初中3.3 多项式的乘法课后复习题

这是一份初中3.3 多项式的乘法课后复习题，共70页。试卷主要包含了掌握多项式乘法中的规律性问题；等内容，欢迎下载使用。

1、掌握单项式乘多项式的计算与应用；
2、掌握多项式乘多项式的计算法则与应用；
3、学会利用多项式的乘积不含某项求字母的值；
4、掌握多项式的乘法与图形面积之间的关系；
5、掌握多项式乘法中的规律性问题；
知识点01 单项式乘多项式的应用
【知识点】
单项式与多项式相乘的运算法则
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
即.
特别说明：
（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.
（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.
（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.
（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.
【典型例题】
例1．（2022秋·河北邯郸·八年级校考阶段练习）今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（ ）
A．B．C．D．1
例2．（2022春·四川达州·七年级校考阶段练习）某同学在计算多项式A乘时，因抄错运算符号，算成了加，得到的结果是，那么正确的计算结果是________．
例3．（2022秋·山西运城·九年级山西省运城中学校校考期末）先化简，再求值：，其中．
【即学即练】
1．（2023春·七年级单元测试）要使成立，则，的值分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
2．（2022秋·全国·八年级专题练习）今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（ ）
A．B．C．D．
3．（2021春·江苏·七年级专题练习）若恒成立，则______．
4．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知，则______________．
5．（2023春·全国·七年级专题练习）化简：
(1)；
(2)．
知识点02 计算多项式乘多项式
【知识点】
多项式与多项式相乘的运算法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.
特别说明：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：.
【典型例题】
例1．（2023秋·福建泉州·八年级期末）计算的结果是( )
A．B．C．D．
例2．（2022秋·重庆·八年级校联考阶段练习）若的积中，的系数为5，的系数为1，则的值为________．
例3．（2023春·七年级课时练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【即学即练】
1．（2022秋·河北邯郸·八年级校考阶段练习）若，则的值是（ ）
A．1B．C．9D．
2．（2022秋·广东惠州·八年级校考期末）若，则a，b的值分别为（ ）
A．5，B．5，6C．1，6D．1，
3．（2023春·七年级课时练习）已知，则_____， _____．
4．（2022秋·北京·八年级北京二中校考期中）甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是．则本题的正确结果是__________．
5．（2023春·全国·七年级专题练习）小红准备完成题目：计算，她发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了．
(1)她把被遮住的一次项系数猜成3，请你完成计算：；
(2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的，”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？
知识点03 已知多项式乘积不含某项求字母的值
【典型例题】
例1．（2022秋·山东滨州·八年级校考期末）已知关于x的多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项系数为，则的值为（ ）
A．B．4C．D．3
例2．（2021春·浙江宁波·七年级校考期中）已知在的积中，含项的系数为10，不含项，则的值为______．
例3．（2023春·全国·七年级专题练习）若的积中不含的一次项与的二次项．
(1)求的值；
(2)求式子的值．
【即学即练】
1．（2022·山东德州·德州市同济中学校考模拟预测）如果的展开式中不含x的一次项，则m、n满足（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·宁夏吴忠·七年级校考期中）已知关于x的多项式中不含项，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·辽宁鞍山·八年级统考期中）已知与所得乘积的结果中不含和的项，则_____．
4．（2022秋·上海浦东新·七年级统考期中）已知展开式中不含项，且的系数为2．则的值为________．
5．（2022秋·重庆·八年级校考阶段练习）已知多项式x+2与另一个多项式A的乘积为多项式B．
(1)若A为关于x的一次多项式x+a，B中x的一次项系数为0，直接写出a的值；
(2)若B为x3+px2+qx+2，求2p﹣q的值．
(3)若A为关于x的二次多项式x2+bx+c，判断B是否可能为关于x的三次二项式，如果可能，请求出b，c的值；如果不可能，请说明理由．
知识点04 多项式乘多项式与图形面积
【典型例题】
例1．（2022秋·山东滨州·八年级校考期末）如图，现有正方形卡片类、类和长方形卡片类各若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，那么需要类卡片的张数是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023秋·湖南长沙·八年级统考期末）如图：已知长方形纸片长为，宽为，裁去一个长为，宽为的长方形，则剩余部分面积为__________________．
例3．（2022秋·河南南阳·八年级统考期中）数形结合是一种重要的数学思想方法，利用图中边长分别为、的两个正方形纸片和长为、宽为的长方形纸片，可以拼出一些图形来解释某些等式，如，由图可得．则：
(1)由图可以解释的等式是____________；
(2)用张边长为的正方形纸片，张长为、宽为的长方形纸片，张边长为的正方形纸片拼成一个大正方形，求这个大正方形的边长；
(3)用张长为，宽为的长方形纸片按照图方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分的面积设为、，的长设为．
①请用含的代数式表示：；
②若无论取任何实数时，①的结果始终保持不变，请直接写出与满足的数量关系．
【即学即练】
1．（2022·全国·八年级专题练习）如图，现有正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要C类卡片（ ）
A．3张B．4张C．5张D．6张
2．（2020秋·广东汕头·八年级校考期末）由图，可得代数恒等式（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023秋·上海浦东新·七年级校考期中）有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为，宽为的矩形．则需要A类卡片_________张，类卡片_________张，类卡片_________张．
4．（2023秋·北京西城·八年级统考期末）三个长方形纸片如图1所示无缝隙地拼接在一起，它们的边长分别标记在图1中．现将拼接后的纸片用图2所示方式重新分割成三个长方形A，B，C．根据图2与图1的关系写出一个等式：__________（用含a，b，c，d，e，f的式子表示）．
5．（2022秋·全国·八年级专题练习）根据所学我们知道：可以通过用不同的方法求解长方形面积，从而得到一些数学等式．如图1可以表示的数学等式：，请完成下列问题：
(1)写出图2中所表示的数学等式：______．
(2)从图3可得______．
(3)结合图4，已知，，求的值．
知识点05 多项式乘法中的规律性问题
【典型例题】
例1．（2022秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》给出了在（n为非负整数）的展开式中，把各项系数按一定的规律排成右表（展开后每一项按a的次数由大到小的顺序排列）．人们把这个表叫做“杨辉三角”．据此规律，则展开式中含项的系数是（ ）
A．2016B．2017C．2018D．2019
例2．（2022秋·四川凉山·八年级校考阶段练习）观察下列各式的规律：
；
；
；
……
根据以上规律，可得到_______．
例3．（2022秋·吉林白城·八年级统考期末）（1）计算并观察下列各式：
第1个： ；
第2个： ；
第3个： ；
……
这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．
（2）猜想：若n为大于1的正整数，则 ；
（3）利用（2）的猜想计算： ．
（4）拓广与应用： ．
【即学即练】
1．（2022秋·北京丰台·八年级统考期末）“杨辉三角”（如图），也叫“贾宪三角”，是中国古代数学无比睿智的成就之一，被后世广泛运用．用“杨辉三角”可以解释（＝，，，，5，6）的展开式的系数规律．例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数，，，恰好对应着展开式中各项的系数；第4行的4个数，，，，恰好对应着展开式中各项的系数，等等．当n是大于6的自然数时，上述规律仍然成立，那么展开式中的系数是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·全国·八年级专题练习）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”．如记=1+2+3+…+（n﹣1）+n，=（x+3）+（x+4）+…+（x+n）；已知，则m的值是（ ）
A．﹣62B．﹣38C．﹣40D．﹣20
3．（2022春·江苏徐州·七年级统考期中）观察以下等式：
，，……根据你所发现规律，计算：__________．
4．（2021秋·河南信阳·八年级统考期末）观察下列各式
…
则________．
5．（2022秋·广东江门·八年级校考期中）你能求的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考从简单的情形入手．先分别计算下列各式的值．
①；
②；
③；
…
(1)由此我们可以得到：
①______．
②______．
(2)请你利用上面的结论，完成下面的计算；．
知识点06 乘法的混合运算
【典型例题】
例1．．（2022秋·广东深圳·七年级红岭中学校考期末）已知一个多项式的2倍与的和等于，则这个多项式是（ ）
A．B．
C．D．
例2．（2022秋·上海长宁·七年级上海市第三女子初级中学校考期中）若，，，则___________．
例3．（2022秋·四川巴中·八年级统考期末）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
【即学即练】
1．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）三个连续偶数，中间一个为n，这三个连续偶数之积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2021秋·内蒙古赤峰·七年级统考阶段练习）找出以下几组算式的规律．；；；；如果，那么的结果是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022春·四川成都·七年级统考期末）若规定符号的意义是ad﹣bc，则当a2+2a﹣3＝0时，的值为_____．
4．（2022春·全国·七年级专题练习）已知正整数a，b，c（其中a≠1）满足abc＝ab+50，则a+b+c的最小值是_____，最大值是_____．
5．（2022秋·全国·七年级专题练习）已知关于x的多项式A，当A-（x-2）2=x（x+7）时，完成下列各题：
(1)求多项式A；
(2)若x2+x+1=0，求多项式A的值．
题组A 基础过关练
1．（2023秋·北京东城·八年级统考期末）计算，结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·重庆合川·八年级校考期末）已知，则的值为（ ）
A．B．13C．D．5
3．（2023秋·河南新乡·八年级统考期末）根据图 ①的面积可以说明的多项式乘法运算是，那么根据图 ②的面积可以说明的多项式乘法运算是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023春·七年级课时练习）若的展开式中不含的一次项，则的值为（ ）
A．B．C．D．0
5．（2023秋·广东河源·七年级校考期末）_____．
6．（2020秋·吉林长春·七年级校考期中）若关于x，y的多项式不含的项，则______．
7．（2022秋·河南新乡·九年级统考期中）已知“”是一种数学运算符号：为正整数，，如，，若，则______．
8．（2022秋·北京朝阳·八年级统考期末）图中的四边形均为长方形，根据图形面积写出一个正确的等式：_____________．
9．（2021秋·海南省直辖县级单位·八年级校考阶段练习）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
10．（2023秋·陕西渭南·八年级统考期末）聪聪和同学们用2张型卡片、2张型卡片和1张型卡片拼成了如图所示的长方形．其中型卡片是边长为的正方形；型卡片是长方形；型卡片是边长为的正方形．
(1)请用含a、b的代数式分别表示出型卡片的长和宽；
(2)如果，，请求出他们用5张卡片拼出的这个长方形的面积．
题组B 能力提升练
1．（2022秋·河南南阳·八年级校考阶段练习）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级校考期中）若，则m的值为（ ）
A．1B．C．5D．
3．（2022秋·福建泉州·八年级校考阶段练习）如果，那么p，q的值为（ ）
A．，B．，C．， D．，
4．（2023春·七年级课时练习）小羽制作了如图所示的卡片类，类，类各张，其中，两类卡片都是正方形，类卡片是长方形，现要拼一个长为，宽为的大长方形，那么所准备的类卡片的张数（ ）
A．够用，剩余4张B．够用，剩余5张
C．不够用，还缺4张D．不够用，还缺5张
5．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）已知，则__________．
6．（2021春·辽宁沈阳·七年级校考期中）在的运算结果中不含项，那么______．
7．（2022秋·全国·八年级期末）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如下图），此图揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．
例如：
，它只有一项，系数为1；
，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；
，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；
，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；
…
根据以上规律，解答下列问题：
（1）展开式共有___________项，系数分别为___________；
（2）展开式共有___________项，系数和为___________．
8．（2022秋·北京·八年级北京二中校考期中）甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是．则本题的正确结果是__________．
9．（2022秋·广西贵港·七年级统考期中）先化简，再求值：，其中，．
10．（2022秋·福建泉州·八年级福建省泉州第一中学校考期中）在数学中，根据几何图形的面积关系可以形象直观地表示多项式的乘法．例如：可以用图（1）表示．
(1)根据图（2），写出一个与多项式乘法有关的等式_________________________________；
(2)有足够多的两种正方形卡片（①号、②号）和一种长方形卡片（③号），如图（3），现选取①号、②号、③号卡片分别为1张、2张、3张，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个图形的草图，并写出计算它的面积能得到的数学等式．
题组C 培优拔尖练
1．（2023秋·上海浦东新·七年级校考期中）如果，那么、的值分别是（ ）．
A．，B．，
C．，D．，
2．（2022秋·重庆江北·八年级校考期中）关于的三次三项式（其中，，，均为常数），关于的二次三项式（，均为非零常数），下列说法有几个正确（ ）
①当的结果为关于的三次三项式时，则；
②若二次三项式能分解成，则；
③当多项式与的乘积中不含项时，则；
④．
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（2021春·浙江温州·七年级温州绣山中学校考阶段练习）如图，长方形中，，放入两个边长都为4的正方形 ，正方形及一个边长为8的正方形，，分别表示对应阴影部分的面积，若，则长方形的周长是 （ ）
A．36B．40C．44D．48
4．（2022秋·八年级课时练习）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了（n＝1，2，3，4，…）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）：
11＝a+b
121＝
1331＝
14641＝
请根据上述规律，写出的展开式中含项的系数是（ ）
A．2021B．4042C．2043231D．2019
5．（2020秋·重庆九龙坡·八年级重庆市杨家坪中学校考期中）已知的乘积项中不含和x项，则______．
6．（2021春·山东青岛·七年级校考期中）观察下列各式的规律：
…
可得到___________．
7．（2022秋·福建厦门·八年级厦门市华侨中学校考期中）已知有甲、乙两个图形，等边三角形是三角形的高，线段长如图所示，长方形边长如图所示，记的面积和长方形的面积分别为、，且请比较与的大小：___________．（用“>”、“<”、“=”填空）
8．（2022秋·江苏无锡·七年级校联考期中）有6张如图①的长为a，宽为的小长方形纸片，按图②方式不重叠地放在矩形内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则满足的数量关系是_______．
9．（2022秋·河南南阳·八年级校考阶段练习）若的积中不含x项与项，
(1)求p、q的值；
(2)求代数式的值．
10．（2022春·四川巴中·七年级统考期中）阅读下列材料，解决相应问题：
(1)36和84 “友好数对”．（填“是”或“不是”）
(2)为探究“友好数对”的本质，可设“友好数对”中一个数的十位数字为a，个位数字为b，且；另一个数的十位数字为c，个位数字为d，且，则a，b，c，d之间存在一个等量关系，其探究和说理过程如下，请你将其补充完整．
解：根据题意，“友好数对”中的两个数分别表示为和，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后两个数依次表示为 和 ．
因为它们是友好数对，所以 ．
即a，b，c，d的等量关系为： ．
(3)请从下面A、B两题中任选一题作答，我选择 题．
A．请再写出一对“友好数对”，与本题已给的“友好数对”不同．
B．若有一个两位数，十位数字为，个位数字为x，另一个两位数，十位数字为，个位数字为，且这两个数为“友好数对”，直接写出这两个两位数．
，
……
“友好数对”
已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“友好数对”．例如，所以43和68与34和86都是“友好数对”．
专题3.3 多项式的乘法
1、掌握单项式乘多项式的计算与应用；
2、掌握多项式乘多项式的计算法则与应用；
3、学会利用多项式的乘积不含某项求字母的值；
4、掌握多项式的乘法与图形面积之间的关系；
5、掌握多项式乘法中的规律性问题；
知识点01 单项式乘多项式的应用
【知识点】
单项式与多项式相乘的运算法则
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
即.
特别说明：
（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.
（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.
（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.
（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.
【典型例题】
例1．（2022秋·河北邯郸·八年级校考阶段练习）今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】先把等式左边的式子根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，所得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论．
【详解】解：∵左边
，
右边□，
∴□内上应填写，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是单项式乘多项式，熟知单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加是解答此题的关键．
例2．（2022春·四川达州·七年级校考阶段练习）某同学在计算多项式A乘时，因抄错运算符号，算成了加，得到的结果是，那么正确的计算结果是________．
【答案】
【分析】根据抄错运算符号后的结果为，可求出多项式A，再根据多项式乘单项式的运算法则计算即可．
【详解】由题意可知多项式A为，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查整式的加减运算，多项式乘单项式．掌握运算法则是解题关键．
例3．（2022秋·山西运城·九年级山西省运城中学校校考期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【分析】先去括号并利用单项式乘以多项式法则计算，合并得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
，
当时，原式．
【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【即学即练】
1．（2023春·七年级单元测试）要使成立，则，的值分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】C
【分析】根据整式的乘法展开，根据对应系数相等得到a，b的关系式，即可求解．
【详解】∵
∴a+3=5，-2b=4
∴，
故选C．
【点睛】此题主要考查整式运算的应用，解题的关键是熟知整式乘法的运算法则．
2．（2022秋·全国·八年级专题练习）今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先把等式左边的式子根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，所得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论．
【详解】解：∵左边，
．
右边□，
∴□内上应填写．
故选：A．
【点睛】本题考查的是单项式乘多项式，熟知单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加是解答此题的关键．
3．（2021春·江苏·七年级专题练习）若恒成立，则______．
【答案】-4
【分析】去括号先根据合并同类项法则化简，根据已知找对应的单项式的系数相同即可得到答案．
【详解】解： ，
恒成立，
，，，
，，，
所以．
故答案为：-4．
【点睛】本主要考查整式的乘法和合并同类项法则，明确化简前后单项式的系数相同是解决问题的关键．
4．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知，则______________．
【答案】33
【分析】利用单项式乘以多项式法则计算，变形后将已知的代数式值代入即可
【详解】原式=
=
又∵
∴原式=
=
=
=33
【点睛】本题考查了整式的混合运算以及代数式的求值，掌握相关法则及概念是关键
5．（2023春·全国·七年级专题练习）化简：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据单项式的乘除运算法则计算即可；
（2）根据单项式乘以多项式法则计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了单项式的乘除混合运算，单项式乘以多项式法则，掌握相关运算法则是解题的关键．
知识点02 计算多项式乘多项式
【知识点】
多项式与多项式相乘的运算法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.
特别说明：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：.
【典型例题】
例1．（2023秋·福建泉州·八年级期末）计算的结果是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据多项式乘以多项式进行计算即可求解．
【详解】解：
，
故选：C．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．
例2．（2022秋·重庆·八年级校联考阶段练习）若的积中，的系数为5，的系数为1，则的值为________．
【答案】
【分析】先计算多项式乘以多项式，然后根据的系数为5，的系数为1得出关于a、b的方程组，求解即可．
【详解】解：
，
∵的系数为5，的系数为1，
∴
解得 ．
∴．
【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，解二元一次方程组，代数式求值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
例3．（2023春·七年级课时练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项即可；
（2）根据多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项即可；
（3）根据多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项即可；
（4）根据多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项即可．
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【点睛】此题考查了多项式乘以多项式，解题的关键是熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则．
【即学即练】
1．（2022秋·河北邯郸·八年级校考阶段练习）若，则的值是（ ）
A．1B．C．9D．
【答案】B
【分析】根据多项式乘多项式的计算法则计算出即可求解．
【详解】解：∵
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，解题的关键在于能够熟练掌握多项式乘多项式的计算法则．
2．（2022秋·广东惠州·八年级校考期末）若，则a，b的值分别为（ ）
A．5，B．5，6C．1，6D．1，
【答案】D
【分析】已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件即可求出a与b的值．
【详解】解：∵，
∴，，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．（2023春·七年级课时练习）已知，则_____， _____．
【答案】
【分析】利用多项式乘多项式法则，求出，利用对应项的系数相等，进行求解即可．
【详解】解：，
，
故答案为：，．
【点睛】本题考查多项式乘多项式．熟练掌握多项式乘多项式的法则，是解题的关键．
4．（2022秋·北京·八年级北京二中校考期中）甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是．则本题的正确结果是__________．
【答案】
【分析】根据甲的描述利用多项式乘以多项式的计算法则得到，根据乙的描述可得，由此得到关于a、b的二元一次方程组，求出a、b的值代入原多项式中求解即可．
【详解】解：∵由于甲抄错了的符号，得到的结果是，
∴，
∴，
∴，
∵乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴原多项式为，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，解二元一次方程组，正确理解题意得到关于a、b的二元一次方程组是解题的关键．
5．（2023春·全国·七年级专题练习）小红准备完成题目：计算，她发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了．
(1)她把被遮住的一次项系数猜成3，请你完成计算：；
(2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的，”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可；
（2）设第一次因式的一次项系数为a，则原题目变为，根据多项式乘以多项式的计算法则计算出结果，再根据结果不含一次项即一次项系数为0进行求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：设第一次因式的一次项系数为a，则原题目变为，
，
∵的计算结果不含一次项，
∴，
∴，
∴被遮住的一次项系数是2．
【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的关键．
知识点03 已知多项式乘积不含某项求字母的值
【典型例题】
例1．（2022秋·山东滨州·八年级校考期末）已知关于x的多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项系数为，则的值为（ ）
A．B．4C．D．3
【答案】A
【分析】根据多项式乘以多项式法则进行运算，再将计算结果中，利用二次项是系数与一次项的系数的要求建立方程组，即可求解．
【详解】
∵多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项系数为，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是明确不含x的二次项，则二次项的系数为0．
例2．（2021春·浙江宁波·七年级校考期中）已知在的积中，含项的系数为10，不含项，则的值为______．
【答案】
【分析】利用多项式乘多项式的法则进行计算，结合题意得出关于和的等式，进而得出和的值，即可得出的值．
【详解】
，
，
∵含项的系数为10，不含项，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的法则是解决问题的关键．
例3．（2023春·全国·七年级专题练习）若的积中不含的一次项与的二次项．
(1)求的值；
(2)求式子的值．
【答案】(1)，
(2)3
【分析】（1）根据多项式乘以多项式进行计算，根据结果不含的一次项与的二次项，令其系数为0，即可求解；
（2）根据（1）的结果，代入代数式即可求解．
【详解】（1）解：
∵不含x的一次项与x的二次项，
∴，
∴，．
（2）当，时，
原式
．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，同底数幂的乘法，幂的乘方，代数式求值，正确的计算是解题的关键．
【即学即练】
1．（2022·山东德州·德州市同济中学校考模拟预测）如果的展开式中不含x的一次项，则m、n满足（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据多项式乘以多项式的法则展开式子，再合并，根据不含x的一次项，则含x的一次项的系数为0，即可求解．
【详解】解：
，
展开式中不含x的一次项，
，
，即，
故选：C．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，不含某一项则这项的系数为0，属于基础题．
2．（2022秋·宁夏吴忠·七年级校考期中）已知关于x的多项式中不含项，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据关于x的多项式不含项，得到，从而求得m的值即可．
【详解】解：∵关于x的多项式中不含项，
∴，
∴
故选：A．
【点睛】本题考查了多项式中不含某项，不含某项就让这项的系数等于0，这是解题的关键．
3．（2022秋·辽宁鞍山·八年级统考期中）已知与所得乘积的结果中不含和的项，则_____．
【答案】12
【分析】先化简与的乘积，再另和的项的系数等于零即可解得．
【详解】解：
．
积中不含和的项，
．
，．
．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查多项式与多项式相乘的化简，熟知多项式不含某项即为某项的系数等于零是解题的关键．
4．（2022秋·上海浦东新·七年级统考期中）已知展开式中不含项，且的系数为2．则的值为________．
【答案】
【分析】根据展开式中不含项，且的系数为2，求得的值，然后代入计算即可求解．
【详解】解：∵
，
∵展开式中不含项，且的系数为2，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，代数式求值，正确的求得的值是解题的关键．
5．（2022秋·重庆·八年级校考阶段练习）已知多项式x+2与另一个多项式A的乘积为多项式B．
(1)若A为关于x的一次多项式x+a，B中x的一次项系数为0，直接写出a的值；
(2)若B为x3+px2+qx+2，求2p﹣q的值．
(3)若A为关于x的二次多项式x2+bx+c，判断B是否可能为关于x的三次二项式，如果可能，请求出b，c的值；如果不可能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)3
(3)可能，，或，
【分析】（1）根据题意列出，根据中的的一次项系数为0，进而可得的值；
（2）根据B为，可以设A为，根据多项式与另一个多项式A的乘积为多项式B，即可用含t的式子表现出p和q，进而可得的值；
（3）根据A为关于x的二次多项式，可得b，c不能同时为0，分两种情况：当时，，当时，，可得b和c的值．
【详解】（1）根据题意可知：，
中的x的一次项系数为0，
，解得；
（2）设A为，
则
，
，
；
（3）B可能为关于x的三次二项式，理由如下：
为关于x的二次多项式，
b，c不能同时为0，
．
当时，，
不能为0，
只能当，即时，B为三次二项式，为；
当时，
．
只有当，即时，B为三次二项式，为．
综上所述：当或时，B为三次二项式．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式、整式的加减，解决本题的关键是掌握整式的加减．
知识点04 多项式乘多项式与图形面积
【典型例题】
例1．（2022秋·山东滨州·八年级校考期末）如图，现有正方形卡片类、类和长方形卡片类各若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，那么需要类卡片的张数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】计算出长为，宽为的大长方形的面积，再分别得出、、卡片的面积，即可看出应当需要各类卡片多少张．
【详解】解：长为，宽为的大长方形的面积为：
卡片的面积为：；
卡片的面积为：；
卡片的面积为：；
因此可知，拼成一个长为，宽为的大长方形，
需要块卡片，块卡片和块卡片．
故选：．
【点睛】本题考查了多项式乘法，正确掌握多项式乘多项式运算法则是解题关键．
例2．（2023秋·湖南长沙·八年级统考期末）如图：已知长方形纸片长为，宽为，裁去一个长为，宽为的长方形，则剩余部分面积为__________________．
【答案】
【分析】长方形纸片的面积减去长方形，即可作答．
【详解】根据题意，有：
长方形的面积：，
长方形的面积：，
则剩余部分的面积为：，
即有：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了利用多项式乘以多项式求解图形的面积的知识，掌握多项式乘以多项式是解答本题的关键．
例3．（2022秋·河南南阳·八年级统考期中）数形结合是一种重要的数学思想方法，利用图中边长分别为、的两个正方形纸片和长为、宽为的长方形纸片，可以拼出一些图形来解释某些等式，如，由图可得．则：
(1)由图可以解释的等式是____________；
(2)用张边长为的正方形纸片，张长为、宽为的长方形纸片，张边长为的正方形纸片拼成一个大正方形，求这个大正方形的边长；
(3)用张长为，宽为的长方形纸片按照图方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分的面积设为、，的长设为．
①请用含的代数式表示：；
②若无论取任何实数时，①的结果始终保持不变，请直接写出与满足的数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)①；②
【分析】（1）根据图示，大长方形的面积为两个小正方形（边长为），一个大正方形（边长为），三个长方形（长为、宽为）的面积和，由此即可求解；
（2）边长为的正方形纸片，长为、宽为的长方形纸片的面积为，边长为的正方形纸片的面积为，用不同数量的纸片拼成大正方形，由此即可求解；
（3）①根据图示可知，，，由此即可求解；②无论取任何实数时，①的结果始终保持不变，则有，由此即可求解．
【详解】（1）解：大长方形的面积为：，两个小正方形（边长为），一个大正方形（边长为），三个长方形（长为、宽为）的面积和为：，
∵面积相等，
∴，
故答案为：．
（2）解：张边长为的正方形纸片的面积为：，张长为、宽为的长方形纸片的面积为，张边长为的正方形纸片的面积为：，
∴拼成一个大正方形的面积为：，
∴大正方形的边长为：，
∵，，
∴，
∴，
∴∴大正方形的边长为．
（3）解：①根据题意得，的长设为，
∴，，
∴，∴；
②无论取任何实数时，①的结果始终保持不变，
∴中含项的系数为零，
∴，即，
∴．
【点睛】本题主要考查图形变换与代数表示图形的面积，整式的乘法运算，理清题目中图形变换规律，列代数式，整式的乘法运算是解题的关键．
【即学即练】
1．（2022·全国·八年级专题练习）如图，现有正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要C类卡片（ ）
A．3张B．4张C．5张D．6张
【答案】C
【分析】根据多项式与多项式相乘的法则求出长方形的面积，根据题意得到答案．
【详解】解：∵
∴需要A类卡片1张、B类卡片6张、C类卡片5张，
故选：C．
【点睛】本题考查的是多项式乘多项式，解决本题的关键是多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
2．（2020秋·广东汕头·八年级校考期末）由图，可得代数恒等式（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据大长方形的面积等于3个正方形的面积加上3个长方形的面积即可求解．
【详解】解：依题意，得．
故选B．
【点睛】本题考查了多项式乘法与图形的面积，数形结合是解题的关键．
3．（2023秋·上海浦东新·七年级校考期中）有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为，宽为的矩形．则需要A类卡片_________张，类卡片_________张，类卡片_________张．
【答案】2；3；7
【分析】首先分别计算大矩形和三类卡片的面积，再进一步根据大矩形的面积应等于三类卡片的面积和进行分析所需三类卡片的数量．
【详解】解：长为，宽为的矩形面积为：
，
∵A类卡片的面积为，B类卡片的面积为，C类卡片的面积为，
∴需要A类卡片2张，B类卡片3张，C类卡片7张．
故答案为：2；3；7．
【点睛】本题考查了多项式与多项式的乘法运算的应用，正确列出算式是解答本题的关键．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
4．（2023秋·北京西城·八年级统考期末）三个长方形纸片如图1所示无缝隙地拼接在一起，它们的边长分别标记在图1中．现将拼接后的纸片用图2所示方式重新分割成三个长方形A，B，C．根据图2与图1的关系写出一个等式：__________（用含a，b，c，d，e，f的式子表示）．
【答案】
【分析】根据图形的面积不变原则，分别表示图形的面积即可．
【详解】根据图1，得图形的面积为；
根据图2，得图形的面积为；
∵图形的面积相等，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了图形面积的不同表示法，正确表示图形的面积是解题的关键．
5．（2022秋·全国·八年级专题练习）根据所学我们知道：可以通过用不同的方法求解长方形面积，从而得到一些数学等式．如图1可以表示的数学等式：，请完成下列问题：
(1)写出图2中所表示的数学等式：______．
(2)从图3可得______．
(3)结合图4，已知，，求的值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)11．
【分析】（1）根据大长方形面积=各部分面积的和，解答即可；
（2）根据大长方形的面积=各部分面积的和，解答即可；
（3）先求出，再利用，，即可求出．
【详解】（1）解：由题意可知：；
故答案为：；
（2）解：；
故答案为：；
（3）解：根据题意得：，
而，，
，
∴．
【点睛】本题考查多项式乘多项式与图形面积，已知式子的值，求代数式的值，解题的关键是理解题意，结合图形进行求解．
知识点05 多项式乘法中的规律性问题
【典型例题】
例1．（2022秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》给出了在（n为非负整数）的展开式中，把各项系数按一定的规律排成右表（展开后每一项按a的次数由大到小的顺序排列）．人们把这个表叫做“杨辉三角”．据此规律，则展开式中含项的系数是（ ）
A．2016B．2017C．2018D．2019
【答案】D
【分析】根据题中的规律即可求解．
【详解】由题意，，可知，展开式中第二项为，
∴展开式中含项的系数是2019，
故选D．
【点睛】本题考查了完全展开式，正确的理解是解决本题的关键．
例2．（2022秋·四川凉山·八年级校考阶段练习）观察下列各式的规律：
；
；
；
……
根据以上规律，可得到_______．
【答案】##
【分析】观察题目所给式子，发现规律，根据规律即可得到计算结果．
【详解】解根据规律可得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式的规律，正确理解题意发现规律是解题的关键．
例3．（2022秋·吉林白城·八年级统考期末）（1）计算并观察下列各式：
第1个： ；
第2个： ；
第3个： ；
……
这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．
（2）猜想：若n为大于1的正整数，则 ；
（3）利用（2）的猜想计算： ．
（4）拓广与应用： ．
【答案】（1），，；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）根据平方差公式及多项式乘法的计算求解即可；
（2）由（1）中计算得出相应规律即可；
（3）利用（2）中所得规律求解即可；
（4）根据（2）中所得规律计算即可．
【详解】解：（1）；
；
；
故答案为：，，；
（2）根据（1）中规律得：
，
故答案为：；
（3）
故答案为：．
（4）
，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查整式的乘法运算及规律问题，理解题意，熟练掌握运用整式的乘法运算法则是解题关键．
【即学即练】
1．（2022秋·北京丰台·八年级统考期末）“杨辉三角”（如图），也叫“贾宪三角”，是中国古代数学无比睿智的成就之一，被后世广泛运用．用“杨辉三角”可以解释（＝，，，，5，6）的展开式的系数规律．例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数，，，恰好对应着展开式中各项的系数；第4行的4个数，，，，恰好对应着展开式中各项的系数，等等．当n是大于6的自然数时，上述规律仍然成立，那么展开式中的系数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合“杨辉三角”得出的各项系数，然后考虑符号计算即可．
【详解】解：结合“杨辉三角”可得的各项系数（不考虑符号）为：
1，9，36，84，126，126，84，36，9，1，
由可得，符号为负号，系数为倒数第二个系数9，
∴的系数为，
故选：B．
【点睛】题目主要考查整式的乘法运算规律，理解题意中的“杨辉三角”是解题关键．
2．（2022秋·全国·八年级专题练习）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”．如记=1+2+3+…+（n﹣1）+n，=（x+3）+（x+4）+…+（x+n）；已知，则m的值是（ ）
A．﹣62B．﹣38C．﹣40D．﹣20
【答案】B
【分析】利用题中的新定义计算即可得到m的值．
【详解】根据题意得，
∵
∴n=5,即= x2＋x−6＋x2＋x−12＋x2＋x−20==
则m＝−38．
故选：B．
【点睛】此题考查了整式的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．（2022春·江苏徐州·七年级统考期中）观察以下等式：
，，……根据你所发现规律，计算：__________．
【答案】
【分析】根据题中规律每一个式子的结果等于两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一项大1，减数都为1，利用规律来解答．
【详解】解：根据，
，
，
…的规律，得出：
，
，
．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了平方差公式、及数字类的规律题，解题的关键是认真阅读，总结规律，并利用规律解决问题．
4．（2021秋·河南信阳·八年级统考期末）观察下列各式
…
则________．
【答案】
【分析】通过观察已知的式子，可归纳出：．所以．
【详解】解：由上述式子可归纳出：
故答案为：．
【点睛】本题为观察归纳题型，要求学生认真观察已知条件，归纳总结出规律或公式．本题难点在于，应将所求式子进行变形，使之符合归纳总结出来的公式．认真观察，归纳总结出规律或公式是解决本题的关键．
5．（2022秋·广东江门·八年级校考期中）你能求的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考从简单的情形入手．先分别计算下列各式的值．
①；
②；
③；
…
(1)由此我们可以得到：
①______．
②______．
(2)请你利用上面的结论，完成下面的计算；．
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】（1）由所给等式可归纳出，由此可解；
（2）将所求代数式变形为，利用总结出来的规律即可求解．
【详解】（1）解：①由所给等式可知，
因此；
故答案为：；
②由题意可知，
因此；
故答案为：；
（2）解：，
．
【点睛】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是根据已知等式总结出规律．
知识点06 乘法的混合运算
【典型例题】
例1．．（2022秋·广东深圳·七年级红岭中学校考期末）已知一个多项式的2倍与的和等于，则这个多项式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意列出代数式，根据整式的加减进行计算即可求解．
【详解】解：根据题意，这个多项式是
故选D
【点睛】本题考查了整式加减乘除混合运算，根据题意列出式子是解题的关键．
例2．（2022秋·上海长宁·七年级上海市第三女子初级中学校考期中）若，，，则___________．
【答案】
【分析】先将和表达出来，最后代入求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴
，
，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了代数式求值和整式的混合运算，准确的计算是解决本题的关键．
例3．（2022秋·四川巴中·八年级统考期末）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先根据算术平方根，立方根，绝对值的性质化简，再计算，即可求解；
（2）先计算乘方，再根据同底数幂相乘计算，然后计算除法，即可求解；
（3）先计算乘法，再合并同类项，即可求解；
（4）先去括号，再合并同类项，即可求解．
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，整式的混合运算，幂的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
【即学即练】
1．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）三个连续偶数，中间一个为n，这三个连续偶数之积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先表示出另外两个偶数，分别为n+2，n-2，然后计算出三个连续偶数之积即可．
【详解】三个连续偶数，中间一个为n，另外两个为n+2，n-2，
三个连续偶数之积为：
故选A．
【点睛】本题考查了整式的乘法运算，准确表示出三个连续偶数是本题的关键．
2．（2021秋·内蒙古赤峰·七年级统考阶段练习）找出以下几组算式的规律．；；；；如果，那么的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】通过观察，下边算式的数字比上边对应算式的数字一个小1，一个大1，结果也小1，由此得出规律即可求得答案．
【详解】解：根据题意可得：下边算式的数字比上边对应算式的数字一个小1，一个大1，结果也小1，
∴如果，那么．
故选：C．
【点睛】本题考查了规律探究，要从给出的特例着手，仔细观察，得到启示，找出一般规律，然后运用规律做题．
3．（2022春·四川成都·七年级统考期末）若规定符号的意义是ad﹣bc，则当a2+2a﹣3＝0时，的值为_____．
【答案】3
【分析】根据定义的新运算的运算法则，得出，然后进行化简，最后再整体代入即可求值．
【详解】解：
∵，
∴，
∴原式=．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查定义新运算，掌握多项式的乘法法则和整体代入法是解题的关键．
4．（2022春·全国·七年级专题练习）已知正整数a，b，c（其中a≠1）满足abc＝ab+50，则a+b+c的最小值是_____，最大值是_____．
【答案】 10 53
【分析】由已知abc＝ab+50可化为ab(c﹣1)＝50，由于a、b、c都是正整数，a只能取5的倍数且最大值只能取50，即可得出 b、c的值，计算即可得出答案．
【详解】解：因为abc＝ab+50，
所以abc﹣ab＝50，
即ab(c﹣1)＝50，
因为a、b、c都是正整数，
所以当a＝50时，b＝1，c＝2，a+b+c＝53，
当a＝25时，b＝1，c＝3，a+b+c＝29，
当a＝10时，b＝1，c＝6，a+b+c＝17，
当a＝5时，b＝2，c＝3，a+b+c＝10，
当a＝5时，b＝1，c＝11，a+b+c＝17，
所以则a+b+c的最小值是 10，最大值是53．
故答案为：10，53．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握整式的运算法则．
5．（2022秋·全国·七年级专题练习）已知关于x的多项式A，当A-（x-2）2=x（x+7）时，完成下列各题：
(1)求多项式A；
(2)若x2+x+1=0，求多项式A的值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）根据题意计算（x-2）2+x（x+7）即可求解；
（2）根据条件式，变形可得2x2+3x=-2，代入中即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，整理得A=（x-2）2+x（x+7）
=x2-4x+4+x2+7x
=2x2+3x+4；
（2）因为x2+x+1=0，
所以2x2+3x=-2，
所以A=-2+4=2，
则多项式A的值为2
【点睛】本题考查了整式的混合运算，代数式求值，正确的计算是解题的关键．
题组A 基础过关练
1．（2023秋·北京东城·八年级统考期末）计算，结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用多项式乘以多项式法则计算，合并即可得到结果．
【详解】解：
，
故选：A．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（2022秋·重庆合川·八年级校考期末）已知，则的值为（ ）
A．B．13C．D．5
【答案】A
【分析】先依据多项式乘多项式法则得到，接下来，依据两个多项式相等，则对应项的系数相等可求得m的值．
【详解】解：∵
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查多项式乘以多项式的运算，明确两个多项式相等的条件是解题的关键．
3．（2023秋·河南新乡·八年级统考期末）根据图 ①的面积可以说明的多项式乘法运算是，那么根据图 ②的面积可以说明的多项式乘法运算是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据图形表示出大长方形的面积为：，同时利用等面积法，用小长方形面积之和表示大长方形的面积为，即可得到答案．
【详解】大长方形的面积为：，
小长方形面积之和为：，
∵大长方形的面积小长方形面积之和，
∴
故选：A
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．（2023春·七年级课时练习）若的展开式中不含的一次项，则的值为（ ）
A．B．C．D．0
【答案】B
【分析】先将多项式展开，然后令x的系数为0，求出a的值即可．
【详解】解：
，
∵展开后不含x的一次项，
∴，
∴；
故选：B．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．
5．（2023秋·广东河源·七年级校考期末）_____．
【答案】
【分析】利用单项式乘多项式法则计算．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了单项式乘多项式，解题的关键是掌握相应的运算法则．
6．（2020秋·吉林长春·七年级校考期中）若关于x，y的多项式不含的项，则______．
【答案】##0.5
【分析】先把多项式关于项合并，由题意得出项的系数为0，进而求出即可．
【详解】解：
因为关于x、y的多项式不含的项，
可得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了多项式系数中的字母求值，多项式中不含哪一项，哪一项的系数为0，注意要先合并同类项．
7．（2022秋·河南新乡·九年级统考期中）已知“”是一种数学运算符号：为正整数，，如，，若，则______．
【答案】
【分析】根据所规定的运算进行求解即可．
【详解】解：，
，
则，
解得：或不符合题意，舍去，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
8．（2022秋·北京朝阳·八年级统考期末）图中的四边形均为长方形，根据图形面积写出一个正确的等式：_____________．
【答案】
【分析】大长方形的长为，宽为，因此面积为，图中四个小长方形的面积和为，因此有 ．
【详解】解：由图形面积的不同计算方法可得，；
故答案为：．
【点睛】本题考查多项式乘多项式的计算方法，用不同的方法表示图形的面积是得出等式的前提．
9．（2021秋·海南省直辖县级单位·八年级校考阶段练习）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）直接按照去括号的法则进行计算即可；
（2）先计算积的乘方运算，再计算单项式乘以单项式即可；
（3）先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可；
（4）按照多项式乘以多项式的法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）

；
（3）

；
（4）

．
【点睛】本题考查的是去括号，积的乘方运算，单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，熟练地运用以上基础运算的运算法则解题是关键．
10．（2023秋·陕西渭南·八年级统考期末）聪聪和同学们用2张型卡片、2张型卡片和1张型卡片拼成了如图所示的长方形．其中型卡片是边长为的正方形；型卡片是长方形；型卡片是边长为的正方形．
(1)请用含a、b的代数式分别表示出型卡片的长和宽；
(2)如果，，请求出他们用5张卡片拼出的这个长方形的面积．
【答案】(1)型卡片的长为：，宽为：
(2)所拼成的长方形的面积为364
【分析】（1）结合图形进行分析得出型卡片的长和宽即可；
（2）根据图形以及第（1）问求出的型卡片的长和宽即可表示拼出的长方形的面积．
【详解】（1）由题意得：型卡片的长：，宽为：；
（2）所拼成的长方形的面积为：
，
当，时，
原式=．
【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，解答的关键是得出型卡片的长和宽．
题组B 能力提升练
1．（2022秋·河南南阳·八年级校考阶段练习）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由图可得，阴影部分的面积可以用一个小正方形与两个小长方形的面积和，即；然后把四个选项中的整式都用整式运算法则进行变形，则最终变形结果不是，就是不能表示图中阴影部分面积的整式．
【详解】解：由图可得，图中阴影部分可以用一个小正方形与两个小长方形的面积和，
即；
∵，
，
，
又∵，
∴不能表示图中阴影部分面积的是，故A符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握整式运算法则，准确计算．
2．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级校考期中）若，则m的值为（ ）
A．1B．C．5D．
【答案】B
【分析】利用多项式乘多项式的法则对等式左边进行运算，从而可求解．
【详解】解：，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是在运算时注意符号的变化．
3．（2022秋·福建泉州·八年级校考阶段练习）如果，那么p，q的值为（ ）
A．，B．，C．， D．，
【答案】C
【分析】根据多项式乘多项式计算得出即可．
【详解】解：，
∴，，
故选：C．
【点睛】本题是对整式乘法的考查，熟练掌握多项式乘多项式运算法则是解决本题的关键．
4．（2023春·七年级课时练习）小羽制作了如图所示的卡片类，类，类各张，其中，两类卡片都是正方形，类卡片是长方形，现要拼一个长为，宽为的大长方形，那么所准备的类卡片的张数（ ）
A．够用，剩余4张B．够用，剩余5张
C．不够用，还缺4张D．不够用，还缺5张
【答案】C
【分析】根据大长方形的面积公式求出拼成大长方形的面积，再对比卡片的面积，即可求解．
【详解】解：大长方形的面积为，
类卡片的面积是，
∴需要类卡片的张数是，
∴不够用，还缺4张，
故选：．
【点睛】本题主要考查多项式与多项式的乘法与图形的面积，掌握多项式乘以多项式的计算方法是解题的关键．
5．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）已知，则__________．
【答案】
【分析】先移项、计算多项式乘法，然后合并同类项，即可得出，然后计算即可．
【详解】解：根据题意得，
，
，
整理得，
则，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了多项式的乘法，熟练掌握多项式的乘法法则是关键.
6．（2021春·辽宁沈阳·七年级校考期中）在的运算结果中不含项，那么______．
【答案】
【分析】先进行多项式乘多项式的计算，再根据运算结果中不含项，得到的系数为0，进行计算即可．
【详解】解：原式
；
∵运算结果中不含项，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查多项式乘多项式不含某项，求字母的值．熟练掌握多项式乘多项式的法则，以及不含某一项，该项的系数为0，是解题的关键．
7．（2022秋·全国·八年级期末）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如下图），此图揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．
例如：
，它只有一项，系数为1；
，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；
，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；
，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；
…
根据以上规律，解答下列问题：
（1）展开式共有___________项，系数分别为___________；
（2）展开式共有___________项，系数和为___________．
【答案】 5 1，4，6，4，1
【分析】（1）根据题意可得，即可得出答案；
（2）找出规律即可得出答案．
【详解】解：（1）
展开式共有5项，展开式的各项系数分别为1，4，6，4，1，
（2）当时，展开式有2项，系数和为2，
当时，展开式有3项，系数和为4，
当时，展开式有4项，系数和为8，
当时，展开式有5项，系数和为16，
展开式共有项，系数和为．
故答案为：（1）5；1，4，6，4，1；（2），．
【点睛】本题考查多项式的乘法．本题主要是根据多项式乘积的结果，让学生探究，观察规律，锻炼学生的思维，关键是找出规律．
8．（2022秋·北京·八年级北京二中校考期中）甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是．则本题的正确结果是__________．
【答案】
【分析】根据甲的描述利用多项式乘以多项式的计算法则得到，根据乙的描述可得，由此得到关于a、b的二元一次方程组，求出a、b的值代入原多项式中求解即可．
【详解】解：∵由于甲抄错了的符号，得到的结果是，
∴，
∴，
∴，
∵乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴原多项式为，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，解二元一次方程组，正确理解题意得到关于a、b的二元一次方程组是解题的关键．
9．（2022秋·广西贵港·七年级统考期中）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，2
【分析】去括号，再合并同类项，最后将a、b的值代入化简求值即可．
【详解】解：原式=
=
=
将，代入，得原式=．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是掌握整式的混合运算法则，正确计算．
10．（2022秋·福建泉州·八年级福建省泉州第一中学校考期中）在数学中，根据几何图形的面积关系可以形象直观地表示多项式的乘法．例如：可以用图（1）表示．
(1)根据图（2），写出一个与多项式乘法有关的等式_________________________________；
(2)有足够多的两种正方形卡片（①号、②号）和一种长方形卡片（③号），如图（3），现选取①号、②号、③号卡片分别为1张、2张、3张，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个图形的草图，并写出计算它的面积能得到的数学等式．
【答案】(1)
(2)图见解析，
【分析】（1）根据图（1）的两种面积表示方法即可求解；
（2）根据多项式的乘法结合图形即可求解．
【详解】（1）根据图（1）的面积可以表示为或，
∴，
故答案为：
（2）解：依题意，如图，现选取①号、②号、③号卡片分别为1张、2张、3张，拼成一个长方形
∴．
【点睛】本题考查了多项式的乘法与图形面积，数形结合是解题的关键．
题组C 培优拔尖练
1．（2023秋·上海浦东新·七年级校考期中）如果，那么、的值分别是（ ）．
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】利用多项式乘多项式法则，得到等式左侧的结果，根据对应项，对应相等，求出、的值即可．
【详解】解：，
∴，
∴，
解得：；
故选C．
【点睛】本题考查多项式乘多项式．熟练掌握多项式乘多项式的法则，是解题的关键．
2．（2022秋·重庆江北·八年级校考期中）关于的三次三项式（其中，，，均为常数），关于的二次三项式（，均为非零常数），下列说法有几个正确（ ）
①当的结果为关于的三次三项式时，则；
②若二次三项式能分解成，则；
③当多项式与的乘积中不含项时，则；
④．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】①计算的值，再根据题意列方程求解；②计算的值，根据题意列方程求，的值，再计算；③先求的值，再根据题意列方程求解；④先求，再列方程求解．
【详解】解：①，
，均为非零常数，
，
，
故①正确；
②，
，，
，
故②是正确的；
③，
，
，
故③是错误的；
④
，
，
解得：，
，
故④是正确的；
故选：C．
【点睛】本题考查了多项式，整式的加减，方程思想是解题的关键．
3．（2021春·浙江温州·七年级温州绣山中学校考阶段练习）如图，长方形中，，放入两个边长都为4的正方形 ，正方形及一个边长为8的正方形，，分别表示对应阴影部分的面积，若，则长方形的周长是 （ ）
A．36B．40C．44D．48
【答案】B
【分析】根据图形中各线段的关系，用x、y的代数式表示相关线段的长，再根据，由矩形面积公式列出x、y的方程，求得便可求解．
【详解】解：设，，
则，，
，，
∵，
∴，
整理得，
∴，
则长方形 的周长是40，
故选：B．
【点睛】本题考查借助几何图形，考查了整式的混合运算，根据所给图形，数形结合，正确表示出相关图形的边长和面积是解题的关键．
4．（2022秋·八年级课时练习）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了（n＝1，2，3，4，…）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）：
11＝a+b
121＝
1331＝
14641＝
请根据上述规律，写出的展开式中含项的系数是（ ）
A．2021B．4042C．2043231D．2019
【答案】B
【分析】先确定是展开式的第几项，根据杨辉三角即可解决问题．
【详解】解：展开式中含项的系数，
由：＝…，
可知，展开式中第二项为，
∴的展开式中含项的系数是4042．
故选：B．
【点睛】本题考查数字的变化类、杨辉三角等知识，解题的关键是灵活运用杨辉三角解决问题，属于中考常考题型．
5．（2020秋·重庆九龙坡·八年级重庆市杨家坪中学校考期中）已知的乘积项中不含和x项，则______．
【答案】6
【分析】先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加；不含某一项就是说这一项的系数为0；即可求解．
【详解】
∵乘积项中不含x2和x项，
∴，
∴，
∴
故答案为：6
【点睛】本题考查了多项式乘多项式法则，解题的关键是合并同类项时要注意项中的指数及字母是否相同，不含某一项就是说这一项的系数为0．
6．（2021春·山东青岛·七年级校考期中）观察下列各式的规律：
…
可得到___________．
【答案】
【分析】发现规律，根据规律即可得到计算结果．
【详解】根据规律可得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，发现规律是解题的关键．
7．（2022秋·福建厦门·八年级厦门市华侨中学校考期中）已知有甲、乙两个图形，等边三角形是三角形的高，线段长如图所示，长方形边长如图所示，记的面积和长方形的面积分别为、，且请比较与的大小：___________．（用“>”、“<”、“=”填空）
【答案】>
【分析】根据三角形和长方形的面积公式，将三角形和长方形的面积表示出来即可．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，
，
，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：>．
【点睛】本题主要考查了整式乘法，以及用做差法比较大小，解题的关键是熟练掌握整式的乘法法则，以及做差法比较大小的方法．
8．（2022秋·江苏无锡·七年级校联考期中）有6张如图①的长为a，宽为的小长方形纸片，按图②方式不重叠地放在矩形内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则满足的数量关系是_______．
【答案】a=2b
【分析】分别表示出左上角和右下角部分的面积，表示出它们的差，根据差与BC无关得到结果．
【详解】设左上角的长方形的长为AE，则宽为AF=a，右下角长方形的长为PC，则宽为2b，
∵AD=BC，
即AE+ED=AE+4b，BC=BP+PC=a+PC，
∴AE+4b=a+PC，
∴AE=a-4b+PC，
∴阴影部分面积差为：AE·a-PC·2b=a（a-4b+PC）-2bPC=（a-2b）PC+a2-4ab,
∵面积差与PC无关，
故a-2b=0，
所以a=2b，
故答案为a=2b．
【点睛】本题考查整式的混合运算，解题的关键是列出面积差的代数式．
9．（2022秋·河南南阳·八年级校考阶段练习）若的积中不含x项与项，
(1)求p、q的值；
(2)求代数式的值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）将原式根据多项式乘以多项式法则展开后合并同类项，由积中不含x项与项可知x项与项的系数均等于0，可得关于p、q的方程组，解方程组即可；
（2）由（1）中p、q的值得，将原式整理变形成，再将p、q、的值代入计算即可．
【详解】（1）解：
，
∵积中不含x项与项，
∴，
∴．
（2）解：由（1）得，
．
【点睛】本题主要考查多项式乘以多项式的法则．注意不要漏项、漏字母、有同类项的合并同类项，解题的关键是正确求出p，q的值．
10．（2022春·四川巴中·七年级统考期中）阅读下列材料，解决相应问题：
(1)36和84 “友好数对”．（填“是”或“不是”）
(2)为探究“友好数对”的本质，可设“友好数对”中一个数的十位数字为a，个位数字为b，且；另一个数的十位数字为c，个位数字为d，且，则a，b，c，d之间存在一个等量关系，其探究和说理过程如下，请你将其补充完整．
解：根据题意，“友好数对”中的两个数分别表示为和，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后两个数依次表示为 和 ．
因为它们是友好数对，所以 ．
即a，b，c，d的等量关系为： ．
(3)请从下面A、B两题中任选一题作答，我选择 题．
A．请再写出一对“友好数对”，与本题已给的“友好数对”不同．
B．若有一个两位数，十位数字为，个位数字为x，另一个两位数，十位数字为，个位数字为，且这两个数为“友好数对”，直接写出这两个两位数．
【答案】(1)是
(2)，，，
(3)A：13和93（答案不唯一），B：两个两位数分别为：31和39
【分析】（1）计算和，根据定义判断；
（2）利用“十位数字×10+个位数字×1”表达出交换后的两位数，结合友好数对的的定义列出等量关系，并化简；
（3）A、结合（2）中的等量关系 写出新的“友好数对”； B、根据“”得，解方程得到x，写出两个两位数．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴36和84是友好数对，
故答案为：是．
（2）解：∵一个数的十位数字为a，个位数字为b；另一个数的十位数字为c，个位数字为d，
∴交换后十位数字为b，个位数字为a，另一个的十位数字为d，个位数字为c，
∴两个数依次表示为，，
∵这两个数是友好数对，
∴，
化简得：，
故答案为：，，，．
（3）解：选A，根据，可列举31和39，13和93，12和42，21和24，•••
只要满足十位数字之积等于个位数字之积，且同一个数的个位与十位不同即可，
答案不唯一．
选B，由（2）得：，
∴，
∴，
解得：，
∴两个两位数为：31和39．
选A或选B都可以，只要满足“友好数对”的定义即可．
【点睛】本题以新定义为背景，考查了学生对于数的表示、整式的运算——多项式乘以多项式、解一元一次方程．本题解题的关键是用代数式表达两位数和交换个位和十位后的两位数，然后根据新定义列出方程．
，
……
“友好数对”
已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“友好数对”．例如，所以43和68与34和86都是“友好数对”．