高中数学人教A版（2019）必修一培优练习4-13指数函数与对数函数全章综合测试卷-提高篇（Word版附解析）

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第四章 指数函数与对数函数全章综合测试卷-提高篇参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2022·全国·高一单元测试）已知10m=2，10n=4，则103m−n2的值为（    ）A．2 B．2 C．10 D．22【解题思路】根据指数幂运算性质，将目标式化为含10m、10n的表达式，即可求值.【解答过程】103m−n2=103m210n2=(10m)32(10n)12=232412=2．故选：B.2．（5分）（2022·全国·高一课时练习）用二分法研究函数fx=x5+8x3−1的零点时，第一次经过计算得f0<0，f0.5>0，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（    ）A．0,0.5，f0.125 B．0,0.5，f0.375C．0.5,1，f0.75 D．0,0.5，f0.25【解题思路】根据函数零点的存在性定理可知零点x0∈0,0.5，结合对二分法的理解即可得出结果.【解答过程】因为f(0)f(0.5)<0，由零点存在性知：零点x0∈0,0.5，根据二分法，第二次应计算f0+0.52，即f0.25，故选：D.3．（5分）（2022·四川省模拟预测（理））核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀值时，DNA的数量X与扩增次数n满足lgXn=nlg1+p+lgX0，其中X0为DNA的初始数量，p为扩増效率．已知某被测标本DNA扩增12次后，数量变为原来的1000倍，则扩增效率p约为（    ）（参考数据：100.25≈1.778，10-0.25≈0.562）A．22.2% B．43.8% C．56.02% D．77.8%【解题思路】根据lgXn=nlg1+p+lgX0列方程，结合指数、对数运算求得正确答案.【解答过程】依题意lgX12=12⋅lg1+p+lgX0，lg1000X0=12⋅lg1+p+lgX0，lg1000+lgX0=12⋅lg1+p+lgX0，3=12⋅lg1+p,lg1+p=0.25，1+p=100.25,p=100.25-1≈0.778=77.8%.故选：D.4．（5分）（2022·浙江·高二阶段练习）函数f(x)=x32x+2-x的部分图象大致为（    ）A． B．C． D．【解题思路】确定函数的奇偶性，x>0时函数值的正负以及函数图像的变化趋势可得答案.【解答过程】由题意可得：函数fx的定义域为R，f-x=-x32-x+2x=-fx，所以fx为奇函数，当x>0时，fx>0，故可排除BC，当x→+∞时，2x→+∞，x3→+∞，2-x→0，因为指数函数y=2x比幂函数y=x3增长的速度要快，所以当x→+∞，函数值趋近于零，所以排除A.故选：D.5．（5分）（2022·浙江·高三期中）设函数fx=ax（a>0且a≠1），且f-1=2，则下列结论正确的是（    ）A．f1.1>f1.2 B．fx在定义域上的增区间为0,+∞C．函数图象经过点1,1 D．函数解析式为fx=2x【解题思路】由题可得a=12，进而可得fx=12x，然后根据指数函数的性质逐项分析即得.【解答过程】由f-1=a-1=2，可得a=12，所以fx=12x，故D错误；所以函数在定义域R上单调递减， 所以f1.1>f1.2，故A正确，故B错误；又f1=12，故C错误.故选：A.6．（5分）（2022·四川·高三阶段练习（文））已知实数x，y满足3x+4x=5y，且x=log25+log204，则（    ）A．2log254则x=log25+log204>log25+log254=log25+log52>2，所以5y=3x+4x>32+42=52， 故y>2；设f(x)=3x+4x-5x(x>2)，则f(x)=32⋅3x-2+42⋅4x-2-52⋅5x-2<32⋅4x-2+42⋅4x-2-52⋅5x-2=254x-2-5x-2<0，所以3x+4x<5x，又因为3x+4x=5y，因此5y<5x，即y0， x∈1,2∪2,3时，fx-2<0，再分x<0和x>0两种情况讨论求解即可.【解答过程】解：函数的定义域为xx≠0，f(-x)=ln2|-x|-1+-x2-1=ln2|x|-1+x2-1=f(x)，所以，函数f(x)为偶函数，因为y=ln2x-1,y=x2-1在0,+∞上均为单调递增所以，当x>0时，f(x)=ln2x-1+x2-1为增函数，所以，当x>0时，f(x)=ln2|x|-1+x2-1为增函数，当x<0时，f(x)=ln2|x|-1+x2-1为减函数，因为f(1)=f(-1)=0，所以，当x∈-∞,-1∪1,+∞时，fx>0，当x∈-1,0∪0,1时，fx<0，所以，当x∈-∞,1∪3,+∞时，fx-2>0，当x∈1,2∪2,3时，fx-2<0所以，当x<0时，不等式xf(x-2)<0显然成立，当x>0时，不等式xf(x-2)<0的解集为x∈1,2∪2,3，综上，xf(x-2)<0的解集为-∞,0∪1,2∪2,3故选：C.8．（5分）（2021·天津·高一期末）定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1)，且当x∈[-1,1)时，f(x)=log0.5(1−x),−1≤x≤0−|x|,0-15m<-1，解得-130,a-12>0，开方求出答案；D选项，使用立方和即可求解.【解答过程】a+a-1=3两边平方得：a+a-12=a2+2+a-2=9，所以a2+a-2=7，A正确；a12-a-122=a-2+a-1=3-2=1，因为a12,a-12的大小不确定，所以a12-a-12=±1，B正确；a12+a-122=a+2+a-1=3+2=5，因为a12>0,a-12>0，所以a12+a-12=5，C错误；由立方和公式可得：a32+a-32=a123+a-123=a-12+a12a-1+a-1=5×3-1=25，D正确.故选：ABD.10．（5分）（2022·全国·高一单元测试）已知当x>y>1时，lgx>lgy>0．根据上述结论，若10a=4，10b=25，则（    ）A．a+b=2 B．b−a=1 C．ab>8lg22 D．b−a>lg6【解题思路】由对数函数的性质和运算法则，分析各选项即可.【解答过程】由10a=4，10b=25，得a=lg4，b=lg25，选项A：a+b=lg4+lg5=lg100=2，正确；选项BD：b−a=lg25−lg4=lg254，因为254>6，所以lg254>lg6，B错误，D正确.选项C：ab=2×lg2×2×lg5>4lg2×lg4=8lg22，正确.故选ACD．11．（5分）（2022·浙江·高一期末）已知函数fx=ax2+1x（a>0，a≠1），则下列说法正确的是（    ）A．函数图象关于y轴对称B．函数的图像关于(0,0)中心对称C．当a>1时，函数在(0,+∞)上单调递增D．当00时，fx=ax2+1x=ax+1x，令u=x+1x，则f(u)=au，当a>1时，f(u)=au单调递增，u=x+1x在01上单调递增，由复合函数的单调性可知:fx=ax2+1x=ax+1x在01上单调递增，故C错误，当00时，由于f(u)=au单调递减，u=x+1x在01上单调递增，故fx=ax2+1x=ax+1x在01上单调递减，故当x=1时，f(x)取最大值，且最大值为f(1)=a2，当x<0时，由于f(x)是偶函数，故最大值为f(−1)=a2，故D正确，故选：AD.12．（5分）（2022·河北·高三阶段练习）已知函数fx=ex+12ex+ln1-x1+x，则（    ）A．fx的定义域是-1,1 B．fx是奇函数C．fx是单调减函数 D．若fx2-2x>1，则00，即x+11-x>0⇒x+1x-1<0，解得-10所以f(-x)≠-f(x)，故fx不是奇函数，故B错误；对于C，fx=ex+12ex+ln1-x1+x=1+1ex2+ln1+x-2x1+x=12+12ex+ln1-21x+1，由指数型函数y=12ex及对数型复合函数y=ln1-21x+1为-1,1上的减函数，所以fx是区间-1,1上的单调减函数，故C正确；对于D，由已知f0=1，所以fx2-2x>1等价于fx2-2x>f0，又fx是区间-1,1上的单调减函数，故-1log0.70.2≈4.51，所以该驾驶员至少经过5个小时才能驾驶．故答案为：5.15．（5分）（2022·上海市高三阶段练习）已知定义在R上的偶函数y=fx满足fx=f4-x，当x∈0,2时，fx=2x，则f-2022= 4 ．【解题思路】根据fx=f4-x和fx为偶函数得到函数周期，然后利用周期性结合解析式求值即可.【解答过程】因为fx=f4-x，且fx为偶函数，所以fx=fx-4，所以4是fx的一个周期，f-2022=f2=22=4.故答案为：4.16．（5分）（2022·辽宁·高一阶段练习）已知定义在0,+∞上的函数f(x)=1-log3x,09，设a,b,c为三个互不相同的实数，满足fa=fb=fc，则abc的取值范围为 81,144 .【解题思路】先判断函数的性质以及图像的特点，设a9时，由f(x)=4−x=0，得x=16，若a,b,c互不相等，不妨设a0且a≠1．(1)若ft+2=3，求实数a和t的值；(2)设函数gx=x+1,x≤0ax-1,x>0，请你在平面直角坐标系中作出gx的简图，①并根据图象写出该函数的单调递增区间.  ②求gx≤1的解集.【解题思路】（1）由f1=12可求得a的值，可得出函数fx的解析式，进而可解方程ft+2=3，可得出t的值；（2）①根据函数gx的解析式可作出函数gx的图象，根据图象可得出函数gx的单调递增区间；②分x≤0、x>0两种情况解不等式gx≤1，综合可得出不等式gx≤1的解集.【解答过程】（1）解：由题意可得f1=a-1=12，解得a=2，则fx=2x-2，所以，ft+2=2t=3，可得t=log23.（2）解：①由（1）可得gx=x+1,x≤02x-1,x>0，作出函数gx的图象如下图所示：由图可知，函数gx的单调递增区间为-1,0、0,+∞；②当x≤0时，由gx=x+1≤1可得-1≤x+1≤1，解得-2≤x≤0，此时-2≤x≤0；当x>0时，由gx=2x-1≤1可得2x≤2，解得x≤1，此时00，所以设x1=1，x2=2．第二步：令m=x1+x22，判断fm是否为0．若是，则m为所求；若否，则继续判断fx1⋅fm大于0还是小于0．第三步：若fx1⋅fm>0，则x1=m；否则，令x2=m．第四步：判断x1−x2<0.005是否成立？若是，则x1,x2之间的任意值均为满足条件的近似根；若否，则返回第二步．方法二：考虑x2−2=0的一种等价形式变形如下：x=2x，∴x+x=x+2x，∴x=12x+2x这就可以形成一个迭代算法：给定x0根据xk+1=12xk+2xk，k=0，1，2，…计算多次后可以得到一个近似值(1)分别运用方法一和方法二计算2的近似值（结果保留4位有效数字），比较两种方法迭代速度的快慢；(2)根据以上阅读材料，设计合适的方案计算5的近似值（精确到0.001）．【解题思路】（1）按照方法一和方法二进行迭代求解，求出相应的近似值；（2）结合第一问作出的判断，选择方法二进行迭代求解.【解答过程】（1）m=x1+x22=32，f32=94−2=14>0，f1⋅f32<0，则x2=32，所以x1−x2=1−32>0.005，返回第二步；令m=1+322=54，f54=2516−2=−716<0，f1⋅f54>0，令x1=54，所以x1−x2=54−32>0.005，返回第二步；令m=54+322=118，f118=12164−2=−764<0，f54⋅f118>0，令x1=118，所以x1−x2=118−32>0.005，返回第二步；令m=118+322=2316，f2316=529256−2=17256>0，f118⋅f2316<0，令x2=2316，所以x1−x2=118−2316>0.005，返回第二步；令m=118+23162=4532，f4532=20251024−2=−23256<0，f118⋅f4532>0，令x1=4532，所以x1−x2=4532−2316>0.005，返回第二步；令m=4532+23162=9164，f9164=82814096−2=894096>0，f9164⋅f4532<0，令x2=9164，所以x1−x2=4532−9164>0.005，返回第二步；令m=4532+91642=181128，f181128=3276116384−2=−716384<0，f4532⋅f181128>0，令x1=181128，所以x1−x2=181128−9164>0.005，返回第二步；令m=9164+1811282=363256，f363256=13176965536−2=69765536>0，f181128⋅f361256<0，令x2=363256，所以x1−x2=363256−181128<0.005，则x1,x2之间的任意值均为满足条件的近似值，其中x2=363256≈1.418，x1=181128≈1.414取可取1.414方法二：xk+1=12xk+2xk，k=0，1，2，…，不妨取x0=1，则x1=12x0+2x0=32，x2=12x1+2x1=1232+43=1712，x3=12x2+2x2=121712+2417=577408，其中577408≈1.414，显然，方法二的迭代速度更快（2）考虑x2−5=0的一种等价形式，x=5x，∴x+x=x+5x，∴x=12x+5x这就可以形成一个迭代算法：给定x0=2则xk+1=12xk+5xk，k=0，1，2，…，计算过程如下：x1=12x0+5x0=94，x2=12x1+5x1=16172，x3=12x2+5x2=5184123184≈2.236.20．（12分）（2022·山东省高一期中）已知定义域为R的函数f(x)=-2x+b2x+a是奇函数．(1)求a，b的值．(2)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明．(3)当x∈[1,3]时，fkx2+f(2x-1)>0恒成立，求实数k的取值范围．【解题思路】（1）根据奇函数的性质，由f0=0，f-1=-f1，建立方程，结合奇函数定义，可得答案；（2）根据单调性的定义，利用作差法进行证明，结合指数函数的单调性，可得答案；（3）利用函数奇偶性与单调性，化简不等式，根据参变分离，利用函数求最值，可得答案.【解答过程】（1）因为f(x)在定义域为R上是奇函数，所以f(0)=0，即-1+b1+a=0，∴b=1，又∵f(-1)=-f(1)，即-12+112+a=12+a，∴a=1．则fx=-2x+12x+1，由f-x=-2-x+12-x+1 =-1+2x1+2x=--2-x+12-x+1=-fx，则当a=1，b=1原函数为奇函数．（2）由（1）知f(x)=1-2x1+2x=-1+22x+1，任取x1,x2∈R，设x10，∴fx2-fx1<0，即fx20，等价于fkx2>-f(2x-1)=f(1-2x)，因f(x)为减函数，由上式推得：kx2<1-2x．即对一切x∈[1,3]有：k<1-2xx2恒成立，设g(x)=1-2xx2=1x2-2⋅1x，令t=1x,t∈13,1，则有G(t)=t2-2t=t-12-1,t∈13,1，∴g(x)min=G(t)min=G(1)=-1，∴k<-1，即k的取值范围为(-∞,-1)．21．（12分）（2022·湖南·高一阶段练习）已知定义在R上的函数fx满足f−x−fx=0且fx=log22x+1+kx，gx=fx+x．(1)求fx的解析式；(2)若不等式g4x−a⋅2x+1>g−3恒成立，求实数a取值范围；(3)设ℎx=x2−2mx+1，若对任意的x1∈0,3，存在x2∈1,3，使得gx1≥ℎx2，求实数m取值范围．【解题思路】（1）根据f−x−fx=0，代入计算可得；（2）根据gx单调性得4x−a⋅2x+1>−3，分离参数求最值即可.（3）因为对任意的x1∈0,3，存在x2∈1,3，使得gx1≥ℎx2，等价于gxmin≥ℎxmin，先求gx的最小值，再分类讨论对称轴x=m与区间1,3的位置关系，使ℎx的最小值满足小于等于1的条件，求解即可.【解答过程】（1）由题意知，log22−x+1−kx−log22x+1−kx=0，即2kx=log22−x+1−log22x+1=log22−x+12x+1=−x，所以k=−12，故fx=log22x+1−12x.（2）由（1）知，gx=fx+x=log22x+1+12x，所以gx在R上单调递增，所以不等式g4x−a⋅2x+1>g−3恒成立等价于4x−a⋅2x+1>−3， 即a<4x+42x恒成立.设t=2x，则t>0，4x+42x=t2+4t=t+4t≥4，当且仅当t=2，即x=1时取等号，所以a<4，故实数a的取值范围是−∞,4.（3）因为对任意的x1∈0,3，存在x2∈1,3，使得gx1≥ℎx2，所以gx在0,3上的最小值不小于ℎx在1,3上的最小值，因为gx=log22x+1+12x在0,3上单调递增，所以当x∈0,3时，gxmin=g0=1，又ℎx=x2−2mx+1的对称轴为x=m，x∈1,3，当m≤1时，ℎx在1,3上单调递增，ℎxmin=ℎ1=2−2m≤1，解得m≥12，所以12≤m≤1； 当10-(1+m)>0-2m>0，解之得，m<-5-26（3）令ℎ(x)=g(x)-f(x)=ex-2-x+a1+x=ex+1-3+ax+1    由a<1，可知a+3>0，则x>-1时，y=ex+1与y=-3+ax+1均单调递增，故ℎ(x)在(-1,+∞)上单调递增，又a<1时，ℎ(0)=e0+1-(a+3)=-1-a<0，ℎ(1)=e1+1-a+32=e-a+12>e-1>0，故ℎ(x)在(-1,+∞)上有唯一零点；又当x∈(-∞,-1)时，ℎ(x)=ex+1-3+ax+1>0恒成立，即ℎ(x)在(-∞,-1)上无零点.综上可知，方程f(x)=g(x)有且仅有一个实数根.