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初中数学23.2解直角三角形及其应用教案配套ppt课件
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这是一份初中数学23.2解直角三角形及其应用教案配套ppt课件，共52页。
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)1.在Rt△ABC中,如果各边的长度同时缩小为原来的 ,那么锐角A的正弦值和余弦值 ( )A.都不变 B.都缩小为原来的 C.都扩大为原来的2倍 D.不能确定
解析 ∵锐角A的正弦值和余弦值只与锐角A的大小有关,∴ 边长同时缩小为原来的 对于锐角A的正弦值和余弦值没有影响,∴锐角A的正弦值和余弦值没有改变.故选A.
2.若α为锐角,且tan α= ,则有 ( )A.0°<α<30° B.30°<α<45°C.45°<α<60° D.60°<α<90°
解析 ∵tan 45°=1,tan 60°= ,α为锐角,α越大,正切值越大,1< < ,∴45°<α<60°.故选C.
3.(2024河南周口沈丘期末)已知α为锐角,sin α=cs 50°,则α等 于 ( )A.20° B.30° C.40° D.50°
解析 ∵sin α=cs 50°,∴α=90°-50°=40°.故选C.
4.(设参法)(2024安徽合肥庐阳期末)在△ABC中,∠C=90°,tan A=2,则cs A的值为 ( )A. B. C. D.2
解析 在△ABC中,∠C=90°,设∠A、∠B、∠C的对边分别 为a、b、c,由于tan A=2= ,不妨设b=k,则a=2k,由勾股定理得,c= = k,所以cs A= = = ,故选A.
5.(2023安徽阜阳质检)下列运算中,值为 的是 ( )A.sin 45°×cs 45° B.tan 45°-cs230°C. D.(tan 60°)-1
解析 sin 45°×cs 45°= × = ,故A不符合题意;tan 45°-cs230°=1- =1- = ,故B符合题意; = = ,故C不符合题意;(tan 60°)-1=( )-1= ,故D不符合题意.
6.(2024安徽合肥肥西期末)小明沿着坡比为1∶ 的山坡向上走了300 m,则他现在距离水平地面的高度为 ( )A.100 m B.150 mC.100 m D.100 m
水平地面的高度为150 m.故选B.
解析 如图,小明现在在点B处,过点B作BE⊥AC于点E,∵坡 比为1∶ ,∴tan∠A=1∶ = ,
∴∠A=30°.∵AB=300 m,∴BE= AB=150(m).∴他现在距离
7.(2023安徽六安汇文中学期末)如图,△ABC的三个顶点都在 方格纸的格点上,则sin∠CAB=(M9123001)( )A. B. C. D.
如图,作CD⊥AB,交AB的延长线于D,不妨设小正方形的边长均 为1,由勾股定理,得AC= = =2 ,∴在Rt△ADC中,sin∠CAD= = = ,故选D.
8.(新考法)(2023安徽六安霍邱期末)一配电房的示意图如图, 它是一个轴对称图形.已知BC=6 m,∠ABC=α,则房顶A离地 面EF的高度为( )A. m B. mC. m D. m
解析 过点A作AD⊥BC于点D,如图,∵该图形是一个轴对称图形,∴AB=AC.∵AD⊥BC,∴BD= BC=3 m,在Rt△ADB中,∵tan∠ABC= ,∴AD=BD·tan α=3tan α m.∴房顶A离地面EF的高度=AD+BE=(4+3tan α)m,故选B.
9.(2023安徽滁州定远县育才学校期末)如图,在△ABC中,∠ BAC=60°,∠B=45°,BC=6 ,AD平分∠BAC交BC于点D,则线段AD的长为 ( )A.6 B.12C.6 D.6
解析 如图,过点C作CE⊥AB,垂足为E,在Rt△BCE中,∠B=45°,BC=6 ,∴CE=BC·sin 45°=6 × =6 .在Rt△ACE中,∠BAC=60°,∴AC= = =12.∵AD平分∠BAC,∴∠DAB= ∠CAB=30°,∴∠ADC=∠DAB+∠B=75°.∵∠ACD=180°-∠CAB-∠B= 75°,∴∠ACD=∠ADC,∴AC=AD=12,故选B.
10.(2023山东德州临邑二模)如图,斜坡AP的坡比为1∶2.4,在 坡顶A处的水平面上有一座古塔BC,在斜坡底P处测得塔顶B 的仰角为45°,在坡顶A处测得塔顶B的仰角∠BAC为76°,坡顶 A到塔底C处的距离为7米,则斜坡AP的长度约为 (点P、A、B、C、Q在同一平面内,sin 76°≈0.97,cs 76°≈0. 24,tan 76°≈4.0) ( )A.24米 B.26米 C.28米 D.39米
解析 如图,过点A作AH⊥PQ,垂足为点H,延长BC交PQ于点 D,∵BC⊥AC,AC∥PQ,∴BD⊥PQ.∴四边形AHDC是矩形,∴ CD=AH,AC=DH.∵∠BPD=45°,∴PD=BD.在Rt△ABC中,tan 76°= ,AC=7米,∴BC≈28(米).∵斜坡AP的坡比为1∶2.4,∴ = ,设AH=5k米,则PH=12k米,由勾股定理,得AP=13k米.∵PH+HD=BC+CD,∴12k+7=5k+28,解得k=3,∴AP=13k=3 9(米).故选D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)11.(2024安徽六安霍邱期末)如果α为锐角,cs α= ,则α= .
解析 ∵cs α= ,α为锐角,∴α=30°.
12.(新独家原创)如图,A(2,a)在二次函数y=x2-3x的图象上,AB ⊥x轴于B,则tan∠AOB的值为 .
解析 ∵点A(2,a)在二次函数y=x2-3x的图象上,∴a=22-3×2=- 2,∵AB⊥x轴于B,∴OB=2,AB=2,∴tan∠AOB= =1.
13.(2021江苏南通中考)如图,一艘轮船位于灯塔P的南偏东6 0°方向,距离灯塔50海里的A处,它沿正北方向航行一段时间 后,到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处,此时B处与灯 塔P的距离为 海里(结果保留根号).
解析 过P作PC⊥AB于C,如图.由题意,得∠APC=30°,∠BPC =45°,PA=50海里,在Rt△APC中,cs∠APC= ,∴PC=PA·cs∠APC=50× =25 (海里).在Rt△PCB中,cs∠BPC= ,∴PB= = =25 (海里).
14.(2022安徽安庆潜山期末)如图,△ABC中,过点B作BD⊥ AB,交AC于点D,且AD∶CD=4∶3,∠ABC=150°.(1)BD∶BC= ;(2)若AB=4,则△ABC的面积是 .
解析 (1)过点C作CE⊥AB,交AB的延长线于点E,如图.∵∠ ABC=150°,∴∠CBE=180°-∠ABC=30°,设CE为a,则BC为2a. ∵BD⊥AB,CE⊥AE,∴∠ABD=∠AEC=90°.∵∠A=∠A,∴△ ABD∽△AEC,∴ = ,∴ = ,∴BD= a,∴ = = .(2)由(1)得,△ABD∽△AEC,∴ = ,∴ = ,∴AE=7,∴BE=AE-AB=7-4=3.在Rt△BEC中,CE=BEtan 30°=3× = ,∴△ABC的面积= AB·CE= ×4× =2 .
三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)15.(2024安徽合肥包河期末)计算:(-1)2 023+2sin 45°-cs 30°+ sin 60°.(M9123002)
解析 原式=-1+2× - + = -1.
16.(等角代换法)如图,矩形ABCD中,AB=10,BC=8,E为AD边 上一点,沿CE将△CDE折叠,使点D正好落在AB边上的点F处, 求tan∠AFE的值.
解析 由题意得,∠AFE+∠EFC+∠BFC=180°,根据折叠的性质得,∠EFC=∠EDC=90°,即∠AFE+∠BFC=90°.在Rt△BCF中,∠BCF+∠BFC=90°,∴∠AFE=∠BCF.根据折叠的性质,有CF=CD,∵BC=8,CF=CD=10,∴由勾股定理,得BF=6,
∴tan∠BCF= = .∴tan∠AFE=tan∠BCF= .
四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)17.(2024广西崇左江州期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,tan A = ,∠ABC的平分线BD交AC于点D,CD=2 ,求BC,AB的长及△ABC的面积.
解析 在Rt△ABC中,∠C=90°,tan A= ,∴∠A=30°,∴∠ABC=60°.∵BD是∠ABC的平分线,∴∠CBD =∠ABD=30°,∵CD=2 ,∴在Rt△BCD中,BC= =6.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,∴AB= =12,AC= =6 ,∴△ABC的面积= ×6×6 =18 .
18.(教材变式·P138T6)(2024安徽亳州利辛期末)如图所示,小 山的顶部是一块平地,在这块平地上有一高压输电的铁架 AE,∠B=30°,斜坡BC的长是40米,在山坡的坡顶C处测得铁架 顶端A的仰角为60°,AC=30米,求铁架顶端A到地平面的高度 AD.( ≈1.732,结果精确到0.1米)
解析 如图,过点C作CF⊥BD于F,由题意可知CF=ED,∵∠CBF=30°, ∴CF= BC=20 m=ED.∵∠ACE=60°,AC=30 m,∴AE=AC·sin 60°= ×30=15 (m),∴AD=15 +20≈46.0(m).答:铁架顶端A到地平面的高度AD约为46.0米.
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)19.(2024安徽合肥肥东期末)学校科技创新社团制作了一种 固定翼飞机的机翼模型,形状如图所示.测得AD=50 cm,CD=10 cm,∠A=53.3°,∠ABC=111.8°,AB∥DC,求AB边的长.(参考 数据:sin 53.3°≈0.80,cs 53.3°≈0.60,tan 53.3°≈1.34,sin 68.2°≈0.93,cs 68.2°≈0.37,tan 68.2°≈2.50)
解析 作CE⊥AE,DF⊥AF,分别交AB的延长线于点E,F,如 图,在Rt△ADF中,AD=50 cm,∠A=53.3°,∴DF=AD×sin 53.3°≈40 cm,FA=AD×cs 53.3°≈30 cm.∵∠AFD=∠FEC=90°,∴DF∥EC,∵AB∥CD,∴四边形CDFE是平行四边形,∴四边形CDFE是矩形,∴CE=DF=40 cm,在Rt△BCE中,CE=40 cm,∠CBE=180°-∠ABC=68.2°,
∴BE= ≈16 cm,∴AB=AF+CD-BE=24 cm.答:AB边的长约为24 cm.
20.(化斜为直法)(2024安徽池州青阳期末)如图,在△ABC中, AB=AC=10,sin B= .(M9123004)(1)求边BC的长度;(2)求cs A的值.
解析 (1)如图,过点A作AD⊥BC于点D,∵AB=AC=10,∴BC=2BD.在Rt△ABD中,∵sin∠ABC= = ,∴AD=ABsin∠ABC=10× =8,∴BD= = =6,则BC=2BD=12.(2)如图,过B作BH⊥AC于H,
∵S△ABC= AC·BH= BC·AD,∴BH= = = ,∴AH= = = ,∴在Rt△ABH中,cs∠BAC= = = .
21.(情境题·生命安全与健康)某校为检测师生体温,在校门安 装了某型号测温门,如图,已知测温门AD的顶部A距地面2.2 m.某数学兴趣小组为了解测温门的有效测温区间,做了如下 实践:身高为1.6 m的组员站在地面N处时测温门开始显示额 头温度,此时在额头B处测得A的仰角为20°,该组员站在地面 M处时,测温门停止显示额头温度,此时在额头C处测得A的仰 角为60°.求有效测温区间MN的长度.(参考数据:sin 20°≈0.34,cs 20°≈0.94,tan 20°≈0.36, ≈1.73,额头到地面的距离以身高计,计算结果精确到0.1 m)
六、(本题满分12分)
解析 如图,延长BC交AD于点E,则DE=CM=BN=1.6 m,BC=MN,∠AEB=90°,∵AD=2.2 m,
∴AE=AD-DE=2.2-1.6=0.6(m),在Rt△ACE中,∠ACE=60°,∴CE= = ≈0.35(m),在Rt△ABE中,∠ABE=20°,∴BE= ≈ ≈1.67(m),∴MN=BC=BE-CE=1.67-0.35≈1.3(m),∴有效测温区间MN的长度约为1.3 m.
七、(本题满分12分)22.(2024重庆一中期末)小明从家A步行前往公园E,已知点E 在点A的正东方向,但是由于道路AE施工,小明先沿正北方向 走了400米到达B处,再从B处沿北偏东60°方向行走400米到 达C处,从C处沿正东方向走了300米到达D处,在D处休息了6 分钟,最终沿D→E方向到达E处,已知点E在点D的南偏东45° 方向.小明从家出发的同时,爷爷从家选择另一路线A→F→E 步行前往E处,已知点F在点A的南偏东60°方向,且点F在点E 的正南方向.(参考数据: ≈1.414, ≈1.732)(M9123005)(1)求AE的长度(结果精确到1米).
(2)已知小明步行速度为80米/分钟,爷爷步行速度为70米/分 钟,小明和爷爷始终保持匀速行驶,请计算说明小明和爷爷谁 先到达公园.
解析 (1)如图,作CP⊥AB交AB的延长线于P,CM⊥AE于M, DN⊥AE于N,由题意可知,AB=BC=400米,CD=300米,∠PBC= 60°,∠NDE=45°,在Rt△PBC中,BC=400米,∠PBC=60°,∴PB=cs 60°·BC=200(米),PC=sin 60°·BC=200 (米),∴AP=CM=DN=400+200=600(米),在Rt△DEN中,∠NDE=45°,∴DN=NE=600米,∴AE=AM+MN+NE=200 +300+600=200 +900≈1 246(米).答:AE的长约为1 246米.
(2)在Rt△DEN中,∠NDE=45°,DN=NE=600米,∴DE= DN=600 (米).在Rt△AEF中,∠EAF=30°,AE=(200 +900)米,∴EF=tan 30°·AE=(200+300 )米,∴AF=2EF=(400+600 )米,所以小明所走的总路程为AB+BC+CD+DE=400+400+300+6 00 ≈1 948.4(米),所用的时间为1 948.4÷80+6≈30.4(分),爷爷所走的总路程为AF+EF=600+900 ≈2 158.8(米),所用的时间为2 158.8÷70≈30.8(分),
由于30.4<30.8,所以小明先到公园.
八、(本题满分14分)23.如图,某大楼的顶部竖有一块广告牌CD,小明在山坡的坡 脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°.沿坡面AB向上走到B 处测得广告牌顶部C的仰角为45°,已知山坡AB的坡度i=1∶ ,AB=16米,AE=24米.(1)求点B距水平面AE的高度BH;(2)求广告牌CD的高度.(测角器的高度忽略不计,结果精确到 0.1米,参考数据: ≈1.414, ≈1.732)
解析 (1)Rt△ABH中,tan∠BAH= = ,∴∠BAH=30°,∴BH= AB=8米.(2)如图,过B作BG⊥DE于G,
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)1.在Rt△ABC中,如果各边的长度同时缩小为原来的 ,那么锐角A的正弦值和余弦值 ( )A.都不变 B.都缩小为原来的 C.都扩大为原来的2倍 D.不能确定
解析 ∵锐角A的正弦值和余弦值只与锐角A的大小有关,∴ 边长同时缩小为原来的 对于锐角A的正弦值和余弦值没有影响,∴锐角A的正弦值和余弦值没有改变.故选A.
2.若α为锐角,且tan α= ,则有 ( )A.0°<α<30° B.30°<α<45°C.45°<α<60° D.60°<α<90°
解析 ∵tan 45°=1,tan 60°= ,α为锐角,α越大,正切值越大,1< < ,∴45°<α<60°.故选C.
3.(2024河南周口沈丘期末)已知α为锐角,sin α=cs 50°,则α等 于 ( )A.20° B.30° C.40° D.50°
解析 ∵sin α=cs 50°,∴α=90°-50°=40°.故选C.
4.(设参法)(2024安徽合肥庐阳期末)在△ABC中,∠C=90°,tan A=2,则cs A的值为 ( )A. B. C. D.2
解析 在△ABC中,∠C=90°,设∠A、∠B、∠C的对边分别 为a、b、c,由于tan A=2= ,不妨设b=k,则a=2k,由勾股定理得,c= = k,所以cs A= = = ,故选A.
5.(2023安徽阜阳质检)下列运算中,值为 的是 ( )A.sin 45°×cs 45° B.tan 45°-cs230°C. D.(tan 60°)-1
解析 sin 45°×cs 45°= × = ,故A不符合题意;tan 45°-cs230°=1- =1- = ,故B符合题意; = = ,故C不符合题意;(tan 60°)-1=( )-1= ,故D不符合题意.
6.(2024安徽合肥肥西期末)小明沿着坡比为1∶ 的山坡向上走了300 m,则他现在距离水平地面的高度为 ( )A.100 m B.150 mC.100 m D.100 m
水平地面的高度为150 m.故选B.
解析 如图,小明现在在点B处,过点B作BE⊥AC于点E,∵坡 比为1∶ ,∴tan∠A=1∶ = ,
∴∠A=30°.∵AB=300 m,∴BE= AB=150(m).∴他现在距离
7.(2023安徽六安汇文中学期末)如图,△ABC的三个顶点都在 方格纸的格点上,则sin∠CAB=(M9123001)( )A. B. C. D.
如图,作CD⊥AB,交AB的延长线于D,不妨设小正方形的边长均 为1,由勾股定理,得AC= = =2 ,∴在Rt△ADC中,sin∠CAD= = = ,故选D.
8.(新考法)(2023安徽六安霍邱期末)一配电房的示意图如图, 它是一个轴对称图形.已知BC=6 m,∠ABC=α,则房顶A离地 面EF的高度为( )A. m B. mC. m D. m
解析 过点A作AD⊥BC于点D,如图,∵该图形是一个轴对称图形,∴AB=AC.∵AD⊥BC,∴BD= BC=3 m,在Rt△ADB中,∵tan∠ABC= ,∴AD=BD·tan α=3tan α m.∴房顶A离地面EF的高度=AD+BE=(4+3tan α)m,故选B.
9.(2023安徽滁州定远县育才学校期末)如图,在△ABC中,∠ BAC=60°,∠B=45°,BC=6 ,AD平分∠BAC交BC于点D,则线段AD的长为 ( )A.6 B.12C.6 D.6
解析 如图,过点C作CE⊥AB,垂足为E,在Rt△BCE中,∠B=45°,BC=6 ,∴CE=BC·sin 45°=6 × =6 .在Rt△ACE中,∠BAC=60°,∴AC= = =12.∵AD平分∠BAC,∴∠DAB= ∠CAB=30°,∴∠ADC=∠DAB+∠B=75°.∵∠ACD=180°-∠CAB-∠B= 75°,∴∠ACD=∠ADC,∴AC=AD=12,故选B.
10.(2023山东德州临邑二模)如图,斜坡AP的坡比为1∶2.4,在 坡顶A处的水平面上有一座古塔BC,在斜坡底P处测得塔顶B 的仰角为45°,在坡顶A处测得塔顶B的仰角∠BAC为76°,坡顶 A到塔底C处的距离为7米,则斜坡AP的长度约为 (点P、A、B、C、Q在同一平面内,sin 76°≈0.97,cs 76°≈0. 24,tan 76°≈4.0) ( )A.24米 B.26米 C.28米 D.39米
解析 如图,过点A作AH⊥PQ,垂足为点H,延长BC交PQ于点 D,∵BC⊥AC,AC∥PQ,∴BD⊥PQ.∴四边形AHDC是矩形,∴ CD=AH,AC=DH.∵∠BPD=45°,∴PD=BD.在Rt△ABC中,tan 76°= ,AC=7米,∴BC≈28(米).∵斜坡AP的坡比为1∶2.4,∴ = ,设AH=5k米,则PH=12k米,由勾股定理,得AP=13k米.∵PH+HD=BC+CD,∴12k+7=5k+28,解得k=3,∴AP=13k=3 9(米).故选D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)11.(2024安徽六安霍邱期末)如果α为锐角,cs α= ,则α= .
解析 ∵cs α= ,α为锐角,∴α=30°.
12.(新独家原创)如图,A(2,a)在二次函数y=x2-3x的图象上,AB ⊥x轴于B,则tan∠AOB的值为 .
解析 ∵点A(2,a)在二次函数y=x2-3x的图象上,∴a=22-3×2=- 2,∵AB⊥x轴于B,∴OB=2,AB=2,∴tan∠AOB= =1.
13.(2021江苏南通中考)如图,一艘轮船位于灯塔P的南偏东6 0°方向,距离灯塔50海里的A处,它沿正北方向航行一段时间 后,到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处,此时B处与灯 塔P的距离为 海里(结果保留根号).
解析 过P作PC⊥AB于C,如图.由题意,得∠APC=30°,∠BPC =45°,PA=50海里,在Rt△APC中,cs∠APC= ,∴PC=PA·cs∠APC=50× =25 (海里).在Rt△PCB中,cs∠BPC= ,∴PB= = =25 (海里).
14.(2022安徽安庆潜山期末)如图,△ABC中,过点B作BD⊥ AB,交AC于点D,且AD∶CD=4∶3,∠ABC=150°.(1)BD∶BC= ;(2)若AB=4,则△ABC的面积是 .
解析 (1)过点C作CE⊥AB,交AB的延长线于点E,如图.∵∠ ABC=150°,∴∠CBE=180°-∠ABC=30°,设CE为a,则BC为2a. ∵BD⊥AB,CE⊥AE,∴∠ABD=∠AEC=90°.∵∠A=∠A,∴△ ABD∽△AEC,∴ = ,∴ = ,∴BD= a,∴ = = .(2)由(1)得,△ABD∽△AEC,∴ = ,∴ = ,∴AE=7,∴BE=AE-AB=7-4=3.在Rt△BEC中,CE=BEtan 30°=3× = ,∴△ABC的面积= AB·CE= ×4× =2 .
三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)15.(2024安徽合肥包河期末)计算:(-1)2 023+2sin 45°-cs 30°+ sin 60°.(M9123002)
解析 原式=-1+2× - + = -1.
16.(等角代换法)如图,矩形ABCD中,AB=10,BC=8,E为AD边 上一点,沿CE将△CDE折叠,使点D正好落在AB边上的点F处, 求tan∠AFE的值.
解析 由题意得,∠AFE+∠EFC+∠BFC=180°,根据折叠的性质得,∠EFC=∠EDC=90°,即∠AFE+∠BFC=90°.在Rt△BCF中,∠BCF+∠BFC=90°,∴∠AFE=∠BCF.根据折叠的性质,有CF=CD,∵BC=8,CF=CD=10,∴由勾股定理,得BF=6,
∴tan∠BCF= = .∴tan∠AFE=tan∠BCF= .
四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)17.(2024广西崇左江州期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,tan A = ,∠ABC的平分线BD交AC于点D,CD=2 ,求BC,AB的长及△ABC的面积.
解析 在Rt△ABC中,∠C=90°,tan A= ,∴∠A=30°,∴∠ABC=60°.∵BD是∠ABC的平分线,∴∠CBD =∠ABD=30°,∵CD=2 ,∴在Rt△BCD中,BC= =6.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,∴AB= =12,AC= =6 ,∴△ABC的面积= ×6×6 =18 .
18.(教材变式·P138T6)(2024安徽亳州利辛期末)如图所示,小 山的顶部是一块平地,在这块平地上有一高压输电的铁架 AE,∠B=30°,斜坡BC的长是40米,在山坡的坡顶C处测得铁架 顶端A的仰角为60°,AC=30米,求铁架顶端A到地平面的高度 AD.( ≈1.732,结果精确到0.1米)
解析 如图,过点C作CF⊥BD于F,由题意可知CF=ED,∵∠CBF=30°, ∴CF= BC=20 m=ED.∵∠ACE=60°,AC=30 m,∴AE=AC·sin 60°= ×30=15 (m),∴AD=15 +20≈46.0(m).答:铁架顶端A到地平面的高度AD约为46.0米.
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)19.(2024安徽合肥肥东期末)学校科技创新社团制作了一种 固定翼飞机的机翼模型,形状如图所示.测得AD=50 cm,CD=10 cm,∠A=53.3°,∠ABC=111.8°,AB∥DC,求AB边的长.(参考 数据:sin 53.3°≈0.80,cs 53.3°≈0.60,tan 53.3°≈1.34,sin 68.2°≈0.93,cs 68.2°≈0.37,tan 68.2°≈2.50)
解析 作CE⊥AE,DF⊥AF,分别交AB的延长线于点E,F,如 图,在Rt△ADF中,AD=50 cm,∠A=53.3°,∴DF=AD×sin 53.3°≈40 cm,FA=AD×cs 53.3°≈30 cm.∵∠AFD=∠FEC=90°,∴DF∥EC,∵AB∥CD,∴四边形CDFE是平行四边形,∴四边形CDFE是矩形,∴CE=DF=40 cm,在Rt△BCE中,CE=40 cm,∠CBE=180°-∠ABC=68.2°,
∴BE= ≈16 cm,∴AB=AF+CD-BE=24 cm.答:AB边的长约为24 cm.
20.(化斜为直法)(2024安徽池州青阳期末)如图,在△ABC中, AB=AC=10,sin B= .(M9123004)(1)求边BC的长度;(2)求cs A的值.
解析 (1)如图,过点A作AD⊥BC于点D,∵AB=AC=10,∴BC=2BD.在Rt△ABD中,∵sin∠ABC= = ,∴AD=ABsin∠ABC=10× =8,∴BD= = =6,则BC=2BD=12.(2)如图,过B作BH⊥AC于H,
∵S△ABC= AC·BH= BC·AD,∴BH= = = ,∴AH= = = ,∴在Rt△ABH中,cs∠BAC= = = .
21.(情境题·生命安全与健康)某校为检测师生体温,在校门安 装了某型号测温门,如图,已知测温门AD的顶部A距地面2.2 m.某数学兴趣小组为了解测温门的有效测温区间,做了如下 实践:身高为1.6 m的组员站在地面N处时测温门开始显示额 头温度,此时在额头B处测得A的仰角为20°,该组员站在地面 M处时,测温门停止显示额头温度,此时在额头C处测得A的仰 角为60°.求有效测温区间MN的长度.(参考数据:sin 20°≈0.34,cs 20°≈0.94,tan 20°≈0.36, ≈1.73,额头到地面的距离以身高计,计算结果精确到0.1 m)
六、(本题满分12分)
解析 如图,延长BC交AD于点E,则DE=CM=BN=1.6 m,BC=MN,∠AEB=90°,∵AD=2.2 m,
∴AE=AD-DE=2.2-1.6=0.6(m),在Rt△ACE中,∠ACE=60°,∴CE= = ≈0.35(m),在Rt△ABE中,∠ABE=20°,∴BE= ≈ ≈1.67(m),∴MN=BC=BE-CE=1.67-0.35≈1.3(m),∴有效测温区间MN的长度约为1.3 m.
七、(本题满分12分)22.(2024重庆一中期末)小明从家A步行前往公园E,已知点E 在点A的正东方向,但是由于道路AE施工,小明先沿正北方向 走了400米到达B处,再从B处沿北偏东60°方向行走400米到 达C处,从C处沿正东方向走了300米到达D处,在D处休息了6 分钟,最终沿D→E方向到达E处,已知点E在点D的南偏东45° 方向.小明从家出发的同时,爷爷从家选择另一路线A→F→E 步行前往E处,已知点F在点A的南偏东60°方向,且点F在点E 的正南方向.(参考数据: ≈1.414, ≈1.732)(M9123005)(1)求AE的长度(结果精确到1米).
(2)已知小明步行速度为80米/分钟,爷爷步行速度为70米/分 钟,小明和爷爷始终保持匀速行驶,请计算说明小明和爷爷谁 先到达公园.
解析 (1)如图,作CP⊥AB交AB的延长线于P,CM⊥AE于M, DN⊥AE于N,由题意可知,AB=BC=400米,CD=300米,∠PBC= 60°,∠NDE=45°,在Rt△PBC中,BC=400米,∠PBC=60°,∴PB=cs 60°·BC=200(米),PC=sin 60°·BC=200 (米),∴AP=CM=DN=400+200=600(米),在Rt△DEN中,∠NDE=45°,∴DN=NE=600米,∴AE=AM+MN+NE=200 +300+600=200 +900≈1 246(米).答:AE的长约为1 246米.
(2)在Rt△DEN中,∠NDE=45°,DN=NE=600米,∴DE= DN=600 (米).在Rt△AEF中,∠EAF=30°,AE=(200 +900)米,∴EF=tan 30°·AE=(200+300 )米,∴AF=2EF=(400+600 )米,所以小明所走的总路程为AB+BC+CD+DE=400+400+300+6 00 ≈1 948.4(米),所用的时间为1 948.4÷80+6≈30.4(分),爷爷所走的总路程为AF+EF=600+900 ≈2 158.8(米),所用的时间为2 158.8÷70≈30.8(分),
由于30.4<30.8,所以小明先到公园.
八、(本题满分14分)23.如图,某大楼的顶部竖有一块广告牌CD,小明在山坡的坡 脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°.沿坡面AB向上走到B 处测得广告牌顶部C的仰角为45°,已知山坡AB的坡度i=1∶ ,AB=16米,AE=24米.(1)求点B距水平面AE的高度BH;(2)求广告牌CD的高度.(测角器的高度忽略不计,结果精确到 0.1米,参考数据: ≈1.414, ≈1.732)
解析 (1)Rt△ABH中,tan∠BAH= = ,∴∠BAH=30°,∴BH= AB=8米.(2)如图,过B作BG⊥DE于G,
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