2025届高考数学一轮复习教师用书第十一章第七节正态分布讲义（Word附解析）

第七节　正态分布【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.正态分布的定义若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)=1σ2π·e-(x-μ)22σ2,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数,则称随机变量X服从正态分布,记为X~N(μ,σ2).2.正态曲线的特点(1)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;(2)曲线在x=μ处达到峰值1σ2π;(3)当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.3.3σ原则(1)P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7;(2)P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5;(3)P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.4.正态分布的均值与方差若X~N(μ,σ2),则E(X)=μ,D(X)=σ2.【微点拨】(1)当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移;(2)当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散.【基础小题·自测】1.(多维辨析)(多选题)下列结论错误的是 (　　)A.正态曲线关于直线x=μ对称,在x轴上方B.正态曲线关于直线x=σ对称,只有当x∈(-3σ,3σ)时曲线才在x轴上方C.正态曲线和x轴围成的面积随μ的变化而变化D.正态曲线在x=μ时处于最高点,由这一点向左右两边延伸时,曲线逐渐降低【解析】选BC.2.(选择性必修第三册P87T3·变形式)随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-2σ≤X≤μ+σ)= (　　)附:A.0.818 6 B.0.477 2 C.0.84 D.0.975 9【解析】选A.由题意可得,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,所以P(μ-2σ≤X≤μ+σ)=12P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)+12P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.818 6.3.(对正态曲线的性质不清致误)设随机变量ξ服从正态分布N(0,1),若P(ξ>2)=p,则P(-2≤ξ≤0)= (　　)A.12+p B.1-p C.12-p D.1-2p【解析】选C.由对称性知P(ξ<-2)=p,所以P(-2≤ξ≤0)=1-2p2=12-p.4.(2022·新高考Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(22.5)=______. 【解析】因为X~N(2,σ2),所以P(X>2)=0.5,所以P(X>2.5)=P(X>2)-P(22= (　　)A.0.36 B.0.18 C.0.64 D.0.82【解析】选C.因为X~N5,σ2,所以PX≤2=PX≥8=0.36,所以PX>2=0.64.2.(多选题)若随机变量X~N(1,σ2),且正态分布N(1,σ2)的正态密度曲线如图所示,则下列选项中,可以表示图中阴影部分面积的是 (　　)A.12-P(X≤0)B.12-P(X≥2)C.12P(X≤2)-12P(X≤0)D.12-P(1≤X≤2)【解析】选ABC.根据正态分布的性质可知,正态密度曲线关于直线x=1对称,所以题图中阴影部分的面积为12-P(X≤0),A正确;根据对称性,P(X≤0)=P(X≥2),B正确;阴影部分的面积也可以表示为P(X≤2)-P(X≤0)2,C正确;阴影部分的面积也可以表示为P(0≤X≤1),而P(0≤X≤1)=P(1≤X≤2),D不正确.【核心考点·分类突破】考点一　正态分布的性质[例1](1)(多选题)甲、乙两类水果的质量(单位:kg)分别服从正态分布N(μ1,σ12),N(μ2,σ22),其正态密度曲线如图所示,则下列说法正确的是 (　　)A.甲类水果的平均质量为0.4kgB.甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于均值左右C.平均质量分布在[0.4,0.8]时甲类水果比乙类水果占比大D.σ2=1.99【解析】ABC.由题图可知,甲类水果的平均质量为μ1=0.4 kg,故A正确;由题图可知,甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于均值左右,故B正确;由题图可看出平均质量分布在[0.4,0.8]时甲类水果比乙类水果占比大,故C正确;乙类水果的质量服从的正态分布的参数满足12πσ2=1.99,则σ2≠1.99,故D错误.(2)设有一正态总体,它的正态密度曲线是函数f(x)的图象,且f(x)=18πe-(x-10)28(x∈R),则这个正态总体的平均数与标准差分别是 (　　)A.10与8 B.10与2 C.8与10 D.2与10【解析】选B.因为f(x)=18πe-(x-10)28,所以σ=2,μ=10,即正态总体的平均数与标准差分别为10与2.(3)(多选题)若随机变量ξ~N(0,1),则下列结论正确的是 (　　)A.该正态曲线关于直线x=1对称B.若P(ξ≤1.52)=0.935 7,则P(ξ>1.52)=0.064 3C.若P(ξ≤1.49)=0.931 9,则P(ξ≤-1.49)=0.931 9D.当x>0时,若P(ξ≥x)=φ(x),则P(|ξ|≥x)=2φ(x)【解析】选BD.由题设知,该正态曲线关于直线x=0对称,故A错误;由P(ξ>1.52)=1-P(ξ≤1.52)=0.064 3,故B正确;由P(ξ≤-1.49)=P(ξ>1.49)=1-P(ξ≤1.49)= 0.068 1,故C错误;P(|ξ|≥x)=P(ξ≥x)+P(ξ≤-x),由对称性知P(ξ≥x)=P(ξ≤-x),所以P(|ξ|≥x)=2φ(x),故D正确.【解题技法】利用正态分布性质解题的关键点对X~N(μ,σ2)中的μ,σ的意义不清楚,特别是对μ的认识不清楚,就会在解题时无从下手,导致随便给出一个结果.这里μ是随机变量X的均值,σ是标准差,x=μ是正态密度曲线的对称轴.【对点训练】1.(多选题)某次市教学质量检测中,甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多,成绩分布的直方图可视为正态分布),则由图中曲线可得下列说法中正确的是 (　　)A.甲、乙、丙的总体的平均数相同B.乙科总体的标准差及平均数都居中C.丙科总体的平均数最小D.甲科总体的标准差最大【解析】选AD.由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相同,由正态密度曲线的性质,可知σ越大,正态曲线越“矮胖”,σ越小,正态曲线越“瘦高”,故三科总体的标准差从大到小依次为甲、乙、丙.2.已知三个正态密度函数φi(x)=12πσie-(x-μi)22σi2(x∈R,i=1,2,3)的图象如图所示,则 (　　)A.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2>σ3　　B.μ1>μ2=μ3,σ1=σ2<σ3C.μ1=μ2<μ3,σ1<σ2=σ3　D.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2<σ3【解析】选D.由正态曲线关于直线x=μ对称,知μ1<μ2=μ3;σ的大小决定曲线的形状,σ越大,总体分布越分散,曲线越“矮胖”,σ越小,总体分布越集中,曲线越“瘦高”,则σ1=σ2<σ3.实际上,由φ1(μ1)=φ2(μ2)>φ3(μ3),即12πσ1=12πσ2>12πσ3,亦可推知σ1=σ2<σ3.考点二　服从正态分布的概率计算[例2](1)已知随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),若P(ξ<4)=0.9,则P(-2<ξ<1)= (　　)A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6【解析】选C.由题意可知μ=1,正态分布曲线关于直线x=1对称,P(ξ≥4)=1-P(ξ<4)=0.1.根据对称性可知P(ξ≤-2)=P(ξ≥4)=0.1,所以P(-2<ξ<1)=0.5-P(ξ≤-2)=0.5-0.1=0.4.(2)(2023·运城质检)在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0),若ξ在(0,2)内取值的概率为0.6,则ξ在[2,+∞)内取值的概率为 (　　)A.0.8 B.0.4 C.0.3 D.0.2【解析】选D.因为ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0),所以曲线的对称轴是直线x=1,又ξ在(0,2)内取值的概率为0.6,根据正态曲线的性质,则ξ在[2,+∞)内取值的概率为P(ξ≥2)=1-0.62=0.2.(3)(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2),下列结论中不正确的是 (　　)A.σ越小,该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B.该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C.该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D.该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等【解析】选D.对于A,σ2为数据的方差,所以σ越小,数据在μ=10附近越集中,所以测量结果落在(9.9,10.1)的概率越大,故A正确;对于B,由正态密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5,故B正确;对于C,由正态密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量中小于9.99的概率与大于10.01的概率相等,故C正确;对于D,该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同,故D错误.【解题技法】正态分布的概率计算的关键点正态分布的特点可结合图象记忆,并可根据μ和σ的不同取值得到不同的图象,特别地,当μ=0时,图象关于y轴对称.【对点训练】1.已知随机变量X服从正态分布N(5,4),且P(X>k)=P(Xk)=P(X22≈1-0.954 52=0.022 75 ,所以直径x 高于22的个数大约为2 718÷0.135 9×0.022 75=455 .答案:455(3)从某企业生产的某种产品中抽取1 000件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得频率分布表和频率分布直方图.①求m,n,a的值;②求出这1 000件产品质量指标值的样本平均数x(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);③由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数x,σ2近似为样本方差s2,其中已计算得σ2=52.6.如果产品的质量指标值位于区间(10.50,39.50),企业每件产品可以获利10元,如果产品的质量指标值位于区间(10.50,39.50)之外,企业每件产品要损失100元,从该企业一天生产的产品中随机抽取20件产品,记X为抽取的20件产品所获得的总利润,求E(X).附:52.6≈7.25.【解析】①结合题中频率分布表可以得到m=54,n=0.352,a=0.195=0.038.②抽取的1 000件产品质量指标值的样本平均数x=5×0.002+10×0.054+15×0.106+20×0.149+25×0.352+30×0.19+35×0.1+40×0.047=25.③因为52.6≈7.25,由②知Z~N(25,52.6),从而P(10.50108)=P(X>μ+σ)=1-P(μ-σ≤X≤μ+σ)2≈0.158 65,数学成绩为108分的学生大约排在全市第100 000×0.158 65=15 865(名).答案:15 865【重难突破】 概率与统计中的决策问题【考查形式】　试题多以相互独立事件的概率、随机变量的期望、二项分布等作为载体,考查数据处理能力、运算求解能力及数学的应用与创新意识.重点考查逻辑推理、数学建模、数学运算、数据分析等核心素养.【解题关键】 (1)会“评价”:在数据分析的基础上能够基于数字特征给出统计意义上的评价结论.(2)会“决策”:在基于数字特征给出有意义评价的基础上,分析利弊、观察风险,进而做出切实可行的合理决策方案或建议.类型一 与回归分析相关的预测性问题[例1]2021年6月,公安部推出国家级反诈防骗“王炸”系统——“国家反诈中心APP”,这是一款能有效预防诈骗、快速举报诈骗内容的软件,用户通过学习里面的防诈骗知识可以有效避免各种网络诈骗的发生。某省自“国家反诈中心APP”推出后,持续采取多措并举的推广方式,积极推动全省“国家反诈中心APP”安装注册工作.经统计,省反诈中心发现全省每月网络诈骗举报件数y(单位:件)与推广时间有关,并记录了经推广x个月后每月举报件数的数据:(1)现用y=a+bx作为回归方程模型,利用表中数据,求出该经验回归方程;(2)分析该省一直加大力度推广下去有可能将网络诈骗举报件数降至接近于零吗?参考数据(其中ti=1xi):【解析】(1)由题意知y=17(891+888+351+220+200+138+112)=400,令t=1x,设y关于t的经验回归方程为y=t+,则=1 000,则=400-1 000×0.37=30,所以y=1 000t+30,又t=1x,所以y关于x的经验回归方程为y=1 000x+30.(2)仅从现有统计数据所得回归方程y=1 000x+30,可发现当推广时间越来越长时,即x越来越大时,y的值会逐渐降至接近于30,可知该省一直加大力度推广下去,网络诈骗举报件数大概会逐渐降至30件,但在使用经验回归方程进行预测时,方程只适用于所研究的样本总体,一般具有时效性,不能期望回归方程得到的预报值就是响应变量的精确值,所以若加大力度一直推广下去,并随着国家对网络诈骗的严厉打击和科技发展,再加上相关部门对个人信息防护手段的加强,人们对网络诈骗犯罪的防范意识逐步提高,网络诈骗举报件数是有可能降至接近于零的.【解题技法】预测问题的解题策略(1)求经验回归方程;(2)利用经验回归方程进行预测,把回归直线方程看作一次函数,求函数值.【对点训练】为了巩固拓展脱贫攻坚的成果,某知名电商平台决定为脱贫乡村的特色水果开设直播带货专场.该特色水果的热卖黄金时段为2023年7月10日至9月10日,为了解直播的效果和关注度,该电商平台统计了已直播的2023年7月10日至7月14日时段中的相关数据,这5天的第x天到该电商平台专营店购物的人数y(单位:万人)的数据如下表:(1)依据表中的统计数据,请判断该电商平台的第x天与到该电商平台专营店购物的人数y(单位:万人)是否具有较高的线性相关程度;(参考:若0.3<|r|<0.75,则线性相关程度一般,若|r|>0.75,则线性相关程度较高,计算r时精确度为0.01)(2)求购买人数y与直播的天数x的线性回归方程,用样本估计总体,请预测从2023年7月10日起的第38天到该专营店购物的人数(单位:万人).参考数据: 【解析】(1)由题表中数据可得x=3,y=90,所以又所以≈0.97>0.75,所以该电商平台直播黄金时段的天数x与购买人数y具有较高的线性相关程度.所以可用线性回归模型拟合人数y与天数x之间的关系.(2)求购买人数y与直播的第x天的经验回归方程.用样本估计总体,预测从2023年7月10日起的第38天到该专营店购物的人数(单位:万人).由表中数据可得则=y-x=90-6.4×3=70.8,所以=6.4x+70.8.令x=38,可得=6.4×38+70.8=314(万人).类型二与期望和方差相关的决策性问题[例2]如图,某市有南、北两条城市主干道,在出行高峰期,北干道有N1,N2,N3,N4四个交通易堵塞路段,它们被堵塞的概率都是13,南干道有S1,S2两个交通易堵塞路段,它们被堵塞的概率分别为12,23.某人在高峰期驾车从城西开往城东,假设以上各路段是否被堵塞互不影响.(1)求北干道的N1,N2,N3,N4四个易堵塞路段至少有一个被堵塞的概率;(2)若南干道被堵塞路段的个数为X,求X的分布列及数学期望E(X);(3)若按照“平均被堵塞路段少的路线是较好的高峰期出行路线”的标准,则从城西开往城东较好的高峰期出行路线是哪一条?请说明理由.【解析】(1)记北干道的N1,N2,N3,N4四个易堵塞路段至少有一个被堵塞为事件A,则P(A)=1-(1-13)4=1-1681=6581.(2)由题意可知X的可能取值为0,1,2,P(X=0)= (1-12)×(1-23)=16,P(X=1)=12×(1-23)+(1-12)×23=12,P(X=2)=12×23=13,随机变量X的分布列为:E(X)=0×16+1×12+2×13=76.(3)设北干道被堵塞路段的个数为Y,则Y~B(4,13),所以E(Y)=4×13=43,因为E(X)E(X2),所以投资物联网项目比投资人工智能项目平均年回报率要高,但二者相差不大.D(X1)>D(X2),所以投资人工智能项目比投资物联网项目年回报率稳定性更高,风险要小,所以建议投资人工智能项目.阶段测评,请使用　“阶段滚动检测(六)”【课程标准】1.了解正态分布在实际生活中的意义和作用.2.了解正态分布的定义,正态曲线的特征,会求服从正态分布的随机变量的概率.3.记住正态总体在常用区间上的取值的概率,并能在一些简单的实际问题中应用.【考情分析】考点考法:正态分布是高考命题的热点.常以真实社会背景为命题情境,主要考查学生应用相关公式求解实际问题的能力.试题以选择题、填空题、解答题形式呈现.核心素养:数据分析、数学运算、逻辑推理类型辨析改编易错高考题号1234B曲线关于直线x=μ对称,并且曲线始终在x轴上方×C正态曲线和x轴围成的面积恒为1×概率P(μ-σ≤X≤μ+σ)P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)近似值0.682 70.954 50.997 3分组频数频率[2.5,7.5)20.002[7.5,12.5)m0.054[12.5,17.5)1060.106[17.5,22.5)1490.149 [22.5,27.5)352n[27.5,32.5)1900.190[32.5,37.5)1000.100[37.5,42.5)470.047合计1 0001.000推广月数x/个1234567y/件891888351220200138112日期7月10日7月11日7月12日7月13日7月14日第x天12345人数y(单位:万人)75849398100X012P161213经济前景等级悲观尚可乐观问卷得分12345678910频数23510192417974经济前景等级乐观尚可悲观物联网项目年回报率(%)124-4人工智能项目年回报率(%)75-2