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    数学选择性必修 第二册4.3 等比数列教案

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    这是一份数学选择性必修 第二册4.3 等比数列教案,共7页。教案主要包含了教学目标,教学重点,学法与教学用具,教学过程,教学反思等内容,欢迎下载使用。

    等比数列的前n项和公式
    一、教学目标
    1、理解并掌握等比数列的前项和公式及其推到过程;
    2、会用等比数列的前项和公式解决有关等比数列的简单问题;
    3、培养学生进一步解方程的能力,以及整体代换思想的应用能力,并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题.
    二、教学重点、难点
    重点:探索并掌握等比数列的前项和公式
    难点:等比数列前项和公式推导思路的获得,灵活应用等比数列前项公式.
    三、学法与教学用具
    1、学法:学生在老师的引导下,通过阅读教材,自主学习、思考、交流、讨论和概括,从而完成本节课的教学目标.
    2、教学用具:多媒体设备等
    四、教学过程
    (一)创设情景,揭示课题
    【古代情景】国际象棋起源于古印度,相传国王要重赏国际象棋发明者--他的宰相,宰相要求的赏赐是:在棋盘的第1格内赏他1粒麦子,第2格内赏他2粒麦子,第3格内赏他4粒麦子……依此类推,每一格上的麦子数都是前一格的2倍,直到第64个格子,国王一听,觉得没有多少,就答应了.
    【问题一】实际上国王能满足宰相的要求吗?
    【现代情景】四海商贸公司的叶总找到光华银行的罗总商谈贷款事宜,期限一个月.
    罗总:在一个月中,我第一天给你一万,以后每天比前一天多给你一万,共三十天.
    叶总:如何还款?
    罗总:有一种还款方案,你可以试一试.
    叶总:请讲.
    罗总:……
    叶总:我知道了,就是我第一天还你一分钱,以后每天还的钱是前一天的两倍,三十天还完.
    罗总:你回去考虑一下,没有问题就签订合同.
    【问题二】叶总能签下这份合同吗?
    (二)阅读精要,研讨新知
    【思考】贷款金额与还款方式产生的金额对等吗?
    贷款金额:(万元)(已经有等差数列的公式)
    还款金额: (分)(结果未知)
    【发现】还款方式构成等比数列,求取等比数列的前项和是关键.
    【求和方法一】设,则

    两式相减得,
    所以(分)(万元)
    【求和方法二】因为
    所以(分)(万元)
    【贷款与还款差额】(万元)
    很明显:叶总还能签合同吗???
    【问题】能否采用上述方法推导等比数列的前项和公式?
    【方法一】设等比数列的公比为,则等比数列的前项和满足
    (写法:模式)
    (通过乘以公比产生错位)
    两式相减得 (错位相减法)
    当时,
    当时,
    【方法二】设等比数列的公比为,则等比数列的前项和满足
    所以 (结论同上)
    【方法三】(视学生情况介绍,需要利用等比定理)
    由等比数列的定义,,
    根据等比的性质,有,
    即 (结论同上)
    【国王的赏赐笑话】64个棋盘格子的麦粒总数为

    如果1000颗麦 粒的质量约为40g,那么以上这些 麦粒的总质量超过了7 000亿吨,约是2016- 2017 年度世界小麦产量的981倍. 因此,国王根本不可能实现他的诺言,赏赐就是一个笑话.
    【例题研讨】阅读领悟课本例7、例8、例9(用时约为3-5分钟,教师作出准确的评析.)
    例7已知数列是等比数列.
    (1)若,求; (2)若,,求;
    (3)若,求.
    解:(1)由已知及公式,
    (2)由已知,,因为,所以,
    所以
    (3)由已知,,所以.
    例8已知等比数列 的首项为,前项和为.若.求公比.
    解:若,则,所以
    当时,由得,
    所以
    例9已知等比数列的公比,前项和为.
    证明成等比数列,并求这个数列的公比.
    证明:当时,,
    所以成等比数列.
    当时,
    所以为常数,
    所以成等比数列,公比为.
    【小组互动】完成课本练习1、2、3、4、5,同桌交换检查,老师答疑.
    【练习答案】
    (三)探索与发现、思考与感悟
    1. 等比数列的前项和为,已知,且与的等差中项为,则( )。
    A.29 B.31 C.33 D.36
    解:由已知,
    又,所以
    所以,故选B
    2. 等比数列的前项和为,,则________.
    解:方法一:设等比数列的公比为,因为,所以,解得,
    所以

    方法二:由等比数列前项和性质,又,
    所以构成首项为2,公比为2等比数列,
    所以
    答案:16
    3. 设正项等比数列的前项和为,且,若,则等于( )
    A. 63或120B.256 C.120 D.63
    解:由已知,又,解得或
    又,所以数列递减,所以,
    又,所以,因此,故选C
    4. 等比数列的公比不为1,若,且对任意的,都有成等差数列,则的前5项和______.
    解:由已知,,令可得,即
    解得或 (舍去), 则
    答案:11
    (四)归纳小结,回顾重点
    (五)作业布置,精炼双基
    1.完成课本习题4.3 3、5、6、7、8、9
    2.阅读课本《中国古代数学家求数列和的方法》
    3.预习4.4 数学归纳法
    五、教学反思:(课后补充,教学相长)
    等比数列的前项和
    当时,
    当时,
    等比数列的前项和的性质
    若数列是等比数列,且,则也成等比数列
    等比数列的前项和
    当时,
    当时,
    若数列是等比数列,且,则也成等比数列
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