人教A版普通高中数学一轮复习第二章第三节第一课时函数的奇偶性、周期性、对称性学案

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第1课时 函数的奇偶性、周期性、对称性
自查自测
知识点一 函数的奇偶性
1．判断下列说法的正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数．( × )
(2)若函数f(x)是奇函数，则一定有f(0)＝0.( × )
(3)若函数y＝f(x＋2)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(2，0)中心对称．( √ )
2．(多选题)(教材改编题)下列给出的函数是奇函数的是( ABD )
A．y＝1xB．y＝x2+1x
C．y＝x3＋1D．y＝sin x
3．函数f(x)＝(x＋1)x-1x+1是 函数．(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)
非奇非偶 解析：f(x)的定义域为(－∞，－1)∪[1，＋∞)，不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数．
4．已知函数f(x)为奇函数，当x0)．
(2)若f(x＋a)＝1fx，则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－1fx，则T＝2a(a>0)．
3．函数对称性的3个常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．
(3)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)或f(a＋x)＝f(a－x)或f(3a－x)＝f(x－a)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
应用1 已知函数f(x)＝x3＋x＋m是定义在区间[－2－n，2n]上的奇函数，则m＋n＝( )
A．0B．1
C．2D．4
C 解析：由已知得－2－n＋2n＝0且f(0)＝0，所以n＝2，m＝0，此时f(x)＝x3＋x，x∈[－4，4]是奇函数，满足题意．故m＋n＝2.
应用2 已知奇函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，且f(3)＝2，则f(1)＝( )
A．－1B．2
C．3D．5
B 解析：由奇函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，可得f(x)＋f(2－x)＝0.令x＝3，得f(3)＋f(－1)＝0.又f(3)＝2，所以f(－1)＝－2，所以f(1)＝－f(－1)＝2.
应用3 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝－1fx，当x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1，则f(9)＝ ．
1 解析：因为f(x＋2)＝－1fx，所以T＝4为函数f(x)的一个周期，故f(9)＝f(2×4＋1)＝f(1)＝2×1－1＝1.
函数的奇偶性
考向1 判断函数的奇偶性
【例1】(1)(多选题)(2024·威海模拟)下列函数中是偶函数的是( )
A．f(x)＝x3＋1B．f(x)＝ln |x|
C．f(x)＝sin x+π2D．f(x)＝ex－e－x
BC 解析：对于A，f(x)＝x3＋1，定义域为R，f(1)＝2，f(－1)＝0，故f(x)为非奇非偶函数；对于B，f(x)＝ln |x|，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝ln |－x|＝ln |x|，故f(x)为偶函数；对于C，f(x)＝sin x+π2＝cs x，故f(x)为偶函数；对于D，易知定义域为R，f(x)＝ex－e－x，f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，故f(x)为奇函数．
(2)(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝1-x1+x，则下列函数中为奇函数的是( )
A．f(x－1)－1B．f(x－1)＋1
C．f(x＋1)－1D．f(x＋1)＋1
B 解析：由题意可得f(x)＝1-x1+x＝－1＋21+x．对于A，f(x－1)－1＝2x－2不是奇函数；对于B，f(x－1)＋1＝2x是奇函数；对于C，f(x＋1)－1＝2x+2－2，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，f(x＋1)＋1＝2x+2，定义域不关于原点对称，不是奇函数．
(3)(多选题)设函数f(x)＝ex-e-x2，则下列结论正确的有( )
A．|f(x)|是偶函数
B．－f(x)是奇函数
C．f(x)|f(x)|是奇函数
D．f(|x|)f(x)是偶函数
ABC 解析：因为f(x)＝ex-e-x2，定义域为R，f(－x)＝e-x-ex2＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，所以|f(x)|为偶函数，－f(x)为奇函数，f(x)·|f(x)|为奇函数．因为f(|－x|)＝f(|x|)，所以f(|x|)是偶函数，所以f(|x|)f(x)是奇函数．
(4)已知函数f(x)＝x2+x，x0，则该函数的奇偶性是 ．
奇函数 解析：(方法一)当x>0时，－x0，gx+x2，x0时，f(x)＝ex＋x，则f(x)在R上的解析式为 ．
f(x)＝ex+x，x＞0，0，x=0， -e-x+x，x