高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列教案，共8页。教案主要包含了教学目标，教学重点，学法与教学用具，教学过程，教学反思等内容，欢迎下载使用。

等比数列的前n项和公式的应用
一、教学目标
1、理解并掌握等比数列的前项和公式及其推到过程；
2、会用等比数列的前项和公式解决有关等比数列的简单问题；
二、教学重点、难点
重点：探索并掌握等比数列的前项和公式
难点：等比数列前项和公式推导思路的获得，灵活应用等比数列前项公式.
三、学法与教学用具
1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.
2、教学用具：多媒体设备等
四、教学过程
（一）创设情景，揭示课题
【回顾】
（二）阅读精要，研讨新知
【例题研讨】阅读领悟课本例10、例11、例12（用时约为3-5分钟，教师作出准确的评析.）
例10如图4.3-2, 正方形的边长为5cm，取正方形各边的中点,作第2个正方形,然后再取正方形各边的中点,作第3个正方形,依此方法一直继续下去.
（1）求从正方形开始，连续10个正方形的面积之和；
（2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和
将趋近于多少?
解：设正方形的面积为,后继各正方形的面积依次为，则
由于第个正方形的顶点分别是第个正方形各边的中点，所以，
因此，是以25为首项，为公比的等比数列. 设的前项和为.
（1）
所以，前10个正方形的面积之和为.
（2）当无限增大时，无限趋近于所有正方形的面积和，而

随着的无限增大，将趋近于0，将趋近于50.
所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50.
例11 去年某地产生的生活垃圾为20万吨， 其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理. 预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨. 为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.
解：设从今年起每年生活垃圾的总量(单位:万吨)构成数列,每年以环保方式处理的垃圾量(单位:万吨)构成数列，年内通过填埋方式处理的垃圾总量为(单位:万吨)，则
当时，.
所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63. 5万吨.
例12某牧场今年初牛的存栏数为1200,预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为
（1）写出一个递推公式，表示与之间的关系；
（2）将（1）中的递推公式表示成的形式，其中为常数；
（3）求的值(精确到1).
解：（1）由题意，得，并且 ①
（2）将化成 = 2 \* GB3 ②
比较① = 2 \* GB3 ②的系数，可得
所以，（1）中的递推公式可以化成
（3）由（2）可知数列是以为首项，1.08为公比的等比数列，则
所以
【小组互动】完成课本练习1、2、3，同桌交换检查，老师答疑.
【练习答案】
（三）探索与发现、思考与感悟
1. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏
解：设塔的顶层共有灯盏，则各层的灯数构成一个公比为的等比数列，
，故选B
2. 设等比数列{}的前项和为，若，则（ ）
A. 2 B. C. D. 3
解：方法一：由，所以
方法二：由，令，因为成等比数列，
所以，所以，故选B
3. 已知数列的前项和为,若.
求证:数列是等比数列.
证明：方法一：由已知得，
两式相减得，即
因为
又，所以
所以数列是以为公比，为首项的等比数列.
方法二：由已知得，
两式相减得，即
所以，即
又，所以
所以数列是以为公比，为首项的等比数列.
4. 已知数列是等比数列，前项和为，且
（1）求的通项公式；
（2）若对任意的，是与的等差中项，求数列的前项和.
解：（1）设数列的公比为，由题意可知，或
又显然，
所以
（2）由已知
所以，
所以是首项为，公差为的等差数列，即
设数列的前项和为，则
方法一：

方法二：令
所以
5. 设正项等比数列的首项前项和为，且
（1）求
（2）求的前项和
解：（1）由得
所以
整理得
（2）是的等比数列，
故
令
则
两式相减，得

所以
（四）归纳小结，回顾重点
（五）作业布置，精炼双基
1.完成课本习题4.3 10、11、12
2.阅读课本《中国古代数学家求数列和的方法》
3.预习4.4 数学归纳法
五、教学反思：（课后补充，教学相长）
等比数列的前项和
当时，
当时，
若数列是等比数列，且，则也成等比数列
等比数列的前项和
当时，
当时，
若数列是等比数列，且，则也成等比数列