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第二章 第三节 函数的奇偶性及周期性-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习学案
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第三节 函数的奇偶性及周期性
知识回顾
1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称
2.函数奇偶性的几个重要结论
(1)f(x)为奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称；f(x)为偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称．
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．
(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．
3．函数的对称性
(1)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)关于直线x＝对称，特别地，当a＝b＝0时，函数y＝f(x)关于y轴对称，此时函数y＝f(x)是偶函数．
(2)若函数y＝f(x)满足f(x)＝2b－f(2a－x)，则函数y＝f(x)关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，f(x)＝－f(－x)，则函数y＝f(x)关于原点对称，此时函数f(x)是奇函数．
4.函数的周期性
(1)周期函数
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
5.关于周期的结论
(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a；
(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a；
(3)若f(x＋a)＝，则函数的周期为2a；
(4)若f(x＋a)＝－，则函数的周期为2a.
课前检测
1．下列函数中为偶函数的是( )
A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x
C．y＝|ln x| D．y＝2－x
解析：选B A中函数为奇函数，B中函数为偶函数，C与D中函数均为非奇非偶函数，故选B.
2．下列函数为奇函数的是( )
A．y＝ B．y＝ex
C．y＝|x| D．y＝ex－e－x
解析：选D A、B选项中的函数为非奇非偶函数；C选项中的函数为偶函数；D选项中的函数为奇函数，故选D.
3.【2020年浙江杭州杭州市西湖高级中学高一上学期期末考试数学试卷】若函数 f(x)=(2x+1)(x-a)x(x≠0) 为奇函数，则实数 a=( )
A．12
B．0
C．-1
D．1
【答案】A
【解析】∵ 函数 f(x)=(2x+1)(x-a)x(x≠0) 为奇函数，
∴f(-x)=(-2x+1)(-x-a)-x=-(2x-1)(x+a)x=-f(x)=-(2x+1)(x-a)x，
∴f(2x-1)(x+a)=(2x+1)(x-a)，即 2x2-a+(1-2a)x，化简得 (2a-1)x=0，则 a=12．
故选 A
4.【2019年浙江杭州单元测试】已知y=f(x)在R上为奇函数，当x<0，f(x)=1x-1，则当 x>0时， f(x)的解析式为 ________
【答案】f(x)=1x+1
【解析】x>0,-x<0,f(x)=-f(-x)=1x+1
5.【2019年浙江宁波宁波效实中学高一上学期期中考试数学试卷（理）】已知定义在 R 上的偶函数 f(x)，当 x⩽0 时，f(x)=xx-1，则函数 f(x) 的解析式为______________________；若有 f(2a)>f(a-2)，则 a 的取值范围为______________________．
【答案】f(x)={xx+1,x>0xx-1,x⩽0；(-∞,-2)∪(23,+∞)
【解析】【分析】：首先设 x>0，-x<0，利用函数是偶函数求函数的解析式；
因为函数是偶函数，所以不等式转化为 f(|2a|)>f(|a-2|)，利用函数在 (0,+∞) 的单调性解不等式．
设 x>0，-x<0，
∵ 函数是偶函数，
∴f(x)=f(-x)=-x-x-1=xx+1，
∵ 函数 f(x) 的解析式为 f(x)={xx+1,x>0xx-1,x⩽0
当 x>0 时，f(x)=xx+1=1-1x+1，
当 x>0 时，函数单调递增，
∴f(2a)>f(a-2)⇔f(|2a|)>f(|a-2|)，
∴|2a|>|a-2|，即 4a2>(a-2)2，
3a2+4a-4>0⇒(a+2)(3a-2)>0，
∴a>23 或 a<-2．
故答案为 f(x)={xx+1,x>0xx-1,x⩽0；(-∞,-2)∪(23,+∞)．
【备注】【点睛】：本题考查利用函数的奇偶性，求函数的解析式和解不等式，意在考查转化与化归，属于基础题型，如果函数在定义域内是连续的，奇函数，并且单调递增，那么解 f(x1)
考点一.奇偶性的判断
例1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3－x；
(2)f(x)＝(x＋1) ；
(3)f(x)＝
解 (1)定义域为R，关于原点对称，
又f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－(x3－x)
＝－f(x)，
所以函数为奇函数．
(2)由≥0可得函数的定义域为(－1,1]．
∵函数定义域不关于原点对称，
∴函数为非奇非偶函数．
(3)当x>0时，－x<0，f(x)＝－x2＋x，
∴f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x
＝－(－x2＋x)
＝－f(x)；
当x<0时，－x>0，f(x)＝x2＋x，
∴f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x
＝－(x2＋x)＝－f(x)．
所以对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
均有f(－x)＝－f(x)．
∴函数为奇函数．
例2.【2020年9月陕西西安长安区第一中学高一上学期月考数学试卷】设函数 f(x)，g(x) 的定义域为 R，且 f(x) 是奇函数，g(x) 是偶函数，则下列结论正确的是( )
A．f(x)g(x) 是偶函数
B．|f(x)|g(x) 是奇函数
C．f(x)|g(x)| 是奇函数
D．|f(x)g(x)| 是奇函数
【答案】C
【解析】函数 f(x) 和 g(x) 分别是 R 上的奇函数和偶函数，则 |f(x)| 和 |g(x)| 都是偶函数
A．奇 × 偶 = 奇，可得 f(x)g(x) 为奇函数，选项 A 错误；
B．偶 × 偶 = 偶，可得 |f(x)|g(x) 为偶函数，选项 B 错误；
C．奇 × 偶 = 奇，可得 f(x)|g(x)| 为奇函数，选项 C 正确；
D．若 f(x) 具备奇偶性，则 |f(x)| 为偶函数，所以 |f(x)g(x)| 为偶函数，选项 D 错误．
【备注】【考点】：奇偶性判定．
识记常见函数的奇偶性和口诀，可以快速准确地判定函数的奇偶性．
考点二.奇偶性的应用
例1.【2018年4月江西南昌江西师范大学附属中学高三下学期月考数学试卷（文）】定义在 R 上的函数 f(x) 满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，(x、y∈R)，f(1)=2，有下列命题：
① f(-2)=2；
② 设 g(x)=f(x)+f(-x)，g(x) 是偶函数；
③ 设 h(x)=f(x+1)-f(x)，h(x) 是常函数；
④ 若 x∈N*，则 f(x) 的值可组成等差数列．
其中正确命题有________ ．（填所有正确命题序号）
【答案】①②
【解析】① 令 x=y=0，f(0)=0，f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)+2=6．∴f(2-2)=f(2)+f(-2)-8．∴f(-2)=2，① 正确．
② 令 x+y=0．∴y=-x．∴f(0)=f(x)+f(-x)-2x2．∴f(x)+f(-x)=2x2，即 g(x)=2x2 是偶函数，② 正确．
③ 令 y=1．∴f(x+1)=f(x)+f(1)+2x．∴f(x+1)-f(x)=2+2x，即 h(x)=2x+2 是增函数，③ 错误．
④ 由 ③ 知，f(n+1)-f(n)=2n+2，不为常数，④ 错误．
故答案为 ①②
变式1.【2018年10月浙江金华东阳中学高一上学期月考数学试卷】已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，若对于任意给定的实数 x1，x2，且 x1≠x2，不等式 x1f(x1)+x2f(x2)
【解析】不等式 x1f(x1)+x2f(x2)
故函数 f(x) 在 R 上是减函数．
再根据函数为奇函数，可得 f(0)=0，
若不等式 (x+1)f(1-2x)<0，
则 {x+1>01-2x>0，解得：-1
故不等式的解集是 (-1,12)．
故答案为：(-1,12)．
例2.【2017年陕西西安西安电子科技大学附属中学高一上学期期中考试数学试卷】已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x>0 时，f(x)=x2+2x，则 f(x) 在 R 上的解析式是____________________．
【答案】f(x)={-x2+2x,x⩽0x2+2x,x>0
【解析】由于函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x<0 时，f(x)=-f(-x)=-x2+2x；当 x=0 时，f(0)=0，故 x⩽0 时，f(x)=-x2+2x，所以 f(x)={-x2+2x,x⩽0x2+2x,x>0
变式2.【2020年9月陕西西安西安交通大学第二附属中学高一上学期月考数学试卷】已知 f(x) 是偶函数，x∈R，当 x>0 时，f(x) 为增函数，若 x1<0，x2>0，且 |x1|<|x2|，则有( )
A．f(-x1)>f(-x2)
B．f(-x1)
D．-f(x1)
【解析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．
∵f(x) 是偶函数，根据偶函数性质 f(-x)=f(x)=f(|x|)，
可得：f(-x1)=f(x1)=f(|x1|)，f(-x2)=f(x2)=f(|x2|)，
∵0<|x1|<|x2|，当 x>0 时，f(x) 为增函数，可得：f(|x1|)
例3.【2020年浙江杭州杭州源清中学高一上学期期末考试数学试卷】已知 f(x)=ax2+bx 是定义在 [a-1,2a] 上的偶函数，那么 a+b 的值是( )
A．-13
B．13
C．12
D．-12
【答案】B
【解析】根据偶函数的定义域关于原点对称，
且 f(x) 是定义在 [a-1,2a] 上的偶函数，
得 a-1=-2a，解得 a=13，又 f(-x)=f(x)，
∴b=0，∴a+b=13．
故选 B
变式3.【2019年浙江台州高一上学期期中考试数学试卷五校】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)为单调递增函数，且f（1）=0，则满足xf(x)<0的x的取值范围是( )
A．(-∞，-1)⋃(0，1)
B．(0,1)
C．(1,+∞)
D．(-1，0)⋃(0，1)
【答案】D
【解析】【解答】∵定义在R上的奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，且f（1）=0，
∴函数f(x)在(-∞,0)上单调递增，且f（-1）=0，
∴不等式xf(x)<0，
∴{x>0f(x)<0或{x<0f(x)>0
0
故选D．
【分析】先确定函数f(x)在(-∞,0)上单调递增，且f（-1）=0，再将不等式等价变形，即可得到结论．
【备注】【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，关键利用函数上奇函数得到对称区间得单调性，经常考查，属于基础题．
变式4.（多选）已知函数 f(x) 对任意实数 x，y，恒有 f(x+y)=f(x)+f(y) 且当 x>0，f(x)<0．其中正确的结论是( )
A．f(0)=0
B．f(x) 为偶函数
C．f(x) 为 R 上减函数
D．f(x) 为 R 上增函数
【答案】AC
【解析】A．令 x=y=0，则 f(0)=f(0)+f(0)=2f(0)，∴f(0)=0，故 A 正确；
B．令 y=-x，则 f(x-x)=f(x)+f(-x)=0，∴f(-x)=-f(x)，f(x) 是奇函数，故 B 不正确；
C．当 x>0，f(x)<0，由 f(x) 是奇函数知，x<0 时，f(x)>0，∴f(x) 为 R 上的减函数，故 C 正确．
故本题正确答案为 AC
考点三.周期性的应用
例1.定义在R上的函数f(x)满足：f(x+2)=1-f(x)1+f(x)，当x∈(0,4)时，f(x)=x2-1，则f(2010)= ________ ．
【答案】3
【解析】∵定义在R上的函数f(x)满足：f(x+2)=1-f(x)1+f(x)
∴f(x+4)=1-f(x+2)1+f(x+2)=1-1-f(x)1+f(x)1+1-f(x)1+f(x)=f(x)
故函数的周期是4
∴f(2010)=f(2)
又x∈(0,4)时，f(x)=x2-1，
∴f(2010)=f(2)=22-1=3
故答案为3
变式1.已知函数 f(x) 满足 f(x+2)=1+f(x)1-f(x)(x∈R)，f(2)=12，则 f(2004) 等于( )
A．12
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【解析】f(x+4)=f[(x+2)+2]=1+f(x+2)1-f(x+2)=1+1+f(x)1-f(x)1-1+f(x)1-f(x)=1f(x)，
f(x+8)=f[(x+4)+4]=1f(x+4)=f(x)，
则 f(x) 是以 8 为周期的周期函数，
从而 f(2004)=f(250×8+4)=f(2+2)=1+f(2)1-f(2)=3．
例2.已知：函数 f(x) 是 R 上的偶函数，g(x) 是 R 上的奇函数，且 g(x)=f(x-1)，若 f(2)=2，则 f(2006) 的值为________．
【答案】 2
【解析】可先证明 f(x) 是周期函数，因为 g(x)=f(x-1)，所以 g(-x)=f(-x-1)，由于 g(x) 为奇，即 g(-x)=-g(x)，所以 f(-x-1)=-f(x-1)⋯⋯①，又 f(x) 为偶，所以 f(-x-1)=f(x+1)，即 f(x+1)=-f(x-1)⋯⋯②，在②中 x+1 替换 x，得 f(x+2)=-f(x)⋯⋯③，在③中用 x+2 替换 x，得 f(x+4)=-f(x+2)④，对比③，④ 得 f(x+4)=f(x)，从而 f(x) 是以 4 为周期的周期函数；所以 f(2006)=f(2)＝2．
变式2.定义在 R 上的函数 f(x) 满足 f(x+6)=f(x)，当 -3≤x≤-1 时，f(x)=-(x+2)2，当 -1≤x<3 时，f(x)=x．则 f(1)+f(2)+…+f(2012)=( )
A．335
B．338
C．1678
D．2012
【答案】B
【解析】由 f(x+6)=f(x) 可知，f(x) 是以 6 为周期的函数，可根据题目信息分别求得 f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)，f(6) 的值，再利用周期性即可得答案．
本题考查函数的周期，由题意，求得 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(6)= 是关键，考查转化与运算能力，属于中档题．
∵f(x+6)=f(x)．
∴f(x) 是以 6 为周期的函数．
又当 -1≤x<3 时，f(x)=x．
∴f(1)+f(2)=1+2=3，f(-1)=-1=f(5)，f(0)=0=f(6)；
当 -3≤x<-1 时，f(x)=-(x+2)2．
∴f(3)=f(-3)=-(-3+2)2=-1．
f(4)=f(-2)=-(-2+2)2=0．
∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=1+2-1+0+(-1)+0=1．
∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2012)=[f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2010)]+f(2011)+f(2012)=335×1+f(1)+f(2)=338
故选 B
例3.设偶函数f(x)对任意x∈R，都有f(x+3)=-1f(x)，且当x∈[-3,-2]时，f(x)=4x，则f(107.5)= ( )
A．10
B．110
C．-10
D．-110
【答案】B
【解析】
解：因为f(x+3)=-1f(x)，故有f(x+6)=-1f(x+3)=-1-1f(x)=f(x).函数f(x)是以6为周期的函数．
f(107.5)=f(6×17+5.5)=f(5.5)=-1f(2.5)=-1f(-2.5)=-14×(-2.5)=110．
故选B
先通过有f(x+3)=-1f(x)，且可推断函数f(x)是以6为周期的函数.进而可求得f(107.5)=f(5.5)，再利用f(x+3)=-1f(x)以及偶函数f(x)和x∈[-3,-2]时，f(x)=4x即可求得f(107.5)的值．
本题主要考查了函数的周期性.要特别利用好题中有f(x+3)=-1f(x)的关系式.在解题过程中，条件f(x+a)=-1f(x)通常是告诉我们函数的周期为2a．
变式3.设定义在 R 上的函数 f(x) 满足 f(x)⋅f(x+2)=13，若 f(1)=2，则 f(2015)= ( )．
A．0
B．2
C．132
D．20152
【答案】C
【解析】又 f(x)=13f(x+2)，f(x+2)=13f(x+4)，所以 f(x)=f(x+4)，所以函数 f(x) 的周期为 4，f(2015)=f(4×503+3)=f(3)=13f(1)=132．
例4.已知定义在 Z 上的函数 f(x)，对任意 x，y∈Z，都有 f(x+y)+f(x-y)=4f(x)f(y) 且 f(1)=14，则 f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2017)=________ ．
【答案】34
【解析】本题考查了函数周期性的应用，转化思想，化简、变形能力，属于中档题．
令 y=1 推导 f(x) 的关系及周期，再计算 f(0)，利用 f(x) 的周期性即可得出答案．
令 y=1 得：f(x+1)+f(x-1)=f(x)．
∴f(x+2)+f(x)=f(x+1)．
∴f(x-1)=-f(x+2)，即 f(x-1)+f(x+2)=0．
∴f(x)+f(x+3)=0．
∴f(x-3)+f(x)=0．
∴f(x-3)=f(x+3)．
∴f(x) 的周期为 6．
且 f(0)+f(1)+f(2)+…+f(5)=[f(0)+f(3)]+[f(1)+f(4)]+[f(2)+f(5)]=0
∴ f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2017)=f(2016)+f(2017)=f(0)+f(1)
令 x=1，y=0 得 2f(1)=f(0)．
∴f(0)=12．
∴f(0)+f(1)=34．
故答案为 34．
例5.设函数 D(x)={1,x为有理数0,x为无理数 关于函数 D(x) 有以下四个结论：
① D(x) 值域为 [0,1]；② D(x) 是周期函数；③ D(x) 是单调函数；④ D(x) 是偶函数；
其中正确的结论个数为：( )
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【解析】D(x) 的值域为 {0,1}；命题①不正确；因为 D(x+1)=D(x)，所以 T=1 是函数 D(x) 的一个周期；命题②正确；因为 D(1)=1，D(2)=0，所以命题③不正确；因为 D(-x)=D(x)，所以命题④正确．
变式5.【2020年9月陕西西安西安车辆厂中学高一上学期月考数学试卷】老师给出一个函数 y=f(x)，四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质：
甲：对任意 x∈R，都有 f(1+x)=f(1-x)；
乙：在 (-∞,0] 上，函数 f(x) 单调递减；
丙：在 (0,+∞) 上，函数 f(x) 单调递增；
丁：f(0) 不是函数 f(x) 的最小值．
如果其中恰有三个人说得正确，则函数 f(x) 的解析式可能是________．
【答案】f(x)=(x-1)2 或 f(x)={-x+1,x⩽0x,x>0（答案不唯一）
【解析】甲的话的含义即为：函数 f(x) 的图象关于直线 x=1 对称．数形结合，不难发现：甲的话与丙的话相矛盾（在对称轴的两侧，函数的单调性相反）．
因此，我们只需找出满足"甲、乙、丁"或"乙、丙、丁"的函数即可．
如果希望找到满足"甲、乙、丁"的函数，则需要认识到：所谓函数 f(x) 在区间 (-∞,0] 上单调递减，并不是说函数 f(x) 的单调递减区间是 (-∞,0]．考虑到甲的话，我们不妨构造函数，使之在 (-∞,1] 上单调递减，这样，既不与乙的话矛盾，也满足丁的话．于是可令 f(x)=(x-1)2．
如果希望找到满足"乙、丙、丁"的函数，则分段函数是必然的选择．可令 f(x)={-x+1,x⩽0x,x>0
考点四.对称性的应用
例1.【2018年陕西西安雁塔区高新一中高一上学期期中考试数学试卷】定义在R上的奇函数f(x)，当x⩾0时，f(x)={1-2x,0⩽x<11-|x-3|,x⩾1，则关于x的函数F(x)=f(x)-a(0
B．1-2-a
C．-log2(1+a)
D．log2(1-a)
【答案】C
【解析】∵图像对称
∴{x1+x5=-2x2+x4=2，∴x1+x2+x4+x5=0
又∵y=1-2x,∴-y=1-2-x∴2-x-1=a
∴x3=-log2(1+a)，
变式1.已知 f(x+1)=f(x-1)，f(x)=f(-x+2)，方程 f(x)=0 在 [0,1] 内有且只有一个根 x=12，则 f(x)=0 在区间 [0,2013] 内根的个数为( )
A．2011
B．1006
C．2013
D．1007
【答案】C
【解析】由 f(x+1)=f(x-1) 知函数 f(x) 图象周期为 2，由 f(x)=f(-x+2) 知函数 f(x) 图象关于直线 x=1 对称，又方程 f(x)=0 在 [0,1] 内有且只有一个根 x=12，所以方程 f(x)=0 在 [1,2] 内有且只有一个根 x=32，所以方程 f(x)=0 在一个周期内有且只有两个根，在半个周期内有且只有一个根，故 f(x)=0 在区间 [0,2013] 内根的个数为 2013．
例2.定义在 R 上的函数 f(x) 满足 f(1+x)=f(1-x)，又 g1(x)=f(x+3)，g2(x)=f(3-x)，给出下列命题：
① f(x) 的图象关于直线 x=1 对称，g1(x) 的图象与 g2(x) 的图象关于直线 x=3 对称；
② f(x) 的图象关于直线 x=1 对称，g1(x) 的图象与 g2(x) 的图象关于直线 x=0 对称；
③ g1(x) 的图象关于直线 x=-2 对称，g2(x) 的图象关于直线 x=2 对称；
④ g1(x) 的图象关于直线 x=-2 对称，g2(x) 的图象关于直线 x=4 对称．
其中正确的命题是________（填入正确命题的序号）．
【答案】②③
【解析】因为 (1+x)+(1-x)=2，f(1+x)=f(1-x)，所以 f(x) 的图象关于直线 x=1 对称，因为 g2(-x)=f(3+x)=g1(x)，所以 g1(x) 与 g2(x) 的图象关于 y 轴对称，所以②对；因为 g1(x)=f(x+3) 的图象是由 f(x) 的图象向左平移 3 个单位，所以 g1(x) 的图象关于直线 x=-2 对称，所以 g2(x) 的图象关于直线 x=2 对称，所以③对．
变式2.给出定义：设 f'(x) 是函数 y=f(x) 的导数，f''(x) 是函数 f'(x) 的导数，若方程 f''(x)=0 有实数解 x0，则称点 (x0,f(x0)) 为函数 y=f(x) 的“拐点”．对于三次函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d (a≠0)，有如下真命题：任何一个三次函数都有唯一的“拐点”，且该“拐点”就是 f(x) 的对称中心，给定函数 f(x)=13x3-12x2+3x-512，请你根据上面结论，计算 f(12016)+f(22016)+⋅⋅⋅+f(20142016)+f(20152016)= ________．
【答案】2015
【解析】函数的导数 f'(x)=x2-x+3，f''(x)=2x-1，由 f''(x0)=0 得 2x0-1=0，解得 x0=12，而 f(12)=1，故函数 f(x) 关于点 (12,1) 对称，所以 f(x)+f(1-x)=2，
故
f(12016)+f(22016)+⋅⋅⋅+f(20152016)=2×1007+f(12)=2014+1=2015.
例3.已知函数 f(x) 是 R 上的奇函数，若将 f(x) 不管向左还是向右平移一个单位都将得到一个偶函数，记向左平移一个单位得到的函数为 g(x)，且 f(-1)=10，则 g(0)+g(1)+g(2)+g(3)+⋅⋅⋅+g(2010)+g(2011)= ________．
【答案】 0
【解析】由题可得 f(x) 关于 x=1 对称，再结合 f(x) 为奇函数，可得 f(x) 是以 4 为周期的函数，又 f(0)=0，f(1)=-10，f(2)=0，f(x) 一个周期内的函数值之和为 0．
变式3.已知定义在R 上的函数f(x)的图象关于点(-34,0)成中心对称，对任意实数x都有f(x)=-1f(x+32)，且f(-1)=1，f(0)=-2，则f(0)+f(1)+⋯+f(2013)＝ ________
【答案】-2
【解析】由函数关于点(-34,0)对称可知 f(x)+f(-32-x)=0，
所以f(1)+f(-52)=0，
因为f(x)=-1f(x+32)
所以f(-52)=-1f(-1)=-1，
所以f(1)=1，
因为f(x)=-1f(x+32)，
所以f(x-3)=-1f(x-32)=f(x)，
即f(x) 是以3为周期的函数，
故f(3)=f(0)=-2
f(2)=f(-1)=1，
所以f(0)+f(1)+f(2)+…+(2013)=f(0)+[f(1)+f(2)+f(3)]×671=f(0)=-2.
考点五.函数的综合应用
例1.【2019年重庆高二下学期期末考试数学试卷（区县卷文）】定义在 R 上的偶函数 f(x) 满足 f(x)+f(x+1)=0，且在 [-1，0] 上单调递减，则( )
A．f(5)
【解析】∵ 定义在 R 上的偶函数 f(x) 满足 f(x)+f(x+1)=0，
∴f(x+1)=-f(x)，
∴f(x+2)=f(x)，
∴ 周期 T=2，
∵f(x) 在 [-1,0] 上单调递减，
∴f(x) 在 [0,1] 上单调递增，在 [1,2] 上单调递减，
∴-f(2)=f(2-1)，f(3)=f(3-2)=f(2-3)，f(5)=f(5-2)，
∵5-2<2-3<2-1，
∴f(5-2)
变式1.【2019年广东深圳龙岗区高一上学期期末考试数学试卷】设 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x⩾0 时，f(x)=x2，若对于任意的 x∈[t,t+2]，不等式 f(x+t)⩾94f(x) 恒成立，则实数 t 的取值范围是________．
【答案】[2,+∞)
【解析】【分析】：由当 x⩾0 时，f(x)=x2，函数是奇函数，可得当 x<0 时，f(x)=-x2，从而 f(x) 在 R 上是单调递增函数，且满足 94f(x)=f(32x)，再根据不等式 f(x+t)⩾94f(x)=f(32x) 在 [t,t+2] 恒成立，可得 x+t⩾32x 在 [t,t+2] 恒成立，即可得出答案．
当 x⩾0 时，f(x)=x2，
∵ 函数是奇函数，
∴ 当 x<0 时，f(x)=-x2，
∴f(x)={x2,x⩾0-x2,x<0
∴f(x) 在 R 上是单调递增函数．
且满足 94f(x)=f(32x)，
∵ 不等式 f(x+t)⩾94f(x)=f(32x) 在 [t,t+2] 恒成立，
∴x+t⩾32x 在 [t,t+2] 恒成立，
即：x⩽2t 在 [t,t+2] 恒成立，
∴t+2⩽2t，
解得：t⩾2．
故答案为：[2,+∞)．
【备注】【点评】：本题考查了函数恒成立问题及函数的奇偶性，难度适中，关键是掌握函数的单调性与奇偶性．
例2.【2018年9月广东深圳宝安区高三上学期月考数学试卷（理）】设 f(x) 的定义在 R 上的偶函数，且当 x⩾0 时，f(x)={-x2+1,0⩽x<12-2x,x⩾1，若对任意的 x∈[m,m+1]，不等式 f(1-x)⩽f(x+m) 恒成立，则实数 m 的最大值是________．
【答案】-13
【解析】【分析】：由题意 f(x) 为偶函数，求得 f(x) 在 x⩾0 上连续，且为减函数，f(|1-x|)⩽f(|x+m|)，即为 |x-1|⩾|x+m|，即有 (2x-1+m)(m+1)⩽0，由一次函数的单调性，解不等式即可得到所求最大值．
当 x⩾0 时，f(x)={-x2+1,0⩽x<12-2x,x⩾1
可得 0⩽x<1 时，f(x)=1-x2 递减，
f(x)∈(0,1]，
当 x⩾1 时，f(x) 递减，且 f(1)=0，f(x)∈(-∞,0]，
f(x) 在 x⩾0 上连续，且为减函数，
对任意的 x∈[m,m+1]，不等式 f(1-x)⩽f(x+m) 恒成立，
可得 f(|1-x|)⩽f(|x+m|)，
即为 |x-1|⩾|x+m|，
即有 (2x-1+m)(m+1)⩽0，
由一次函数的单调性，可得：
(2m-1+m)(m+1)⩽0，且 (2m+2-1+m)(m+1)⩽0，
即为 -1⩽m⩽13 且 -1⩽m⩽-13，
即有 -1⩽m⩽-13，
则 m 的最大值为 -13．
故答案为：-13．
【备注】【点评】：本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用偶函数的性质和单调性，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
变式2.函数 f(x) 是定义在 R 上的偶函数，且满足 f(x+2)=f(x)，当 x∈[0,1] 时，f(x)=2x，若方程 ax+a-f(x)=0(a>0) 恰有三个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围是( )．
A．(12,1)
B．[0,2]
C．(1,2)
D．[1,+∞)
【答案】A
【解析】因为 f(x+2)=f(x)，
所以周期为 T=2．
因为原方程 ax+a-f(x)=0(a>0)，
移项变形得 f(x)=a(x+1),(a>0)，
所以 y=f(x) 与 y=a(x+1),(a>0) 的曲线交点恰好有三个．
求两个临界点：
当直线 y=a(x+1),(a>0) 过点 (1,2)，所以 a=1，
当直线 y=a(x+1),(a>0) 过点 (3,2)，所以 a=12，
由图象知道斜率 k=a∈(12,1)．
课后练习
一 单选题
1.【2019年重庆重庆市南开中学高一上学期期中考试数学试卷】定义在 R 上的 f(x) 满足：f(1-x)=f(1+x)，且对任意两个不相等的实数 x1，x2∈[1,+∞)，都有 f(x1)-f(x2)x1-x2>0，f(2)=0，则 f(x)x-1>0 的解集为( )
A．(-∞,0)∪(1,2)
B．(-∞,0)∪(2,+∞)
C．(0,1)∪(1,2)
D．(0,1)∪(2,+∞)
【答案】D
【解析】【分析】：根据条件可得出 f(x) 在 [1,+∞) 上是增函数，而根据 f(1-x)=f(1+x) 可得出 f(x) 关于 x=1 对称，从而得出 f(x) 在 (-∞,1] 上是减函数，并且可得出 f(0)=f(2)=0，从而根据原不等式可得出 {f(x)>f(2)x>1 或 {f(x)
∴f(x) 在 [1,+∞) 上单调递增，又 f(1-x)=f(1+x)，∴f(x) 关于 x=1 对称，
∴f(x) 在 (-∞,1] 上单调递减，且 f(2)=0，
∴f(0)=0，
∴ 由 f(x)x-1>0 得，{f(x)>f(2)x>1 或 {f(x)2 或 0
故选 D
2.【2019年浙江温州高二上学期期中考试数学试卷新力量联盟】设函数f(x)=|x|-12019+x2，则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是( )
A．(13，1)
B．(-∞，13)⋃(1，+∞)
C．(-13，13)
D．(-∞，-13)⋃(13，+∞)
【答案】A
【解析】【解答】f(x)是R上的偶函数，x⩾0时，f(x)=x-12019+x2，
∴f(x)在[0，+∞)上是增函数，
∴由f(x)>f(2x-1)得，f(|x|)>f(|2x-1|)，
∴|x|>|2x-1|，
∴x2>4x2-4x+1，解得13
故选A．
【分析】可以判断出f(x)是R上的偶函数，且在[0，+∞)上是增函数，从而根据f(x)>f(2x-1)得出|x|>|2x-1|，从而得出x2>(2x-1)2，解出x的范围即可．
【备注】【点评】本题考查了偶函数的定义，二次函数、一次函数的单调性，增函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．
3.【2018年浙江杭州十四康桥高一上学期期中考试数学试卷】设函数f(x)={2x+1,x>00,x=02x-1,x<0，若不等式f(x-1)+f(mx)>0对任意x>0恒成立，则实数m的取值范围是 ( )
A．(-14,14)
B．(0,14)
C．(14,+∞)
D．(1,+∞)
【答案】C
【解析】由f(x)={2x+1,x>00,x=02x-1,x<0
设x>0,-x<0,f(-x)=-2x-1=-(2x+1)=-f(x)
设x<0,-x>0,f(-x)=-2x+1=-(2x-1)=-f(x)
所以函数f(x)为定义域上的奇函数．
且易知函数为定义域上的增函数，
由若不等式f(x-1)+f(mx)>0对任意x>0恒成立，得
f(mx)>-f(x-1)=f(1-x)对任意x>0恒成立，即mx>1-x对任意x>0恒成立∴m>-x2+x对任意x>0恒成立
∵-x2+x=-(x-12)2+14⩽14∴m>14
故选：C．
4.奇函数 f(x) 满足 f(x+2)=-f(x)，当 x∈(0,1) 时，f(x)=3x+12，则 f(log354)=( )
A．-2
B．-76
C．76
D．2
【答案】A
【解析】本题考查函数的奇偶性和周期性，利用 f(x+2)=-f(x) 确定函数的周期为 4，再利用奇偶性即可解得．本题考查函数的奇偶性和周期性，利用 f(x+2)=-f(x) 确定函数的周期为 4，再利用奇偶性即可解得．
由 f(x+2)=-f(x) 得 f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x)．
∴f(x) 是以 4 为周期的周期函数．
又∵f(log354)=f(log381×23)=f(4+log323)=f(log323)=f(-log332)=-f(log332)
∵0
∴f(log354)=-2．
故选 A
5.已知定义在 R 上的函数 f(x)，对任意 x∈R，都有 f(x+6)=f(x)+f(3) 成立，若函数 y=f(x+1) 的图象关于直线 x=-1 对称，则 f(2013)=( )
A．2013
B．3
C．0
D．-2013
【答案】C
【解析】由定义在 R 上的函数 f(x)，满足 y=f(x+1) 的图象关于直线 x=-1 对称，所以 f(x) 关于 y 轴对称，f(x) 为偶函数；因为 f(x+6)=f(x)+f(3)，所以 f(3)=f(-3)+f(3)，得 f(3)=0，所以 f(x+6)=f(x)，函数的周期为 6．f(2013)=f(6×335+3)=f(3)=0．
6.定义在 R 上的偶函数 f(x) 满足 f(x-3)=-f(x)，对 ∀x1，x2∈[0,3] 且 x1≠x2，都有 f(x1)-f(x2)x1-x2>0，则有( )
A．f(49)
【解析】根据题意，函数 f(x) 满足 f(x-3)=-f(x)，
有 f(x-6)=-f(x-3)=f(x)，则函数 f(x) 是周期为 6 的函数，
f(49)=f(1+6×8)=f(1)，
f(81)=f(-3+6×14)=f(-3)，
f(64)=f(-2+6×11)=f(-2)，
又由函数为偶函数，则 f(49)=f(1+6×8)=f(1)，
f(81)=f(-3)=f(3)，
f(64)=f(-2)=f(2)，
又由对 ∀x1，x2∈[0,3] 且 x1≠x2，都有 f(x1)-f(x2)x1-x2>0，
则函数 f(x) 在区间 [0,3] 上为增函数，
进而有 f(1)
二 多选题
7．（2020•山东新高考模拟演练3）已知函数，，则以下结论错误的是( )
A．任意的，且，都有
B．任意的，且，都有
C．有最小值，无最大值
D．有最小值，无最大值
【答案】ABC
【解析】答案：ABC
分析 ：根据与的单调性逐个判定即可.
详解：对A, 中为增函数,为减函数.故为增函数.故任意的,且,都有.故A错误.
对B,易得反例,.故不成立.故B错误.
对C, 当因为为增函数,且当时,
当时.故无最小值,无最大值.故C错误.
对D, ,当且仅当即时等号成立. 当时.故有最小值,无最大值.
故选：ABC
点睛：本题主要考查了函数的单调性与最值的判定,需要根据指数函数的性质分析.属于基础题.
8．（2020•山东新高考模拟演练5）已知函数，若的最小值为，则实数a的值可以是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】BCD
【解析】答案：BCD
分析 ：当时,利用均值定理可知,当时,若为最小值,需使得对称轴满足,且由分段函数,,进而求解即可
详解 ：当,,
当且仅当时,等号成立；
当时,为二次函数,要想在处取最小,
则对称轴要满足,且,
即,解得,
故选:BCD
点睛 ：本题考查分段函数的最值问题,处理时应对每段函数进行分类讨论,找到每段的最小值
9.（2020•福建泉州）已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(1＋x)＝f(1－x)。若f(1)＝1，则
A.f(x)是周期函数
B.当n为偶数时，f(n)＝0
C.f(1)＋22f(2)＋32f(3)＋…＋62f(6)＝16
D.f(1)＋22f(2)＋32f(3)＋…＋(4n＋2)2f(4n＋2)＝8n2＋8n＋1
【答案】ABD
三 填空题
10.设函数 y=f(x) 的定义域为 D，若对于任意的 x1,x2∈D 当 x1+x2=2a 时，恒有 f(x1)+f(x2)=2b，则称点 (a,b) 为函数 y=f(x) 图象的对称中心．研究函数 f(x)=x3+sinx+2 的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到 f(-1)+f(-1920)+⋯+f(1920)+f(1)= ________．
【答案】82
【解析】显然 f(x)+f(-x)=4，所以 f(-1)+f(-1920)+⋯+f(0)+⋯+f(1920)+f(1)=20×4+2=82．
11.已知函数f(x)=x3+x+1，若对任意的x，都有f(x2+a)+f(ax)>2，则实数a的取值范围是________
【答案】(0,4)
【解析】对于函数f(x) 容易看出x3+x全为奇次项，故为奇函数
构造函数g(x)=f(x)-1=x3+x，
则函数g(x)是奇函数且在R上单调递增，
由f(x2+a)+f(ax)>2，
等价于g(x2+a)+g(ax)>0，
所以x2+a>-ax，
∴ x2+a+ax>0恒成立，
∴ Δ=a2-4a<0
∴ 0
12.【2018年江苏南京南京师范大学附属中学高一上学期期中考试数学试卷】已知函数 f(x) 是 R 上的偶函数，且 f(x) 在区间 [0,+∞) 上是单调增函数，若 f(1)=0，则满足 f(x-2)<0 的实数 x 的取值范围是________．
【答案】(1,3)
【解析】【分析】：根据函数的奇偶性和单调性的关系，将不等式进行等价转化，然后利用单调性进行求解即可．
∵f(x) 是 R 上的偶函数，f(1)=0，
∴ 不等式 f(x-2)<0 等价为 f(|x-2|)
∴|x-2|<1，
得 -1
故答案为：(1,3)．
【备注】【点评】：本题主要考查不等式的求解，结合函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．难度不大．
13.【2018年陕西西安碑林区交大附中高一上学期月考数学试卷】已知函数y=f(x)是偶函数，且当x⩾0时，f(x)=x-1，则不等式f(x-1)<0的解集是________
【答案】(0,2)
【解析】由题意知，f(x)<0,解得：x∈(-1,1)，则f(x-1)<0得：
-1
四 解答题
14.【2020年浙江杭州杭州源清中学高一上学期期中考试数学试卷】
已知 f(x)=ax+b1+x2 是定义在 (-1,1) 上的奇函数，且 f(12)=25．
(1) 求 a，b 的值；
(2) 判断函数 f(x) 在 (-1,1) 上的单调性并用定义进行证明；
(3) 解不等式 f(x-1)+f(x)<0．
（1）【答案】a=1，b=0
【解析】根据题意，f(x)=ax+b1+x2 是定义在 (-1,1) 上的奇函数，
则有 f(0)=b1=0，则 b=0，
又由 f(12)=25，则 a×(12)1+14=25，
解可得 a=1，
故 a=1，b=0．
(2)解析】由 (1) 可得：f(x)=x1+x2，
任取 -1
则 f(x1)-f(x2)<0，
故函数 f(x) 在 (-1,1) 上是增函数．
(3)【答案】(0,12)
【解析】由于 f(x-1)+f(x)<0⇒f(x-1)<-f(x)⇒f(x-1)
15.【2018年江西南昌高一上学期月考数学试卷（安义中学、南昌十九中联考）】
已知 f(x) 是定义在 [-1,1] 上的奇函数，且 f(1)=1，当 a，b∈[-1,1]，且 a+b≠0 时，有 f(a)+f(b)a+b>0．
(1) 说明函数的单调性；
(2) 若 f(x)⩽m2-2am+1 对所有 a∈[-1,1] 恒成立，求实数 m 的取值范围．
(1)【答案】函数 f(x) 增函数
【解析】根据题意，设 -1⩽x1⩽x2⩽1．
又由函数 f(x) 为奇函数，则 f(-x2)=-f(x2)．
则 f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1)+f(-x2)x1+(-x2)(x1-x2)．
又由当 a,b∈[-1,1]，且 a+b≠0 时，有 f(a)+f(b)a+b>0，则有 f(x1)+f(-x2)x1+(-x2)>0．
又由 (x1-x2)<0．
则有 f(x1)-f(x2)<0，即 f(x1)
(2)【答案】m 的取值范围是 m=0 或 m⩽-2 或 m⩾2
【解析】根据题意，f(1)=1，f(x) 在 [-1,1] 上单调递增．
∴f(x) 在 [-1,1] 上的最大值为 1．
第三节 函数的奇偶性及周期性
知识回顾
1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称
2.函数奇偶性的几个重要结论
(1)f(x)为奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称；f(x)为偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称．
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．
(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．
3．函数的对称性
(1)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)关于直线x＝对称，特别地，当a＝b＝0时，函数y＝f(x)关于y轴对称，此时函数y＝f(x)是偶函数．
(2)若函数y＝f(x)满足f(x)＝2b－f(2a－x)，则函数y＝f(x)关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，f(x)＝－f(－x)，则函数y＝f(x)关于原点对称，此时函数f(x)是奇函数．
4.函数的周期性
(1)周期函数
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
5.关于周期的结论
(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a；
(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a；
(3)若f(x＋a)＝，则函数的周期为2a；
(4)若f(x＋a)＝－，则函数的周期为2a.
课前检测
1．下列函数中为偶函数的是( )
A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x
C．y＝|ln x| D．y＝2－x
解析：选B A中函数为奇函数，B中函数为偶函数，C与D中函数均为非奇非偶函数，故选B.
2．下列函数为奇函数的是( )
A．y＝ B．y＝ex
C．y＝|x| D．y＝ex－e－x
解析：选D A、B选项中的函数为非奇非偶函数；C选项中的函数为偶函数；D选项中的函数为奇函数，故选D.
3.【2020年浙江杭州杭州市西湖高级中学高一上学期期末考试数学试卷】若函数 f(x)=(2x+1)(x-a)x(x≠0) 为奇函数，则实数 a=( )
A．12
B．0
C．-1
D．1
【答案】A
【解析】∵ 函数 f(x)=(2x+1)(x-a)x(x≠0) 为奇函数，
∴f(-x)=(-2x+1)(-x-a)-x=-(2x-1)(x+a)x=-f(x)=-(2x+1)(x-a)x，
∴f(2x-1)(x+a)=(2x+1)(x-a)，即 2x2-a+(1-2a)x，化简得 (2a-1)x=0，则 a=12．
故选 A
4.【2019年浙江杭州单元测试】已知y=f(x)在R上为奇函数，当x<0，f(x)=1x-1，则当 x>0时， f(x)的解析式为 ________
【答案】f(x)=1x+1
【解析】x>0,-x<0,f(x)=-f(-x)=1x+1
5.【2019年浙江宁波宁波效实中学高一上学期期中考试数学试卷（理）】已知定义在 R 上的偶函数 f(x)，当 x⩽0 时，f(x)=xx-1，则函数 f(x) 的解析式为______________________；若有 f(2a)>f(a-2)，则 a 的取值范围为______________________．
【答案】f(x)={xx+1,x>0xx-1,x⩽0；(-∞,-2)∪(23,+∞)
【解析】【分析】：首先设 x>0，-x<0，利用函数是偶函数求函数的解析式；
因为函数是偶函数，所以不等式转化为 f(|2a|)>f(|a-2|)，利用函数在 (0,+∞) 的单调性解不等式．
设 x>0，-x<0，
∵ 函数是偶函数，
∴f(x)=f(-x)=-x-x-1=xx+1，
∵ 函数 f(x) 的解析式为 f(x)={xx+1,x>0xx-1,x⩽0
当 x>0 时，f(x)=xx+1=1-1x+1，
当 x>0 时，函数单调递增，
∴f(2a)>f(a-2)⇔f(|2a|)>f(|a-2|)，
∴|2a|>|a-2|，即 4a2>(a-2)2，
3a2+4a-4>0⇒(a+2)(3a-2)>0，
∴a>23 或 a<-2．
故答案为 f(x)={xx+1,x>0xx-1,x⩽0；(-∞,-2)∪(23,+∞)．
【备注】【点睛】：本题考查利用函数的奇偶性，求函数的解析式和解不等式，意在考查转化与化归，属于基础题型，如果函数在定义域内是连续的，奇函数，并且单调递增，那么解 f(x1)
考点一.奇偶性的判断
例1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3－x；
(2)f(x)＝(x＋1) ；
(3)f(x)＝
解 (1)定义域为R，关于原点对称，
又f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－(x3－x)
＝－f(x)，
所以函数为奇函数．
(2)由≥0可得函数的定义域为(－1,1]．
∵函数定义域不关于原点对称，
∴函数为非奇非偶函数．
(3)当x>0时，－x<0，f(x)＝－x2＋x，
∴f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x
＝－(－x2＋x)
＝－f(x)；
当x<0时，－x>0，f(x)＝x2＋x，
∴f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x
＝－(x2＋x)＝－f(x)．
所以对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
均有f(－x)＝－f(x)．
∴函数为奇函数．
例2.【2020年9月陕西西安长安区第一中学高一上学期月考数学试卷】设函数 f(x)，g(x) 的定义域为 R，且 f(x) 是奇函数，g(x) 是偶函数，则下列结论正确的是( )
A．f(x)g(x) 是偶函数
B．|f(x)|g(x) 是奇函数
C．f(x)|g(x)| 是奇函数
D．|f(x)g(x)| 是奇函数
【答案】C
【解析】函数 f(x) 和 g(x) 分别是 R 上的奇函数和偶函数，则 |f(x)| 和 |g(x)| 都是偶函数
A．奇 × 偶 = 奇，可得 f(x)g(x) 为奇函数，选项 A 错误；
B．偶 × 偶 = 偶，可得 |f(x)|g(x) 为偶函数，选项 B 错误；
C．奇 × 偶 = 奇，可得 f(x)|g(x)| 为奇函数，选项 C 正确；
D．若 f(x) 具备奇偶性，则 |f(x)| 为偶函数，所以 |f(x)g(x)| 为偶函数，选项 D 错误．
【备注】【考点】：奇偶性判定．
识记常见函数的奇偶性和口诀，可以快速准确地判定函数的奇偶性．
考点二.奇偶性的应用
例1.【2018年4月江西南昌江西师范大学附属中学高三下学期月考数学试卷（文）】定义在 R 上的函数 f(x) 满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，(x、y∈R)，f(1)=2，有下列命题：
① f(-2)=2；
② 设 g(x)=f(x)+f(-x)，g(x) 是偶函数；
③ 设 h(x)=f(x+1)-f(x)，h(x) 是常函数；
④ 若 x∈N*，则 f(x) 的值可组成等差数列．
其中正确命题有________ ．（填所有正确命题序号）
【答案】①②
【解析】① 令 x=y=0，f(0)=0，f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)+2=6．∴f(2-2)=f(2)+f(-2)-8．∴f(-2)=2，① 正确．
② 令 x+y=0．∴y=-x．∴f(0)=f(x)+f(-x)-2x2．∴f(x)+f(-x)=2x2，即 g(x)=2x2 是偶函数，② 正确．
③ 令 y=1．∴f(x+1)=f(x)+f(1)+2x．∴f(x+1)-f(x)=2+2x，即 h(x)=2x+2 是增函数，③ 错误．
④ 由 ③ 知，f(n+1)-f(n)=2n+2，不为常数，④ 错误．
故答案为 ①②
变式1.【2018年10月浙江金华东阳中学高一上学期月考数学试卷】已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，若对于任意给定的实数 x1，x2，且 x1≠x2，不等式 x1f(x1)+x2f(x2)
【解析】不等式 x1f(x1)+x2f(x2)
故函数 f(x) 在 R 上是减函数．
再根据函数为奇函数，可得 f(0)=0，
若不等式 (x+1)f(1-2x)<0，
则 {x+1>01-2x>0，解得：-1
故不等式的解集是 (-1,12)．
故答案为：(-1,12)．
例2.【2017年陕西西安西安电子科技大学附属中学高一上学期期中考试数学试卷】已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x>0 时，f(x)=x2+2x，则 f(x) 在 R 上的解析式是____________________．
【答案】f(x)={-x2+2x,x⩽0x2+2x,x>0
【解析】由于函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x<0 时，f(x)=-f(-x)=-x2+2x；当 x=0 时，f(0)=0，故 x⩽0 时，f(x)=-x2+2x，所以 f(x)={-x2+2x,x⩽0x2+2x,x>0
变式2.【2020年9月陕西西安西安交通大学第二附属中学高一上学期月考数学试卷】已知 f(x) 是偶函数，x∈R，当 x>0 时，f(x) 为增函数，若 x1<0，x2>0，且 |x1|<|x2|，则有( )
A．f(-x1)>f(-x2)
B．f(-x1)
D．-f(x1)
【解析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．
∵f(x) 是偶函数，根据偶函数性质 f(-x)=f(x)=f(|x|)，
可得：f(-x1)=f(x1)=f(|x1|)，f(-x2)=f(x2)=f(|x2|)，
∵0<|x1|<|x2|，当 x>0 时，f(x) 为增函数，可得：f(|x1|)
例3.【2020年浙江杭州杭州源清中学高一上学期期末考试数学试卷】已知 f(x)=ax2+bx 是定义在 [a-1,2a] 上的偶函数，那么 a+b 的值是( )
A．-13
B．13
C．12
D．-12
【答案】B
【解析】根据偶函数的定义域关于原点对称，
且 f(x) 是定义在 [a-1,2a] 上的偶函数，
得 a-1=-2a，解得 a=13，又 f(-x)=f(x)，
∴b=0，∴a+b=13．
故选 B
变式3.【2019年浙江台州高一上学期期中考试数学试卷五校】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)为单调递增函数，且f（1）=0，则满足xf(x)<0的x的取值范围是( )
A．(-∞，-1)⋃(0，1)
B．(0,1)
C．(1,+∞)
D．(-1，0)⋃(0，1)
【答案】D
【解析】【解答】∵定义在R上的奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，且f（1）=0，
∴函数f(x)在(-∞,0)上单调递增，且f（-1）=0，
∴不等式xf(x)<0，
∴{x>0f(x)<0或{x<0f(x)>0
0
故选D．
【分析】先确定函数f(x)在(-∞,0)上单调递增，且f（-1）=0，再将不等式等价变形，即可得到结论．
【备注】【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，关键利用函数上奇函数得到对称区间得单调性，经常考查，属于基础题．
变式4.（多选）已知函数 f(x) 对任意实数 x，y，恒有 f(x+y)=f(x)+f(y) 且当 x>0，f(x)<0．其中正确的结论是( )
A．f(0)=0
B．f(x) 为偶函数
C．f(x) 为 R 上减函数
D．f(x) 为 R 上增函数
【答案】AC
【解析】A．令 x=y=0，则 f(0)=f(0)+f(0)=2f(0)，∴f(0)=0，故 A 正确；
B．令 y=-x，则 f(x-x)=f(x)+f(-x)=0，∴f(-x)=-f(x)，f(x) 是奇函数，故 B 不正确；
C．当 x>0，f(x)<0，由 f(x) 是奇函数知，x<0 时，f(x)>0，∴f(x) 为 R 上的减函数，故 C 正确．
故本题正确答案为 AC
考点三.周期性的应用
例1.定义在R上的函数f(x)满足：f(x+2)=1-f(x)1+f(x)，当x∈(0,4)时，f(x)=x2-1，则f(2010)= ________ ．
【答案】3
【解析】∵定义在R上的函数f(x)满足：f(x+2)=1-f(x)1+f(x)
∴f(x+4)=1-f(x+2)1+f(x+2)=1-1-f(x)1+f(x)1+1-f(x)1+f(x)=f(x)
故函数的周期是4
∴f(2010)=f(2)
又x∈(0,4)时，f(x)=x2-1，
∴f(2010)=f(2)=22-1=3
故答案为3
变式1.已知函数 f(x) 满足 f(x+2)=1+f(x)1-f(x)(x∈R)，f(2)=12，则 f(2004) 等于( )
A．12
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【解析】f(x+4)=f[(x+2)+2]=1+f(x+2)1-f(x+2)=1+1+f(x)1-f(x)1-1+f(x)1-f(x)=1f(x)，
f(x+8)=f[(x+4)+4]=1f(x+4)=f(x)，
则 f(x) 是以 8 为周期的周期函数，
从而 f(2004)=f(250×8+4)=f(2+2)=1+f(2)1-f(2)=3．
例2.已知：函数 f(x) 是 R 上的偶函数，g(x) 是 R 上的奇函数，且 g(x)=f(x-1)，若 f(2)=2，则 f(2006) 的值为________．
【答案】 2
【解析】可先证明 f(x) 是周期函数，因为 g(x)=f(x-1)，所以 g(-x)=f(-x-1)，由于 g(x) 为奇，即 g(-x)=-g(x)，所以 f(-x-1)=-f(x-1)⋯⋯①，又 f(x) 为偶，所以 f(-x-1)=f(x+1)，即 f(x+1)=-f(x-1)⋯⋯②，在②中 x+1 替换 x，得 f(x+2)=-f(x)⋯⋯③，在③中用 x+2 替换 x，得 f(x+4)=-f(x+2)④，对比③，④ 得 f(x+4)=f(x)，从而 f(x) 是以 4 为周期的周期函数；所以 f(2006)=f(2)＝2．
变式2.定义在 R 上的函数 f(x) 满足 f(x+6)=f(x)，当 -3≤x≤-1 时，f(x)=-(x+2)2，当 -1≤x<3 时，f(x)=x．则 f(1)+f(2)+…+f(2012)=( )
A．335
B．338
C．1678
D．2012
【答案】B
【解析】由 f(x+6)=f(x) 可知，f(x) 是以 6 为周期的函数，可根据题目信息分别求得 f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)，f(6) 的值，再利用周期性即可得答案．
本题考查函数的周期，由题意，求得 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(6)= 是关键，考查转化与运算能力，属于中档题．
∵f(x+6)=f(x)．
∴f(x) 是以 6 为周期的函数．
又当 -1≤x<3 时，f(x)=x．
∴f(1)+f(2)=1+2=3，f(-1)=-1=f(5)，f(0)=0=f(6)；
当 -3≤x<-1 时，f(x)=-(x+2)2．
∴f(3)=f(-3)=-(-3+2)2=-1．
f(4)=f(-2)=-(-2+2)2=0．
∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=1+2-1+0+(-1)+0=1．
∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2012)=[f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2010)]+f(2011)+f(2012)=335×1+f(1)+f(2)=338
故选 B
例3.设偶函数f(x)对任意x∈R，都有f(x+3)=-1f(x)，且当x∈[-3,-2]时，f(x)=4x，则f(107.5)= ( )
A．10
B．110
C．-10
D．-110
【答案】B
【解析】
解：因为f(x+3)=-1f(x)，故有f(x+6)=-1f(x+3)=-1-1f(x)=f(x).函数f(x)是以6为周期的函数．
f(107.5)=f(6×17+5.5)=f(5.5)=-1f(2.5)=-1f(-2.5)=-14×(-2.5)=110．
故选B
先通过有f(x+3)=-1f(x)，且可推断函数f(x)是以6为周期的函数.进而可求得f(107.5)=f(5.5)，再利用f(x+3)=-1f(x)以及偶函数f(x)和x∈[-3,-2]时，f(x)=4x即可求得f(107.5)的值．
本题主要考查了函数的周期性.要特别利用好题中有f(x+3)=-1f(x)的关系式.在解题过程中，条件f(x+a)=-1f(x)通常是告诉我们函数的周期为2a．
变式3.设定义在 R 上的函数 f(x) 满足 f(x)⋅f(x+2)=13，若 f(1)=2，则 f(2015)= ( )．
A．0
B．2
C．132
D．20152
【答案】C
【解析】又 f(x)=13f(x+2)，f(x+2)=13f(x+4)，所以 f(x)=f(x+4)，所以函数 f(x) 的周期为 4，f(2015)=f(4×503+3)=f(3)=13f(1)=132．
例4.已知定义在 Z 上的函数 f(x)，对任意 x，y∈Z，都有 f(x+y)+f(x-y)=4f(x)f(y) 且 f(1)=14，则 f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2017)=________ ．
【答案】34
【解析】本题考查了函数周期性的应用，转化思想，化简、变形能力，属于中档题．
令 y=1 推导 f(x) 的关系及周期，再计算 f(0)，利用 f(x) 的周期性即可得出答案．
令 y=1 得：f(x+1)+f(x-1)=f(x)．
∴f(x+2)+f(x)=f(x+1)．
∴f(x-1)=-f(x+2)，即 f(x-1)+f(x+2)=0．
∴f(x)+f(x+3)=0．
∴f(x-3)+f(x)=0．
∴f(x-3)=f(x+3)．
∴f(x) 的周期为 6．
且 f(0)+f(1)+f(2)+…+f(5)=[f(0)+f(3)]+[f(1)+f(4)]+[f(2)+f(5)]=0
∴ f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2017)=f(2016)+f(2017)=f(0)+f(1)
令 x=1，y=0 得 2f(1)=f(0)．
∴f(0)=12．
∴f(0)+f(1)=34．
故答案为 34．
例5.设函数 D(x)={1,x为有理数0,x为无理数 关于函数 D(x) 有以下四个结论：
① D(x) 值域为 [0,1]；② D(x) 是周期函数；③ D(x) 是单调函数；④ D(x) 是偶函数；
其中正确的结论个数为：( )
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【解析】D(x) 的值域为 {0,1}；命题①不正确；因为 D(x+1)=D(x)，所以 T=1 是函数 D(x) 的一个周期；命题②正确；因为 D(1)=1，D(2)=0，所以命题③不正确；因为 D(-x)=D(x)，所以命题④正确．
变式5.【2020年9月陕西西安西安车辆厂中学高一上学期月考数学试卷】老师给出一个函数 y=f(x)，四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质：
甲：对任意 x∈R，都有 f(1+x)=f(1-x)；
乙：在 (-∞,0] 上，函数 f(x) 单调递减；
丙：在 (0,+∞) 上，函数 f(x) 单调递增；
丁：f(0) 不是函数 f(x) 的最小值．
如果其中恰有三个人说得正确，则函数 f(x) 的解析式可能是________．
【答案】f(x)=(x-1)2 或 f(x)={-x+1,x⩽0x,x>0（答案不唯一）
【解析】甲的话的含义即为：函数 f(x) 的图象关于直线 x=1 对称．数形结合，不难发现：甲的话与丙的话相矛盾（在对称轴的两侧，函数的单调性相反）．
因此，我们只需找出满足"甲、乙、丁"或"乙、丙、丁"的函数即可．
如果希望找到满足"甲、乙、丁"的函数，则需要认识到：所谓函数 f(x) 在区间 (-∞,0] 上单调递减，并不是说函数 f(x) 的单调递减区间是 (-∞,0]．考虑到甲的话，我们不妨构造函数，使之在 (-∞,1] 上单调递减，这样，既不与乙的话矛盾，也满足丁的话．于是可令 f(x)=(x-1)2．
如果希望找到满足"乙、丙、丁"的函数，则分段函数是必然的选择．可令 f(x)={-x+1,x⩽0x,x>0
考点四.对称性的应用
例1.【2018年陕西西安雁塔区高新一中高一上学期期中考试数学试卷】定义在R上的奇函数f(x)，当x⩾0时，f(x)={1-2x,0⩽x<11-|x-3|,x⩾1，则关于x的函数F(x)=f(x)-a(0
B．1-2-a
C．-log2(1+a)
D．log2(1-a)
【答案】C
【解析】∵图像对称
∴{x1+x5=-2x2+x4=2，∴x1+x2+x4+x5=0
又∵y=1-2x,∴-y=1-2-x∴2-x-1=a
∴x3=-log2(1+a)，
变式1.已知 f(x+1)=f(x-1)，f(x)=f(-x+2)，方程 f(x)=0 在 [0,1] 内有且只有一个根 x=12，则 f(x)=0 在区间 [0,2013] 内根的个数为( )
A．2011
B．1006
C．2013
D．1007
【答案】C
【解析】由 f(x+1)=f(x-1) 知函数 f(x) 图象周期为 2，由 f(x)=f(-x+2) 知函数 f(x) 图象关于直线 x=1 对称，又方程 f(x)=0 在 [0,1] 内有且只有一个根 x=12，所以方程 f(x)=0 在 [1,2] 内有且只有一个根 x=32，所以方程 f(x)=0 在一个周期内有且只有两个根，在半个周期内有且只有一个根，故 f(x)=0 在区间 [0,2013] 内根的个数为 2013．
例2.定义在 R 上的函数 f(x) 满足 f(1+x)=f(1-x)，又 g1(x)=f(x+3)，g2(x)=f(3-x)，给出下列命题：
① f(x) 的图象关于直线 x=1 对称，g1(x) 的图象与 g2(x) 的图象关于直线 x=3 对称；
② f(x) 的图象关于直线 x=1 对称，g1(x) 的图象与 g2(x) 的图象关于直线 x=0 对称；
③ g1(x) 的图象关于直线 x=-2 对称，g2(x) 的图象关于直线 x=2 对称；
④ g1(x) 的图象关于直线 x=-2 对称，g2(x) 的图象关于直线 x=4 对称．
其中正确的命题是________（填入正确命题的序号）．
【答案】②③
【解析】因为 (1+x)+(1-x)=2，f(1+x)=f(1-x)，所以 f(x) 的图象关于直线 x=1 对称，因为 g2(-x)=f(3+x)=g1(x)，所以 g1(x) 与 g2(x) 的图象关于 y 轴对称，所以②对；因为 g1(x)=f(x+3) 的图象是由 f(x) 的图象向左平移 3 个单位，所以 g1(x) 的图象关于直线 x=-2 对称，所以 g2(x) 的图象关于直线 x=2 对称，所以③对．
变式2.给出定义：设 f'(x) 是函数 y=f(x) 的导数，f''(x) 是函数 f'(x) 的导数，若方程 f''(x)=0 有实数解 x0，则称点 (x0,f(x0)) 为函数 y=f(x) 的“拐点”．对于三次函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d (a≠0)，有如下真命题：任何一个三次函数都有唯一的“拐点”，且该“拐点”就是 f(x) 的对称中心，给定函数 f(x)=13x3-12x2+3x-512，请你根据上面结论，计算 f(12016)+f(22016)+⋅⋅⋅+f(20142016)+f(20152016)= ________．
【答案】2015
【解析】函数的导数 f'(x)=x2-x+3，f''(x)=2x-1，由 f''(x0)=0 得 2x0-1=0，解得 x0=12，而 f(12)=1，故函数 f(x) 关于点 (12,1) 对称，所以 f(x)+f(1-x)=2，
故
f(12016)+f(22016)+⋅⋅⋅+f(20152016)=2×1007+f(12)=2014+1=2015.
例3.已知函数 f(x) 是 R 上的奇函数，若将 f(x) 不管向左还是向右平移一个单位都将得到一个偶函数，记向左平移一个单位得到的函数为 g(x)，且 f(-1)=10，则 g(0)+g(1)+g(2)+g(3)+⋅⋅⋅+g(2010)+g(2011)= ________．
【答案】 0
【解析】由题可得 f(x) 关于 x=1 对称，再结合 f(x) 为奇函数，可得 f(x) 是以 4 为周期的函数，又 f(0)=0，f(1)=-10，f(2)=0，f(x) 一个周期内的函数值之和为 0．
变式3.已知定义在R 上的函数f(x)的图象关于点(-34,0)成中心对称，对任意实数x都有f(x)=-1f(x+32)，且f(-1)=1，f(0)=-2，则f(0)+f(1)+⋯+f(2013)＝ ________
【答案】-2
【解析】由函数关于点(-34,0)对称可知 f(x)+f(-32-x)=0，
所以f(1)+f(-52)=0，
因为f(x)=-1f(x+32)
所以f(-52)=-1f(-1)=-1，
所以f(1)=1，
因为f(x)=-1f(x+32)，
所以f(x-3)=-1f(x-32)=f(x)，
即f(x) 是以3为周期的函数，
故f(3)=f(0)=-2
f(2)=f(-1)=1，
所以f(0)+f(1)+f(2)+…+(2013)=f(0)+[f(1)+f(2)+f(3)]×671=f(0)=-2.
考点五.函数的综合应用
例1.【2019年重庆高二下学期期末考试数学试卷（区县卷文）】定义在 R 上的偶函数 f(x) 满足 f(x)+f(x+1)=0，且在 [-1，0] 上单调递减，则( )
A．f(5)
【解析】∵ 定义在 R 上的偶函数 f(x) 满足 f(x)+f(x+1)=0，
∴f(x+1)=-f(x)，
∴f(x+2)=f(x)，
∴ 周期 T=2，
∵f(x) 在 [-1,0] 上单调递减，
∴f(x) 在 [0,1] 上单调递增，在 [1,2] 上单调递减，
∴-f(2)=f(2-1)，f(3)=f(3-2)=f(2-3)，f(5)=f(5-2)，
∵5-2<2-3<2-1，
∴f(5-2)
变式1.【2019年广东深圳龙岗区高一上学期期末考试数学试卷】设 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x⩾0 时，f(x)=x2，若对于任意的 x∈[t,t+2]，不等式 f(x+t)⩾94f(x) 恒成立，则实数 t 的取值范围是________．
【答案】[2,+∞)
【解析】【分析】：由当 x⩾0 时，f(x)=x2，函数是奇函数，可得当 x<0 时，f(x)=-x2，从而 f(x) 在 R 上是单调递增函数，且满足 94f(x)=f(32x)，再根据不等式 f(x+t)⩾94f(x)=f(32x) 在 [t,t+2] 恒成立，可得 x+t⩾32x 在 [t,t+2] 恒成立，即可得出答案．
当 x⩾0 时，f(x)=x2，
∵ 函数是奇函数，
∴ 当 x<0 时，f(x)=-x2，
∴f(x)={x2,x⩾0-x2,x<0
∴f(x) 在 R 上是单调递增函数．
且满足 94f(x)=f(32x)，
∵ 不等式 f(x+t)⩾94f(x)=f(32x) 在 [t,t+2] 恒成立，
∴x+t⩾32x 在 [t,t+2] 恒成立，
即：x⩽2t 在 [t,t+2] 恒成立，
∴t+2⩽2t，
解得：t⩾2．
故答案为：[2,+∞)．
【备注】【点评】：本题考查了函数恒成立问题及函数的奇偶性，难度适中，关键是掌握函数的单调性与奇偶性．
例2.【2018年9月广东深圳宝安区高三上学期月考数学试卷（理）】设 f(x) 的定义在 R 上的偶函数，且当 x⩾0 时，f(x)={-x2+1,0⩽x<12-2x,x⩾1，若对任意的 x∈[m,m+1]，不等式 f(1-x)⩽f(x+m) 恒成立，则实数 m 的最大值是________．
【答案】-13
【解析】【分析】：由题意 f(x) 为偶函数，求得 f(x) 在 x⩾0 上连续，且为减函数，f(|1-x|)⩽f(|x+m|)，即为 |x-1|⩾|x+m|，即有 (2x-1+m)(m+1)⩽0，由一次函数的单调性，解不等式即可得到所求最大值．
当 x⩾0 时，f(x)={-x2+1,0⩽x<12-2x,x⩾1
可得 0⩽x<1 时，f(x)=1-x2 递减，
f(x)∈(0,1]，
当 x⩾1 时，f(x) 递减，且 f(1)=0，f(x)∈(-∞,0]，
f(x) 在 x⩾0 上连续，且为减函数，
对任意的 x∈[m,m+1]，不等式 f(1-x)⩽f(x+m) 恒成立，
可得 f(|1-x|)⩽f(|x+m|)，
即为 |x-1|⩾|x+m|，
即有 (2x-1+m)(m+1)⩽0，
由一次函数的单调性，可得：
(2m-1+m)(m+1)⩽0，且 (2m+2-1+m)(m+1)⩽0，
即为 -1⩽m⩽13 且 -1⩽m⩽-13，
即有 -1⩽m⩽-13，
则 m 的最大值为 -13．
故答案为：-13．
【备注】【点评】：本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用偶函数的性质和单调性，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
变式2.函数 f(x) 是定义在 R 上的偶函数，且满足 f(x+2)=f(x)，当 x∈[0,1] 时，f(x)=2x，若方程 ax+a-f(x)=0(a>0) 恰有三个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围是( )．
A．(12,1)
B．[0,2]
C．(1,2)
D．[1,+∞)
【答案】A
【解析】因为 f(x+2)=f(x)，
所以周期为 T=2．
因为原方程 ax+a-f(x)=0(a>0)，
移项变形得 f(x)=a(x+1),(a>0)，
所以 y=f(x) 与 y=a(x+1),(a>0) 的曲线交点恰好有三个．
求两个临界点：
当直线 y=a(x+1),(a>0) 过点 (1,2)，所以 a=1，
当直线 y=a(x+1),(a>0) 过点 (3,2)，所以 a=12，
由图象知道斜率 k=a∈(12,1)．
课后练习
一 单选题
1.【2019年重庆重庆市南开中学高一上学期期中考试数学试卷】定义在 R 上的 f(x) 满足：f(1-x)=f(1+x)，且对任意两个不相等的实数 x1，x2∈[1,+∞)，都有 f(x1)-f(x2)x1-x2>0，f(2)=0，则 f(x)x-1>0 的解集为( )
A．(-∞,0)∪(1,2)
B．(-∞,0)∪(2,+∞)
C．(0,1)∪(1,2)
D．(0,1)∪(2,+∞)
【答案】D
【解析】【分析】：根据条件可得出 f(x) 在 [1,+∞) 上是增函数，而根据 f(1-x)=f(1+x) 可得出 f(x) 关于 x=1 对称，从而得出 f(x) 在 (-∞,1] 上是减函数，并且可得出 f(0)=f(2)=0，从而根据原不等式可得出 {f(x)>f(2)x>1 或 {f(x)
∴f(x) 在 [1,+∞) 上单调递增，又 f(1-x)=f(1+x)，∴f(x) 关于 x=1 对称，
∴f(x) 在 (-∞,1] 上单调递减，且 f(2)=0，
∴f(0)=0，
∴ 由 f(x)x-1>0 得，{f(x)>f(2)x>1 或 {f(x)
故选 D
2.【2019年浙江温州高二上学期期中考试数学试卷新力量联盟】设函数f(x)=|x|-12019+x2，则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是( )
A．(13，1)
B．(-∞，13)⋃(1，+∞)
C．(-13，13)
D．(-∞，-13)⋃(13，+∞)
【答案】A
【解析】【解答】f(x)是R上的偶函数，x⩾0时，f(x)=x-12019+x2，
∴f(x)在[0，+∞)上是增函数，
∴由f(x)>f(2x-1)得，f(|x|)>f(|2x-1|)，
∴|x|>|2x-1|，
∴x2>4x2-4x+1，解得13
故选A．
【分析】可以判断出f(x)是R上的偶函数，且在[0，+∞)上是增函数，从而根据f(x)>f(2x-1)得出|x|>|2x-1|，从而得出x2>(2x-1)2，解出x的范围即可．
【备注】【点评】本题考查了偶函数的定义，二次函数、一次函数的单调性，增函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．
3.【2018年浙江杭州十四康桥高一上学期期中考试数学试卷】设函数f(x)={2x+1,x>00,x=02x-1,x<0，若不等式f(x-1)+f(mx)>0对任意x>0恒成立，则实数m的取值范围是 ( )
A．(-14,14)
B．(0,14)
C．(14,+∞)
D．(1,+∞)
【答案】C
【解析】由f(x)={2x+1,x>00,x=02x-1,x<0
设x>0,-x<0,f(-x)=-2x-1=-(2x+1)=-f(x)
设x<0,-x>0,f(-x)=-2x+1=-(2x-1)=-f(x)
所以函数f(x)为定义域上的奇函数．
且易知函数为定义域上的增函数，
由若不等式f(x-1)+f(mx)>0对任意x>0恒成立，得
f(mx)>-f(x-1)=f(1-x)对任意x>0恒成立，即mx>1-x对任意x>0恒成立∴m>-x2+x对任意x>0恒成立
∵-x2+x=-(x-12)2+14⩽14∴m>14
故选：C．
4.奇函数 f(x) 满足 f(x+2)=-f(x)，当 x∈(0,1) 时，f(x)=3x+12，则 f(log354)=( )
A．-2
B．-76
C．76
D．2
【答案】A
【解析】本题考查函数的奇偶性和周期性，利用 f(x+2)=-f(x) 确定函数的周期为 4，再利用奇偶性即可解得．本题考查函数的奇偶性和周期性，利用 f(x+2)=-f(x) 确定函数的周期为 4，再利用奇偶性即可解得．
由 f(x+2)=-f(x) 得 f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x)．
∴f(x) 是以 4 为周期的周期函数．
又∵f(log354)=f(log381×23)=f(4+log323)=f(log323)=f(-log332)=-f(log332)
∵0
∴f(log354)=-2．
故选 A
5.已知定义在 R 上的函数 f(x)，对任意 x∈R，都有 f(x+6)=f(x)+f(3) 成立，若函数 y=f(x+1) 的图象关于直线 x=-1 对称，则 f(2013)=( )
A．2013
B．3
C．0
D．-2013
【答案】C
【解析】由定义在 R 上的函数 f(x)，满足 y=f(x+1) 的图象关于直线 x=-1 对称，所以 f(x) 关于 y 轴对称，f(x) 为偶函数；因为 f(x+6)=f(x)+f(3)，所以 f(3)=f(-3)+f(3)，得 f(3)=0，所以 f(x+6)=f(x)，函数的周期为 6．f(2013)=f(6×335+3)=f(3)=0．
6.定义在 R 上的偶函数 f(x) 满足 f(x-3)=-f(x)，对 ∀x1，x2∈[0,3] 且 x1≠x2，都有 f(x1)-f(x2)x1-x2>0，则有( )
A．f(49)
【解析】根据题意，函数 f(x) 满足 f(x-3)=-f(x)，
有 f(x-6)=-f(x-3)=f(x)，则函数 f(x) 是周期为 6 的函数，
f(49)=f(1+6×8)=f(1)，
f(81)=f(-3+6×14)=f(-3)，
f(64)=f(-2+6×11)=f(-2)，
又由函数为偶函数，则 f(49)=f(1+6×8)=f(1)，
f(81)=f(-3)=f(3)，
f(64)=f(-2)=f(2)，
又由对 ∀x1，x2∈[0,3] 且 x1≠x2，都有 f(x1)-f(x2)x1-x2>0，
则函数 f(x) 在区间 [0,3] 上为增函数，
进而有 f(1)
二 多选题
7．（2020•山东新高考模拟演练3）已知函数，，则以下结论错误的是( )
A．任意的，且，都有
B．任意的，且，都有
C．有最小值，无最大值
D．有最小值，无最大值
【答案】ABC
【解析】答案：ABC
分析 ：根据与的单调性逐个判定即可.
详解：对A, 中为增函数,为减函数.故为增函数.故任意的,且,都有.故A错误.
对B,易得反例,.故不成立.故B错误.
对C, 当因为为增函数,且当时,
当时.故无最小值,无最大值.故C错误.
对D, ,当且仅当即时等号成立. 当时.故有最小值,无最大值.
故选：ABC
点睛：本题主要考查了函数的单调性与最值的判定,需要根据指数函数的性质分析.属于基础题.
8．（2020•山东新高考模拟演练5）已知函数，若的最小值为，则实数a的值可以是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】BCD
【解析】答案：BCD
分析 ：当时,利用均值定理可知,当时,若为最小值,需使得对称轴满足,且由分段函数,,进而求解即可
详解 ：当,,
当且仅当时,等号成立；
当时,为二次函数,要想在处取最小,
则对称轴要满足,且,
即,解得,
故选:BCD
点睛 ：本题考查分段函数的最值问题,处理时应对每段函数进行分类讨论,找到每段的最小值
9.（2020•福建泉州）已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(1＋x)＝f(1－x)。若f(1)＝1，则
A.f(x)是周期函数
B.当n为偶数时，f(n)＝0
C.f(1)＋22f(2)＋32f(3)＋…＋62f(6)＝16
D.f(1)＋22f(2)＋32f(3)＋…＋(4n＋2)2f(4n＋2)＝8n2＋8n＋1
【答案】ABD
三 填空题
10.设函数 y=f(x) 的定义域为 D，若对于任意的 x1,x2∈D 当 x1+x2=2a 时，恒有 f(x1)+f(x2)=2b，则称点 (a,b) 为函数 y=f(x) 图象的对称中心．研究函数 f(x)=x3+sinx+2 的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到 f(-1)+f(-1920)+⋯+f(1920)+f(1)= ________．
【答案】82
【解析】显然 f(x)+f(-x)=4，所以 f(-1)+f(-1920)+⋯+f(0)+⋯+f(1920)+f(1)=20×4+2=82．
11.已知函数f(x)=x3+x+1，若对任意的x，都有f(x2+a)+f(ax)>2，则实数a的取值范围是________
【答案】(0,4)
【解析】对于函数f(x) 容易看出x3+x全为奇次项，故为奇函数
构造函数g(x)=f(x)-1=x3+x，
则函数g(x)是奇函数且在R上单调递增，
由f(x2+a)+f(ax)>2，
等价于g(x2+a)+g(ax)>0，
所以x2+a>-ax，
∴ x2+a+ax>0恒成立，
∴ Δ=a2-4a<0
∴ 0
12.【2018年江苏南京南京师范大学附属中学高一上学期期中考试数学试卷】已知函数 f(x) 是 R 上的偶函数，且 f(x) 在区间 [0,+∞) 上是单调增函数，若 f(1)=0，则满足 f(x-2)<0 的实数 x 的取值范围是________．
【答案】(1,3)
【解析】【分析】：根据函数的奇偶性和单调性的关系，将不等式进行等价转化，然后利用单调性进行求解即可．
∵f(x) 是 R 上的偶函数，f(1)=0，
∴ 不等式 f(x-2)<0 等价为 f(|x-2|)
∴|x-2|<1，
得 -1
故答案为：(1,3)．
【备注】【点评】：本题主要考查不等式的求解，结合函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．难度不大．
13.【2018年陕西西安碑林区交大附中高一上学期月考数学试卷】已知函数y=f(x)是偶函数，且当x⩾0时，f(x)=x-1，则不等式f(x-1)<0的解集是________
【答案】(0,2)
【解析】由题意知，f(x)<0,解得：x∈(-1,1)，则f(x-1)<0得：
-1
四 解答题
14.【2020年浙江杭州杭州源清中学高一上学期期中考试数学试卷】
已知 f(x)=ax+b1+x2 是定义在 (-1,1) 上的奇函数，且 f(12)=25．
(1) 求 a，b 的值；
(2) 判断函数 f(x) 在 (-1,1) 上的单调性并用定义进行证明；
(3) 解不等式 f(x-1)+f(x)<0．
（1）【答案】a=1，b=0
【解析】根据题意，f(x)=ax+b1+x2 是定义在 (-1,1) 上的奇函数，
则有 f(0)=b1=0，则 b=0，
又由 f(12)=25，则 a×(12)1+14=25，
解可得 a=1，
故 a=1，b=0．
(2)解析】由 (1) 可得：f(x)=x1+x2，
任取 -1
则 f(x1)-f(x2)<0，
故函数 f(x) 在 (-1,1) 上是增函数．
(3)【答案】(0,12)
【解析】由于 f(x-1)+f(x)<0⇒f(x-1)<-f(x)⇒f(x-1)
15.【2018年江西南昌高一上学期月考数学试卷（安义中学、南昌十九中联考）】
已知 f(x) 是定义在 [-1,1] 上的奇函数，且 f(1)=1，当 a，b∈[-1,1]，且 a+b≠0 时，有 f(a)+f(b)a+b>0．
(1) 说明函数的单调性；
(2) 若 f(x)⩽m2-2am+1 对所有 a∈[-1,1] 恒成立，求实数 m 的取值范围．
(1)【答案】函数 f(x) 增函数
【解析】根据题意，设 -1⩽x1⩽x2⩽1．
又由函数 f(x) 为奇函数，则 f(-x2)=-f(x2)．
则 f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1)+f(-x2)x1+(-x2)(x1-x2)．
又由当 a,b∈[-1,1]，且 a+b≠0 时，有 f(a)+f(b)a+b>0，则有 f(x1)+f(-x2)x1+(-x2)>0．
又由 (x1-x2)<0．
则有 f(x1)-f(x2)<0，即 f(x1)
(2)【答案】m 的取值范围是 m=0 或 m⩽-2 或 m⩾2
【解析】根据题意，f(1)=1，f(x) 在 [-1,1] 上单调递增．
∴f(x) 在 [-1,1] 上的最大值为 1．
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