2025届高考数学一轮复习教师用书第三章第二节第1课时函数的单调性与最值讲义（Word附解析）

第二节　函数的基本性质第1课时　函数的单调性与最值【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.函数的单调性(1)增函数与减函数(2)单调区间的定义如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫做函数y=f(x)的单调区间.【微点拨】有多个单调区间时应分开写,不能用符号“∪”连接,也不能用“或”连接,只能用“,”或“和”连接.2.函数的最值【微点拨】(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到;(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值.【基础小题·自测】1.(多维辨析)(多选题)下列结论错误的是 (　　)A.对于函数y=f(x),若f(1)0,则函数f(x)在区间D上是增函数【解析】选ABC.2.(必修第一册P81练习T3·变条件)已知函数f(x)=2x+1,x∈[0,2],则f(x)的最大值为________,最小值为__________. 【解析】因为函数f(x)在[0,2]上单调递减,所以f(x)max=f(0)=2,f(x)min=f(2)=23.答案:2　233.(2023·北京高考)下列函数中在区间(0,+∞)上单调递增的是 (　　)A.f(x)=-ln x B.f(x)=12xC.f(x)=-1x D.f(x)=3|x-1|【解析】选C.对A选项,y=ln x在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)=-ln x在(0,+∞)上单调递减,A选项错误;对B选项,y=2x在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)=12x在(0,+∞)上单调递减,B选项错误;对C选项,y=1x在(0,+∞)上单调递减,所以f(x)=-1x在(0,+∞)上单调递增,C选项正确;对D选项,f(x)=3|x-1|在(0,+∞)上不是单调的,D选项错误.4.(忽视函数的定义域)已知函数y=f(x)是定义在[-2,2]上的减函数,且f(a+1)2a,得-1≤a<1.答案:[-1,1)【巧记结论·速算】1.若函数f(x),g(x)在区间D上具有单调性,则在区间D上具有以下性质:(1)当f(x),g(x)都是增(减)函数时,f(x)+g(x)是增(减)函数;(2)若k>0,则kf(x)与f(x)单调性相同;若k<0,则kf(x)与f(x)单调性相反;(3)函数y=f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y=-f(x),y=1f(x)的单调性相反;(4)复合函数y=f[g(x)]的单调性与y=f(u)和u=g(x)的单调性有关,简记:同增异减.2.增函数(减函数)的等价变形:∀x1,x2∈[a,b]且x1≠x2,则:(1)(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0⇔f(x1)-f(x2)x1-x2>0⇔f(x)在[a,b]上是增函数;(2)(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0⇔f(x1)-f(x2)x1-x2<0⇔f(x)在[a,b]上是减函数.【即时练】1.下列函数中,满足“∀x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0”的是 (　　)A.y=1x-x B.y=x2-xC.y=ln x-x D.y=ex【解析】选A.由(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0可知,f(x)在(0,+∞)上单调递减.对于选项A,y=1x在(0,+∞)上单调递减,y=x在(0,+∞)上单调递增,则y=1x-x在(0,+∞)上单调递减;B,C选项中的函数在(0,+∞)上均不单调;选项D中,y=ex在(0,+∞)上单调递增.2.函数f(x)=log2(x2-4)的单调递增区间为________. 【解析】由x2-4>0得x<-2或x>2.又u=x2-4在(-∞,-2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,y=log2u为增函数,故f(x)的单调递增区间为(2,+∞).答案:(2,+∞)【核心考点·分类突破】考点一　函数的单调区间[例1](1)(多选题)下列是函数f(x)=|x2-6x+8|的单调递减区间的是 (　　)A.(-∞,2) B.(-∞,3)C.[3,4] D.(2,3)【解析】选AC.因为f(x)=|x2-6x+8|=x2-6x+8,x≥4,-x2+6x-8,20,解得x<-3或x>1,因为t=x2+2x-3在(1,+∞)上单调递增,所以函数y=log5(x2+2x-3)的单调递增区间为(1,+∞).答案:(1,+∞)【解题技法】求函数的单调区间的方法(1)图象法:如果f(x)是以图象给出的,或者f(x)的图象易作出,可由函数图象直观地写出它的单调区间.(2)复合函数法:①求函数的定义域;②求简单函数的单调区间;③求复合函数的单调区间,依据是“同增异减”.【对点训练】1.(多选题)下列函数在(0,+∞)上单调递增的是 (　　)A.y=ex-e-x B.y=|x2-2x|C.y=x+cos x D.y=x2+x-2【解析】选AC.因为y=ex与y=-e-x为R上的增函数,所以y=ex-e-x为R上的增函数,故A正确;由y=|x2-2x|的图象(图略)知,B不正确;y'=1-sin x≥0,所以y=x+cos x在R上为增函数,故C正确;y=x2+x-2的定义域为(-∞,-2]∪[1,+∞),故D不正确.2.函数y=x2+x-6的单调递增区间为________,单调递减区间为________. 【解析】令u=x2+x-6,则y=x2+x-6可以看作是由y=u与u=x2+x-6复合而成的函数.令u=x2+x-6≥0,解得x≤-3或x≥2.易知u=x2+x-6在(-∞,-3]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,而y=u在[0,+∞)上单调递增,所以y=x2+x-6的单调递减区间为(-∞,-3],单调递增区间为[2,+∞).答案:[2,+∞)　(-∞,-3]3.(创新题)设函数f(x)=1,x>0,0,x=0,-1,x<0,g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的单调递减区间是________. 【解析】由题意知g(x)=x2,x>1,0,x=1,-x2,x<1,该函数图象如图所示,其单调递减区间是[0,1).答案:[0,1)考点二　函数单调性的判断与证明[例2](1)(2021·全国甲卷)下列函数是增函数的为 (　　)A.f(x)=-x B.f(x)=23xC.f(x)=x2 D.f(x)=3x【解析】选D. 因为f(x)=-x在其定义域上为减函数,所以选项A错误;由指数函数的性质可知,f(x)=23x在其定义域上为减函数,所以选项B错误;由二次函数的性质可知,f(x)=x2在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增, 所以选项C错误;由幂函数的性质可知,f(x)=3x在其定义域上为增函数,所以选项D正确.(2)设函数f(x)=x2+1-2x,证明:函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递减.【证明】方法一(定义法):∀x1,x2∈[0,+∞),且x10,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递减.方法二(导数法):对f(x)=x2+1-2x求导,得f'(x)=12·2xx2+1-2=xx2+1-2,因为x≥0,所以xx2+1<1,所以f'(x)<0,故f(x)在[0,+∞)上单调递减.【解题技法】判断函数的单调性的方法【对点训练】　讨论函数f(x)=axx2-1(a>0)在(-1,1)上的单调性.【解析】∀x1,x2∈(-1,1),且x10,(x12-1)(x22-1)>0.当a0,则x1x2+1>0;当-10;当00,综上,x1x2+1>0,又a>0,所以f(x1)-f(x2)>0,故函数f(x)在(-1,1)上单调递减.考点三　函数单调性的应用角度1 利用单调性比较大小[例3]设函数f(x)定义在实数集上,它的图象关于直线x=1对称,且当x≥1时,f(x)=3x-1,则 (　　)A.f(13)f(12)>f(23),即f(23)3,则a的取值范围是__________. 【解析】因为y=13x在R上单调递减,y=log2(x+2)在(-2,+∞)上单调递增,所以f(x)=13x-log2(x+2)在定义域(-2,+∞)上单调递减,且f(-1)=3,由f(a-2)>3,得f(a-2)>f(-1),所以a-2<-1a-2>-2,解得0a>b B.c>b>aC.a>c>b D.b>a>c【解析】选D.依题意f(x)在(1,+∞)上单调递减,在(-∞,1)上单调递增,且f(x)关于x=1对称,所以a=f(-12)=f(52),所以f(e)0,且a≠1)在[0,1]上单调递减,则实数a的取值范围是________. 【解析】设u=2-ax,因为a>0,且a≠1,所以函数u在[0,1]上单调递减.由题意可知函数y=logau在[0,1]上单调递减,所以a>1.又因为u=2-ax在[0,1]上要满足u>0,所以2-a>0,得a<2.综上得10)在区间0,+∞上的单调性;(3)讨论函数y=x-1x的单调性.【解析】(1)设y=f(x),x19,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)0,即f(x1)>f(x2),所以y=f(x)在区间0,3上单调递减;故函数y=x+9x在区间0,3上单调递减,在区间3,+∞上单调递增.(2)设y=f(x),x1k,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)0,即f(x1)>f(x2),所以y=f(x)在区间0,k上单调递减;故函数y=x+kx在区间0,k上单调递减,在区间k,+∞上单调递增.(3)设y=f(x),定义域D=-∞,0∪(0,+∞),设x10,因为x10,因为x10时,常把f(x)称为“对勾函数”.(2)当ab<0时,常把f(x)称为“飘带函数”.【对点训练】1.已知x∈12,2,则①函数f(x)=25x+9x的值域为__________;②函数g(x)=25x-9x的值域为__________. 【解析】①易知函数f(x)=25x+9x在12,2上为“对勾函数”的一部分,解方程25x=9x得x=35(负根舍去),所以f(x)在12,35上单调递减,在35,2上单调递增,又f(12)=612,f(35)=30,f(2)=1092,所以f(x)min=f(35)=30,f(x)max=f(2)=1092.②易知函数g(x)=25x-9x在12,2上为“飘带函数”的一部分,且g(x)在12,2上单调递增,所以g(x)min=g(12)=-112,g(x)max=g(2)=912.答案:①30,1092　②-112,9122.函数f(x)=x2-ax+1≥0在-3,12内恒成立,则实数a的取值范围是__________. 【解析】当x∈-3,0时,由x2-ax+1≥0,得a≥x+1x,所以a≥x+1xmax=-2;当x=0时,f(0)=1≥0成立,a∈R;当x∈0,12时,a≤x+1xmin=52.综上可得,实数a的取值范围是-2,52.答案:-2,523.方程x2-mx+1=0的两根为α,β,且α>0,1<β<2,则实数m的取值范围是__________. 【解析】由题意可知,α+β=mαβ=1,所以m=β+1β,β∈1,2,形如函数f(x)=x+1x在1,2上是增函数,所以可直接得到m∈f(1),f(2),即1+10时,f(mx)+mf(x)=2mx-1+m2mx,是形如f(x)=ax+bx(a>0,b<0)的函数.在1,+∞上单调递增,则f(mx)+mf(x)<0不恒成立,因此m>0不成立.当m<0时,f(mx)+mf(x)=2mx-1+m2mx,是形如f(x)=ax+bx(a<0,b>0)的函数.在1,+∞上是减函数,因此,当x=1时,f(mx)+mf(x)的最大值为m-1m,于是f(mx)+mf(x)<0恒成立等价于f(mx)+mf(x),x∈1,+∞的最大值小于0,即m<0,m-1m<0,解得m<-1,所以实数m的取值范围是-∞,-1.答案:-∞,-1【重难突破】求函数的值域基本初等函数的值域(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:当a>0时,值域为[4ac-b24a,+∞);当a<0时,值域为(-∞,4ac-b24a].(3)y=kx(k≠0)的值域是(-∞,0)∪(0,+∞).(4)y=ax(a>0,且a≠1)的值域是(0,+∞).(5)y=logax(a>0,且a≠1)的值域是R.类型一 直接法(观察法)对于较简单的函数,直接观察即可确定函数的值域.[例1](1)(多选题)下列函数中,值域为[1,+∞)的是 (　　)A.y=x-1 B.y=|x|+1C.y=x2+1 D.y=1x-1【解析】选BC.对于A,函数的值域为[0,+∞),所以该选项不符合题意;对于B,因为|x|≥0,所以|x|+1≥1,所以函数的值域为[1,+∞),所以该选项符合题意;对于C,因为x2≥0,所以x2+1≥1,所以x2+1≥1,所以函数的值域为[1,+∞),所以该选项符合题意;对于D,函数的值域为(0,+∞),所以该选项不符合题意.(2)函数f(x)=(x+1)2,-2≤x<1-x+5,1≤x≤3的值域是__________.(用区间表示) 【解析】当-2≤x<1时,f(x)=(x+1)2,为开口向上,对称轴为x=-1的抛物线,所以f(x)∈[0,4);当1≤x≤3时,f(x)=-x+5,为单调递减函数,所以f(x)∈[2,4],综上,f(x)∈[0,4],即f(x)的值域为[0,4].答案:[0,4]【对点训练】1.函数y=16-2x的值域为________. 【解析】因为16-2x≥0,即2x≤16,所以x≤4,所以2x∈(0,16],所以16-2x∈[0,16).y=16-2x∈[0,4).答案:[0,4)2.函数f(x)=23x+1+1的值域为________. 【解析】易得3x+1∈(1,+∞).得f(x)=23x+1+1∈(1,3),故函数f(x)=23x+1+1的值域为(1,3).答案:(1,3)类型二 配方法形如函数y=a[f(x)]2+bf(x)+c的最值问题,可以考虑用配方法.[例2]函数y=-x2+x+2的值域为____________. 【解析】因为函数y=-x2+x+2=-(x-12) 2+94,所以0≤y≤32,所以函数的值域为[0,32].答案:[0,32]类型三 判别式法(1)分式函数分子分母的最高次幂为二次时,可整理成关于x的二次方程,方程有解,则判别式大于或等于0,即解得y的取值范围,得到值域;(2)适用于函数的定义域为R的情况.[例3]函数y=2xx2+x+1的值域为__________. 【解析】由y=2xx2+x+1得,yx2+(y-2)x+y=0(※),则该方程有解,①当y=0时,方程(※)可化为-2x=0,方程有解,符合题意;②当y≠0时,要使方程(※)有解,当且仅当Δ=(y-2)2-4y2≥0,解得-2≤y≤23,且y≠0.综上所述,-2≤y≤23,故原函数的值域是[-2,23].答案: [-2,23]类型四 基本不等式法配凑成y=ax+bx(a,b同号)的形式,再利用基本不等式求函数的最值,进而得到函数的值域.[例4]若x≥52,则函数f(x)=x2-4x+52x-4的最小值为________. 【解析】因为x≥52,所以x-2>0,所以f(x)=x2-4x+52x-4=(x-2)2+12(x-2)=x-22+12(x-2)≥2x-22·12(x-2)=1,当且仅当x-22=12(x-2),即x=3时等号成立.因为x=3在定义域内,所以最小值为1.答案:1类型五 反解法与分离常数法形如f(x)=ax+bcx+d的函数可用反解法或分离常数法.[例5](1)函数y=3x+45x+6的值域为____________. 【解析】方法一(反解法):x=4-6y5y-3,所以y≠35.所以值域为{y|y≠35}.方法二(分离常数法):y=35(5x+6)+255x+6=35+255x+6≠35,故值域为{y|y≠35}.答案:{y|y≠35}(2)函数y=1-2x1+2x的值域为____________. 【解析】方法一(反解法):由y=1-2x1+2x,得2x=1-y1+y>0,所以(1-y)(1+y)>0,所以(y-1)(y+1)<0.所以-10,所以1+2x>1,0<21+2x<2,-1<-1+21+2x<1.所以值域为(-1,1).答案:(-1,1)类型六 换元法通过换元,将较复杂的值域问题转化为求某些基本初等函数的值域.[例6](1)函数y=x+1-2x的值域为__________. 【解析】令t=1-2x≥0,则x=1-t22,所以y=-12t2+t+12=-12(t-1)2+1(t≥0),故当t=1时,y取得最大值为1,没有最小值,故值域为(-∞,1].答案:(-∞,1](2)函数y=x+4-x2的值域为__________. 【解析】由4-x2≥0,得-2≤x≤2,所以设x=2cos θ(θ∈[0,π]),则y=2cos θ+4-4cos2θ=2cos θ+2sin θ=22sin(θ+π4).因为θ+π4∈[π4,5π4],所以sin(θ+π4)∈[-22,1],所以y∈[-2,22].答案:[-2,22]类型七 单调性法函数为一般函数或者复合函数,其单调性容易确定.[例7](1)函数y=log12x+12x,x∈[1,2]的值域为____________. 【解析】函数y1=log12x,y2=12x均在[1,2]上单调递减,所以y=log12x+12x在[1,2]上单调递减,所以log122+122≤y≤log121+12,即-34≤y≤12,所以函数的值域为[-34,12].答案: [-34,12](2)求函数y=(12) -x2+2x的值域为________. 【解析】令μ=-x2+2x,所以y=(12)μ.因为μ=-x2+2x在(-∞,1]上单调递增,在[1,+∞)上单调递减.y=(12)μ在定义域上是减函数,所以y=(12) -x2+2x在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,所以ymin=12,所以函数的值域为[12,+∞).答案:[12,+∞)类型八 数形结合法由函数的解析式可以绘制出函数的大致图象走势和函数在关键点处的函数值,或通过几何意义转化为几何问题进行求解.[例8](1)函数y=3-sinx2-cosx的值域为____________________. 【解析】由题意可得,函数可看成定点(2,3)到动点(cos x,sin x)连线的斜率,又因为动点(cos x,sin x)在单位圆上,所以问题转化为求定点(2,3)到单位圆连线的斜率的问题.设直线的方程为y-3=k(x-2),所以kx-y-2k+3=0,因为直线与圆相切,所以1=|-2k+3|k2+1,所以k=6±233,所以函数的值域为[6-233,6+233].答案:[6-233,6+233](2)函数f(x)=2x-3--x2+6x-8的值域为__________. 【解析】f(x)=2x-3--x2+6x-8=2x-3-1-(x-3)2,由-x2+6x-8≥0,解得2≤x≤4,令t=2x-3-1-(x-3)2,即1-(x-3)2=2x-3-t,将函数f(x)=2x-3--x2+6x-8的值域转化为y=1-(x-3)2与y=2x-3-t有交点时t的取值范围,在同一坐标系中作函数y=1-(x-3)2与y=2x-3-t的图象如图所示:由图象知:当直线y=2x-3-t与半圆(x-3)2+y2=1相切时,t最小,此时|3-t|1+4=1,解得t=3±5,由图象知t=3-5,当直线y=2x-3-t过点(4,0)时,t最大,此时t=5,所以t∈[3-5,5],即f(x)的值域是[3-5,5].答案:[3-5,5]课程标准1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值,理解它们的作用和实际意义.2.理解函数的单调性、最值的实际意义,掌握函数单调性的简单应用.考情分析考点考法:函数的单调性是函数的重要性质之一,高考对单调性与最值的考查常常与其他知识相结合,小题和大题均有考查,小题的考查与对数函数结合,考查复合函数的单调性与最值;大题的考查与导数结合,考查函数的单调性与最值.核心素养:数学抽象、逻辑推理、数学运算.项目增函数减函数定义设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D,如果∀x1,x2∈I当x1f(x2),那么就称函数f(x)在区间I上单调递减.特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的前提设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足条件∀x∈D,都有f(x)≤M;∃x0∈D,使得f(x0)=M∀x∈D,都有f(x)≥M;∃x0∈D,使得f(x0)=M结论M为最大值M为最小值类型辨析改编易错高考题号1243A应对任意的x10,b>0a<0,b<0图象定义域(-∞,0)∪(0,+∞)值域-∞,-2ab∪2ab,+∞奇偶性奇函数单调性增区间: (-∞,-ba)和(ba,+∞)减区间: (-ba,0)和(0,ba)增区间: (-ba,0)和(0,ba)减区间: (-∞,-ba)和(ba,+∞)渐近线一条是直线y=ax,另一条是x=0项目a>0,b<0a<0,b>0图象定义域(-∞,0)∪(0,+∞)值域(-∞,+∞)奇偶性奇函数单调性增区间:(-∞,0)和(0,+∞)减区间:(-∞,0)和(0,+∞)渐近线一条是直线y=ax,另一条是x=0