人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式第4课时学案及答案

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1．基本不等式：ab≤a+b2
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0．
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)其中，a+b2叫做正数a，b的算术平均数，ab叫做正数a，b的几何平均数．
2．利用基本不等式求最值
已知x>0，y>0，则
(1)x＋y≥2xy，若xy等于定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2p(简记：积定和最小)．
(2)xy≤x+y22，若x＋y等于定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值q24(简记：和定积最大)．
提醒：利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”．
[常用结论]
几个重要的不等式
1a2+b2≥2aba，b∈R； 2ba+ab≥2a，b同号且均不为零；3ab≤a+b22a，b∈R； 4a+b22≤a2+b22a，b∈R． 当且仅当a＝b时等号成立．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与a+b2≥ab成立的条件是相同的．( )
(2)若a>0，则a3＋1a2的最小值为2a．( )
(3)函数f (x)＝sin x＋4sinx，x∈(0，π)的最小值为4．( )
(4)“x＞0且y＞0”是“xy+yx≥2”的充要条件．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第一册P45例2改编)设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( )
A．80 B．77
C．81 D．82
C [xy≤x+y22＝81，当且仅当x＝y＝9时，等号成立．故选C.]
2．(人教A版必修第一册P48习题2.2T1(1)改编)已知x>2，则x＋1x−2的最小值是( )
A．1 B．2
C．22 D．4
D [∵x>2，∴x＋1x−2＝x－2＋1x−2＋2≥2x−2·1x−2＋2＝4，当且仅当x－2＝1x−2，即x＝3时，等号成立．故选D.]
3．(多选)(人教A版必修第一册P46练习T2改编)若a，b∈R，则下列不等式成立的是( )
A．ba+ab≥2 B．ab≤a2+b22
C．a2+b22≥a+b22 D．2aba+b≤ab
BC [当ba0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．
6 [法一(换元消元法)：
由已知得x＋3y＝9－xy，
∵x>0，y>0，
∴x＋3y≥23xy，
∴3xy≤x+3y22，
当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，
∴x＋3y＋13 x+3y22≥9，
即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，
令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0，
解得t≥6，即x＋3y的最小值为6.
法二(代入消元法)：
由x＋3y＋xy＝9，得x＝9−3y1+y，
∴x＋3y＝9−3y1+y＋3y＝9−3y+3y1+y1+y
＝9+3y21+y＝31+y2−61+y+121+y
＝3(1＋y)＋121+y－6≥231+y·121+y－6
＝12－6＝6，
当且仅当3(1＋y)＝121+y，即x＝3，y＝1时等号成立，
∴x＋3y的最小值为6．]
【教师备选资源】
若x＞0，y＞0且x＋y＝xy，则xx−1+2yy−1的最小值为________．
3＋22 [因为x＞0，y＞0且x＋y＝xy，
则xy＝x＋y＞y，即有x＞1，同理y＞1，
由x＋y＝xy得，(x－1)(y－1)＝1，
于是得xx−1+2yy−1＝1＋1x−1＋2＋2y−1＝3＋1x−1+2y−1≥3＋21x−1·2y−1
＝3＋22，当且仅当1x−1＝2y−1，
即x＝1＋22，y＝1＋2时取“＝”，
所以xx−1+2yy−1的最小值为3＋22.]
1．利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式，常用手段有添加项、拆项、调整参数、分离参数等．
2．常数代换法，主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求ax+by的最值”的问题，先将ax+by转化为ax+by·x+yt，再用基本不等式求最值．
3．当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值．
4．构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解．
[跟进训练]
1．(1)(多选)(2024·河北沧州模拟)下列函数中，函数的最小值为4的是( )
A．y＝x(4－x)
B．y＝x2+9x2+5
C．y＝1x+11−x(0＜x＜1)
D．y＝x+4x
(2)(2024·重庆巴蜀中学模拟)已知x>0，y>0，且xy＋x－2y＝4，则2x＋y的最小值是( )
A．4 B．5
C．7 D．9
(3)若实数x>1，y>12且x＋2y＝3，则1x−1+12y−1的最小值为________．
(1)CD (2)C (3)4 [(1)y＝x(4－x)≤x+4−x22＝4，A错误； y＝x2+9x2+5＝x2+5+4x2+5，而x2+5＝4x2+5无解，B错误；
∵x(1－x)≤x+1−x22＝14，
∴y＝1x +11−x＝1x1−x≥4，
当且仅当x＝1－x，即x＝12时取等号，C正确；
y＝x+4x＝x+4x≥2x·4x＝4，当且仅当x＝2时取等号，D正确．故选CD.
(2)因为xy＋x－2y＝4，故(y＋1)x＝4＋2y，
即x＝2y+2+2y+1＝2＋2y+1，
故2x＋y＝4＋4y+1＋y＋1－1≥4＋24y+1·y+1－1＝7，当且仅当4y+1＝y＋1，即x＝3，y＝1时取等号．故选C.
(3)令x－1＝m，2y－1＝n，
则m>0，n>0且m＋n＝x－1＋2y－1＝1，
∴1x−1+12y−1＝1m+1n＝1m+1n(m＋n)
＝2＋nm+mn≥2＋2＝4，
当且仅当nm＝mn，即m＝n＝12，x＝32，y＝34时取“＝”．
∴1x−1+12y−1的最小值为4．]
考点二 基本不等式的常见变形应用
[典例4] (多选)(2023·广东汕头三模)若a＞0，b＞0，a＋b＝4，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是( )
A．ab≤2 B．a+b≤2
C．a23＋b2≥4 D．1a+1b≥1
ACD [对于A，a＞0，b＞0，a＋b≥2ab，即ab≤a+b2＝2，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以A正确；
对于B，a＞0，b＞0，(a+b)2＝a＋b＋2ab＝4＋2ab≤4＋2×2＝8，
又a+b＞0，则a+b≤22，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以B错误；
对于C，a＋b＝4，b＝4－a＞0，所以0＜a＜4，
则a23＋b2＝a23＋(4－a)2＝4a23－8a＋16＝43(a－3)2＋4≥4，并且a＝3时等号成立，所以C正确；
对于D，a＞0，b＞0，a＋b＝4，所以a+b4＝1，
则1a+1b＝1a+1b·a+b4＝14×2+ba+ab≥14×2+2ba·ab＝1，
当且仅当ba＝ab，即a＝b＝2时等号成立，所以D正确．
故选ACD.]
基本不等式的常见变形
(1)ab≤a+b22≤a2+b22(a∈R，b∈R)．
(2)21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22(a>0，b>0)．
[跟进训练]
2．(1)(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若实数x，y满足x2＋y2－xy＝1，则( )
A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2
C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1
(2)当12＜x＜52时，函数y＝2x−1+5−2x的最大值为________．
(1)BC (2)22 [(1)由x2＋y2－xy＝1，可得(x＋y)2－3xy＝1，而xy≤x+y24，
即1＝(x＋y)2－3xy≥(x＋y)2－3x+y24＝x+y24，
∴(x＋y)2≤4，∴－2≤x＋y≤2，故A错误，B正确；
由x2＋y2－xy＝1，得x2＋y2－1＝xy≤x2+y22，
∴x2＋y2≤2，故C正确，对于D选项，当x＝33，y＝－33时，满足题设条件，但x2＋y2＝23，D错误．故选BC.
(2)由a+b2≤a2+b22，得a＋b≤2a2+b22，
则y＝2x−1+5−2x≤22x−1+5−2x2＝22，
当且仅当2x−1＝5−2x，即x＝32时等号成立．
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(2024·佛山模拟)若m>n>1，a＝lnm·lnn，b＝12(ln m＋ln n)，c＝ln m+n2，则( )
A．aln mn＝12ln (mn)＝12(ln m＋ln n)，∴c>b，∴c>b>a.故选A.]
考点三 基本不等式的实际应用
[典例5] (2024·山东威海期末)某水产公司拟在养殖室修建三个形状、大小完全相同的长方体育苗池，其平面图如图所示．每个育苗池的底面面积为200 m2，深度为2米，育苗池的四周均设计为2米宽的甬路．设育苗池底面的一条边长为x m(10≤x≤20)，甬路的面积为S m2.
(1)求S与x之间的函数关系式；
(2)已知育苗池四壁的造价为200元/平方米，池底的造价为600元/平方米，甬路的造价为100元/平方米，若不考虑其他费用，求x为何值时，总造价最低，并求最低造价．
[解] (1)由题意可得每个育苗池底面的另一边长为200x m，
则S＝(x＋4)3×200x+2×4－600＝8x＋2 400x＋32，10≤x≤20.
(2)设总造价为w元，则w＝200×26x+1 200x＋600×3×200＋100S
＝2 400x＋480 000x＋360 000＋800x＋240 000x＋3 200
＝3 200x＋720 000x＋363 200，10≤x≤20，
其中3 200x＋720 000x≥23 200x·720 000x＝96 000，
当且仅当3 200x＝720 000x，即x＝15∈[10，20]时，等号成立，故w＝3 200x＋720 000x＋363 200≥459 200，
所以当x＝15 m时，总造价最低，最低总造价为459 200元．
利用基本不等式解决实际问题的注意点
(1)设变量时，一般把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(2)解题时，一定要注意变量的实际意义对变量取值范围的影响．
(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解，如利用f (x)＝x＋ax(a＞0)的单调性．
(4)在实际问题中利用基本不等式求最值，必须指明等号成立的条件．
[跟进训练]
3．(1)单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，“道路容量”与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关．假设某条道路1 h通过的车辆数N满足关系N＝1 000v0.7v+0.3v2+d0，其中d0(单位：m)为安全距离，v为车速(m/s)．当安全距离d0取30 m时，该道路1 h“道路容量”的最大值约为( )
A．135 B．149 C．165 D．195
(2)(2023·浙江温州三模)某公司计划租地建仓库，已知每月土地费用与仓库到车站的距离成反比，每月货物的运输费用与仓库到车站的距离成正比．经测算，若在距离车站10 km处建仓库，则每月的土地费用与运输费用分别为2万元和8万元．要使每月的两项费用之和最小，仓库和车站的距离应为( )
A．4 km B．5 km
C．6 km D．7 km
(1)B (2)B [(1)由题意得，
N＝1 000v0.7v+0.3v2+30＝1 0000.7+0.3v+30v≤1 0000.7+20.3×30≈149，当且仅当0.3v＝30v，即v＝10时取“＝”，所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149.故选B.
(2)设仓库到车站距离为x，每月土地费用为y1，每月货物的运输费用为y2，
由题意可设y1＝k1x，y2＝k2x，
把x＝10，y1＝2与x＝10，y2＝8分别代入上式得k1＝20，k2＝45，所以y1＝20x，y2＝45x，
费用之和y＝y1＋y2＝20x+45x≥220x·4x5＝8，
当且仅当20x＝45x，即x＝5时等号成立．
所以当仓库建在离车站5 km处时，两项费用之和最小．故选B.]
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1．如果一个直角三角形的斜边长等于22，则当这个直角三角形周长取最大值时，其面积为( )
A．2 B．1
C．2 D．6
C [设该直角三角形的斜边为c＝22，直角边为a，b，则a2＋b2＝c2＝8，
因为2ab≤a2＋b2，所以a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)，即(a＋b)2≤16，当且仅当a＝b，且a2＋b2＝8，即a＝b＝2时，等号成立．
因为a>0，b>0，所以a＋b≤4，所以a＋b的最大值为4，这个直角三角形周长取最大值4＋22时，a＝b＝2，此时三角形的面积为12×2×2＝2.故选C.]
2．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．
30 [由题意得，一年购买600x次，则总运费与总存储费用之和为6·600x＋4x＝4900x+x≥8900x·x＝240(万元)，当且仅当x＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时，x的值是30．]
课时分层作业(四) 基本不等式
一、单项选择题
1．(2024·山东济南模拟)已知4a2＋b2＝6，则ab的最大值为( )
A．34 B．32
C．52 D．3
B [由题意得，6＝4a2＋b2＝(2a)2＋b2≥2·2a·b，即ab≤32，
当且仅当2a＝b，即a＝32，b＝3或a＝－32，b＝－3时等号成立，
所以ab的最大值为32.故选B.]
2．(2024·山西晋中期中)已知00，且ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围为________ ；a＋b的取值范围是________．
[9，＋∞) [6，＋∞) [因为a＞0，b>0，所以ab－3＝a＋b≥2ab，于是ab－2ab－3≥0，解得ab≤－1(舍去)或ab≥3，所以ab≥9，当且仅当a＝b＝3时，等号成立，所以ab的取值范围是[9，＋∞)．
因为a＞0，b>0，所以a＋b＋3＝ab ≤a+b22，
变形，得(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，解得a＋b≥6，当且仅当a＝b＝3时取等号，即a＋b的取值范围是[6，＋∞)．]
10．已知正实数x，y满足x＋y＝1，则x2＋y2的最小值为________；若1x+4y≥a恒成立，则实数a的取值范围是________．
12 (－∞，9] [因为x＋y＝1，所以xy≤x+y22＝14，
所以x2＋y2＝(x＋y)2－2xy≥1－14×2＝12，当且仅当x＝y＝12时取等号，即x2＋y2的最小值为12.
若a≤1x+4y恒成立，则a≤1x+4ymin，
因为1x +4y＝1x+4y(x＋y)＝5＋yx+4xy≥5＋2yx·4xy＝9，当且仅当2x＝y，即x＝13，y＝23时等号成立，所以1x+4y的最小值为9，即a≤9，
故实数a的取值范围是(－∞，9].]
四、解答题
11．某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm.当直角梯形的高为多少时，用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小)?
[解] 设直角梯形的高为x cm，
∵宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2，且海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm，
∴海报宽AD＝(x＋4)cm，海报长DC＝1 440x+8cm，
故S矩形ABCD＝AD·DC＝(x＋4)1 440x+8＝8x＋5 760x＋1 472≥28x·5 760x＋1 472＝1925＋1 472，
当且仅当8x＝5 760x，即x＝125时，等号成立．
∴当直角梯形的高为125 cm时，用纸量最少．
12．甲、乙两地相距1 000 km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80 km/h，已知货车每小时的运输成本(单位：元)由可变成本和固定成本组成，可变成本是v24(速度v的单位为km/h)元，固定成本为a元．
(1)将全程运输成本y(单位：元)表示为速度v(单位：km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？
[解] (1)由题意得，可变成本为14v2元，固定成本为a元，所用时间为1 000v小时，
所以y＝1 000v14v2+a＝1 00014v+av，定义域为(0，80].
(2)y＝1 00014v+av≥1 000×2a4＝1 000a，当14v＝av时，得v＝2a，因为01 800a1+xx，对任意的x∈[3，6]恒成立，故x+42x＞a1+xx，从而x+42x+1>a恒成立，
令x＋1＝t，x+42x+1＝t+32t＝t＋9t＋6，t∈[4，7].
令g(t)＝t＋9t＋6，则g(t)在t∈[4，7]上单调递增，故g(t)min＝12.25.
所以a的取值范围为(0，12.25)．
点拨：当f (x)＝x＋ax(a＞0)不能用基本不等式求最值(“＝”取不到)时，要用对勾函数的单调性