高考数学第一轮复习导学案(新高考)第10讲函数的奇偶性与周期性、对称性(原卷版+解析)

这是一份高考数学第一轮复习导学案(新高考)第10讲函数的奇偶性与周期性、对称性(原卷版+解析)，共25页。试卷主要包含了函数的奇偶性，周期性等内容，欢迎下载使用。

1、函数的奇偶性
2、周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且 ，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 的正数，那么这个 就叫做f(x)的最小正周期．
常用结论
1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
2．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝ (a>0)．
(2)若f(x＋a)＝eq \f(1,fx)，则T＝ (a>0)．
3．函数对称性常用结论
(1)f(a－x)＝f(a＋x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(x)的图象关于直线 对称．
(2)f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)的图象关于直线x＝ 对称．
f(a＋x)＝－f(b－x)⇔f(x)的图象关于点 对称．
1、【2022年全国乙卷】已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2−x)=5,g(x)−f(x−4)=7．若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则k=122f(k)=（ ）
A．−21B．−22C．−23D．−24
2、【2022年新高考2卷】已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y),f(1)=1，则k=122f(k)=（ ）
A．−3B．−2C．0D．1
3、【2021年甲卷文科】设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A．B．C．D．
4、【2021年甲卷理科】设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A．B．C．D．
5、【2021年乙卷文科】设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
6、【2021年新高考2卷】已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
7、【2020年新课标2卷理科】设函数，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在单调递增B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增D．是奇函数，且在单调递减
8、【2020年新课标2卷文科】设函数,则（ ）
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
9、【2020年新高考1卷（山东卷）】若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
1、下列函数中，既是奇函数又是增函数的为
A B C D
2、已知是奇函数，且当时，．若，则__________．
3、（2022·广东省普通高中10月阶段性质量检测）已知函数是奇函数，则的值为___________.
4、（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，则______.
考向一 奇偶性的定义与判断
例1、判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝eq \r(1－x2)＋eq \r(x2－1)；
(2)f(x)＝eq \r(3－2x)＋eq \r(2x－3)；
(3)f(x)＝3x－3－x；
(4)f(x)＝eq \f(\r(4－x2),|x＋3|－3)；
(5)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋x，x>0，,x2－x，x<0.))
变式1、判断下列函数的奇偶性：
(1) f(x)＝x lg (x＋ eq \r(x2＋1))；
(2) f(x)＝(1－x) eq \r(\f(1＋x,1－x))；
(3) f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋2x＋1，x＞0，,x2＋2x－1， x＜0；))
(4) f(x)＝ eq \f(\r(4－x2),|x＋3|－3).
方法总结：1. 判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称．若函数定义域关于原点不对称，则此函数一定是非奇非偶函数；若定义域关于原点对称，再化简解析式，根据f(－x)与f(x)的关系结合定义作出判断．
2. 在函数的定义域关于原点对称的条件下，要说明一个函数是奇(偶)函数，必须证明f(－x)＝－f(x)(f(－x)＝f(x))对定义域中的任意x都成立；而要说明一个函数是非奇非偶函数，则只须举出一个反例就可以了．
3. 分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分段函数奇偶性的判断，要分别从x＞0或x＜0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．
考向二 函数的周期性及应用
例2、已知定义在上的函数满足，且图像关于对称，当时，，则________.
变式1、函数满足，且在区间上，则的值为 ．
变式2、已知函数f(x)的定义域为R．当x<0时， ；当 时，；当 时，，则f(6)=
A．−2 B．−1 C．0 D．2
变式3、若函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x，x≤0，,fx－1－fx－2，x>0，))则f(2 023)＝________.
方法总结：(1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)即可，且周期为T．
(2)根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
(3)在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用．
(4)除f(x＋T)＝f(x)(T≠0)之外，其它一些隐含周期的条件：，，，，，等
考向三 函数奇偶性与单调性、周期性的应用
例3、（1）设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则
A．（lg3）＞（）＞（）
B．（lg3）＞（）＞（）
C．（）＞（）＞（lg3）
D．（）＞（）＞（lg3）
（2）(2022·沭阳如东中学期初考试)已知定义在R上的函数f(x)的图象连续不断，有下列四个命题：
甲：f(x)是奇函数； 乙：f(x)的图象关于直线x＝1对称；
丙：f(x)在区间[－1，1]上单调递减； 丁：函数f(x)的周期为2．
如果只有一个假命题，则该命题是
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
变式1、函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对任意x1，x2∈D，都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2).
(1) 求f(1)的值；
(2) 判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；
(3) 当x>0时，f(x)>0恒成立，且f(4)＝1，求不等式f(x－1)＜2的解集．
变式2、已知为定义在上的奇函数，当时，有，且当时，，下列命题正确的是（ ）
A．B．函数在定义域上是周期为的函数
C．直线与函数的图象有个交点D．函数的值域为
方法总结： 1. 已知函数的奇偶性，反求参数的取值，有两种思路：一种思路是根据定义，由f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)对定义域内的任意x恒成立，建立起关于参数的方程，解方程求出参数之值；另一种思路就是从特殊入手，得出参数所满足条件，再验证其充分性得出结果．
2. 函数的奇偶性与单调性之间有着紧密的联系，奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反，掌握这一关系，对于求解有关奇偶性与单调性的综合问题，有着极大的帮助，要予以足够的重视．
1、（2022·湖南湖南·二模）已知函数是R上的奇函数，当时，，若，是自然对数的底数，则（ ）
A．B．C．D．
2、（2022·河北·模拟预测）设偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
3、（2022·湖北省天门中学模拟预测）已知是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
4、（2022·湖南·雅礼中学二模）函数的定义域为，若是奇函数，是偶函数，则（ ）
A．是奇函数B．是偶函数
C．D．
5、（2022·山东·济南一中模拟预测）设函数，若，，（e为自然对数的底数），则（ ）．
A．B．C．D．
6、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数，以下结论正确的是（ ）
A．
B． 在区间上是增函数
C．若方程恰有3个实根，则
D．若函数在上有6个零点，则的取值范围是奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且 ，那么函数f(x)就叫做偶函数
关于 对称
奇函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且 ，那么函数f(x)就叫做奇函数
关于 对称
第10讲 函数的奇偶性与周期性、对称性
1、函数的奇偶性
2、周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
常用结论
1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
2．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝eq \f(1,fx)，则T＝2a(a>0)．
3．函数对称性常用结论
(1)f(a－x)＝f(a＋x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)的图象关于直线x＝eq \f(a＋b,2)对称．
f(a＋x)＝－f(b－x)⇔f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)，0))对称．
1、【2022年全国乙卷】已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2−x)=5,g(x)−f(x−4)=7．若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则k=122f(k)=（ ）
A．−21B．−22C．−23D．−24
【答案】D
【解析】因为y=g(x)的图像关于直线x=2对称，
所以g2−x=gx+2，
因为g(x)−f(x−4)=7，所以g(x+2)−f(x−2)=7，即g(x+2)=7+f(x−2)，
因为f(x)+g(2−x)=5，所以f(x)+g(x+2)=5，
代入得f(x)+7+f(x−2)=5，即f(x)+f(x−2)=−2，
所以f3+f5+…+f21=−2×5=−10，
f4+f6+…+f22=−2×5=−10.
因为f(x)+g(2−x)=5，所以f(0)+g(2)=5，即f0=1，所以f(2)=−2−f0=−3.
因为g(x)−f(x−4)=7，所以g(x+4)−f(x)=7，又因为f(x)+g(2−x)=5，
联立得，g2−x+gx+4=12，
所以y=g(x)的图像关于点3,6中心对称，因为函数g(x)的定义域为R，
所以g3=6
因为f(x)+g(x+2)=5，所以f1=5−g3=−1.
所以k=122f(k)=f1+f2+f3+f5+…+f21+f4+f6+…+f22=−1−3−10−10=−24.
故选：D
2、【2022年新高考2卷】已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y),f(1)=1，则k=122f(k)=（ ）
A．−3B．−2C．0D．1
【答案】A
【解析】因为fx+y+fx−y=fxfy，令x=1,y=0可得，2f1=f1f0，所以f0=2，令x=0可得，fy+f−y=2fy，即fy=f−y，所以函数fx为偶函数，令y=1得，fx+1+fx−1=fxf1=fx，即有fx+2+fx=fx+1，从而可知fx+2=−fx−1，fx−1=−fx−4，故fx+2=fx−4，即fx=fx+6，所以函数fx的一个周期为6．
因为f2=f1−f0=1−2=−1，f3=f2−f1=−1−1=−2，f4=f−2=f2=−1，f5=f−1=f1=1，f6=f0=2，所以
一个周期内的f1+f2+⋯+f6=0．由于22除以6余4，
所以k=122fk=f1+f2+f3+f4=1−1−2−1=−3．
故选：A．
3、【2021年甲卷文科】设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.
【详解】
由题意可得：，
而，
故.
故选：C.
4、【2021年甲卷理科】设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
5、【2021年乙卷文科】设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【详解】
由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
6、【2021年新高考2卷】已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.
【详解】
因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知.
故选：B.
7、【2020年新课标2卷理科】设函数，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在单调递增B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增D．是奇函数，且在单调递减
【答案】D
【解析】
【分析】
根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果.
【详解】
由得定义域为，关于坐标原点对称，
又，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，排除B；
当时，，
在上单调递减，在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.
故选：D.
8、【2020年新课标2卷文科】设函数,则（ ）
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
【答案】A
【解析】因为函数定义域为，其关于原点对称，而，
所以函数为奇函数．
又因为函数在上单调递增，在上单调递增，
而在上单调递减，在上单调递减，
所以函数在上单调递增，在上单调递增．
故选：A．
9、【2020年新高考1卷（山东卷）】若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：
或或
解得或，
所以满足的的取值范围是，
故选：D.
1、下列函数中，既是奇函数又是增函数的为
A B C D
【答案】D
【解析】A是增函数，不是奇函数；B和C都不是定义域内的增函数，排除，只有D正确，故选D．
2、已知是奇函数，且当时，．若，则__________．
【答案】
【解析】：，得，．
3、（2022·广东省普通高中10月阶段性质量检测）已知函数是奇函数，则的值为___________.
【答案】
【解析】因为函数是奇函数，所以，即，
整理得恒成立，解得，经检验当时，函数是奇函数.
故答案为：
4、（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，则______.
【答案】
【解析】依题意函数是定义在上的奇函数，
所以，
，
，
恒成立，所以，
所以.
故答案为：
考向一 奇偶性的定义与判断
例1、判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝eq \r(1－x2)＋eq \r(x2－1)；
(2)f(x)＝eq \r(3－2x)＋eq \r(2x－3)；
(3)f(x)＝3x－3－x；
(4)f(x)＝eq \f(\r(4－x2),|x＋3|－3)；
(5)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋x，x>0，,x2－x，x<0.))
【解析】：(1)∵由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－1≥0，,1－x2≥0，))得x＝±1，
∴f(x)的定义域为{－1,1}．
又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，
即f(x)＝±f(－x)．
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(2)∵函数f(x)＝eq \r(3－2x)＋eq \r(2x－3)的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))，不关于坐标原点对称，
∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(3)∵f(x)的定义域为R，
∴f(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(4)∵由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－x2≥0，,|x＋3|－3≠0，))得－2≤x≤2且x≠0．
∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，
∴f(x)＝eq \f(\r(4－x2),|x＋3|－3)＝eq \f(\r(4－x2),x＋3－3)＝eq \f(\r(4－x2),x)，
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(5)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又当x>0时，f(x)＝x2＋x，则当x<0时，－x>0，
故f(－x)＝x2－x＝f(x)；
当x<0时，f(x)＝x2－x，则当x>0时，－x<0，
故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．
变式1、判断下列函数的奇偶性：
(1) f(x)＝x lg (x＋ eq \r(x2＋1))；
(2) f(x)＝(1－x) eq \r(\f(1＋x,1－x))；
(3) f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋2x＋1，x＞0，,x2＋2x－1， x＜0；))
(4) f(x)＝ eq \f(\r(4－x2),|x＋3|－3).
【解析】 (1) 因为x＋ eq \r(x2＋1)>0恒成立，
所以函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．
因为f(x)－f(－x)＝x[lg (x＋ eq \r(x2＋1))＋lg (－x＋ eq \r(x2＋1))]＝0，
所以f(x)＝f(－x)，所以f(x)为偶函数．
(2) 由题意，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1＋x,1－x)≥0，,1－x≠0，))解得－1≤x<1，
所以定义域不关于原点对称，
所以f(x)既不是奇函数又不是偶函数．
(3) f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．不妨设x>0.
因为f(x)＋f(－x)＝－x2＋2x＋1＋x2－2x－1＝0，
所以f(x)＝－f(－x)，所以f(x)为奇函数．
(4) 由题意，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－x2≥0，,|x＋3|≠3，))解得－2≤x≤2，且x≠0，所以定义域关于原点对称．
因为f(x)＝ eq \f(\r(4－x2),|x＋3|－3)＝ eq \f(\r(4－x2),x＋3－3)＝ eq \f(\r(4－x2),x)，
所以f(x)＋f(－x)＝ eq \f(\r(4－x2),x)－ eq \f(\r(4－x2),x)＝0，
所以f(x)＝－f(－x)，所以f(x)为奇函数．
方法总结：1. 判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称．若函数定义域关于原点不对称，则此函数一定是非奇非偶函数；若定义域关于原点对称，再化简解析式，根据f(－x)与f(x)的关系结合定义作出判断．
2. 在函数的定义域关于原点对称的条件下，要说明一个函数是奇(偶)函数，必须证明f(－x)＝－f(x)(f(－x)＝f(x))对定义域中的任意x都成立；而要说明一个函数是非奇非偶函数，则只须举出一个反例就可以了．
3. 分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分段函数奇偶性的判断，要分别从x＞0或x＜0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．
考向二 函数的周期性及应用
例2、已知定义在上的函数满足，且图像关于对称，当时，，则________.
【答案】-2
【解析】
因为图像关于对称，则，
，
故是以8为周期的周期函数，
故答案为：.
变式1、函数满足，且在区间上，则的值为 ．
【答案】
【解析】因为函数满足()，所以函数的最小正周期是4．因为在区间 上，，所以．
变式2、已知函数f(x)的定义域为R．当x<0时， ；当 时，；当 时，，则f(6)=
A．−2 B．−1 C．0 D．2
【答案】D
【解析】当 时，为奇函数，且当时，，所以．而，所以，故选D．
变式3、若函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x，x≤0，,fx－1－fx－2，x>0，))则f(2 023)＝________.
【答案】 －1
【解析】 当x>0时，
f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，①
∴f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，②
①＋②得，f(x＋1)＝－f(x－2)，
∴f(x)的周期为6，
∴f(2 023)＝f(337×6＋1)＝f(1)
＝f(0)－f(－1)＝20－21＝－1.
方法总结：(1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)即可，且周期为T．
(2)根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
(3)在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用．
(4)除f(x＋T)＝f(x)(T≠0)之外，其它一些隐含周期的条件：，，，，，等
考向三 函数奇偶性与单调性、周期性的应用
例3、（1）设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则
A．（lg3）＞（）＞（）
B．（lg3）＞（）＞（）
C．（）＞（）＞（lg3）
D．（）＞（）＞（lg3）
【答案】C
【解析】 是定义域为的偶函数，所以，因为，，所以，又在上单调递减，所以． 故选C．
（2）(2022·沭阳如东中学期初考试)已知定义在R上的函数f(x)的图象连续不断，有下列四个命题：
甲：f(x)是奇函数； 乙：f(x)的图象关于直线x＝1对称；
丙：f(x)在区间[－1，1]上单调递减； 丁：函数f(x)的周期为2．
如果只有一个假命题，则该命题是
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【解析】由函数f(x)的特征可知：函数在区间[－1，1]上单调递减，其中该区间的宽度为2，所以函数f(x)在区间[－1，1]上单调递减，与函数f(x)的周期为2互相矛盾，即：丙和丁中有一个为假命题，若甲乙成立，故f(－x)＝－f(x)，则f(x＋1)＝f(1－x)，故f(x＋2)＝f[1－(1＋x)]＝f(－x)＝－f(x)，故f(x＋4)＝f(x)，所以函数的周期为4，即丁为假命题，由于只有一个假命题，故答案选D．
变式1、函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对任意x1，x2∈D，都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2).
(1) 求f(1)的值；
(2) 判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；
(3) 当x>0时，f(x)>0恒成立，且f(4)＝1，求不等式f(x－1)＜2的解集．
【解析】 (1) 由题意，得f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0.
(2) 函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．
因为f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)＝2f(－1)＝f(1)＝0，
所以f(－1)＝0，
所以f(－1·x)＝f(x)＋f(－1)，
即f(x)＝f(－x)，
所以f(x)为偶函数．
(3) 由题意，得f(4)＋f(4)＝f(16)＝2，
f(x)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝f(1)＝0，
所以f(x)＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x))).
不妨设x1>x2>0，
则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1,x2)))＝f(x1)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x2)))＝f(x1)－f(x2)>0，
所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．
又f(x)为偶函数．
所以f(x)在区间(－∞，0)上单调递减．
因为f(x－1)<2＝f(16)，
所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－16解得－15所以该不等式的解集为(－15，1)∪(1，17).
变式2、已知为定义在上的奇函数，当时，有，且当时，，下列命题正确的是（ ）
A．B．函数在定义域上是周期为的函数
C．直线与函数的图象有个交点D．函数的值域为
【答案】A
【解析】
函数是上的奇函数，，由题意可得，
当时，，，A选项正确；
当时，，则，，，
则函数不是上周期为的函数，B选项错误；
若为奇数时，，
若为偶数，则，即当时，，
当时，，若，且当时，，
，
当时，则，，
当时，，则，
所以，函数在上的值域为，
由奇函数的性质可知，函数在上的值域为，
由此可知，函数在上的值域为，D选项错误；
如下图所示：
由图象可知，当时，函数与函数的图象只有一个交点，
当或时，，此时，函数与函数没有交点，
则函数与函数有且只有一个交点，C选项错误.
故选：A.
方法总结： 1. 已知函数的奇偶性，反求参数的取值，有两种思路：一种思路是根据定义，由f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)对定义域内的任意x恒成立，建立起关于参数的方程，解方程求出参数之值；另一种思路就是从特殊入手，得出参数所满足条件，再验证其充分性得出结果．
2. 函数的奇偶性与单调性之间有着紧密的联系，奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反，掌握这一关系，对于求解有关奇偶性与单调性的综合问题，有着极大的帮助，要予以足够的重视．
1、（2022·湖南湖南·二模）已知函数是R上的奇函数，当时，，若，是自然对数的底数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
解：依题意得，，由，即，得，所以当时，所以.
故选：D
2、（2022·河北·模拟预测）设偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
因为是偶函数，所以等价于．
又在上单调递增，所以在上单调递减．
由，得或
又，解得或．
故选：D
3、（2022·湖北省天门中学模拟预测）已知是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
解：因为为偶函数，所以函数图象关于轴对称，
由图可得时，时，时；
又当时，时，时，时，
不等式等价于或，
所以或或，即不等式的解集为；
故选：A
4、（2022·湖南·雅礼中学二模）函数的定义域为，若是奇函数，是偶函数，则（ ）
A．是奇函数B．是偶函数
C．D．
【答案】B
【解析】
因为是奇函数，
∴，
∵是偶函数，
∴，即，
，
则，即周期为8；
另一方面，
∴，即是偶函数.
故选：B.
5、（2022·山东·济南一中模拟预测）设函数，若，，（e为自然对数的底数），则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
由题意可知，函数为偶函数，且在上单调递增，又，，，所以，故．
故选：D
6、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数，以下结论正确的是（ ）
A．
B． 在区间上是增函数
C．若方程恰有3个实根，则
D．若函数在上有6个零点，则的取值范围是
【答案】BCD
【解析】
函数的图象如图所示：
对A，，，所以，故A错误；
对B，由图象可知 在区间上是增函数，故B正确；
对C，由图象可知，直线与函数图象恰有3个交点，故C正确；
对D，由图象可得，当函数在上有6个零点，则
，所以当时，；当时，，所以的取值范围是，故D正确.
故选：BCD.
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
关于原点对称