高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示课堂检测

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A．B．C．D．
2．（2022·福建）已知平行四边形中，，，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·上海）已知点、，且，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全国·高一专题练习）已知向量，且，则的值为（ ）
A．5B．10C．15D．20
5．（2022·全国·高一课时练习）（多选）已知是平面内的一组基底，则下列向量中能作为一组基底的是（ ）
A．和B．和C．和D．和
6．（2022·江苏·苏州外国语学校高一期末）（多选）如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为的中点，则结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2022·河北）（多选）已知向量，若，则以下结论正确的是（ ）
A．时与同向B．时与同向
C．时与反向D．时与反向
8．（2022·太原市）如图四边形ABCD为平行四边形，，若，则的值为
A．B．C．D．1
9．（2022广东）在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足，．若，则实数＋的值为（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·安徽·合肥世界外国语学校高一期末）（多选）设向量，，则 （ ）
A．B．
C．D．与的夹角为
11．（2022·黑龙江）（多选）已知，则下列叙述正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．的最小值为5D．若向量与向量的夹角为钝角，则
12．（2022·全国·高一课时练习）如图，在中，是的中点，若，则实数的值是__________.
13．（2022云南）已知点是所在平面内的一点，若，则__________．
14．（2023·山西）点是所在平面内一点，若，则_______.
15．（2022·吉林·白城市通榆县毓才高级中学有限责任公司高一阶段练习）已知平面向量，，.
(1)若，求；
(2)若与的夹角为锐角，求x的取值范围.
16．（2022·上海市第十中学高一期末）已知向量，，.
(1)若，，三点共线，求实数的值；
(2)若为锐角，求实数的取值范围.
1．（2022·黑龙江·杜尔伯特蒙古族自治县第一中学高一阶段练习）向量，且向量与向量方向相同，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·黑龙江）（多选）已知向量，其中m，n均为正数，且，下列说法正确的是（ ）
A．与的夹角为钝角B．向量在方向上的投影为
C．D．的最大值为2
3．（2022·河南·商水县实验高级中学高一阶段练习）（多选）已知向量=（2，1），，则（ ）
A．若，则B．向量在向量上的投影向量为
C．与的夹角余弦值为D．
4．（2021·山东·高一阶段练习）（多选）已知平行四边形的三个顶点坐标分别为，则第四个顶点的坐标可以是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·重庆·高一学业考试）（多选）已知向量，则下列命题正确的是（ ）
A．B．若，则
C．存在唯一的使得D．的最大值为
6．（2022·河南濮阳·高一期中）如图所示，在中，点是的中点，且与相交于点，若，则满足（ ）
A．B．
C．D．
7．（2022·安徽省岳西县汤池中学高一阶段练习）（多选）在中，D，E，F分别是边的中点，点G为的重心，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2022·山东省临沂第一中学高一阶段练习）（多选）已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是的重心，动点P满足，则点P一定不是（ ）
A．边中线的中点
B．边中线的三等分点（非重心）
C．的重心
D．边的中点
9．（2021·湖南·高一期末）（多选）已知的重心为，过点的直线与边，的交点分别为，，若，且与的面积之比为，则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．3
10．（2022·安徽省淮南第五中学高一阶段练习）（多选）在△ABC中，下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．若，则是等腰三角形
D．若则是锐角三角形
11．（2021·上海·高一课时练习）已知向量＝(1，1)，＝(1，－1)，＝(cs α， sin α)(α∈R)，实数m，n满足m＋n＝，则(m－3)2＋n2的最大值为________．
12．（2022·上海·复旦附中高一期末）已知向量，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是_____．
13．（2022·陕西西安·高一期末）已知点，其中，则的取值范围为___________.
14．（2022·云南）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6.3 平面向量基本定理及坐标表示（精练）
1．（2022·河南）如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，则可以表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设平面直角坐标系为O，由题得，.
则.故选：C
2．（2022·福建）已知平行四边形中，，，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设点的坐标为，则，即，解得，即.
故选：C.
3．（2022·上海）已知点、，且，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设为坐标原点，,
整理得.故选：A
4．（2022·全国·高一专题练习）已知向量，且，则的值为（ ）
A．5B．10C．15D．20
【答案】A
【解析】因为，所以，解得，所以，
则，所以，故选：A
5．（2022·全国·高一课时练习）（多选）已知是平面内的一组基底，则下列向量中能作为一组基底的是（ ）
A．和B．和C．和D．和
【答案】ABD
【解析】对于A，与不共线，故可作为一组基底，故A正确；
对于B，和不共线，故可作为一组基底，故B正确；
对于C，，故不能作为一组基底，故C错误；
对于D，和不共线，故可作为一组基底，故D正确.
故选:ABD.
6．（2022·江苏·苏州外国语学校高一期末）（多选）如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为的中点，则结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【解析】对于A，四边形为梯形，，，为中点，即有，
则四边形为平行四边形，，A正确；
对于B，为中点，，B正确；
对于C，为的中点，，C不正确；
对于D，由选项A知，，，D不正确.故选：AB
7．（2022·河北）（多选）已知向量，若，则以下结论正确的是（ ）
A．时与同向B．时与同向
C．时与反向D．时与反向
【答案】AD
【解析】，则即或，
当时，与的方向相同，故A成立；
当时，与的方向相反，故D成立.故选:AD.
8．（2022·太原市）如图四边形ABCD为平行四边形，，若，则的值为
A．B．C．D．1
【答案】D
【解析】选取为基底，则，
又，
将以上两式比较系数可得．故选D．
9．（2022广东）在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足，．若，则实数＋的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意，设，则在平行四边形ABCD中，
因为，，所以点E为BC的中点，点F在线段DC上，且，
所以，
又因为，且，
所以，
所以，解得，所以。
故选：B.
10．（2022·安徽·合肥世界外国语学校高一期末）（多选）设向量，，则 （ ）
A．B．
C．D．与的夹角为
【答案】CD
【解析】由题意，，，
则 ， ，故A错误；
易知，由，
所以与不平行，故B错误；
又 ，即，故C正确；
因为 ，
又 ，所以与的夹角为，故D正确．故选：CD．
11．（2022·黑龙江）（多选）已知，则下列叙述正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．的最小值为5D．若向量与向量的夹角为钝角，则
【答案】AD
【解析】对于A，若，则，解得：，A正确；
对于B，若，则，解得：，B错误；
对于C，因为，所以，则当时，，，C错误；
对于D，若向量与向量的夹角为钝角，则，解得，由上可知，此时两向量不共线，D正确.故选：AD.
12．（2022·全国·高一课时练习）如图，在中，是的中点，若，则实数的值是__________.
【答案】
【解析】因为，所以为的中点，
因为是的中点，
所以，
所以,
因为，
所以，故答案为：
13．（2022云南）已知点是所在平面内的一点，若，则__________．
【答案】
【解析】如图，设为的中点，为的中点，为的中点，
因为，
所以可得，
整理得.又，
所以，所以，
又，所以．
故答案为
14．（2023·山西）点是所在平面内一点，若，则_______.
【答案】
【解析】如图所示,
∵点是所在平面内一点,且满足,
∴点在边上且.
∴.故答案为：
15．（2022·吉林·白城市通榆县毓才高级中学有限责任公司高一阶段练习）已知平面向量，，.
(1)若，求；
(2)若与的夹角为锐角，求x的取值范围.
【答案】(1)2或；(2)
【解析】（1）由题意得：，解得：或，
当时，，所以；
当时，，
所以；
（2）因为与的夹角为锐角，
所以，且与不同向共线，
即，
解得：，且，
综上：x的取值范围是.
16．（2022·上海市第十中学高一期末）已知向量，，.
(1)若，，三点共线，求实数的值；
(2)若为锐角，求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）解：因为，，，
所以，，
因为，，三点共线，所以与共线，所以，解得.
所以实数的值
（2）解：因为向量，，，
所以，，
因为为锐角，所以且与不共线，即，解得且，
所以，实数的取值范围是
1．（2022·黑龙江·杜尔伯特蒙古族自治县第一中学高一阶段练习）向量，且向量与向量方向相同，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为向量与向量方向相同，则存在实数，使得
即所以，
因为，所以所以因为，所以故选:B.
2．（2022·黑龙江）（多选）已知向量，其中m，n均为正数，且，下列说法正确的是（ ）
A．与的夹角为钝角B．向量在方向上的投影为
C．D．的最大值为2
【答案】CD
【解析】对于A，因为所以，
则与的夹角为锐角，故A错误；
对于B，因为
所以向量在方向上的投影为，故B错误；
对于C，因为所以.
因为，，所以，即，故C正确；
对于D，因为，，
所以，当且仅当,即时取等号，
故的最大值为2，故D正确.故选:CD.
3．（2022·河南·商水县实验高级中学高一阶段练习）（多选）已知向量=（2，1），，则（ ）
A．若，则B．向量在向量上的投影向量为
C．与的夹角余弦值为D．
【答案】ABC
【解析】对于A选项，若，则，所以，A正确；
对于B选项，设向量在向量上的投影向量为，则，即，解得，故向量在向量上的投影向量为，B选项正确；
对于C选项，，，C选项正确；
对于D选项，，，所以与不共线，D选项错误.
故选：ABC.
4．（2021·山东·高一阶段练习）（多选）已知平行四边形的三个顶点坐标分别为，则第四个顶点的坐标可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【解析】由题意，设，，，第四个顶点，
当，时，或，
由，，，
则或，解得或；
当，时，或，
由，，，
则或，解得或；
故点的坐标为，，.
故选：ABC.
5．（2022·重庆·高一学业考试）（多选）已知向量，则下列命题正确的是（ ）
A．B．若，则
C．存在唯一的使得D．的最大值为
【答案】ABC
【解析】对于A，，故正确；
对于B，由，则，即，，故正确.
对于C，由，则，
，，
，，解得，
因为，所以，故正确.
对于D，，
由，则，即当时，，故错误.
故选：ABC.
6．（2022·河南濮阳·高一期中）如图所示，在中，点是的中点，且与相交于点，若，则满足（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由得
因为点是的中点，所以
由三点共线知，存在实数，满足，
由三点共线知，存在实数，满足，
所以，又因为为不共线的非零向量，
所以，解得，
所以，即，
所以，故A不正确；，故B正确；D不正确；
，故C不正确.
故选：B.
7．（2022·安徽省岳西县汤池中学高一阶段练习）（多选）在中，D，E，F分别是边的中点，点G为的重心，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】如图：
对于选项A，，即选项A错误；
对于选项B，点为的重心，则，即选项B正确；
对于选项C，，即选项C正确；
对于选项D，，即，即选项D正确，
故选：BCD．
8．（2022·山东省临沂第一中学高一阶段练习）（多选）已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是的重心，动点P满足，则点P一定不是（ ）
A．边中线的中点
B．边中线的三等分点（非重心）
C．的重心
D．边的中点
【答案】ACD
【解析】因为O是的重心，所以，
所以,
所以点P为OC的中点，即为边中线的三等分点（非重心）
故选：ACD
9．（2021·湖南·高一期末）（多选）已知的重心为，过点的直线与边，的交点分别为，，若，且与的面积之比为，则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】BD
【解析】如图，，，即，设，则，
三点共线，，，
所以，与的面积之比为，， 即，化简得，解得或3.
故选：BD
10．（2022·安徽省淮南第五中学高一阶段练习）（多选）在△ABC中，下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．若，则是等腰三角形
D．若则是锐角三角形
【答案】ABD
【解析】由向量减法法则可得，故A项错误；
，故B项错误；
设中点为，，则，因为,所以由三线合一得，所以是等腰三角形， 故C项正确；
可以得到是锐角，不能得到是锐角三角形，故D项错误；
故选：ABD.
11．（2021·上海·高一课时练习）已知向量＝(1，1)，＝(1，－1)，＝(cs α， sin α)(α∈R)，实数m，n满足m＋n＝，则(m－3)2＋n2的最大值为________．
【答案】16
【解析】方法一：由m＋n＝，可得，
故(m＋n)2＋(m－n)2＝2，即m2＋n2＝1，
故点M(m，n)在以原点为圆心，1为半径的圆上，
则点P(3，0)到点M的距离的最大值为|OP|＋1＝3＋1＝4，
故(m－3)2＋n2的最大值为42＝16．
方法二：∵m＋n＝，
∴(m＋n，m－n)＝(cs α，sin α)(α∈R)．
∴m＋n＝cs α，m－n＝sin α．
∴m＝sin，n＝cs．
∴(m－3)2＋n2＝m2＋n2－6m＋9＝10－6sin．
∵sin∈[－1，1]，
∴(m－3)2＋n2的最大值为16．
故答案为：16.
12．（2022·上海·复旦附中高一期末）已知向量，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是_____．
【答案】
【解析】，
因为与的夹角为钝角，所以
所以，解得：，
且与不反向共线，
即，解得：，
综上：，
故答案为：.
13．（2022·陕西西安·高一期末）已知点，其中，则的取值范围为___________.
【答案】
【解析】 由，
得，
则，
所以，
因为，
所以，
所以，
即的取值范围为.
故答案为：.
14．（2022·云南）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，
因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，
设，，
所以，，
所以
，其中，，
因为，所以，即；
故选：D