人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列教案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列教案，共7页。教案主要包含了教学目标，教学重点，学法与教学用具，教学过程，教学反思等内容，欢迎下载使用。

等比数列的概念与通项公式
一、教学目标
1、正确理解等比数列的概念及其性质；了解通项公式的推导过程，掌握等比数列的通项公式.
2、通过对等比数列通项公式的推导培养学生的观察力及归纳推理能力，培养学生思维的深刻性和灵活性.
二、教学重点、难点
重点：等比数列的概念及其性质，利用通项公式逐步解决问题.
难点：等比数列通项公式推导过程中体现出的数学思想方法.
三、学法与教学用具
1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.
2、教学用具：多媒体设备等
四、教学过程
（一）创设情景，揭示课题
【情景一】
【情景二】《庄子天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”
如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”， 那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是
= 4 \* GB3 ④
【情景三】在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20 min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是2, 4, 8, 16, 32, 64, ... = 5 \* GB3 ⑤
【情景四】某人存入银行元，存期为5年，年利率为，那么的利息和本金加在一起算按照复利（复利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息），他5年内每年末得到的本利和分别是 = 6 \* GB3 ⑥
【思考】类比等差数列的研究，如何研究和发现以上数列的取值规律?
（二）阅读精要，研讨新知
【分析】以上数列用表示，则
数列 = 1 \* GB3 ①满足； 数列 = 2 \* GB3 ②满足；
数列 = 3 \* GB3 ③满足； 数列 = 4 \* GB3 ④满足；
数列 = 5 \* GB3 ⑤满足；数列 = 6 \* GB3 ⑥满足.
【等比数列】一般地， 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等比数列(gemetric prgressin), 这个常数叫做等比数列的公比 (cmmn rati),
公比通常用字母表示（显然）.
【等比中项】若三个数组成等比数列，则叫做 与的等比中项(gemetric mean).
根据等比数列的定 义可以知道，.
【思考】你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗?
【与课本不同的公式的演绎】设一个等比数列的首项是，公比是.则
，，，…，，
以上各式相乘得，，即
所以等比数列的通项公式是.
【推广】
（1） （2）
【例题研讨】阅读领悟课本例1、例2、例3（用时约为2分钟，教师作出准确的评析.）
例1若等比数列的第4项和第6项分别为48和12，求的第5项.
解法1：由，解得，所以或.
当时，，
当时，，
因此，的第5项是24或.
解法2：因为是与的等比中项，所以
所以或
因此，的第5项是24或.
例2已知等比数列的公比为，试用的第项表示.
解：由题意，得，两式相除得
所以
【发现】等比数列的任意一项都可以由这数列的某一项和公比表示.
例3数列共有5项， 前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132.求这个数列.
解：设前三项的公比为，后三项的公差为，则数列的各项依次为，
依题意， = 1 \* GB3 ①
= 2 \* GB3 ②
联立 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ②解得或
所以这个数列是或
【小组互动】完成课本练习1、2、3、4、5，同桌交换检查，老师答疑.
【练习答案】
（三）探索与发现、思考与感悟
【等比数列的判定与证明】
1. 已知数列的前项和为，.
求证：数列是等比数列.
证明： ，，
由已知 可得
两式相减得
即，所以
所以是首项为，公比为的等比数列.
【等差中项与等比数列的通项公式】
2. 已知等比数列的各项都为正数,且成等差数列,则 QUOTE a3+a5a4+a6 的值是( )
A. QUOTE 5-12 B. QUOTE 5+12 C. QUOTE 3-52 D. QUOTE 3+52
解：设等比数列的公比为,且,
因为成等差数列,所以,则,
化简得,解得，又，则,
所以，故选A.
【等比中项的应用】
3. 已知等比数列的公比为正数，且，则（ ）
A. B. C. D.
解：因为成等比数列，所以又，
所以，所以，故选B
【等比数列通项公式的应用】
4. “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于，若第一个单音的频率为，则第八个单音的频率为（ ）
A.B.C.D.
解：由已知,单音的频率构成一个首项为，公比为的等比数列，记为,共有13项.
由等比数列通项公式可知,，故选D
5. 设等比数列满足，则的最大值为________.
解：方法一：由已知得，解得，
所以，即数列为递减数列.
当时, ;当时, ,
所以当或时, 最大,又,
因此.
方法二：由已知得，
所以
因为，所以当或时, 最大值为.
答案：64
（四）归纳小结，回顾重点
（五）作业布置，精炼双基
1.完成课本习题4.3 1、2、4
2.预习4.3.2 等比数列的前项和
五、教学反思：（课后补充，教学相长）
两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上的记录的数列.
= 1 \* GB3 ①
= 2 \* GB3 ②
= 3 \* GB3 ③
= 1 \* GB3 ①
= 2 \* GB3 ②
= 3 \* GB3 ③
等比数列的通项公式的函数关系
变形为
当且时，
函数，有
等比数列(gemetric prgressin)
定义
，为常数，称为公比
等比中项
三个数成等比数列，则
通项公式
，