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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示精练
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示精练，文件包含312函数的表示法分层作业10大题型原卷版docx、312函数的表示法分层作业10大题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共21页， 欢迎下载使用。
题型1 已知函数类型求解析式
1．已知是一次函数，且，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意设函数，列出方程组，求得的值，即可求解.
【详解】由题意，设函数，
因为，，
所以，，
则，解得，
所以.
故选：D.
2．图象是以为顶点且过原点的二次函数的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由待定系数法求函数解析式问题，根据题意可以设二次函数的顶点式，然后根据函数过原点，将代入即可.
【详解】设图象是以为顶点的二次函数（）．
因为图象过原点，所以，，所以．
故选：A
题型2 已知f（g（x））求解析式
1．若函数，则（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用配凑法，把原式变形即可.
【详解】，.
故选：.
2．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用换元法求出解析式，再代入计算可得.
【详解】因为，所以，
又，所以，解得.
故选：D
题型3 解析法表示函数
1．已知函数，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意可首先列方程组求出，从而可只用表示出，进一步结合已知得关于的不等式组即可求解.
【详解】由已知得，解得，
又，所以.
故选：C.
2．定义在区间上的函数满足：①；②当时，，则集合中的最小元素是（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】C
【分析】由条件可知，再利用换元求出在的解析式解出满足的的最小值即可.
【详解】由可知，
因为当时，，所以，所以，
当时，令无解，
当时，，此时，
令无解，
令，则，，
所以当时，，
令解得，
所以集合中的最小元素是，
故选：C
题型4 图象法表示函数
7．小明骑车上学，开始时匀速行驶，中途因车流量大而减速行驶，后为了赶时间加速行驶，与以上事件吻合得最好的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】直接根据速度的变化快慢得答案.
【详解】开始时匀速行驶，故图像为直线，然后减速行驶，故图像上升速度变慢，后为了赶时间加速行驶，故图像上升速度变快，选项C符合.
故选：C.
8．已知函数，若且，则它的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据条件确定，从而抛物线开口向上，，通过排除法得出选项.
【详解】由且，得，
所以函数是二次函数，图象开口向上，排除A，C；
又，所以排除B；只有D符合.
故选：D.
题型5 列表法表示函数
1．中国清朝数学家李善兰在859年翻译《代数学》中首次将“functin”译做“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，这个解释说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值x，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象、表格还是其它形式，函数由下表给出，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】先求出，从而得到的值.
【详解】由表格可得，故.
故选：B
2．已知函数的对应关系如表所示；函数的图象如图所示，则的值为（ ）
A．B．3C．2D．4
【答案】D
【分析】根据函数图象和表格直接求解即可.
【详解】由图可知，
又由表可知，
故选：D.
题型6 求分段函数解析式或求函数的值
1．设为函数图象上的动点，若此函数图象与x轴，直线及围成图形（如图阴影部分）的面积为，则的图象可表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意求出，再根据函数解析式判断函数图象.
【详解】由题意可知
当时，，且过程中增速变慢，
当时，，且过程中增速变快，
所以的图象可表示为选项B，
故选：B
2．已知函数，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】B
【分析】根据分段函数解析式，代入求值即可.
【详解】由函数可得，.
故选：B.
题型7 分段函数的定义域
1．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由对分段函数的定义域的理解可得.
【详解】由，
得函数的定义域为.
故选：C.
2．设，若是的最小值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】当时，可求得此时；当时，根据二次函数性质可知，若不合题意；若，此时；根据是在上的最小值可知，从而构造不等式求得结果.
【详解】当时，（当且仅当时取等号）
当时，
当时，在上的最小值为，不合题意
当时，在上单调递减
是在上的最小值 且
本题正确选项：
【点睛】本题考查根据分段函数的最值求解参数范围的问题，关键是能够确定每一段区间内最值取得的点，从而确定最小值，通过每段最小值之间的大小关系可构造不等式求得结果.
题型8 分段函数的性质及应用
1．已知函数，若，则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】根据分段函数的解析式，代入求值，即可得答案.
【详解】当时，，当时，，
故由，得，
故选：A
2．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名函数，该函数被称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数有如下四个命题：
①；②对任意，恒有成立；
③任取一个不为零的有理数，对任意实数均成立；
④存在三个点，，，使得为等边三角形；
其中正确的序号为（ ）
A．①②③B．②③④C．②④D．①②③
【答案】B
【分析】根据狄利克雷函数的定义分别验证为无理数和为有理数两种情况，判断①②③；结合狄利克雷函数的定义找特殊点验证④.
【详解】对①，当为无理数时，，所以，
当为有理数时，，所以，所以对任意，恒由，所以①错误；
对②，当为无理数时，为无理数，所以，
当为有理数时，为有理数，所以 ，所以②正确；
对③，任取一个不为零的有理数，当为无理数时，则为无理数，
所以，
当为有理数时，则为有理数，所以，
所以任取一个不为零的有理数，对任意实数均成立，③正确；
对④，，，，得，，，
所以，，，此时为等边三边形，故④正确；
综上：命题②③④正确.
故选：.
题型9 根据实际问题作函数图象
1．将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图像为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，将函数化为分段函数的形式，得到其大致图像，即可判断平移之后的函数图像.
【详解】
因为，可得函数的大致图像如图所示，
将其向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得函数图像为C选项中的图像.
故选：C
2．已知函数，其中，．
(1)将该函数写成分段函数的形式；
(2)画出的大致图像并写出的单调区间．
【答案】(1)
(2)答案见解析，增区间为，减区间为．
【分析】（1）根据绝对值函数去掉绝对值符合即可得分段函数解析式；
（2）根据一次函数的解析式画图即可.
【详解】（1）当时，
，
当时，
，
所以；
（2）作出函数的图像如下图所示：
由图可知，函数的增区间为，减区间为．
题型10 根据函数图象选择解析式
1．已知函数的图象如图所示，其中y轴的左侧为一条线段，右侧为某抛物线的一段.
(1)写出函数的定义域和值域；
(2)求函数的解析式及的值.
【答案】(1)定义域为，值域为；
(2)，
【分析】
（1）依题意由图象可直接读取定义域和值域；
（2）分段分别设出函数在y轴的左右两侧解析式，利用待定系数法即可得出其解析式，再利用分段函数性质可得.
【详解】（1）根据函数的图象，即可知函数的定义域为，
值域为；
（2）设y轴的左侧的线段方程为，
由图可知线段过点，即可得，解得，
所以y轴的左侧的线段为；
设右侧为某抛物线的方程为，
由图像可知抛物线过点，即可得，解得，
即抛物线方程为,
所以函数的解析式为；
可得，所以，
即.
2．如图所示，是某辆汽车的行驶情况记录，根据图中数据回答下列问题.
（1）汽车从开始行驶到最后停止共行驶了多少分钟？期间的最大速度是多少？汽车有几个时间点的时速为20千米/小时？
（2）写出汽车出发10分钟到18分钟之间速度(千米/小时)与时间(分钟)的函数关系式，并算出这段时间中，在多少分钟时的速度为20千米/小时.
【答案】（1）共行驶了22分钟，期间的最大速度为80千米/小时，有4个时间点车速为20千米/小时；（2）函数关系式，发12分钟时车速为20千米/小时.
【分析】（1）根据某辆汽车的行驶情况记录的函数图象，可得该汽车共行驶时间，以及最大速度和车速为20千米/小时的时间点，得到答案；
（2）在出发10分钟到18分钟这段时间中，设为，根据表中的数据列出方程组，即可求得速度与时间的函数关系式，进而得到答案.
【详解】（1）根据某辆汽车的行驶情况记录的函数图象，可得该汽车共行驶了分钟，
期间的最大速度为80千米/小时，有4个时间点车速为20千米/小时；
（2）在出发10分钟到18分钟这段时间中，速度与时间是一次函数关系，
设为，
由图表中的数据，可得当时，，当时，，
代入得，解得，
所以速度(千米/小时)与时间(分钟)的函数关系式：，其中
当时，即，解得，即出发12分钟时车速为20千米/小时.
【点睛】本题主要考查了一次函数的解析式的求解，以及函数的图象的识别与应用，着重考查数形结合思想，以及运算与求解能力，属于基础题.
1．已知函数.
(1)求，的值；
(2)利用描点法直接在所给坐标系中作出的简图（不用列表）.
【答案】(1)，
(2)作图见解析
【分析】（1）将以及代入解析式，即可得出答案；
（2）在坐标系中，描出合适的点，用光滑的曲线连起来，即可得出函数图象.
【详解】（1）由已知可得，，.
（2）在坐标系中描点，，，，，
作出的简图
2．根据下列条件，求的解析式．
(1)已知满足；
(2)已知是二次函数，且满足，；
(3)已知满足．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用配凑法求解析式；
（2）利用待定系数法求解析式；
（3）利用方程法求解析式.
【详解】（1），
所以.
（2）设，
因为，所以，
因为，所以，
整理得，
所以，解得，
所以.
（3）在①中，令替换得②，
由②得③，
将③代入①得，
所以.
3．狗牯脑茶是江西珍贵名茶之一，产于罗霄山脉南麓支脉，吉安市遂川县汤湖镇狗牯脑山，该山形似狗头，取名“狗牯脑”所产之茶即从名之．某茶叶种植户欲生产狗牯脑茶，经过市场调研，生产狗牯脑茶需投入年固定成本3万元，每生产x（）吨另需投入流动成本万元，已知在年产量不足12吨时，，在年产量不少于12吨时，，每千克狗牯脑茶售价140元，通过市场分析，该茶叶种植户的狗牯脑茶当年能全部售完．
(1)写出年利润（单位：万元）关于年产量x（）（单位：吨）的函数解析式（年利润＝年销售收入－年固定成本－流动成本）；
(2)年产量为多少吨时，该茶叶种植户在狗牯脑茶的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？
【答案】(1)
(2)当年产量为18吨时，该茶叶种植户在狗牯脑茶的生产中所获年利润最大，最大年利润是54万元
【分析】（1）根据给出的计算公式，分段写出函数解析式；
（2）分段求函数的最大值，再进行比较.
【详解】（1）由题意知，1吨狗牯脑茶售价为14万元，当时，，
当时，，
故年利润（万元）关于年产量x（吨）的函数解析式为．
（2）当时，，当时，取得最大值．
当时，．
当且仅当，即时取等号，即当时，取得最大值．
∵50＜54，
∴当年产量为18吨时，该茶叶种植户在狗牯脑茶的生产中所获年利润最大，最大年利润是54万元.
1
2
3
x
1
2
3
4
3
题型1 已知函数类型求解析式
1．已知是一次函数，且，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意设函数，列出方程组，求得的值，即可求解.
【详解】由题意，设函数，
因为，，
所以，，
则，解得，
所以.
故选：D.
2．图象是以为顶点且过原点的二次函数的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由待定系数法求函数解析式问题，根据题意可以设二次函数的顶点式，然后根据函数过原点，将代入即可.
【详解】设图象是以为顶点的二次函数（）．
因为图象过原点，所以，，所以．
故选：A
题型2 已知f（g（x））求解析式
1．若函数，则（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用配凑法，把原式变形即可.
【详解】，.
故选：.
2．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用换元法求出解析式，再代入计算可得.
【详解】因为，所以，
又，所以，解得.
故选：D
题型3 解析法表示函数
1．已知函数，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意可首先列方程组求出，从而可只用表示出，进一步结合已知得关于的不等式组即可求解.
【详解】由已知得，解得，
又，所以.
故选：C.
2．定义在区间上的函数满足：①；②当时，，则集合中的最小元素是（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】C
【分析】由条件可知，再利用换元求出在的解析式解出满足的的最小值即可.
【详解】由可知，
因为当时，，所以，所以，
当时，令无解，
当时，，此时，
令无解，
令，则，，
所以当时，，
令解得，
所以集合中的最小元素是，
故选：C
题型4 图象法表示函数
7．小明骑车上学，开始时匀速行驶，中途因车流量大而减速行驶，后为了赶时间加速行驶，与以上事件吻合得最好的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】直接根据速度的变化快慢得答案.
【详解】开始时匀速行驶，故图像为直线，然后减速行驶，故图像上升速度变慢，后为了赶时间加速行驶，故图像上升速度变快，选项C符合.
故选：C.
8．已知函数，若且，则它的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据条件确定，从而抛物线开口向上，，通过排除法得出选项.
【详解】由且，得，
所以函数是二次函数，图象开口向上，排除A，C；
又，所以排除B；只有D符合.
故选：D.
题型5 列表法表示函数
1．中国清朝数学家李善兰在859年翻译《代数学》中首次将“functin”译做“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，这个解释说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值x，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象、表格还是其它形式，函数由下表给出，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】先求出，从而得到的值.
【详解】由表格可得，故.
故选：B
2．已知函数的对应关系如表所示；函数的图象如图所示，则的值为（ ）
A．B．3C．2D．4
【答案】D
【分析】根据函数图象和表格直接求解即可.
【详解】由图可知，
又由表可知，
故选：D.
题型6 求分段函数解析式或求函数的值
1．设为函数图象上的动点，若此函数图象与x轴，直线及围成图形（如图阴影部分）的面积为，则的图象可表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意求出，再根据函数解析式判断函数图象.
【详解】由题意可知
当时，，且过程中增速变慢，
当时，，且过程中增速变快，
所以的图象可表示为选项B，
故选：B
2．已知函数，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】B
【分析】根据分段函数解析式，代入求值即可.
【详解】由函数可得，.
故选：B.
题型7 分段函数的定义域
1．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由对分段函数的定义域的理解可得.
【详解】由，
得函数的定义域为.
故选：C.
2．设，若是的最小值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】当时，可求得此时；当时，根据二次函数性质可知，若不合题意；若，此时；根据是在上的最小值可知，从而构造不等式求得结果.
【详解】当时，（当且仅当时取等号）
当时，
当时，在上的最小值为，不合题意
当时，在上单调递减
是在上的最小值 且
本题正确选项：
【点睛】本题考查根据分段函数的最值求解参数范围的问题，关键是能够确定每一段区间内最值取得的点，从而确定最小值，通过每段最小值之间的大小关系可构造不等式求得结果.
题型8 分段函数的性质及应用
1．已知函数，若，则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】根据分段函数的解析式，代入求值，即可得答案.
【详解】当时，，当时，，
故由，得，
故选：A
2．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名函数，该函数被称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数有如下四个命题：
①；②对任意，恒有成立；
③任取一个不为零的有理数，对任意实数均成立；
④存在三个点，，，使得为等边三角形；
其中正确的序号为（ ）
A．①②③B．②③④C．②④D．①②③
【答案】B
【分析】根据狄利克雷函数的定义分别验证为无理数和为有理数两种情况，判断①②③；结合狄利克雷函数的定义找特殊点验证④.
【详解】对①，当为无理数时，，所以，
当为有理数时，，所以，所以对任意，恒由，所以①错误；
对②，当为无理数时，为无理数，所以，
当为有理数时，为有理数，所以 ，所以②正确；
对③，任取一个不为零的有理数，当为无理数时，则为无理数，
所以，
当为有理数时，则为有理数，所以，
所以任取一个不为零的有理数，对任意实数均成立，③正确；
对④，，，，得，，，
所以，，，此时为等边三边形，故④正确；
综上：命题②③④正确.
故选：.
题型9 根据实际问题作函数图象
1．将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图像为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，将函数化为分段函数的形式，得到其大致图像，即可判断平移之后的函数图像.
【详解】
因为，可得函数的大致图像如图所示，
将其向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得函数图像为C选项中的图像.
故选：C
2．已知函数，其中，．
(1)将该函数写成分段函数的形式；
(2)画出的大致图像并写出的单调区间．
【答案】(1)
(2)答案见解析，增区间为，减区间为．
【分析】（1）根据绝对值函数去掉绝对值符合即可得分段函数解析式；
（2）根据一次函数的解析式画图即可.
【详解】（1）当时，
，
当时，
，
所以；
（2）作出函数的图像如下图所示：
由图可知，函数的增区间为，减区间为．
题型10 根据函数图象选择解析式
1．已知函数的图象如图所示，其中y轴的左侧为一条线段，右侧为某抛物线的一段.
(1)写出函数的定义域和值域；
(2)求函数的解析式及的值.
【答案】(1)定义域为，值域为；
(2)，
【分析】
（1）依题意由图象可直接读取定义域和值域；
（2）分段分别设出函数在y轴的左右两侧解析式，利用待定系数法即可得出其解析式，再利用分段函数性质可得.
【详解】（1）根据函数的图象，即可知函数的定义域为，
值域为；
（2）设y轴的左侧的线段方程为，
由图可知线段过点，即可得，解得，
所以y轴的左侧的线段为；
设右侧为某抛物线的方程为，
由图像可知抛物线过点，即可得，解得，
即抛物线方程为,
所以函数的解析式为；
可得，所以，
即.
2．如图所示，是某辆汽车的行驶情况记录，根据图中数据回答下列问题.
（1）汽车从开始行驶到最后停止共行驶了多少分钟？期间的最大速度是多少？汽车有几个时间点的时速为20千米/小时？
（2）写出汽车出发10分钟到18分钟之间速度(千米/小时)与时间(分钟)的函数关系式，并算出这段时间中，在多少分钟时的速度为20千米/小时.
【答案】（1）共行驶了22分钟，期间的最大速度为80千米/小时，有4个时间点车速为20千米/小时；（2）函数关系式，发12分钟时车速为20千米/小时.
【分析】（1）根据某辆汽车的行驶情况记录的函数图象，可得该汽车共行驶时间，以及最大速度和车速为20千米/小时的时间点，得到答案；
（2）在出发10分钟到18分钟这段时间中，设为，根据表中的数据列出方程组，即可求得速度与时间的函数关系式，进而得到答案.
【详解】（1）根据某辆汽车的行驶情况记录的函数图象，可得该汽车共行驶了分钟，
期间的最大速度为80千米/小时，有4个时间点车速为20千米/小时；
（2）在出发10分钟到18分钟这段时间中，速度与时间是一次函数关系，
设为，
由图表中的数据，可得当时，，当时，，
代入得，解得，
所以速度(千米/小时)与时间(分钟)的函数关系式：，其中
当时，即，解得，即出发12分钟时车速为20千米/小时.
【点睛】本题主要考查了一次函数的解析式的求解，以及函数的图象的识别与应用，着重考查数形结合思想，以及运算与求解能力，属于基础题.
1．已知函数.
(1)求，的值；
(2)利用描点法直接在所给坐标系中作出的简图（不用列表）.
【答案】(1)，
(2)作图见解析
【分析】（1）将以及代入解析式，即可得出答案；
（2）在坐标系中，描出合适的点，用光滑的曲线连起来，即可得出函数图象.
【详解】（1）由已知可得，，.
（2）在坐标系中描点，，，，，
作出的简图
2．根据下列条件，求的解析式．
(1)已知满足；
(2)已知是二次函数，且满足，；
(3)已知满足．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用配凑法求解析式；
（2）利用待定系数法求解析式；
（3）利用方程法求解析式.
【详解】（1），
所以.
（2）设，
因为，所以，
因为，所以，
整理得，
所以，解得，
所以.
（3）在①中，令替换得②，
由②得③，
将③代入①得，
所以.
3．狗牯脑茶是江西珍贵名茶之一，产于罗霄山脉南麓支脉，吉安市遂川县汤湖镇狗牯脑山，该山形似狗头，取名“狗牯脑”所产之茶即从名之．某茶叶种植户欲生产狗牯脑茶，经过市场调研，生产狗牯脑茶需投入年固定成本3万元，每生产x（）吨另需投入流动成本万元，已知在年产量不足12吨时，，在年产量不少于12吨时，，每千克狗牯脑茶售价140元，通过市场分析，该茶叶种植户的狗牯脑茶当年能全部售完．
(1)写出年利润（单位：万元）关于年产量x（）（单位：吨）的函数解析式（年利润＝年销售收入－年固定成本－流动成本）；
(2)年产量为多少吨时，该茶叶种植户在狗牯脑茶的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？
【答案】(1)
(2)当年产量为18吨时，该茶叶种植户在狗牯脑茶的生产中所获年利润最大，最大年利润是54万元
【分析】（1）根据给出的计算公式，分段写出函数解析式；
（2）分段求函数的最大值，再进行比较.
【详解】（1）由题意知，1吨狗牯脑茶售价为14万元，当时，，
当时，，
故年利润（万元）关于年产量x（吨）的函数解析式为．
（2）当时，，当时，取得最大值．
当时，．
当且仅当，即时取等号，即当时，取得最大值．
∵50＜54，
∴当年产量为18吨时，该茶叶种植户在狗牯脑茶的生产中所获年利润最大，最大年利润是54万元.
1
2
3
x
1
2
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