人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用一课一练

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用一课一练，共14页。试卷主要包含了平面向量在物理上的应用，平面向量在几何中的应用，正余弦定理在实际中的应用，正余弦定理在几何中的运用等内容，欢迎下载使用。

用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题.
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
二．向量方法解决物理问题的步骤
用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：
(1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题.
(2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型.
(3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等.
(4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.
知识简用
题型一 平面向量在物理上的应用
【例1-1】（2022·山东）若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．已知，与的夹角为，则力的大小为（ ）．
A．7B．C．D．1
【例1-2】（2022·全国·课时练习）加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重（单位：）约为（参考数据：取重力加速度大小为）（ ）
A．B．61C．75D．60
题型二 平面向量在几何中的应用
【例2-1】（2022·上海市第三女子中学高一期末）在中，为中线上的一个动点，若，则的取值范围是_____．
【例2-2】（2022·安徽）如图，在矩形ABCD中，，E为边AB上的任意一点（包含端点），O为AC的中点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型三 正余弦定理在实际中的应用
【例3-1】（2022·江西赣州）如图，从无人机上测得正前方的峡谷的两岸，的俯角分别为，，若无人机的高度是，则此时峡谷的宽度是（ ）
A．60B．C．30D．
【例3-2】（2022·北京）一艘海轮从处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东的方向直线航行，1小时后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是南偏东，在处观察灯塔，其方向是北偏东，那么两点间的距离约为（ ）
A．海里B．海里C．海里D．海里
【例3-3】．（2022·安徽）某渔船由于引擎故障滞留在海上的C位置，一艘快艇负责救援，快艇从A岛出发，沿南偏西30°行驶了300海里到达B位置，发现偏航后及时调整，沿北偏西30°行驶了100海里到达C位置，则A岛与渔船发生故障的C位置间距离为（ ）
A．海里B．海里C．海里D．海里
【例3-4】（2022·安徽）一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东，在B处观察灯塔，其方向是北偏东，那么B，C两点间的距离是（ ）
A．海里B．海里C．海里D．海里
题型四 正余弦定理在几何中的运用
【例4-1】（2022·河北）如图所示，在四边形ABCD中，，，
(1)求BC；
(2)若BD为的平分线，试求BD．
【例4-2】（2022·广东）如图，在中，，，且点在线段上．
(1)若，求的长；
(2)若，，求的面积．
【例4-3】（2022·福建·厦门一中高一阶段练习）在平面四边形ABCD中，，，.
(1)若△ABC的面积为，求AC；
(2)若，，求.
6.4.2 平面向量的应用（学案） 知识自测
一． 向量方法解决平面几何问题的步骤
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题.
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
二．向量方法解决物理问题的步骤
用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：
(1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题.
(2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型.
(3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等.
(4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.
知识简用
题型一 平面向量在物理上的应用
【例1-1】（2022·山东）若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．已知，与的夹角为，则力的大小为（ ）．
A．7B．C．D．1
【答案】D
【解析】根据三力平衡得，即，
两边同平方得，即
即,解得故选：D.
【例1-2】（2022·全国·课时练习）加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重（单位：）约为（参考数据：取重力加速度大小为）（ ）
A．B．61C．75D．60
【答案】D
【解析】如图，，，作平行四边形，则是菱形，，
，所以，因此该学生体重为（kg）.故选：D．
题型二 平面向量在几何中的应用
【例2-1】（2022·上海市第三女子中学高一期末）在中，为中线上的一个动点，若，则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】因为是的中线，所以，
故，
因为，设，则，
所以，
故当时，取得最小值，最小值为，
当或3时，.
故答案为：.
【例2-2】（2022·安徽）如图，在矩形ABCD中，，E为边AB上的任意一点（包含端点），O为AC的中点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】法一：设，
因为O为AC的中点，所以，
所以．又，
所以，
因为，所以，
所以；
法二：以A为坐标原点，，的方向分别为x，y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，设，
所以，，所以．
因为，所以，
即.
故选：A．
题型三 正余弦定理在实际中的应用
【例3-1】（2022·江西赣州）如图，从无人机上测得正前方的峡谷的两岸，的俯角分别为，，若无人机的高度是，则此时峡谷的宽度是（ ）
A．60B．C．30D．
【答案】A
【解析】由已知得，得到
，，故选：A
【例3-2】（2022·北京）一艘海轮从处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东的方向直线航行，1小时后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是南偏东，在处观察灯塔，其方向是北偏东，那么两点间的距离约为（ ）
A．海里B．海里C．海里D．海里
【答案】C
【解析】由题设，，且海里，
在△中，则海里.
故选：C
【例3-3】．（2022·安徽）某渔船由于引擎故障滞留在海上的C位置，一艘快艇负责救援，快艇从A岛出发，沿南偏西30°行驶了300海里到达B位置，发现偏航后及时调整，沿北偏西30°行驶了100海里到达C位置，则A岛与渔船发生故障的C位置间距离为（ ）
A．海里B．海里C．海里D．海里
【答案】A
【解析】如图，由已知，，所以，又,
所以，又，,
由余弦定理可得，
所以（海里）故选：A.
【例3-4】（2022·安徽）一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东，在B处观察灯塔，其方向是北偏东，那么B，C两点间的距离是（ ）
A．海里B．海里C．海里D．海里
【答案】C
【解析】如图，作出，由题意可知，
海里，，则，
因为，
所以海里，
即B，C两点间的距离是海里.
故选：C.
题型四 正余弦定理在几何中的运用
【例4-1】（2022·河北）如图所示，在四边形ABCD中，，，
(1)求BC；
(2)若BD为的平分线，试求BD．
【答案】(1)5(2)8
【解析】（1）由正弦定理得，∴＝∴.
（2）由，可得，
又，为的平分线，
∴A，B，C，D四点共圆，，
由余弦定理得，即∴.
【例4-2】（2022·广东）如图，在中，，，且点在线段上．
(1)若，求的长；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）解：，，则，
，解得，，
，，
在中，由正弦定理可知得.
（2）解：由得，所以，
因为，，所以，，
在中，由余弦定理得，
即，得，所以，
.
【例4-3】（2022·福建·厦门一中高一阶段练习）在平面四边形ABCD中，，，.
(1)若△ABC的面积为，求AC；
(2)若，，求.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）在△中，，，
∴，可得，
在△中，由余弦定理得，.
（2）设，则，
在中，，易知：，
在△中，由正弦定理得，即，
，可得，即.