高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.5 全称量词与存在量词优秀习题

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知识点一
全称量词
1.短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题
2．全称命题的表述形式：对M中任意一个x，有p(x)成立，可简记为：∀x∈M，p(x).
3．常用的全称量词还有“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”，表示整体或全部的含义．
知识点二
存在量词
1.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示，含有存在量词的命题，叫做存在量词（特称）命题.
2．存在量词（特称）命题的表述形式：存在M中的一个x，使p(x)成立，可简记为，∃x∈M，p(x).
3．常用的存在量词：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”，表示个别或一部分的含义．
知识点三
全称命题的否定
全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定¬p：∃x∈M，¬p(x).
知识点四
存在量词（特称）命题的否定
存在量词（特称）命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x)
考点01 全称命题的判断
【典例1】【多选题】（2023·全国·高一课堂例题）下列语句是全称量词命题的是（ ）
A．对任意实数x，B．有一个实数a，a不能取对数
C．每一个向量都有方向吗D．等边三角形的三条边相等
【答案】AD
【分析】根据全称量词命题的定义逐个分析判断
【详解】ABD是命题，C不是命题，其中A中含有全称量词，所以是全称量词命题，B是存在量词命题，所以A正确，BC错误，
D中隐藏了全称量词“所有”，也是全称量词命题，所以D正确，
故选：AD
【典例2】【多选题】（2022秋·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）下列命题中，全称量词命题为（ ）
A．存在一个菱形，它的四条边不相等B．平行四边形的对角线互相平分
C．任何一个素数是奇数D．梯形有两边平行
【答案】BCD
【分析】根据全称量词命题的定义逐一判断即可.
【详解】对于A，命题“存在一个菱形，它的四条边不相等”，含有存在量词，
则命题为存在量词命题，故A不是；
对于B，命题可以换成“任意平行四边形的对角线互相平分”，
则命题为全称量词命题，故B是；
对于C，命题“任何一个素数是奇数”为全称量词命题，故C是；
对于D，命题可以换成“任意梯形有两边平行”，
则命题为全称量词命题，故D是.
故选：BCD.
【总结提升】
判断一个语句是全称命题还是特称命题的步骤：
1．首先判定语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称命题或特称命题．
2．若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量词的命题是特称命题．
3．当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质．
4．一个全称(或特称)命题往往有多种不同的表述方法，有时可能会省略全称(存在)量词，应结合具体问题多加体会．
考点02 存在量词（特称）命题的判断
【典例3】（2023·全国·高一假期作业）下列命题中是存在量词命题的是（ ）
A．平行四边形的对边相等B．同位角相等
C．任何实数都存在相反数D．存在实数没有倒数
【答案】D
【分析】利用全程量词和存在量词的定义，找出命题中对应的量词即可得出ABC为全称量词命题，D选项为存在量词命题.
【详解】根据全称量词和存在量词的定义可知，
A选项，“平行四边形的对边相等”是所有的平行四边形性质，是全称量词命题；
B选项，“同位角相等”是所有的同位角都相等，是全称量词命题；
C选项，“任何实数都存在相反数”中的“任意”是全称量词，故其为全称量词命题；
D选项，“存在实数没有倒数”中的“存在”为存在量词，其为存在量词命题.
故选：D
【典例4】【多选题】（2023·江苏·高一假期作业）下列语句是存在量词命题的是（ ）
A．有的无理数的平方是有理数
B．有的无理数的平方不是有理数
C．对于任意是奇数
D．存在是奇数
【答案】ABD
【分析】根据存在量词和全称量词即可
【详解】因为“有的”“存在”为存在量词，“任意”为全称量词，所以选项A、B、D均为存在量词命题，选项C为全称量词命题．
故选：ABD
考点03 判断全称命题、存在量词命题的真假
【典例5】（2023·全国·高一假期作业）下列命题中，是全称量词命题，且为真命题的是（ ）
A．B．菱形的两条对角线相等
C．D．一次函数的图象是直线
【答案】D
【分析】根据全称量词命题的特征,以及真命题即可结合选项求解.
【详解】对于A，为全称量词命题，但是，故是假命题，故A错误，
对于B，是全称量词命题，但是菱形的对角线不一定相等，故B错误，
对于C,是存在量词命题,故C错误，
对于D,既是全称量词命题也是真命题,故D正确，
故选：D
【典例6】【多选题】（2023春·新疆·高二统考期末）下列四个命题中假命题是（ ）
A．，B．，
C．，使D．，
【答案】ABD
【分析】根据全称命题与存在性命题的判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由，，所以A为假命题；
对于B中，当时，，所以B为假命题；
对于C中，当时，，所以C为真命题；
对于D中，由，解得，其中都为无理数，所以D为假命题.
故选：ABD.
【典例7】【多选题】（2023秋·高一课前预习）下列结论中正确的是（ ）
A．，能被2整除是真命题
B．，不能被2整除是真命题
C．，不能被2整除是真命题
D．，能被2整除是真命题
【答案】CD
【分析】由全称命题与特称命题的性质，举例说明命题的真假.
【详解】当时，不能被2整除，当时，能被2整除，
所以A、B错误，C、D正确．
故选：CD.
【总结提升】
1.全称命题的真假判断
要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可．
2．特称命题的真假判断
要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．
考点04 根据全称量词命题的真假求参数
【典例8】（2022秋·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先计算出，为真命题的充要条件，从而得到答案.
【详解】，，只需在上的最大值小于等于，
其中，故，解得，
因为，但，
所以是“，”为真命题的一个充分不必要条件，C正确；
其他三个选项均不是充分不必要条件.
故选：D
【典例9】（2023秋·高一课时练习）已知命题为假命题，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据条件，可得方程有实数根，再求出实数a的取值范围是即可.
【详解】题中的命题为全称量词命题，
因为其是假命题，所以其否定“”为真命题，
即关于x的方程有实数根．
所以或，即或且，所以 ，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：.
【总结提升】
应用全称命题与特称命题求参数范围的常见题型
1．全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以代入，也可以根据函数等数学知识来解决．
2．特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”、“不存在”、“是否存在”等语句表达．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．
考点05 根据存在量词命题的真假求参数
【典例10】（2023·江苏·高一假期作业）若命题为假命题，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据一元二次方程根的情况即可求解.
【详解】∵命题为假命题，∴方程无实数根．则，解得．
故答案为：
【典例11】（2023·全国·高一课堂例题）已知命题，为真命题，求实数a的取值范围．
【答案】
【分析】为真命题，即方程在范围内有实根，解得答案.
【详解】为真命题，即方程在范围内有实根，
故，故.
故实数a的取值范围为．
考点06 全称量词命题、存在量词命题的否定
【典例12】（2023春·四川眉山·高二校考阶段练习）已知命题：“，”，则为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】根据全称命题的否定，可得答案.
【详解】由命题：“，”，则其否定为“，”.
故选：D.
【典例13】（2023春·陕西榆林·高二校考阶段练习）命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】利用存在量词命题的否定是全称量词命题即可求解.
【详解】量词命题的否定是改变量词，否定结论，
故“，”的否定是“，”.
故选：D.
【总结提升】
含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．
对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．
考点07 判断命题否定的真假
【典例14】写出下列命题的否定，并判定真假．
(1)所有的矩形都是平行四边形；
(2)有些实数的绝对值是正数；
(3)某些平行四边形是菱形.
【答案】见解析.
【解析】分析：首先弄清楚是全称命题还是特称命题，再针对不同的形式从量词和结论两个方面加以否定．
(1)存在一个矩形不是平行四边形．假命题．
(2)所有实数的绝对值都不是正数．假命题．
(3)每一个平行四边形都不是菱形．假命题．
【典例15】（2023·全国·高一课堂例题）写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)，；
(2)，一次函数的图象经过原点；
(3)每一个素数都是奇数；
(4)某些平行四边形是菱形；
(5)可以被5整除的数，末位上是0．
【答案】(1)，；是假命题
(2)，一次函数图象不经过原点；是假命题
(3)存在一个素数不是奇数；是真命题
(4)每一个平行四边形都不是菱形；是假命题
(5)存在一个被5整除的数，末位上不是0；是真命题
【分析】根据存在量词命题与全称量词命题的否定逐一写出结果.
【详解】（1）命题的否定：，，是假命题．
（2）命题的否定：，一次函数图象不经过原点，是假命题．
（3）命题的否定：存在一个素数不是奇数，是真命题，比如2是素数但不是奇数．
（4）命题的否定：每一个平行四边形都不是菱形，是假命题．
（5）命题的否定：存在一个被5整除的数，末位上不是0，是真命题．
考点08 根据命题否定的真假求参数
【典例16】（2022秋·湖北黄冈·高一校考阶段练习）已知命题p：x∈{x|1A．a<1B．a>3C．a≤3D．a≥3
【答案】D
【分析】根据给定条件写出命题，再由全称量词命题是真命题即可得解.
【详解】因命题p：∃x∈{x|1又是真命题，即x∈{x|1x恒成立，于是得a≥3，
所以实数a的取值范围是a≥3.
故选：D
【典例17】（2023·宁夏银川·校考模拟预测）若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由原命题是假命题知它的否定命题是真命题，由此求出实数的取值范围．
【详解】“，”是假命题，
则它的否定命题：“，”是真命题；
所以,，恒成立，所以，
即实数的取值范围是．
故答案为：．
【典例18】（2023春·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学校考期末）若“，”为假命题，则实数的最小值为 .
【答案】
【分析】根据特称命题的否定为全称命题，可得“，”为真命题，然后转化为恒成立问题求解.
【详解】因为“，”为假命题，所以“，”为真命题，所以对恒成立，即.
故答案为：.
【总结提升】
应用全称命题与特称命题求参数范围的常见题型
1．全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以代入，也可以根据函数等数学知识来解决．
2．特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”、“不存在”、“是否存在”等语句表达．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．
1．（2016·浙江·高考真题）命题“，使得”的否定形式是（ ）
A．，使得B．，使得
C．，使得D．，使得
【答案】D
【详解】试题分析：的否定是，的否定是，的否定是．故选D．
【考点】全称命题与特称命题的否定．
【方法点睛】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作： ①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定．
2．（2015·全国·高考真题）设命题，则为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C.
3．（2018·北京·高考真题）能说明“若a﹥b，则”为假命题的一组a，b的值依次为 .
【答案】（答案不唯一）
【详解】分析：举出一个反例即可．
详解：当时，
不成立，
即可填．
一、单选题
1．（2023春·山东滨州·高二校联考阶段练习）命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】将特称命题否定为全称命题即可
【详解】命题“，”的否定是
，，
故选：C
2．（2021秋·陕西延安·高二校考期末）已知命题，则为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用含有一个量词命题的否定的定义即可得出结论.
【详解】根据题意可知，命题的否定为.
故选：D
3．（2023春·辽宁葫芦岛·高二校联考阶段练习）命题“分数都是有理数”的否定是（ ）
A．所有的分数都是有理数B．所有的分数都不是有理数
C．存在一个分数不是有理数D．存在一个分数是有理数
【答案】C
【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定.
【详解】命题“分数都是有理数”的否定是“存在一个分数不是有理数”.
故选：C
4．（2023春·天津南开·高一学业考试）已知命题：，，则命题的否定为（ ）．
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定.
【详解】命题的否定为，.
故选：B
二、多选题
5．（2023·全国·高一假期作业）关于命题“”，下列判断正确的是（ ）
A．该命题是全称量词命题B．该命题是存在量词命题
C．该命题是真命题D．该命题是假命题
【答案】BC
【分析】根据存在量词命题、全称量词命题概念判断AB，再由命题真假判断CD.
【详解】是存在量词命题，
A选项错误B选项正确；
时，成立，
命题为真命题，即C正确D错误.
故选：BC
6．（2022秋·湖北武汉·高一武汉市第一中学阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．存在，使得是真命题；
C．若命题“，”为假命题，则实数n的取值范围是
D．已知集合，则满足条件的集合B的个数为15
【答案】AC
【分析】利用含有一个量词的命题的否定判定选项A正确；利用判别式判定选项B错误；利用等价命题及判别式判定选项C正确；现将条件转化为，进而判定选项D错误.
【详解】对于A：命题“，”的否定是“，”，
即选项A正确；
对于B：因为，即方程无实数解，也无有理数解，
即存在，使得是假命题，即选项B错误；
对于C：若命题“，”为假命题，
则若命题“，”为真命题，
即无实数解，则，
解得，即选项C正确；
对于D：因为，所以，又因为，
所以满足条件的集合有无数个，即选项D错误.
故选：AC.
三、填空题
7．（2022秋·山东东营·高一利津县高级中学校考阶段练习）“”是真命题，则m的范围是
【答案】
【分析】由题知，由x的取值范围得到1-x的取值范围，进而根据全称命题的意义即可得答案；
【详解】对于命题：对任意，不等式恒成立，
而，有，
∴，∴命题为真时，实数m的取值范围是.
故答案为:
8．（2023春·山东泰安·高二统考期末）若“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据特称命题的定义和一元二次不等式的恒成立问题求解.
【详解】因为“，使得”是假命题，
所以“，使得”是真命题，
所以，解得，
故答案为: .
9．（2023·全国·高一课堂例题）命题，是 （填“全称量词命题”或“存在量词命题”），它的否定为 ．
【答案】 存在量词命题 ，
【分析】利用存在存在量词命题和否定的定义即可求解.
【详解】命题p含有存在量词，是存在量词命题．否定为，．
故答案为：存在量词命题；，．
四、解答题
10．（2023·全国·高一假期作业）已知集合，，且.若命题p：“，”是真命题，求m的取值范围；
【答案】
【分析】首先判断出，对列不等式计算求解可得的取值范围.
【详解】由于命题：“，”是真命题，
所以，
，则 解得
综上的取值范围是.
11．（2023秋·高一课时练习）用数学符号“”“”表示下列命题，并判断命题的真假性．
(1)当时，；
(2)自然数不都是正整数；
(3)至少存在一个实数，使得.
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）（2）（3）应用数学语言、描述已知命题，进而判断其真假.
【详解】（1）命题表示为“，”．
因为，所以该命题为真命题．
（2）命题表示为“，”．
因为，，所以该命题为真命题．
（3）命题表示为“，”．
因为，所以该命题为真命题．
12．（2022秋·高一课时练习）已知命题，都有，命题，使，若命题为真命题，命题q的否定为假命题，求实数m的取值范围．
【答案】
【分析】根据为假命题，可判断为真命题，再根据全称量词命题及存在量词命题为真求出参数的取值范围，最后取公共解即可；
【详解】因为为假命题，所以为真命题，
命题，都有， 为真命题，则，即
命题，使，为真命题，则，即
因为命题、同时为真命题，所以，解得，
故实数m的取值范围是．