人教A版高中数学必修第一册第2章2-1第1课时不等关系与不等式课件

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第1课时　不等关系与不等式第二章　一元二次函数、方程和不等式2.1　等式性质与不等式性质[学习目标]　1．会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．(数学建模)2．会用比较法比较两实数的大小．(逻辑推理)[讨论交流]　预习教材P37－P39，并思考以下问题：问题1．如何比较两个实数的大小？问题2．如何表述比较实数a，b大小的基本事实？整体感知[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．探究1　用不等式(组)表示不等关系探究问题1　如图是高速公路的指示牌，其含义是什么？探究建构提示：左边的指示牌是指对应的车道只能供小客车行驶，而且小客车的速率v1(单位：km/h，下同)应该满足100≤v1≤120；右边的指示牌是指对应的车道可供客车和货车行驶，而且车的速率v2应该满足60≤v2≤100．[新知生成]在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，常用不等式来研究含有不等关系的问题．【教用·微提醒】　常见的文字语言与符号语言之间的转换[典例讲评]　1．用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18 m，靠墙的一边长为x m．(1)若要求菜园的面积不小于110 m2，试用不等式组表示其中的不等关系；(2)若矩形的长、宽都不能超过11 m，试求x满足的不等关系． 反思领悟　利用不等式(组)表示不等关系的注意点(1)在用不等式(组)表示不等关系时，要进行比较的各量必须具有相同性质，没有可比性的两个(或几个)量之间不可以用不等式(组)来表示．(2)在用不等式(组)表示实际问题时，一定要注意单位的统一．[学以致用]　1．(多选)某工艺厂用A，B两种型号不锈钢薄板制作矩形、菱形、圆3种图形模板，每个图形模板需要A，B不锈钢薄板及该厂2种薄板张数见下表：该厂签购制作矩形、菱形、圆3种模板分别为x，y，z(x，y，z∈N*)块．上述问题中不等关系表示正确的为(　　)A．5x＋3y＋10z≥55 B．5x＋3y＋10z≤55C．12x＋6y＋13z≤125 D．12x＋6y＋13z≥125√BC　[因为每个矩形模板需要5张A薄板，每个菱形模板需要3张A薄板，每个圆模板需要10张A薄板，且共有55张A薄板，所以5x＋3y＋10z≤55，因为每个矩形模板需要12张B薄板，每个菱形模板需要6张B薄板，每个圆模板需要13张B薄板，且共有125张B薄板，所以12x＋6y＋13z≤125．故选BC．]√探究2　基本事实探究问题2　数轴上的点与实数是一一对应的，你能借助数轴刻画两个实数a，b的大小关系吗？提示：如图，设a，b在数轴上所对应的点分别是A，B．当点A在点B的左边时，ab．[新知生成]从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小．a＞ba＞ba＝ba＝ba＜ba＜b【教用·微提醒】　利用作差法比较大小，只需判断差的符号，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式．【链接·教材例题】例1　比较(x＋2)(x＋3)和(x＋1)(x＋4)的大小．解：因为(x＋2)(x＋3)－(x＋1)(x＋4)＝(x2＋5x＋6)－(x2＋5x＋4)＝2>0，所以(x＋2)(x＋3)>(x＋1)(x＋4)．分析：通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系．[典例讲评]　2．已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小．[解]　3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．由x≤1，得x－1≤0，而3x2＋1＞0，∴(3x2＋1)(x－1)≤0，∴3x3≤3x2－x＋1．[母题探究]　把本例中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的大小．[解]　3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．∵3x2＋1＞0，当x＞1时，x－1＞0，∴3x3＞3x2－x＋1；当x＝1时，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1；当x＜1时，x－1＜0，∴3x3＜3x2－x＋1．反思领悟　作差法比较两个数大小的步骤及变形方法(1)步骤：作差→变形→定号→结论．(2)变形方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论．[学以致用]　2．比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小． 探究3　重要不等式探究问题3　如图，我国古代的“弦图”是由四个全等的直角三角形围成的．设直角三角形的直角边长为a，b，根据图示，大正方形的面积与四个小直角三角形的面积之和存在不等关系，用a，b如何表示这种关系？ [新知生成]一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2__2ab，当且仅当______时，等号成立．探究问题4　你能证明探究问题3中得到的不等式吗？提示：证明：利用完全平方公式，得a2＋b2－2ab＝(a－b)2．因为∀a，b∈R，(a－b)2≥0，当且仅当a＝b时，等号成立，所以a2＋b2－2ab≥0．因此，由两个实数大小关系的基本事实，得a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．≥a＝b[典例讲评]　3．已知a>0，b>0，证明a3＋b3≥ab2＋a2b．[证明]　a3＋b3－(ab2＋a2b)＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－ab(a＋b)＝(a＋b)(a2－2ab＋b2)．∵a>0，b>0，且a2＋b2≥2ab，∴a＋b>0，a2＋b2－2ab≥0．∴a3＋b3－(ab2＋a2b)≥0，故a3＋b3≥ab2＋a2b． [学以致用]　3．已知x，y∈R，且x2＋y2＝16，证明：xy≤8．[证明]　由重要不等式可知x2＋y2≥2xy(当且仅当x＝y时取等号)，即16≥2xy，所以xy≤8．1．(多选)下面列出的不等式中，正确的是(　　)A．a不是负数，可表示成a≥0B．x不大于3，可表示成x<3C．m与4的差是负数，可表示成m－4<0D．x与2的和是非负数，可表示成x＋2>0243题号1应用迁移√AC　[a不是负数，可表示成a≥0；x不大于3可表示成x≤3；m与4的差是负数，可表示成m－4<0；x与2的和是非负数，可表示成x＋2≥0．]√2．若x∈R，y∈R，则(　　)A．x2＋y2>2xy－1　 B．x2＋y2＝2xy－1C．x2＋y2<2xy－1 D．x2＋y2≤2xy－123题号14√A　[因为x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋1>0，所以x2＋y2>2xy－1，故选A．]3．中国“神舟十七号”载人飞船的飞行速度v不小于第一宇宙速度7.9 km/s，且小于第二宇宙速度11.2 km/s，表示为____________.23题号417.9≤v<11.2　[“不小于”即大于或等于，故用不等式表示为7.9≤v<11.2．]7.9≤v<11.2　4．不等式a2＋4≥4a中，等号成立的条件为________．243题号1a＝2　[令a2＋4＝4a，则a2－4a＋4＝0，∴a＝2．]a＝21．知识链：(1)用不等式(组)表示不等关系．(2)作差法比较大小．(3)重要不等式．2．方法链：作差法．3．警示牌：在用不等式表示实际问题中变量不等关系时，易忽略实际意义．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．作差法比较两个实数的大小的依据是什么？[提示]　a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a