沪科版23.2解直角三角形及其应用练习

这是一份沪科版23.2解直角三角形及其应用练习，文件包含2321解直角三角形原卷版doc、2321解直角三角形解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共12页， 欢迎下载使用。

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一、选择题
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，sinA＝eq \f(3,5)，则斜边上的高为( )
A.eq \f(64,25) B.eq \f(48,25) C.eq \f(16,5) D.eq \f(12,5)
解析：由题意可知BC＝3，则AC＝eq \r(AB2－BC2)＝4，∴斜边上的高为eq \f(3×4,5)＝eq \f(12,5).故选D
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，AC＝8，BC＝6，则∠ACD的正切值是( )
A.eq \f(4,3) B.eq \f(3,5) C.eq \f(5,3) D.eq \f(3,4)

解析：∵在Rt△ABC中，CD是AB边上的中线，
∴CD＝AD，∴∠A＝∠ACD.
∵∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，
∴tanA＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(6,8)＝eq \f(3,4)，∴tan∠ACD的值为eq \f(3,4).故选D.
3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是( )
A.eq \f(4 \r(3),3) B．4 C．8 eq \r(3) D．4 eq \r(3)
解析：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，
∴csB＝eq \f(BC,AB)，即cs30°＝eq \f(BC,8)，∴BC＝8×eq \f(\r(3),2)＝4 eq \r(3).故选D.
4.已知等腰三角形的腰长为2 eq \r(3)，底边长为6，则底角的度数为( )
A．30° B．45° C．60° D．120°
解析：如图，在△ABC中，AB＝AC＝2 eq \r(3)，BC＝6，过点A作AD⊥BC于点D，则BD＝3.在Rt△ABD中，csB＝eq \f(BD,AB)＝eq \f(3,2 \r(3))＝eq \f(\r(3),2)，∴∠B＝30°，即等腰三角形的底角为30°.
5.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，且BE＝2AE，已知AD＝3 eq \r(3)，tan∠BCE＝eq \f(\r(3),3)，那么CE的长等于( )
A．2 eq \r(3) B．3 eq \r(3)－2
C．5 eq \r(2) D．4 eq \r(3)
解析：∵tan∠BCE＝eq \f(\r(3),3)，∴∠BCE＝30°，∴∠B＝90°－∠BCE＝60°.在Rt△ABD中，AD＝3 eq \r(3)，∴BD＝eq \f(AD,tanB)＝3，∴AB＝6.∵BE＝2AE，∴BE＝4，AE＝2.在Rt△BEC中，BE＝4，∠BCE＝30°，∴CE＝4 eq \r(3).
6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，则BC的长为( )．
A．7sin35° B． C．7cs35° D．7tan35°
解析：在Rt△ABC中，．∴BC＝ABcsB＝7cs 35°．故选C
二、填空题
8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过点D作AB的垂线交AC于点E，BC＝6，sinA＝eq \f(3,5)，则DE＝________．
解析：∵BC＝6，sinA＝eq \f(3,5)，
∴AB＝6÷eq \f(3,5)＝10，因此AC＝8.
由于D是AB的中点，故AD＝5.
根据三角形相似得出DE＝eq \f(BC·AD,AC)＝eq \f(6×5,8)＝eq \f(15,4).
9.在△ABC中，AB＝8，∠B＝30°，AC＝5，则BC＝________．
解析：由于∠C可能是锐角也可能是钝角，因此要分类求解．如图，过点A作BC边的垂线，设垂足为D.首先在Rt△ABD中，求出AD的长，进而可在两个直角三角形中求出CD，BD的长．答案：4 eq \r(3)±3
三、解答题
10.如图，AC⊥BC于点C，点D在BC上，cs∠ADC＝eq \f(4,5)，tanB＝eq \f(\r(3),3)，AD＝10，求AC和BD的长．
解析：在Rt△ACD中，CD＝cs∠ADC·AD＝eq \f(4,5)×10＝8，
则AC＝eq \r(AD2－CD2)＝eq \r(102－82)＝6.
在Rt△ACB中，BC＝eq \f(AC,tanB)＝6 eq \r(3).
故BD＝BC－CD＝6 eq \r(3)－8.

11.如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝BC＝15 cm，CD＝3 eq \r(2) cm，请据此解答如下问题：
（1）求四边形ABCD的周长和面积(结果保留整数．参考数据：eq \r(2)≈1.41，eq \r(3)≈1.73，eq \r(6)≈2.45)；
（2）求∠ACD的余弦值．
解析：(1)∵AB＝BC＝15 cm，∠B＝90°，
∴AC＝15 eq \r(2) cm.
又∵∠D＝90°，
∴AD＝eq \r(AC2－CD2)＝eq \r(（15 \r(2)）2－（3 \r(2)）2)＝12 eq \r(3)(cm)，
∴四边形ABCD的周长＝AB＋BC＋CD＋DA＝30＋3 eq \r(2)＋12 eq \r(3)≈30＋4.23＋20.76≈55(cm)．
四边形ABCD的面积＝S△ABC＋S△ADC＝eq \f(1,2)×15×15＋eq \f(1,2)×12 eq \r(3)×3 eq \r(2)＝eq \f(225,2)＋18 eq \r(6)≈157(cm2)．
(2)cs∠ACD＝eq \f(CD,AC)＝eq \f(3 \r(2),15 \r(2))＝eq \f(1,5).
12 . 如图，已知 tanC＝eq \f(4,3)，点P在边CA上，CP＝5，点M，N在边CB上，PM＝PN.若MN＝2，求PM的长．
解析：如图，过点P作PD⊥MN于点D.
∵tanC＝eq \f(PD,CD)＝eq \f(4,3)，
∴设PD＝4x，则CD＝3x.
∵CP＝5，
∴由勾股定理，得(3x)2＋(4x)2＝52，
解得x＝1或x＝－1(舍去)，∴PD＝4.
∵MN＝2，PM＝PN，PD⊥MN，∴MD＝1，
∴PM＝eq \r(42＋12)＝eq \r(17).
13.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，csC＝eq \f(\r(2),2)，sinB＝eq \f(1,3)，AD＝1.
（1）求BC的长；
（2）求tan∠DAE的值．
解析：（1）在△ABC中，∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
∵csC＝eq \f(\r(2),2)，
∴∠C＝45°.
在△ADC中，∵∠ADC＝90°，AD＝1，∠C＝45°，∴CD＝AD＝1.
在△ADB中，∵∠ADB＝90°，sinB＝eq \f(AD,AB)＝eq \f(1,3)，AD＝1，∴AB＝eq \f(AD,sinB)＝3，
∴BD＝eq \r(AB2－AD2)＝2 eq \r(2)，
∴BC＝BD＋CD＝2 eq \r(2)＋1.
（2）∵AE是BC边上的中线，
∴CE＝eq \f(1,2)BC＝eq \r(2)＋eq \f(1,2)，
∴DE＝CE－CD＝eq \r(2)－eq \f(1,2)，
∴tan∠DAE＝eq \f(DE,AD)＝eq \r(2)－eq \f(1,2).
能力提升 思维拓展 探究重点
1.我们知道：sin30°＝eq \f(1,2)，cs30°＝eq \f(\r(3),2)，可得sin230°＋cs230°＝eq \f(1,4)＋eq \f(3,4)＝1，那么对于任意的锐角A，是否都有sin2A＋cs2A＝1呢？
（1）如图34－K－10所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，可得sinA＝eq \f(a,c)，csA＝eq \f(b,c)，求证：sin2A＋cs2A＝1；
（2）若已知sinA＝eq \f(\r(2),3)，利用(1)的结论求csA的值；
（3）用以上探究的方法你能得出sinA，csA，tanA三者之间的关系吗？请直接写出答案．

解析：（1）证明：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴a2＋b2＝c2.
又∵sinA＝eq \f(a,c)，csA＝eq \f(b,c)，
∴sin2A＋cs2A＝(eq \f(a,c))2＋(eq \f(b,c))2＝eq \f(a2＋b2,c2)＝1.
（2）∵sin2A＋cs2A＝1，sinA＝eq \f(\r(2),3)，
∴cs2A＝1－(eq \f(\r(2),3))2＝eq \f(7,9)，
∴csA＝eq \f(\r(7),3)(锐角的正弦、余弦都是正数)．
（3）∵sinA＝eq \f(a,c)，csA＝eq \f(b,c)，tanA＝eq \f(a,b)，
∴csA·tanA＝eq \f(b,c)·eq \f(a,b)＝eq \f(a,c)＝sinA，
即sinA＝csA·tanA.
2.一副三角尺按图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝12 eq \r(2)，求CD的长．
解析：如图，过点B作BM⊥FD于点M.
在△ACB中，∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，
AC＝12 eq \r(2)，∴BC＝AC＝12 eq \r(2).
∵AB∥CF，∴∠BCM＝∠ABC＝45°，
∴BM＝BC·sin45°＝12 eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝12，
∴CM＝BM＝12.
在△EFD中，∵∠F＝90°，∠E＝30°，
∴∠EDF＝60°，∴MD＝eq \f(BM,tan60°)＝4 eq \r(3)，
∴CD＝CM－MD＝12－4 eq \r(3).