的三棱柱的所有顶点都在球上，球的体积为（ ）
A．B．C．D．
12．（2022·陕西西安）一个正四棱柱的每个顶点都在球的球面上，且该四棱柱的底面面积为3，高为，则球的体积为（ ）
A．B．C．D．
13．（2023山东济南）若正四面体的表面积为，则其外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
14．（2023河北石家庄）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧DE，AC所在圆的半径分别是3和6，且，则该圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
15．（2023·湖南益阳）在一次劳动技术课上，某12人的小组中的同学们利用图（一）的棱长为的正方体胶泥作为原料，每人制作一个图（二）的冰激淋胶泥模型（上部分为一个半球，下部分为一个以半球的大圆面为底的圆锥），则制作完成后剩下的胶泥约为（ ）（忽略制作过程中的损耗，）
A．B．C．D．
16．（2023秋·安徽淮北）已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥的内切球表面积为（ ）
A．B．C．D．
17．（2022秋·湖南张家界）如下图是一个正八面体，其每一个面都是正三角形，六个顶点都在球O的球面上，则球O与正八面体的体积之比是（ ）
A．B．
C．D．
18．（2022·高一课时练习）设正六棱柱的底面边长为1，侧棱长为5，那么它的体积为______．
19．（2022秋·上海长宁）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高4cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为3cm．若不计容器的厚度，则球的体积为______
20（2022秋·上海杨浦·高二校考期末）如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知球的直径为8cm，圆柱筒高为3cm.
(1)求这种“浮球”的体积；
(2)要在这样的3000个“浮球”的表面涂一层胶质，如果每平方厘米需要涂胶0.1克，共需胶多少克？
1．（2022春·山东潍坊·高一统考期末）（多选）已知正四棱台上、下底面边长分别为，侧棱长为，则（ ）
A．正四棱台的高为B．正四棱台的斜高为
C．正四棱台的表面积为D．正四棱台的体积为
2．（2022山东青岛）已知圆台的上下底面半径分别为1和2，侧面积为，则该圆台的外接球半径为（ ）
A．B．C．D．
3（2022·全国·高一专题练习）（多选）圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为，则圆台的（ ）
A．母线长是20B．表面积是
C．高是D．体积是
4．（2022春·贵州六盘水）已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·高一单元测试）如图，直三棱柱中，是的中点，则 （ ）
A．B．C．D．
6．（2022广东）若圆台的高是3，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，母线与下底面成角，则这个圆台的侧面积是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2022春·辽宁抚顺·高一校联考期末）在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆柱的底面半径与圆锥的底面半径的比值为（ ）
A．B．2C．D．
8（2022春·广东潮州·高一饶平县第二中学校考期中）把一个铁制的底面半径为，侧面积为的实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的半径为（ ）
A．B．C．D．
9．（2022安徽亳州·高一统考期末）已知三棱柱所有的顶点都在球的球面上，球的体积是，，，则（ ）
A．B．C．D．
10（2022·高一单元测试）正八面体是每个面都是正三角形的八面体．如图所示，若此正八面体的棱长为2，则它的内切球的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
11．（2022春·山东青岛·高一山东省莱西市第一中学校考期中）已知，，三点均在球的表面上，，且球心到平面的距离等于球半径的，则下列结论正确的为（ ）
A．球的外切正方体的棱长为B．球的表面积为
C．球的内接正方体的棱长为D．球的半径为
12．（2022辽宁沈阳·高一东北育才学校校考阶段练习）若四面体的各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积不可能是（ ）
A．B．C．D．
13（2022山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）已知直三棱柱的底面为直角三角形，如图所示，，，，，则四面体的体积为__________，四棱锥的外接球的表面积为_________．
14．（2022秋·上海黄浦）将个边长为1的正三角形纸片，按如图方法将它拼剪成一个三棱柱，则这个三棱柱的体积为__________.
15（2022春·山东临沂·高一校考阶段练习）已知在正方体中，截下一个四棱锥，，E为棱中点.
(1)求四棱锥的表面积；
(2)求四棱锥的体积与剩余部分的体积之比；
(3)若点F是AB上的中点，求三棱锥的体积.
8.3 简单几何体的表面积与体积（精练）
1．（2022·高一课时练习）已知正四棱柱的侧棱长为，它的体对角线长为，则这个正四棱柱的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设底面边长为，由题意得，解得，所以侧面积为．
故选：B
2．（2022北京）已知正四棱锥的侧棱长为2，高为.则该正四棱锥的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
由题意可知，则，，
所以该正四棱锥的表面积为，故选：C
3．（2022春·北京平谷·高一统考期末）如图，在四棱柱中，底面是正方形，底面，，那么该四棱柱的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】在四棱柱中，底面是正方形，底面，，，
该四棱柱的体积为．故选：C．
4．（2022春·吉林长春·高一长春十一高校考阶段练习）以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意，所得几何体为高和底面半径均为2的圆柱体，所以几何体表面积为.故选：D
5．（2022春·云南昆明·高一校联考期中）将边长为2的正三角形绕着它的一条高线旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】边长为2的正三角形绕着它的一条高线旋转一周得到一个圆锥，所以该圆锥的底面半径为，圆锥的母线长为2，因此该圆锥的侧面积为，故选：B
6．（2023·四川成都·统考一模）若圆锥的侧面展开图为一个半圆面，则它的底面面积与侧面面积之比是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设圆锥的底面圆的半径为，扇形的半径为，由题意可得，，
所以，该圆锥的侧面积为，底面积为，
所以，该圆锥的底面面积与侧面面积之比是.故选：D.
7．（2023河北）以斜边长为2的等腰直角三角形一直角边为轴，旋转一周形成的几何体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可得所形成的几何体为圆锥，圆锥的高和底面半径均为，母线长为2，
所以圆锥的表面积为．故选：.
8．（2023·江苏扬州）已知圆锥的底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设圆锥的底面半径为，侧面展开扇形的半径为，
因为底面周长，所以扇形的弧长，所以，
所以圆锥的侧面积为，故选：D
9．（2023湖南娄底）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早 多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图 是阳马，，，，．则该阳马的外接球的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因，平面ABCD，平面ABCD，
则，又因四边形ABCD为矩形，则.
则阳马的外接球与以为长宽高的长方体的外接球相同.
又，，．则外接球的直径为长方体体对角线，故外接球半径为：，
则外接球的表面积为：
故选：B
10．（2023·湖南岳阳·0）已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，是球O的直径.若平面平面，，，球O的体积为，则三棱锥的体积为（ ）
A．9B．18C．27D．36
【答案】A
【解析】如图，三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，是球O的直径
O为中点，
∴，，
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，
设，由球O的体积为，可得，
则，
∴三棱锥的体积为9，
故选∶A．
11．（2022秋·四川达州）如图，所有棱长都等于的三棱柱的所有顶点都在球上，球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图，三棱柱外接球的球心在上下底面三角形中心连线的中点处，（分别是等边三角形和的中心，点是线段的中点，即外接球的球心），，,
所以球的体积.
故选：D
12．（2022·陕西西安）一个正四棱柱的每个顶点都在球的球面上，且该四棱柱的底面面积为3，高为，则球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设该正四棱柱的底面边长为，高为，则,，解得，
所以该正四棱柱的体对角线为球的直径，
设球的半径为，
所以，，即，
所以，球的体积为．
故选：B
13．（2023山东济南）若正四面体的表面积为，则其外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设正四面体的棱长为，由题意可知：，解得：，
所以正四面体的棱长为，
将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为，正方体的体对角线长为，
因为正四面体的外接球的直径为正方体的体对角线长，所以外接球半径，
则外接球的体积为，
故选：.
14．（2023河北石家庄）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧DE，AC所在圆的半径分别是3和6，且，则该圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设圆台上下底面的半径分别为，由题意可知，解得，
，解得：，作出圆台的轴截面，如图所示：
图中，，
过点向作垂线，垂足为，则，
所以圆台的高，
则上底面面积，，由圆台的体积计算公式可得：
，
故选：.
15．（2023·湖南益阳）在一次劳动技术课上，某12人的小组中的同学们利用图（一）的棱长为的正方体胶泥作为原料，每人制作一个图（二）的冰激淋胶泥模型（上部分为一个半球，下部分为一个以半球的大圆面为底的圆锥），则制作完成后剩下的胶泥约为（ ）（忽略制作过程中的损耗，）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题可知正方体胶泥的体积为，
每个冰激淋胶泥的体积为，
所以12个冰激淋胶泥的体积为，
所以.
故选：B.
16．（2023秋·安徽淮北）已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥的内切球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图，圆锥与内切球的轴截面图，点为球心，内切球的半径为，为切点，设，即
由条件可知，，
中，，即，解得：，
所以圆锥内切球的表面积.
故选：D
17．（2022秋·湖南张家界）如下图是一个正八面体，其每一个面都是正三角形，六个顶点都在球O的球面上，则球O与正八面体的体积之比是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意得正方形的中心即为外接球球心，设，则，
球的体积为，
而，故正八面体的体积，
得，
故选：A
18．（2022·高一课时练习）设正六棱柱的底面边长为1，侧棱长为5，那么它的体积为______．
【答案】
【解析】由正六棱柱可得底面为正六边形，则底面积，
即正六棱柱的体积.
故答案为：.
19．（2022秋·上海长宁）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高4cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为3cm．若不计容器的厚度，则球的体积为______
【答案】
【解析】过球心作与正方体的前后面平行的截面，如图，截球得大圆，截正方体得正方形，，线段是正方体上底面截球所得截面圆直径，虚线表示水面，，设球半径为，则，，
由勾股定理得，即，解得，
所以球体积为．
故答案为：．
20（2022秋·上海杨浦·高二校考期末）如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知球的直径为8cm，圆柱筒高为3cm.
(1)求这种“浮球”的体积；
(2)要在这样的3000个“浮球”的表面涂一层胶质，如果每平方厘米需要涂胶0.1克，共需胶多少克？
【答案】(1)(2)26400克
【解析】（1）由题意得该几何体由两个半球和一个圆柱筒组成，
所以体积为一个球体体积和一个圆柱体积之和，
由球体的体积为：，
圆柱体积为：，
所以浮球的体积为：.
（2）上下半球的表面积：，
圆柱侧面积：，
所以，1个浮球的表面积为，
3000个浮球的表面积为：，
因此每平方厘米需要涂胶0.1克，
共需胶克.
1．（2022春·山东潍坊·高一统考期末）（多选）已知正四棱台上、下底面边长分别为，侧棱长为，则（ ）
A．正四棱台的高为B．正四棱台的斜高为
C．正四棱台的表面积为D．正四棱台的体积为
【答案】BCD
【解析】对于A，正四棱台上下底面对角线长为，
正四棱台的高，A错误；
对于B，正四棱台的斜高，B正确；
对于C，正四棱台侧面积为，上下底面面积分别为，
正四棱台的表面积，C正确；
对于D，正四棱台的体积，D正确.
故选：BCD.
2．（2022山东青岛）已知圆台的上下底面半径分别为1和2，侧面积为，则该圆台的外接球半径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设圆台的高和母线分别为，球心到圆台上底面的距离为，
根据圆台的侧面积公式可得，
因此圆台的高，
当球心在圆台内部时，则，解得，故此时外接球半径为，
当球心在圆台外部时，则，，解得不符合要求，舍去，
故球半径为
故选：B
3（2022·全国·高一专题练习）（多选）圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为，则圆台的（ ）
A．母线长是20B．表面积是
C．高是D．体积是
【答案】ABD
【解析】如图所示，
设圆台的上底面周长为，因为扇环的圆心角为，所以，又，所以，同理，故圆台的母线，高，
体积，
表面积.
故选：ABD．
4．（2022春·贵州六盘水）已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设圆锥的底面半径为，侧面展开图的半圆半径为，则，即.
故圆锥的侧面积为，解得，圆锥的高为.
故圆锥的体积为.
故选：B
5．（2022·高一单元测试）如图，直三棱柱中，是的中点，则 （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为是的中点，，
，.故选：C.
6．（2022广东）若圆台的高是3，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，母线与下底面成角，则这个圆台的侧面积是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析由题意，可作该圆台的轴截面，如下图所示：
则圆台的高，
上底面半径，下底面半径，即，
母线，即，
在中，，，
易知在正方形中，，则，即，
综上，，
圆台的侧面积.
故选：B.
7．（2022春·辽宁抚顺·高一校联考期末）在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆柱的底面半径与圆锥的底面半径的比值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【解析如图所示，为圆锥的轴截面，
，设圆柱的底面圆半径为，高为，
圆锥的底面半径为，则圆锥的高为，母线长为，
由题意知，，
即；
由相似边成比例得，
即，
，
即，
，
即圆柱的底面半径与圆锥的底面半径的比值为．
故选：D．
8（2022春·广东潮州·高一饶平县第二中学校考期中）把一个铁制的底面半径为，侧面积为的实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的半径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析因为实心圆柱的底面半径为，侧面积为，
所以圆柱的高为，
则圆柱的体积为，
设球的半径为，则，
故选：C
9．（2022安徽亳州·高一统考期末）已知三棱柱所有的顶点都在球的球面上，球的体积是，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析设球的半径为，外接圆的半径为，
则，解得，
因为，，
由正弦定理得，外接圆的半径，
则．
故选：B
10（2022·高一单元测试）正八面体是每个面都是正三角形的八面体．如图所示，若此正八面体的棱长为2，则它的内切球的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析以内切球的球心为顶点、正八面体的八个面为底面，可将正八面体分为8个全等的正三棱锥，设内切球的半径为，则，
且正四棱锥的高为图中，易得，即：
解得：，所以，内切球的表面积为.
故选：C．
11．（2022春·山东青岛·高一山东省莱西市第一中学校考期中）已知，，三点均在球的表面上，，且球心到平面的距离等于球半径的，则下列结论正确的为（ ）
A．球的外切正方体的棱长为B．球的表面积为
C．球的内接正方体的棱长为D．球的半径为
【答案】A
【解析设球O的半径为，的外接圆半径为，则，
因为球心O到平面的距离等于球O半径的，
所以，得，即，故D错误；
球O的外切正方体的棱长b满足，故A正确；
所以球O的表面积，故B错误；
球O的内接正方体的棱长a满足，即，故C错误.
故选：A.
12．（2022辽宁沈阳·高一东北育才学校校考阶段练习）若四面体的各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析根据三角形的两边之和大于第三边可知四面体中棱长为1的棱最多有3条，
（1）若只有一条棱长为1，如图，其余棱长都为2，
取中点，中点，连接，则，又是平面内两相交直线，则平面，
由已知，则，，
，；
（2）若有两条棱长度为1，还是如（1）中图形，，
解法如（1），只是有，，
；
（3）若有三条棱长度为1，如图，，四面体为正三棱锥，
设是正三棱锥的高，是的外心，
则，，
所以，，
故选：D
13（2022山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）已知直三棱柱的底面为直角三角形，如图所示，，，，，则四面体的体积为__________，四棱锥的外接球的表面积为_________．
【答案】 1
【解析
由题意可得，且，则
因为外接圆的圆心即为中点，设为，
外接圆的圆心即为中点，设为，
则的中点到六个顶点的距离相等，
则的中点为外接球的球心，即为半径，
，
所以，
即外接球的表面积为
故答案为:，
14．（2022秋·上海黄浦）将个边长为1的正三角形纸片，按如图方法将它拼剪成一个三棱柱，则这个三棱柱的体积为__________.
【答案】
【解析因为三棱柱的上下底面全等，
所以如图所示：
底面边长，
又因为，所以，解得底面边长，
所以上下底面面积和，
因为纸片的面积，
所以每个小长方形的面积，
所以三棱柱的高，
所以三棱柱的体积.
故答案为：.
15（2022春·山东临沂·高一校考阶段练习）已知在正方体中，截下一个四棱锥，，E为棱中点.
(1)求四棱锥的表面积；
(2)求四棱锥的体积与剩余部分的体积之比；
(3)若点F是AB上的中点，求三棱锥的体积.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析（1）四棱锥的表面由正方形ABCD和四个直角三角形所围成，
，，，则与全等，与全等，
因为，，，
所以
（2）设剩余部分的体积为，因为EC为四棱柱的高，且
所以
又正方体体积，
（3），其中平面ABCD，
故
A．B．C．D．
2．（2022北京）已知正四棱锥的侧棱长为2，高为.则该正四棱锥的表面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022春·北京平谷·高一统考期末）如图，在四棱柱中，底面是正方形，底面，，那么该四棱柱的体积为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022春·吉林长春·高一长春十一高校考阶段练习）以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022春·云南昆明·高一校联考期中）将边长为2的正三角形绕着它的一条高线旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·四川成都·统考一模）若圆锥的侧面展开图为一个半圆面，则它的底面面积与侧面面积之比是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023河北）以斜边长为2的等腰直角三角形一直角边为轴，旋转一周形成的几何体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·江苏扬州）已知圆锥的底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
9．（2023湖南娄底）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早 多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图 是阳马，，，，．则该阳马的外接球的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023·湖南岳阳·0）已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，是球O的直径.若平面平面，，，球O的体积为，则三棱锥的体积为（ ）
A．9B．18C．27D．36
11．（2022秋·四川达州）如图，所有棱长都等于的三棱柱的所有顶点都在球上，球的体积为（ ）
A．B．C．D．
12．（2022·陕西西安）一个正四棱柱的每个顶点都在球的球面上，且该四棱柱的底面面积为3，高为，则球的体积为（ ）
A．B．C．D．
13．（2023山东济南）若正四面体的表面积为，则其外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
14．（2023河北石家庄）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧DE，AC所在圆的半径分别是3和6，且，则该圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
15．（2023·湖南益阳）在一次劳动技术课上，某12人的小组中的同学们利用图（一）的棱长为的正方体胶泥作为原料，每人制作一个图（二）的冰激淋胶泥模型（上部分为一个半球，下部分为一个以半球的大圆面为底的圆锥），则制作完成后剩下的胶泥约为（ ）（忽略制作过程中的损耗，）
A．B．C．D．
16．（2023秋·安徽淮北）已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥的内切球表面积为（ ）
A．B．C．D．
17．（2022秋·湖南张家界）如下图是一个正八面体，其每一个面都是正三角形，六个顶点都在球O的球面上，则球O与正八面体的体积之比是（ ）
A．B．
C．D．
18．（2022·高一课时练习）设正六棱柱的底面边长为1，侧棱长为5，那么它的体积为______．
19．（2022秋·上海长宁）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高4cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为3cm．若不计容器的厚度，则球的体积为______
20（2022秋·上海杨浦·高二校考期末）如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知球的直径为8cm，圆柱筒高为3cm.
(1)求这种“浮球”的体积；
(2)要在这样的3000个“浮球”的表面涂一层胶质，如果每平方厘米需要涂胶0.1克，共需胶多少克？
1．（2022春·山东潍坊·高一统考期末）（多选）已知正四棱台上、下底面边长分别为，侧棱长为，则（ ）
A．正四棱台的高为B．正四棱台的斜高为
C．正四棱台的表面积为D．正四棱台的体积为
2．（2022山东青岛）已知圆台的上下底面半径分别为1和2，侧面积为，则该圆台的外接球半径为（ ）
A．B．C．D．
3（2022·全国·高一专题练习）（多选）圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为，则圆台的（ ）
A．母线长是20B．表面积是
C．高是D．体积是
4．（2022春·贵州六盘水）已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·高一单元测试）如图，直三棱柱中，是的中点，则 （ ）
A．B．C．D．
6．（2022广东）若圆台的高是3，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，母线与下底面成角，则这个圆台的侧面积是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2022春·辽宁抚顺·高一校联考期末）在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆柱的底面半径与圆锥的底面半径的比值为（ ）
A．B．2C．D．
8（2022春·广东潮州·高一饶平县第二中学校考期中）把一个铁制的底面半径为，侧面积为的实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的半径为（ ）
A．B．C．D．
9．（2022安徽亳州·高一统考期末）已知三棱柱所有的顶点都在球的球面上，球的体积是，，，则（ ）
A．B．C．D．
10（2022·高一单元测试）正八面体是每个面都是正三角形的八面体．如图所示，若此正八面体的棱长为2，则它的内切球的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
11．（2022春·山东青岛·高一山东省莱西市第一中学校考期中）已知，，三点均在球的表面上，，且球心到平面的距离等于球半径的，则下列结论正确的为（ ）
A．球的外切正方体的棱长为B．球的表面积为
C．球的内接正方体的棱长为D．球的半径为
12．（2022辽宁沈阳·高一东北育才学校校考阶段练习）若四面体的各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积不可能是（ ）
A．B．C．D．
13（2022山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）已知直三棱柱的底面为直角三角形，如图所示，，，，，则四面体的体积为__________，四棱锥的外接球的表面积为_________．
14．（2022秋·上海黄浦）将个边长为1的正三角形纸片，按如图方法将它拼剪成一个三棱柱，则这个三棱柱的体积为__________.
15（2022春·山东临沂·高一校考阶段练习）已知在正方体中，截下一个四棱锥，，E为棱中点.
(1)求四棱锥的表面积；
(2)求四棱锥的体积与剩余部分的体积之比；
(3)若点F是AB上的中点，求三棱锥的体积.
8.3 简单几何体的表面积与体积（精练）
1．（2022·高一课时练习）已知正四棱柱的侧棱长为，它的体对角线长为，则这个正四棱柱的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设底面边长为，由题意得，解得，所以侧面积为．
故选：B
2．（2022北京）已知正四棱锥的侧棱长为2，高为.则该正四棱锥的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
由题意可知，则，，
所以该正四棱锥的表面积为，故选：C
3．（2022春·北京平谷·高一统考期末）如图，在四棱柱中，底面是正方形，底面，，那么该四棱柱的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】在四棱柱中，底面是正方形，底面，，，
该四棱柱的体积为．故选：C．
4．（2022春·吉林长春·高一长春十一高校考阶段练习）以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意，所得几何体为高和底面半径均为2的圆柱体，所以几何体表面积为.故选：D
5．（2022春·云南昆明·高一校联考期中）将边长为2的正三角形绕着它的一条高线旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】边长为2的正三角形绕着它的一条高线旋转一周得到一个圆锥，所以该圆锥的底面半径为，圆锥的母线长为2，因此该圆锥的侧面积为，故选：B
6．（2023·四川成都·统考一模）若圆锥的侧面展开图为一个半圆面，则它的底面面积与侧面面积之比是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设圆锥的底面圆的半径为，扇形的半径为，由题意可得，，
所以，该圆锥的侧面积为，底面积为，
所以，该圆锥的底面面积与侧面面积之比是.故选：D.
7．（2023河北）以斜边长为2的等腰直角三角形一直角边为轴，旋转一周形成的几何体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可得所形成的几何体为圆锥，圆锥的高和底面半径均为，母线长为2，
所以圆锥的表面积为．故选：.
8．（2023·江苏扬州）已知圆锥的底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设圆锥的底面半径为，侧面展开扇形的半径为，
因为底面周长，所以扇形的弧长，所以，
所以圆锥的侧面积为，故选：D
9．（2023湖南娄底）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早 多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图 是阳马，，，，．则该阳马的外接球的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因，平面ABCD，平面ABCD，
则，又因四边形ABCD为矩形，则.
则阳马的外接球与以为长宽高的长方体的外接球相同.
又，，．则外接球的直径为长方体体对角线，故外接球半径为：，
则外接球的表面积为：
故选：B
10．（2023·湖南岳阳·0）已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，是球O的直径.若平面平面，，，球O的体积为，则三棱锥的体积为（ ）
A．9B．18C．27D．36
【答案】A
【解析】如图，三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，是球O的直径
O为中点，
∴，，
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，
设，由球O的体积为，可得，
则，
∴三棱锥的体积为9，
故选∶A．
11．（2022秋·四川达州）如图，所有棱长都等于的三棱柱的所有顶点都在球上，球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图，三棱柱外接球的球心在上下底面三角形中心连线的中点处，（分别是等边三角形和的中心，点是线段的中点，即外接球的球心），，,
所以球的体积.
故选：D
12．（2022·陕西西安）一个正四棱柱的每个顶点都在球的球面上，且该四棱柱的底面面积为3，高为，则球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设该正四棱柱的底面边长为，高为，则,，解得，
所以该正四棱柱的体对角线为球的直径，
设球的半径为，
所以，，即，
所以，球的体积为．
故选：B
13．（2023山东济南）若正四面体的表面积为，则其外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设正四面体的棱长为，由题意可知：，解得：，
所以正四面体的棱长为，
将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为，正方体的体对角线长为，
因为正四面体的外接球的直径为正方体的体对角线长，所以外接球半径，
则外接球的体积为，
故选：.
14．（2023河北石家庄）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧DE，AC所在圆的半径分别是3和6，且，则该圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设圆台上下底面的半径分别为，由题意可知，解得，
，解得：，作出圆台的轴截面，如图所示：
图中，，
过点向作垂线，垂足为，则，
所以圆台的高，
则上底面面积，，由圆台的体积计算公式可得：
，
故选：.
15．（2023·湖南益阳）在一次劳动技术课上，某12人的小组中的同学们利用图（一）的棱长为的正方体胶泥作为原料，每人制作一个图（二）的冰激淋胶泥模型（上部分为一个半球，下部分为一个以半球的大圆面为底的圆锥），则制作完成后剩下的胶泥约为（ ）（忽略制作过程中的损耗，）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题可知正方体胶泥的体积为，
每个冰激淋胶泥的体积为，
所以12个冰激淋胶泥的体积为，
所以.
故选：B.
16．（2023秋·安徽淮北）已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥的内切球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图，圆锥与内切球的轴截面图，点为球心，内切球的半径为，为切点，设，即
由条件可知，，
中，，即，解得：，
所以圆锥内切球的表面积.
故选：D
17．（2022秋·湖南张家界）如下图是一个正八面体，其每一个面都是正三角形，六个顶点都在球O的球面上，则球O与正八面体的体积之比是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意得正方形的中心即为外接球球心，设，则，
球的体积为，
而，故正八面体的体积，
得，
故选：A
18．（2022·高一课时练习）设正六棱柱的底面边长为1，侧棱长为5，那么它的体积为______．
【答案】
【解析】由正六棱柱可得底面为正六边形，则底面积，
即正六棱柱的体积.
故答案为：.
19．（2022秋·上海长宁）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高4cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为3cm．若不计容器的厚度，则球的体积为______
【答案】
【解析】过球心作与正方体的前后面平行的截面，如图，截球得大圆，截正方体得正方形，，线段是正方体上底面截球所得截面圆直径，虚线表示水面，，设球半径为，则，，
由勾股定理得，即，解得，
所以球体积为．
故答案为：．
20（2022秋·上海杨浦·高二校考期末）如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知球的直径为8cm，圆柱筒高为3cm.
(1)求这种“浮球”的体积；
(2)要在这样的3000个“浮球”的表面涂一层胶质，如果每平方厘米需要涂胶0.1克，共需胶多少克？
【答案】(1)(2)26400克
【解析】（1）由题意得该几何体由两个半球和一个圆柱筒组成，
所以体积为一个球体体积和一个圆柱体积之和，
由球体的体积为：，
圆柱体积为：，
所以浮球的体积为：.
（2）上下半球的表面积：，
圆柱侧面积：，
所以，1个浮球的表面积为，
3000个浮球的表面积为：，
因此每平方厘米需要涂胶0.1克，
共需胶克.
1．（2022春·山东潍坊·高一统考期末）（多选）已知正四棱台上、下底面边长分别为，侧棱长为，则（ ）
A．正四棱台的高为B．正四棱台的斜高为
C．正四棱台的表面积为D．正四棱台的体积为
【答案】BCD
【解析】对于A，正四棱台上下底面对角线长为，
正四棱台的高，A错误；
对于B，正四棱台的斜高，B正确；
对于C，正四棱台侧面积为，上下底面面积分别为，
正四棱台的表面积，C正确；
对于D，正四棱台的体积，D正确.
故选：BCD.
2．（2022山东青岛）已知圆台的上下底面半径分别为1和2，侧面积为，则该圆台的外接球半径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设圆台的高和母线分别为，球心到圆台上底面的距离为，
根据圆台的侧面积公式可得，
因此圆台的高，
当球心在圆台内部时，则，解得，故此时外接球半径为，
当球心在圆台外部时，则，，解得不符合要求，舍去，
故球半径为
故选：B
3（2022·全国·高一专题练习）（多选）圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为，则圆台的（ ）
A．母线长是20B．表面积是
C．高是D．体积是
【答案】ABD
【解析】如图所示，
设圆台的上底面周长为，因为扇环的圆心角为，所以，又，所以，同理，故圆台的母线，高，
体积，
表面积.
故选：ABD．
4．（2022春·贵州六盘水）已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设圆锥的底面半径为，侧面展开图的半圆半径为，则，即.
故圆锥的侧面积为，解得，圆锥的高为.
故圆锥的体积为.
故选：B
5．（2022·高一单元测试）如图，直三棱柱中，是的中点，则 （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为是的中点，，
，.故选：C.
6．（2022广东）若圆台的高是3，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，母线与下底面成角，则这个圆台的侧面积是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析由题意，可作该圆台的轴截面，如下图所示：
则圆台的高，
上底面半径，下底面半径，即，
母线，即，
在中，，，
易知在正方形中，，则，即，
综上，，
圆台的侧面积.
故选：B.
7．（2022春·辽宁抚顺·高一校联考期末）在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆柱的底面半径与圆锥的底面半径的比值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【解析如图所示，为圆锥的轴截面，
，设圆柱的底面圆半径为，高为，
圆锥的底面半径为，则圆锥的高为，母线长为，
由题意知，，
即；
由相似边成比例得，
即，
，
即，
，
即圆柱的底面半径与圆锥的底面半径的比值为．
故选：D．
8（2022春·广东潮州·高一饶平县第二中学校考期中）把一个铁制的底面半径为，侧面积为的实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的半径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析因为实心圆柱的底面半径为，侧面积为，
所以圆柱的高为，
则圆柱的体积为，
设球的半径为，则，
故选：C
9．（2022安徽亳州·高一统考期末）已知三棱柱所有的顶点都在球的球面上，球的体积是，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析设球的半径为，外接圆的半径为，
则，解得，
因为，，
由正弦定理得，外接圆的半径，
则．
故选：B
10（2022·高一单元测试）正八面体是每个面都是正三角形的八面体．如图所示，若此正八面体的棱长为2，则它的内切球的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析以内切球的球心为顶点、正八面体的八个面为底面，可将正八面体分为8个全等的正三棱锥，设内切球的半径为，则，
且正四棱锥的高为图中，易得，即：
解得：，所以，内切球的表面积为.
故选：C．
11．（2022春·山东青岛·高一山东省莱西市第一中学校考期中）已知，，三点均在球的表面上，，且球心到平面的距离等于球半径的，则下列结论正确的为（ ）
A．球的外切正方体的棱长为B．球的表面积为
C．球的内接正方体的棱长为D．球的半径为
【答案】A
【解析设球O的半径为，的外接圆半径为，则，
因为球心O到平面的距离等于球O半径的，
所以，得，即，故D错误；
球O的外切正方体的棱长b满足，故A正确；
所以球O的表面积，故B错误；
球O的内接正方体的棱长a满足，即，故C错误.
故选：A.
12．（2022辽宁沈阳·高一东北育才学校校考阶段练习）若四面体的各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析根据三角形的两边之和大于第三边可知四面体中棱长为1的棱最多有3条，
（1）若只有一条棱长为1，如图，其余棱长都为2，
取中点，中点，连接，则，又是平面内两相交直线，则平面，
由已知，则，，
，；
（2）若有两条棱长度为1，还是如（1）中图形，，
解法如（1），只是有，，
；
（3）若有三条棱长度为1，如图，，四面体为正三棱锥，
设是正三棱锥的高，是的外心，
则，，
所以，，
故选：D
13（2022山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）已知直三棱柱的底面为直角三角形，如图所示，，，，，则四面体的体积为__________，四棱锥的外接球的表面积为_________．
【答案】 1
【解析
由题意可得，且，则
因为外接圆的圆心即为中点，设为，
外接圆的圆心即为中点，设为，
则的中点到六个顶点的距离相等，
则的中点为外接球的球心，即为半径，
，
所以，
即外接球的表面积为
故答案为:，
14．（2022秋·上海黄浦）将个边长为1的正三角形纸片，按如图方法将它拼剪成一个三棱柱，则这个三棱柱的体积为__________.
【答案】
【解析因为三棱柱的上下底面全等，
所以如图所示：
底面边长，
又因为，所以，解得底面边长，
所以上下底面面积和，
因为纸片的面积，
所以每个小长方形的面积，
所以三棱柱的高，
所以三棱柱的体积.
故答案为：.
15（2022春·山东临沂·高一校考阶段练习）已知在正方体中，截下一个四棱锥，，E为棱中点.
(1)求四棱锥的表面积；
(2)求四棱锥的体积与剩余部分的体积之比；
(3)若点F是AB上的中点，求三棱锥的体积.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析（1）四棱锥的表面由正方形ABCD和四个直角三角形所围成，
，，，则与全等，与全等，
因为，，，
所以
（2）设剩余部分的体积为，因为EC为四棱柱的高，且
所以
又正方体体积，
（3），其中平面ABCD，
故
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