高中数学5.1.1 任意角课时作业

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1．任意角
(1)角的概念
角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.
(2)角的表示
如图：
①始边：射线的起始位置OA；
②终边：射线的终止位置OB；
③顶点：射线的端点O；
④记法：图中的角可记为“角”或“”或“AOB”.
(3)角的表示
在平面内，一条射线绕着它的端点旋转有两个相反的方向一顺时针方向和逆时针方向.习惯上规定：
这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角.
(4)角的相等
设角由射线OA绕端点O旋转而成，角由射线O'A'绕端点O'旋转而成.如果它们的旋转方向相同且
旋转量相等，那么就称=.
(5)角的加、减法
①角的加法
设,是任意两个角.我们规定，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是+.
②相反角的概念
我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角的相反角记为-.
③角的减法
像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，我们有-=+(-).这样，角的减法可以
转化为角的加法.
2．象限角与终边相同的角
(1)终边相同的角
若角,终边相同，则它们的关系为：将角的终边旋转(逆时针或顺时针)k(k∈Z)周即得角.
一般地，我们有：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合
，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.
(2)象限角、轴线角
①象限角、轴线角的概念
在平面直角坐标系中，如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.那么，角的终边在
第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限，称这个角为轴线角.
②象限角的集合表示
③轴线角的集合表示

(3)区间角、区域角
区间角、区域角的定义：介于两个角之间的角的集合叫做区间角，如.终边介于某两角终边之间的角的集合叫做区域角，显然区域角包含无数个区间角.
(4)角的终边的对称问题与垂直问题
角的终边是一条射线，在平面直角坐标系中，当两个角的终边具有对称关系或垂直关系时，对于的角就有一定的关系.一般地，我们有如下结论：
3．角度制、弧度制的概念
(1)角度制
角可以用度为单位来进行度量，1度的角等于周角的.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角
度制.
(2)弧度制的相关概念
①1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角.
②弧度制：定义：以弧度作为单位来度量角的单位制.
记法：弧度单位用符号rad表示，读作弧度.
(3)弧度数
在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为rad，那么.其中，的正负由角的终边的旋
转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负.一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
4．角度与弧度的换算
(1)弧度与角度的换算公式
(2)特殊角的度数与弧度数的对应表
(3)用弧度表示终边相同的角
用弧度表示与角终边相同的角的一般形式为，这些角所组成的集合为
.
5．弧长公式、扇形面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为.
(1)弧长公式
由公式，可得.
(2)扇形面积公式
.
(3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示
6．弧度制下角的终边的对称与垂直
角的终边是一条射线，在平面直角坐标系中，若两个角的终边关于某条直线（或点）对称，则这两个角就有一定的关系.一般地，我们有如下结论：
【题型1 终边相同的角的表示】
【方法点拨】
根据与角终边相同的角的集合为，进行求解即可．
【例1】（2022·山东·高二阶段练习）下列与角2π3的终边一定相同的角是（ ）
A．5π3B．k·360∘+2π3(k∈ Z)
C．2kπ+2π3(k∈ Z)D．(2k+1)π+2π3(k∈ Z)
【解题思路】根据终边相同角的表示，即可得解.
【解答过程】与角2π3终边相同角可以表示为{α|α=2π3+2kπ,k∈ Z }
对A，由{α|α=2π3+2kπ,k∈ Z }找不到整数k让α=5π3，所以A错误
对B，表达有误，角的表示不能同时在一个表达式中既有角度制又有弧度制，B错误，
C项正确，
对D 项，当k=0时，角为5π3，当k=−1时，角为−π3，得不到角2π3，故D错误，
故选：C.
【变式1-1】（2022·浙江高一期末）下列选项中与角α=−30°终边相同的角是（ ）
A．30∘B．240∘C．390∘D．330∘
【解题思路】写出与角α=−30∘终边相同的角的集合，取k值得答案.
【解答过程】解：与角α=−30∘终边相同的角的集合为{β|β=−30∘+k×360∘,k∈Z}，
取k=1时，β=−30∘+1×360∘=330∘.
故选：D.
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）终边落在直线y=3x上的角α的集合为（ ）
A．αα=k⋅180°+30°,k∈ZB．αα=k⋅180°+60°,k∈Z
C．αα=k⋅360°+30°,k∈ZD．αα=k⋅360°+60°,k∈Z
【解题思路】先确定y=3x的倾斜角为60∘，再分当终边在第一和三象限时角度的表达式再求解即可.
【解答过程】易得y=3x的倾斜角为60∘，
当终边在第一象限时，α=60°+k⋅360°，k∈Z；
当终边在第三象限时，α=240°+k⋅360°，k∈Z．
所以角α的集合为αα=k⋅180°+60°,k∈Z．
故选：B.
【变式1-3】（2022·全国·高一课时练习）如果角α与角x＋45°具有相同的终边，角β与角x－45°具有相同的终边，那么α与β之间的关系是（ ）
A．α+β=0°B．α−β=90°
C．α+β=k⋅360°k∈ZD．α−β=k⋅360°+90°k∈Z
【解题思路】先根据终边相同的角分别表达出α,β，再分析α+β，α−β即可.
【解答过程】利用终边相同的角的关系，
得α=n⋅360°+x+45°n∈Z，β=m⋅360°+x−45°m∈Z.
则α+β=m+n⋅360°+2xn∈Z,m∈Z与x有关，故AC错误；
又α−β=n−m360°+90°n∈Z,m∈Z．
因为m，n是整数，所以n－m也是整数，用kk∈Z表示，
所以α−β=k⋅360°+90°k∈Z.
故选：D．
【题型2 象限角的判定】
【方法点拨】
判断角是第几象限角的常用方法为将写成（其中，在范围内）的形式，观察角的终边所在的象限即可.
【例2】（2021·福建省高三开学考试）已知点α=130°，则角α的终边在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解题思路】根据象限角概念求解即可.
【解答过程】因为90°<130°<180°，所以α的终边在第二象限.
故选：B.
【变式2-1】（2022·全国·高三专题练习）平面直角坐标系中，取角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的非负半轴，下列说法正确的是（ ）
A．第一象限角一定不是负角
B．三角形的内角是第一象限角或第二象限角
C．第二象限角必大于第一象限角
D．钝角的终边在第二象限
【解题思路】根据象限角与角的定义逐个选项辨析即可.
【解答过程】－330°角是第一象限角，且是负角，故A错误；
三角形的内角可能为90°，90°角不是第一象限角或第二象限角，故B错误；
α＝390°为第一象限角，β＝120°为第二象限角，此时α＞β，故C错误；
钝角是大于90°且小于180°的角，它的终边在第二象限，故D正确．
故选：D．
【变式2-2】（2022·全国·高三专题练习）下列说法中正确的是（ ）
A．第二象限角大于第一象限角
B．若k⋅360°<αC．钝角一定是第二象限角
D．三角形的内角是第一或第二象限角
【解题思路】利用任意角的知识，对选项分别判断即可.
【解答过程】对A选项，如−210°<30°，故A错误.
对B选项，α为第一或第二象限角或终边落在y轴正半轴上的角．故B错误.
对C选项，因为钝角大于90°且小于180°，所以钝角一定是第二象限角，故C正确.
对D选型，当三角形的一个内角为90°时，不是象限角，故D错误.
故选: C.
【变式2-3】（2022·全国·高一课时练习）设α是第三象限角，且sinα2=−sinα2，则α2的终边所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解题思路】由α是第三象限角，求出α2所在的象限，再由sinα2=−sinα2，可得出答案.
【解答过程】因为α是第三象限角，所以π+2kπ<α<3π2+2kπ，k∈Z，
所以π2+kπ<α2<3π4+kπ，k∈Z，则α2是第二或第四象限角，
又sinα2=−sinα2，即sinα2<0，所以α2是第四象限角.
故选：D．
【题型3 角度与弧度的换算】
【方法点拨】
根据角度与弧度的换算公式进行换算，再进行求解即可.
【例3】（2022·安徽省高一开学考试）315°角的弧度数为（ ）
A．3π4B．7π4C．−π4D．5π4
【解题思路】利用公式可求315°角的弧度数.
【解答过程】315°角对应的弧度数为315180π=74π，
故选：B.
【变式3-1】（2022·全国·高一课时练习）下列结论错误的是（ ）
A．－150°化成弧度是−7π6radB．−10π3rad化成度是－600°
C．67°30'化成弧度是3π8radD．π12rad化成度是15°
【解题思路】利用弧度和度的互化公式对选项进行逐一验证即可得出答案.
【解答过程】对于A，−150°=−150×π180=−5π6，A错误；
对于B，−10π3=−10π3×180°π=−600°，B正确；
对于C，67°30'=67.5×π180=3π8，C正确；
对于D，π12=π12×180°π=15°，D正确．
故选：A.
【变式3-2】（2022·全国·高三专题练习）210°化成弧度是（ ）
A．5π6B．7π6C．5π12D．7π12
【解题思路】直接根据角度制与弧度制的互化即可得解.
【解答过程】解：210°=210×π180=7π6.
故选：B.
【变式3-3】（2021·四川成都·高一期末）75°用弧度制表示为（ ）
A．π75B．π3C．5π12D．π2
【解题思路】直接利用角度与弧度间的互化公式求解即可
【解答过程】75°=75×π180=5π12弧度，
故选：C.
【题型4 角的终边的对称问题与垂直问题】
【方法点拨】
根据角终边的位置关系，进行求解即可.
【例4】（2022·全国·高一课时练习）若α=k⋅360°+θ，β=m⋅360°−θk,m∈Z，则角α与角β的终边一定（ ）
A．重合B．关于原点对称
C．关于x轴对称D．关于y轴对称
【解题思路】根据角θ与角−θ的终边关于x轴对称即可得解.
【解答过程】解：因为角θ与角−θ的终边关于x轴对称，
所以角α与角β的终边一定也关于x轴对称．
故选：C.
【变式4-1】（2020·河南洛阳·高一期中）若α=2kπ+θ,β=2k+1π−θ,其中k∈Z,则角α与β的终边（ ）.
A．关于原点对称B．关于x轴对称
C．关于y轴对称D．关于y=x对称
【解题思路】根据角度的终边周期性分析即可.
【解答过程】根据角度的性质有α=2kπ+θ与θ的终边相同, β=2k+1π−θ与π−θ的终边相同,且θ的终边与π−θ的终边关于y轴对称,
故角α与β的终边关于y轴对称.
故选：C.
【变式4-2】（2022·全国·高三专题练习）在直角坐标系中，若α与β的终边互相垂直，那么α与β的关系式为（ ）
A．β＝α+90°B．β＝α±90°
C．β＝α+90°+k•360°（k∈Z）D．β＝α±90°+k•360°（k∈Z）
【解题思路】根据终边关系直接可得.
【解答过程】∵α与β的终边互相垂直，
∴β＝α±90°+k•360°（k∈Z）．
故选：D．
【变式4-3】（2022·全国·高一课时练习）若2π<α<4π，且角α的终边与角−7π6的终边垂直，则α=（ ）
A．7π3B．10π3C．4π3或7π3D．7π3或10π3
【解题思路】先得到角−7π6的终边相同的角的集合为B=β|β=56π+2kπ,k∈Z,因为角α的终边与角−7π6的终边垂直,所以角α的终边相同的角的集合为A=α|α=43π+2kπ,k∈Z或A=α|α=π3+2kπ,k∈Z,再根据2π<α<4π确定角α的值
【解答过程】由题,设角−7π6的终边相同的角的集合为
B=β|β=−76π+2kπ,k∈Z=β|β=56π+2kπ,k∈Z,
因为角α的终边与角−7π6的终边垂直,
则α=β+π2或α=β−π2
所以角α的终边相同的角的集合为
A=α|α=43π+2kπ,k∈Z或A=α|α=π3+2kπ,k∈Z,
因为2π<α<4π,
所以当k=1时,α=10π3或7π3,
故选：D.
【题型5 弧长公式与扇形面积公式的应用】
【方法点拨】
结合具体条件，利用弧长公式与扇形面积公式进行转化求解即可.
【例5】（2023·广东·高三学业考试）一个扇形的弧长与面积的数值都是3，则该扇形圆心角的弧度数为（ ）
A．12B．23C．32D．2
【解题思路】由扇形的弧长公式和面积公式列方程组求解．
【解答过程】设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r，
则αr=3,12αr2=3,解得r=2,α=32，
故选：C．
【变式5-1】（2021·天津·高一期末）已知扇形AOB的面积为8，且圆心角弧度数为2，则扇形AOB的周长为（ ）
A．32B．24C．62D．82
【解题思路】根据扇形面积和弧长公式即可求解.
【解答过程】圆心角α=2，扇形面积S=12αr2，
即8=12×2×r2，得半径r=22，
所以弧长l=αr=42，
故扇形AOB的周长L=l+2r=42+2×22=82.
故选：D.
【变式5-2】（2022·河南·高三阶段练习（文））古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环．已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为60cm，内弧线的长为20cm，连接外弧与内弧的两端的线段均为16cm，则该扇形的中心角的弧度数为（ ）．
A．2.3B．2.5C．2.4D．2.6
【解题思路】根据弧长之比得到半径之比，从而求出小扇形的半径，再根据弧长公式计算可得.
【解答过程】解：如图，依题意可得弧AB的长为60cm，弧CD的长为20cm，
则OAOC=6020=3，即OA=3OC．
因为AC=16cm，所以OC=8cm，
所以该扇形的中心角的弧度数α=208=2.5．
故选：B.
【变式5-3】（2022·广东·高二期中）如图是一个近似扇形的湖面，其中OA=OB=r，弧AB的长为l(lA．2l−r212l3B．2r−l212r3
C．1l−r224l3D．1r−l224r3
【解题思路】由题可得AB=2rsinl2r，再根据扇形面积公式可得ABS=4lsinl2r，结合条件即得.
【解答过程】设扇形OAB的圆心角为α，则α=lr，
在△OAB中，AB=2rsinα2=2rsinl2r，
又S=12lr，
∴ABS=2rsinl2r12lr=4lsinl2r，又0∴ABS=4lsinl2r≈4ll2r−l2r36=2r−l212r3.
故选：B.
【题型6 与弧度有关的实际应用问题】
【方法点拨】
先读懂题意，明确题干的叙述，然后将所求问题转化为弧度的问题，如角度的表示、弧度制下的弧长及扇
形面积等，最后回归到实际问题，得到答案.
【例6】（2022·湖南·高一课时练习）时钟的分针长6cm，从10:30到10:55，求：
(1)分针转过的角的弧度数；
(2)分针扫过的扇形的面积；
(3)分针尖端所走过的弧长．
【解题思路】（1）根据每5钟分针转30°进行求解即可；
（2）根据扇形的面积公式进行求解即可；
（3）根据弧长公式进行求解即可.
【解答过程】(1)
因为从10:30到10:55，所以一共走了25分钟，而每5钟分针转30°，
所以分针转过的角为(25÷5)×30°=150°，它相当于150×π180=5π6rad，
又因为分针转过的角度为负数，所以分针转过的角的弧度数为−5π6；
(2)
因为分针长6cm，所以分针尖端所走过的弧长为：5π6×6=5π，
因此分针扫过的扇形的面积为：12×6⋅5π=15π；
(3)
因为分针长6cm，所以分针尖端所走过的弧长为：−5π6×6=5π.
【变式6-1】（2022·湖南·高一课时练习）半径为12cm的轮子，以400r/min的速度按顺时针方向旋转．
(1)轮沿上的点A每秒转过的度数是多少？相应的弧度数呢？
(2)求轮沿上的点B在轮子转动1000°时所经过的路程．
【解题思路】（1）由每分钟的转速求每秒转过的弧数，再换算成度数即可.
（2）先求出1000°对应的弧度，利用弧长公式求所经过的路程.
【解答过程】(1)
由题设，A每秒转过的弧数40060×2π=40π3，对应角度为40π3×180°π=2400°度.
(2)
由1000°×π180°=50π9，
则B在轮子转动1000°时所经过的路程为50π9×12=200π3 cm.
【变式6-2】（2022·全国·高三专题练习）已知相互咬合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮顺时针转动一周时，小轮转动的角是多少度？多少弧度？如果大轮的转速是150r/min，小轮的半径为10cm，那么小轮圆周上的点每秒转过的弧长是多少？
【解题思路】通过相互咬合的两个齿轮转动的齿数相同，得到小轮转动的角度，再通过大轮的转速，得到小轮的转速.
【解答过程】由题意得，相互咬合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，
所以当大轮旋转一周时，大轮转了48个齿，小轮转了20齿，
所以小轮转动了4820=125周，即125×360°=864°，125×2π=24π5，
所以当大轮的转速为150r/min时，小轮的转速为125×150=360r/min，
所以小轮圆周上的点每秒转过的弧度数为
360×2π÷60=12π，
因为小轮的半径为10cm，
所以小轮圆周上的点每秒转过的弧长为12π×10=120π cm.
【变式6-3】（2022·全国·高一课时练习）单位圆上有两个动点M、N，同时从P1,0点出发，沿圆周运动，点M按逆时针方向每秒钟走π6rad，点N按顺时针方向每秒钟走π3rad，试求它们出发后第三次相遇时的位置和各自走过的弧度.
【解题思路】设两个动点从P1,0出发，ts后M、N第三次相遇，根据题中条件可得出关于t的等式，求出t的值，可求得两个动点所走的弧度，进而可求得它们出发后第三次相遇时的位置.
【解答过程】设两个动点从P1,0出发，ts后M、N第三次相遇，
则π6t+π3t=6π，故t=12.
此时点M走了π6×12=2πrad，点N走了π3×12=4πrad，它们在点P处相遇.