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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念同步测试题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念同步测试题，文件包含11集合的概念分层作业12大题型原卷版docx、11集合的概念分层作业12大题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。
题型1 判断元素能否构成集合
1．下列对象中不能构成一个集合的是（ ）
A．某校比较出名的教师B．方程的根
C．不小于3的自然数D．所有锐角三角形
【答案】A
【分析】根据集合的性质判断各项描述是否能构成集合即可.
【详解】A：比较出名的标准不清，故不能构成集合；
B：，方程根确定，可构成集合；
C：不小于3的自然数可表示为，可构成集合；
D：所有锐角三角形内角和确定且各角范围确定，可构成集合.
故选：A
2．下列给出的对象能构成集合的有（ ）
①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值；
③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据集合的定义判断即可.
【详解】对于①：某校2023年入学的全体高一年级新生，对象确定，能构成集合，故①正确；
对于②：的所有近似值，根据精确度不一样得到的近似值不一样，对象不确定，故不能构成集合，故②错误；
对于③：某个班级中学习成绩较好是相对的，故这些学生对象不确定，不能构成集合，故③错误；
对于④：不等式的所有正整数解有、、，能构成集合，故④正确；
故选：B
3．设是整数集的一个非空子集，对于，如果，且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有（ ）个.
A．0B．2C．4D．6
【答案】D
【分析】我们用列举法列出满足条件的所有集合，即可得到答案．
【详解】若不是孤立元，.
设另一元素为，
假设，此时，不合题意，故.
据此分析满足条件的集合为，共有6个.
故选：D
题型2 判断是否为同一集合
1．下列说法正确的是（ ）
A．由组成的集合可表示为或
B．与是同一个集合
C．集合与集合是同一个集合
D．集合与集合是同一个集合
【答案】AD
【分析】根据集合的定义和元素的性质可判断AB的正误，对于CD，可计算出各自集合后判断其正误.
【详解】对于A，根据集合元素的无序性可得、表示同一集合，元素有，
故A正确.
对于B，不是空集，故B错误.
对于C，，而，
故两个集合不是同一个集合，故C错误.
对于D，，故D正确.
故选：AD.
2．下列各组中表示不同集合的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】ABD
【分析】根据集合相等的概念依次分析各选项即可得答案.
【详解】选项A中，是数集，是点集，二者不是同一集合,故；
选项B中，与表示不同的点，故；
选项C中，，，故；
选项D中，是二次函数的所有组成的集合，而集合是二次函数图象上所有点组成的集合，故.
故选：ABD.
3．集合，集合A还可以表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】用列举法表示集合及各选项的集合，对比即可得出答案.
【详解】，
选项A，不符合；
选项B，，符合；
选项C，符合；
选项D，，符合，
故选：BCD.
题型3 判断元素与集合的关系
1．用“”或“”填空：
（1）若，则1 A，-1 A；
（2）若，则1 B，1.5 B；
（3）若，则0.2 C，3 C．
【答案】
【分析】根据集合可得答案.
【详解】因为，所以；
因为，所以；
因为，所以；
故答案为：，，，，，.
2．用符号“”或“”填空
（1） ， ，
（2） Q
（3）
【答案】
【分析】（1）是自然数，不是自然数，是自然数，分别可得元素与集合的关系；
（2）是有理数，不是有理数，分别可得元素与集合的关系；
（3）可化简为的形式，可得元素与集合的关系．
【详解】（1）是自然数，则；不是自然数，则；是自然数，则；
（2）是有理数，则；不是有理数，则；
（3）
故答案为：（1），，；（2），；（3）．
3．用“”“”“”“”填空： Q， .
【答案】
【分析】根据不是有理数，且是的子集，选择合适的符号即可.
【详解】Q是有理数集，不是有理数，所以，
易知是的子集，所以.
故答案为:(1);(2).
【点睛】本题考查元素与集合以及集合与集合的关系,属于基础题.
题型4 用不同的方法表示集合
1．若集合，，则中元素的最大值为（ ）
A．4B．5C．7D．10
【答案】C
【分析】根据B中元素的特征，只需满足即可得解.
【详解】由题意，
.
故选：C
2．已知集合，，则集合等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】变量分别从集合中取值即可，要做到不重不漏.
【详解】当时，；
当时，；
当或时，；
所以.
故选：B.
3．集合用列举法表示为 .
【答案】
【分析】观察集合中的式子，给赋值，即可求解.
【详解】时，；时，；时，；时，；
可得.
故答案为：
4．用描述法表示图中的阴影部分（不含边界）可以是 ．
【答案】
【分析】看图得出x，y的取值范围，用集合的描述法表示出来即可.
【详解】由图知，，，所以由集合的描述法可知 .
故答案为：.
题型5 利用元素的互异性求参数
1．已知集合，若，则 ．
【答案】
【分析】根据题意结合元素与集合之间的关系结合集合的互异性分析求解.
【详解】因为，且，
则或，解得.
故答案为：.
2．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m＝ ．
【答案】3
【分析】根据集合与元素的关系，分类求得m的值，然后利用集合元素的互异性检验取舍.
【详解】由题意知，m＝2或m2－3m＋2＝2，
解得m＝2或m＝0或m＝3，经验证，
当m＝0或m＝2时，
不满足集合中元素的互异性，
当m＝3时，满足题意，
故m＝3.
答案：3
3．若a，，集合．
求：(1);
(2)．
【答案】(1) 0; (2) 2;
【解析】(1)根据可得出,
(2)由(1)得，即,根据元素的互异性可得, ,代入计算即可.
【详解】(1)根据元素的互异性，得或，若，则无意义，故;
(2) 由(1)得，即，据元素的互异性可得：，，
∴.
【点睛】本题考查集合中元素的互异性，属于基础题.
题型6 根据元素与集合的关系求参数
1．若集合且下列四个关系：①；②；③；④有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是（ ）
A．7B．6C．5D．4
【答案】B
【分析】因为①；②；③；④中有且只有一个是正确的,故分四种情况进行讨论,分别分析可能存在的情况即可.
【详解】若仅有①成立,则必有成立,故①不可能成立；
若仅有②成立,则,,,成立,此时有,两种情况；
若仅有③成立,则,,,成立,此时仅有成立；
若仅有④成立,则,,,成立,此时有三种情况，
综上符合条件的所有有序数组的个数是6个，
故选：B
2．已知关于的不等式的解集为.
（1）当时，求集合；
（2）当且时，求实数的取值范围.
【答案】（1）或；（2）
【解析】（1）利用穿根法，即可得到的解集；
（2）由，得，又由，得，解不等式组即可得到本题答案.
【详解】（1）当时，，
所以或；
（2）因为，所以，得或，
又因为，所以不成立，
即，解得，
综上可得，实数的取值范围.
【点睛】本题主要考查高次不等式的求法，以及根据元素与集合的关系确定参数的取值范围.
3．已知, ,求实数的值.
【答案】
【分析】由,有或，显然，解方程求出实数的值，但要注意集合元素的互异性.
【详解】因为，所以有或，显然，
当时，，此时不符合集合元素的互异性，故舍去；
当时，解得，由上可知不符合集合元素的互异性，舍去，故.
【点睛】本题考查了元素与集合之间的关系，考查了集合元素的互异性，考查了解方程、分类讨论思想.
题型7 根据两个集合相等求参数
1．已知实数集合，若， 则（ ）
A．-1B．0C．1D．2
【答案】A
【分析】根据得到，或，，然后解方程，再根据集合中元素的互异性得到，，最后计算即可.
【详解】当，时，，或任意，（舍去）；
当，时，，，不成立，
所以，，.
故选：A.
2．含有3个实数的集合可表示为，又可表示为，则 ．
【答案】1
【分析】利用相等集合的元素关系，即可求解.
【详解】因为有3个实数的集合可表示为，又可表示为，
所以，，即，
则，即或，
当时，集合为，与集合元素的互异性矛盾，
故，，
.
故答案为：1．
3．已知集合，其中，则实数 .
【答案】
【分析】由题意可得或，求出，进而求出，结合集合的互异性和，即可得出答案.
【详解】①当时，解得，
当时，与集合元素的互异性矛盾，所以舍去；
当时，，
得到与矛盾，所以舍去；
②当时，解得，
当时，，
得到与矛盾，所以舍去；
当时，，
得到，符合题意，所以.
故答案为：.
题型8 根据集合中元素的个数求参数
1．若集合中有两个元素，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用一元二次方程及根的判别式列式求解即得.
【详解】依题意，方程有两个不等的实根，则且，解得且，
所以实数m的取值范围为且.
故选：C
2．已知集合是单元素集，则实数的取值集合为 ．
【答案】.
【分析】根据题意，结合只有一个解，分类讨论，即可求解.
【详解】由集合是单元素集，
可得方程只有一个解，
当，即时，方程为，解得，此时，符合题意；
当，即时，则满足，解得，
综上可得，实数的取值集合为.
故答案为：.
3．已知集合中仅有3个整数，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由可知在数轴上集合A的端点关于点1对称，则A中的三个整数为，建立不等式组，解之即可求解.
【详解】因为，所以在数轴上集合A的端点关于点1对称，
从而A中的三个整数为，
所以，且，解得．
即实数a的取值范围为
故答案为：
题型9 利用集合中元素的性质求集合元素个数
1．设集合，，，则中元素的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】根据给定条件计算出所有的值，再借助集合中元素的性质即可作答.
【详解】，时，的值依次为，有4个不同值，即，因此中有4个元素．
故选：B．
2．英文单词interesting的所有字母组成的集合共有（ ）
A．7个元素B．8个元素C．9个元素D．11个元素
【答案】A
【分析】根据集合中的元素满足互异性即可求解.
【详解】interesting的所有字母组成的集合为，共有7个元素．
故选：A
题型10集合元素互异性的应用
1．“mncake”中的字母构成一个集合，该集合的元素个数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】根据集合的互异性分析求解.
【详解】因为“mncake”中的字母有m，，n，c，a，k，e，
其构成的集合为，有7个元素.
故选：C.
2．已知正数集合，则以，，，为边长构成的四边形可能是（ ）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．梯形
【答案】D
【分析】根据元素互异性得到答案.
【详解】根据集合中元素互异性可知，构成的四边形边长不相等，
其中平行四边形，矩形和菱形对边均相等，不合要求，梯形的四边可能互不相等，故可能为梯形.
故选：D
3．设，，已知，，求的值．
【答案】且且且
【分析】根据，结合集合元素的互异性求得参数a的取值.
【详解】由知，，即，
解得且
又集合元素具有互异性，知，即
解得且
综上所述，a的取值为且且且
题型11常用数集或数集关系应用
1．给出下列说法，其中正确的是（ ）
A．集合用列举法表示为{0，1}
B．实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R}
C．方程组的解组成的集合为
D．方程的所有解组成的集合为
【答案】AD
【分析】化简集合判断A；利用集合的意义及集合的表示法判断B，C，D作答.
【详解】对于A，由，得或或，而，
因此集合用列举法表示为{0，1}，A正确；
对于B，集合表示中的符号“{}”已包含“所有”、“全体”等含义，而符号“R”已表示所有的实数构成的集合，
所以实数集可以表示为{x|x为实数}或R，B不正确；
对于C，方程组的解是有序实数对，而集合表示两个等式组成的集合，C不正确；
对于D，由，得且，则所有解组成的集合为，D正确.
故选：AD
2．下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】根据常见数集及元素与集合关系即可作出判断.
【详解】根据常见数集的表示可知，，，，.
故选：AD
题型12集合的分类
1．下列四个命题：其中不正确的命题为（ ）
A．是空集B．若，则；
C．集合中只有一个元素D．集合是有限集.
【答案】ABD
【分析】根据数集的概念、空集的概念、集合的分类以及元素与集合的关系进行判断.
【详解】对于A，含有一个元素，所以不是空集，故A错误；
对于B：当时，，则，故B错误；
对于C：只有一个元素，故C正确；
对于D：表示有理数，包括整数和分数，比如为正整数的倒数时，都有，所以集合是无限集，故D错误.
故选：ABD.
2．设S为实数集的非空子集．若对任意，都有，则称S为封闭集．下列命题正确的是（ ）
A．自然数集N为封闭集
B．整数集Z为封闭集
C．集合为封闭集
D．若S为封闭集，且，则S一定为无限集
【答案】BCD
【分析】根据封闭集的定义，举反例判断A；根据封闭集定义可判断B，C；由封闭集定义可推出所有整数都属于S，判断D.
【详解】对于A，取，则，故自然数集N不是封闭集；
对于B，任意两个整数的和、差、积仍是整数，故整数集Z为封闭集；
对于C，设都是整数，
则，故，
同理，
,
故集合为封闭集，C正确；
对于D，若S为封闭集，且，则,
则，依此类推可得所有整数都属于S，
则S一定为无限集，D正确，
故选：BCD
3．下列四个命题中正确的是（ ）
A．
B．
C．集合中只有一个元素
D．集合是有限集
【答案】CD
【分析】根据集合的概念以及表示，判定命题的真假.
【详解】根据的定义知，A、B均不正确；
只有一个元素，C正确；
中只有两个元素，D正确.
故选：CD.
1．对集合的每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”，概念如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大的开始，交替减加后面的数所得的结果.例如：集合的“交替和”为，集合的“交替和”为，集合的“交替和”为6，则集合所有非空子集的“交替和”的和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将此集合分成两类，并在两类集合之间建立一一映射关系后根据“交替和”的定义即可求出答案.
【详解】解：由题意得：
集合的非空子集中，除去集合，还有个非空集合，将这个子集分成两类：
第一类: 包含的子集；第二类：不包含的子集；
在第二类和第一类子集之间建立如下的对应关系：，其中是第二类子集，显然这种对应是一一映射
设的“交替和”为，则的“交替和”为，这一对集合的“交替和”的和等于 ，所以集合A的所有非空集合的“交替和”总和为
故选：B
2．已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当（其中正整数、且）或（其中正整数、且）．现有如下两个命题：①；②集合．则下列判断正确的是（ ）
A．①对②对B．①对②错C．①错②对D．①错②错
【答案】A
【分析】根据集合的定义即可判断①是假命题，根据集合的定义先判断，，再由，有，，且，所以，可判断 ②是真命题.
【详解】因为若，则当且仅当其中且，或其中且，
且集合是由某些正整数组成的集合，
所以，，
因为，满足其中且，所以，
因为，且，，所以，
因为，，，所以，故①对；
下面讨论元素与集合的关系，
当时，；
当时，，，，所以；
当时，，，，所以；
当时，，，，所以；依次类推，
当时，，，，
所以，则，故②对.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于判断，，，，再根据集合的定义求解.
3．设非空集合具有如下性质：①元素都是正整数；②若则．
（1）请你写出符合条件，且分别含有一个、二个、三个元素的集合各一个；
（2）是否存在恰有6个元素的集合？若存在，写出所有的集合；若不存在，请说明理由；
（3）满足条件的集合S总共有多少个？
【答案】（1）答案见详解；（2）存在，且共有个，答案见详解；（3）个.
【解析】（1）当集合中只有一个元素，则，得出集合即可；有两个元素时，只需两个元素之和为即可；当有三个元素时，只需其中两个元素之和为，另外一个元素为；
（2）只需选对和为的正整数即可；
（3）集合中元素的个数可以为，，，，，，，，个，先计算出当集合的元素个数为偶数时的个数，同理可得中元素个数为奇数的个数，然后则可得出符合条件的的总个数.
【详解】解：（1）若集合中只有一个元素，则只需满足，故，则；
若集合中有两个元素，则符合条件；
若集合中有三个元素，则符合条件.
（2）存在，一共有四个：
或或或.
（3）由题意可知，集合中元素的个数可以为，，，，，，，，个，
当集合中元素的个数为偶数时：
含有个元素时，只需在，，，这四对中任选一对，则共有个；
含有个元素时，只需，，，这四对中任选两对，则共有6个；
含有个元素时，只需，，，这四对中任选三对，则共有个；
含有个元素时，则共有个，
所以当集合中元素的个数为偶数时，满足条件的集合共有个，
同理可知，当中元素个数分别为时，符合条件的集合也为个；
由（1）可知，当中只有一个元素时，只有一个，
综上所述，符合条件的共有个.
【点睛】本题考查集合的新定义问题，考查学生获取新知识、应用新知识的能力，理解题意是关键.
题型1 判断元素能否构成集合
1．下列对象中不能构成一个集合的是（ ）
A．某校比较出名的教师B．方程的根
C．不小于3的自然数D．所有锐角三角形
【答案】A
【分析】根据集合的性质判断各项描述是否能构成集合即可.
【详解】A：比较出名的标准不清，故不能构成集合；
B：，方程根确定，可构成集合；
C：不小于3的自然数可表示为，可构成集合；
D：所有锐角三角形内角和确定且各角范围确定，可构成集合.
故选：A
2．下列给出的对象能构成集合的有（ ）
①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值；
③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据集合的定义判断即可.
【详解】对于①：某校2023年入学的全体高一年级新生，对象确定，能构成集合，故①正确；
对于②：的所有近似值，根据精确度不一样得到的近似值不一样，对象不确定，故不能构成集合，故②错误；
对于③：某个班级中学习成绩较好是相对的，故这些学生对象不确定，不能构成集合，故③错误；
对于④：不等式的所有正整数解有、、，能构成集合，故④正确；
故选：B
3．设是整数集的一个非空子集，对于，如果，且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有（ ）个.
A．0B．2C．4D．6
【答案】D
【分析】我们用列举法列出满足条件的所有集合，即可得到答案．
【详解】若不是孤立元，.
设另一元素为，
假设，此时，不合题意，故.
据此分析满足条件的集合为，共有6个.
故选：D
题型2 判断是否为同一集合
1．下列说法正确的是（ ）
A．由组成的集合可表示为或
B．与是同一个集合
C．集合与集合是同一个集合
D．集合与集合是同一个集合
【答案】AD
【分析】根据集合的定义和元素的性质可判断AB的正误，对于CD，可计算出各自集合后判断其正误.
【详解】对于A，根据集合元素的无序性可得、表示同一集合，元素有，
故A正确.
对于B，不是空集，故B错误.
对于C，，而，
故两个集合不是同一个集合，故C错误.
对于D，，故D正确.
故选：AD.
2．下列各组中表示不同集合的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】ABD
【分析】根据集合相等的概念依次分析各选项即可得答案.
【详解】选项A中，是数集，是点集，二者不是同一集合,故；
选项B中，与表示不同的点，故；
选项C中，，，故；
选项D中，是二次函数的所有组成的集合，而集合是二次函数图象上所有点组成的集合，故.
故选：ABD.
3．集合，集合A还可以表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】用列举法表示集合及各选项的集合，对比即可得出答案.
【详解】，
选项A，不符合；
选项B，，符合；
选项C，符合；
选项D，，符合，
故选：BCD.
题型3 判断元素与集合的关系
1．用“”或“”填空：
（1）若，则1 A，-1 A；
（2）若，则1 B，1.5 B；
（3）若，则0.2 C，3 C．
【答案】
【分析】根据集合可得答案.
【详解】因为，所以；
因为，所以；
因为，所以；
故答案为：，，，，，.
2．用符号“”或“”填空
（1） ， ，
（2） Q
（3）
【答案】
【分析】（1）是自然数，不是自然数，是自然数，分别可得元素与集合的关系；
（2）是有理数，不是有理数，分别可得元素与集合的关系；
（3）可化简为的形式，可得元素与集合的关系．
【详解】（1）是自然数，则；不是自然数，则；是自然数，则；
（2）是有理数，则；不是有理数，则；
（3）
故答案为：（1），，；（2），；（3）．
3．用“”“”“”“”填空： Q， .
【答案】
【分析】根据不是有理数，且是的子集，选择合适的符号即可.
【详解】Q是有理数集，不是有理数，所以，
易知是的子集，所以.
故答案为:(1);(2).
【点睛】本题考查元素与集合以及集合与集合的关系,属于基础题.
题型4 用不同的方法表示集合
1．若集合，，则中元素的最大值为（ ）
A．4B．5C．7D．10
【答案】C
【分析】根据B中元素的特征，只需满足即可得解.
【详解】由题意，
.
故选：C
2．已知集合，，则集合等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】变量分别从集合中取值即可，要做到不重不漏.
【详解】当时，；
当时，；
当或时，；
所以.
故选：B.
3．集合用列举法表示为 .
【答案】
【分析】观察集合中的式子，给赋值，即可求解.
【详解】时，；时，；时，；时，；
可得.
故答案为：
4．用描述法表示图中的阴影部分（不含边界）可以是 ．
【答案】
【分析】看图得出x，y的取值范围，用集合的描述法表示出来即可.
【详解】由图知，，，所以由集合的描述法可知 .
故答案为：.
题型5 利用元素的互异性求参数
1．已知集合，若，则 ．
【答案】
【分析】根据题意结合元素与集合之间的关系结合集合的互异性分析求解.
【详解】因为，且，
则或，解得.
故答案为：.
2．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m＝ ．
【答案】3
【分析】根据集合与元素的关系，分类求得m的值，然后利用集合元素的互异性检验取舍.
【详解】由题意知，m＝2或m2－3m＋2＝2，
解得m＝2或m＝0或m＝3，经验证，
当m＝0或m＝2时，
不满足集合中元素的互异性，
当m＝3时，满足题意，
故m＝3.
答案：3
3．若a，，集合．
求：(1);
(2)．
【答案】(1) 0; (2) 2;
【解析】(1)根据可得出,
(2)由(1)得，即,根据元素的互异性可得, ,代入计算即可.
【详解】(1)根据元素的互异性，得或，若，则无意义，故;
(2) 由(1)得，即，据元素的互异性可得：，，
∴.
【点睛】本题考查集合中元素的互异性，属于基础题.
题型6 根据元素与集合的关系求参数
1．若集合且下列四个关系：①；②；③；④有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是（ ）
A．7B．6C．5D．4
【答案】B
【分析】因为①；②；③；④中有且只有一个是正确的,故分四种情况进行讨论,分别分析可能存在的情况即可.
【详解】若仅有①成立,则必有成立,故①不可能成立；
若仅有②成立,则,,,成立,此时有,两种情况；
若仅有③成立,则,,,成立,此时仅有成立；
若仅有④成立,则,,,成立,此时有三种情况，
综上符合条件的所有有序数组的个数是6个，
故选：B
2．已知关于的不等式的解集为.
（1）当时，求集合；
（2）当且时，求实数的取值范围.
【答案】（1）或；（2）
【解析】（1）利用穿根法，即可得到的解集；
（2）由，得，又由，得，解不等式组即可得到本题答案.
【详解】（1）当时，，
所以或；
（2）因为，所以，得或，
又因为，所以不成立，
即，解得，
综上可得，实数的取值范围.
【点睛】本题主要考查高次不等式的求法，以及根据元素与集合的关系确定参数的取值范围.
3．已知, ,求实数的值.
【答案】
【分析】由,有或，显然，解方程求出实数的值，但要注意集合元素的互异性.
【详解】因为，所以有或，显然，
当时，，此时不符合集合元素的互异性，故舍去；
当时，解得，由上可知不符合集合元素的互异性，舍去，故.
【点睛】本题考查了元素与集合之间的关系，考查了集合元素的互异性，考查了解方程、分类讨论思想.
题型7 根据两个集合相等求参数
1．已知实数集合，若， 则（ ）
A．-1B．0C．1D．2
【答案】A
【分析】根据得到，或，，然后解方程，再根据集合中元素的互异性得到，，最后计算即可.
【详解】当，时，，或任意，（舍去）；
当，时，，，不成立，
所以，，.
故选：A.
2．含有3个实数的集合可表示为，又可表示为，则 ．
【答案】1
【分析】利用相等集合的元素关系，即可求解.
【详解】因为有3个实数的集合可表示为，又可表示为，
所以，，即，
则，即或，
当时，集合为，与集合元素的互异性矛盾，
故，，
.
故答案为：1．
3．已知集合，其中，则实数 .
【答案】
【分析】由题意可得或，求出，进而求出，结合集合的互异性和，即可得出答案.
【详解】①当时，解得，
当时，与集合元素的互异性矛盾，所以舍去；
当时，，
得到与矛盾，所以舍去；
②当时，解得，
当时，，
得到与矛盾，所以舍去；
当时，，
得到，符合题意，所以.
故答案为：.
题型8 根据集合中元素的个数求参数
1．若集合中有两个元素，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用一元二次方程及根的判别式列式求解即得.
【详解】依题意，方程有两个不等的实根，则且，解得且，
所以实数m的取值范围为且.
故选：C
2．已知集合是单元素集，则实数的取值集合为 ．
【答案】.
【分析】根据题意，结合只有一个解，分类讨论，即可求解.
【详解】由集合是单元素集，
可得方程只有一个解，
当，即时，方程为，解得，此时，符合题意；
当，即时，则满足，解得，
综上可得，实数的取值集合为.
故答案为：.
3．已知集合中仅有3个整数，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由可知在数轴上集合A的端点关于点1对称，则A中的三个整数为，建立不等式组，解之即可求解.
【详解】因为，所以在数轴上集合A的端点关于点1对称，
从而A中的三个整数为，
所以，且，解得．
即实数a的取值范围为
故答案为：
题型9 利用集合中元素的性质求集合元素个数
1．设集合，，，则中元素的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】根据给定条件计算出所有的值，再借助集合中元素的性质即可作答.
【详解】，时，的值依次为，有4个不同值，即，因此中有4个元素．
故选：B．
2．英文单词interesting的所有字母组成的集合共有（ ）
A．7个元素B．8个元素C．9个元素D．11个元素
【答案】A
【分析】根据集合中的元素满足互异性即可求解.
【详解】interesting的所有字母组成的集合为，共有7个元素．
故选：A
题型10集合元素互异性的应用
1．“mncake”中的字母构成一个集合，该集合的元素个数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】根据集合的互异性分析求解.
【详解】因为“mncake”中的字母有m，，n，c，a，k，e，
其构成的集合为，有7个元素.
故选：C.
2．已知正数集合，则以，，，为边长构成的四边形可能是（ ）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．梯形
【答案】D
【分析】根据元素互异性得到答案.
【详解】根据集合中元素互异性可知，构成的四边形边长不相等，
其中平行四边形，矩形和菱形对边均相等，不合要求，梯形的四边可能互不相等，故可能为梯形.
故选：D
3．设，，已知，，求的值．
【答案】且且且
【分析】根据，结合集合元素的互异性求得参数a的取值.
【详解】由知，，即，
解得且
又集合元素具有互异性，知，即
解得且
综上所述，a的取值为且且且
题型11常用数集或数集关系应用
1．给出下列说法，其中正确的是（ ）
A．集合用列举法表示为{0，1}
B．实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R}
C．方程组的解组成的集合为
D．方程的所有解组成的集合为
【答案】AD
【分析】化简集合判断A；利用集合的意义及集合的表示法判断B，C，D作答.
【详解】对于A，由，得或或，而，
因此集合用列举法表示为{0，1}，A正确；
对于B，集合表示中的符号“{}”已包含“所有”、“全体”等含义，而符号“R”已表示所有的实数构成的集合，
所以实数集可以表示为{x|x为实数}或R，B不正确；
对于C，方程组的解是有序实数对，而集合表示两个等式组成的集合，C不正确；
对于D，由，得且，则所有解组成的集合为，D正确.
故选：AD
2．下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】根据常见数集及元素与集合关系即可作出判断.
【详解】根据常见数集的表示可知，，，，.
故选：AD
题型12集合的分类
1．下列四个命题：其中不正确的命题为（ ）
A．是空集B．若，则；
C．集合中只有一个元素D．集合是有限集.
【答案】ABD
【分析】根据数集的概念、空集的概念、集合的分类以及元素与集合的关系进行判断.
【详解】对于A，含有一个元素，所以不是空集，故A错误；
对于B：当时，，则，故B错误；
对于C：只有一个元素，故C正确；
对于D：表示有理数，包括整数和分数，比如为正整数的倒数时，都有，所以集合是无限集，故D错误.
故选：ABD.
2．设S为实数集的非空子集．若对任意，都有，则称S为封闭集．下列命题正确的是（ ）
A．自然数集N为封闭集
B．整数集Z为封闭集
C．集合为封闭集
D．若S为封闭集，且，则S一定为无限集
【答案】BCD
【分析】根据封闭集的定义，举反例判断A；根据封闭集定义可判断B，C；由封闭集定义可推出所有整数都属于S，判断D.
【详解】对于A，取，则，故自然数集N不是封闭集；
对于B，任意两个整数的和、差、积仍是整数，故整数集Z为封闭集；
对于C，设都是整数，
则，故，
同理，
,
故集合为封闭集，C正确；
对于D，若S为封闭集，且，则,
则，依此类推可得所有整数都属于S，
则S一定为无限集，D正确，
故选：BCD
3．下列四个命题中正确的是（ ）
A．
B．
C．集合中只有一个元素
D．集合是有限集
【答案】CD
【分析】根据集合的概念以及表示，判定命题的真假.
【详解】根据的定义知，A、B均不正确；
只有一个元素，C正确；
中只有两个元素，D正确.
故选：CD.
1．对集合的每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”，概念如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大的开始，交替减加后面的数所得的结果.例如：集合的“交替和”为，集合的“交替和”为，集合的“交替和”为6，则集合所有非空子集的“交替和”的和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将此集合分成两类，并在两类集合之间建立一一映射关系后根据“交替和”的定义即可求出答案.
【详解】解：由题意得：
集合的非空子集中，除去集合，还有个非空集合，将这个子集分成两类：
第一类: 包含的子集；第二类：不包含的子集；
在第二类和第一类子集之间建立如下的对应关系：，其中是第二类子集，显然这种对应是一一映射
设的“交替和”为，则的“交替和”为，这一对集合的“交替和”的和等于 ，所以集合A的所有非空集合的“交替和”总和为
故选：B
2．已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当（其中正整数、且）或（其中正整数、且）．现有如下两个命题：①；②集合．则下列判断正确的是（ ）
A．①对②对B．①对②错C．①错②对D．①错②错
【答案】A
【分析】根据集合的定义即可判断①是假命题，根据集合的定义先判断，，再由，有，，且，所以，可判断 ②是真命题.
【详解】因为若，则当且仅当其中且，或其中且，
且集合是由某些正整数组成的集合，
所以，，
因为，满足其中且，所以，
因为，且，，所以，
因为，，，所以，故①对；
下面讨论元素与集合的关系，
当时，；
当时，，，，所以；
当时，，，，所以；
当时，，，，所以；依次类推，
当时，，，，
所以，则，故②对.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于判断，，，，再根据集合的定义求解.
3．设非空集合具有如下性质：①元素都是正整数；②若则．
（1）请你写出符合条件，且分别含有一个、二个、三个元素的集合各一个；
（2）是否存在恰有6个元素的集合？若存在，写出所有的集合；若不存在，请说明理由；
（3）满足条件的集合S总共有多少个？
【答案】（1）答案见详解；（2）存在，且共有个，答案见详解；（3）个.
【解析】（1）当集合中只有一个元素，则，得出集合即可；有两个元素时，只需两个元素之和为即可；当有三个元素时，只需其中两个元素之和为，另外一个元素为；
（2）只需选对和为的正整数即可；
（3）集合中元素的个数可以为，，，，，，，，个，先计算出当集合的元素个数为偶数时的个数，同理可得中元素个数为奇数的个数，然后则可得出符合条件的的总个数.
【详解】解：（1）若集合中只有一个元素，则只需满足，故，则；
若集合中有两个元素，则符合条件；
若集合中有三个元素，则符合条件.
（2）存在，一共有四个：
或或或.
（3）由题意可知，集合中元素的个数可以为，，，，，，，，个，
当集合中元素的个数为偶数时：
含有个元素时，只需在，，，这四对中任选一对，则共有个；
含有个元素时，只需，，，这四对中任选两对，则共有6个；
含有个元素时，只需，，，这四对中任选三对，则共有个；
含有个元素时，则共有个，
所以当集合中元素的个数为偶数时，满足条件的集合共有个，
同理可知，当中元素个数分别为时，符合条件的集合也为个；
由（1）可知，当中只有一个元素时，只有一个，
综上所述，符合条件的共有个.
【点睛】本题考查集合的新定义问题，考查学生获取新知识、应用新知识的能力，理解题意是关键.
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