2025届高考数学一轮复习教师用书第四章第一节导数的概念及其意义、导数的运算讲义（Word附解析）

第四章 一元函数的导数及其应用第一节　导数的概念及其意义、导数的运算【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.导数的概念(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数记作f'(x0)或y'|x=x0.(2)函数y=f(x)的导函数2.导数的几何意义函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,相应的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).【微点拨】求曲线的切线时,要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别,前者点P是切点,只有一条切线,而后者点P可以不是切点包括了前者.3.基本初等函数的导数公式4.导数的运算法则若f'(x),g'(x)存在,则有[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)[g(x)]2(g(x)≠0);[cf(x)]'=cf'(x).5.复合函数的定义及其导数(1)一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)与u=g(x)的复合函数,记作y=f(g(x)).(2)复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=y'u·u'x,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.【微点拨】在复合函数求导中要分清每一步求导是哪个变量对哪个变量的求导,不能混淆.【基础小题·自测】1.(多维辨析)(多选题)下列结论错误的是(　　)A.f'(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的瞬时变化率B.函数f(x)=sin (-x)的导数f'(x)=cos xC.求f'(x0)时,可先求f(x0),再求f'(x0)D.曲线y=f(x)在某点处的切线与曲线y=f(x)过某点的切线意义是相同的【解析】选BCD.2.(2023·全国甲卷)曲线y=exx+1在点(1,e2)处的切线方程为(　　)A.y=e4x B.y=e2x　C.y=e4x+e4 D.y=e2x+3e4【解析】选C.设曲线y=exx+1在点(1,e2)处的切线方程为y-e2=k(x-1),因为y=exx+1,所以y'=ex(x+1)-ex(x+1)2=xex(x+1)2,所以k=e4,所以y-e2=e4(x-1),所以曲线y=exx+1在点(1,e2)处的切线方程为y=e4x+e4.3.(选择性必修二·P81T6·变形式)已知函数f(x)满足f(x)=f'(π4)cos x-sin x,则f'(π4)= 1-2. 【解析】f'(x)=-f'(π4)sin x-cos x,令x=π4,得f'(π4)=-22f'(π4)-22,解得f'(π4)=1-2.4.(混淆在点P处的切线和过P点的切线)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则a的值为1e;b的值为-1. 【解析】y'=aex+ln x+1,所以ae+1=2,ae=2+b,解得a=1e,b=-1.【巧记结论·速算】1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数.2.函数y=f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f'(x)|反映了变化的快慢,|f'(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.【即时练】1.已知函数f(x)满足以下三个条件:①f(x)的导函数f'(x)为奇函数;②f(0)≠0;③在区间[-2,-1]上单调递增,则f(x)的一个解析式为f(x)= -x2+1(答案不唯一). 【解析】由条件①知f(x)为偶函数,可设f(x)=ax2+c,因为f(0)≠0,所以c≠0,又f(x)在区间[-2,-1]上单调递增,所以a<0,因此满足条件的一个解析式为f(x)=-x2+1.2.(多选题)已知函数f(x)的图象如图所示,f'(x)是f(x)的导函数,则下列结论正确的是(　　)A.f'(3)>f'(2) B.f'(3)f'(3) D.f(3)-f(2)f'(3)>0,故A错误,B正确.设A(2,f(2)),B(3,f(3)),则f(3)-f(2)=f(3)-f(2)3-2=kAB,由题图知f'(3)0时y=ln x,设切点为(x0,ln x0),由y'=1x,所以y'|x=x0=1x0,所以切线方程为y-ln x0=1x0(x-x0), 又切线过坐标原点,所以-ln x0=1x0(-x0),解得x0=e,所以切线方程为y-1=1e(x-e),即y=1ex; 当x<0时y=ln(-x),设切点为(x1,ln(-x1)),由y'=1x,所以y'|x=x1=1x1,所以切线方程为y-ln(-x1)=1x1(x-x1), 又切线过坐标原点,所以-ln(-x1)=1x1(-x1),解得x1=-e,所以切线方程为y-1=1-e(x+e),即y=-1ex. 【解题技法】 求曲线过点P的切线方程的方法 (1)当点P(x0,y0)是切点时,切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0); (2)当点P(x0,y0)不是切点时,可分以下几步完成: 第一步:设出切点坐标P'(x1,f(x1)); 第二步:写出过点P'(x1,f(x1))的切线方程y-f(x1)=f'(x1)(x-x1); 第三步:将点P的坐标(x0,y0)代入切线方程求出x1; 第四步:将x1的值代入方程y-f(x1)=f'(x1)(x-x1)可得过点P(x0,y0)的切线方程. 角度2 求切点坐标 [例4](1)已知曲线y=x22-3ln x的一条切线的斜率为2,则切点的横坐标为(　　) A.3 B.2 C.1 D.12 【解析】选A.设切点坐标为(x0,y0),且x0>0,由y'=x-3x,得切线斜率k=x0-3x0=2,所以x0=3.(2)(2023·贵阳模拟)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,且曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线与直线x+y=0垂直,则切点P(x0,f(x0))的坐标为(0,0). 【解析】因为f(x)=x3+(a-1)x2+ax,所以f'(x)=3x2+2(a-1)x+a.又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x)恒成立,即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax恒成立,所以a=1,f'(x)=3x2+1,令3x02+1=1,得x0=0,f(x0)=0,所以切点P(x0,f(x0))的坐标为(0,0).【解题技法】求切点坐标的思路(1)已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,再让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标.(2)已知曲线外一点求切点的一般思路是先设出切点坐标,列出切线方程,将切点代入曲线方程,已知点代入切线方程联立方程组求出切点坐标.角度3 求参数的值(范围)[例5](1)(2023·重庆模拟)已知a为非零实数,直线y=x+1与曲线y=aln(x+1)相切,则a= e. 【解析】设切点坐标为(t,aln(t+1)),对函数y=aln(x+1)求导得y'=ax+1,所以at+1=1,aln(t+1)=t+1,解得t=e-1,a=e.(2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是(-∞,-4)∪(0,+∞). 【解析】因为y=(x+a)ex,所以y'=(x+1+a)ex,设切点为(x0,y0),则y0=(x0+a)ex0,切线斜率k=(x0+1+a)ex0,切线方程为:y-(x0+a)ex0=(x0+1+a)ex0(x-x0),因为切线过原点,所以-(x0+a)ex0=(x0+1+a)ex0(-x0),整理得x02+ax0-a=0,因为切线有两条,所以Δ=a2+4a>0,解得a<-4或a>0,故a的取值范围是(-∞,-4)∪(0,+∞).【解题技法】利用导数的几何意义求参数的方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组),进而求出参数的值或取值范围.提醒:(1)注意曲线上横坐标的取值范围;(2)谨记切点既在切线上又在曲线上.【对点训练】1.(2023·大同模拟)已知函数f(x)=2e2ln x+x2,则曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为(　　)A.4ex-y+e2=0 B.4ex-y-e2=0C.4ex+y+e2=0 D.4ex+y-e2=0【解析】选B.因为f(x)=2e2ln x+x2,所以f'(x)=2e2x+2x,所以f(e)=2e2ln e+e2=3e2,f'(e)=4e,所以曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为y-3e2=4e(x-e),即4ex-y-e2=0.2.(2023·泸州模拟)已知曲线y=acosxx在点(π,-aπ)处的切线方程为y=2π2x+b,则a的值是(　　)A.4π B.-2 C.-4π D.2【解析】选D.令y=f(x)=acosxx,则f'(x)=-a(xsinx+cosx)x2,曲线在点(π,-aπ)处的切线的斜率为f'(π)=aπ2=2π2,解得a=2.3.设a∈R,函数f(x)=ex+aex是偶函数,若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是32,则切点的横坐标为ln 2. 【解析】由f(x)为偶函数,易得a=1.所以f(x)=ex+e-x,f'(x)=ex-e-x.设切点为(x0,y0),则f'(x0)=ex0-e-x0=32,解得x0=ln 2.【重难突破】两曲线的公切线问题的求法解决两曲线的公切线问题的两种方法(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切,列出关系式求解.(2)设公切线l在y=f(x)上的切点P1(x1,f(x1)),在y=g(x)上的切点P2(x2,g(x2)),则f'(x1)=g'(x2)=f(x1)-g(x2)x1-x2.类型一 求两曲线的公切线[例1](2023·湘潭模拟)已知直线l是曲线y=ex-1与y=ln x+1的公共切线,则l的方程为y=ex-1或y=x. 【解析】直线l与曲线y=ex-1相切,设切点为(a,ea-1),y'=ex,切线的斜率为ea,切线方程为y-ea+1=ea(x-a),即y=eax-aea+ea-1.直线l与y=ln x+1相切,设切点为(b,ln b+1),y'=1x,切线的斜率为1b,切线方程为y-ln b-1=1b(x-b),即y=1bx+ln b.直线l是曲线y=ex-1与y=ln x+1的公共切线,可得1b=ea,lnb=-aea+ea-1,解得a=1,b=1e或a=0,b=1,所以l的方程为y=ex-1或y=x.类型二切点相同的公切线问题[例2](2023·金华模拟)已知函数f(x)=ax2与g(x)=ln x的图象在公共点处有共同的切线,则实数a的值为12e. 【解析】设公共点为P(x0,y0)(x0>0),则ax02=ln x0.由f(x)=ax2,得f'(x)=2ax,由g(x)=ln x,得g'(x)=1x.因为函数f(x)与g(x)的图象在公共点P(x0,y0)处有共同的切线,所以f'(x0)=g'(x0),即2ax0=1x0,得a=12x02,所以12x02·x02=ln x0,即ln x0=12,得x0=e12,所以a=12x02=12·(e12) 2=12e.类型三 切点不同的公切线问题[例3]若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=1-ln 2. 【解析】y=ln x+2的切线为y=1x1·x+ln x1+1(设切点横坐标为x1),y=ln(x+1)的切线为y=1x2+1x+ln(x2+1)-x2x2+1(设切点横坐标为x2),所以1x1=1x2+1,ln x1+1=ln(x2+1)-x2x2+1,解得x1=12,x2=-12,所以b=ln x1+1=1-ln 2.【对点训练】1.若曲线f(x)=acos x与曲线g(x)=x2+bx+1在交点(0,m)处有公切线,则a+b=(　　)A.-1 B.0 C.1 D.2【解析】选C.依题意得,f'(x)=-asin x,g'(x)=2x+b,于是有f'(0)=g'(0),即-asin 0=2×0+b,解得b=0.又m=f(0)=g(0),即m=a=1,所以a+b=1.2.(一题多法)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=8. 【解析】方法一:因为y=x+ln x,所以y'=1+1x,y'|x=1=2,所以曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.因为y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,所以a≠0(当a=0时曲线变为y=2x+1与已知直线平行).由y=2x-1,y=ax2+(a+2)x+1,消去y,得ax2+ax+2=0.由Δ=a2-8a=0,解得a=8.方法二:同方法一得切线方程为y=2x-1.设y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切于点(x0,ax02+(a+2)x0+1).因为y'=2ax+a+2,所以y'|x=x0=2ax0+a+2.由2ax0+a+2=2,ax02+(a+2)x0+1=2x0-1,解得x0=-12,a=8.3.若曲线C1:y=ax2(a>0)与曲线C2:y=ex存在公共切线,则a的取值范围为[e24,+∞). 【解析】由y=ax2(a>0)得y'=2ax,由y=ex得y'=ex.设公切线与曲线C1切于点(x1,ax12),与曲线C2切于点(x2,ex2),则2ax1=ex2=ex2-ax12x2-x1,可得2x2=x1+2,所以a=ex12+12x1.因为a>0,所以x1>0,记f(x)=ex2+12x(x>0),则f'(x)=ex2+1(x-2)4x2,当x∈(0,2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.所以当x=2时,f(x)min=e24>0,所以a的取值范围为[e24,+∞).【课程标准】1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象,理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数的导数.【考情分析】考点考法:高考命题常以导数的运算和几何意义为重点考查内容,考查形式以选择题、填空题为主,属于中档题.核心素养:数学抽象、数学运算、直观想象基本初等函数导函数f(x)=c(c为常数)f'(x)=0f(x)=xα(α∈Q,且α≠0)f'(x)=αxα-1f(x)=sin xf'(x)=cos xf(x)=cos xf'(x)=-sin xf(x)=ax(a>0,且a≠1)f'(x)=axln af(x)=exf'(x)=exf(x)=logax(a>0,且a≠1)f'(x)=1xlnaf(x)=ln xf'(x)=1x类型辨析改编易错高考题号1342Bf(x)=sin (-x)=-sin x,则f'(x)=-cos x.×C求f'(x0)时,应先求f'(x),再代入求值,错误.×D“在某点”的切线是指以该点为切点的切线,因此此点横坐标处的导数值为切线的斜率;而对于“过某点”的切线,则该点不一定是切点,要利用解方程组的思想求切线的方程,在曲线上某点处的切线只有一条,但过某点的切线可以不止一条.×