高一数学分层训练AB卷(人教A版2019必修第二册)第八章立体几何初步【单元测试A卷】(原卷版+解析)

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第八章立体几何初步单元检测A卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分是（    ）A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．组合体2．如果直线平面，直线平面，且，则a与b（    ）A．共面 B．平行C．是异面直线 D．可能平行，也可能是异面直线3．设是空间中的两条直线，是空间中的两个平面， 下列说法正确的是（    ）A．若，则B．若，则与相交C．若，则D．若，则与没有公共点4．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其形状可视为一个正四棱锥，已知该金字塔的塔高与底面边长的比满足黄金比例，即比值约为，则它的侧棱与底面所成角的正切直约为（    ）A． B． C． D．5．以下四个图中，表示直线与平行的是（    ）A．B．C．D．6．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等” ．例如可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R的圆柱与半径为R的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R，高为R的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用垂直于半径的平面去截半径为R的半球，且球心到平面的距离为，则平面所截得的较小部分（阴影所示称之为“球冠）的几何体的体积是（    ）A． B． C． D．7．在正四棱锥P-ABCD中，，E为PC的中点，则异面直线AP与DE所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．8．如图，是底面为正六边形的直棱柱，则下列直线与直线不垂直的是（    ）A．AE B． C． D．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得09．圆柱的侧面展开图是长4cm，宽2cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是（    ）A． B．C． D．10．如图，正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，则（    ）A．直线与直线垂直B．直线与平面平行C．平面截正方体所得的截面面积为D．点与点到平面的距离相等11．《蝶恋花·春景》是北宋大文豪苏轼所写的一首词作.其下阙为：“墙里秋千墙外道，墙外行人，墙里佳人笑，笑渐不闻声渐悄，多情却被无情恼”.如图所示，假如将墙看做一个平面，墙外的道路､秋千绳､秋千板简单看做是直线.那么道路和墙面线面平行，秋千静止时，秋千板与墙面线面垂直，秋千绳与墙面线面平行.那么当佳人在荡秋千的过程中（    ）A．秋千绳与墙面始终平行 B．秋千绳与道路始终垂直C．秋千板与墙面始终垂直 D．秋千板与道路始终垂直12．（多选）下列选项中，正确是（　　）A．如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内任取两条直线，两直线平行B．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一平面平行C．如果一个平面内的一个锐角的两边分别平行于另一个平面内的一个角的两边，那么这两个平面平行D．如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行填空题 本题共4小题，每小题5分，共20分13．把一个母线长为10cm的圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面积的比为1∶4，则圆台的母线长是______cm．14．如图，若斜边长为的等腰直角（与重合）是水平放置的的直观图，则的面积为________．15．在空间中，三个平面最多能把空间分成______部分．16．下面四个正方体中，点A、B为正方体的两个顶点，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形序号是______．（写出所有符合条件的序号）四．解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．如图所示，已知M、N、P、Q分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．求证：(1)四边形是平行四边形；(2)平面．18．如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，为的中点．(1)求证：平面；(2)若点是棱的中点，求证：平面．19．如图，平面，四边形为矩形，，，点是的中点，点在边上移动.(1)求三棱锥的体积；(2)证明：.20．如图，在直三棱柱中， ，分别为的中点．(1)求证：平面；(2)设为上一点，且，求点到平面的距离．21．如图，在正方体中，(1)求异面直线与所成的角的大小；(2)求二面角的大小.22．如图，在四棱锥中，底面是矩形，垂直于平面，，，，点、分别在线段、上，其中是中点，，连接．(1)当时，证明：直线平行于平面；(2)当时，求三棱锥的体积．第八章立体几何初步单元检测A卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分是（    ）A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．组合体【答案】B【分析】根据图形和棱锥的定义及结构特征，即可得出结论．【详解】三棱台中，沿平面截去三棱锥，剩余的部分是以为顶点，四边形为底面的四棱锥．故选：B．2．如果直线平面，直线平面，且，则a与b（    ）A．共面 B．平行C．是异面直线 D．可能平行，也可能是异面直线【答案】D【分析】根据线面和面面的位置关系直接得出结论.【详解】，说明a与b无公共点，与b可能平行也可能是异面直线．故选：D．3．设是空间中的两条直线，是空间中的两个平面， 下列说法正确的是（    ）A．若，则B．若，则与相交C．若，则D．若，则与没有公共点【答案】D【分析】ABC可举出反例，D选项可利用反证法得到证明.【详解】A选项，若，则，或与异面，如图1，满足，但与不平行，A错误；B选项，若，则与平行或相交，如图2，满足，但与平行，B错误；C选项，若，则，或与异面，如图3，满足，但不满足，C错误；D选项，结合C选项的分析可知：若，则，或与异面，即与没有公共点，假设与有公共点，设公共点为，则，则，但，故矛盾，假设不成立，即与没有公共点，D正确.故选：D4．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其形状可视为一个正四棱锥，已知该金字塔的塔高与底面边长的比满足黄金比例，即比值约为，则它的侧棱与底面所成角的正切直约为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】画出示意图，然后找出侧棱与底面所成角，计算其正切值即可.【详解】画出如图所示示意图， 设底面边长为，则塔高所以侧棱与底面的角的正切值为故选：A5．以下四个图中，表示直线与平行的是（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据两直线的位置关系的定义结合图形一一判断求解.【详解】对A，如图，若直线与平行，则共面，与图示矛盾，故A错误；对B，根据图示，直线与异面，B错误；对C，根据三角形的相似关系可得直线与平行，C正确；对D，如图，若直线与平行，则共面，与图示矛盾，故D错误；故选:C.6．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等” ．例如可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R的圆柱与半径为R的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R，高为R的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用垂直于半径的平面去截半径为R的半球，且球心到平面的距离为，则平面所截得的较小部分（阴影所示称之为“球冠）的几何体的体积是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意可得所求球冠的体积等于圆柱体积的一半减去圆台的体积，计算求解即可.【详解】∵，，，∴，∴．故选：A.7．在正四棱锥P-ABCD中，，E为PC的中点，则异面直线AP与DE所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据线线平行可得异面直线的夹角，利用三角形的边长即可求解余弦值.【详解】如图，连接AC，BD相交于O，连接OE，则O为AC的中点，又E为PC的中点，所以，所以∠DEO为异面直线AP与DE所成的角或其补角．又 为等比三角形，且边长为2，故又，所以，所以∠EOD=，所以，故选:C8．如图，是底面为正六边形的直棱柱，则下列直线与直线不垂直的是（    ）A．AE B． C． D．【答案】D【分析】根据线面垂直的判定定理和性质，结合平行线的性质逐一判断即可.【详解】如图，连接，则，因为，且，所以平面，且平面平面，所以，所以，又，所以.若，则，且，则平面，显然不成立，所以不垂直于.故选：D选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得09．圆柱的侧面展开图是长4cm，宽2cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是（    ）A． B．C． D．【答案】BD【分析】由已知中圆柱的侧面展开图是长4cm，宽2cm的矩形，我们可以分圆柱的底面周长为4cm，高为2cm的和圆柱的底面周长为2cm，高为4cm，两种情况分别由体积公式即可求解.【详解】侧面展开图是长4cm，宽2cm的矩形，若圆柱的底面周长为4cm，则底面半径，，此时圆柱的体积若圆柱的底面周长为2cm，则底面半径，，此时圆柱的体积故选：BD10．如图，正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，则（    ）A．直线与直线垂直B．直线与平面平行C．平面截正方体所得的截面面积为D．点与点到平面的距离相等【答案】BC【分析】(1)利用空间向量的坐标运算确定直线与直线的位置关系；(2)根据面面平行来证明线面平行；(3)先根据四点共面确定截面，进而算截面面积；(4)利用等体积法思想证明求解.【详解】对于选项A，以点为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，则，，，.从而，，从而，所以直线与直线不垂直，选项错误；对于选项，取的中点为，连接，，则易知，又平面，平面，故平面，又，平面，平面，所以平面，又，，平面，故平面平面，又平面，从而平面，选项正确；对于选项C，连接，，如图所示，∵正方体中，∴，，，四点共面，∴四边形为平面截正方体所得的截面四边形，且截面四边形为梯形，又由勾股定理可得，，，∴梯形为等腰梯形，高为，∴，选项C正确；对于选项D，由于，，而，，∴，即，点到平面的距离为点到平面的距离的2倍，选项错误.故选:BC.11．《蝶恋花·春景》是北宋大文豪苏轼所写的一首词作.其下阙为：“墙里秋千墙外道，墙外行人，墙里佳人笑，笑渐不闻声渐悄，多情却被无情恼”.如图所示，假如将墙看做一个平面，墙外的道路､秋千绳､秋千板简单看做是直线.那么道路和墙面线面平行，秋千静止时，秋千板与墙面线面垂直，秋千绳与墙面线面平行.那么当佳人在荡秋千的过程中（    ）A．秋千绳与墙面始终平行 B．秋千绳与道路始终垂直C．秋千板与墙面始终垂直 D．秋千板与道路始终垂直【答案】ACD【分析】根据图中秋千绳，墙面，道路的位置关系以及相关的线面，线线垂直的判定定理、性质定理等即可判断．【详解】显然，在荡秋千的过程中，秋千绳与墙面始终平行，但与道路所成的角在变化.而秋千板始终与墙面垂直，故也与道路始终垂直．故选：ACD.12．（多选）下列选项中，正确是（　　）A．如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内任取两条直线，两直线平行B．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一平面平行C．如果一个平面内的一个锐角的两边分别平行于另一个平面内的一个角的两边，那么这两个平面平行D．如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行【答案】BC【分析】根据空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐项判断即可.【详解】解：对于A，如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面，故A不正确；对于B，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一平面平行，故B正确；对于C，如果一个平面内的一个锐角的两边分别平行于另一个平面内的一个角的两边，那么这两个平面平行，故C正确；对于D，如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行或者相交，故D不正确.故选：BC.填空题 本题共4小题，每小题5分，共20分13．把一个母线长为10cm的圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面积的比为1∶4，则圆台的母线长是______cm．【答案】5【分析】根据圆台的上、下底面积的比可得半径比，利用比例可得答案.【详解】作出圆锥的轴截面如图，因为圆台的上、下底面积的比为1∶4，所以上、下底面圆的半径之比为1∶2，所以；利用平行线截线段成比例，则，因为圆锥的母线长为10cm，即，所以，所以圆台的母线长是.故答案为：5.14．如图，若斜边长为的等腰直角（与重合）是水平放置的的直观图，则的面积为________．【答案】【分析】还原原图，计算面积即可.【详解】在斜二测直观图中， 由为等腰直角三角形，，可得，．还原原图形如图： 则，则，故答案为：.15．在空间中，三个平面最多能把空间分成______部分．【答案】8【分析】根据平面与平面的位置关系，结合题意，从而可得到结果．【详解】三个平面两两平行时，可以把空间分成4部分，如图1；三个平面中恰有两个平面平行时，可把空间分成6部分，如图2；三个平面两两相交于一条直线时，可以把空间分成6部分，如图3；三个平面两两相交于三条直线，且三条直线互相平行时，可以把空间分成7部分，如图4；三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点时，可以把空间分成8部分，如图5，所以空间中的三个平面最多能把空间分成8部分．故答案为：8．16．下面四个正方体中，点A、B为正方体的两个顶点，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形序号是______．（写出所有符合条件的序号）【答案】①②【分析】根据线面平行的判定定理以及面面平行的性质定理即可得到答案.【详解】对于①，如图1.因为点M、N、P分别为其所在棱的中点，所以，.又，所以.因为平面，平面，所以平面.同理可得平面.因为平面，平面，，所以平面平面.又平面，所以平面，故①正确；对于②，如图2，连结.因为点M、P分别为其所在棱的中点，所以.又，且，所以，四边形是平行四边形，所以，所以.因为平面，平面，所以平面，故②正确；对于③，如图3，连结、、.因为点M、N、P分别为其所在棱的中点，所以，.因为平面，平面，所以平面.同理可得平面.因为平面，平面，，所以平面平面.显然平面，平面，所以平面，且与平面不平行，所以与平面不平行，故③错误；对于④：如图4，连接，因为为所在棱的中点，则，故平面即为平面，由正方体可得，而平面平面，若平面，由平面可得，故，显然不正确，故④错误.故答案为：①②.四．解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．如图所示，已知M、N、P、Q分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．求证：(1)四边形是平行四边形；(2)平面．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用中位线性质及平行四边形的判定即可证结论；（2）由中位线性质得，再应用线面平行的判定即可证结论.【详解】（1）由M、N、P、Q分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，所以且，所以为平行四边形.（2）由M、N分别是空间四边形ABCD的边AB、BC的中点，所以，由（1）知面，且面，故面，即平面.18．如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，为的中点．(1)求证：平面；(2)若点是棱的中点，求证：平面．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】由平面，且底面为菱形，即可得到平面内的两条相交直线，则可证得平面.(2)由分别为中点，可得到，则问题即可得以证明.【详解】（1）因为平面，平面，所以，又因为底面是菱形，则，，平面，所以平面.（2）连接，如图所示：因为分别为的中点，则且，所以四边形为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面.19．如图，平面，四边形为矩形，，，点是的中点，点在边上移动.(1)求三棱锥的体积；(2)证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）等体积法解决即可；（2）线面垂直的判定定理，性质定理相结合解决即可.【详解】（1）平面，四边形为矩形，，.（2）证明：平面，，又，且点是的中点，，又，，，平面，又平面，，由，，，平面，平面，.20．如图，在直三棱柱中， ，分别为的中点．(1)求证：平面；(2)设为上一点，且，求点到平面的距离．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据得，并且得出四边形为正方形，进而即可求证；（2）利用等体积法的思想求点到平面的距离．【详解】（1）证明：在直三棱柱中， ，分别为的中点，∵∴，即，又是直三棱柱，所以平面，平面，所以,平面,,∴平面，平面,则，∵分别为的中点，且∴四边形为正方形，则，又，平面，∴平面；（2）由（1）知，即，又是直三棱柱，∴平面，∴，则点M到平面GBC的距离即为，∴，由（1）知，，且，∴，设点点到平面的距离为，则，∴，则，即点点到平面的距离为．21．如图，在正方体中，(1)求异面直线与所成的角的大小；(2)求二面角的大小.【答案】(1)(2)【分析】（1）作出异面直线与所成的角，并求得角的大小.（2）判断二面角的平面角，并求得角的大小.【详解】（1）在正方体中，连接，由于，所以是异面直线与所成的角，由于三角形是等边三角形，所以，所以异面直线与所成的角的大小为.（2）在正方体中，，所以是二面角的平面角，根据正方体的性质可知，所以二面角的大小为.22．如图，在四棱锥中，底面是矩形，垂直于平面，，，，点、分别在线段、上，其中是中点，，连接．(1)当时，证明：直线平行于平面；(2)当时，求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）取中点，联结、，证明四边形为平行四边形，然后得到即可；（2）首先求出的长度，然后可得点到平面的距离，然后可求出答案.【详解】（1）取中点，联结、，因为是的中位线，故，且，又，且，故四边形为平行四边形，所以，又不在平面内，在平面内，所以平行于平面；（2）因为，，，垂直于平面，平面，所以，，因为，所以点到平面的距离为，所以．