2020-2021学年24.2.1 点和圆的位置关系学案

第二十四章  圆

24.2  点和圆、直线和圆的位置关系

24.2.1  点和圆的位置关系

学习目标：1.理解并掌握点和圆的三种位置关系.

2.理解不在同一直线上的三个点确定一个圆及其运用.   

3.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念.

4.了解反证法的证明思想.

重点：1.理解并掌握点和圆的三种位置关系.

2.理解不在同一直线上的三个点确定一个圆及其运用. 

难点：1.理解并掌握点和圆的三种位置关系.

2. 理解不在同一直线上的三个点确定一个圆及其运用.   

3.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念.

一、知识链接

1.一个点与一条直线有哪几种关系(画图说明)？

2.经过一点可以画多少条直线？经过两点可以画多少条直线？

二、要点探究

探究点1：点和圆的位置关系

问题1  观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？

问题2  设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，量一量在点和圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系？

要点归纳：设点P到圆心的距离OP=d，⊙O的半径为r，则有：

点P在⊙O内       d＜r；

点P在⊙O上       d＝r；

点P在⊙O外       d＞r；

练一练 

1.⊙O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：点A在     ；点B在     ；点C在     .

2.圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若OP=，则点P在(    )

A.大圆内              B.小圆内      

C.小圆外              D.大圆内，小圆外

例1  如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4.

(1) 以A为圆心，4为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系如何？

(2) 若以A点为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围？(直接写出答案)

探究点2：三角形的外接圆及外心

问题1  如何过一个点A作一个圆？过点A可以作多少个圆？

问题2  如何过两点A、B作一个圆？过两点可以作多少个圆？

问题3  过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？

要点归纳：不在同一直线上的三个点确定一个圆.

试一试  已知△ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C三点的圆.

要点归纳：1. 外接圆：⊙O叫做△ABC的外接圆， △ABC叫做⊙O的内接三角形.

2.三角形的外心

定义：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.

作图：三角形三边中垂线的交点.

性质：到三角形三个顶点的距离相等.

判一判  下列说法是否正确

(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆         (    )

(2)任意一个圆有且只有一个内接三角形         (    )

(3)经过三点一定可以确定一个圆               (    )

(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等     (    )

画一画  分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.

试一试  某一个城市在一块空地新建了三个居民小区，它们分别为A、B、C，且三个小区不在同一直线上，要想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等.请问同学们这所中学建在哪个位置？你怎么确定这个位置呢？

例2  如图，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24cm，O到BC的距离是5cm，求△ABC的外接圆的半径．

探究点3：反证法

思考：经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？

要点归纳：先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．

例3  求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.

三、课堂小结

1.⊙O的半径r为5㎝，O为原点，点P的坐标为(3，4)， 则点P与⊙O的位置关系为 (    )

A.点P在⊙O内                     B.点P在⊙O上 

C.点P在⊙O外                     D.点P在⊙O上或⊙O外

2.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是(    )

A．点P       B．点Q       C．点R         D．点M

3.正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作⊙A，则点B在⊙A     ；点C在⊙A     ；点D在⊙A     . 

4.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则它的外接圆半径=      .

5.如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝20°，则∠C的度数是      ．

6.判断：

(1) 经过三点一定可以作圆                                (     )

(2) 三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的交点      (     )

(3) 三角形的外心到三边的距离相等                        (     )

(4) 等腰三角形的外心一定在这个三角形内                  (     )

7. 请将如图所示的破损的圆盘复原.

8.如图，已知 Rt△ABC 中 ，∠C=90°，若 AC=12cm，BC=5cm，求△ABC的外接圆半径.

拓展提升：一个8×12米的长方形草地，现要安装自动喷水装置，这种装置喷水的半径为5米，你准备安装几个? 怎样安装? 请说明理由.

1.如图，点与直线的位置关系有两种：点在直线上，点在直线外

2.经过一个点，可以画无数条直线，经过两点，有且只能画一条直线.

课堂探究

二、要点探究

探究点1：点和圆的位置关系

问题1.如图，点与圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.

问题2

d＜r                 d=r                 d＞r

练一练：1.圆内  圆上  圆外    2.D

典例精析

例1 解：（1）AD=4=r，故D点在⊙A上；AB=3<r，故B点在⊙A内；AC=5>r，故C点在⊙A外.

（2）3<r<5.

探究点2：三角形的外接圆及外心

问题1：以不与A点重合的任意一点为圆心，以这个点到A点的距离为半径画圆即可；

可作无数个圆.

问题2：作线段AB的垂直平分线，以其上任意一点为圆心，以这点和点A或B的距离为半径画圆即可;可作无数个圆.

问题3：能，经过A，B，C三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点O的位置.（其中A，B，C不在同一直线上）

试一试

解：如图所示.

判一判  （1）√  （2）×   （3）×   （4）√

画一画

解：如图所示

锐角三角形的外心位于三角形内, 

直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点,

钝角三角形的外心位于三角形外.

试一试

如图，连接AB，AC，分别作AB，AC的垂直平分线，其交点即为建立中学的位置.

例2 解：连接OB，过点O作OD⊥BC.则OD＝5cm，BD=BC=12cm.

在Rt△OBD中,OB==13cm.即△ABC的外接圆的半径为13cm.

探究点3：反证法

思考：

如图，假设过同一条直线l上三点A、B、C可以作一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，即点P为l1与l2的交点，而l1⊥l，l2⊥l这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾，所以过同一条直线上的三点不能作圆．

例3 解：已知：△ABC.求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.

证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°，则∠A>60°，∠B>60°，∠C>60°.∴∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°.即三角形的内角和为180°.这与∠A+∠B

+∠C>180°矛盾．假设不成立．∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.　　　　　　　

当堂检测

1.B   2.B  3.上  外   上  4.5   5.70° 

6.（1）×  （2）√  （3）×   （4）×

7.解：方法:1．在圆弧上任取三点A、B、C；2．作线段AB、BC的垂直平分线，其交点O即为圆心；3．以点O为圆心，OC长为半径作圆．⊙O即为所求．

8.解：设Rt△ABC 的外接圆的外心为O，连接OC，则OA=OB=OC.∴O是斜边AB 的中点.∵∠C=90°，AC=12cm，BC=5cm.∴AB=13cm，OA=6.5cm.故Rt△ABC 的外接圆半径为6.5cm.

拓展提升

如图，安装两个，将大矩形平分成两个长为8，宽为6的矩形，在两个小矩形的对角线的交点位置安装自动喷水装置即可.