人教A版普通高中数学一轮复习第二章第二节函数的单调性与最值学案

这是一份人教A版普通高中数学一轮复习第二章第二节函数的单调性与最值学案，共20页。


自查自测
知识点一 函数的单调性
1．判断下列说法的正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)＜f(3)，则函数f(x)在R上为增函数．( × )
(2)若函数y＝f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则函数f(x)的单调递增区间是[1，＋∞)．( × )
(3)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × )
2．(多选题)(教材改编题)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是( AC )
A．y＝1x－x B．y＝x2－x
C．y＝－x2－2xD．y＝ex
3．函数f(x)＝x2－2x的单调递增区间是( A )
A．(1，＋∞)B．(－∞，1)
C．(－1，＋∞)D．(－∞，－1)
4．设定义在[－1，7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的单调递增区间为[－1，1]和[5，7]．
5．已知函数f(x)＝x2－2kx＋4在[5，20]上单调，则实数k的取值范围是 ．
(－∞，5]∪[20，＋∞) 解析：易知f(x)＝x2－2kx＋4的图象的对称轴为直线x＝k，由题意可得k≤5或k≥20.故实数k的取值范围是(－∞，5]∪[20，＋∞)．
核心回扣
1．增函数与减函数
注意点：单调递增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征：一是任意性；二是有大小，即x1x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可．
2．单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．
注意点：(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．
(2)求函数单调区间或讨论函数的单调性时，必须先求函数的定义域．
(3)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
(4)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M.
自查自测
知识点二 函数的最值
1．下列函数在区间[1，4]上最大值为3的是( )
A.y＝x2B．y＝3x－2
C．y＝x2－13D．y＝1－x
C 解析：选项A，B，C在区间[1，4]上均单调递增，选项D在区间[1，4]上单调递减，代入端点值，即可求得最大值为3的是y＝x2－13.
2．设定义在R上的函数f(x)＝-x，x≤0， x，0＜x≤1，-x+2，x＞1，则f(x)( )
A．只有最大值
B．只有最小值
C．既有最大值，又有最小值
D．既无最大值，又无最小值
D 解析：如图，画出f(x)的图象可知，f(x)既无最大值，又无最小值．
3．(教材改编题)已知函数f(x)＝2x+1，x∈[0，2]，则f(x)的最大值为 ，最小值为 ．
2 23 解析：因为函数f(x)在[0，2]上单调递减，所以f(x)max＝f(0)＝2，f(x)min＝f(2)＝23．
核心回扣
函数的最值
注意点：(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时，最值一定在端点处取得．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最小值或最大值．
【常用结论】
与函数单调性有关的常用结论
(1)若∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则①fx1-fx2x1-x2>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)⇔f(x)在区间D上单调递增；②fx1-fx2x1-x2<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)⇔x1f(x1)＋x2f(x2)＜x1f(x2)＋x2f(x1)⇔f(x)在区间D上单调递减．
(2)函数y＝x＋1x的单调递增区间为(－∞，－1]和[1，＋∞)，单调递减区间为(－1，0)和(0，1)．
(3)函数y＝ax＋bx(a>0，b>0)的单调递增区间为-∞，-ba和ba，+∞，单调递减区间为-ba，0和0，ba．
(4)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．
(5)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．
应用1 (多选题)若函数f(x)，g(x)在给定的区间上具有单调性，下列说法正确的是( AD )
A．函数f(x)与f(x)－c(c为常数)具有相同的单调性
B．函数f(x)与c·f(x)具有相同的单调性
C．若f(x)≠0，则函数f(x)与－1fx具有相反的单调性
D．若函数f(x)，g(x)都是减函数，则f(x)＋g(x)是减函数
应用2 若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有fa-fba-b>0成立，则必有( )
A．f(x)在R上是增函数B．f(x)在R上是减函数
C．函数f(x)是先增后减D．函数f(x)是先减后增
A 解析：由fa-fba-b>0知，f(a)－f(b)与a－b同号，即当ab时，f(a)>f(b)，所以f(x)在R上是增函数．

确定函数的单调性(区间)
1．下列函数中是增函数的为( )
A．f(x)＝－xB．f(x)＝23x
C．f(x)＝x2D．f(x)＝3x
D 解析：函数f(x)＝－x是一次函数，在R上是减函数；函数f(x)＝23x是指数函数，且0<23<1，所以函数f(x)＝23x在R上是减函数；函数f(x)＝x2是二次函数，在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增；函数f(x)＝3x＝x13是幂函数，且13>0，所以函数f(x)＝3x在R上是增函数．
2．设函数f(x)＝1，x>0，0，x=0，-1，x<0，g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是 ．
[0，1) 解析：由题意知g(x)＝x2，x>1，0，x=1， -x2，x<1，该函数的图象如图所示，其单调递减区间是[0，1)．
3．(2024·威海模拟)函数f(x)＝x2-2x-3的单调递增区间是 ．
[3，＋∞) 解析：由题意，可得x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3，所以函数f(x)＝x2-2x-3的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．二次函数y＝x2－2x－3图象的对称轴为直线x＝1，且在(－∞，－1]∪[3，＋∞)上的单调递增区间为[3，＋∞)．根据复合函数的单调性，可知函数f(x)＝x2-2x-3的单调递增区间是[3，＋∞)．
4．用定义法证明函数f(x)＝x2－1x在(0，＋∞)上单调递增．
证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，不妨设x1则f(x1)－f(x2)＝x12-1x1－x22-1x2＝(x12-x22))＋1x2-1x1＝(x1－x2)(x1＋x2)＋x1-x2x1x2＝(x1－x2)x1+x2+1x1x2．
因为00，
则(x1－x2)x1+x2+1x1x2<0，
所以f(x1)确定函数单调性的常用方法
求函数的最值

【例1】(1)函数f(x)＝13x－lg2(x＋2)在区间[－1，1]上的最大值为 ．
3 解析：由于y＝13x在R上单调递减，y＝lg2(x＋2)在[－1，1]上单调递增，所以f(x)在[－1，1]上单调递减，故f(x)在[－1，1]上的最大值为f(－1)＝3.
(2)已知函数f(x)＝x2，x≤1， x+6x -6，x>1，则f(x)的最小值是 ．
26－6 解析：因为函数y＝x2在(－∞，0)上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，所以当x≤1时，f(x)min＝f(0)＝0；当x>1时，y＝x＋6x≥26，当且仅当x＝6时，等号成立，此时f(x)min＝26－6.又26－6<0，所以f(x)min＝26－6.
(3)函数f(x)＝2x2－x2+1的最小值为 ．
－1 解析：令x2+1＝t，t≥1，则x2＝t2－1，所以y＝2(t2－1)－t＝2t2－t－2(t≥1)．因为y＝2t2－t－2(t≥1)的对称轴为直线t＝14，所以ymin＝2×12－1－2＝－1，所以函数f(x)的最小值为－1.
(4)f(x)＝2x＋x+1的最小值为－2．
求函数最值的五种常用方法及其思路
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，得出最值．
(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
(4)分离常数法：求形如y＝cx+dax+b(ac≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解．
(5)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正、二定、三相等”的条件后用基本不等式求出最值．
1．当－3≤x≤－1时，函数y＝5x-14x+2的最小值为 ．
85 解析：由y＝5x-14x+2，可得y＝54－742x+1．因为－3≤x≤－1，所以720≤－742x+1≤74，所以85≤y≤3.所以所求函数的最小值为85．
2．已知函数f(x)＝x＋4x－a在区间[1，4]上的最小值为5，则实数a的值为 ；函数f(x)的值域是 ．
－1 [5，6] 解析：由题可得，函数f(x)在[1，2]上单调递减，在[2，4]上单调递增，所以f(x)min＝f(2)＝2＋2－a＝4－a＝5，解得a＝－1，所以f(x)＝x＋4x＋1，f(x)max＝max{f(1)，f(4)}＝6，所以函数f(x)的值域为[5，6].
函数单调性的应用
考向1 比较函数值的大小
【例2】(2024·徐州模拟)已知对函数f(x)定义域R内的任意实数x1，x2，且x1≠x2，[f(x1)－f(x2)](x1－x2)>0恒成立．设a＝f-13，b＝f(3)，c＝f(5)，则( )
A．bC．bD 解析：由[f(x1)－f(x2)](x1－x2)>0，可得函数f(x)在R上是增函数，所以f-13利用函数的单调性比较大小的方法
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较．对于选择题、填空题通常选用数形结合的思想方法进行求解．
考向2 解函数不等式
【例3】(1)已知函数f(x)在R上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( )
A．[－2，2]B．[－1，1]
C．[0，4]D．[1，3]
D 解析：因为函数f(x)为奇函数，且f(1)＝－1，所以f(－1)＝－f(1)＝1.由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)，又函数f(x)在R上单调递减，所以－1≤x－2≤1，所以1≤x≤3.故选D.
(2)已知函数f(x)＝－x|x|，x∈(－1，1)，则不等式f(1－m)(0，1) 解析：由已知得f(x)＝x2，-1在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．
考向3 利用函数的单调性求参数
【例4】(1)设函数f(x)＝-x2+4x，x≤4，lg2x，x>4. 若函数f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1]
B．[1，4]
C．[4，＋∞)
D．(－∞，1]∪[4，＋∞)
D 解析：作出函数y＝f(x)的图象如图所示．
由图象可知，若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.
(2)已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)，若f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是 ．
(－∞，1] 解析：令t＝|x－a|，所以y＝et.t＝|x－a|在(－∞，a]上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增．又y＝et为增函数，所以f(x)＝e|x－a|在(－∞，a]上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增．因为函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，所以a≤1.
利用函数的单调性求参数的策略
(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．
(2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
(3)分段函数的单调性需要分段研究，既要保证每一段函数的单调性，还要注意每段端点值是否可以取到．
1．(2024·泰安模拟)已知函数f(x)＝2-ax在区间[0，2]上单调递减，则a的取值范围是( )
A．(0，1]B．(0，1)
C．(0，2]D．[2，＋∞)
A 解析：因为函数f(x)＝2-ax在区间[0，2]上单调递减，所以a>0，2-2a≥0，解得02．已知函数f(x)＝ln 2－x－x3，则不等式f(3－x2)>f(2x－5)的解集为( )
A．(－4，2)
B．(－∞，2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－4)∪(2，＋∞)
D 解析：由题意知f(x)＝－x ln 2－x3，易知函数f(x)在R上单调递减，而f(3－x2)>f(2x－5)，所以3－x2<2x－5，即(x－2)(x＋4)>0，解得x＞2或x＜－4，所以x∈(－∞，－4)∪(2，＋∞)．故选D.
3．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，函数f(x)单调递增，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )
A．f(π)>f(－3)>f(－2)
B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)D．f(π)A 解析：因为函数f(x)是偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．因为当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，所以f(π)>f(3)>f(2)，所以f(π)>f(－3)>f(－2)．故选A.
[试题呈现]
对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝a，a≤b，b，a＞b. 设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝lg2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是 ．
[四字程序]
[一题多解]
思路参考：先画出函数的图象，然后从图象上观察出最值．
1 解析：在同一平面直角坐标系中，作出函数f(x)，g(x)的图象，依题意，h(x)的图象如图所示．
易知点A(2，1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为h(2)＝1.
思路参考：先将函数写成分段函数的形式，再分析每一段上函数的单调性，最后确定函数的最值．
1 解析：依题意，h(x)＝lg2x，0＜x≤2，-x+3，x＞2.
当0＜x≤2时，h(x)＝lg2x单调递增；
当x＞2时，h(x)＝－x＋3单调递减，
所以h(x)在x＝2处取得最大值h(2)＝1.
课时质量评价(六)
1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ln (x＋2)B．y＝－x+1
C．y＝12xD．y＝x＋1x
A 解析：函数y＝ln (x＋2)的单调递增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定单调递增．
2．(多选题)关于函数f(x)＝3-xx+1，下列判断正确的是( )
A．f(x)在(－1，＋∞)上单调递减
B．f(x)在(－1，＋∞)上单调递增
C．f(x)在(－∞，－1)上单调递减
D．f(x)在(－∞，－1)上单调递增
AC 解析：因为f(x)＝3-xx+1＝－1＋4x+1，所以f(x)在(－∞，－1)和(－1，＋∞)上单调递减，则A，C正确，B，D错误．故选AC.
3．已知函数f(x)＝3x2－3x＋1，则f(x)的单调递增区间为( )
A．32，+∞B．-32，+∞
C．-∞，-32D．-∞，32
A 解析：函数f(x)＝3x2－3x＋1的定义域为R，令u＝x2－3x＋1，y＝3u，又y＝3u在R上单调递增，u＝x2－3x＋1的单调递增区间为32，+∞，所以f(x)的单调递增区间为32，+∞．故选A.
4．若函数f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax在区间[1，2]上都单调递减，则a的取值范围是( )
A．(－1，0)∪(0，1)B．(－1，0)
C．(0，1)D．(0，1]
D 解析：因为g(x)＝ax在区间[1，2]上单调递减，所以a>0.因为函数f(x)＝－x2＋2ax的图象开口向下，对称轴为直线x＝a，且函数f(x)在区间[1，2]上单调递减，所以a≤1.故满足题意的a的取值范围是(0，1].
5．若函数y＝x-1x2在{x|1≤|x|≤4，x∈R}上的最大值为M，最小值为m，则M－m＝( )
A．3116B．2
C．94D．114
A 解析：令t＝|x|，则1≤t≤4，得y＝t-1t2＝t－1t2，易知y＝t－1t2在[1，4]上单调递增，所以其最小值m＝1－1＝0，最大值M＝2－116＝3116，所以M－m＝3116．
6．(多选题)(2024·重庆模拟)如果函数f(x)在[a，b]上单调递增，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中正确的是( )
A．fx1-fx2x1-x2>0
B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0
C．f(a)≤f(x1)D．fx1-fx2x1-x2<0
AB 解析：由函数单调性的定义，可知若函数f(x)在给定的区间上单调递增，则x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，由此可知，选项A，B正确，D错误；对于选项C，因为x1，x2的大小关系无法判断，所以f(x1)，f(x2)的大小关系也无法判断，故C错误．故选AB.
7．已知函数f(x)是定义域为[0，＋∞)的减函数，且f(2)＝－1，则满足f(2x－4)>－1的实数x的取值范围是 ．
[2，3) 解析：f(x)在定义域[0，＋∞)上是减函数，且f(2)＝－1，所以f(2x－4)>－1可化为f(2x－4)>f(2)，所以2x-4≥0，2x-4<2，解得2≤x<3.
8．已知函数y＝kx-2(k>0)在[4，6]上的最大值为1，则k的值是 ．
2 解析：当k>0时，函数y＝kx-2在[4，6]上单调递减，所以函数y＝kx-2(k>0)在x＝4处取得最大值，最大值为k4-2＝1，解得k＝2.
9．(2024·石家庄模拟)若函数f(x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围是 ．
[－6，1) 解析：由题意得a-1<0， a-1+2≥-5，解得－6≤a＜1.
10．已知函数f(x)＝3x＋2.
(1)判断函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并用定义法证明你的结论；
(2)若x∈[2，7]，求函数f(x)的最大值和最小值．
解：(1)函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
证明如下：
任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1因为00，x1x2>0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以f(x)＝3x＋2在区间(0，＋∞)上单调递减．
(2)因为函数f(x)＝3x＋2在区间[2，7]上单调递减，所以f(x)max＝f(2)＝72，f(x)min＝f(7)＝177．
11．若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有( )
A．x＋y≥0
B．x＋y≤0
C．x－y≤0
D．x－y≥0
B 解析：原不等式可化为2x－5－x≤2－y－5y，记函数f(x)＝2x－5－x，则原不等式可化为f(x)≤f(－y)．又函数f(x)在R上单调递增，所以x≤－y，即x＋y≤0.
12．已知减函数f(x)的定义域是实数集R，m，n都是实数．如果不等式f(m)－f(n)>f(－m)－f(－n)成立，那么下列不等式成立的是( )
A．m－n<0
B．m－n>0
C．m＋n<0
D．m＋n>0
A 解析：设F(x)＝f(x)－f(－x)，由于f(x)是R上的减函数，所以f(－x)是R上的增函数，－f(－x)是R上的减函数，所以F(x)是R上的减函数，所以当mF(n)，即f(m)－f(－m)>f(n)－f(－n)成立，因此当f(m)－f(n)>f(－m)－f(－n)成立时，不等式m－n<0一定成立．故选A.
13．(2024·临沂模拟)已知函数f(x)在定义域R上单调，且f(f(x)＋2x)＝1，则f(－2)的值为( )
A．3B．1
C．0D．－1
A 解析：因为函数f(x)在定义域R上单调，且f(f(x)＋2x)＝1，所以f(x)＋2x为常数．
不妨设f(x)＋2x＝t，则f(x)＝t－2x.
由f(f(x)＋2x)＝1，得f(t)＝t－2t＝1，解得t＝－1，所以f(x)＝－2x－1，所以f(－2)＝－2×(－2)－1＝3.
14．能使“函数f(x)＝x|x－1|在区间I上不是单调函数，且在区间I上的函数值的集合为[0，2]”是真命题的一个区间I为 ．
[0，2](答案不唯一) 解析：已知f(x)＝x2-x，x≥1，-x2+x，x<1，所以f(x)在-∞，12和(1，＋∞)上单调递增，在12，1上单调递减．又f(0)＝f(1)＝0，f12＝14<2，f(2)＝2，则符合题意的一个区间I可以为[0，2].
15．定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足下面三个条件：
①对任意正数a，b，都有f(a)＋f(b)＝f(ab)；②当x>1时，f(x)<0；③f(2)＝－1.
(1)求f(1)和f14的值；
(2)试用单调性的定义证明：函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数；
(3)求满足f(4x3－12x2)＋2>f(18x)的x的取值集合．
(1)解：令x＝y＝1，得f(1)＝f(1)＋f(1)，则f(1)＝0，
而f(4)＝f(2)＋f(2)＝－1－1＝－2，且f(4)＋f14＝f(1)＝0，则f14＝2.
(2)证明：∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1所以x2x1>1，当x>1时，f(x)<0，
所以fx2x1<0，
所以f(x2)－f(x1)＝fx1·x2x1－f(x1)＝f(x1)＋fx2x1－f(x1)＝fx2x1<0，
即f(x2)所以f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
(3)解：因为f(4x3－12x2)＋2>f(18x)，由(1)知f14＝2，故f(4x3－12x2)＋f14>f(18x)．
所以f(x3－3x2)>f(18x)．又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以x3-3x2>0，18x>0， x3-3x2<18x，
解得3故x的取值集合为{x|3设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足
条件
∀x∈D，都有f(x)≤M；
∃x0∈D，使得f(x0)＝M
∀x∈D，都有f(x)≥M；
∃x0∈D，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
定义法
先确定定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论
图象法
若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降写出它的单调性
性质法
对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各基本初等函数的增减性及“增＋增＝增，增－减＝增，减＋减＝减，减－增＝减”进行判断
导数法
先求导，再确定导数的正负，由导数的正负得函数的单调性
复合法
对于复合函数，先将函数f(g(x))分解成y＝f(t)和t＝g(x)，然后讨论(判断)这两个函数的单调性，再根据复合函数“同增异减”的规则进行判断
读
定义min{a，b}＝a，a≤b， b，a＞b， 求函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值
想
1.图象法．
2．单调性法
算
1.一次函数、对数函数的图象．
2．一次函数、对数函数的单调性
思
最值与图象的最高(低)点、单调性的关系