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【寒假自学课】高一物理寒假精品课(人教版2019)第23天万有引力理论的成就(原卷版+解析)
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这是一份【寒假自学课】高一物理寒假精品课(人教版2019)第23天万有引力理论的成就(原卷版+解析)，共20页。试卷主要包含了1MC．0等内容，欢迎下载使用。
1.了解万有引力定律在天文学中的重要应用.
2.了解“称量”地球的质量、计算太阳的质量的基本思路，会用万有引力定律计算天体的质量，进而计算天体密度．
一、“称量”地球的质量
1．思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转的影响，物体的重力等于 ．
2．关系式：mg＝Geq \f(mm地,R2).
3．结果：m地＝eq \f(gR2,G)，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量．
4．推广：若知道某星球表面的 和星球 ，可计算出该星球的质量．
二、计算天体的质量
1．思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时， 充当向心力．
2．关系式：eq \f(Gmm太,r2)＝meq \f(4π2,T2)r.
3．结论：m太＝eq \f(4π2r3,GT2)，只要知道引力常量G、行星绕太阳运动的周期T和轨道半径r就可以计算出太阳的质量．
4．推广：若已知卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离，可计算出行星的质量．
三、发现未知天体
海王星的发现：英国剑桥大学的学生 和法国年轻的天文学家 根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道.1846年9月23日，德国的 在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星．
四、预言哈雷彗星回归
英国天文学家哈雷预言哈雷彗星的回归周期约为76年．
一、天体质量的计算
例题1. (多选)一卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为r，卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，则地球的质量可表示为( )
A.eq \f(4π2r3,GT2) B.eq \f(4π2R3,GT2) C.eq \f(gR2,G) D.eq \f(gr2,G)
解题归纳：计算中心天体质量的两种方法
1．重力加速度法
(1)已知中心天体的半径R和中心天体表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于中心天体对物体的引力，有mg＝Geq \f(Mm,R2)，解得中心天体质量为M＝eq \f(gR2,G).
(2)说明：g为天体表面的重力加速度．
未知星球表面的重力加速度通常这样给出：让小球做自由落体、平抛、竖直上抛等运动，从而计算出该星球表面的重力加速度．
2．“卫星”环绕法
(1)将天体的运动近似看成匀速圆周运动，其所需的向心力都来自万有引力，由eq \f(GMm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，可得M＝eq \f(4π2r3,GT2).
(2)这种方法只能求中心天体质量，不能求环绕星体质量．
二、天体密度的计算
例题2. (多选)已知月球半径为R，地心与月球中心之间的距离为r，月球绕地球公转周期为T1，嫦娥四号探测器绕月球表面的运行周期为T2，引力常量为G，由以上条件可知( )
A．地球质量为eq \f(4π2r3,GT12) B．月球质量为eq \f(4π2r3,GT12)
C．地球的密度为eq \f(3π,GT12) D．月球的密度为eq \f(3π,GT22)
解题归纳：若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)
(1)将M＝eq \f(gR2,G)代入上式得ρ＝eq \f(3g,4πGR).
(2)将M＝eq \f(4π2r3,GT2)代入上式得ρ＝eq \f(3πr3,GT2R3).
(3)当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ＝eq \f(3π,GT2).
1. 2022年11月1日，梦天实验舱与“天宫”空间站在轨完成交会对接，目前已与天和核心舱、问天实验舱形成新的空间站“T”字基本构型组合体。已知组合体的运行轨道距地面高度为h（约为400 km），地球视为理想球体且半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，下列说法正确的是（ ）
A．组合体轨道处的重力加速度大小为
B．组合体在轨道上运行的线速度大小为
C．地球的平均密度可表示为
D．组合体加挂实验舱后，空间站由于质量增大，轨道半径将变小
2. 现实版的倒霉熊乔伊曾因为白化病两次被送到北极，还有一次被送到位于赤道的北极馆。若乔伊质量始终为。它在北极和北极馆的重力差为，地球同步卫星运动的周期为。则可求出地球半径为（ ）
A．B．C．D．
（建议用时：30分钟）
一、单选题
1． 2022年11月8日晚，夜空上演全食“红月亮”。当月亮、地球、太阳完全在一条直线上的时候，地球处在太阳和月球中间时，整个月亮全部走进地球的影子里，月亮表面变成暗红色，形成月全食。假设地球半径为R，地球表面重力加速度为g，月球环绕地球做圆周运动的半径为r，月全食时月球运动的圆心角为，则月全食的持续时间为（ ）
A．B．C．D．
2．将地球看成一个半径为R的圆球，在北极用弹簧秤将一个物体竖直悬挂，物体静止时，弹簧秤弹力大小为F1；在赤道，用弹簧秤将同一物体竖直悬挂，物体静止时，弹簧秤弹力大小为F2。已知地球自转周期为T，则该物体的质量为（ ）
A．B．
C．D．
3．如图所示，“天问一号”在环火星的椭圆轨道上运行，其中“天问一号”在近火点265km附近探测2小时、在远火点11945.6km附近探测1小时、再在途中进行288分钟的探测。已知我国空间站在距离地球表面400km的轨道上运行，绕地球的运行周期约为90分钟，地球直径为，火星直径为。设地球的质量为M，根据以上数据可以求出火星的质量最接近（ ）
A．100MB．0.1MC．0.001MD．1000M
4． 2021年5月，我国首次进行火星探测，天问一号携带“祝融号”火星车在乌托邦平原南部预选着陆区成功着陆。着陆前，探测器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动（探测器可视为火星的近地卫星），通过某设备测得每经过时间探测器通过的弧长相同，且弧长对应的圆心角为θ，如图，若将火星看作质量分布均匀的球体，已知引力常量为G，由以上测得的物理量可推知以下哪些量（ ）
A．火星的质量B．火星的半径C．火星的密度D．火星表面的重力加速度
二、多选题
5．2020年12月17日凌晨1时59分，嫦娥五号顺利回家。下图是嫦娥五号进入月球轨道的示意图。嫦娥五号飞临月球时速度约为，大于月球的逃逸速度，需要减速才能被月球捕获；当速度小于2.4km/s、大于1.7km/s时，嫦娥五号能沿椭圆轨道绕月球运行。在椭圆轨道上既不利于着陆器的分离、也不利于将来跟上升器的对接，因此需要把椭圆轨道调整为正圆轨道。嫦娥五号沿椭圆轨道运行到近月点，运行速度约为；在此位置保持切向将运行速度瞬间降低到，嫦娥五号的运行轨道就调整为在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的正圆轨道（轨道半径可视为月球半径r）。已知万有引力常量为G，请根据以上信息，判断下列说法正确的是（ ）
A．月球的质量为
B．月球表面附近的重力加速度为
C．嫦娥五号沿椭圆轨道经过近月点时的加速度大于沿正圆轨道经过近月点时的加速度
D．嫦娥五号沿椭圆轨道经过近月点时的加速度
6．某天文爱好者根据地球和木星的不同卫星做圆周运动的半径r与周期T，现作出如图所示的图象，图线①中c的左侧部分为虚线，图线②中b的左侧部分为虚线。已知引力常量为G，木星质量大于地球质量。下列说法正确的是（ ）
A．图线①是木星卫星运动的规律B．地球的质量为
C．木星的密度为D．木星与地球的密度之比为
三、解答题
7． “中国天眼”射电望远镜FAST为我国天文观测做出了巨大贡献。脉冲星实质是高速旋转的中子星，中子星每自转一周地球就会接收到一个射电脉冲。已知该中子星的半径为R，质量为M。引力常量为G。
（1）该中子星表面高h处重力加速度g；
（2）天眼接收到该中子星的两个脉冲之间的时间间隔T不会小于多少。
8．我国发射的探月卫星有一类为绕月极地卫星。利用该卫星可对月球进行成像探测。如图所示，设卫星在绕月极地轨道上做圆周运动时距月球表面的高度为h，绕行周期为T2；月球绕地球公转的周期为T1，公转轨道半径为r；地球半径为R1，月球半径为R2，忽略地球引力、太阳引力对绕月卫星的影响，万有引力常量已知。
（1）求月球质量M2；
（2）求地球表面重力加速度g1。
第23天 万有引力理论的成就 （预习篇）
1.了解万有引力定律在天文学中的重要应用.
2.了解“称量”地球的质量、计算太阳的质量的基本思路，会用万有引力定律计算天体的质量，进而计算天体密度．
一、“称量”地球的质量
1．思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转的影响，物体的重力等于地球对物体的引力．
2．关系式：mg＝Geq \f(mm地,R2).
3．结果：m地＝eq \f(gR2,G)，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量．
4．推广：若知道某星球表面的重力加速度和星球半径，可计算出该星球的质量．
二、计算天体的质量
1．思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力．
2．关系式：eq \f(Gmm太,r2)＝meq \f(4π2,T2)r.
3．结论：m太＝eq \f(4π2r3,GT2)，只要知道引力常量G、行星绕太阳运动的周期T和轨道半径r就可以计算出太阳的质量．
4．推广：若已知卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离，可计算出行星的质量．
三、发现未知天体
海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道.1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星．
四、预言哈雷彗星回归
英国天文学家哈雷预言哈雷彗星的回归周期约为76年．
一、天体质量的计算
例题1. (多选)一卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为r，卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，则地球的质量可表示为( )
A.eq \f(4π2r3,GT2) B.eq \f(4π2R3,GT2) C.eq \f(gR2,G) D.eq \f(gr2,G)
答案 AC
解析 根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r得，M＝eq \f(4π2r3,GT2)，选项A正确，B错误；在地球的表面附近有mg＝Geq \f(Mm,R2)，则M＝eq \f(gR2,G)，选项C正确，D错误．
解题归纳：计算中心天体质量的两种方法
1．重力加速度法
(1)已知中心天体的半径R和中心天体表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于中心天体对物体的引力，有mg＝Geq \f(Mm,R2)，解得中心天体质量为M＝eq \f(gR2,G).
(2)说明：g为天体表面的重力加速度．
未知星球表面的重力加速度通常这样给出：让小球做自由落体、平抛、竖直上抛等运动，从而计算出该星球表面的重力加速度．
2．“卫星”环绕法
(1)将天体的运动近似看成匀速圆周运动，其所需的向心力都来自万有引力，由eq \f(GMm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，可得M＝eq \f(4π2r3,GT2).
(2)这种方法只能求中心天体质量，不能求环绕星体质量．
二、天体密度的计算
例题2. (多选)已知月球半径为R，地心与月球中心之间的距离为r，月球绕地球公转周期为T1，嫦娥四号探测器绕月球表面的运行周期为T2，引力常量为G，由以上条件可知( )
A．地球质量为eq \f(4π2r3,GT12) B．月球质量为eq \f(4π2r3,GT12)
C．地球的密度为eq \f(3π,GT12) D．月球的密度为eq \f(3π,GT22)
答案 AD
解析 月球绕地球公转，由万有引力提供向心力得Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T12)r，解得地球的质量M＝eq \f(4π2r3,GT12)，A正确，B错误；地球的半径未知，所以无法求解地球的密度，C错误；探测器绕月球表面运行，由万有引力提供向心力得Geq \f(mm0,R2)＝m0eq \f(4π2,T22)R，解得月球的质量m＝eq \f(4π2R3,GT22)，则月球的密度ρ＝eq \f(m,V)＝eq \f(\f(4π2R3,GT22),\f(4,3)πR3)＝eq \f(3π,GT22)，D正确．
解题归纳：若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)
(1)将M＝eq \f(gR2,G)代入上式得ρ＝eq \f(3g,4πGR).
(2)将M＝eq \f(4π2r3,GT2)代入上式得ρ＝eq \f(3πr3,GT2R3).
(3)当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ＝eq \f(3π,GT2).
1. 2022年11月1日，梦天实验舱与“天宫”空间站在轨完成交会对接，目前已与天和核心舱、问天实验舱形成新的空间站“T”字基本构型组合体。已知组合体的运行轨道距地面高度为h（约为400 km），地球视为理想球体且半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，下列说法正确的是（ ）
A．组合体轨道处的重力加速度大小为
B．组合体在轨道上运行的线速度大小为
C．地球的平均密度可表示为
D．组合体加挂实验舱后，空间站由于质量增大，轨道半径将变小
【答案】A
【解析】A．设组合体质量为m，地球质量为M，组合体轨道处的重力大小等于万有引力大小
黄金代换式为
联立以上解得
故A正确；
B．组合体在轨道上做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则
解得
故B错误；
C．根据黄金代换式和密度公式
解得
故C错误；
D．组合体在轨道上做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则
等式两边组合体的质量m可以约掉，所以轨道半径与m无关。故D错误。
故选A。
2. 现实版的倒霉熊乔伊曾因为白化病两次被送到北极，还有一次被送到位于赤道的北极馆。若乔伊质量始终为。它在北极和北极馆的重力差为，地球同步卫星运动的周期为。则可求出地球半径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设倒霉熊乔伊在北极的重力为，在北极馆的重力为；倒霉熊乔伊在北极时
倒霉熊乔伊在北极馆时
又
联立解得
故选C。
（建议用时：30分钟）
一、单选题
1． 2022年11月8日晚，夜空上演全食“红月亮”。当月亮、地球、太阳完全在一条直线上的时候，地球处在太阳和月球中间时，整个月亮全部走进地球的影子里，月亮表面变成暗红色，形成月全食。假设地球半径为R，地球表面重力加速度为g，月球环绕地球做圆周运动的半径为r，月全食时月球运动的圆心角为，则月全食的持续时间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由万有引力定律有
又
解得
故月全食持续的时间为
故选A。
2．将地球看成一个半径为R的圆球，在北极用弹簧秤将一个物体竖直悬挂，物体静止时，弹簧秤弹力大小为F1；在赤道，用弹簧秤将同一物体竖直悬挂，物体静止时，弹簧秤弹力大小为F2。已知地球自转周期为T，则该物体的质量为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】设地球质量为M，物体质量为m，在北极万有引力等于重力即等于弹簧秤的示数，有
在赤道处，万有引力减去重力的差值提供向心力，所以有
，
联立解得
故选C。
3．如图所示，“天问一号”在环火星的椭圆轨道上运行，其中“天问一号”在近火点265km附近探测2小时、在远火点11945.6km附近探测1小时、再在途中进行288分钟的探测。已知我国空间站在距离地球表面400km的轨道上运行，绕地球的运行周期约为90分钟，地球直径为，火星直径为。设地球的质量为M，根据以上数据可以求出火星的质量最接近（ ）
A．100MB．0.1MC．0.001MD．1000M
【答案】B
【解析】天问一号的运行周期
轨道的半长轴
空间站的运行周期
轨道半径
天问一号绕火星运动，由开普勒第三定律可得
解得火星的质量为
空间站绕地球做圆周运动，由开普勒第三定律可得
解得地球的质量为
综上可得
故B正确，ACD错误。
故选B。
4． 2021年5月，我国首次进行火星探测，天问一号携带“祝融号”火星车在乌托邦平原南部预选着陆区成功着陆。着陆前，探测器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动（探测器可视为火星的近地卫星），通过某设备测得每经过时间探测器通过的弧长相同，且弧长对应的圆心角为θ，如图，若将火星看作质量分布均匀的球体，已知引力常量为G，由以上测得的物理量可推知以下哪些量（ ）
A．火星的质量B．火星的半径C．火星的密度D．火星表面的重力加速度
【答案】C
【解析】根据题意，设火星的质量为，半径为，“祝融号”火星车的质量为，做圆周运动的周期为，由公式可得，周期为
ABD．根据万有引力提供向心力有
可得
由万有引力等于重力有
可得，火星表面的重力加速度为
由题可知，只有引力常量、和已知，则无法求出火星的质量、火星半径和火星表面的重力加速度，故ABD错误；
C．根据公式，可得，火星的密度为
可知，火星的密度可以求出，故C正确。
故选C。
二、多选题
5．2020年12月17日凌晨1时59分，嫦娥五号顺利回家。下图是嫦娥五号进入月球轨道的示意图。嫦娥五号飞临月球时速度约为，大于月球的逃逸速度，需要减速才能被月球捕获；当速度小于2.4km/s、大于1.7km/s时，嫦娥五号能沿椭圆轨道绕月球运行。在椭圆轨道上既不利于着陆器的分离、也不利于将来跟上升器的对接，因此需要把椭圆轨道调整为正圆轨道。嫦娥五号沿椭圆轨道运行到近月点，运行速度约为；在此位置保持切向将运行速度瞬间降低到，嫦娥五号的运行轨道就调整为在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的正圆轨道（轨道半径可视为月球半径r）。已知万有引力常量为G，请根据以上信息，判断下列说法正确的是（ ）
A．月球的质量为
B．月球表面附近的重力加速度为
C．嫦娥五号沿椭圆轨道经过近月点时的加速度大于沿正圆轨道经过近月点时的加速度
D．嫦娥五号沿椭圆轨道经过近月点时的加速度
【答案】ABD
【解析】A．嫦娥五号沿正圆轨道运动，由万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力有
解得
故A正确；
B．月球表面的物体的重力约等于该物体受月球的万有引力有
解得
故B正确；
C．嫦娥五号不任是在椭圆轨道的近月点，还是在正圆轨道经过此点，都是由月球对其的万有引力提供加速度，在同一点，万有引力相同，故加速度也相同，故C错误；
D．嫦娥五号在正圆轨道经过近月点时，由月球对其的万有引力提供加速度，有
解得
故D正确。
故选ABD。
6．某天文爱好者根据地球和木星的不同卫星做圆周运动的半径r与周期T，现作出如图所示的图象，图线①中c的左侧部分为虚线，图线②中b的左侧部分为虚线。已知引力常量为G，木星质量大于地球质量。下列说法正确的是（ ）
A．图线①是木星卫星运动的规律B．地球的质量为
C．木星的密度为D．木星与地球的密度之比为
【答案】AC
【解析】A．根据万有引力提供向心力有
中心天体质量越大，图象斜率越大，因木星质量大于地球质量，故图线①是木星卫星运动的规律，A项正确；
BCD．图线②是地球卫星运动的规律，故
解得
同理
c、b的左侧部分为虚线，故木星的半径的三次方，根据木星的密度
解得
同理可得
故
C正确，BD项错误。
故选AC。
三、解答题
7． “中国天眼”射电望远镜FAST为我国天文观测做出了巨大贡献。脉冲星实质是高速旋转的中子星，中子星每自转一周地球就会接收到一个射电脉冲。已知该中子星的半径为R，质量为M。引力常量为G。
（1）该中子星表面高h处重力加速度g；
（2）天眼接收到该中子星的两个脉冲之间的时间间隔T不会小于多少。
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设质量为m的物体在该中子星表面高h处受到的重力等于中子星对其引力
得
（2）两个脉冲之间的时间间隔即为中子星不瓦解的自转周期T
得
8．我国发射的探月卫星有一类为绕月极地卫星。利用该卫星可对月球进行成像探测。如图所示，设卫星在绕月极地轨道上做圆周运动时距月球表面的高度为h，绕行周期为T2；月球绕地球公转的周期为T1，公转轨道半径为r；地球半径为R1，月球半径为R2，忽略地球引力、太阳引力对绕月卫星的影响，万有引力常量已知。
（1）求月球质量M2；
（2）求地球表面重力加速度g1。
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）卫星环绕月球做匀速圆周运动，可得
月球质量为
（2）月球绕地球做匀速圆周运动，可得
在地球表面
解得
1.了解万有引力定律在天文学中的重要应用.
2.了解“称量”地球的质量、计算太阳的质量的基本思路，会用万有引力定律计算天体的质量，进而计算天体密度．
一、“称量”地球的质量
1．思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转的影响，物体的重力等于 ．
2．关系式：mg＝Geq \f(mm地,R2).
3．结果：m地＝eq \f(gR2,G)，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量．
4．推广：若知道某星球表面的 和星球 ，可计算出该星球的质量．
二、计算天体的质量
1．思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时， 充当向心力．
2．关系式：eq \f(Gmm太,r2)＝meq \f(4π2,T2)r.
3．结论：m太＝eq \f(4π2r3,GT2)，只要知道引力常量G、行星绕太阳运动的周期T和轨道半径r就可以计算出太阳的质量．
4．推广：若已知卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离，可计算出行星的质量．
三、发现未知天体
海王星的发现：英国剑桥大学的学生 和法国年轻的天文学家 根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道.1846年9月23日，德国的 在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星．
四、预言哈雷彗星回归
英国天文学家哈雷预言哈雷彗星的回归周期约为76年．
一、天体质量的计算
例题1. (多选)一卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为r，卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，则地球的质量可表示为( )
A.eq \f(4π2r3,GT2) B.eq \f(4π2R3,GT2) C.eq \f(gR2,G) D.eq \f(gr2,G)
解题归纳：计算中心天体质量的两种方法
1．重力加速度法
(1)已知中心天体的半径R和中心天体表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于中心天体对物体的引力，有mg＝Geq \f(Mm,R2)，解得中心天体质量为M＝eq \f(gR2,G).
(2)说明：g为天体表面的重力加速度．
未知星球表面的重力加速度通常这样给出：让小球做自由落体、平抛、竖直上抛等运动，从而计算出该星球表面的重力加速度．
2．“卫星”环绕法
(1)将天体的运动近似看成匀速圆周运动，其所需的向心力都来自万有引力，由eq \f(GMm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，可得M＝eq \f(4π2r3,GT2).
(2)这种方法只能求中心天体质量，不能求环绕星体质量．
二、天体密度的计算
例题2. (多选)已知月球半径为R，地心与月球中心之间的距离为r，月球绕地球公转周期为T1，嫦娥四号探测器绕月球表面的运行周期为T2，引力常量为G，由以上条件可知( )
A．地球质量为eq \f(4π2r3,GT12) B．月球质量为eq \f(4π2r3,GT12)
C．地球的密度为eq \f(3π,GT12) D．月球的密度为eq \f(3π,GT22)
解题归纳：若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)
(1)将M＝eq \f(gR2,G)代入上式得ρ＝eq \f(3g,4πGR).
(2)将M＝eq \f(4π2r3,GT2)代入上式得ρ＝eq \f(3πr3,GT2R3).
(3)当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ＝eq \f(3π,GT2).
1. 2022年11月1日，梦天实验舱与“天宫”空间站在轨完成交会对接，目前已与天和核心舱、问天实验舱形成新的空间站“T”字基本构型组合体。已知组合体的运行轨道距地面高度为h（约为400 km），地球视为理想球体且半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，下列说法正确的是（ ）
A．组合体轨道处的重力加速度大小为
B．组合体在轨道上运行的线速度大小为
C．地球的平均密度可表示为
D．组合体加挂实验舱后，空间站由于质量增大，轨道半径将变小
2. 现实版的倒霉熊乔伊曾因为白化病两次被送到北极，还有一次被送到位于赤道的北极馆。若乔伊质量始终为。它在北极和北极馆的重力差为，地球同步卫星运动的周期为。则可求出地球半径为（ ）
A．B．C．D．
（建议用时：30分钟）
一、单选题
1． 2022年11月8日晚，夜空上演全食“红月亮”。当月亮、地球、太阳完全在一条直线上的时候，地球处在太阳和月球中间时，整个月亮全部走进地球的影子里，月亮表面变成暗红色，形成月全食。假设地球半径为R，地球表面重力加速度为g，月球环绕地球做圆周运动的半径为r，月全食时月球运动的圆心角为，则月全食的持续时间为（ ）
A．B．C．D．
2．将地球看成一个半径为R的圆球，在北极用弹簧秤将一个物体竖直悬挂，物体静止时，弹簧秤弹力大小为F1；在赤道，用弹簧秤将同一物体竖直悬挂，物体静止时，弹簧秤弹力大小为F2。已知地球自转周期为T，则该物体的质量为（ ）
A．B．
C．D．
3．如图所示，“天问一号”在环火星的椭圆轨道上运行，其中“天问一号”在近火点265km附近探测2小时、在远火点11945.6km附近探测1小时、再在途中进行288分钟的探测。已知我国空间站在距离地球表面400km的轨道上运行，绕地球的运行周期约为90分钟，地球直径为，火星直径为。设地球的质量为M，根据以上数据可以求出火星的质量最接近（ ）
A．100MB．0.1MC．0.001MD．1000M
4． 2021年5月，我国首次进行火星探测，天问一号携带“祝融号”火星车在乌托邦平原南部预选着陆区成功着陆。着陆前，探测器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动（探测器可视为火星的近地卫星），通过某设备测得每经过时间探测器通过的弧长相同，且弧长对应的圆心角为θ，如图，若将火星看作质量分布均匀的球体，已知引力常量为G，由以上测得的物理量可推知以下哪些量（ ）
A．火星的质量B．火星的半径C．火星的密度D．火星表面的重力加速度
二、多选题
5．2020年12月17日凌晨1时59分，嫦娥五号顺利回家。下图是嫦娥五号进入月球轨道的示意图。嫦娥五号飞临月球时速度约为，大于月球的逃逸速度，需要减速才能被月球捕获；当速度小于2.4km/s、大于1.7km/s时，嫦娥五号能沿椭圆轨道绕月球运行。在椭圆轨道上既不利于着陆器的分离、也不利于将来跟上升器的对接，因此需要把椭圆轨道调整为正圆轨道。嫦娥五号沿椭圆轨道运行到近月点，运行速度约为；在此位置保持切向将运行速度瞬间降低到，嫦娥五号的运行轨道就调整为在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的正圆轨道（轨道半径可视为月球半径r）。已知万有引力常量为G，请根据以上信息，判断下列说法正确的是（ ）
A．月球的质量为
B．月球表面附近的重力加速度为
C．嫦娥五号沿椭圆轨道经过近月点时的加速度大于沿正圆轨道经过近月点时的加速度
D．嫦娥五号沿椭圆轨道经过近月点时的加速度
6．某天文爱好者根据地球和木星的不同卫星做圆周运动的半径r与周期T，现作出如图所示的图象，图线①中c的左侧部分为虚线，图线②中b的左侧部分为虚线。已知引力常量为G，木星质量大于地球质量。下列说法正确的是（ ）
A．图线①是木星卫星运动的规律B．地球的质量为
C．木星的密度为D．木星与地球的密度之比为
三、解答题
7． “中国天眼”射电望远镜FAST为我国天文观测做出了巨大贡献。脉冲星实质是高速旋转的中子星，中子星每自转一周地球就会接收到一个射电脉冲。已知该中子星的半径为R，质量为M。引力常量为G。
（1）该中子星表面高h处重力加速度g；
（2）天眼接收到该中子星的两个脉冲之间的时间间隔T不会小于多少。
8．我国发射的探月卫星有一类为绕月极地卫星。利用该卫星可对月球进行成像探测。如图所示，设卫星在绕月极地轨道上做圆周运动时距月球表面的高度为h，绕行周期为T2；月球绕地球公转的周期为T1，公转轨道半径为r；地球半径为R1，月球半径为R2，忽略地球引力、太阳引力对绕月卫星的影响，万有引力常量已知。
（1）求月球质量M2；
（2）求地球表面重力加速度g1。
第23天 万有引力理论的成就 （预习篇）
1.了解万有引力定律在天文学中的重要应用.
2.了解“称量”地球的质量、计算太阳的质量的基本思路，会用万有引力定律计算天体的质量，进而计算天体密度．
一、“称量”地球的质量
1．思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转的影响，物体的重力等于地球对物体的引力．
2．关系式：mg＝Geq \f(mm地,R2).
3．结果：m地＝eq \f(gR2,G)，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量．
4．推广：若知道某星球表面的重力加速度和星球半径，可计算出该星球的质量．
二、计算天体的质量
1．思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力．
2．关系式：eq \f(Gmm太,r2)＝meq \f(4π2,T2)r.
3．结论：m太＝eq \f(4π2r3,GT2)，只要知道引力常量G、行星绕太阳运动的周期T和轨道半径r就可以计算出太阳的质量．
4．推广：若已知卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离，可计算出行星的质量．
三、发现未知天体
海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道.1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星．
四、预言哈雷彗星回归
英国天文学家哈雷预言哈雷彗星的回归周期约为76年．
一、天体质量的计算
例题1. (多选)一卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为r，卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，则地球的质量可表示为( )
A.eq \f(4π2r3,GT2) B.eq \f(4π2R3,GT2) C.eq \f(gR2,G) D.eq \f(gr2,G)
答案 AC
解析 根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r得，M＝eq \f(4π2r3,GT2)，选项A正确，B错误；在地球的表面附近有mg＝Geq \f(Mm,R2)，则M＝eq \f(gR2,G)，选项C正确，D错误．
解题归纳：计算中心天体质量的两种方法
1．重力加速度法
(1)已知中心天体的半径R和中心天体表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于中心天体对物体的引力，有mg＝Geq \f(Mm,R2)，解得中心天体质量为M＝eq \f(gR2,G).
(2)说明：g为天体表面的重力加速度．
未知星球表面的重力加速度通常这样给出：让小球做自由落体、平抛、竖直上抛等运动，从而计算出该星球表面的重力加速度．
2．“卫星”环绕法
(1)将天体的运动近似看成匀速圆周运动，其所需的向心力都来自万有引力，由eq \f(GMm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，可得M＝eq \f(4π2r3,GT2).
(2)这种方法只能求中心天体质量，不能求环绕星体质量．
二、天体密度的计算
例题2. (多选)已知月球半径为R，地心与月球中心之间的距离为r，月球绕地球公转周期为T1，嫦娥四号探测器绕月球表面的运行周期为T2，引力常量为G，由以上条件可知( )
A．地球质量为eq \f(4π2r3,GT12) B．月球质量为eq \f(4π2r3,GT12)
C．地球的密度为eq \f(3π,GT12) D．月球的密度为eq \f(3π,GT22)
答案 AD
解析 月球绕地球公转，由万有引力提供向心力得Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T12)r，解得地球的质量M＝eq \f(4π2r3,GT12)，A正确，B错误；地球的半径未知，所以无法求解地球的密度，C错误；探测器绕月球表面运行，由万有引力提供向心力得Geq \f(mm0,R2)＝m0eq \f(4π2,T22)R，解得月球的质量m＝eq \f(4π2R3,GT22)，则月球的密度ρ＝eq \f(m,V)＝eq \f(\f(4π2R3,GT22),\f(4,3)πR3)＝eq \f(3π,GT22)，D正确．
解题归纳：若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)
(1)将M＝eq \f(gR2,G)代入上式得ρ＝eq \f(3g,4πGR).
(2)将M＝eq \f(4π2r3,GT2)代入上式得ρ＝eq \f(3πr3,GT2R3).
(3)当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ＝eq \f(3π,GT2).
1. 2022年11月1日，梦天实验舱与“天宫”空间站在轨完成交会对接，目前已与天和核心舱、问天实验舱形成新的空间站“T”字基本构型组合体。已知组合体的运行轨道距地面高度为h（约为400 km），地球视为理想球体且半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，下列说法正确的是（ ）
A．组合体轨道处的重力加速度大小为
B．组合体在轨道上运行的线速度大小为
C．地球的平均密度可表示为
D．组合体加挂实验舱后，空间站由于质量增大，轨道半径将变小
【答案】A
【解析】A．设组合体质量为m，地球质量为M，组合体轨道处的重力大小等于万有引力大小
黄金代换式为
联立以上解得
故A正确；
B．组合体在轨道上做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则
解得
故B错误；
C．根据黄金代换式和密度公式
解得
故C错误；
D．组合体在轨道上做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则
等式两边组合体的质量m可以约掉，所以轨道半径与m无关。故D错误。
故选A。
2. 现实版的倒霉熊乔伊曾因为白化病两次被送到北极，还有一次被送到位于赤道的北极馆。若乔伊质量始终为。它在北极和北极馆的重力差为，地球同步卫星运动的周期为。则可求出地球半径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设倒霉熊乔伊在北极的重力为，在北极馆的重力为；倒霉熊乔伊在北极时
倒霉熊乔伊在北极馆时
又
联立解得
故选C。
（建议用时：30分钟）
一、单选题
1． 2022年11月8日晚，夜空上演全食“红月亮”。当月亮、地球、太阳完全在一条直线上的时候，地球处在太阳和月球中间时，整个月亮全部走进地球的影子里，月亮表面变成暗红色，形成月全食。假设地球半径为R，地球表面重力加速度为g，月球环绕地球做圆周运动的半径为r，月全食时月球运动的圆心角为，则月全食的持续时间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由万有引力定律有
又
解得
故月全食持续的时间为
故选A。
2．将地球看成一个半径为R的圆球，在北极用弹簧秤将一个物体竖直悬挂，物体静止时，弹簧秤弹力大小为F1；在赤道，用弹簧秤将同一物体竖直悬挂，物体静止时，弹簧秤弹力大小为F2。已知地球自转周期为T，则该物体的质量为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】设地球质量为M，物体质量为m，在北极万有引力等于重力即等于弹簧秤的示数，有
在赤道处，万有引力减去重力的差值提供向心力，所以有
，
联立解得
故选C。
3．如图所示，“天问一号”在环火星的椭圆轨道上运行，其中“天问一号”在近火点265km附近探测2小时、在远火点11945.6km附近探测1小时、再在途中进行288分钟的探测。已知我国空间站在距离地球表面400km的轨道上运行，绕地球的运行周期约为90分钟，地球直径为，火星直径为。设地球的质量为M，根据以上数据可以求出火星的质量最接近（ ）
A．100MB．0.1MC．0.001MD．1000M
【答案】B
【解析】天问一号的运行周期
轨道的半长轴
空间站的运行周期
轨道半径
天问一号绕火星运动，由开普勒第三定律可得
解得火星的质量为
空间站绕地球做圆周运动，由开普勒第三定律可得
解得地球的质量为
综上可得
故B正确，ACD错误。
故选B。
4． 2021年5月，我国首次进行火星探测，天问一号携带“祝融号”火星车在乌托邦平原南部预选着陆区成功着陆。着陆前，探测器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动（探测器可视为火星的近地卫星），通过某设备测得每经过时间探测器通过的弧长相同，且弧长对应的圆心角为θ，如图，若将火星看作质量分布均匀的球体，已知引力常量为G，由以上测得的物理量可推知以下哪些量（ ）
A．火星的质量B．火星的半径C．火星的密度D．火星表面的重力加速度
【答案】C
【解析】根据题意，设火星的质量为，半径为，“祝融号”火星车的质量为，做圆周运动的周期为，由公式可得，周期为
ABD．根据万有引力提供向心力有
可得
由万有引力等于重力有
可得，火星表面的重力加速度为
由题可知，只有引力常量、和已知，则无法求出火星的质量、火星半径和火星表面的重力加速度，故ABD错误；
C．根据公式，可得，火星的密度为
可知，火星的密度可以求出，故C正确。
故选C。
二、多选题
5．2020年12月17日凌晨1时59分，嫦娥五号顺利回家。下图是嫦娥五号进入月球轨道的示意图。嫦娥五号飞临月球时速度约为，大于月球的逃逸速度，需要减速才能被月球捕获；当速度小于2.4km/s、大于1.7km/s时，嫦娥五号能沿椭圆轨道绕月球运行。在椭圆轨道上既不利于着陆器的分离、也不利于将来跟上升器的对接，因此需要把椭圆轨道调整为正圆轨道。嫦娥五号沿椭圆轨道运行到近月点，运行速度约为；在此位置保持切向将运行速度瞬间降低到，嫦娥五号的运行轨道就调整为在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的正圆轨道（轨道半径可视为月球半径r）。已知万有引力常量为G，请根据以上信息，判断下列说法正确的是（ ）
A．月球的质量为
B．月球表面附近的重力加速度为
C．嫦娥五号沿椭圆轨道经过近月点时的加速度大于沿正圆轨道经过近月点时的加速度
D．嫦娥五号沿椭圆轨道经过近月点时的加速度
【答案】ABD
【解析】A．嫦娥五号沿正圆轨道运动，由万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力有
解得
故A正确；
B．月球表面的物体的重力约等于该物体受月球的万有引力有
解得
故B正确；
C．嫦娥五号不任是在椭圆轨道的近月点，还是在正圆轨道经过此点，都是由月球对其的万有引力提供加速度，在同一点，万有引力相同，故加速度也相同，故C错误；
D．嫦娥五号在正圆轨道经过近月点时，由月球对其的万有引力提供加速度，有
解得
故D正确。
故选ABD。
6．某天文爱好者根据地球和木星的不同卫星做圆周运动的半径r与周期T，现作出如图所示的图象，图线①中c的左侧部分为虚线，图线②中b的左侧部分为虚线。已知引力常量为G，木星质量大于地球质量。下列说法正确的是（ ）
A．图线①是木星卫星运动的规律B．地球的质量为
C．木星的密度为D．木星与地球的密度之比为
【答案】AC
【解析】A．根据万有引力提供向心力有
中心天体质量越大，图象斜率越大，因木星质量大于地球质量，故图线①是木星卫星运动的规律，A项正确；
BCD．图线②是地球卫星运动的规律，故
解得
同理
c、b的左侧部分为虚线，故木星的半径的三次方，根据木星的密度
解得
同理可得
故
C正确，BD项错误。
故选AC。
三、解答题
7． “中国天眼”射电望远镜FAST为我国天文观测做出了巨大贡献。脉冲星实质是高速旋转的中子星，中子星每自转一周地球就会接收到一个射电脉冲。已知该中子星的半径为R，质量为M。引力常量为G。
（1）该中子星表面高h处重力加速度g；
（2）天眼接收到该中子星的两个脉冲之间的时间间隔T不会小于多少。
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设质量为m的物体在该中子星表面高h处受到的重力等于中子星对其引力
得
（2）两个脉冲之间的时间间隔即为中子星不瓦解的自转周期T
得
8．我国发射的探月卫星有一类为绕月极地卫星。利用该卫星可对月球进行成像探测。如图所示，设卫星在绕月极地轨道上做圆周运动时距月球表面的高度为h，绕行周期为T2；月球绕地球公转的周期为T1，公转轨道半径为r；地球半径为R1，月球半径为R2，忽略地球引力、太阳引力对绕月卫星的影响，万有引力常量已知。
（1）求月球质量M2；
（2）求地球表面重力加速度g1。
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）卫星环绕月球做匀速圆周运动，可得
月球质量为
（2）月球绕地球做匀速圆周运动，可得
在地球表面
解得
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