人教A版普通高中数学一轮复习第二章第四节二次函数与幂函数学案

这是一份人教A版普通高中数学一轮复习第二章第四节二次函数与幂函数学案，共18页。


自查自测
知识点一 幂函数
1．判断下列说法的正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)函数y＝2x12是幂函数．( × )
(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( √ )
(3)当n＜0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．( × )
2．(教材改编题)已知幂函数f(x)的图象过点2，12，则f(4)的值是( D )
A．64B．42
C．24D．14
3．如图是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为( D )
A．cC．b4．已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，则a，b，c的大小关系是 ．(用“<”连接)
c0.30.3，即c核心回扣
1．定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
注意点：
幂函数的特征
(1)自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数．
(2)xα的系数为1.
(3)解析式只有一项．
2．常见的五个幂函数的图象
3．幂函数的性质
(1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义．
(2)当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增．
(3)当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
自查自测
知识点二 二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质
1．若一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2＋bx的图象可能是( )
A. , B.
C. D.
C 解析：因为一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，所以a<0，b<0，所以二次函数y＝ax2＋bx的图象开口向下，对称轴x＝－b2a<0，且过原点，所以A，B，D均不正确．
2．函数y＝－x2＋6x(0≤x≤5)的值域是( )
A.[0，5]B．[0，9]
C．[5，9]D．[0，＋∞)
B 解析：函数y＝－x2＋6x的图象是一条开口向下的抛物线，对称轴为直线x＝3，所以该函数在[0，3)上单调递增，在(3，5]上单调递减，所以ymax＝y|x＝3＝9.又y|x＝0＝0，y|x＝5＝5，所以ymin＝0，即函数的值域为[0，9].故选B.
3．若函数y＝x2－ax＋1在区间[－1，2]内单调，则实数a的取值范围是 ．
(－∞，－2]∪[4，＋∞) 解析：函数y＝x2－ax＋1的对称轴为直线x＝a2，由题意可知a2≤－1或a2≥2，解得a≤－2或a≥4，所以实数a的取值范围是(－∞，－2]∪[4，＋∞)．
核心回扣
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质
【常用结论】
对于形如f(x)＝ (其中m∈N*，n∈Z，m与n互质)的幂函数：
(1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称．
(2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称．
(3)当m为偶数时，x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)．
应用 幂函数f(x)＝xa2－10a＋23(a∈Z)为偶函数，且f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，则a＝( )
A．3B．4
C．5D．6
C 解析：因为a2－10a＋23＝(a－5)2－2，f(x)＝x(a－5)2－2(a∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减，所以(a－5)2－2<0，从而a＝4，5，6.又(a－5)2－2为偶数，所以a＝5.故选C.
幂函数的图象和性质
1．已知幂函数f(x)＝mxn的图象过点(2，22)，设a＝f(m)，b＝f(n)，c＝f(ln 2)，则( )
A．cC．bB 解析：因为函数f(x)＝mxn为幂函数，所以m＝1.因为函数f(x)＝mxn的图象过点(2，22)，所以(2)n＝22，解得n＝3.故函数f(x)＝x3，则函数f(x)为增函数．因为n>m>ln 2，所以c2．(多选题)已知函数f(x)＝xα的图象经过点(4，2)，则( )
A．函数f(x)为增函数
B．函数f(x)为偶函数
C．当x>1时，f(x)>1
D．当0ACD 解析：由题意得4α＝2，所以α＝12，所以f(x)＝x12＝x，所以函数f(x)为增函数，且为非奇非偶函数，故A正确，B错误；当x>1时，f(x)＝x>1，故C正确；由函数图象知f(x)＝x为“上凸函数”，故D正确．故选ACD.
3．已知幂函数y＝xp3(p∈Z)的图象关于y轴对称，如图所示，则( )
A．p为奇数，且p>0
B．p为奇数，且p<0
C．p为偶数，且p>0
D．p为偶数，且p<0
D 解析：因为函数y＝xp3的图象关于y轴对称，所以函数y＝xp3为偶函数，即p为偶数．又函数y＝xp3的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递减，则有p3<0，所以p<0.
4．(2024·潍坊模拟)若(a＋1)－13<(3－2a)－13，则实数a的取值范围是 ．
(－∞，－1)∪23，32 解析：不等式(a＋1)－13<(3－2a)－13等价于a＋1>3－2a>0或3－2a幂函数图象与性质的应用
(1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性．
(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．
二次函数的解析式
【例1】已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，求二次函数f(x)的解析式．
解：(方法一)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得4a+2b+c=-1，a-b+c=-1， 4ac-b24a=8， 解得a=-4，b=4，c=7.
故f(x)＝－4x2＋4x＋7.
(方法二)设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
因为f(2)＝f(－1)，所以抛物线的对称轴为直线x＝2+-12＝12，所以m＝12．
又函数f(x)有最大值8，所以n＝8，
所以f(x)＝ax-122＋8.
因为f(2)＝－1，
所以a2-122＋8＝－1，解得a＝－4，
所以f(x)＝－4×x-122＋8＝－4x2＋4x＋7.
(方法三)由题意可知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数f(x)有最大值8，
即4a-2a&-1-a24a＝8，解得a＝－4.
故f(x)＝－4x2＋4x＋7.
求二次函数解析式的方法
1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c满足以下条件：图象与x轴交于(－2，0)，(4，0)两点，且过点1，-92，则函数的解析式为 ．
y＝12x2－x－4 解析：设二次函数的解析式为y＝a(x＋2)(x－4)，则－92＝a(1＋2)(1－4)，解得a＝12．故所求函数的解析式为y＝12(x＋2)(x－4)，即y＝12x2－x－4.
2．已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求函数f(x)的解析式．
解：因为f(2－x)＝f(2＋x)对任意x∈R恒成立，所以f(x)图象的对称轴为直线x＝2.
因为f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，所以f(x)＝0的两根为1和3.
设f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．
因为f(x)的图象经过点(4，3)，所以a(4－1)(4－3)＝3，解得a＝1.所以f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.
二次函数的图象和性质

考向1 二次函数的图象及应用
【例2】(多选题)(2024·临沂模拟)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A．b＝－2a
B．a＋b＋c<0
C．a－b＋c>0
D．abc<0
AD 解析：根据对称轴为直线x＝－b2a＝1，得b＝－2a，A正确；当x＝1时，y＝a＋b＋c>0，B错误；当x＝－1时，y＝a－b＋c<0，C错误；函数图象开口向下，所以a<0，b＝－2a>0，当x＝0时，y＝c>0，故abc<0，D正确．
识别二次函数图象应学会“三看”
考向2 二次函数的最值与单调性
【例3】(1)已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0，1]时，有最大值2，则a的值为 ．
－1或2 解析：函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，对称轴方程为x＝a.
当a<0时，f(x)max＝f(0)＝1－a＝2，所以a＝－1.
当0≤a≤1时，f(x)max＝f(a)＝a2－a＋1＝2，所以a2－a－1＝0，所以a＝1±52(舍去)．
当a>1时，f(x)max＝f(1)＝a＝2，所以a＝2.
综上可知，a＝－1或a＝2.
(2)设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0，1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是 ．
[0，2] 解析：依题意a≠0，二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c图象的对称轴是直线x＝1.因为函数f(x)在区间[0，1]上单调递减，所以a>0，即函数图象的开口向上，所以f(0)＝f(2)，则当f(m)≤f(0)时，有0≤m≤2，故实数m的取值范围为[0，2].
[变式] 本例(1)变为：已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1，2]上有最大值4，求实数a的值．
解：f(x)＝a(x＋1)2＋1－a，图象的对称轴为直线x＝－1.
当a＝0时，函数f(x)在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去．
当a＞0时，函数f(x)在区间[－1，2]上单调递增，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝38．
当a＜0时，函数f(x)在区间[－1，2]上单调递减，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.
综上可得，实数a的值为38或－3.
二次函数的最值与单调性
(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．
(2)二次函数的单调性问题主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论求解．
考向3 与二次函数有关的恒成立问题
【例4】已知函数f(x)＝x2＋2x＋1，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，则k的取值范围为
(－∞，1) 解析：由题意得x2＋x＋1>k在区间[－3，－1]上恒成立．设g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，易知g(x)在[－3，－1]上单调递减，所以g(x)min＝g(－1)＝1，所以k<1.故k的取值范围为(－∞，1)．
由不等式恒成立求参数取值范围的思路
(1)一般有两种解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．
(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
1．(多选题)设函数f(x)＝x2＋x＋a(a＞0)．若f(m)＜0，则下列不等式正确的是( )
A．f(m＋1)＞0
B．f(m＋1)＜0
C．f(－2－m)＞0
D．f(－2－m)＜0
AC 解析：因为f(x)的图象的对称轴为直线x＝－12，f(0)＝a＞0，所以f(x)的大致图象如图所示．
由f(m)＜0，得－1＜m＜0，所以m＋1＞0＞－12，所以f(m＋1)＞f(0)＞0，f(－2－m)＝f(m＋1)＞0.故选AC.
2．已知f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，如果对x∈[－3，1]，f(x)＞0恒成立，则实数a的取值范围为 ．
-12，4 解析：因为f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4图象的对称轴为直线x＝－(a－2)，且对x∈[－3，1]，f(x)＞0恒成立，所以讨论对称轴与区间[－3，1]的位置关系，
得-a-2＜-3，f-3＞0 或-3≤-a-2≤1，Δ＜0 或-a-2＞1，f1＞0， 解得a∈∅或1≤a＜4或－12＜a＜1，所以a的取值范围为-12，4．
课时质量评价(九) 二次函数与幂函数
1．下列四个图象中，函数y＝的图象是( )
A. B.
C. D.
B 解析：因为y＝＝4x3，所以x3≥0，解得x≥0，即函数的定义域为[0，＋∞)，故排除A，D，且函数在定义域上单调递增，故B正确．故选B.
2．(多选题)已知点a，12在幂函数f(x)＝(a－1)·xb的图象上，则函数f(x)( )
A．是奇函数
B．在(0，＋∞)上单调递增
C．是偶函数
D．在(0，＋∞)上单调递减
AD 解析：由题意得a－1＝1，且12＝ab，因此a＝2，b＝－1，故f(x)＝x-1是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减．
3．若幂函数y＝x-1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为( )
A．－1B．－1C．－1D．－1D 解析：幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，且0<α<1时，图象上凸，所以04．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则( )
A．a>0，4a＋b＝0B．a<0，4a＋b＝0
C．a>0，2a＋b＝0D．a<0，2a＋b＝0
A 解析：由f(0)＝f(4)，得f(x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为直线x＝－b2a＝2，所以4a＋b＝0.又f(0)>f(1)，f(4)>f(1)，所以f(x)先减后增，所以a>0.故选A.
5．(多选题)已知函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋a，若对于区间[－1，2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有f(x1)≠f(x2)，则实数a的取值范围可以是( )
A．(－∞，0]B．[0，3]
C．[－1，2]D．[3，＋∞)
AD 解析：二次函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋a图象的对称轴为直线x＝a－1.因为对于任意x1，x2∈[－1，2]且x1≠x2，都有f(x1)≠f(x2)，即f(x)在区间[－1，2]上是单调的，所以a－1≤－1或a－1≥2，解得a≤0或a≥3，即实数a的取值范围为(－∞，0]∪[3，＋∞)．
6．已知α∈-2，-1，12，1，2，3，若幂函数f(x)＝xα的图象关于y轴对称，且在区间(0，＋∞)上单调递减，则α＝ ．
－2 解析：因为幂函数f(x)＝xα的图象关于y轴对称，则α必为偶数，又f(x)＝xα在区间(0，＋∞)上单调递减，则α为负数，综合得α＝－2.
7．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示．则下列结论正确的是 ．
①b2>4ac；②c>0；③ac>0；④b<0；⑤a－b＋c<0.
①②⑤ 解析：由题图知，a<0，－b2a>0，c>0，所以b>0，ac<0，故②正确，③④错误．又函数图象与x轴有两个交点，所以Δ＝b2－4ac>0，故①正确．又由题图知f(－1)<0，即a－b＋c<0，故⑤正确．
8．已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是 ．
-22，0 解析：因为函数图象开口向上，
所以根据题意只需满足
fm=m2+m2-1<0， fm+1=m+12+mm+1-1<0，
解得－229．已知函数f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值．
解：当a＝0时，f(x)＝－2x在[0，1]上单调递减，所以f(x)min＝f(1)＝－2.
当a>0时，f(x)＝ax2－2x的图象开口向上，且对称轴为直线x＝1a．
①当1a≤1，即a≥1时，f(x)＝ax2－2x图象的对称轴在[0，1]内，
所以f(x)在0，1a上单调递减，在1a，1上单调递增，所以f(x)min＝f1a＝1a－2a＝－1a．
②当1a>1，即0所以f(x)在[0，1]上单调递减，所以f(x)min＝f(1)＝a－2.
当a<0时，f(x)＝ax2－2x的图象开口向下，且对称轴x＝1a<0，
所以f(x)在[0，1]上单调递减，所以f(x)min＝f(1)＝a－2.
综上所述，f(x)min＝a-2，a<1，-1a，a≥1.
10．若幂函数y＝x|m-1|与y＝x3m-m2(m∈Z)在(0，＋∞)上都是单调递增的，则满足条件的整数m的值为( )
A．0B．1和2
C．2D．0和3
C 解析：由题意可得m-1>0， 3m-m2>0，m∈Z， 解得m＝2，故选C.
11．已知点2，18在幂函数f(x)＝xn的图象上，设a＝f33，b＝f(ln π)，c＝f22，则a，b，c的大小关系为( )
A．bC．bC 解析：因为点2，18在函数f(x)的图象上，所以18＝2n，解得n＝－3，所以f(x)＝x-3.易知当x>0时，f(x)单调递减．因为33<22<1，ln π>ln e＝1，所以f33>f22>f(ln π)，即a>c>b.故选C.
12．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为-254，-4，则m的取值范围是 ．
32，3 解析：二次函数图象的对称轴为直线x＝32，且f32＝－254，f(3)＝f(0)＝－4，结合如图所示函数图象，可得m∈32，3．
13．函数f(x)满足下列性质：
(1)定义域为R，值域为[1，＋∞)；
(2)图象关于直线x＝2对称；
(3)对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有fx1-fx2x1-x2<0.
请写出函数f(x)的一个解析式 ．(只要写出一个即可)
f(x)＝x2－4x＋5(答案不唯一) 解析：由二次函数的对称性、值域及单调性可得解析式f(x)＝(x－2)2＋1，此时f(x)图象的对称轴为直线x＝2，开口向上，满足(2)；因为对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有fx1-fx2x1-x2<0，等价于f(x)在(－∞，0)上单调递减，满足(3)；又f(x)＝(x－2)2＋1≥1，满足(1)．故答案可以为f(x)＝x2－4x＋5.
14．如图，正方形OABC的边长为a(a>1)，函数y＝3x2的图象交AB于点Q，函数y＝x－12的图象交BC于点P，则当|AQ|＋|CP|最小时，a的值为 ．
3 解析：依题意得Qa3，a，Pa，1a，则|AQ|＋|CP|＝a3＋1a＝a3＋1a．记a＝t(t>1)，f(t)＝|AQ|＋|CP|，则f(t)＝t3＋1t≥213，当且仅当t3＝1t，即t2＝3时取等号，此时a＝3.
15．已知a∈R，函数f(x)＝x2－2ax＋5.
(1)若a＞1，且函数f(x)的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；
(2)若不等式x|f(x)－x2|≤1对x∈13，12恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝x2－2ax＋5的图象的对称轴为x＝a(a＞1)，
所以f(x)在[1，a]上单调递减，
所以f(x)的值域为[f(a)，f(1)].
又已知值域为[1，a]，
所以fa=a2-2a2+5=1，f1=1-2a+5=a，解得a＝2.
(2)由x|f(x)－x2|≤1，
得－12x2＋52x≤a≤12x2＋52x(*)．
令1x＝t，t∈[2，3]，
则(*)可化为－12t2＋52t≤a≤12t2＋52t.
记g(t)＝－12t2＋52t＝－12t-522＋258，
则g(t)max＝g52＝258，所以a≥258；
记h(t)＝12t2＋52t＝12t+522－258，
则h(t)min＝h(2)＝7，所以a≤7.
综上所述，实数a的取值范围是258，7．
a>0
a<0
图象
定义域
R
值域
4ac-b24a，+∞
-∞，4ac-b24a
单调性
在-∞，-b2a上单调递减，在-b2a，+∞上单调递增
在-∞，-b2a上单调递增，在-b2a，+∞上单调递减
最值
当x＝－b2a时，ymin＝4ac-b24a
当x＝－b2a时，ymax＝4ac-b24a