2025届高考数学一轮复习教师用书第三章第七节第2课时函数模型及其应用讲义（Word附解析）

第2课时　函数模型及其应用【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.三种函数模型的性质2.常见的函数模型【微点拨】函数模型应用问题的步骤(四步八字方针):审题,建模,解模,还原.【基础小题·自测】1.(多维辨析)(多选题)下列说法错误的是(　　)A.某种商品进价为每件100元,按进价增加10%出售,后因库存积压降价,若按九折出售,则每件还能获利B.函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大C.不存在x0,使ax01)的增长速度会超过并远远大于y=xa(a>0)的增长速度【解析】选ABC.2.(必修第一册P152例6变条件)某校拟用一种喷雾剂对宿舍进行消毒,需对喷雾完毕后空气中每立方米药物残留量y(单位:毫克)与时间x(单位:时)的关系进行研究,为此收集部分数据并做了初步处理,得到如图散点图.现拟从下列四个函数模型中选择一个估计y与x的关系,则应选用的函数模型是(　　)A.y=ax+bB.y=a·14x+b(a>0)C.y=xa+b(a>0)D.y=ax+bx(a>0,b>0)【解析】选B.由题图可知,函数在(0,+∞)上单调递减,且散点分布在一条曲线附近,函数y=a·14x+b的图象为一条曲线,且当a>0时,该函数单调递减,符合题意.3.(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(1010≈1.259)(　　)A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6【解析】选C.由题意知,lgV=4.9-5=-0.1,故V=10-0.1=11010≈0.8.4.(建错函数模型)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)=12x2+2x+20(万元).1万件售价是20万元,为获取最大利润,该企业一个月应生产该商品数量为(　　)A.36万件 B.18万件C.22万件 D.9万件【解析】选B.利润L(x)=20x-C(x)=-12(x-18)2+142,当x=18时,L(x)有最大值.【核心考点·分类突破】考点一　用函数图象刻画变化过程[例1](多选题)该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后,体内血药浓度及相关信息如图所示:根据图中提供的信息,下列关于成人使用该药物的说法中,正确的是(　　)A.首次服用该药物1单位约10分钟后,药物发挥治疗作用B.每次服用该药物1单位,两次服药间隔小于2小时,一定会产生药物中毒C.每间隔5.5小时服用该药物1单位,可使药物持续发挥治疗作用D.首次服用该药物1单位3小时后,再次服用该药物1单位,不会发生药物中毒【解析】选ABC.从题中图象可以看出,首次服用该药物1单位约10分钟后药物发挥治疗作用,A正确;首次服用该药物1单位约1小时后的血药浓度达到最大值,当两次服药间隔小于2小时时,一定会产生药物中毒,B正确;服药5.5小时时,血药浓度等于最低有效浓度,此时再服药,血药浓度增加,可使药物持续发挥治疗作用,C正确;第一次服用该药物1单位4小时后与第2次服用该药物1单位1小时后,血药浓度之和大于最低中毒浓度,因此一定会发生药物中毒,D错误.【解题技法】判断实际问题变化过程的两种方法(1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象;(2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案.【对点训练】如图,在正方形ABCD中,AB=2,点M从点A出发,沿A→B→C→D→A的方向,以每秒2个单位长度的速度在正方形ABCD的边上运动;点N从点B出发,沿B→C→D→A→B的方向,以每秒1个单位长度的速度在正方形ABCD的边上运动.点M与点N同时出发,运动时间为t(单位:秒),△AMN的面积为f(t),规定A,M,N三点共线时其面积为零,则点M第一次到达点A时,y=f(t)的图象为(　　)【解析】选A.根据题意,当0≤t≤1时,△AMN的面积为f(t)=12·2t·t=t2;当10)是听觉下线阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级:已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则(　　)A.p1≥p2 B.p2>10p3C.p3=100p0 D.p1≤100p2【解析】选ACD.燃油汽车Lp1=20×lgp1p0∈[60,90],所以p1p0=10Lp120,Lp1∈[60,90],①同理p2p0=10Lp220,Lp2∈[50,60],②p3p0=10Lp320=102=100.③对于A,由题表知Lp1≥Lp2,所以A正确;对于B,②÷③得,p2p3=10Lp2-Lp320∈[1012,101],所以p2p3≤10,所以B错误;对于C,p3p0=10Lp320=102=100,所以C正确;对于D,①÷②得,p1p2=10Lp1-Lp220∈[100,102],所以p1p2∈[1,100],p1≤100p2,所以D正确.【解题技法】求解已知函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.(2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数.(3)利用该函数模型,借助函数的性质、导数等求解实际问题,并进行检验.【对点训练】我国物流行业蓬勃发展,极大地促进了社会经济发展和资源整合.已知某类果蔬的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=eax+b(a,b为常数),若该果蔬在6℃的保鲜时间为216小时,在24℃的保鲜时间为8小时,那么在12℃时,该类果蔬的保鲜时间为(　　)A.72小时 B.36小时C.24小时 D.16小时【解析】选A.当x=6时,e6a+b=216;当x=24时,e24a+b=8,则e6a+be24a+b=2168=27,整理可得e6a=13.于是eb=216×3=648,当x=12时,y=e12a+b=(e6a)2·eb=19×648=72.考点三　构造函数模型的实际问题角度1 构造二次函数模型[例3]如图所示,一直角墙角,两边的长度足够长,在P处有一棵树与两墙的距离分别是a m(00)模型[例5]智能辅助驾驶已开始得到初步应用,其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与障碍物之间的距离,并结合车速转化为所需时间,当此距离等于报警距离时就开始报警,等于危险距离时就自动刹车.若将报警时间划分为4段,分别为准备时间t0与人的反应时间t1,系统反应时间t2,制动时间t3,相应的距离分别为d0,d1,d2,d3,如图所示.当车速为v(米/秒),且020.(1)写出年利润W(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:万台)的函数解析式(利润=销售收入-成本);(2)当年产量为多少万台时,该公司获得的年利润最大?并求最大年利润.【解析】(1)由题意知,W(x)=xG(x)-80x-50,所以W(x)=-2x2+100x-50,020.(2)由(1)知,W(x)=-2(x-25)2+1 200,020,所以当020时,W(x)≤1 960-210(x+1)·9 000x+1=1 360,当且仅当x=29时等号成立.由于1 360>1 150,所以当年产量为29万台时,该公司获得的年利润最大,为1 360万元.【课程标准】1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.3.会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律,了解函数模型在社会生活中的广泛应用.【考情分析】考点考法:高考命题常以指数、对数、幂函数及分段函数为载体,考查利用函数模型解决实际问题,与指数、对数函数相关的数学文化、社会热点等问题是高考热点,常以选择题形式出现.核心素养:直观想象、数学运算、数学建模　　　函数性质　　　y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xn(n>0)在(0,+∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳函数模型函数解析式一次函数模型f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)与反比例函数相关的模型f(x)=kx+b(k,b为常数且k≠0)与指数函数相关的模型f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)与对数函数相关的模型f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)与幂函数相关的模型f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0,α≠0)类型辨析改编易错高考题号1243A打折出售的售价为100×(1+10%)×910=99(元).所以每件赔1元×B当x=2时,2x=x2=4.×C如a=x0=12,n=14,不等式成立.×声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060~90混合动力汽车1050~60电动汽车1040阶段准备人的反应系统反应制动时间t0t1=0.8秒t2=0.2秒t3距离d0=10米d1d2d3=v220k米