人教A版 (2019)必修 第一册5.1.1 任意角课后作业题

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一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022·全国·高三专题练习）将分针拨慢5分钟，则分针转过的角是（ ）
A．60°B．−60°C．30°D．−30°
【解题思路】根据任意角的概念计算可得.
【解答过程】解：将分针拨慢是逆时针旋转，所以分针拨慢5分钟，转过的角为560×360°=30°．
故选：C.
2．（3分）（2022·全国·高三专题练习）将−885∘化为α+k⋅360∘k∈Z,α∈0∘,360∘的形式是（ ）
A．−165°+−2×360°B．195°+−3×360°
C．195°+−2×360°D．165°+−3×360°
【解题思路】直接由终边相同的角的概念求解即可.
【解答过程】由α∈0°,360°知−885∘=195∘−1080∘=195°+−3×360°.
故选：B.
3．（3分）（2021·全国·高一单元测试）在直角坐标系中，若角α与角β的终边关于x轴对称，则α与β的关系是（ ）.
A．α=−βB．α+β=360∘⋅kk∈Z
C．α=βD．α−β=360∘⋅kk∈Z
【解题思路】本题可通过角α与角β的终边关于x轴对称得出角β=2kπ−α，然后通过计算并与题目中的四个选项对比即可得出结果.
【解答过程】因为角−α与角α的终边关于x轴对称，
所以角β与角−α的终边相同，即β=2kπ−αk∈Z，
所以α+β=α+2kπ−α=2kπk∈Z，
故选：B.
4．（3分）（2022·全国·高一课时练习）已知α∈α45°+k⋅360°≤α≤90°+k⋅360°，则角α的终边落在的阴影部分是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】令k=0即可判断出正确选项.
【解答过程】令k=0，得45°≤α≤90°，则B选项中的阴影部分区域符合题意.
故选：B．
5．（3分）（2022·江西省高一阶段练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．第二象限的角是钝角B．第二象限的角必大于第一象限的角
C．−150°是第二象限的角D．−252°16',467°44',1187°44'是终边相同的角
【解题思路】根据已知条件，结合象限角的定义与终边相同的角的定义即可求解
【解答过程】对于A：当角为510°是，该角为第二象限角，但不是钝角，故A错误；
对于B：分别取第一象限的角为730°，第二象限角510°，
此时第一象限的角大于第二象限的角，故B错误；
对于C：−150°是第三象限的角，故C错误；
对于D：因为467°44'=−252°16'+2×360°,1187°44'=−252°16'+4×360°，
所以−252°16',467°44',1187°44'是终边相同的角，故D正确；
故选：D.
6．（3分）（2022·辽宁高二开学考试）下面关于弧度的说法，错误的是（ ）
A．弧长与半径的比值是圆心角的弧度数
B．一个角的角度数为n，弧度数为α，则n180=απ.
C．长度等于半径的3倍的弦所对的圆心角的弧度数为2π3
D．航海罗盘半径为10cm，将圆周32等分，每一份的弧长为5π16cm.
【解题思路】根据弧度制与角度制的定义，以及转化关系，即可判断选项.
【解答过程】A.根据弧度数定义可知A正确；
B.根据弧度与角度的转化关系，可知B正确；
C.根据三角形关系可知，长度等于半径的3倍的弦所对的圆心角为120∘，即弧度数为2π3，故C正确；
D.圆周长为2πr=20πcm，32等分后，每一份弧长为5π8cm，故D错误.
故选：D.
7．（3分）（2022·全国·高三专题练习）砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形OCD截去同心扇形OAB所得图形，已知OA=0.2m,AD=0.3m,∠AOB=100°，则该扇环形砖雕的面积为（ ）m2．
A．π6B．π12C．π12D．7π120
【解题思路】根据扇形的面积公式公式即可求解.
【解答过程】由100∘=5π9以及扇形的面积公式可得:S扇环ABCD=S扇COD−S扇AOB=12OD2×5π9−12OA2×5π9=12×5π90.52−0.22=7π120,
故选：D.
8．（3分）（2022·全国·高三专题练习）如图为某校数学兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”图案，画法如下：在水平直线l上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧，交线段CB的延长线于点D，再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧，交线段AC的延长线于点E，以此类推，则如图所示的“螺旋蚊香”图案的总长度为（ ）
A．56π3B．14πC．24πD．10π
【解题思路】根据弧长公式l=α×r可求得AD，同理可求得其他弧的长度.
【解答过程】扇形ABD的半径为1，圆心角为2π3，所以AD的长l1=2π3×1，
同理可得之后的各段弧长分别为l2=2π3×2，l3=2π3×3，l4=2π3×4，
l5=2π3×5，l6=2π3×6，
所以“螺旋蚊香”图案的总长度l=2π3×(1+2+3+4+5+6)= 14π.
故选：B．
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·全国·高一课时练习）已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】设出扇形所在圆的半径及其弧长，再由条件列出方程求解即可作答.
【解答过程】设扇形的半径为r，弧长为l，则2r+l=6,12lr=2,解得r=1,l=4或r=2,l=2,，
又圆心角α=lr，所以α=4或α=1，
故选：AD.
10．（4分）（2022·山东·高二阶段练习）下列命题正确的是（ ）
A．终边落在x轴的非负半轴的角的集合为αα=2kπ,k∈Z
B．终边落在y轴上的角的集合为α∣α=90°+kπ,k∈Z
C．第三象限角的集合为α∣π+2kπ≤α≤3π2+2kπ,k∈Z
D．在−720°~0°范围内所有与45°角终边相同的角为−675°和−315°
【解题思路】根据任意角的定义判断即可.
【解答过程】终边落在x轴的非负半轴的角的集合为α∣α=2kπ,k∈Z故A正确.
终边落在y轴上的角的集合为α∣α=90°+kπ,k∈Z属于角度制和弧度制的混用，故B错误.
第三象限角的集合为α∣π+2kπ<α<3π2+2kπ,k∈Z不能取等号，等号时表示轴线角，故C错误.
−720°~0°范围内所有与45°角可以表示为αα=45∘+360∘⋅k,k=−1,−2，故α=−675°或α=−315°，故D正确.
故选：AD.
11．（4分）（2022·全国·高一课时练习）下列结论中不正确的是（ ）
A．终边经过点(a,−a)(a≠0)的角的集合是{α|α=−π4+kπ,k∈Z}
B．将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数是π3
C．若α是第一象限角，则α2是第一象限角，2α为第一或第二象限角
D．M={x|x=45°+k⋅90°,k∈Z}，N={y|y=90°+k⋅45°,k∈Z}，则M⊆N
【解题思路】根据角的终边位置判断A，根据角的定义判断B，利用特殊值判断C，根据集合间的包含关系判断D．
【解答过程】对于选项A：终边经过点a,−aa≠0的角在第二和第四象限的角平分线上，故角的集合是αα=−π4+kπ,k∈Z，正确；
对于选项B：将表的分针拨快10分钟，按顺时针方向旋转圆周角的六分之一，则分针转过的角的弧度数是−π3，错误；
对于选项C：若α=400∘⇒α2=200∘，α2不是第一象限角，错误；
对于选项D：M=xx=45°+k⋅90°,k∈Z ={x|x=2k+1×45∘，k∈Z}，而2k+1×45∘，k∈Z表示45∘的奇数倍，
N={y|y=90°+k×45°，k∈Z}={y|y=k+2×45∘，k∈Z}，而k+2×45∘，k∈Z表示45∘ 的整数倍，所以M⊆N，正确．
故选：BC.
12．（4分）（2023·全国·高三专题练习）如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B 的坐标为(1，0)，∠BOA＝60°，质点A 以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B 以2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则（ ）
A．经过1 s后，∠BOA的弧度数为π3＋3
B．经过π12 s后，扇形AOB的弧长为7π12
C．经过π6s后，扇形AOB的面积为π3
D．经过 5π9s后，A，B在单位圆上第一次相遇
【解题思路】结合条件根据扇形面积，弧长公式逐项分析即得.
【解答过程】经过1 s后，质点A运动1 rad，质点B运动2 rad，此时∠BOA的弧度数为π3+3，故A正确；
经过π12 s后，∠AOB= π12+π3+2×π12=7π12，故扇形AOB的弧长为7π12×1=7π12，故B正确；
经过π6 s后，∠AOB=π6+π3+2×π6=5π6，故扇形AOB的面积为S=12×5π6×12=5π12，故C不正确；
设经过t s后，A，B在单位圆上第一次相遇，则t(1+2)+π3=2π，解得t=5π9 (s)，故D正确.
故选：ABD.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·上海·高一阶段练习）已知角α与角β的终边关于直线y=x对称，则α与β的关系为 β=π2−α+2kπ,k∈Z .
【解题思路】先在0∼2π得出α与β的关系，然后由终边相同的角的关系得出答案.
【解答过程】若α与β均在0∼2π内时，
如图1：则β−α=2π4−α=π2−2α.即β=π2−α，
如图2：则β−α=25π4−α=5π2−2α=2π+π2−2α，即β=2π+π2−α，
由终边相同的角的关系可得：β=π2−α+2kπ,k∈Z.
所以α与β的关系为：β=π2−α+2kπ,k∈Z.
故答案为：β=π2−α+2kπ,k∈Z.
14．（4分）（2022·全国·高一课时练习）若α是第二象限角，则180°－α是第 一 象限角．
【解题思路】利用象限角的定义进行求解.
【解答过程】若α是第二象限角，则k⋅360∘+90∘<α所以−k⋅360∘−180∘<−α<−k⋅360∘−90∘，k∈Z，
即−k⋅360∘<180∘−α<−k⋅360∘+90∘，k∈Z，
所以180°－α是第一象限角．
故答案为：一.
15．（4分）（2022·全国·高一课时练习）用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内（含边界）的角θ的集合是 [2kπ−π6,2kπ+3π4],k∈Z ．
【解题思路】确定以边界为终边的角，即可得角θ的集合.
【解答过程】由题图，终边OB对应角为2kπ−π6且k∈Z，终边OA对应角为2kπ+3π4且k∈Z，
所以阴影部分角θ的集合是[2kπ−π6,2kπ+3π4],k∈Z.
故答案为：[2kπ−π6,2kπ+3π4],k∈Z.
16．（4分）（2022·浙江·高一期中）鲁洛克斯三角形是一种特殊的三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.它的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成鲁洛克斯三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔来.如图，已知某鲁洛克斯三角形的一段弧AB的长度为2π，则该鲁洛克斯三角形的面积为 18π−3 .
【解题思路】由弧长公式可求得等边△ABC的边长，再根据该鲁洛克斯三角形的面积等于三个扇形的面积减去2个△ABC的面积，结合扇形和三角形的面积公式即可得解.
【解答过程】解：由题意可知∠ABC=∠ACB=∠BAC=π3，
设AB=r，
则弧AB的长度为π3r=2π，所以r=6，
设弧AB所对的扇形的面积为S，
S△ABC=12⋅AB⋅AC⋅sinπ3=93，
则该鲁洛克斯三角形的面积为3S−2S△ABC=3×12×π3×62−2×93=18π−3.
故答案为：18π−3.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022·河南南阳·高一期中）时间经过2小时20分钟，时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？
【解题思路】根据时钟的转动规律，先求出每分钟时针和分针转动的角度，进而求出经过2小时20分钟，时针、分针转动的角度即可，结合角度制和弧度制的换算即可.
【解答过程】每经过1分钟，时针转了−360°12×60=−0.5°，分针转了−360°60=−6°，
时间经过2小时20分钟，则时针转了−0.5°×140=−70°，等于−70°×π180°=−7π18，
则分针转了−6°×140=−840°，等于−840°×π180°=−14π3.
18．（6分）（2022·上海·高一课时练习）写出下列角α与β的关系.
（1）角α与β的终边互相垂直；
（2）角α与β的终边互为反向延长线；
（3）角α与β的终边关于y轴对称
【解题思路】（1）由题意结合任意角、终边相同的角的概念可得α−β=90∘+k⋅360∘,k∈Z或β−α=90∘+k⋅360∘,k∈Z，化简即可得解；
（2）由题意结合任意角、终边相同的角的概念可得α−β=180∘+k⋅360∘,k∈Z或β−α=180∘+k⋅360∘,k∈Z，化简即可得解；
（3）由题意结合任意角、终边相同的角的概念可得α+β2=90∘+k⋅360∘,k∈Z或α+β2=270∘+k⋅360∘,k∈Z，化简即可得解.
【解答过程】（1）若角α与β的终边互相垂直，
则α−β=90∘+k⋅360∘,k∈Z或β−α=90∘+k⋅360∘,k∈Z，
所以β=α+k⋅360°±90°,k∈Z；
（2）若角α与β的终边互为反向延长线，
则α−β=180∘+k⋅360∘,k∈Z或β−α=180∘+k⋅360∘,k∈Z，
所以β=α+180°+k⋅360°,k∈Z；
（3）若角α与β的终边关于y轴对称，
则α+β2=90∘+k⋅360∘,k∈Z或α+β2=270∘+k⋅360∘,k∈Z，
所以α+β=180∘+2k⋅360∘,k∈Z或α+β=540∘+2k⋅360∘,k∈Z，
所以α+β=180∘+k⋅360∘,k∈Z，
所以β=−α+180°+k⋅360°,k∈Z.
19．（8分）（2022·全国·高一课时练习）写出与下列各角终边相同的角的集合，并指出−2π,2π内与它终边相同的角．
(1)−53π；
(2)215π；
(3)34π；
(4)16π．
【解题思路】根据终边相同的角的概念及给定区间即可得到答案.
【解答过程】（1）
由题意，与−53π终边相同的角的集合为S=αα=2kπ−53π,k∈Z，
令−2π≤2kπ−53π<2π,k∈Z，得−16≤k<116,k∈Z，
∴k=0,1，
∴在−2π,2π内与−53π终边相同的角为−53π，π3；
（2）
由题意，与215π终边相同的角的集合为S=αα=2kπ+215π,k∈Z，
令−2π≤2kπ+215π<2π,k∈Z，得−3110≤k<−1110,k∈Z，
∴k=−3,−2，
∴在−2π,2π内与215π终边相同的角为−9π5，π5；
（3）
由题意，与34π终边相同的角的集合为S=αα=2kπ+34π,k∈Z，
令−2π≤2kπ+34π<2π,k∈Z，得−118≤k<58,k∈Z，
∴k=−1,0，
∴在−2π,2π内与34π终边相同的角为−54π，3π4；
（4）
由题意，与16π终边相同的角的集合为S=αα=2kπ+16π,k∈Z，
令−2π≤2kπ+16π<2π,k∈Z，得−1312≤k<1112,k∈Z，
∴k=−1,0，
∴在−2π,2π内与16π终边相同的角为−116π，π6.
20．（8分）（2022·江西·高一阶段练习）已知α=π3．
(1)写出与角α终边相同的角的集合，并求出在(−4π,−π)内与角α终边相同的角；
(2)若角β与角α终边相同，判断角β2是第几象限的角．
【解题思路】（1）根据终边相同的角的定义即可得出答案；
（2）根据角β的范围求出角β2的范围，即可判断角β2所在的象限.
【解答过程】(1)
解：与角α终边相同的角的集合为θ∣θ=2kπ+π3,k∈Z，
令−4π<2kπ+π3<−π，得−136又k∈Z,∴k=−2,−1，
∴在(−4π,−π)内与角α终边相同的角是−11π3,−5π3；
(2)
由（1），知β=2kπ+π3(k∈Z)，则β2=kπ+π6(k∈Z)，
则当k为偶数时，角β2是第一象限角；当k为奇数时，角β2是第三象限角，
∴角β2是第一或第三象限角．
21．（8分）（2022·全国·高三专题练习）已知扇形的圆心角是α，半径是r，弧长为l.
(1)若α=100°,r=2，求扇形的面积；
(2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．
【解题思路】（1）先把角度化为弧度，再利用扇形面积公式求解即可；
（2）由题意可知扇形的面积为S=12lr=1220−2r⋅r=−r−52+25，利用二次函数的的性质，结合弧度的定义即可求解
【解答过程】（1）
因为α=100°=100×π180=5π9，
所以扇形的面积为S=12lr=12αr2=12×5π9×4=10π9；
（2）
由题意可知：l+2r=20，即l=20−2r，
所以扇形的面积为S=12lr=1220−2r⋅r=−r−52+25，
当r=5时，扇形面积的最大值为25，
此时l=20−2×5=10，α=lr=105=2.
22．（8分）（2022·全国·高一）某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的)．已知OA=2米，OB=x米0(1)求θ关于x的函数解析式；
(2)记该宣传牌的面积为y，试问x取何值时，y的值最大?并求出最大值．
【解题思路】(1)根据弧长公式和周长列方程得出θ关于x的函数解析式；
(2)根据面积公式求出y关于x的函数表达式，根据二次函数性质可得y的最大值．
【解答过程】(1)
根据题意，弧BC的长度为xθ米，弧AD的长度AD=2θ米，
∴2(2−x)+xθ+2θ=6，
∴ θ=2x+2x+2(0(2)
依据题意，可知y=S扇OAD−S扇OBC=12θ×22−12θx2，
化简得：y=−x2+x+2，0∴当x=12，ymax=−122+12+2=94．
∴当x=12时，y的值最大，且最大值为94．