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浙教版七年级下册3.1 同底数幂的乘法课后复习题
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这是一份浙教版七年级下册3.1 同底数幂的乘法课后复习题，共42页。试卷主要包含了掌握同底数幂的乘法及其逆用；，掌握幂的乘方运算及其逆用；，掌握积的乘方运算及其逆用；，掌握用科学记数法表示数的乘法；等内容，欢迎下载使用。
1、掌握同底数幂的乘法及其逆用；
2、掌握幂的乘方运算及其逆用；
3、掌握积的乘方运算及其逆用；
4、掌握用科学记数法表示数的乘法；
知识点01 同底数幂相乘及其逆用
【知识点】
同底数幂的乘法法则：(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
特别说明：
（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.
（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）.
（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）.
【典型例题】
例1．（2023秋·湖南长沙·八年级统考期末）若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023秋·湖南长沙·八年级统考期末）若，，则=________．
例3．（2023春·全国·七年级专题练习）(1)已知，求的值；
(2)已知，求．
【即学即练】
1．（2023秋·广东汕头·八年级统考期末）计算：（ ）
A．B．C．D．
2．（2021春·江苏常州·七年级校考期中）若，则m的值是（ ）．
A．6B．5C．4D．3
3．（2023春·全国·七年级专题练习）计算：＝______．
4．（2022秋·河北秦皇岛·七年级校联考阶段练习）学习了乘方后，我们知道：，，．
（1）用相同方法计算：___________；
（2）猜想：___________；
（3）利用上述结论，计算：___________．
5．（2023春·全国·七年级专题练习）我们约定：，例如．
(1)试求和的值．
(2)猜想：与的运算结果是否相等？说明理由．
知识点02 幂的乘方运算及其运用
【知识点】
幂的乘方法则
(其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
特别说明：（1）公式的推广： (，均为正整数)
（2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.
【典型例题】
例1．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知，，则____．
例3．（2023秋·安徽宣城·七年级统考期末）已知，，求的值
【即学即练】
1．（2022·浙江·九年级自主招生）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
2．（2021春·内蒙古包头·七年级包头市第二十九中学校考期中）已知，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
3．（2021春·江苏苏州·七年级苏州工业园区星湾学校校考期中）已知，，则__________．
4．（2022秋·江苏南通·八年级校联考期中）已知，，则____
5．（2023春·全国·七年级专题练习）计算：
(1)；
(2)（n是正整数）；
(3)．
知识点03 积的乘方运算及其逆用
【知识点】
积的乘方法则
(其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
特别说明：（1）公式的推广：(为正整数).
（2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：
注意事项
（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.
（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.
（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.
（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.
（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.
（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.
【典型例题】
例1．（2022秋·福建福州·八年级校考期中）计算的结果等于（ ）
A．1B．C．D．
例2．（2021春·四川成都·七年级校考期中）计算：
（1）___________．
（2）若，则x的值为_____________．
例3．（2023春·七年级课时练习）观察下列运算过程：
，；，；…
(1)根据以上运算过程和结果，我们发现：___________ ___________；
(2)仿照（1）中的规律，计算并判断与的大小关系；
(3)求的值．
【即学即练】
1．（2023春·七年级课时练习）下列各式中，计算错误的个数是（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）
A．1B．2C．3D．4
2．（2022秋·四川资阳·八年级统考期末）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·山东临沂·八年级校考阶段练习）计算：___________；
4．（2022春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）我们知道下面的结论：若（，且），则．利用这个结论解决下列问题：设，，．现给出m，n，p三者之间的三个关系式：①，②，③．其中正确的是_________．（填编号）
5．（2023春·江苏·七年级专题练习）若且，m、n是正整数，则．利用上面结论解决下面的问题：
(1)如果，求x的值；
(2)如果，求x的值；
知识点04 用科学记数法表示数的乘法
【知识点】
科学记数法是一种记数的方法。把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（1≤|a|<10，a不为分数形式，n为整数），这种记数法叫做科学记数法。当我们要标记或运算某个较大或较小且位数较多时，用科学记数法免去浪费很多空间和时间。
【典型例题】
例1．（2022·湖北随州·统考中考真题）2022年6月5日10时44分07秒，神舟14号飞船成功发射，将陈冬、刘洋、蔡旭哲三位宇航员送入了中国空间站．已知中国空间站绕地球运行的速度约为，则中国空间站绕地球运行走过的路程（m）用科学记数法可表示为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2020春·湖南株洲·七年级统考期末）计算式子的结果用科学记数法表示为___________．
例3．（2023春·全国·七年级专题练习）计算（结果用科学记数法表示）：
(1)8.4×﹣4.8×；
(2)（5.2×）×（2.5×10）．
【即学即练】
1．（2022·山西·九年级专题练习）2021年5月22日，我国始发的火星车“祝融号”安全到达火星表面．到目前已经获取约10GB原始科学数据，当地球与火星处于最远位置时，从火星表面发出的光到达地球的时间为21分20秒，已知光速约为米/秒，则地球与火星处于最远位置时的距离是（ ）
A．米B．米C．米D．米
2．（2021·山东日照·统考中考真题）数学上有很多著名的猜想，“奇偶归一猜想”就是其中之一，它至今未被证明，但研究发现，对于任意一个小于的正整数，如果是奇数，则乘3加1；如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1．对任意正整数，按照上述规则，恰好实施5次运算结果为1的所有可能取值的个数为（ ）
A．8B．6C．4D．2
3．（2022秋·八年级课时练习）一个长方体的长是，宽是，高是，则它的体积是________.
4．（2022秋·江苏扬州·七年级校考期中）马拉松(Marathn)国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离26英里385码，折合约为42000米，用科学记数法表示42000为 ______．
5．（2022秋·上海宝山·七年级校考期中）计算机存储容量的基本单位是字节，用表示．计算中一般用（千字节）、（兆字节）或（吉字节）作为存储容量的计算单位，它们之间的关系为，，．一种新款电脑的硬盘存储容量为，它相当于多少千字节？（结果用千字节表示，其中，为正整数）
题组A 基础过关练
1．（2023春·江苏·七年级专题练习）计算：结果为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022春·湖南娄底·七年级校考阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）若，，则（ ）
A．5B．6C．9D．8
4．（2022·广东云浮·校联考三模）已知，，则（ ）
A．1B．2C．8D．15
5．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）______．
6．（2022秋·江西上饶·八年级校考阶段练习）已知，则的值为 _____．
7．（2021春·江苏南京·七年级南京钟英中学校考期中）在的运算过程中，依据是______．
8．（2022秋·上海闵行·七年级校联考期中）一种计算机每秒可做次运算，它工作秒运算的次数为______（用科学记数法表示）
9．（2023春·全国·七年级专题练习）计算
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
10．（2023春·全国·七年级专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3) ；
(4)；
(5)．
题组B 能力提升练
1．（2023秋·河北沧州·八年级统考期末）已知，那么x，y，z满足的等量关系是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知，则的值是（ ）
A．6B．18C．36D．72
3．（2022·浙江·九年级自主招生）下列算式，正确的个数是（ ）
① ② ③ ④
A．0个B．1个C．2个D．3个
4．（2022秋·河北邢台·八年级校考阶段练习）若为正整数，则表示的意义为（ ）
A．5个相加B．2个相加C．7个相乘D．5个相乘
5．（2022秋·河南周口·八年级统考期末）若（n为正整数），则的值为 _____．
6．（2022秋·四川达州·八年级校考期中）若，则的值是_____．
7．（2023秋·广东广州·八年级华南师大附中校考期末）若，则_____．
8．（2022秋·山东临沂·七年级统考期中）定义：如果一个数的平方等于，记为，那么这个数叫做虚数单位，把形如（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫做这个复数的实部，叫做这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算：．
根据以上信息，下列各式：
①；
②；
③
④．
其中正确的是______（填上所有正确答案的序号）．
9．（2022秋·全国·八年级专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
10．（2022秋·陕西汉中·七年级校考期中）由乘方的定义可知：（n个a相乘）．观察下列算式回答问题：
，
，
．
(1)______．
(2)计算：．
题组C 培优拔尖练
1．（2023秋·广东深圳·七年级深圳外国语学校校考期末）已知，，a，b均为正整数，则＝（ ）
A．mn2B．m2nC．D．m2n2
2．（2022秋·云南昭通·八年级校考期末）已知，，则的值是（ ）
A．0B．C．3D．
3．（2023春·七年级课时练习）已知，，，，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
4．（2020·甘肃天水·统考中考真题）观察等式：；；；…已知按一定规律排列的一组数：，若，用含的式子表示这组数据的和是( )
A．B．C．D．
5．（2023春·江苏·七年级专题练习）若且，、是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题：
(1)如果，求x的值；
(2)如果，求x的值；
(3)若，，用含x的代数式表示y．
6．（2022秋·辽宁鞍山·八年级统考期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么．例如∶因为，所以．
(1)根据上述规定，填空∶______；______；______；
(2)小明在研究这种运算时发现一个特征；，并作出了如下的证明∶
∵设，则，
∴，即，
∴
∴
试参照小明的证明过程，解决下列问题∶
①计算；
②请你尝试运用这种方法，写出之间的等量关系．并给予证明．
专题3.1 同底数幂的乘法
1、掌握同底数幂的乘法及其逆用；
2、掌握幂的乘方运算及其逆用；
3、掌握积的乘方运算及其逆用；
4、掌握用科学记数法表示数的乘法；
知识点01 同底数幂相乘及其逆用
【知识点】
同底数幂的乘法法则：(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
特别说明：
（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.
（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）.
（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）.
【典型例题】
例1．（2023秋·湖南长沙·八年级统考期末）若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据同底数幂的乘法法则变形，得到，从而有，解之即可．
【详解】解：，
∴，
解得：，
故选B．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是熟练运用运算法则进行变形．
例2．（2023秋·湖南长沙·八年级统考期末）若，，则=________．
【答案】b
【分析】将已知等式利用同底数幂的乘法法则变形，从而得到结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：b．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是灵活运用公式进行变形．
例3．（2023春·全国·七年级专题练习）(1)已知，求的值；
(2)已知，求．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据同底数幂的乘法进行计算即可求解；
（2）根据同底数幂的乘法进行计算即可求解．
【详解】解：（1）
．
（2）因为，
所以．
所以．
【点睛】本题考查了逆用同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键．
【即学即练】
1．（2023秋·广东汕头·八年级统考期末）计算：（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可得到答案．
【详解】解：根据题意得：
，
故选：B．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，是解题的关键．
2．（2021春·江苏常州·七年级校考期中）若，则m的值是（ ）．
A．6B．5C．4D．3
【答案】B
【分析】根据同底数幂乘法法则进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
解得：，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解决此题的关键．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）计算：＝______．
【答案】
【分析】先依据公式得出正确的符号，再利用幂的除法公式计算．
【详解】
故答案为：．
【点睛】本题考查幂的运算，正确运用公式是解题的关键．
4．（2022秋·河北秦皇岛·七年级校联考阶段练习）学习了乘方后，我们知道：，，．
（1）用相同方法计算：___________；
（2）猜想：___________；
（3）利用上述结论，计算：___________．
【答案】
【分析】（1）根据题干所给方法即可得到答案；
（2）分析总结所给方法即可得到答案；
（3）利用（2）的结论济宁计算即可得到答案．
【详解】解：（1），
故答案为：；
（2），
故答案为：；
（3），
故答案为：
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握相关计算法则是解题关键．
5．（2023春·全国·七年级专题练习）我们约定：，例如．
(1)试求和的值．
(2)猜想：与的运算结果是否相等？说明理由．
【答案】(1)，
(2)相等，理由见解析
【分析】（1）根据，分别代入a、b的值，再根据同底数幂的乘法计算即可；
（2）根据可得，进而得出答案．
【详解】（1），
；
（2）与的运算结果相等，理由：
，
，
．
【点睛】本题考查幂的乘法运算和新型运算法则，熟练掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题的关键．
知识点02 幂的乘方运算及其运用
【知识点】
幂的乘方法则
(其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
特别说明：（1）公式的推广： (，均为正整数)
（2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.
【典型例题】
例1．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
【详解】解：A、，故原题计算错误；
B、，故原题计算正确；
C、，故原题计算错误；
D、，故原题计算错误；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方，关键是掌握各计算法则．
例2．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知，，则____．
【答案】27
【分析】把与都化为底数与右边相同，再得到，，再代入求值即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法运算，幂的乘方运算，求解代数式的值，熟练的利用同底数幂与幂的乘方运算解决问题是解本题的关键．
例3．（2023秋·安徽宣城·七年级统考期末）已知，，求的值
【答案】
【分析】由同底数幂的乘法法则的逆运算和负整数指数幂的定义得出，即可得出结果．
【详解】解：∵，，
∴．
【点睛】本题主要考查幂的乘方的逆应用，同底数幂的乘除法运算的逆运用，掌握幂的乘方的运算是解题的关键．
【即学即练】
1．（2022·浙江·九年级自主招生）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据幂的乘方法则，进行计算即可得．
【详解】解：∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了幂的乘方，解题的关键是掌握幂的乘方法则．
2．（2021春·内蒙古包头·七年级包头市第二十九中学校考期中）已知，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】把相应的数的底数转为一样，再比较指数即可．
【详解】解：，，，
，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查幂的乘方，有理数的大小比较，解答的关键是把相应的数的底数转为相等．
4．（2021春·江苏苏州·七年级苏州工业园区星湾学校校考期中）已知，，则__________．
【答案】256
【分析】先根据幂的乘方求出，再由进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：256．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂乘法的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
5．（2022秋·江苏南通·八年级校联考期中）已知，，则____
【答案】6
【分析】根据求出，根据同底数幂的乘法法则得出，求出，再求出答案即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方和同底数幂的乘法，能求出是解此题的关键．
6．（2023春·全国·七年级专题练习）计算：
(1)；
(2)（n是正整数）；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)0
【分析】（1）先化简为，再计算同底数幂的乘法；
（2）先计算同底数幂的乘法，再合并同类项；
（3）先计算同底数幂的乘法和幂的乘方，再合并同类项．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【点睛】本题考查幂的乘方和同底数幂的乘法，解题的关键是熟练掌握运算法则．计算幂的乘方时，底数不变，指数相乘；计算同底数幂的乘法时，底数不变，指数相加．
知识点03 积的乘方运算及其逆用
【知识点】
积的乘方法则
(其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
特别说明：（1）公式的推广：(为正整数).
（2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：
注意事项
（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.
（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.
（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.
（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.
（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.
（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.
【典型例题】
例1．（2022秋·福建福州·八年级校考期中）计算的结果等于（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】根据积的乘方以及同底数幂的乘法进行计算即可求解．
【详解】解：
，
故选：D．
【点睛】本题考查了积的乘方以及同底数幂的乘法，掌握积的乘方以及同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键．
例2．（2021春·四川成都·七年级校考期中）计算：
（1）___________．
（2）若，则x的值为_____________．
【答案】
【分析】（1）根据积的乘方逆运算进行求解即可；
（2）根据幂的乘方运算法则进行计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）∵，
∴，
∴，
故答案为：；．
【点睛】本题考查了积的乘方逆运算、幂的乘方等运算法则，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．
例3．（2023春·七年级课时练习）观察下列运算过程：
，；，；…
(1)根据以上运算过程和结果，我们发现：___________ ___________；
(2)仿照（1）中的规律，计算并判断与的大小关系；
(3)求的值．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）根据已知直接填空即可求解；
（2）根据（1）中的规律，可得，，即可求解．
（3）根据（1）的规律，化为正指数幂的运算，进而根据积的乘方运算法则，进行计算即可求解．
【详解】（1）解：，，
故答案为：，；
（2）解：∵，，
∴．
（3）解：
．
【点睛】本题考查了积的乘方运算，有理数的的乘方运算，找到规律，掌握幂的运算是解题的关键．
【即学即练】
1．（2023春·七年级课时练习）下列各式中，计算错误的个数是（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【详解】解：（1），故（1）符合题意；
（2），故（2）符合题意；
（3）与不属于同类项，不能合并，故（3）符合题意；
（4），故（4）符合题意；
则计算错误的个数为4个．
故选：D．
【点睛】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
2．（2022秋·四川资阳·八年级统考期末）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘法逆用法则进行计算即可．
【详解】解：
，
故选：B．
【点睛】本题考查幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘法逆用，解体的关键是熟练掌握上述运算法则．
3．（2022秋·山东临沂·八年级校考阶段练习）计算：___________；
【答案】
【分析】根据积的乘方和幂的乘方运算法则求解即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了积的乘方和幂的乘方运算，准确的计算是解决本题的关键．
4．（2022春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）我们知道下面的结论：若（，且），则．利用这个结论解决下列问题：设，，．现给出m，n，p三者之间的三个关系式：①，②，③．其中正确的是_________．（填编号）
【答案】①②##②①
【分析】由，得出，由，得出，进而得出，进一步对，，代入计算，即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
①符合题意；
，
②符合题意；
，
③不符合题意，
故答案为：①②．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，解题的关键是掌握幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法法则．
5．（2023春·江苏·七年级专题练习）若且，m、n是正整数，则．利用上面结论解决下面的问题：
(1)如果，求x的值；
(2)如果，求x的值；
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据幂的乘方运算法则把与化为底数为2的幂，再根据同底数幂的乘除法法则解答即可；
（2）根据同底数幂的乘法法则把变形为即可解答．
【详解】（1）解：∵
，
∴，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练利用幂的乘方与积的乘方对式子进行变形．
知识点04 用科学记数法表示数的乘法
【知识点】
科学记数法是一种记数的方法。把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（1≤|a|<10，a不为分数形式，n为整数），这种记数法叫做科学记数法。当我们要标记或运算某个较大或较小且位数较多时，用科学记数法免去浪费很多空间和时间。
【典型例题】
例1．（2022·湖北随州·统考中考真题）2022年6月5日10时44分07秒，神舟14号飞船成功发射，将陈冬、刘洋、蔡旭哲三位宇航员送入了中国空间站．已知中国空间站绕地球运行的速度约为，则中国空间站绕地球运行走过的路程（m）用科学记数法可表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出路程，再用科学记数法表示为a×10n的形式．
【详解】解：路程=．
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．
例2．（2020春·湖南株洲·七年级统考期末）计算式子的结果用科学记数法表示为___________．
【答案】
【分析】首先根据单项式乘单项式的运算法则进行计算，然后将结果化为科学记数法的形式即可．
【详解】，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查单项式乘单项式及科学记数法，掌握单项式乘单项式的运算法则及科学记数法的形式是解题的关键．
例3．（2023春·全国·七年级专题练习）计算（结果用科学记数法表示）：
(1)8.4×﹣4.8×；
(2)（5.2×）×（2.5×10）．
【答案】(1)﹣3.96×
(2)1.3×
【分析】（1）逆用乘法分配律进行计算即可；
（2）根据有理数乘法的交换律和结合律进行计算，然后将结果用科学记数法表示出来即可．
【详解】（1）解：原式＝（0.84﹣4.8）×＝﹣3.96×；
（2）解：原式＝（5.2×2.5）×（×10）＝13×＝1.3×．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，科学记数法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【即学即练】
1．（2022·山西·九年级专题练习）2021年5月22日，我国始发的火星车“祝融号”安全到达火星表面．到目前已经获取约10GB原始科学数据，当地球与火星处于最远位置时，从火星表面发出的光到达地球的时间为21分20秒，已知光速约为米/秒，则地球与火星处于最远位置时的距离是（ ）
A．米B．米C．米D．米
【答案】A
【分析】用光速乘时间，计算后再根据科学记数法的形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数解答．
【详解】解：21分20秒=1280秒，
×1280
=（米），
故选：A．
【点睛】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
2．（2021·山东日照·统考中考真题）数学上有很多著名的猜想，“奇偶归一猜想”就是其中之一，它至今未被证明，但研究发现，对于任意一个小于的正整数，如果是奇数，则乘3加1；如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1．对任意正整数，按照上述规则，恰好实施5次运算结果为1的所有可能取值的个数为（ ）
A．8B．6C．4D．2
【答案】D
【分析】利用第5次运算结果为1出发，按照规则，逆向逐项计算即可求出的所有可能的取值．
【详解】解：如果实施5次运算结果为1，
则变换中的第6项一定是1，
则变换中的第5项一定是2，
则变换中的第4项一定是4，
则变换中的第3项可能是1，也可能是8．
则变换中的第3项可能是1，计算结束，1不符合条件，第三项只能是8.
则变换中第2项是16．
则的所有可能取值为32或5，一共2个，
故选：D．
【点睛】本题考查科学记数法，有理数的混合运算，进行逆向验证是解决本题的关键．
3．（2022秋·八年级课时练习）一个长方体的长是，宽是，高是，则它的体积是________.
【答案】
【分析】先进行单位换算，再计算长方体的体积
【详解】，，
故它的体积是：
．
故答案为：
【点睛】此题主要考查了单项式乘以单项式以及科学记数法的表示方法，单位换算和正确计算是解题关键．
4．（2022秋·江苏扬州·七年级校考期中）马拉松(Marathn)国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离26英里385码，折合约为42000米，用科学记数法表示42000为 ______．
【答案】4.2×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】将42000用科学记数法表示为4.2×10.
故答案是：4.2×104
【点睛】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的基本形式是解决本题的关键.
5．（2022秋·上海宝山·七年级校考期中）计算机存储容量的基本单位是字节，用表示．计算中一般用（千字节）、（兆字节）或（吉字节）作为存储容量的计算单位，它们之间的关系为，，．一种新款电脑的硬盘存储容量为，它相当于多少千字节？（结果用千字节表示，其中，为正整数）
【答案】KB．
【分析】根据进率计算，结果用科学记数法表示即可．
【详解】解：．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．也考查了同底数幂的乘法．
题组A 基础过关练
1．（2023春·江苏·七年级专题练习）计算：结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用幂的乘方的法则及同底数幂的除法的法则对式子进行运算即可．
【详解】解：．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法，幂的乘方；解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
2．（2022春·湖南娄底·七年级校考阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】直接利用同底数幂乘法法则、幂的乘方运算法则和积的乘方运算法则，分别计算得出答案．
【详解】∵，
∴选项A不符合题意；
∵，
∴选项B不符合题意；
∵，
∴选项C不符合题意；
∵，
∴选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了同底数幂乘法法则、幂的乘方运算法则和积的乘方运算法则，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．
3．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）若，，则（ ）
A．5B．6C．9D．8
【答案】B
【分析】根据同底数幂乘法的逆运算得出，代入求值即可．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】本题考查同底数幂乘法的逆运算，正确计算是解题的关键．
4．（2022·广东云浮·校联考三模）已知，，则（ ）
A．1B．2C．8D．15
【答案】D
【分析】利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
【详解】解：当，时，
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）______．
【答案】##0.5
【分析】根据积的乘方的逆运算，同底数幂的乘法逆运算进行变形即可得出答案．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查积的乘方的逆运算，同底数幂的乘法逆运算，正确计算是解题的关键．
6．（2022秋·江西上饶·八年级校考阶段练习）已知，则的值为 _____．
【答案】45
【分析】逆用同底数幂的乘法代入计算即可得解．
【详解】∵，
∴，
故答案为：45．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法法则的逆用，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．
7．（2021春·江苏南京·七年级南京钟英中学校考期中）在的运算过程中，依据是______．
【答案】积的乘方运算法则
【分析】根据积的乘方法则∶把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘可得答案．
【详解】解∶在的运算过程中，依据是积的乘方运算法则，
故答案为∶积的乘方运算法则．
【点睛】此题主要考查了单项式乘法和积的乘方，关键是掌握积的乘方计算法则．
8．（2022秋·上海闵行·七年级校联考期中）一种计算机每秒可做次运算，它工作秒运算的次数为______（用科学记数法表示）
【答案】
【分析】根据题意列出代数式，再根据单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法的性质进行计算即可．
【详解】解：计算机工作秒运算的次数为：
．
故答案为：．
【点睛】此题考查了科学记数法，单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
9．（2023春·全国·七年级专题练习）计算
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)0
(3)－b4m+1
(4)x8
【分析】（1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可求解；
（2）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可求解；
（3）先确定符号，再根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可求解；
（4）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可求解．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【点睛】本题主要考查了同底数的幂的乘法，解题的关键是掌握“根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加”．
10．（2023春·全国·七年级专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3) ；
(4)；
(5)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）利用同底数幂的乘法法则计算即可；
（2）利用同底数幂的乘法法则计算即可；
（3）利用同底数幂的乘法法则计算即可；
（4）利用同底数幂的乘法法则计算即可；
（5）利用同底数幂的乘法法则计算即可；
【详解】（1）解：原式
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式；
（5）原式．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．
题组B 能力提升练
1．（2023秋·河北沧州·八年级统考期末）已知，那么x，y，z满足的等量关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意得出，则即可求解．
【详解】解：∵
∴，
∴
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方运算，解答的关键是对同底数幂的乘法的运算法则的掌握与灵活运用．
2．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知，则的值是（ ）
A．6B．18C．36D．72
【答案】B
【分析】先逆用幂的乘方，再逆用积的乘方计算即可．
【详解】解：当时，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了幂的乘方的逆用和积的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3．（2022·浙江·九年级自主招生）下列算式，正确的个数是（ ）
① ② ③ ④
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】A
【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，进行计算即可求解．
【详解】解：①，故①错误，不符合题意；
②，故②错误，不符合题意；
③，故③错误，不符合题意；
④，故④错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，掌握以上运算法则是解题的关键．
4．（2022秋·河北邢台·八年级校考阶段练习）若为正整数，则表示的意义为（ ）
A．5个相加B．2个相加C．7个相乘D．5个相乘
【答案】D
【分析】根据幂的定义判断即可．
【详解】解：，即表示的是5个相乘．
故选：D．
【点睛】本题考查了幂的乘方，掌握幂的定义是解答本题的关键．
5．（2022秋·河南周口·八年级统考期末）若（n为正整数），则的值为 _____．
【答案】8
【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则进行运算即可．
【详解】解：当时，
．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
6．（2022秋·四川达州·八年级校考期中）若，则的值是_____．
【答案】##0.5
【分析】由非负数的性质求出，，再把化为，代入求值即可．
【详解】解：，
，，
，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是非负数的性质，同底数幂的乘法的逆用，积的乘方的逆用，解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
7．（2023秋·广东广州·八年级华南师大附中校考期末）若，则_____．
【答案】
【分析】利用同底数幂的除法的法则及幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
【详解】解∶当时，
故答案为∶．
【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
8．（2022秋·山东临沂·七年级统考期中）定义：如果一个数的平方等于，记为，那么这个数叫做虚数单位，把形如（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫做这个复数的实部，叫做这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算：．
根据以上信息，下列各式：
①；
②；
③
④．
其中正确的是______（填上所有正确答案的序号）．
【答案】①②③④
【分析】理解的含义以及运算，再对选项逐个判断即可．
【详解】解：，①正确；
，②正确；
，③正确；
∵，
∴，
∴，④正确；
故答案为：①②③④
【点睛】此题考查了数字的变化规律，乘方运算，本题是阅读型题目，理解并熟练应用其中的定义与公式是解题的关键．
9．（2022秋·全国·八年级专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可；
（2）先根据同底数幂的乘法法则运算，然后根据积的乘方计算即可；
（3）先根据幂的乘方与积的乘方计算，然后再合并同类项即可．
【详解】（1）解：．
（2）解: ．
（3）解：．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方、积的乘方、同底数幂相乘等知识点，灵活运用相关运算法则是解答本题的关键．
10．（2022秋·陕西汉中·七年级校考期中）由乘方的定义可知：（n个a相乘）．观察下列算式回答问题：
，
，
．
(1)______．
(2)计算：．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）仿照题意进行求解即可；
（2）先把变形为，再根据进行求解即可．
【详解】（1）解：
，
故答案为：
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了积的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
题组C 培优拔尖练
1．（2023秋·广东深圳·七年级深圳外国语学校校考期末）已知，，a，b均为正整数，则＝（ ）
A．mn2B．m2nC．D．m2n2
【答案】D
【分析】先利用幂的乘方法则的逆用对已知条件进行整理，再利用同底数幂的乘法法则的逆用及幂的乘方法则的逆用对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
【详解】∵，
∴．
∴
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查幂的乘方、同底数幂的乘法法则的逆用，解答本题的关键是熟记同底数幂的乘法、幂的乘方的相关法则．
2．（2022秋·云南昭通·八年级校考期末）已知，，则的值是（ ）
A．0B．C．3D．
【答案】A
【分析】利用同底数幂乘法、幂的乘方等法则进行计算，即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了同底数幂乘法、幂的乘方等知识点，熟练掌握相关运算法则以及逆运算是解本题的关键．
3．（2023春·七年级课时练习）已知，，，，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先根据幂的乘方运算的逆用可得，，，，再根据指数相等时，底数越大，幂就越大，据此即可解答．
【详解】解：，，，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了幂的乘方运算的逆用，有理数大小的比较，熟练掌握和运用幂的乘方运算的逆用是解决本题的关键．
4．（2020·甘肃天水·统考中考真题）观察等式：；；；…已知按一定规律排列的一组数：，若，用含的式子表示这组数据的和是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意得出，再利用整体代入思想即可得出答案．
【详解】解：由题意得：这组数据的和为：
∵，
∴原式=,
故选：A．
【点睛】本题考查规律型问题：数字变化，列代数式，整体代入思想，同底数幂的乘法的逆用，解题的关键是正确找到本题的规律：，学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
5．（2023春·江苏·七年级专题练习）若且，、是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题：
(1)如果，求x的值；
(2)如果，求x的值；
(3)若，，用含x的代数式表示y．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据幂的乘方运算法则把化为底数为2的幂，解答即可；
（2）根据同底数幂的乘法法则把变形为即可解答；
（3）由可得，再根据幂的乘方运算法则解答即可．
【详解】（1）解： ，
，
解得；
（2）解：，
，
，
；
（3）解：，
，
，
．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，掌握利用同底数幂的乘法、幂的乘方及其逆运算对式子进行变形是关键．
6．（2022秋·辽宁鞍山·八年级统考期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么．例如∶因为，所以．
(1)根据上述规定，填空∶______；______；______；
(2)小明在研究这种运算时发现一个特征；，并作出了如下的证明∶
∵设，则，
∴，即，
∴
∴
试参照小明的证明过程，解决下列问题∶
①计算；
②请你尝试运用这种方法，写出之间的等量关系．并给予证明．
【答案】(1)
(2)①0；②
【分析】（1）由新定义计算得出结果即可；
（2）①由推理过程可得，再相减结果得0即可；
②设，，则，从而得到
【详解】（1）
故答案为：
（2）①；
②．
证明：设，，则，所以，，，所以
【点睛】本题主要考查幂的运算与新定义结合的题型，理解透题目的意思是解题的关键点．
1、掌握同底数幂的乘法及其逆用；
2、掌握幂的乘方运算及其逆用；
3、掌握积的乘方运算及其逆用；
4、掌握用科学记数法表示数的乘法；
知识点01 同底数幂相乘及其逆用
【知识点】
同底数幂的乘法法则：(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
特别说明：
（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.
（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）.
（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）.
【典型例题】
例1．（2023秋·湖南长沙·八年级统考期末）若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023秋·湖南长沙·八年级统考期末）若，，则=________．
例3．（2023春·全国·七年级专题练习）(1)已知，求的值；
(2)已知，求．
【即学即练】
1．（2023秋·广东汕头·八年级统考期末）计算：（ ）
A．B．C．D．
2．（2021春·江苏常州·七年级校考期中）若，则m的值是（ ）．
A．6B．5C．4D．3
3．（2023春·全国·七年级专题练习）计算：＝______．
4．（2022秋·河北秦皇岛·七年级校联考阶段练习）学习了乘方后，我们知道：，，．
（1）用相同方法计算：___________；
（2）猜想：___________；
（3）利用上述结论，计算：___________．
5．（2023春·全国·七年级专题练习）我们约定：，例如．
(1)试求和的值．
(2)猜想：与的运算结果是否相等？说明理由．
知识点02 幂的乘方运算及其运用
【知识点】
幂的乘方法则
(其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
特别说明：（1）公式的推广： (，均为正整数)
（2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.
【典型例题】
例1．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知，，则____．
例3．（2023秋·安徽宣城·七年级统考期末）已知，，求的值
【即学即练】
1．（2022·浙江·九年级自主招生）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
2．（2021春·内蒙古包头·七年级包头市第二十九中学校考期中）已知，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
3．（2021春·江苏苏州·七年级苏州工业园区星湾学校校考期中）已知，，则__________．
4．（2022秋·江苏南通·八年级校联考期中）已知，，则____
5．（2023春·全国·七年级专题练习）计算：
(1)；
(2)（n是正整数）；
(3)．
知识点03 积的乘方运算及其逆用
【知识点】
积的乘方法则
(其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
特别说明：（1）公式的推广：(为正整数).
（2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：
注意事项
（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.
（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.
（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.
（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.
（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.
（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.
【典型例题】
例1．（2022秋·福建福州·八年级校考期中）计算的结果等于（ ）
A．1B．C．D．
例2．（2021春·四川成都·七年级校考期中）计算：
（1）___________．
（2）若，则x的值为_____________．
例3．（2023春·七年级课时练习）观察下列运算过程：
，；，；…
(1)根据以上运算过程和结果，我们发现：___________ ___________；
(2)仿照（1）中的规律，计算并判断与的大小关系；
(3)求的值．
【即学即练】
1．（2023春·七年级课时练习）下列各式中，计算错误的个数是（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）
A．1B．2C．3D．4
2．（2022秋·四川资阳·八年级统考期末）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·山东临沂·八年级校考阶段练习）计算：___________；
4．（2022春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）我们知道下面的结论：若（，且），则．利用这个结论解决下列问题：设，，．现给出m，n，p三者之间的三个关系式：①，②，③．其中正确的是_________．（填编号）
5．（2023春·江苏·七年级专题练习）若且，m、n是正整数，则．利用上面结论解决下面的问题：
(1)如果，求x的值；
(2)如果，求x的值；
知识点04 用科学记数法表示数的乘法
【知识点】
科学记数法是一种记数的方法。把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（1≤|a|<10，a不为分数形式，n为整数），这种记数法叫做科学记数法。当我们要标记或运算某个较大或较小且位数较多时，用科学记数法免去浪费很多空间和时间。
【典型例题】
例1．（2022·湖北随州·统考中考真题）2022年6月5日10时44分07秒，神舟14号飞船成功发射，将陈冬、刘洋、蔡旭哲三位宇航员送入了中国空间站．已知中国空间站绕地球运行的速度约为，则中国空间站绕地球运行走过的路程（m）用科学记数法可表示为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2020春·湖南株洲·七年级统考期末）计算式子的结果用科学记数法表示为___________．
例3．（2023春·全国·七年级专题练习）计算（结果用科学记数法表示）：
(1)8.4×﹣4.8×；
(2)（5.2×）×（2.5×10）．
【即学即练】
1．（2022·山西·九年级专题练习）2021年5月22日，我国始发的火星车“祝融号”安全到达火星表面．到目前已经获取约10GB原始科学数据，当地球与火星处于最远位置时，从火星表面发出的光到达地球的时间为21分20秒，已知光速约为米/秒，则地球与火星处于最远位置时的距离是（ ）
A．米B．米C．米D．米
2．（2021·山东日照·统考中考真题）数学上有很多著名的猜想，“奇偶归一猜想”就是其中之一，它至今未被证明，但研究发现，对于任意一个小于的正整数，如果是奇数，则乘3加1；如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1．对任意正整数，按照上述规则，恰好实施5次运算结果为1的所有可能取值的个数为（ ）
A．8B．6C．4D．2
3．（2022秋·八年级课时练习）一个长方体的长是，宽是，高是，则它的体积是________.
4．（2022秋·江苏扬州·七年级校考期中）马拉松(Marathn)国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离26英里385码，折合约为42000米，用科学记数法表示42000为 ______．
5．（2022秋·上海宝山·七年级校考期中）计算机存储容量的基本单位是字节，用表示．计算中一般用（千字节）、（兆字节）或（吉字节）作为存储容量的计算单位，它们之间的关系为，，．一种新款电脑的硬盘存储容量为，它相当于多少千字节？（结果用千字节表示，其中，为正整数）
题组A 基础过关练
1．（2023春·江苏·七年级专题练习）计算：结果为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022春·湖南娄底·七年级校考阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）若，，则（ ）
A．5B．6C．9D．8
4．（2022·广东云浮·校联考三模）已知，，则（ ）
A．1B．2C．8D．15
5．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）______．
6．（2022秋·江西上饶·八年级校考阶段练习）已知，则的值为 _____．
7．（2021春·江苏南京·七年级南京钟英中学校考期中）在的运算过程中，依据是______．
8．（2022秋·上海闵行·七年级校联考期中）一种计算机每秒可做次运算，它工作秒运算的次数为______（用科学记数法表示）
9．（2023春·全国·七年级专题练习）计算
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
10．（2023春·全国·七年级专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3) ；
(4)；
(5)．
题组B 能力提升练
1．（2023秋·河北沧州·八年级统考期末）已知，那么x，y，z满足的等量关系是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知，则的值是（ ）
A．6B．18C．36D．72
3．（2022·浙江·九年级自主招生）下列算式，正确的个数是（ ）
① ② ③ ④
A．0个B．1个C．2个D．3个
4．（2022秋·河北邢台·八年级校考阶段练习）若为正整数，则表示的意义为（ ）
A．5个相加B．2个相加C．7个相乘D．5个相乘
5．（2022秋·河南周口·八年级统考期末）若（n为正整数），则的值为 _____．
6．（2022秋·四川达州·八年级校考期中）若，则的值是_____．
7．（2023秋·广东广州·八年级华南师大附中校考期末）若，则_____．
8．（2022秋·山东临沂·七年级统考期中）定义：如果一个数的平方等于，记为，那么这个数叫做虚数单位，把形如（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫做这个复数的实部，叫做这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算：．
根据以上信息，下列各式：
①；
②；
③
④．
其中正确的是______（填上所有正确答案的序号）．
9．（2022秋·全国·八年级专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
10．（2022秋·陕西汉中·七年级校考期中）由乘方的定义可知：（n个a相乘）．观察下列算式回答问题：
，
，
．
(1)______．
(2)计算：．
题组C 培优拔尖练
1．（2023秋·广东深圳·七年级深圳外国语学校校考期末）已知，，a，b均为正整数，则＝（ ）
A．mn2B．m2nC．D．m2n2
2．（2022秋·云南昭通·八年级校考期末）已知，，则的值是（ ）
A．0B．C．3D．
3．（2023春·七年级课时练习）已知，，，，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
4．（2020·甘肃天水·统考中考真题）观察等式：；；；…已知按一定规律排列的一组数：，若，用含的式子表示这组数据的和是( )
A．B．C．D．
5．（2023春·江苏·七年级专题练习）若且，、是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题：
(1)如果，求x的值；
(2)如果，求x的值；
(3)若，，用含x的代数式表示y．
6．（2022秋·辽宁鞍山·八年级统考期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么．例如∶因为，所以．
(1)根据上述规定，填空∶______；______；______；
(2)小明在研究这种运算时发现一个特征；，并作出了如下的证明∶
∵设，则，
∴，即，
∴
∴
试参照小明的证明过程，解决下列问题∶
①计算；
②请你尝试运用这种方法，写出之间的等量关系．并给予证明．
专题3.1 同底数幂的乘法
1、掌握同底数幂的乘法及其逆用；
2、掌握幂的乘方运算及其逆用；
3、掌握积的乘方运算及其逆用；
4、掌握用科学记数法表示数的乘法；
知识点01 同底数幂相乘及其逆用
【知识点】
同底数幂的乘法法则：(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
特别说明：
（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.
（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）.
（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）.
【典型例题】
例1．（2023秋·湖南长沙·八年级统考期末）若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据同底数幂的乘法法则变形，得到，从而有，解之即可．
【详解】解：，
∴，
解得：，
故选B．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是熟练运用运算法则进行变形．
例2．（2023秋·湖南长沙·八年级统考期末）若，，则=________．
【答案】b
【分析】将已知等式利用同底数幂的乘法法则变形，从而得到结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：b．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是灵活运用公式进行变形．
例3．（2023春·全国·七年级专题练习）(1)已知，求的值；
(2)已知，求．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据同底数幂的乘法进行计算即可求解；
（2）根据同底数幂的乘法进行计算即可求解．
【详解】解：（1）
．
（2）因为，
所以．
所以．
【点睛】本题考查了逆用同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键．
【即学即练】
1．（2023秋·广东汕头·八年级统考期末）计算：（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可得到答案．
【详解】解：根据题意得：
，
故选：B．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，是解题的关键．
2．（2021春·江苏常州·七年级校考期中）若，则m的值是（ ）．
A．6B．5C．4D．3
【答案】B
【分析】根据同底数幂乘法法则进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
解得：，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解决此题的关键．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）计算：＝______．
【答案】
【分析】先依据公式得出正确的符号，再利用幂的除法公式计算．
【详解】
故答案为：．
【点睛】本题考查幂的运算，正确运用公式是解题的关键．
4．（2022秋·河北秦皇岛·七年级校联考阶段练习）学习了乘方后，我们知道：，，．
（1）用相同方法计算：___________；
（2）猜想：___________；
（3）利用上述结论，计算：___________．
【答案】
【分析】（1）根据题干所给方法即可得到答案；
（2）分析总结所给方法即可得到答案；
（3）利用（2）的结论济宁计算即可得到答案．
【详解】解：（1），
故答案为：；
（2），
故答案为：；
（3），
故答案为：
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握相关计算法则是解题关键．
5．（2023春·全国·七年级专题练习）我们约定：，例如．
(1)试求和的值．
(2)猜想：与的运算结果是否相等？说明理由．
【答案】(1)，
(2)相等，理由见解析
【分析】（1）根据，分别代入a、b的值，再根据同底数幂的乘法计算即可；
（2）根据可得，进而得出答案．
【详解】（1），
；
（2）与的运算结果相等，理由：
，
，
．
【点睛】本题考查幂的乘法运算和新型运算法则，熟练掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题的关键．
知识点02 幂的乘方运算及其运用
【知识点】
幂的乘方法则
(其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
特别说明：（1）公式的推广： (，均为正整数)
（2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.
【典型例题】
例1．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
【详解】解：A、，故原题计算错误；
B、，故原题计算正确；
C、，故原题计算错误；
D、，故原题计算错误；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方，关键是掌握各计算法则．
例2．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知，，则____．
【答案】27
【分析】把与都化为底数与右边相同，再得到，，再代入求值即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法运算，幂的乘方运算，求解代数式的值，熟练的利用同底数幂与幂的乘方运算解决问题是解本题的关键．
例3．（2023秋·安徽宣城·七年级统考期末）已知，，求的值
【答案】
【分析】由同底数幂的乘法法则的逆运算和负整数指数幂的定义得出，即可得出结果．
【详解】解：∵，，
∴．
【点睛】本题主要考查幂的乘方的逆应用，同底数幂的乘除法运算的逆运用，掌握幂的乘方的运算是解题的关键．
【即学即练】
1．（2022·浙江·九年级自主招生）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据幂的乘方法则，进行计算即可得．
【详解】解：∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了幂的乘方，解题的关键是掌握幂的乘方法则．
2．（2021春·内蒙古包头·七年级包头市第二十九中学校考期中）已知，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】把相应的数的底数转为一样，再比较指数即可．
【详解】解：，，，
，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查幂的乘方，有理数的大小比较，解答的关键是把相应的数的底数转为相等．
4．（2021春·江苏苏州·七年级苏州工业园区星湾学校校考期中）已知，，则__________．
【答案】256
【分析】先根据幂的乘方求出，再由进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：256．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂乘法的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
5．（2022秋·江苏南通·八年级校联考期中）已知，，则____
【答案】6
【分析】根据求出，根据同底数幂的乘法法则得出，求出，再求出答案即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方和同底数幂的乘法，能求出是解此题的关键．
6．（2023春·全国·七年级专题练习）计算：
(1)；
(2)（n是正整数）；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)0
【分析】（1）先化简为，再计算同底数幂的乘法；
（2）先计算同底数幂的乘法，再合并同类项；
（3）先计算同底数幂的乘法和幂的乘方，再合并同类项．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【点睛】本题考查幂的乘方和同底数幂的乘法，解题的关键是熟练掌握运算法则．计算幂的乘方时，底数不变，指数相乘；计算同底数幂的乘法时，底数不变，指数相加．
知识点03 积的乘方运算及其逆用
【知识点】
积的乘方法则
(其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
特别说明：（1）公式的推广：(为正整数).
（2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：
注意事项
（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.
（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.
（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.
（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.
（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.
（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.
【典型例题】
例1．（2022秋·福建福州·八年级校考期中）计算的结果等于（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】根据积的乘方以及同底数幂的乘法进行计算即可求解．
【详解】解：
，
故选：D．
【点睛】本题考查了积的乘方以及同底数幂的乘法，掌握积的乘方以及同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键．
例2．（2021春·四川成都·七年级校考期中）计算：
（1）___________．
（2）若，则x的值为_____________．
【答案】
【分析】（1）根据积的乘方逆运算进行求解即可；
（2）根据幂的乘方运算法则进行计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）∵，
∴，
∴，
故答案为：；．
【点睛】本题考查了积的乘方逆运算、幂的乘方等运算法则，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．
例3．（2023春·七年级课时练习）观察下列运算过程：
，；，；…
(1)根据以上运算过程和结果，我们发现：___________ ___________；
(2)仿照（1）中的规律，计算并判断与的大小关系；
(3)求的值．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）根据已知直接填空即可求解；
（2）根据（1）中的规律，可得，，即可求解．
（3）根据（1）的规律，化为正指数幂的运算，进而根据积的乘方运算法则，进行计算即可求解．
【详解】（1）解：，，
故答案为：，；
（2）解：∵，，
∴．
（3）解：
．
【点睛】本题考查了积的乘方运算，有理数的的乘方运算，找到规律，掌握幂的运算是解题的关键．
【即学即练】
1．（2023春·七年级课时练习）下列各式中，计算错误的个数是（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【详解】解：（1），故（1）符合题意；
（2），故（2）符合题意；
（3）与不属于同类项，不能合并，故（3）符合题意；
（4），故（4）符合题意；
则计算错误的个数为4个．
故选：D．
【点睛】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
2．（2022秋·四川资阳·八年级统考期末）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘法逆用法则进行计算即可．
【详解】解：
，
故选：B．
【点睛】本题考查幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘法逆用，解体的关键是熟练掌握上述运算法则．
3．（2022秋·山东临沂·八年级校考阶段练习）计算：___________；
【答案】
【分析】根据积的乘方和幂的乘方运算法则求解即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了积的乘方和幂的乘方运算，准确的计算是解决本题的关键．
4．（2022春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）我们知道下面的结论：若（，且），则．利用这个结论解决下列问题：设，，．现给出m，n，p三者之间的三个关系式：①，②，③．其中正确的是_________．（填编号）
【答案】①②##②①
【分析】由，得出，由，得出，进而得出，进一步对，，代入计算，即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
①符合题意；
，
②符合题意；
，
③不符合题意，
故答案为：①②．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，解题的关键是掌握幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法法则．
5．（2023春·江苏·七年级专题练习）若且，m、n是正整数，则．利用上面结论解决下面的问题：
(1)如果，求x的值；
(2)如果，求x的值；
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据幂的乘方运算法则把与化为底数为2的幂，再根据同底数幂的乘除法法则解答即可；
（2）根据同底数幂的乘法法则把变形为即可解答．
【详解】（1）解：∵
，
∴，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练利用幂的乘方与积的乘方对式子进行变形．
知识点04 用科学记数法表示数的乘法
【知识点】
科学记数法是一种记数的方法。把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（1≤|a|<10，a不为分数形式，n为整数），这种记数法叫做科学记数法。当我们要标记或运算某个较大或较小且位数较多时，用科学记数法免去浪费很多空间和时间。
【典型例题】
例1．（2022·湖北随州·统考中考真题）2022年6月5日10时44分07秒，神舟14号飞船成功发射，将陈冬、刘洋、蔡旭哲三位宇航员送入了中国空间站．已知中国空间站绕地球运行的速度约为，则中国空间站绕地球运行走过的路程（m）用科学记数法可表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出路程，再用科学记数法表示为a×10n的形式．
【详解】解：路程=．
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．
例2．（2020春·湖南株洲·七年级统考期末）计算式子的结果用科学记数法表示为___________．
【答案】
【分析】首先根据单项式乘单项式的运算法则进行计算，然后将结果化为科学记数法的形式即可．
【详解】，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查单项式乘单项式及科学记数法，掌握单项式乘单项式的运算法则及科学记数法的形式是解题的关键．
例3．（2023春·全国·七年级专题练习）计算（结果用科学记数法表示）：
(1)8.4×﹣4.8×；
(2)（5.2×）×（2.5×10）．
【答案】(1)﹣3.96×
(2)1.3×
【分析】（1）逆用乘法分配律进行计算即可；
（2）根据有理数乘法的交换律和结合律进行计算，然后将结果用科学记数法表示出来即可．
【详解】（1）解：原式＝（0.84﹣4.8）×＝﹣3.96×；
（2）解：原式＝（5.2×2.5）×（×10）＝13×＝1.3×．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，科学记数法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【即学即练】
1．（2022·山西·九年级专题练习）2021年5月22日，我国始发的火星车“祝融号”安全到达火星表面．到目前已经获取约10GB原始科学数据，当地球与火星处于最远位置时，从火星表面发出的光到达地球的时间为21分20秒，已知光速约为米/秒，则地球与火星处于最远位置时的距离是（ ）
A．米B．米C．米D．米
【答案】A
【分析】用光速乘时间，计算后再根据科学记数法的形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数解答．
【详解】解：21分20秒=1280秒，
×1280
=（米），
故选：A．
【点睛】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
2．（2021·山东日照·统考中考真题）数学上有很多著名的猜想，“奇偶归一猜想”就是其中之一，它至今未被证明，但研究发现，对于任意一个小于的正整数，如果是奇数，则乘3加1；如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1．对任意正整数，按照上述规则，恰好实施5次运算结果为1的所有可能取值的个数为（ ）
A．8B．6C．4D．2
【答案】D
【分析】利用第5次运算结果为1出发，按照规则，逆向逐项计算即可求出的所有可能的取值．
【详解】解：如果实施5次运算结果为1，
则变换中的第6项一定是1，
则变换中的第5项一定是2，
则变换中的第4项一定是4，
则变换中的第3项可能是1，也可能是8．
则变换中的第3项可能是1，计算结束，1不符合条件，第三项只能是8.
则变换中第2项是16．
则的所有可能取值为32或5，一共2个，
故选：D．
【点睛】本题考查科学记数法，有理数的混合运算，进行逆向验证是解决本题的关键．
3．（2022秋·八年级课时练习）一个长方体的长是，宽是，高是，则它的体积是________.
【答案】
【分析】先进行单位换算，再计算长方体的体积
【详解】，，
故它的体积是：
．
故答案为：
【点睛】此题主要考查了单项式乘以单项式以及科学记数法的表示方法，单位换算和正确计算是解题关键．
4．（2022秋·江苏扬州·七年级校考期中）马拉松(Marathn)国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离26英里385码，折合约为42000米，用科学记数法表示42000为 ______．
【答案】4.2×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】将42000用科学记数法表示为4.2×10.
故答案是：4.2×104
【点睛】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的基本形式是解决本题的关键.
5．（2022秋·上海宝山·七年级校考期中）计算机存储容量的基本单位是字节，用表示．计算中一般用（千字节）、（兆字节）或（吉字节）作为存储容量的计算单位，它们之间的关系为，，．一种新款电脑的硬盘存储容量为，它相当于多少千字节？（结果用千字节表示，其中，为正整数）
【答案】KB．
【分析】根据进率计算，结果用科学记数法表示即可．
【详解】解：．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．也考查了同底数幂的乘法．
题组A 基础过关练
1．（2023春·江苏·七年级专题练习）计算：结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用幂的乘方的法则及同底数幂的除法的法则对式子进行运算即可．
【详解】解：．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法，幂的乘方；解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
2．（2022春·湖南娄底·七年级校考阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】直接利用同底数幂乘法法则、幂的乘方运算法则和积的乘方运算法则，分别计算得出答案．
【详解】∵，
∴选项A不符合题意；
∵，
∴选项B不符合题意；
∵，
∴选项C不符合题意；
∵，
∴选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了同底数幂乘法法则、幂的乘方运算法则和积的乘方运算法则，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．
3．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）若，，则（ ）
A．5B．6C．9D．8
【答案】B
【分析】根据同底数幂乘法的逆运算得出，代入求值即可．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】本题考查同底数幂乘法的逆运算，正确计算是解题的关键．
4．（2022·广东云浮·校联考三模）已知，，则（ ）
A．1B．2C．8D．15
【答案】D
【分析】利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
【详解】解：当，时，
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）______．
【答案】##0.5
【分析】根据积的乘方的逆运算，同底数幂的乘法逆运算进行变形即可得出答案．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查积的乘方的逆运算，同底数幂的乘法逆运算，正确计算是解题的关键．
6．（2022秋·江西上饶·八年级校考阶段练习）已知，则的值为 _____．
【答案】45
【分析】逆用同底数幂的乘法代入计算即可得解．
【详解】∵，
∴，
故答案为：45．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法法则的逆用，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．
7．（2021春·江苏南京·七年级南京钟英中学校考期中）在的运算过程中，依据是______．
【答案】积的乘方运算法则
【分析】根据积的乘方法则∶把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘可得答案．
【详解】解∶在的运算过程中，依据是积的乘方运算法则，
故答案为∶积的乘方运算法则．
【点睛】此题主要考查了单项式乘法和积的乘方，关键是掌握积的乘方计算法则．
8．（2022秋·上海闵行·七年级校联考期中）一种计算机每秒可做次运算，它工作秒运算的次数为______（用科学记数法表示）
【答案】
【分析】根据题意列出代数式，再根据单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法的性质进行计算即可．
【详解】解：计算机工作秒运算的次数为：
．
故答案为：．
【点睛】此题考查了科学记数法，单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
9．（2023春·全国·七年级专题练习）计算
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)0
(3)－b4m+1
(4)x8
【分析】（1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可求解；
（2）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可求解；
（3）先确定符号，再根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可求解；
（4）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可求解．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【点睛】本题主要考查了同底数的幂的乘法，解题的关键是掌握“根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加”．
10．（2023春·全国·七年级专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3) ；
(4)；
(5)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）利用同底数幂的乘法法则计算即可；
（2）利用同底数幂的乘法法则计算即可；
（3）利用同底数幂的乘法法则计算即可；
（4）利用同底数幂的乘法法则计算即可；
（5）利用同底数幂的乘法法则计算即可；
【详解】（1）解：原式
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式；
（5）原式．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．
题组B 能力提升练
1．（2023秋·河北沧州·八年级统考期末）已知，那么x，y，z满足的等量关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意得出，则即可求解．
【详解】解：∵
∴，
∴
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方运算，解答的关键是对同底数幂的乘法的运算法则的掌握与灵活运用．
2．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知，则的值是（ ）
A．6B．18C．36D．72
【答案】B
【分析】先逆用幂的乘方，再逆用积的乘方计算即可．
【详解】解：当时，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了幂的乘方的逆用和积的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3．（2022·浙江·九年级自主招生）下列算式，正确的个数是（ ）
① ② ③ ④
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】A
【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，进行计算即可求解．
【详解】解：①，故①错误，不符合题意；
②，故②错误，不符合题意；
③，故③错误，不符合题意；
④，故④错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，掌握以上运算法则是解题的关键．
4．（2022秋·河北邢台·八年级校考阶段练习）若为正整数，则表示的意义为（ ）
A．5个相加B．2个相加C．7个相乘D．5个相乘
【答案】D
【分析】根据幂的定义判断即可．
【详解】解：，即表示的是5个相乘．
故选：D．
【点睛】本题考查了幂的乘方，掌握幂的定义是解答本题的关键．
5．（2022秋·河南周口·八年级统考期末）若（n为正整数），则的值为 _____．
【答案】8
【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则进行运算即可．
【详解】解：当时，
．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
6．（2022秋·四川达州·八年级校考期中）若，则的值是_____．
【答案】##0.5
【分析】由非负数的性质求出，，再把化为，代入求值即可．
【详解】解：，
，，
，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是非负数的性质，同底数幂的乘法的逆用，积的乘方的逆用，解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
7．（2023秋·广东广州·八年级华南师大附中校考期末）若，则_____．
【答案】
【分析】利用同底数幂的除法的法则及幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
【详解】解∶当时，
故答案为∶．
【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
8．（2022秋·山东临沂·七年级统考期中）定义：如果一个数的平方等于，记为，那么这个数叫做虚数单位，把形如（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫做这个复数的实部，叫做这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算：．
根据以上信息，下列各式：
①；
②；
③
④．
其中正确的是______（填上所有正确答案的序号）．
【答案】①②③④
【分析】理解的含义以及运算，再对选项逐个判断即可．
【详解】解：，①正确；
，②正确；
，③正确；
∵，
∴，
∴，④正确；
故答案为：①②③④
【点睛】此题考查了数字的变化规律，乘方运算，本题是阅读型题目，理解并熟练应用其中的定义与公式是解题的关键．
9．（2022秋·全国·八年级专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可；
（2）先根据同底数幂的乘法法则运算，然后根据积的乘方计算即可；
（3）先根据幂的乘方与积的乘方计算，然后再合并同类项即可．
【详解】（1）解：．
（2）解: ．
（3）解：．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方、积的乘方、同底数幂相乘等知识点，灵活运用相关运算法则是解答本题的关键．
10．（2022秋·陕西汉中·七年级校考期中）由乘方的定义可知：（n个a相乘）．观察下列算式回答问题：
，
，
．
(1)______．
(2)计算：．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）仿照题意进行求解即可；
（2）先把变形为，再根据进行求解即可．
【详解】（1）解：
，
故答案为：
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了积的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
题组C 培优拔尖练
1．（2023秋·广东深圳·七年级深圳外国语学校校考期末）已知，，a，b均为正整数，则＝（ ）
A．mn2B．m2nC．D．m2n2
【答案】D
【分析】先利用幂的乘方法则的逆用对已知条件进行整理，再利用同底数幂的乘法法则的逆用及幂的乘方法则的逆用对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
【详解】∵，
∴．
∴
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查幂的乘方、同底数幂的乘法法则的逆用，解答本题的关键是熟记同底数幂的乘法、幂的乘方的相关法则．
2．（2022秋·云南昭通·八年级校考期末）已知，，则的值是（ ）
A．0B．C．3D．
【答案】A
【分析】利用同底数幂乘法、幂的乘方等法则进行计算，即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了同底数幂乘法、幂的乘方等知识点，熟练掌握相关运算法则以及逆运算是解本题的关键．
3．（2023春·七年级课时练习）已知，，，，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先根据幂的乘方运算的逆用可得，，，，再根据指数相等时，底数越大，幂就越大，据此即可解答．
【详解】解：，，，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了幂的乘方运算的逆用，有理数大小的比较，熟练掌握和运用幂的乘方运算的逆用是解决本题的关键．
4．（2020·甘肃天水·统考中考真题）观察等式：；；；…已知按一定规律排列的一组数：，若，用含的式子表示这组数据的和是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意得出，再利用整体代入思想即可得出答案．
【详解】解：由题意得：这组数据的和为：
∵，
∴原式=,
故选：A．
【点睛】本题考查规律型问题：数字变化，列代数式，整体代入思想，同底数幂的乘法的逆用，解题的关键是正确找到本题的规律：，学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
5．（2023春·江苏·七年级专题练习）若且，、是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题：
(1)如果，求x的值；
(2)如果，求x的值；
(3)若，，用含x的代数式表示y．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据幂的乘方运算法则把化为底数为2的幂，解答即可；
（2）根据同底数幂的乘法法则把变形为即可解答；
（3）由可得，再根据幂的乘方运算法则解答即可．
【详解】（1）解： ，
，
解得；
（2）解：，
，
，
；
（3）解：，
，
，
．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，掌握利用同底数幂的乘法、幂的乘方及其逆运算对式子进行变形是关键．
6．（2022秋·辽宁鞍山·八年级统考期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么．例如∶因为，所以．
(1)根据上述规定，填空∶______；______；______；
(2)小明在研究这种运算时发现一个特征；，并作出了如下的证明∶
∵设，则，
∴，即，
∴
∴
试参照小明的证明过程，解决下列问题∶
①计算；
②请你尝试运用这种方法，写出之间的等量关系．并给予证明．
【答案】(1)
(2)①0；②
【分析】（1）由新定义计算得出结果即可；
（2）①由推理过程可得，再相减结果得0即可；
②设，，则，从而得到
【详解】（1）
故答案为：
（2）①；
②．
证明：设，，则，所以，，，所以
【点睛】本题主要考查幂的运算与新定义结合的题型，理解透题目的意思是解题的关键点．
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