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数学必修 第二册6.4 平面向量的应用课时作业
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这是一份数学必修 第二册6.4 平面向量的应用课时作业，共21页。试卷主要包含了在平面四边形中，，，等内容，欢迎下载使用。
1．（2022·全国·高一课时练习）一艘客船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东方向，之后它以每小时32海里的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得船与灯塔S相距海里，则灯塔S在B处的（ ）
A．北偏东B．北偏东或南偏东
C．南偏东D．以上方位都不对
2．（2022·黑龙江）（多选）在中，内角，，所对的边分别为，，，，内角的平分线交于点且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．的最小值是2
C．的最小值是D．的面积最小值是
3．（2022·云南）（多选）设，，分别为锐角三个内角，，的对边，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．的取值范围是D．的取值范围是
4．（2022·全国·高二课时练习）一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向东2.一艘小货船准备从河南岸的码头A处出发，航行到位于河对岸B（AB与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距250的码头C处卸货.若流水的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6，则当小货船的航程最短时，小货船航行的速度大小是___________.
5．（2022·山东聊城一中高一期中）2021年6月，位于聊城开发区的中华路徒骇河大桥建成通车，成为聊城市的又一大地标性建筑.某人想了解大桥的最高点到地面的距离，在地面上的两点测得最高点的仰角分别为（点与在地面上的投影O在同一条直线上），又量得米，根据测量数据可得高度______米.
6．（2021·陕西）宝塔山是延安的标志，是革命圣地的象征，也是中国革命的摇篮，见证了中国革命的进程，在中国老百姓的心中具有重要地位.如图，在宝塔山的山坡A处测得，从A处沿山坡直线往上前进到达B处，在山坡B处测得，，则宝塔CD的高约为_________m.（，，结果取整数）
7．（2022·陕西）若在中，，则面积S的取值范围是___________．
8．（2022·广东）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．若的外接圆的面积为，则三角形面积的取值范围是____________．
9．（2022·江苏）如图，在中，，AB＝8，点D在边BC上，，CD＝2．
(1)求的值；
(2)求的值．
10．（2022·四川）在平面四边形中，，，．
(1)若的面积为，求；
(2)记，若，，求．
11．（2022·上海）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c、满足．
(1)求角B的大小；
(2)若，求的面积的最大值．
12．（2022·江西·金溪一中）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角B的大小；
(2)若，求周长的取值范闱．
13．（2022·广东）在平面四边形ABCD中，AD＝BD＝1，．
(1)求四边形ABCD面积的最大值；
(2)求对角线AC长的取值范围．
14．（2022·上海市曹杨中学高一期末）已知函数．
(1)求函数在区间上的严格减区间；
(2)在中，所对应的边为，且，求面积的最大．
15．（2022·黑龙江·大庆中学二模（理））在中，.
(1)求的大小；
(2)若，证明：.
16．（2022·广东）如图，已知△ABC内有一点P，满足．
(1)证明：．
(2)若，，求PC．
17．（2022·河北·衡水市第二中学高二期中）在①，②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.
在中，内角所对的边分别是，且__________.
(1)求角；
(2)若点满足，且线段，求的最大值.
18（2022·上海）已知，，
（1）求的最小正周期及单调递减区间；
（2）已知锐角的内角的对边分别为，且，，求边上的高的最大值．
6.4.2 平面向量的应用（精练）
1．（2022·全国·高一课时练习）一艘客船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东方向，之后它以每小时32海里的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得船与灯塔S相距海里，则灯塔S在B处的（ ）
A．北偏东B．北偏东或南偏东
C．南偏东D．以上方位都不对
【答案】B
【解析】如图所示，由题意可知（海里），海里，，
在中，由，得，所以或，故或，
即灯塔S在B处的北偏东或南偏东．故选：B.
2．（2022·黑龙江）（多选）在中，内角，，所对的边分别为，，，，内角的平分线交于点且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．的最小值是2
C．的最小值是D．的面积最小值是
【答案】ABD
【解析】由题意得：，
由角平分线以及面积公式得，
化简得，所以，故A正确；
，当且仅当时取等号，，，
所以，当且仅当时取等号，故D正确；
由余弦定理
所以，即的最小值是，当且仅当时取等号，故B正确；
对于选项：由得：，，
当且仅当，即时取等号，故C错误；故选：ABD．
3．（2022·云南）（多选）设，，分别为锐角三个内角，，的对边，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．的取值范围是D．的取值范围是
【答案】BD
【解析】由正弦定理得即 ，故B对，A错；
又
又锐角中解得 ，故
故选：BD
4．（2022·全国·高二课时练习）一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向东2.一艘小货船准备从河南岸的码头A处出发，航行到位于河对岸B（AB与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距250的码头C处卸货.若流水的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6，则当小货船的航程最短时，小货船航行的速度大小是___________.
【答案】
【解析】由题意，当小货船的航程最短时，航线路线为线段，
设小货船航行速度为，水流的速度为，水流的速度与小货船航行的速度的合速度为，作出示意图如下：
因为一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向正东，
，在中，有，
所以，所以，
所以，
所以小货船航行速度的大小为．故答案为：
5．（2022·山东聊城一中高一期中）2021年6月，位于聊城开发区的中华路徒骇河大桥建成通车，成为聊城市的又一大地标性建筑.某人想了解大桥的最高点到地面的距离，在地面上的两点测得最高点的仰角分别为（点与在地面上的投影O在同一条直线上），又量得米，根据测量数据可得高度______米.
【答案】
【解析】由题可得，所以米，由正弦定理可得米.故答案为：
6．（2021·陕西）宝塔山是延安的标志，是革命圣地的象征，也是中国革命的摇篮，见证了中国革命的进程，在中国老百姓的心中具有重要地位.如图，在宝塔山的山坡A处测得，从A处沿山坡直线往上前进到达B处，在山坡B处测得，，则宝塔CD的高约为_________m.（，，结果取整数）
【答案】44
【解析】因为，，，所以，
所以，所以，
因为，所以，
，
在中，由正弦定理得，
，所以
所以，故答案为：44.
7．（2022·陕西）若在中，，则面积S的取值范围是___________．
【答案】
【解析】根据题意可得，当且仅当时取得最大值；
故，又，故.故答案为：.
8．（2022·广东）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．若的外接圆的面积为，则三角形面积的取值范围是____________．
【答案】
【解析】由∴
得，所以，
因为所以，所以，而，所以．
又由的外接圆的面积为，所以外接圆直径，
所以，
因为为锐角三角形，所以，的面积取值范围为．故答案为：.
9．（2022·江苏）如图，在中，，AB＝8，点D在边BC上，，CD＝2．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）∵，∴，
则．
所以，所以．
（2）在中，由正弦定理得，则BC＝BD＋CD＝5，
在中，由余弦定理得，即AC＝7，
所以．
10．（2022·四川）在平面四边形中，，，．
(1)若的面积为，求；
(2)记，若，，求．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)解：，解得，
由余弦定理得，因此，.
(2)解：在中，，
在中，，
由正弦定理得，即，
所以，，即，故.
11．（2022·上海）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c、满足．
(1)求角B的大小；
(2)若，求的面积的最大值．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）因为，
由余弦定理得，又，所以.
（2）因为，由（1）得，当且仅当时取等号，所以，
面积所以三角形面积的最大值为．
12．（2022·江西·金溪一中）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角B的大小；
(2)若，求周长的取值范闱．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）由正弦定理得，
整理得，
即，
∵，，角B为锐角，∴．
（2）由正弦定理，
可得，，
∴
．
∵是锐角三角形，
∴，解得，
∴，
∴，
∴，即，而，
∴周长的取值范围为．
13．（2022·广东）在平面四边形ABCD中，AD＝BD＝1，．
(1)求四边形ABCD面积的最大值；
(2)求对角线AC长的取值范围．
【答案】(1)；(2)．
【解析】（1）因为AD＝BD＝1，，所以三角形ABD为正三角形．设BC＝a，CD＝b．
在三角形BCD中，由余弦定理得，
所以，
所以，
因为，所以，当且仅当时取等号，
所以四边形ABCD的面积，即最大值为；
（2）设，
在三角形BCD中，由正弦定理得，
，所以，
在三角形ABC中，由余弦定理得，
，
因为，所以，所以．
14．（2022·上海市曹杨中学高一期末）已知函数．
(1)求函数在区间上的严格减区间；
(2)在中，所对应的边为，且，求面积的最大．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）
方法1：则： ，即：，
当k=0时，
∴
∴在区间上的严格减区间为.
方法2：∵，
∴
∵在区间上严格单减
∴
∴
∴在区间上的严格减区间为.
（2）由（1）知：，即：
又∵
∴
∴
方法1：由余弦定理得： ，
∴ ①
又∵，当且仅当b=c时去等号. ②
由①②得： ，当且仅当b=c时去等号.
∴△ABC的面积最大值为；
方法2：由正弦定理得：
，
∵
∴ ，
∴
∴当时，即：时，取得最大值为1，
∴ ，
∴ ，
∴△ABC的面积最大值为.
15．（2022·黑龙江·大庆中学二模（理））在中，.
(1)求的大小；
(2)若，证明：.
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【解析】(1)在中，∵，
∴，∴，∴，∵，∴；
(2)∵，∴．由余弦定理得①，
∵，∴②，将②代入①，得，
整理得，∴．
16．（2022·广东）如图，已知△ABC内有一点P，满足．
(1)证明：．
(2)若，，求PC．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）证明：
在△ABP中，由正弦定理得，
即，
要证明，只需证明，
在△ABP中，，
在△ABC中，，
所以，
所以，
所以．
（2）由（1）知，又因为，，
所以，
由已知得△ABC为等腰直角三角形，所以，
则，
所以在△PBC中，，
由正弦定理得，
即，
即．
由余弦定理得，
由题意知，
故解得，
所以．
17．（2022·河北·衡水市第二中学高二期中）在①，②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.
在中，内角所对的边分别是，且__________.
(1)求角；
(2)若点满足，且线段，求的最大值.
【答案】(1).(2)6.
【解析】（1）选①，由 及正弦定理可得:
,
所以， ，
因为 ，所以 ，则,
所以 故；
选②，由 及正弦定理可得 ，
所以，，
∵ ，所以 ，则.
（2）如图：
点满足，则,故，
又，故，
即，即，
又 ，所以，当其仅当时取等号，
即 ，故，即得最大值为6
18（2022·上海）已知，，
（1）求的最小正周期及单调递减区间；
（2）已知锐角的内角的对边分别为，且，，求边上的高的最大值．
【答案】（1）最小正周期为；单调递减区间为；（2）．
【解析】（1）
．
的最小正周期为：；
当时，
即当时，函数单调递减，
所以函数单调递减区间为：；
（2）因为，所以
，，
，．
设边上的高为，所以有，
由余弦定理可知：，
，，
（当用仅当时，取等号），所以，
因此边上的高的最大值.
1．（2022·全国·高一课时练习）一艘客船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东方向，之后它以每小时32海里的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得船与灯塔S相距海里，则灯塔S在B处的（ ）
A．北偏东B．北偏东或南偏东
C．南偏东D．以上方位都不对
2．（2022·黑龙江）（多选）在中，内角，，所对的边分别为，，，，内角的平分线交于点且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．的最小值是2
C．的最小值是D．的面积最小值是
3．（2022·云南）（多选）设，，分别为锐角三个内角，，的对边，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．的取值范围是D．的取值范围是
4．（2022·全国·高二课时练习）一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向东2.一艘小货船准备从河南岸的码头A处出发，航行到位于河对岸B（AB与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距250的码头C处卸货.若流水的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6，则当小货船的航程最短时，小货船航行的速度大小是___________.
5．（2022·山东聊城一中高一期中）2021年6月，位于聊城开发区的中华路徒骇河大桥建成通车，成为聊城市的又一大地标性建筑.某人想了解大桥的最高点到地面的距离，在地面上的两点测得最高点的仰角分别为（点与在地面上的投影O在同一条直线上），又量得米，根据测量数据可得高度______米.
6．（2021·陕西）宝塔山是延安的标志，是革命圣地的象征，也是中国革命的摇篮，见证了中国革命的进程，在中国老百姓的心中具有重要地位.如图，在宝塔山的山坡A处测得，从A处沿山坡直线往上前进到达B处，在山坡B处测得，，则宝塔CD的高约为_________m.（，，结果取整数）
7．（2022·陕西）若在中，，则面积S的取值范围是___________．
8．（2022·广东）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．若的外接圆的面积为，则三角形面积的取值范围是____________．
9．（2022·江苏）如图，在中，，AB＝8，点D在边BC上，，CD＝2．
(1)求的值；
(2)求的值．
10．（2022·四川）在平面四边形中，，，．
(1)若的面积为，求；
(2)记，若，，求．
11．（2022·上海）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c、满足．
(1)求角B的大小；
(2)若，求的面积的最大值．
12．（2022·江西·金溪一中）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角B的大小；
(2)若，求周长的取值范闱．
13．（2022·广东）在平面四边形ABCD中，AD＝BD＝1，．
(1)求四边形ABCD面积的最大值；
(2)求对角线AC长的取值范围．
14．（2022·上海市曹杨中学高一期末）已知函数．
(1)求函数在区间上的严格减区间；
(2)在中，所对应的边为，且，求面积的最大．
15．（2022·黑龙江·大庆中学二模（理））在中，.
(1)求的大小；
(2)若，证明：.
16．（2022·广东）如图，已知△ABC内有一点P，满足．
(1)证明：．
(2)若，，求PC．
17．（2022·河北·衡水市第二中学高二期中）在①，②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.
在中，内角所对的边分别是，且__________.
(1)求角；
(2)若点满足，且线段，求的最大值.
18（2022·上海）已知，，
（1）求的最小正周期及单调递减区间；
（2）已知锐角的内角的对边分别为，且，，求边上的高的最大值．
6.4.2 平面向量的应用（精练）
1．（2022·全国·高一课时练习）一艘客船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东方向，之后它以每小时32海里的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得船与灯塔S相距海里，则灯塔S在B处的（ ）
A．北偏东B．北偏东或南偏东
C．南偏东D．以上方位都不对
【答案】B
【解析】如图所示，由题意可知（海里），海里，，
在中，由，得，所以或，故或，
即灯塔S在B处的北偏东或南偏东．故选：B.
2．（2022·黑龙江）（多选）在中，内角，，所对的边分别为，，，，内角的平分线交于点且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．的最小值是2
C．的最小值是D．的面积最小值是
【答案】ABD
【解析】由题意得：，
由角平分线以及面积公式得，
化简得，所以，故A正确；
，当且仅当时取等号，，，
所以，当且仅当时取等号，故D正确；
由余弦定理
所以，即的最小值是，当且仅当时取等号，故B正确；
对于选项：由得：，，
当且仅当，即时取等号，故C错误；故选：ABD．
3．（2022·云南）（多选）设，，分别为锐角三个内角，，的对边，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．的取值范围是D．的取值范围是
【答案】BD
【解析】由正弦定理得即 ，故B对，A错；
又
又锐角中解得 ，故
故选：BD
4．（2022·全国·高二课时练习）一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向东2.一艘小货船准备从河南岸的码头A处出发，航行到位于河对岸B（AB与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距250的码头C处卸货.若流水的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6，则当小货船的航程最短时，小货船航行的速度大小是___________.
【答案】
【解析】由题意，当小货船的航程最短时，航线路线为线段，
设小货船航行速度为，水流的速度为，水流的速度与小货船航行的速度的合速度为，作出示意图如下：
因为一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向正东，
，在中，有，
所以，所以，
所以，
所以小货船航行速度的大小为．故答案为：
5．（2022·山东聊城一中高一期中）2021年6月，位于聊城开发区的中华路徒骇河大桥建成通车，成为聊城市的又一大地标性建筑.某人想了解大桥的最高点到地面的距离，在地面上的两点测得最高点的仰角分别为（点与在地面上的投影O在同一条直线上），又量得米，根据测量数据可得高度______米.
【答案】
【解析】由题可得，所以米，由正弦定理可得米.故答案为：
6．（2021·陕西）宝塔山是延安的标志，是革命圣地的象征，也是中国革命的摇篮，见证了中国革命的进程，在中国老百姓的心中具有重要地位.如图，在宝塔山的山坡A处测得，从A处沿山坡直线往上前进到达B处，在山坡B处测得，，则宝塔CD的高约为_________m.（，，结果取整数）
【答案】44
【解析】因为，，，所以，
所以，所以，
因为，所以，
，
在中，由正弦定理得，
，所以
所以，故答案为：44.
7．（2022·陕西）若在中，，则面积S的取值范围是___________．
【答案】
【解析】根据题意可得，当且仅当时取得最大值；
故，又，故.故答案为：.
8．（2022·广东）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．若的外接圆的面积为，则三角形面积的取值范围是____________．
【答案】
【解析】由∴
得，所以，
因为所以，所以，而，所以．
又由的外接圆的面积为，所以外接圆直径，
所以，
因为为锐角三角形，所以，的面积取值范围为．故答案为：.
9．（2022·江苏）如图，在中，，AB＝8，点D在边BC上，，CD＝2．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）∵，∴，
则．
所以，所以．
（2）在中，由正弦定理得，则BC＝BD＋CD＝5，
在中，由余弦定理得，即AC＝7，
所以．
10．（2022·四川）在平面四边形中，，，．
(1)若的面积为，求；
(2)记，若，，求．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)解：，解得，
由余弦定理得，因此，.
(2)解：在中，，
在中，，
由正弦定理得，即，
所以，，即，故.
11．（2022·上海）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c、满足．
(1)求角B的大小；
(2)若，求的面积的最大值．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）因为，
由余弦定理得，又，所以.
（2）因为，由（1）得，当且仅当时取等号，所以，
面积所以三角形面积的最大值为．
12．（2022·江西·金溪一中）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角B的大小；
(2)若，求周长的取值范闱．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）由正弦定理得，
整理得，
即，
∵，，角B为锐角，∴．
（2）由正弦定理，
可得，，
∴
．
∵是锐角三角形，
∴，解得，
∴，
∴，
∴，即，而，
∴周长的取值范围为．
13．（2022·广东）在平面四边形ABCD中，AD＝BD＝1，．
(1)求四边形ABCD面积的最大值；
(2)求对角线AC长的取值范围．
【答案】(1)；(2)．
【解析】（1）因为AD＝BD＝1，，所以三角形ABD为正三角形．设BC＝a，CD＝b．
在三角形BCD中，由余弦定理得，
所以，
所以，
因为，所以，当且仅当时取等号，
所以四边形ABCD的面积，即最大值为；
（2）设，
在三角形BCD中，由正弦定理得，
，所以，
在三角形ABC中，由余弦定理得，
，
因为，所以，所以．
14．（2022·上海市曹杨中学高一期末）已知函数．
(1)求函数在区间上的严格减区间；
(2)在中，所对应的边为，且，求面积的最大．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）
方法1：则： ，即：，
当k=0时，
∴
∴在区间上的严格减区间为.
方法2：∵，
∴
∵在区间上严格单减
∴
∴
∴在区间上的严格减区间为.
（2）由（1）知：，即：
又∵
∴
∴
方法1：由余弦定理得： ，
∴ ①
又∵，当且仅当b=c时去等号. ②
由①②得： ，当且仅当b=c时去等号.
∴△ABC的面积最大值为；
方法2：由正弦定理得：
，
∵
∴ ，
∴
∴当时，即：时，取得最大值为1，
∴ ，
∴ ，
∴△ABC的面积最大值为.
15．（2022·黑龙江·大庆中学二模（理））在中，.
(1)求的大小；
(2)若，证明：.
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【解析】(1)在中，∵，
∴，∴，∴，∵，∴；
(2)∵，∴．由余弦定理得①，
∵，∴②，将②代入①，得，
整理得，∴．
16．（2022·广东）如图，已知△ABC内有一点P，满足．
(1)证明：．
(2)若，，求PC．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）证明：
在△ABP中，由正弦定理得，
即，
要证明，只需证明，
在△ABP中，，
在△ABC中，，
所以，
所以，
所以．
（2）由（1）知，又因为，，
所以，
由已知得△ABC为等腰直角三角形，所以，
则，
所以在△PBC中，，
由正弦定理得，
即，
即．
由余弦定理得，
由题意知，
故解得，
所以．
17．（2022·河北·衡水市第二中学高二期中）在①，②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.
在中，内角所对的边分别是，且__________.
(1)求角；
(2)若点满足，且线段，求的最大值.
【答案】(1).(2)6.
【解析】（1）选①，由 及正弦定理可得:
,
所以， ，
因为 ，所以 ，则,
所以 故；
选②，由 及正弦定理可得 ，
所以，，
∵ ，所以 ，则.
（2）如图：
点满足，则,故，
又，故，
即，即，
又 ，所以，当其仅当时取等号，
即 ，故，即得最大值为6
18（2022·上海）已知，，
（1）求的最小正周期及单调递减区间；
（2）已知锐角的内角的对边分别为，且，，求边上的高的最大值．
【答案】（1）最小正周期为；单调递减区间为；（2）．
【解析】（1）
．
的最小正周期为：；
当时，
即当时，函数单调递减，
所以函数单调递减区间为：；
（2）因为，所以
，，
，．
设边上的高为，所以有，
由余弦定理可知：，
，，
（当用仅当时，取等号），所以，
因此边上的高的最大值.
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