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【寒假自学课】高一物理寒假精品课(人教版2019)第22天开普勒定律和万有引力定律(原卷版+解析)
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这是一份【寒假自学课】高一物理寒假精品课(人教版2019)第22天开普勒定律和万有引力定律(原卷版+解析)，共14页。
2.通过月—地检验等将太阳与行星间的引力推广为万有引力定律，理解万有引力定律的内容、含义及适用条件.
3.认识引力常量测量的重要意义，能应用万有引力定律解决实际问题．
一、开普勒定律
1．开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是 ，太阳处在 ．
2．开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的 ．
3．开普勒第三定律：所有行星轨道的 跟它的 的比都相等．其表达式为eq \f(a3,T2)＝k，其中a代表椭圆轨道的半长轴，T代表公转周期，比值k是一个对所有行星 的常量．
二、行星与太阳间的引力
1．行星绕太阳的运动可以看作 运动．行星受到一个指向圆心(太阳)的引力，这个引力提供行星做匀速圆周运动的 ．
2．若行星的质量为m，行星到太阳的距离为r，行星公转的周期为T，则行星需要的向心力的大小F＝eq \f(4π2mr,T2)，结合eq \f(r3,T2)＝k，可知F＝4π2keq \f(m,r2)，即F∝eq \f(m,r2).
3．行星与太阳的引力在本质上和太阳与行星的引力地位完全相当，即F′∝eq \f(m太,r2).
4．太阳与行星间的引力：根据牛顿第三定律知F＝F′，所以有F∝eq \f(m太m,r2)，写成等式就是F＝Geq \f(m太m,r2).
三、月—地检验
1．检验目的：检验地球绕太阳运动、月球绕地球运动的力与地球对树上苹果的吸引力是否为 的力．
2．检验方法：(1)假设地球与月球间的作用力和太阳与行星间的作用力是同一种力，它们的表达式也应该满足F＝Geq \f(m月m地,r2)，根据牛顿第二定律，月球绕地球做圆周运动的向心加速度a月＝Geq \f(m地,r2).
(2)假设地球对苹果的吸引力也是同一种力，同理可知，苹果的自由落体加速度a苹＝Geq \f(m地,R2).
(3)eq \f(a月,a苹)＝eq \f(R2,r2)，由于r≈60R，所以eq \f(a月,a苹)＝eq \f(1,602).
(4)结论：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从 的规律．
四、万有引力定律
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的 上，引力的大小与物体的 ——成正比、与它们之间 成反比．
2．表达式：F＝Geq \f(m1m2,r2)，其中G叫作引力常量．
五、引力常量
牛顿得出了万有引力与物体质量及它们之间距离的关系，但没有测出引力常量G的值．
英国物理学家 通过实验推算出引力常量G的值．通常取G＝ N·m2/kg2.
一、开普勒定律的应用
例题1. 某行星沿椭圆轨道绕太阳运行，如图所示，在这颗行星的轨道上有a、b、c、d四个对称点．若该行星运动的周期为T，沿逆时针方向运行，则该行星( )
A．从a到b的运动时间等于从c到d的运动时间
B．从d经a到b的运动时间等于从b经c到d的运动时间
C．a到b的时间tab>eq \f(T,4)
D．c到d的时间tcd>eq \f(T,4)
解题归纳：
1．当比较一个行星在椭圆轨道不同位置的速度大小时，选用开普勒第二定律；当比较或计算两个行星的周期问题时，选用开普勒第三定律．
2．由于大多数行星绕太阳运动的轨道与圆十分接近，因此，在中学阶段的研究中我们可以按圆轨道处理，且把行星绕太阳的运动看作匀速圆周运动，写成eq \f(r3,T2)＝k.
二、万有引力定律
例题2. 如图所示，两质量均匀分布的小球半径分别为R1、R2，相距R，质量为m1、m2，则两球间的万有引力大小为(引力常量为G)( )
A．Geq \f(m1m2,R12) B．Geq \f(m1m2,(R1＋R2＋R)2)
C．Geq \f(m1m2,(R1＋R2)2) D．Geq \f(m1m2,R22)
解题归纳：
1．万有引力定律的表达式：F＝Geq \f(m1m2,r2)，其中G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，叫引力常量，由英国物理学家卡文迪什在实验中测出．
2．万有引力定律公式的适用条件
(1)两个质点间的相互作用．
(2)一个质量分布均匀的球体与球外一个质点间的相互作用，r为球心到质点的距离．
(3)两个质量分布均匀的球体间的相互作用，r为两球心间的距离．
1. 太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，其中火星轨道半长轴为1.524天文单位(地球到太阳的平均距离为1个天文单位)．则火星公转一周约为( )
A．0.8年 B．2年 C．3年 D．4年
2. 关于万有引力及其计算公式F＝Geq \f(m1m2,r2)，下列说法正确的是( )
A．万有引力只存在于质量很大的两个物体之间
B．根据公式知，r趋近于0时，F趋近于无穷大
C．计算地球对卫星的引力时，r是指卫星到地球表面的距离
D．卡文迪什测出了引力常量G
（建议用时：30分钟）
一、单选题
1． 关于行星的运动，下列说法正确的是( )
A．关于行星的运动，早期有地心说与日心说之争，日心说理论是完美无缺的
B．所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，且近日点速度小，远日点速度大
C．开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k，式中k的值仅与中心天体的质量有关
D．卫星围绕行星运动不满足开普勒第三定律
2． 中国古代为区分季节有节气之说，如图所示，从现代物理学可知，地球沿椭圆形轨道绕太阳运动所处四个位置，分别对应我国的四个节气．下列说法正确的是( )
A．地球沿椭圆轨道做匀速运动
B．太阳在椭圆的一个焦点上
C．冬至时地球公转速度最小
D．秋分时地球公转速度最大
3． 要使相距较远的两物体间的万有引力增加到原来的4倍，下列方法不可行的是( )
A．使两物体的质量各变成原来的2倍，距离不变
B．使其中一个物体的质量增加到原来的4倍，距离不变
C．使两物体间的距离减小为原来的eq \f(1,2)，质量不变
D．使两物体间的距离和两个物体质量都减少为原来的eq \f(1,2)
4． 已知地球半径为R，将一物体从地面发射至离地面高度为h处时，物体所受万有引力减小到原来的一半，则h为( )
A．R B．2R
C.eq \r(2)R D．(eq \r(2)－1)R
二、多选题
5．如图所示，P、Q是质量均为m的两个质点，分别置于地球表面不同纬度上，如果把地球看成是一个质量分布均匀的球体，P、Q两质点随地球自转做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A．P、Q所受地球引力大小相等
B．P、Q做圆周运动的向心力大小相等
C．P、Q做圆周运动的角速度大小相等
D．P、Q两质点的重力大小相等
6． 在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行的轨道与月球绕地球运行的轨道均可视为圆轨道．已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍．关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，下列说法正确的是( )
A．太阳引力远大于月球引力
B．太阳引力与月球引力相差不大
C．月球对不同区域海水的引力大小相等
D．月球对不同区域海水的引力大小有差异
三、解答题
7．如图所示，有一质量为m的飞船，由静止开始从P点在恒力F的作用下，沿PD方向做匀加速直线运动，一年(用字母T表示，不考虑单位换算）后在D点飞船掠过地球上空，再过三个月，又在Q处掠过地球上空。已知地球质量为M，绕太阳做匀速圆周运动。忽略地球和太阳的万有引力对飞船运动的影响。求：
（1）PD间的距离。
（2）地球与太阳间的万有引力大小。
8．假设天问一号着陆巡视器质量为m，其在火星表面着陆前的动力减速阶段可视为在竖直方向做匀变速直线运动，着陆巡视器制动打开后，会在火星表面附近经历一个时长为、速度由减速到零的过程。已知火星半径约为地球半径的二分之一，火星质量约为地球质量的十分之一，地球表面的重力加速度为g，忽略火星大气阻力。求：
（1）火星表面的重力加速度大小；
（2）着陆巡视器在火星表面着陆前的动力减速阶段受到的制动力大小。
第22天 开普勒定律和万有引力定律 （预习篇）
1.理解开普勒定律，知道开普勒第三定律中k值的大小只与中心天体有关.
2.通过月—地检验等将太阳与行星间的引力推广为万有引力定律，理解万有引力定律的内容、含义及适用条件.
3.认识引力常量测量的重要意义，能应用万有引力定律解决实际问题．
一、开普勒定律
1．开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上．
2．开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等．
3．开普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等．其表达式为eq \f(a3,T2)＝k，其中a代表椭圆轨道的半长轴，T代表公转周期，比值k是一个对所有行星都相同的常量．
二、行星与太阳间的引力
1．行星绕太阳的运动可以看作匀速圆周运动．行星受到一个指向圆心(太阳)的引力，这个引力提供行星做匀速圆周运动的向心力．
2．若行星的质量为m，行星到太阳的距离为r，行星公转的周期为T，则行星需要的向心力的大小F＝eq \f(4π2mr,T2)，结合eq \f(r3,T2)＝k，可知F＝4π2keq \f(m,r2)，即F∝eq \f(m,r2).
3．行星与太阳的引力在本质上和太阳与行星的引力地位完全相当，即F′∝eq \f(m太,r2).
4．太阳与行星间的引力：根据牛顿第三定律知F＝F′，所以有F∝eq \f(m太m,r2)，写成等式就是F＝Geq \f(m太m,r2).
三、月—地检验
1．检验目的：检验地球绕太阳运动、月球绕地球运动的力与地球对树上苹果的吸引力是否为同一性质的力．
2．检验方法：(1)假设地球与月球间的作用力和太阳与行星间的作用力是同一种力，它们的表达式也应该满足F＝Geq \f(m月m地,r2)，根据牛顿第二定律，月球绕地球做圆周运动的向心加速度a月＝Geq \f(m地,r2).
(2)假设地球对苹果的吸引力也是同一种力，同理可知，苹果的自由落体加速度a苹＝Geq \f(m地,R2).
(3)eq \f(a月,a苹)＝eq \f(R2,r2)，由于r≈60R，所以eq \f(a月,a苹)＝eq \f(1,602).
(4)结论：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律．
四、万有引力定律
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比．
2．表达式：F＝Geq \f(m1m2,r2)，其中G叫作引力常量．
五、引力常量
牛顿得出了万有引力与物体质量及它们之间距离的关系，但没有测出引力常量G的值．
英国物理学家卡文迪什通过实验推算出引力常量G的值．通常取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2.
一、开普勒定律的应用
例题1. 某行星沿椭圆轨道绕太阳运行，如图所示，在这颗行星的轨道上有a、b、c、d四个对称点．若该行星运动的周期为T，沿逆时针方向运行，则该行星( )
A．从a到b的运动时间等于从c到d的运动时间
B．从d经a到b的运动时间等于从b经c到d的运动时间
C．a到b的时间tab>eq \f(T,4)
D．c到d的时间tcd>eq \f(T,4)
答案 D
解析 根据开普勒第二定律可知，A、B错误；在整个椭圆轨道上tab＝tdaeq \f(T,4)，故C错误，D正确．
解题归纳：
1．当比较一个行星在椭圆轨道不同位置的速度大小时，选用开普勒第二定律；当比较或计算两个行星的周期问题时，选用开普勒第三定律．
2．由于大多数行星绕太阳运动的轨道与圆十分接近，因此，在中学阶段的研究中我们可以按圆轨道处理，且把行星绕太阳的运动看作匀速圆周运动，写成eq \f(r3,T2)＝k.
二、万有引力定律
例题2. 如图所示，两质量均匀分布的小球半径分别为R1、R2，相距R，质量为m1、m2，则两球间的万有引力大小为(引力常量为G)( )
A．Geq \f(m1m2,R12) B．Geq \f(m1m2,(R1＋R2＋R)2)
C．Geq \f(m1m2,(R1＋R2)2) D．Geq \f(m1m2,R22)
答案 B
解析 两质量均匀分布的小球均可看作质点，两球间的万有引力大小F＝Geq \f(m1m2,(R1＋R2＋R)2)，故选B.
解题归纳：
1．万有引力定律的表达式：F＝Geq \f(m1m2,r2)，其中G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，叫引力常量，由英国物理学家卡文迪什在实验中测出．
2．万有引力定律公式的适用条件
(1)两个质点间的相互作用．
(2)一个质量分布均匀的球体与球外一个质点间的相互作用，r为球心到质点的距离．
(3)两个质量分布均匀的球体间的相互作用，r为两球心间的距离．
1. 太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，其中火星轨道半长轴为1.524天文单位(地球到太阳的平均距离为1个天文单位)．则火星公转一周约为( )
A．0.8年 B．2年 C．3年 D．4年
答案 B
解析 由开普勒第三定律可得eq \f(r火3,T火2)＝eq \f(r地3,T地2)，得T火≈2年，故A、C、D错误，B正确．
2. 关于万有引力及其计算公式F＝Geq \f(m1m2,r2)，下列说法正确的是( )
A．万有引力只存在于质量很大的两个物体之间
B．根据公式知，r趋近于0时，F趋近于无穷大
C．计算地球对卫星的引力时，r是指卫星到地球表面的距离
D．卡文迪什测出了引力常量G
答案 D
解析 万有引力定律适用于任何两个可以看成质点的物体之间或均质球体之间的引力计算，故A错误；当r趋近于0时，两物体不能看成质点，万有引力公式不再适用，故B错误；计算地球对卫星的引力时，r是指卫星到地球球心的距离，故C错误；卡文迪什测出了引力常量G，故D正确．
（建议用时：30分钟）
一、单选题
1． 关于行星的运动，下列说法正确的是( )
A．关于行星的运动，早期有地心说与日心说之争，日心说理论是完美无缺的
B．所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，且近日点速度小，远日点速度大
C．开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k，式中k的值仅与中心天体的质量有关
D．卫星围绕行星运动不满足开普勒第三定律
答案 C
解析 不论是日心说还是地心说，在研究行星运动时都是有局限性的，A错误；所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，且近日点速度大，远日点速度小，B错误；开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k，式中k的值仅与中心天体的质量有关，C正确；卫星围绕行星运动也满足开普勒第三定律，D错误．
2． 中国古代为区分季节有节气之说，如图所示，从现代物理学可知，地球沿椭圆形轨道绕太阳运动所处四个位置，分别对应我国的四个节气．下列说法正确的是( )
A．地球沿椭圆轨道做匀速运动
B．太阳在椭圆的一个焦点上
C．冬至时地球公转速度最小
D．秋分时地球公转速度最大
答案 B
解析 地球在椭圆轨道上运动，根据开普勒第二定律可知，A错误；
根据开普勒第一定律可知，B正确；冬至时，地球在近日点，根据开普勒第二定律可知，公转速度最大，故C、D错误．
3． 要使相距较远的两物体间的万有引力增加到原来的4倍，下列方法不可行的是( )
A．使两物体的质量各变成原来的2倍，距离不变
B．使其中一个物体的质量增加到原来的4倍，距离不变
C．使两物体间的距离减小为原来的eq \f(1,2)，质量不变
D．使两物体间的距离和两个物体质量都减少为原来的eq \f(1,2)
答案 D
解析 根据F＝eq \f(Gm1m2,r2)可知，使两物体的质量各变成原来的2倍，距离不变，两物体间的万有引力增加到原来的4倍，故A可行；根据F＝eq \f(Gm1m2,r2)可知，使其中一个物体的质量增加到原来的4倍，距离不变，两物体间的万有引力增加到原来的4倍，故B可行；根据F＝eq \f(Gm1m2,r2)可知，使两物体间的距离减小为原来的eq \f(1,2)，质量不变，两物体间的万有引力增加到原来的4倍，故C可行；根据F＝eq \f(Gm1m2,r2)可知，使两物体间的距离和两个物体质量都减少为原来的eq \f(1,2)，两物体间的万有引力不变，故D不可行．
4． 已知地球半径为R，将一物体从地面发射至离地面高度为h处时，物体所受万有引力减小到原来的一半，则h为( )
A．R B．2R
C.eq \r(2)R D．(eq \r(2)－1)R
答案 D
解析 在地面上有F＝Geq \f(Mm,R2)，在高度为h处有F′＝Geq \f(Mm,(R＋h)2)，因为F′＝eq \f(1,2)F，所以eq \f((R＋h)2,R2)＝eq \f(2,1)，所以h＝(eq \r(2)－1)R，故D正确，A、B、C错误．
二、多选题
5．如图所示，P、Q是质量均为m的两个质点，分别置于地球表面不同纬度上，如果把地球看成是一个质量分布均匀的球体，P、Q两质点随地球自转做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A．P、Q所受地球引力大小相等
B．P、Q做圆周运动的向心力大小相等
C．P、Q做圆周运动的角速度大小相等
D．P、Q两质点的重力大小相等
答案 AC
解析 P、Q两质点所受地球引力都是F＝Geq \f(Mm,r2)，故A正确；P、Q都随地球一起转动，其角速度一样大，但P的轨道半径大于Q的轨道半径，根据Fn＝mω2r可知P的向心力大，故B错误，C正确；物体的重力为万有引力的一个分力，在赤道处最小，随着纬度的增加而增大，故D错误．
6． 在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行的轨道与月球绕地球运行的轨道均可视为圆轨道．已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍．关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，下列说法正确的是( )
A．太阳引力远大于月球引力
B．太阳引力与月球引力相差不大
C．月球对不同区域海水的引力大小相等
D．月球对不同区域海水的引力大小有差异
答案 AD
解析 根据F＝Geq \f(m1m2,r2)，可得eq \f(F太阳,F月)＝eq \f(M太阳,M月)·eq \f(r月2,r地2)≈169，故A正确，B错误；由于月心到不同区域海水的距离不同，所以引力大小有差异，C错误，D正确．
三、解答题
7．如图所示，有一质量为m的飞船，由静止开始从P点在恒力F的作用下，沿PD方向做匀加速直线运动，一年(用字母T表示，不考虑单位换算）后在D点飞船掠过地球上空，再过三个月，又在Q处掠过地球上空。已知地球质量为M，绕太阳做匀速圆周运动。忽略地球和太阳的万有引力对飞船运动的影响。求：
（1）PD间的距离。
（2）地球与太阳间的万有引力大小。
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）加速度
PD间的距离
（2）一年时间为T，则三个月的时间为，三个月时间地球绕太阳转过角，若地球到太阳的距离为r，则由几何关系得
而
解得
地球与太阳间的万有引力大小
8．假设天问一号着陆巡视器质量为m，其在火星表面着陆前的动力减速阶段可视为在竖直方向做匀变速直线运动，着陆巡视器制动打开后，会在火星表面附近经历一个时长为、速度由减速到零的过程。已知火星半径约为地球半径的二分之一，火星质量约为地球质量的十分之一，地球表面的重力加速度为g，忽略火星大气阻力。求：
（1）火星表面的重力加速度大小；
（2）着陆巡视器在火星表面着陆前的动力减速阶段受到的制动力大小。
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）根据题意，由万有引力定律等于重力有
解得
则火星表面的重力加速度与地球表面重力加速度的比值
即火星表面的重力加速度
（2）着陆巡视器着陆过程可视为竖直向下的匀减速直线运动，由运动学公式可得，做减速运动的加速度为
由牛顿第二定律有
解得此过程中着陆巡视器受到的制动力大小
2.通过月—地检验等将太阳与行星间的引力推广为万有引力定律，理解万有引力定律的内容、含义及适用条件.
3.认识引力常量测量的重要意义，能应用万有引力定律解决实际问题．
一、开普勒定律
1．开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是 ，太阳处在 ．
2．开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的 ．
3．开普勒第三定律：所有行星轨道的 跟它的 的比都相等．其表达式为eq \f(a3,T2)＝k，其中a代表椭圆轨道的半长轴，T代表公转周期，比值k是一个对所有行星 的常量．
二、行星与太阳间的引力
1．行星绕太阳的运动可以看作 运动．行星受到一个指向圆心(太阳)的引力，这个引力提供行星做匀速圆周运动的 ．
2．若行星的质量为m，行星到太阳的距离为r，行星公转的周期为T，则行星需要的向心力的大小F＝eq \f(4π2mr,T2)，结合eq \f(r3,T2)＝k，可知F＝4π2keq \f(m,r2)，即F∝eq \f(m,r2).
3．行星与太阳的引力在本质上和太阳与行星的引力地位完全相当，即F′∝eq \f(m太,r2).
4．太阳与行星间的引力：根据牛顿第三定律知F＝F′，所以有F∝eq \f(m太m,r2)，写成等式就是F＝Geq \f(m太m,r2).
三、月—地检验
1．检验目的：检验地球绕太阳运动、月球绕地球运动的力与地球对树上苹果的吸引力是否为 的力．
2．检验方法：(1)假设地球与月球间的作用力和太阳与行星间的作用力是同一种力，它们的表达式也应该满足F＝Geq \f(m月m地,r2)，根据牛顿第二定律，月球绕地球做圆周运动的向心加速度a月＝Geq \f(m地,r2).
(2)假设地球对苹果的吸引力也是同一种力，同理可知，苹果的自由落体加速度a苹＝Geq \f(m地,R2).
(3)eq \f(a月,a苹)＝eq \f(R2,r2)，由于r≈60R，所以eq \f(a月,a苹)＝eq \f(1,602).
(4)结论：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从 的规律．
四、万有引力定律
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的 上，引力的大小与物体的 ——成正比、与它们之间 成反比．
2．表达式：F＝Geq \f(m1m2,r2)，其中G叫作引力常量．
五、引力常量
牛顿得出了万有引力与物体质量及它们之间距离的关系，但没有测出引力常量G的值．
英国物理学家 通过实验推算出引力常量G的值．通常取G＝ N·m2/kg2.
一、开普勒定律的应用
例题1. 某行星沿椭圆轨道绕太阳运行，如图所示，在这颗行星的轨道上有a、b、c、d四个对称点．若该行星运动的周期为T，沿逆时针方向运行，则该行星( )
A．从a到b的运动时间等于从c到d的运动时间
B．从d经a到b的运动时间等于从b经c到d的运动时间
C．a到b的时间tab>eq \f(T,4)
D．c到d的时间tcd>eq \f(T,4)
解题归纳：
1．当比较一个行星在椭圆轨道不同位置的速度大小时，选用开普勒第二定律；当比较或计算两个行星的周期问题时，选用开普勒第三定律．
2．由于大多数行星绕太阳运动的轨道与圆十分接近，因此，在中学阶段的研究中我们可以按圆轨道处理，且把行星绕太阳的运动看作匀速圆周运动，写成eq \f(r3,T2)＝k.
二、万有引力定律
例题2. 如图所示，两质量均匀分布的小球半径分别为R1、R2，相距R，质量为m1、m2，则两球间的万有引力大小为(引力常量为G)( )
A．Geq \f(m1m2,R12) B．Geq \f(m1m2,(R1＋R2＋R)2)
C．Geq \f(m1m2,(R1＋R2)2) D．Geq \f(m1m2,R22)
解题归纳：
1．万有引力定律的表达式：F＝Geq \f(m1m2,r2)，其中G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，叫引力常量，由英国物理学家卡文迪什在实验中测出．
2．万有引力定律公式的适用条件
(1)两个质点间的相互作用．
(2)一个质量分布均匀的球体与球外一个质点间的相互作用，r为球心到质点的距离．
(3)两个质量分布均匀的球体间的相互作用，r为两球心间的距离．
1. 太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，其中火星轨道半长轴为1.524天文单位(地球到太阳的平均距离为1个天文单位)．则火星公转一周约为( )
A．0.8年 B．2年 C．3年 D．4年
2. 关于万有引力及其计算公式F＝Geq \f(m1m2,r2)，下列说法正确的是( )
A．万有引力只存在于质量很大的两个物体之间
B．根据公式知，r趋近于0时，F趋近于无穷大
C．计算地球对卫星的引力时，r是指卫星到地球表面的距离
D．卡文迪什测出了引力常量G
（建议用时：30分钟）
一、单选题
1． 关于行星的运动，下列说法正确的是( )
A．关于行星的运动，早期有地心说与日心说之争，日心说理论是完美无缺的
B．所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，且近日点速度小，远日点速度大
C．开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k，式中k的值仅与中心天体的质量有关
D．卫星围绕行星运动不满足开普勒第三定律
2． 中国古代为区分季节有节气之说，如图所示，从现代物理学可知，地球沿椭圆形轨道绕太阳运动所处四个位置，分别对应我国的四个节气．下列说法正确的是( )
A．地球沿椭圆轨道做匀速运动
B．太阳在椭圆的一个焦点上
C．冬至时地球公转速度最小
D．秋分时地球公转速度最大
3． 要使相距较远的两物体间的万有引力增加到原来的4倍，下列方法不可行的是( )
A．使两物体的质量各变成原来的2倍，距离不变
B．使其中一个物体的质量增加到原来的4倍，距离不变
C．使两物体间的距离减小为原来的eq \f(1,2)，质量不变
D．使两物体间的距离和两个物体质量都减少为原来的eq \f(1,2)
4． 已知地球半径为R，将一物体从地面发射至离地面高度为h处时，物体所受万有引力减小到原来的一半，则h为( )
A．R B．2R
C.eq \r(2)R D．(eq \r(2)－1)R
二、多选题
5．如图所示，P、Q是质量均为m的两个质点，分别置于地球表面不同纬度上，如果把地球看成是一个质量分布均匀的球体，P、Q两质点随地球自转做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A．P、Q所受地球引力大小相等
B．P、Q做圆周运动的向心力大小相等
C．P、Q做圆周运动的角速度大小相等
D．P、Q两质点的重力大小相等
6． 在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行的轨道与月球绕地球运行的轨道均可视为圆轨道．已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍．关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，下列说法正确的是( )
A．太阳引力远大于月球引力
B．太阳引力与月球引力相差不大
C．月球对不同区域海水的引力大小相等
D．月球对不同区域海水的引力大小有差异
三、解答题
7．如图所示，有一质量为m的飞船，由静止开始从P点在恒力F的作用下，沿PD方向做匀加速直线运动，一年(用字母T表示，不考虑单位换算）后在D点飞船掠过地球上空，再过三个月，又在Q处掠过地球上空。已知地球质量为M，绕太阳做匀速圆周运动。忽略地球和太阳的万有引力对飞船运动的影响。求：
（1）PD间的距离。
（2）地球与太阳间的万有引力大小。
8．假设天问一号着陆巡视器质量为m，其在火星表面着陆前的动力减速阶段可视为在竖直方向做匀变速直线运动，着陆巡视器制动打开后，会在火星表面附近经历一个时长为、速度由减速到零的过程。已知火星半径约为地球半径的二分之一，火星质量约为地球质量的十分之一，地球表面的重力加速度为g，忽略火星大气阻力。求：
（1）火星表面的重力加速度大小；
（2）着陆巡视器在火星表面着陆前的动力减速阶段受到的制动力大小。
第22天 开普勒定律和万有引力定律 （预习篇）
1.理解开普勒定律，知道开普勒第三定律中k值的大小只与中心天体有关.
2.通过月—地检验等将太阳与行星间的引力推广为万有引力定律，理解万有引力定律的内容、含义及适用条件.
3.认识引力常量测量的重要意义，能应用万有引力定律解决实际问题．
一、开普勒定律
1．开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上．
2．开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等．
3．开普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等．其表达式为eq \f(a3,T2)＝k，其中a代表椭圆轨道的半长轴，T代表公转周期，比值k是一个对所有行星都相同的常量．
二、行星与太阳间的引力
1．行星绕太阳的运动可以看作匀速圆周运动．行星受到一个指向圆心(太阳)的引力，这个引力提供行星做匀速圆周运动的向心力．
2．若行星的质量为m，行星到太阳的距离为r，行星公转的周期为T，则行星需要的向心力的大小F＝eq \f(4π2mr,T2)，结合eq \f(r3,T2)＝k，可知F＝4π2keq \f(m,r2)，即F∝eq \f(m,r2).
3．行星与太阳的引力在本质上和太阳与行星的引力地位完全相当，即F′∝eq \f(m太,r2).
4．太阳与行星间的引力：根据牛顿第三定律知F＝F′，所以有F∝eq \f(m太m,r2)，写成等式就是F＝Geq \f(m太m,r2).
三、月—地检验
1．检验目的：检验地球绕太阳运动、月球绕地球运动的力与地球对树上苹果的吸引力是否为同一性质的力．
2．检验方法：(1)假设地球与月球间的作用力和太阳与行星间的作用力是同一种力，它们的表达式也应该满足F＝Geq \f(m月m地,r2)，根据牛顿第二定律，月球绕地球做圆周运动的向心加速度a月＝Geq \f(m地,r2).
(2)假设地球对苹果的吸引力也是同一种力，同理可知，苹果的自由落体加速度a苹＝Geq \f(m地,R2).
(3)eq \f(a月,a苹)＝eq \f(R2,r2)，由于r≈60R，所以eq \f(a月,a苹)＝eq \f(1,602).
(4)结论：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律．
四、万有引力定律
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比．
2．表达式：F＝Geq \f(m1m2,r2)，其中G叫作引力常量．
五、引力常量
牛顿得出了万有引力与物体质量及它们之间距离的关系，但没有测出引力常量G的值．
英国物理学家卡文迪什通过实验推算出引力常量G的值．通常取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2.
一、开普勒定律的应用
例题1. 某行星沿椭圆轨道绕太阳运行，如图所示，在这颗行星的轨道上有a、b、c、d四个对称点．若该行星运动的周期为T，沿逆时针方向运行，则该行星( )
A．从a到b的运动时间等于从c到d的运动时间
B．从d经a到b的运动时间等于从b经c到d的运动时间
C．a到b的时间tab>eq \f(T,4)
D．c到d的时间tcd>eq \f(T,4)
答案 D
解析 根据开普勒第二定律可知，A、B错误；在整个椭圆轨道上tab＝tda
解题归纳：
1．当比较一个行星在椭圆轨道不同位置的速度大小时，选用开普勒第二定律；当比较或计算两个行星的周期问题时，选用开普勒第三定律．
2．由于大多数行星绕太阳运动的轨道与圆十分接近，因此，在中学阶段的研究中我们可以按圆轨道处理，且把行星绕太阳的运动看作匀速圆周运动，写成eq \f(r3,T2)＝k.
二、万有引力定律
例题2. 如图所示，两质量均匀分布的小球半径分别为R1、R2，相距R，质量为m1、m2，则两球间的万有引力大小为(引力常量为G)( )
A．Geq \f(m1m2,R12) B．Geq \f(m1m2,(R1＋R2＋R)2)
C．Geq \f(m1m2,(R1＋R2)2) D．Geq \f(m1m2,R22)
答案 B
解析 两质量均匀分布的小球均可看作质点，两球间的万有引力大小F＝Geq \f(m1m2,(R1＋R2＋R)2)，故选B.
解题归纳：
1．万有引力定律的表达式：F＝Geq \f(m1m2,r2)，其中G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，叫引力常量，由英国物理学家卡文迪什在实验中测出．
2．万有引力定律公式的适用条件
(1)两个质点间的相互作用．
(2)一个质量分布均匀的球体与球外一个质点间的相互作用，r为球心到质点的距离．
(3)两个质量分布均匀的球体间的相互作用，r为两球心间的距离．
1. 太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，其中火星轨道半长轴为1.524天文单位(地球到太阳的平均距离为1个天文单位)．则火星公转一周约为( )
A．0.8年 B．2年 C．3年 D．4年
答案 B
解析 由开普勒第三定律可得eq \f(r火3,T火2)＝eq \f(r地3,T地2)，得T火≈2年，故A、C、D错误，B正确．
2. 关于万有引力及其计算公式F＝Geq \f(m1m2,r2)，下列说法正确的是( )
A．万有引力只存在于质量很大的两个物体之间
B．根据公式知，r趋近于0时，F趋近于无穷大
C．计算地球对卫星的引力时，r是指卫星到地球表面的距离
D．卡文迪什测出了引力常量G
答案 D
解析 万有引力定律适用于任何两个可以看成质点的物体之间或均质球体之间的引力计算，故A错误；当r趋近于0时，两物体不能看成质点，万有引力公式不再适用，故B错误；计算地球对卫星的引力时，r是指卫星到地球球心的距离，故C错误；卡文迪什测出了引力常量G，故D正确．
（建议用时：30分钟）
一、单选题
1． 关于行星的运动，下列说法正确的是( )
A．关于行星的运动，早期有地心说与日心说之争，日心说理论是完美无缺的
B．所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，且近日点速度小，远日点速度大
C．开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k，式中k的值仅与中心天体的质量有关
D．卫星围绕行星运动不满足开普勒第三定律
答案 C
解析 不论是日心说还是地心说，在研究行星运动时都是有局限性的，A错误；所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，且近日点速度大，远日点速度小，B错误；开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k，式中k的值仅与中心天体的质量有关，C正确；卫星围绕行星运动也满足开普勒第三定律，D错误．
2． 中国古代为区分季节有节气之说，如图所示，从现代物理学可知，地球沿椭圆形轨道绕太阳运动所处四个位置，分别对应我国的四个节气．下列说法正确的是( )
A．地球沿椭圆轨道做匀速运动
B．太阳在椭圆的一个焦点上
C．冬至时地球公转速度最小
D．秋分时地球公转速度最大
答案 B
解析 地球在椭圆轨道上运动，根据开普勒第二定律可知，A错误；
根据开普勒第一定律可知，B正确；冬至时，地球在近日点，根据开普勒第二定律可知，公转速度最大，故C、D错误．
3． 要使相距较远的两物体间的万有引力增加到原来的4倍，下列方法不可行的是( )
A．使两物体的质量各变成原来的2倍，距离不变
B．使其中一个物体的质量增加到原来的4倍，距离不变
C．使两物体间的距离减小为原来的eq \f(1,2)，质量不变
D．使两物体间的距离和两个物体质量都减少为原来的eq \f(1,2)
答案 D
解析 根据F＝eq \f(Gm1m2,r2)可知，使两物体的质量各变成原来的2倍，距离不变，两物体间的万有引力增加到原来的4倍，故A可行；根据F＝eq \f(Gm1m2,r2)可知，使其中一个物体的质量增加到原来的4倍，距离不变，两物体间的万有引力增加到原来的4倍，故B可行；根据F＝eq \f(Gm1m2,r2)可知，使两物体间的距离减小为原来的eq \f(1,2)，质量不变，两物体间的万有引力增加到原来的4倍，故C可行；根据F＝eq \f(Gm1m2,r2)可知，使两物体间的距离和两个物体质量都减少为原来的eq \f(1,2)，两物体间的万有引力不变，故D不可行．
4． 已知地球半径为R，将一物体从地面发射至离地面高度为h处时，物体所受万有引力减小到原来的一半，则h为( )
A．R B．2R
C.eq \r(2)R D．(eq \r(2)－1)R
答案 D
解析 在地面上有F＝Geq \f(Mm,R2)，在高度为h处有F′＝Geq \f(Mm,(R＋h)2)，因为F′＝eq \f(1,2)F，所以eq \f((R＋h)2,R2)＝eq \f(2,1)，所以h＝(eq \r(2)－1)R，故D正确，A、B、C错误．
二、多选题
5．如图所示，P、Q是质量均为m的两个质点，分别置于地球表面不同纬度上，如果把地球看成是一个质量分布均匀的球体，P、Q两质点随地球自转做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A．P、Q所受地球引力大小相等
B．P、Q做圆周运动的向心力大小相等
C．P、Q做圆周运动的角速度大小相等
D．P、Q两质点的重力大小相等
答案 AC
解析 P、Q两质点所受地球引力都是F＝Geq \f(Mm,r2)，故A正确；P、Q都随地球一起转动，其角速度一样大，但P的轨道半径大于Q的轨道半径，根据Fn＝mω2r可知P的向心力大，故B错误，C正确；物体的重力为万有引力的一个分力，在赤道处最小，随着纬度的增加而增大，故D错误．
6． 在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行的轨道与月球绕地球运行的轨道均可视为圆轨道．已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍．关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，下列说法正确的是( )
A．太阳引力远大于月球引力
B．太阳引力与月球引力相差不大
C．月球对不同区域海水的引力大小相等
D．月球对不同区域海水的引力大小有差异
答案 AD
解析 根据F＝Geq \f(m1m2,r2)，可得eq \f(F太阳,F月)＝eq \f(M太阳,M月)·eq \f(r月2,r地2)≈169，故A正确，B错误；由于月心到不同区域海水的距离不同，所以引力大小有差异，C错误，D正确．
三、解答题
7．如图所示，有一质量为m的飞船，由静止开始从P点在恒力F的作用下，沿PD方向做匀加速直线运动，一年(用字母T表示，不考虑单位换算）后在D点飞船掠过地球上空，再过三个月，又在Q处掠过地球上空。已知地球质量为M，绕太阳做匀速圆周运动。忽略地球和太阳的万有引力对飞船运动的影响。求：
（1）PD间的距离。
（2）地球与太阳间的万有引力大小。
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）加速度
PD间的距离
（2）一年时间为T，则三个月的时间为，三个月时间地球绕太阳转过角，若地球到太阳的距离为r，则由几何关系得
而
解得
地球与太阳间的万有引力大小
8．假设天问一号着陆巡视器质量为m，其在火星表面着陆前的动力减速阶段可视为在竖直方向做匀变速直线运动，着陆巡视器制动打开后，会在火星表面附近经历一个时长为、速度由减速到零的过程。已知火星半径约为地球半径的二分之一，火星质量约为地球质量的十分之一，地球表面的重力加速度为g，忽略火星大气阻力。求：
（1）火星表面的重力加速度大小；
（2）着陆巡视器在火星表面着陆前的动力减速阶段受到的制动力大小。
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）根据题意，由万有引力定律等于重力有
解得
则火星表面的重力加速度与地球表面重力加速度的比值
即火星表面的重力加速度
（2）着陆巡视器着陆过程可视为竖直向下的匀减速直线运动，由运动学公式可得，做减速运动的加速度为
由牛顿第二定律有
解得此过程中着陆巡视器受到的制动力大小
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