人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示课时训练

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示课时训练，共31页。试卷主要包含了平面向量的基本定理，基底的选择，平面向量的坐标表示，巧建坐标，奔驰定理，平面向量与四心等内容，欢迎下载使用。


典例精讲
考点一 平面向量的基本定理
【例1-1】（2022·河南·平顶山市）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且，则（ ）
A．B．C．D．
【例1-2】（2022广东）已知AD，BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，设，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【例1-3】（2022·安徽宣城·高一期末）中，点为上的点，且，若 ，则（ ）
A．B．C．D．
【例1-4】（2022·辽宁·东北育才学校高一阶段练习）如图，中，，，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2022·云南）在平行四边形中，分别是的中点，交于点，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·内蒙古赤峰）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若，则等于（ ）
A．1B．C．D．
3．（2022·山东潍坊）在平行四边形中，分别是的中点，，，则（ ）
A．B．C．D．
考点二 基底的选择
【例2】（2022·全国·高一课时练习）若向量与是平面上的两个不平行向量，下列向量不能作为一组基的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【一隅三反】
1．（2022·湖南）设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能作为基底的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
2．（2022·河南）已知，是平面内一组不共线的向量，则下列四组向量中，不能做基底的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
3．（2022·江苏省震泽中学高一期中）已知、是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的一组是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
考点三 平面向量的坐标表示
【例3-1】（2022·北京·高一期末）已知向量，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【例3-2】（2022·江西）向量，，．若三点共线，则的值为（ ）
A．B．1C．或11D．2或
【例3-3】（2022·江苏常州·高一期末）设平面向量，满足，，，则在上投影向量的模为（ ）.
A．B．C．3D．6
【例3-4】（2022·安徽·合肥市第六中学高一期中）与向量平行的单位向量是（ ）
A．B．
C．或D．或
【例3-4】（2022·山东）（多选）下列说法中正确的有（ ）
A．已知在上的投影向量为且，则；
B．已知，且与夹角为锐角，则的取值范围是；
C．若非零向量满足，则与的夹角是.
D．在中，若，则为锐角；
【一隅三反】
1．（2022·广东·饶平县）已知，是单位向量，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高一期末）已知向量，.若不超过5，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·安徽省淮南第五中学高一阶段练习）已知向量，，，则（ ）
A．B．C．5D．25
4．（2022·黑龙江）（多选）已知向量，，，，，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．的最小值为
考点四 巧建坐标
【例4-1】（2022·淄博模拟）如图在中，，为中点，，，，则（ ）
A．-15B．-13C．13D．14
【例4-2】（2022·全国·高一课时练习）（多选）已知是边长为2的等边三角形，D，E分别是，上的点，且，，与交于点O，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．在方向上的投影为
【一隅三反】
1．（2022·四川南充）在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·贵州贵阳）在边长为2的正方形中，是的中点，则（ ）
A．2B．C．D．4
3．（2022·广东）已知是边长为a的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
考点五 奔驰定理
【例5-1】（2011·辽宁沈阳·高三阶段练习）是所在平面内一点，，则与的面积比为_____
【例5-2】（2022·全国·高一课时练习）点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（ ）
A．B．3C．D．
【例5-3】（2022·全国·高一）已知是三角形内部一点，满足，，则实数（ ）
A．2B．3C．4D．5
【一隅三反】
1．（2021·四川德阳·高一期末）已知P是内部一点，且，则面积之比为（ ）
A．1：3：5B．5：3：1C．1：9：25D．25：9：1
2．（2022·河南商丘·高一期末）已知D为△ABC所在平面内一点，AD交BC于点E，且，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·广东深圳）点为内一点，，则的面积之比是___________.
考点六 平面向量与四心
【例6-1】（2022·重庆市第二十九中学校高一期中）（多选）已知为所在平面内的点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则为的中点
B．若，则为的重心
C．若，则为的垂心
D．若，则在的中位线上
【例6-2】（2022·山东枣庄·高一期中）（多选）点在所在的平面内，（ ）
A．若动点满足，则动点的轨迹一定经过的垂心
B．若动点满足，则动点的轨迹一定经过的重心
C．若，，分别表示，的面积，则
D．已知三个内角，，的对边分别是，，，若，则点为的内心（内切圆圆心）
【一隅三反】
1．（2021·上海市奉贤中学高一期中）设为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·山西运城·高一期末）已知点在所在的平面内，满足，则动点的轨迹一定通过的（ ）
A．内心B．垂心C．外心D．重心
3．（2022·河南开封·高一阶段练习）已知点是所在平面内的一个动点，满足（，则射线经过的（ ）
A．内心B．外心C．重心D．垂心
6.3 平面向量基本定理及坐标表示（精讲）
思维导图
典例精讲
考点一 平面向量的基本定理
【例1-1】（2022·河南·平顶山市）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
所以.故选：C.
【例1-2】（2022广东）已知AD，BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，设，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意所以2，①
同理得2即2.②
①×2＋②得4+2，即3，所以.故选：B.
【例1-3】（2022·安徽宣城·高一期末）中，点为上的点，且，若 ，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可得 ,
又，故，故，故选:B
【例1-4】（2022·辽宁·东北育才学校高一阶段练习）如图，中，，，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意得：，
，，，
三点共线，，即.故选：B.
【一隅三反】
1．（2022·云南）在平行四边形中，分别是的中点，交于点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】如图，
过点作的平行线交于，
则是的中点，且，，
又，所以，即，所以，
又，故选：B
2．（2022·内蒙古赤峰）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若，则等于（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意知，
因为，所以，，.故选：B.
3．（2022·山东潍坊）在平行四边形中，分别是的中点，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图所示，设，且，
则，
又因为，所以，解得，所以.故选：B.
考点二 基底的选择
【例2】（2022·全国·高一课时练习）若向量与是平面上的两个不平行向量，下列向量不能作为一组基的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】C
【解析】对于A，假设存在实数，使，则，方程组无解，即不存在实数，使，即与不共线，A不选；
对于B，假设存在实数，使，则，方程组无解，即不存在实数，使，即与不共线，B不选；
对于C，假设存在实数，使，则，解得，即与共线，选C；
对于D，假设存在实数，使，则，方程组无解，即不存在实数，使，即与不共线，D不选；故选：C
【一隅三反】
1．（2022·湖南）设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能作为基底的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】D
【解析】∵，是平面内的一组基底，∴，不共线，而，
则根据向量共线定理可得，与共线，根据基底的定义可知，选项D不符合题意.
其他三组中的向量均为不共线向量，故可作为基底向量.
故选:D.
2．（2022·河南）已知，是平面内一组不共线的向量，则下列四组向量中，不能做基底的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】D
【解析】A选项：令，因为，不共线，所以，无实数解，所以与不共线，故可以作为平面向量基底；
B选项：令，因为，不共线，所以，无实数解，所以与不共线，故可以作为平面向量基底；
C选项：令，因为，不共线，所以，无实数解，所以与不共线，故可以作为平面向量基底；
D选项：易知，即与共线，不能作为平面向量基底.
故选：D
3．（2022·江苏省震泽中学高一期中）已知、是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的一组是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】A
【解析】对于A选项，因为，则和共线，A选项不满足条件；
对于B选项，设，则，无解，
故和不共线，B选项能作为基底；
同理可知和不共线，和也不共线，CD选项均能作为基底.故选：A.
考点三 平面向量的坐标表示
【例3-1】（2022·北京·高一期末）已知向量，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，，，所以，又，
所以，解得.故选：B
【例3-2】（2022·江西）向量，，．若三点共线，则的值为（ ）
A．B．1C．或11D．2或
【答案】C
【解析】由题可得：，
.
因为三点共线，所以，所以，整理得，解得或.故选：C.
【例3-3】（2022·江苏常州·高一期末）设平面向量，满足，，，则在上投影向量的模为（ ）.
A．B．C．3D．6
【答案】A
【解析】由题意可知：在上投影向量为 ，
故在上投影向量的模为，故选：A
【例3-4】（2022·安徽·合肥市第六中学高一期中）与向量平行的单位向量是（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】D
【解析】因为与向量平行的单位向量是，,所以,故选：D
【例3-4】（2022·山东）（多选）下列说法中正确的有（ ）
A．已知在上的投影向量为且，则；
B．已知，且与夹角为锐角，则的取值范围是；
C．若非零向量满足，则与的夹角是.
D．在中，若，则为锐角；
【答案】AC
【解析】设与的夹角为，又因为在上的投影向量为，所以，即，所以，故A正确；
因为，则，又因为与夹角为锐角，
所以，且与不共线，即，解得，所以则的取值范围是，故B错误；
因为，两边同时平方得，即，所以，即，
因此
，又因为向量夹角的范围是，所以，故C正确；
因为，所以，
因为，故，又因为，故，因此为钝角，故D错误，故选：AC.
【一隅三反】
1．（2022·广东·饶平县）已知，是单位向量，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
因为，是单位向量，所以，所以，
所以，所以，故选：D
2．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高一期末）已知向量，.若不超过5，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
所以，因为不超过5，
所以，解得：，故选：C.
3．（2022·安徽省淮南第五中学高一阶段练习）已知向量，，，则（ ）
A．B．C．5D．25
【答案】C
【解析】由，可得
由，可得
又，则，解之得故选：C
4．（2022·黑龙江）（多选）已知向量，，，，，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．的最小值为
【答案】ABD
【解析】对于A选项，已知，则，解得，故A选择正确；
对于B选项，，由于，则，解得，故B选择正确；
对于C选项，由于，则，得，解得，故，故C选择不正确；
对于D选项，，
，
当时等号成立，即的最小值为，故D选项正确.故选：ABD
考点四 巧建坐标
【例4-1】（2022·淄博模拟）如图在中，，为中点，，，，则（ ）
A．-15B．-13C．13D．14
【答案】C
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，
又，，，
则，
即，即，
则，
则，，
则；
故答案为：C．
【例4-2】（2022·全国·高一课时练习）（多选）已知是边长为2的等边三角形，D，E分别是，上的点，且，，与交于点O，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．在方向上的投影为
【答案】BD
【解析】因为是边长为2的等边三角形，，
所以E为的中点，且，以E为原点建立平面直角坐标系，如图所示：
则，，，，,
由得，
则，
取的中点G，连接，易得且，
所以，所以，
则.
对于A，，故A错误；
对于B，由可得，故B正确；
对于C，，，，，
所以，
所以，故C错误；
对于D，，，
所以在方向上的投影为，故D正确.
故选：BD.
【一隅三反】
1．（2022·四川南充）在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】建立如图直角坐标系，则,
得,
所以，
故选：D.
2．（2022·贵州贵阳）在边长为2的正方形中，是的中点，则（ ）
A．2B．C．D．4
【答案】A
【解析】在平面直角坐标系中以为原点，所在直线为轴建立坐标系，则，，，，所以，故选：A
3．（2022·广东）已知是边长为a的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】以中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，
则，，，
设，则，，，
所以，
所以；
所以当，时，取得最小值是．故选：B．
考点五 奔驰定理
【例5-1】（2011·辽宁沈阳·高三阶段练习）是所在平面内一点，，则与的面积比为_____
【答案】
【解析】如图，设中点为,则.
因为,所以,即三点共线，且,
所以;因为为中线，所以，,所以有.
【例5-2】（2022·全国·高一课时练习）点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（ ）
A．B．3C．D．
【答案】D
【解析】如图，延长交于点，
设，则，
因为共线，所以，解得，所以，，
则，由，得，即，
所以，所以，所以.故选：D.
【例5-3】（2022·全国·高一）已知是三角形内部一点，满足，，则实数（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【解析】如图，令，则：三点共线；与共线反向，；
；解得．
故选：C．
【一隅三反】
1．（2021·四川德阳·高一期末）已知P是内部一点，且，则面积之比为（ ）
A．1：3：5B．5：3：1C．1：9：25D．25：9：1
【答案】B
【解析】设的面积为，由，得，
有，又，令，则三点共线，且，
即点在上，且，
所以以为底，的高为的，
故，同理可得，，
所以.故选：B
2．（2022·河南商丘·高一期末）已知D为△ABC所在平面内一点，AD交BC于点E，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图，AD交BC于点E，
，设.
由B，E，C三点共线可得，解之得
∴，则
∴.设，则，
又，则
∴，∴.
故选：C
3．（2023·广东深圳）点为内一点，，则的面积之比是___________.
【答案】
【解析】因为，所以，
设为中点，为中点，为三角形的中位线，则，
因为，
可得，所以三点共线，且，
则，，
分别设，
由图可知，，，
则，所以，而，所以，
所以，，
所以，
即的面积之比等于.
故答案为：.
考点六 平面向量与四心
【例6-1】（2022·重庆市第二十九中学校高一期中）（多选）已知为所在平面内的点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则为的中点
B．若，则为的重心
C．若，则为的垂心
D．若，则在的中位线上
【答案】ABD
【解析】A选项，，，所以为的中点，A正确.
B选项，如下图所示，设是的中点，由得，即三点共线，且，所以是的重心.
C选项，由，得，
所以，所以在边的高上，不一定是垂心，C错误.
D选项，如下图所示，设分别是的中点，，即，，，即三点共线，且，所以在的中位线上.
故选：ABD
【例6-2】（2022·山东枣庄·高一期中）（多选）点在所在的平面内，（ ）
A．若动点满足，则动点的轨迹一定经过的垂心
B．若动点满足，则动点的轨迹一定经过的重心
C．若，，分别表示，的面积，则
D．已知三个内角，，的对边分别是，，，若，则点为的内心（内切圆圆心）
【答案】CD
【解析】对于A，设的中点为，连，如图：
因为，所以，
所以，即与共线，
所以动点的轨迹一定经过的重心，故A不正确；
对于B，由A可知，只有当时，动点的轨迹才经过的重心，故B不正确；
对于C，因为，所以，
设、的中点分别为、，则，

所以，故C正确；
对于D，延长交于，
因为，所以，
所以，
设，，则，
因为与不共线，所以，，
所以，即，所以，即，
所以为的平分线，同理得为的平分线，为的平分线，
所以为的内心.故D正确.故选：CD
【一隅三反】
1．（2021·上海市奉贤中学高一期中）设为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】延长到，使，延长到，使，连接，
因为，所以，
所以为的重心，
所以设，则，,
所以,
所以，
故选：D
2．（2022·山西运城·高一期末）已知点在所在的平面内，满足，则动点的轨迹一定通过的（ ）
A．内心B．垂心C．外心D．重心
【答案】D
【解析】令边BC上的高为h，则有，令边BC的中点为D，则，
因此，，即，
所以动点的轨迹一定通过的重心.
故选：D
3．（2022·河南开封·高一阶段练习）已知点是所在平面内的一个动点，满足（，则射线经过的（ ）
A．内心B．外心C．重心D．垂心
【答案】A
【解析】，分别表示的是方向上的单位向量，由向量加法运算法则可知：射线在角A的平分线所在射线上，故射线经过的内心.
故选：A