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数学第二章 二元一次方程组2.5 三元一次方程组及其解法（选学）练习题
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这是一份数学第二章 二元一次方程组2.5 三元一次方程组及其解法（选学）练习题，共49页。
2、掌握三元一次方程组在实际问题中的应用；
知识点01 三元一次方程组的概念与解法
【知识点】
概念：含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是一次，叫做三元一次方程组。方程组中，少于3个方程，则无法求所有未知数的解，故一般的三元一次方程是三个方程组成的方程组。
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，将“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程。
他们主要的解法就是加减消元法和代入消元法，通常采用加减消元法，若方程难解就用代入消元法，因题而异。其思路都是利用消元法逐步消元。
步骤：①利用代入法或加减法，消去一个未知数，得出一个二元一次方程组；
②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值；
③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。
【典型例题】
例1．（2022·全国·七年级专题练习）已知代数式，当时，其值为4；当时，其值为8；当时，其值为25；则当时，其值为（ ）
A．4B．8C．62D．52
例2．（2022春·湖南永州·七年级统考期中）已知方程组，则的值为（ ）
A．5B．10C．12D．不确定
例3．（2022秋·山东青岛·八年级统考期末）若三元一次方程组的解使，则的值是__________．
例4．（2023春·七年级课时练习）把三元一次方程组化为关于x、y的二元一次方程组_______．
例5．（2022春·广东东莞·七年级统考期中）解方程组：．
例6．（2022秋·八年级课时练习）探索创新完成下面的探索过程：
给定方程组，如果令=A，=B，=C，则方程组变成______；
解出这个新方程组（要求写出解新方程组的过程），得出A，B，C的值，从而得到：x= ______；y=______；z= ______．
【即学即练】
1．（2023春·七年级课时练习）解三元一次方程组，如果消掉未知数z，则应对方程组变形为（ ）
A．① +③ ，① ×2﹣②B．① +③ ，③ ×2+②C．②﹣① ，②﹣③D．①﹣② ，① ×2﹣③
2．（2023春·七年级课时练习）已知关于x、y的方程组的解满足2x﹣y＝2k，则k的值为（ ）
A．kB．kC．kD．k
3．（2023春·七年级课时练习）若，和有公共解，则的值是___________
4．（2022秋·全国·七年级期末）当和时，代数式的值分别为20和40．则___________．
5．（2023春·全国·七年级专题练习）解三元一次方程组．
知识点02 三元一次方程组的应用
【典型例题】
例1．（2022秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需64元；若购甲4件、乙10件、丙1件，共需79元；现购甲、乙、丙各一件，共需（ ）元
A．33B．34C．35D．36
例2．（2022春·浙江舟山·七年级统考期末）根据舟山市政府疫情防控要求，所有进入舟山车辆要在金塘服务区下高速，接受防疫检查．已知金塘收费站出口有编号为①，②，③，④，⑤的五个收费出口，假定各收费出口每小时通过的车流量是不变的，同时开放其中两个收费出口，统计这两个出口1小时一共通过的汽车的数量记录如下
则下列说法错误的是：（ ）A．①出口1小时通过汽车的数量最少；
B．⑤出口1小时通过汽车的数量最多；
C．②出口1小时通过汽车的数量是④出口的两倍：
D．①和④出口1小时通过汽车的数量之和等于③出口1小时通过的汽车数量．
例3．（2023秋·重庆·七年级校考期末）在春节来临之际，京东商城推出、、三种礼盒，如果购买礼盒3盒、礼盒2盒和礼盒2盒，则需付人民币2200元；如果购买礼盒4盒、礼盒3盒和礼盒5盒，则需付人民币3150元；李老板预计购买礼盒5盒、礼盒4盒和礼盒8盒送亲戚朋友，则共需付人民币_______元．
例4．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）晨光文具店有一套体育用品：个排球，个足球和个篮球，一套售价元，也可以单独出售，如果单独出售，每个球只能用同一种面额的所有钞票去购买．小明共有元、 元、元三种面额的钞票若干张，刚好购买一套体育用品，且最小面额的钞票的张数恰好等于另外两种面额钞票张数乘积的倍，则单独购买排球、足球或篮球，花钱最少的一个球的单价是____元．
例5．（2023春·七年级课时练习）例3．林芳、向民、艳君三位同学去商店买文具用品，林芳说：“我买了4支水笔，2本笔记本，10本作文本共用了19元.”向民说：“我买了2支水笔，3本笔记本，10本练习本共用了20元，”艳君说：“我买了12本练习本，8本作文本共用了10元；作文本与练习本的价格是一样哦！”请根据以上内容，求出笔记本，水笔，练习本的价格．
例6．（2023春·全国·七年级专题练习）小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资+计件奖金”的方法，并获得如下信息：
假设营业员的月基本工资为x元，销售每件服装奖励y元．
(1)求x、y的值；
(2)如果在商场购买甲3件，乙2件，丙1件共需315元；如果购买甲1件，乙2件，丙3件共需285元．某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需多少元？
【即学即练】
1．（2023秋·安徽池州·七年级统考期末）一个三位数，各个数位上数字之和为10，百位数字比十位数字大1．如果百位数字与个位数字对调，则所得新数比原数的3倍还大61，那么原来的三位数是（ ）
A．325B．217C．433D．541
2．（2021春·重庆黔江·七年级统考期末）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文，，，对应密文，，，．例如，明文，，，对应密文，，，．当接收方收到密文，，，时，则解密得到的明文为（ ）.
A．，，，B．，，，
C．，，，D．1，，，
3．（2022秋·重庆·七年级重庆实验外国语学校校考期中）在2022年的世界环境保护日的知识竞赛中，A校6人获一等奖，5人获二等奖，7人获三等奖，所获得奖品价值为1130元；B校获一等奖的人数比A校获二等奖的人数多60%，9人获二等奖，11人获三等奖，所获得的奖品价值为1730元；C校7人获一等奖，10人获二等奖，10人获三等奖；D校5人获一等奖，7人获二等奖，9人获三等奖．则C校和D校所获得的奖品价值之和为______元．
4．（2021春·广东江门·七年级江门市第二中学校考期中）一年一度的南开校运会即将开幕，“向阳”班的全体同学正在操场上进行开幕式的队列编排．如果安排三个同学走在队列前方举班牌和班旗，则剩下的同学正好可以编排成每行5人的长方形方阵．如果不举班旗，只由班主任兼数学老师李老师举班牌，并再邀请语文，英语和物理三科的任课老师一起参加，则这三位任课老师和所有同学正好可以编排成每行6人的长方形方阵．已知“向阳”班的学生人数超过40人但又不多于80人，则“向阳”班共有学生______名．
5．（2023春·七年级课时练习）某校开展校园科技节系列活动，校学生会代表小明到文具店购买文具作为奖品．
(1)小明第一次购买若干个文具袋作为奖品，这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话图，求小明原计划购买文具袋多少个？
(2)小明第二次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元．经过沟通，这次老板给予8折优惠，钢笔和签字笔合计288元，问小明购买了钢笔和签字笔各多少支？
(3)如果小明用48元去购买单价为3元的铅笔，单价为8元的钢笔，单价为5元的笔记本若干（三样都要买，把48元恰好用完），问有哪几种购买方案？
题组A 基础过关练
1．（2022秋·安徽·七年级周测）下列方程中，是三元一次方程的是（ ）
A．y＝2 015＋2xB．x＋y＝
C．xy＝zD．x＋y－z＝2 015
2．（2022春·福建龙岩·七年级统考期末）已知，，则y与x的关系是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）有甲、乙、丙三种商品，若购甲件、乙件、丙件，共需元；若购甲件、乙 件、丙件，共需元，则购甲、乙、丙三种商品各件共需 （ ）
A． 元B． 元C． 元D． 元
4．（2022春·湖北宜昌·七年级校考期中）已知方程组，则的值是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022秋·八年级课前预习）含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做________．
概念中的三个要点：①未知数的个数；②未知数的次数；③未知数同时满足三个等量关系．
三元一次方程组中各个方程的________，叫做这个三元一次方程组的解．
6．（2022秋·八年级课时练习）若是一个三元一次方程，那么_______， ________．
7．（2021春·山西忻州·七年级统考期末）我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解．同样地，适合三元一次方程的一对未知数的值叫做这个三元一次方程的一个解．请写出方程的一个正整数解______．
8．（2023春·七年级课时练习）已知三元一次方程组，则________．
9．（2022秋·八年级课前预习）解方程组：
10．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知实数x，y满足①，②，求和的值．
本题常规思路是先将①，②两式联立组成方程组，解得x，y的值，再代入欲求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得，由①+②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
(1)已知二元一次方程组，则__________，_________．
(2)对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值．
题组B 能力提升练
1．（2022秋·河北邢台·七年级校考期末）设“■▲●”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，若要使第三架天平也平衡，则“？”处应该放“●”（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2022秋·安徽·七年级周测）购买铅笔7支，作业本3个，中性笔1支共需18元；购买铅笔10支，作业本4个，中性笔1支共需24元；则购买铅笔11支，作业木5个，中性笔2支共需（ ）
A．元B．元C．元D．元
3．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知x，y，z满足 ，则的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．（2022春·福建泉州·七年级统考期末）若方程组 的解是，则的值是（ ）
A．－3B．0C．3D．6
5．（2022春·上海·六年级校考期末）如果三元一次方程组为，那么x+y+z＝______．
6．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）在关于、、的方程组，中，已知，那么、、从小到大的排列顺序应该是_____．
7．（2022·重庆开州·校联考模拟预测）在刚刚结束的端午节中，商家为了实现销售额提升拓展途径．某商家推出了三种礼盒进行售卖，某商家将甜味粽、肉馅粽、咸鸭蛋共个，搭配为，，三种礼盒各一个，其中盒中有个甜味粽，个肉馅粽，个咸鸭蛋；盒中甜味粽与咸鸭蛋的数量之和等于肉馅粽的数量，甜味粽与咸鸭蛋的数量之比为；盒中有个甜味粽，个肉馅粽，个咸鸭蛋．经核算，盒的成本为元，盒的成本为元（每种礼盒的成本为该盒中甜味粽、肉馅粽、咸鸭蛋的成本之和），则盒的成本为______元．
8．（2021春·江西上饶·八年级统考阶段练习）幻方是一种将数字安排在正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等的方法．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格．如图1是由 1，2，3，4，5，6，7，8，9 九个数字组成的一个基本幻方，其对角线、横行、竖列的和都为15．如图2也是一个三阶幻方，中心格是 673；其他八个格中分别是：a，b，知，识，就，是，力，量（这里的字母a，b代表已知数）．则“就”代表的数是___（用含a，b的式子表示）．
9．（2021春·上海长宁·六年级华东政法大学附属中学校考期末）解方程组：．
10．（2022春·江苏·七年级专题练习）在学习绝对值后，我们知道，||表示数在数轴上的对应点与原点的距离．如：|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离．而|5|=|5－0|，即|5－0|也可理解为5、0在数轴上对应的两点之间的距离．类似的，|5－3|表示5与3之差的绝对值，也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如|x－3|的几何意义是数轴上表示数x的点与有理数3的点之间的距离，一般地，点A、B在数轴上分别表示数、，那么A、B之间的距离可表示为．
请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题：
（1）数轴上表示2和3的两点之间的距离是 ；数轴上表示数a的点与表示－2的点之间的距离表示为 ；
（2）数轴上点P表示的数是2，P、Q两点的距离为3，则点Q表示的数是 ；
（3）在数轴上的位置如下图所示，若=12，=7，=9，则等于 ；
题组C 培优拔尖练
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）三角形幻方是锻炼思维的有趣数学问题，例：把数字1、2、3、…、9分别填入如图所示的9个圆圈内，要求和的每条边上三个圆圈内数字之和都等于18，则的和是（ ）
A．6B．15C．18D．24
2．（2022秋·全国·八年级专题练习）《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其“方程”章中给出了“遍乘直除”的算法解方程组．比如，对于方程组，将其中数字排成长方形形式，然后执行如下步骤（如图）；第一步，将第二行的数乘以3，然后不断地减第一行，直到第二行第一个数变为0；第二步，对第三行做同样的操作，其余步骤都类似．其本质就是在消元．那么其中的a，b的值分别是（ ）
A．24，4B．17，4C．24，0D．17，0
3．（2022秋·全国·八年级专题练习）我们探究得方程的正整数解只有1组，方程的正整数解只有2组，方程的正整数解只有3组，……，那么方程的正整数解的组数是（ ）
A．27B．28C．29D．30
4．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）若 ，， 是从 ，， 这三个数中取值的一列数，且 ，，则在 ，， 中，取值为 的个数为 （ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·七年级课时练习）已知x，y，z满足，且，则____________．
6．（2023春·七年级课时练习）某校用一笔钱来购买，两种奖品，若购买24个种奖品和14个种奖品则差30元，若购买20个种奖品和18个种奖品则余20元，那么用这笔钱购买28个种奖品和10个种奖品差_________元．
7．（2022秋·八年级课时练习）某工厂A，B，C型生产线进行产品加工，每条生产线每天的产量之比为1：2：3，现甲、乙两公司计划各自租用该工厂8条生产线同时进行产品加工，且每种类型的生产线均租用，甲公司用6天恰好能加工完所需产品，乙公司用3天恰好能加工完所需产品，乙公司租用的B型生产线数量与甲公司相同，甲公司租用的A型生产线条数与乙公司租用的C型生产线条数相同，乙公司需加工的产品总量比甲公司少，则乙公司B型生产线有________条．
8．（2022秋·七年级单元测试）下表是某校七年级各班某月课外兴趣小组活动时间的统计表，其中各班同一兴趣小组每次活动时间相同．
（说明：活动次数为正整数）
科技小组每次活动时间为____________h，该年级4班这个月体育小组活动次数最多是____________次．
9．（2023春·全国·七年级专题练习）在求代数式的值时，可以用整体求值的方法，化难为易．
例：已知，求的值．
解：①得：③
②③得：
∴的值为2．
(1)已知，求的值；
(2)马上期中了，班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元．通过还价，班委购买了本笔记本、支签字笔、支记号笔，只花了元，请问比原价购买节省了多少钱？
10．（2021春·浙江杭州·七年级校考期中）阅读理解：已知实数x，y可满足……①，……②，求和值，仔细观察未知数系数之间的关系，如由可得，由可得．这就是通常说的“整体思想”．尝试利用“整体思想”，解决下列问题：
(1)已知二元一次方程组，则___________，___________；
(2)买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，求购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需多少元？
(3)对于实数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值．
收费出口编号
①，②
②，③
③，④
④，⑤
⑤，①
通过汽车数量（辆）
80
100
70
130
120
营业员
小丽
小华
月销售件数（件）
200
150
月总收入（元）
1400
1250
体育小组
活动次数
科技小组
活动次数
文艺小组
活动次数
课外兴趣小组
活动总时间（单位：h）
1
4
6
5
11.5
2
4
6
4
11
3
4
7
4
12
4
6
13
专题2.5 三元一次方程组及其解法
1、掌握三元一次方程组的概念及其解法；
2、掌握三元一次方程组在实际问题中的应用；
知识点01 三元一次方程组的概念与解法
【知识点】
概念：含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是一次，叫做三元一次方程组。方程组中，少于3个方程，则无法求所有未知数的解，故一般的三元一次方程是三个方程组成的方程组。
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，将“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程。
他们主要的解法就是加减消元法和代入消元法，通常采用加减消元法，若方程难解就用代入消元法，因题而异。其思路都是利用消元法逐步消元。
步骤：①利用代入法或加减法，消去一个未知数，得出一个二元一次方程组；
②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值；
③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。
【典型例题】
例1．（2022·全国·七年级专题练习）已知代数式，当时，其值为4；当时，其值为8；当时，其值为25；则当时，其值为（ ）
A．4B．8C．62D．52
【答案】D
【分析】根据已知条件可知，由此解方程组求出a、b、c的值即可得到答案．
【详解】解：由题意得
用①+②得：④，
用①×2+③得：⑤，
用⑤－④得：，
把代入④得：，解得，
把，代入①得：，解得，
∴当时，，
故选D．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，解三元一次方程，正确建立三元一次方程组求出a、b、c的值是解题的关键．
例2．（2022春·湖南永州·七年级统考期中）已知方程组，则的值为（ ）
A．5B．10C．12D．不确定
【答案】C
【分析】将3x+7y+z=22乘以2减去5x+13y+z=32即可得到解答．
【详解】解：由题意得：
将3x+7y+z=22乘以2得：6x+14y+2z=44，
再将其减去5x+13y+z=32得：x+y+z=12，
故选C．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，能选择适当的方法求解是解决此题的关键．
例3．（2022秋·山东青岛·八年级统考期末）若三元一次方程组的解使，则的值是__________．
【答案】
【分析】先将三元一次方程组解得，代入即可求得的值．
【详解】解：，
得：，
得：，解得，
把代入得，，
把代入得：，
三元一次方程组的解为：，
把代入得，，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，学会采用消元法和代入法解三元一次方程组是解题的关键．
例4．（2023春·七年级课时练习）把三元一次方程组化为关于x、y的二元一次方程组_______．
【答案】
【分析】利用加减消元法消掉未知数化成关于x、y的二元一次方程组．
【详解】解：，
①②得：，
②③得：，
方程组为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三元一次方程组、二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法．
例5．（2022春·广东东莞·七年级统考期中）解方程组：．
【答案】
【分析】①②得：④，把③代入④求出x，把代入③求出y，再把，代入①求出z即可．
【详解】解：，
①②得：
④，
把③代入④得：
，
解得：，
把代入③得：
，
把，代入①得：
，
解得：，
原方程组的解为：．
【点睛】此题考查了解三元一次方程组，正确掌握三元一次方程组的解法是解题的关键．
例6．（2022秋·八年级课时练习）探索创新完成下面的探索过程：
给定方程组，如果令=A，=B，=C，则方程组变成______；
解出这个新方程组（要求写出解新方程组的过程），得出A，B，C的值，从而得到：x= ______；y=______；z= ______．
【答案】；解方程组过程见解析；；；
【分析】根据换元法可以将原方程组化为，①+②+③得出然后分别求出A、B、C的值即可．
【详解】解：令=A，=B，=C，则方程组可变为：，
①+②+③得，
得：，
得：，
得：，
∴，
解得：．
【点睛】本题主要考查了换元法解方程组，根据题意得出，是解题的关键．
【即学即练】
1．（2023春·七年级课时练习）解三元一次方程组，如果消掉未知数z，则应对方程组变形为（ ）
A．① +③ ，① ×2﹣②B．① +③ ，③ ×2+②C．②﹣① ，②﹣③D．①﹣② ，① ×2﹣③
【答案】C
【分析】注意到方程组z前面的系数都为1，所以直接相减消去
【详解】得：
得：
方程组变形为，刚好消去z
故选：C
【点睛】本题考查对三元一次方程组的消元，善于观察是解题关键．
2．（2023春·七年级课时练习）已知关于x、y的方程组的解满足2x﹣y＝2k，则k的值为（ ）
A．kB．kC．kD．k
【答案】A
【分析】根据得出，，然后代入中即可求解．
【详解】解：，
①+②得，
∴③，
①﹣③得：，
②﹣③得：，
∵，
∴，
解得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，根据题意得出的代数式是解题的关键．
3．（2023春·七年级课时练习）若，和有公共解，则的值是___________
【答案】
【分析】根据题意：，和有公共解，联立方程组，解出即可得出的值．
【详解】解：∵，和有公共解，
∴可得：，
解得：，
∴的值是．
故答案为：
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，解本题的关键在理解三个方程有公共解．
4．（2022秋·全国·七年级期末）当和时，代数式的值分别为20和40．则___________．
【答案】5
【分析】分别代入分别把和代入中得，利用解方程的知识可得答案；
【详解】解：分别把和代入中得 ，两方程相加得2c=10，c=5，
故答案为5．
【点睛】本题考查了代数式求值，分别分别把和代入中是解题
5．（2023春·全国·七年级专题练习）解三元一次方程组．
【答案】
【分析】先由①×2-②消去y，①×3+③消去y，得到，转化为解关于x，z的二元一次方程组，据此解答．
【详解】解：
①×2-②，得
①×3+③，得
解方程组
解得
把代入①，得，
所以原方程组的解为 ．
【点睛】本题考查加减消元法解三元一次方程组，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
知识点02 三元一次方程组的应用
【典型例题】
例1．（2022秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需64元；若购甲4件、乙10件、丙1件，共需79元；现购甲、乙、丙各一件，共需（ ）元
A．33B．34C．35D．36
【答案】B
【分析】设购甲每件元，购乙每件元，购丙每件元．列方程组得：，然后求得的值．
【详解】解：设购甲每件元，购乙每件元，购丙每件元．
列方程组得：，
①②得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用．根据系数特点，通过加减，得到一个整体，然后整体求解．
例2．（2022春·浙江舟山·七年级统考期末）根据舟山市政府疫情防控要求，所有进入舟山车辆要在金塘服务区下高速，接受防疫检查．已知金塘收费站出口有编号为①，②，③，④，⑤的五个收费出口，假定各收费出口每小时通过的车流量是不变的，同时开放其中两个收费出口，统计这两个出口1小时一共通过的汽车的数量记录如下
则下列说法错误的是：（ ）A．①出口1小时通过汽车的数量最少；
B．⑤出口1小时通过汽车的数量最多；
C．②出口1小时通过汽车的数量是④出口的两倍：
D．①和④出口1小时通过汽车的数量之和等于③出口1小时通过的汽车数量．
【答案】D
【分析】设金塘收费站出口有编号为①，②，③，④，⑤的五个收费出口每小时通过车的数量分别为a辆、b辆、c辆、d辆、e辆．根据表格中的数据列出方程组并解答．
【详解】解：设金塘收费站出口有编号为①，②，③，④，⑤的五个收费出口每小时通过车的数量分别为a辆、b辆、c辆、d辆、e辆，
根据题意，得．
解得．
所以a＜d＜c＜b＜e，b=2d，a+d＞c．
所以①出口1小时通过汽车的数量最少，⑤出口1小时通过汽车的数量最多，②出口1小时通过汽车的数量是④出口的两倍，①和④出口1小时通过汽车的数量之和大于③出口1小时通过的汽车数量．
观察选项，只有选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查多元一次方程组，解题的关键的读懂题意，找到等量关系，列出方程组．
例3．（2023秋·重庆·七年级校考期末）在春节来临之际，京东商城推出、、三种礼盒，如果购买礼盒3盒、礼盒2盒和礼盒2盒，则需付人民币2200元；如果购买礼盒4盒、礼盒3盒和礼盒5盒，则需付人民币3150元；李老板预计购买礼盒5盒、礼盒4盒和礼盒8盒送亲戚朋友，则共需付人民币_______元．
【答案】4100
【分析】设礼盒元，礼盒元，礼盒元，根据题意列方程组，根据问题进行方程之间的结合；
【详解】解：设礼盒元，礼盒元，礼盒元，由题意得，
，
得，，
得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查三元一次方程的应用，观察各未知数系数之间的关系是解题关键．
例4．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）晨光文具店有一套体育用品：个排球，个足球和个篮球，一套售价元，也可以单独出售，如果单独出售，每个球只能用同一种面额的所有钞票去购买．小明共有元、 元、元三种面额的钞票若干张，刚好购买一套体育用品，且最小面额的钞票的张数恰好等于另外两种面额钞票张数乘积的倍，则单独购买排球、足球或篮球，花钱最少的一个球的单价是____元．
【答案】
【分析】设元、 元、元的钞票分别由、、张，根据数量关系列方程，根据题意解方程组即可求解．
【详解】解：设元、 元、元的钞票分别由、、张，
∴，整理得，，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，；
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，不符合题意，舍去；
∴元、 元、元的钞票分别由、、张，
∴单独购买排球、足球或篮球，花钱最少的一个球的单价元，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查三元一次方程组的应用，找出数量关系，列出方程，并根据实际情况讨论各未知数的取值是解题的关键．
例5．（2023春·七年级课时练习）例3．林芳、向民、艳君三位同学去商店买文具用品，林芳说：“我买了4支水笔，2本笔记本，10本作文本共用了19元.”向民说：“我买了2支水笔，3本笔记本，10本练习本共用了20元，”艳君说：“我买了12本练习本，8本作文本共用了10元；作文本与练习本的价格是一样哦！”请根据以上内容，求出笔记本，水笔，练习本的价格．
【答案】笔记本每本的价格是4元，水笔每支1.5元，练习本每本0.5元.
【分析】设笔记本每本的价格是x元，水笔每支y元，练习本或作文本每本的价格为z元，根据林芳、向民、艳君三个人的话可以建立三个方程，从而构成三元一次方程组，求出其解即可.
【详解】设笔记本每本的价格是x元，水笔每支y元，练习本或作文本每本的价格为z元，
由题意得
解得
答：笔记本每本的价格是4元，水笔每支1.5元，练习本每本0.5元.
【点睛】本题考查了列三元一次方程组解实际问题的运用，三元一次方程组的解法的运用，解答时找准等量关系建立方程是关键．
例6．（2023春·全国·七年级专题练习）小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资+计件奖金”的方法，并获得如下信息：
假设营业员的月基本工资为x元，销售每件服装奖励y元．
(1)求x、y的值；
(2)如果在商场购买甲3件，乙2件，丙1件共需315元；如果购买甲1件，乙2件，丙3件共需285元．某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需多少元？
【答案】(1)x的值为800，y的值为3
(2)购买一件甲、一件乙、一件丙共需150元
【分析】（1）通过理解题意可知此题存在两个等量关系，即小丽的基本工资+提成=1400元，小华的基本工资+提成=1250元，列方程组求解即可；
（2）理解题意可知，计算出甲、乙、丙各购买4件共多少钱，即可求解．
【详解】（1）解：设营业员的基本工资为x元，买一件的奖励为y元．
由题意得，
解得，
即x的值为800，y的值为3；
（2）解：设一件甲为x元，一件乙为y元，一件丙为z元．
则可列方程组：，
将两等式相加得4x+4y+4z=600，则x+y+z=150，
答：购买一件甲、一件乙、一件丙共需150元．
【点睛】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
【即学即练】
1．（2023秋·安徽池州·七年级统考期末）一个三位数，各个数位上数字之和为10，百位数字比十位数字大1．如果百位数字与个位数字对调，则所得新数比原数的3倍还大61，那么原来的三位数是（ ）
A．325B．217C．433D．541
【答案】B
【分析】此题首先要掌握数字的表示方法，每个数位上的数字乘以位数再相加，设个位、十位、百位上的数字为，则原来的三位数表示为：，新数表示为：,故根据题意列三元一次方程组即可求得．
【详解】解：设个位、十位、百位上的数字为
依题意得：
,
解得
原来的三位数字是217
故选：B
【点睛】本题考查了三位数的表示方法和三元一次方程的解法，解答此题的关键是列出方程组，用代入消元法或加减消元法求出方程组的解．
2．（2021春·重庆黔江·七年级统考期末）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文，，，对应密文，，，．例如，明文，，，对应密文，，，．当接收方收到密文，，，时，则解密得到的明文为（ ）.
A．，，，B．，，，
C．，，，D．1，，，
【答案】C
【分析】根据题意可得，解出方程组，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
由①-②，得：⑤，
由④-③，得：⑥，
由⑥-⑤，得：，
把代入①，得：，
把代入⑤，得：，
把代入④，得：，
∴解密得到的明文为，，，，
故选：C.
【点睛】本题主要考查了多元方程组的应用，明确题意、准确得到等量关系是解题的关键．
3．（2022秋·重庆·七年级重庆实验外国语学校校考期中）在2022年的世界环境保护日的知识竞赛中，A校6人获一等奖，5人获二等奖，7人获三等奖，所获得奖品价值为1130元；B校获一等奖的人数比A校获二等奖的人数多60%，9人获二等奖，11人获三等奖，所获得的奖品价值为1730元；C校7人获一等奖，10人获二等奖，10人获三等奖；D校5人获一等奖，7人获二等奖，9人获三等奖．则C校和D校所获得的奖品价值之和为______元．
【答案】2930
【分析】设每份一等奖的价值为x元，每份二等奖的价值为y元，每份三等奖的价值为z元，根据题意列出方程组，由方程之间的变形表示出x和y的值，然后表示出C校和D校所获得的奖品价值之和求解即可．
【详解】解：设每份一等奖的价值为x元，每份二等奖的价值为y元，每份三等奖的价值为z元，
依题意得：
，
得，即
得，得
∴将代入③得，得
∵C校7人获一等奖，10人获二等奖，10人获三等奖；D校5人获一等奖，7人获二等奖，9人获三等奖，
∴C校和D校所获得的奖品价值之和为．
故答案为：2930．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
4．（2021春·广东江门·七年级江门市第二中学校考期中）一年一度的南开校运会即将开幕，“向阳”班的全体同学正在操场上进行开幕式的队列编排．如果安排三个同学走在队列前方举班牌和班旗，则剩下的同学正好可以编排成每行5人的长方形方阵．如果不举班旗，只由班主任兼数学老师李老师举班牌，并再邀请语文，英语和物理三科的任课老师一起参加，则这三位任课老师和所有同学正好可以编排成每行6人的长方形方阵．已知“向阳”班的学生人数超过40人但又不多于80人，则“向阳”班共有学生______名．
【答案】63
【分析】设每行5人的队列有a列，每行6人的队列有b列，班级共x人，列方程组，得到队列的人数是30的倍数，进而得到队列人数为60人，据此求出答案．
【详解】解：设每行5人的队列有a列，每行6人的队列有b列，班级共x人，则
，
∴队列的人数是5的倍数，也是6的倍数，即30的倍数，
∵班级的学生人数超过40人但又不多于80人，
∴队列人数为60人，
∴班级人数为x=60+3=63人，
故答案为：63．
【点睛】此题考查了三元一次方程组的应用，倍数的确定，正确理解题意得到队列人数为30的倍数是解题的关键．
5．（2023春·七年级课时练习）某校开展校园科技节系列活动，校学生会代表小明到文具店购买文具作为奖品．
(1)小明第一次购买若干个文具袋作为奖品，这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话图，求小明原计划购买文具袋多少个？
(2)小明第二次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元．经过沟通，这次老板给予8折优惠，钢笔和签字笔合计288元，问小明购买了钢笔和签字笔各多少支？
(3)如果小明用48元去购买单价为3元的铅笔，单价为8元的钢笔，单价为5元的笔记本若干（三样都要买，把48元恰好用完），问有哪几种购买方案？
【答案】(1)小明原计划购买文具袋13个
(2)小明购买了30支钢笔，20支签字笔
(3)一共有7种购买方案，见解析
【分析】（1）设小明原计划购买文具袋x个，利用总价单价数量，结合多买一个反而省11元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设小明购买了m支钢笔，n支签字笔，利用总价单价数量，结合购买两种笔共50支且共花费288元，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）设小明购买了a支铅笔，b支钢笔，c本笔记本，根据单价可列方程为，最后结合题意进行讨论即可．
【详解】（1）设小明原计划购买文具袋x个，
依题意得：，
解得：．
答：小明原计划购买文具袋13个．
（2）设小明购买了m支钢笔，n支签字笔，
依题意得：，
解得：．
答：小明购买了30支钢笔，20支签字笔．
（3）设小明购买了a支铅笔，b支钢笔，c本笔记本，
由题意得，
∵三样都要买，且把48元恰好用完，
∴有如下方案：
①当时，把48元恰好用完；
②当时，把48元恰好用完；
③当时，把48元恰好用完；
④当时，把48元恰好用完；
⑤当时，把48元恰好用完；
⑥当时，把48元恰好用完；
⑦当时，把48元恰好用完，
综上所述，一共有7种购买方案．
【点睛】本题考查了一元一次方程与二元一次方程组的实际应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
题组A 基础过关练
1．（2022秋·安徽·七年级周测）下列方程中，是三元一次方程的是（ ）
A．y＝2 015＋2xB．x＋y＝
C．xy＝zD．x＋y－z＝2 015
【答案】D
2．（2022春·福建龙岩·七年级统考期末）已知，，则y与x的关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】已知两等式相加消去k即可得到y与x的关系式．
【详解】解：联立得：，
①+②得：x+y=5．
故选：C．
【点睛】此题考查了解三元一次方程，利用了消元的思想，消去k是解本题的关键．
3．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）有甲、乙、丙三种商品，若购甲件、乙件、丙件，共需元；若购甲件、乙 件、丙件，共需元，则购甲、乙、丙三种商品各件共需 （ ）
A． 元B． 元C． 元D． 元
【答案】A
【分析】设甲件元、乙件元、丙件元，根据数量关系，列方程，解方程即可求解．
【详解】解：设甲件元、乙件元、丙件元，根据题意得，
，两个式子相加得，，
∴，即甲、乙、丙三种商品各件共需元，
故选：．
【点睛】本题主要考查三元一次方程与实际问题的综合应用，理解题目数量关系，列方程是解题的关键．
4．（2022春·湖北宜昌·七年级校考期中）已知方程组，则的值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】三个方程相加即可得到的值．
【详解】解：方程组，
三个方程相加得：，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查三元一次方程组的解，解得关键是明确解三元一次方程组的解答方法．
5．（2022秋·八年级课前预习）含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做________．
概念中的三个要点：①未知数的个数；②未知数的次数；③未知数同时满足三个等量关系．
三元一次方程组中各个方程的________，叫做这个三元一次方程组的解．
【答案】 三元一次方程组 公共解
6．（2022秋·八年级课时练习）若是一个三元一次方程，那么_______， ________．
【答案】 -1 0
【分析】根据三元一次方程的定义：含有三个未知数，未知数的次数都是1的方程，由此可得，解出即可得出答案．
【详解】由题意得：，
解得：．
故答案为：-1，0．
【点睛】本题考查了三元一次方程，解题关键是掌握三元一次方程的定义．
7．（2021春·山西忻州·七年级统考期末）我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解．同样地，适合三元一次方程的一对未知数的值叫做这个三元一次方程的一个解．请写出方程的一个正整数解______．
【答案】或或
【分析】利用“适合三元一次方程的一对未知数的值叫做这个三元一次方程的一个解”即可得出答案．
【详解】解：当时，成立；
当时，成立；
当时，成立；
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的解，熟练掌握概念是解题的关键．
8．（2023春·七年级课时练习）已知三元一次方程组，则________．
【答案】6
【分析】方程组中三个方程左右两边相加，变形即可得到x+y+z的值．
【详解】解：，
①+②+③，得
2x+2y+2z＝12，
∴x+y+z＝6，
故答案为:6．
【点睛】此题考查了解三元一次方程组，本题的技巧为将三个方程相加．
9．（2022秋·八年级课前预习）解方程组：
【答案】
【详解】解：①＋②，解得y＝8．
将y＝8代入②和③，
得，
解得，
所以原方程组的解为．
10．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知实数x，y满足①，②，求和的值．
本题常规思路是先将①，②两式联立组成方程组，解得x，y的值，再代入欲求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得，由①+②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
(1)已知二元一次方程组，则__________，_________．
(2)对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值．
【答案】(1)-1，5
(2)-11
【分析】（1）利用①-②可得x-y的值，利用（①+②）可得x+y的值；
（2）根据新运算的定义可得出a、b、c的三元一次方程组，由可得出a+b+c的值，即的值．
【详解】（1），
由①-②可得：x-y=-1，
由（①+②）可得：x+y=5，
故答案为：-1，5；
（2）依题意得：，
由可得：a+b+c=-11，
即= a+b+c=-11．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及三元一次方程组的应用，解题的关键是找出方程的关系并运用“整体思想”解方程．
题组B 能力提升练
1．（2022秋·河北邢台·七年级校考期末）设“■▲●”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，若要使第三架天平也平衡，则“？”处应该放“●”（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】设■，▲，●，由题可得，则可求解．
【详解】解：设■，▲，●，
，
，
又，
，
，
，
故选：C．
【点睛】题目主要考查三元一次方程的应用，理解题意，列出方程得出未知数的关系是解题关键．
2．（2022秋·安徽·七年级周测）购买铅笔7支，作业本3个，中性笔1支共需18元；购买铅笔10支，作业本4个，中性笔1支共需24元；则购买铅笔11支，作业木5个，中性笔2支共需（ ）
A．元B．元C．元D．元
【答案】D
【分析】设铅笔的单价为元，作业本的单价为元，中性笔的单价为元，然后根据购买铅笔7支，作业本3个，中性笔1支共需18元；购买铅笔10支，作业本4个，中性笔1支共需24元列出方程组求解即可
【详解】解：设铅笔的单价为元，作业本的单价为元，中性笔的单价为元，
依题意得，
用①×3-②得：，
购买铅笔支，作业木个，中性笔支共需元．
故选D．
【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的应用，正确理解题意列出方程组是解题的关键．
3．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知x，y，z满足 ，则的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】按照解三元一次方程组的步骤先求出、，后代入式子中进行计算即可解答．
【详解】解：，
由①+②得： ，
∴ ③，
将③代入①，得 ，
解得： ，
∴
=
=3，
故选：B．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，求代数式的值，熟练掌握解三元一次方程组的方法——代入消元法和加减消元法是解题的关键．
4．（2022春·福建泉州·七年级统考期末）若方程组 的解是，则的值是（ ）
A．－3B．0C．3D．6
【答案】A
【分析】先把代入原方程组，可得，由①-②可得，再把代入①，可得，然后代入，即可求解．
【详解】解：∵方程组 的解是，
∴，
由①-②得：，
∴，
把代入①，得：
，
∴，
∴．
故选：A
【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的解，解二元一次方程组，理解方程组的解就是使方程组中每一个方程都成立的未知数的值是解题的关键．
5．（2022春·上海·六年级校考期末）如果三元一次方程组为，那么x+y+z＝______．
【答案】9
【分析】三个方程相加可得结论．
【详解】解：将三元一次方程组中的三个方程相加得2x+2y+2z＝18，
∴x+y+z＝9．
故答案为：9．
【点睛】本题考查三元一次方程组，解题的关键是学会用整体思想解决问题，属于中考常考题型．
6．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）在关于、、的方程组，中，已知，那么、、从小到大的排列顺序应该是_____．
【答案】
【分析】利用方程之间的减法运算，再利用已知得出和的大小即可．
【详解】，
得，，，
，
得：，，
，
从小到大的排列顺序应该是，
故答案为：．
【点睛】本题考查三元一次方程组，利用方程之间的差得出，，间的大小关系．
7．（2022·重庆开州·校联考模拟预测）在刚刚结束的端午节中，商家为了实现销售额提升拓展途径．某商家推出了三种礼盒进行售卖，某商家将甜味粽、肉馅粽、咸鸭蛋共个，搭配为，，三种礼盒各一个，其中盒中有个甜味粽，个肉馅粽，个咸鸭蛋；盒中甜味粽与咸鸭蛋的数量之和等于肉馅粽的数量，甜味粽与咸鸭蛋的数量之比为；盒中有个甜味粽，个肉馅粽，个咸鸭蛋．经核算，盒的成本为元，盒的成本为元（每种礼盒的成本为该盒中甜味粽、肉馅粽、咸鸭蛋的成本之和），则盒的成本为______元．
【答案】
【分析】根据题意确定礼盒各种物品的数量，设出三种物品的价格列出方程组，进而可求盒的成本．
【详解】解：∵甜味粽、肉馅粽、咸鸭蛋共个；盒中有个甜味粽，个肉馅粽，个咸鸭蛋；盒中有个甜味粽，个肉馅粽，个咸鸭蛋，
∴盒中甜味粽、肉馅粽、咸鸭蛋共（个），
∵盒中甜味粽与咸鸭蛋的数量之和等于肉馅粽的数量，甜味粽与咸鸭蛋的数量之比为，
∴盒中有肉馅粽（个），
甜味粽有（个），
咸鸭蛋有（个）；
设甜味粽、肉馅粽、咸鸭蛋的成本价分别为元，元，元，则盒的成本为元，依题意得：
3×②－4×①，得：
，
∴，
∴盒的成本为元．
故答案为：．
【点睛】本题考查三元一次方程组的应用，列代数式，求代数式的值，运用了整体代入的思想．解题关键是根据题目信息求出盒中甜味粽、肉馅粽、咸鸭蛋的数量从而列出代数式表示盒的成本，并根据题意列出方程组．
8．（2021春·江西上饶·八年级统考阶段练习）幻方是一种将数字安排在正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等的方法．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格．如图1是由 1，2，3，4，5，6，7，8，9 九个数字组成的一个基本幻方，其对角线、横行、竖列的和都为15．如图2也是一个三阶幻方，中心格是 673；其他八个格中分别是：a，b，知，识，就，是，力，量（这里的字母a，b代表已知数）．则“就”代表的数是___（用含a，b的式子表示）．
【答案】2a＋b－1346
【分析】由幻方的含义可得：第二个幻方的横行，竖行，对角线的三数之和为2019，从而可得：量＝1346－a，知＝2019－a－b；再利用知＋就＋量＝2019，代入计算即可得到答案.
【详解】解：依题意，可得：量＋a＝2×673；
∴量＝1346－a
a＋b＋知＝3×673；
∴知＝2019－a－b；
而知＋就＋量＝3×673
∴(2019－a－b)＋就＋(1346－a)＝2019；
∴就＝2a＋b－1346
故答案为：2a＋b－1346
【点睛】本题考查的是列代数式，三元一次方程组的解法，正确理解题意列出相应的方程再解方程是解题的关键.
9．（2021春·上海长宁·六年级华东政法大学附属中学校考期末）解方程组：．
【答案】
【分析】利用消元的方法将三元一次方程组化为二元一次方程组，再利用消元的方法将二元一次方程组化为一元一次方程组，再求出未知数的值，将求出的未知数的值代入方程中求出另外两个未知数的值．
【详解】解：
由①得：
将④代入②和③中整理得：
得：
将代入⑤中得：
将，代入④中得：
∴该方程组的解为
【点睛】本题主要考查了用消元法解方程组，熟练掌握消元法解方程组是解答此题的关键．
10．（2022春·江苏·七年级专题练习）在学习绝对值后，我们知道，||表示数在数轴上的对应点与原点的距离．如：|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离．而|5|=|5－0|，即|5－0|也可理解为5、0在数轴上对应的两点之间的距离．类似的，|5－3|表示5与3之差的绝对值，也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如|x－3|的几何意义是数轴上表示数x的点与有理数3的点之间的距离，一般地，点A、B在数轴上分别表示数、，那么A、B之间的距离可表示为．
请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题：
（1）数轴上表示2和3的两点之间的距离是 ；数轴上表示数a的点与表示－2的点之间的距离表示为 ；
（2）数轴上点P表示的数是2，P、Q两点的距离为3，则点Q表示的数是 ；
（3）在数轴上的位置如下图所示，若=12，=7，=9，则等于 ；
【答案】（1）1；|a+2|；（2）5或-1；（3）4；
【分析】（1）根据两点之间的距离公式直接计算即可；
（2）设点Q表示的点为x，根据两点间的距离公式得到关于x的方程，解方程即可；
（3）根据题意，得到一个关系式，解方程组即可解答．
【详解】解：（1）根据题意，得：|3-2|=1，|a-（-2）|=|a+2|，
故答案为：1，|a+2|；
（2）设点Q表示的点为x，根据题意，得：|x-2|=3，
∴x-2=3，或x-2=-3，
解得：x=5或x=-1，
故答案为：5或-1；
（3）∵d＞a，d＞b，c＞a
∴= d-a，= d-b ，= c-a
可知：，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查绝对值与数轴的综合应用，解决此题时，能够熟练掌握绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数是解决此题的关键．
题组C 培优拔尖练
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）三角形幻方是锻炼思维的有趣数学问题，例：把数字1、2、3、…、9分别填入如图所示的9个圆圈内，要求和的每条边上三个圆圈内数字之和都等于18，则的和是（ ）
A．6B．15C．18D．24
【答案】B
【分析】把填入A，B，C三处圈内的三个数之和记为a；D，E，F三处圈内的三个数之和记为b；其余三个圈所填的数位之和为c．列出关于a，b，c的方程，进行求解即可．
【详解】解：把填入A，B，C三处圈内的三个数之和记为a；
D，E，F三处圈内的三个数之和记为b；
其余三个圈所填的数位之和为c．
显然有…①，
图中六条边，每条边上三个圈中之数的和为18，所以有②，
②﹣①，得③，
把，，每一边上三个圈中的数的和相加，则可得④，
联立③，④，解得，，
则．
故选：B．
【点睛】此题考查了三元一次方程组和二元一次方程组，读懂题意正确列出方程是解题的关键．
2．（2022秋·全国·八年级专题练习）《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其“方程”章中给出了“遍乘直除”的算法解方程组．比如，对于方程组，将其中数字排成长方形形式，然后执行如下步骤（如图）；第一步，将第二行的数乘以3，然后不断地减第一行，直到第二行第一个数变为0；第二步，对第三行做同样的操作，其余步骤都类似．其本质就是在消元．那么其中的a，b的值分别是（ ）
A．24，4B．17，4C．24，0D．17，0
【答案】A
【分析】根据题意逐步求解三元一次方程即可
【详解】解：
由，得，
由，得，
由，得，
∴，
由，得，
由，得，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是根据题干信息将方程组中的数字与图一一对应．
3．（2022秋·全国·八年级专题练习）我们探究得方程的正整数解只有1组，方程的正整数解只有2组，方程的正整数解只有3组，……，那么方程的正整数解的组数是（ ）
A．27B．28C．29D．30
【答案】B
【分析】先把x+y看作整体t，得到t+x=9的正整数解有7组；再分析x十y分别等于2、3、4、……、9时对应的正整数解组数；把所有组数相加即为总的解组数．
【详解】解：令x+y=t（t≥2），则t+z=9的正整数解有7组（t=2，1=3，t=4，……，t=8）
其中t=x+y=2的正整数解有1组，
t=x+y=3的正整数解有2组，
t=x+y=4的正整数解有3组
……，
t=x+y=8的正整数解有7组，
总的正整数解组数为：1+2+3+…+7=28．
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解和三元一次方程的解，可将三元方程里的两个未知数看作一个整休，再分别计算．
4．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）若 ，， 是从 ，， 这三个数中取值的一列数，且 ，，则在 ，， 中，取值为 的个数为 （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设其中有a个0，b个1，c个2，则；由，可得；由，可得；联立得到方程组，求解即可．
【详解】解：由，，…，是从0，1，2，这三个数中取值的一列数，设其中有a个0，b个1，c个2，则；
由，可得；
由，可得；
联立得到，
解得，
∴在 ，， 中，取值为的个数为．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了三元一次方程组的应用，读懂题意，正确列出方程组是解决问题的关键．
5．（2023春·七年级课时练习）已知x，y，z满足，且，则____________．
【答案】14
【分析】设，则整理得出，，，代入求得t，进一步代入求得x的值．
【详解】解：设，
则，，，
代入得：
解得：，
，
故答案为：14．
【点睛】此题考查三元一次方程组的解法，设出参数，利用参数表示其它未知数，是解题的关键．
6．（2023春·七年级课时练习）某校用一笔钱来购买，两种奖品，若购买24个种奖品和14个种奖品则差30元，若购买20个种奖品和18个种奖品则余20元，那么用这笔钱购买28个种奖品和10个种奖品差_________元．
【答案】80
【分析】设A种奖品的单价为a元，B种奖品的单价为b元，学校拿来购买奖品的钱数为c元，根据“购买24个A种奖品和14个B种奖品则差30元，购买20个A种奖品和18个B种奖品则余20元”，即可得出关于a，b，c的三元一次方程组，用①×2-②，即可求出用这笔钱购买28个A种奖品和10个B种奖品差80元．
【详解】解：设A种奖品的单价为a元，B种奖品的单价为b元，学校拿来购买奖品的钱数为c元，
依题意得：，
①×2-②得：28a+10b=c+80，
∴用这笔钱购买28个A种奖品和10个B种奖品差80元．
故答案为：80．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
7．（2022秋·八年级课时练习）某工厂A，B，C型生产线进行产品加工，每条生产线每天的产量之比为1：2：3，现甲、乙两公司计划各自租用该工厂8条生产线同时进行产品加工，且每种类型的生产线均租用，甲公司用6天恰好能加工完所需产品，乙公司用3天恰好能加工完所需产品，乙公司租用的B型生产线数量与甲公司相同，甲公司租用的A型生产线条数与乙公司租用的C型生产线条数相同，乙公司需加工的产品总量比甲公司少，则乙公司B型生产线有________条．
【答案】2
【分析】设甲租用型生产线分别为条，则乙租用型生产线分别为条，每条生产线每天的产量分别为，则甲租用的生产线每天的产量为，乙租用的生产线每天的产量为，根据题意列出方程，可得，由乙公司需加工的产品总量比甲公司少，可得，得出，结合，求得，根据是正整数，即可求解．
【详解】设甲租用型生产线分别为条，则乙租用型生产线分别为条，每条生产线每天的产量分别为，则甲租用的生产线每天的产量为，乙租用的生产线每天的产量为，根据题意得：
，是正整数，
，
乙公司需加工的产品总量比甲公司少，
，
即.
，
，
，
是正整数，
，
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
8．（2022秋·七年级单元测试）下表是某校七年级各班某月课外兴趣小组活动时间的统计表，其中各班同一兴趣小组每次活动时间相同．
（说明：活动次数为正整数）
科技小组每次活动时间为____________h，该年级4班这个月体育小组活动次数最多是____________次．
【答案】 1 8
【分析】设体育小组每次活动时间为a小时，科技小组每次活动时间为b小时，文艺小组每次活动时间为c小时，根据1、2、3班每班活动总时间列方程组求解即可；设该年级4班这个月体育小组活动次数为m，文艺小组活动次数为n，根据4班总活动时间列方程求得方程的正整数解即可；
【详解】解：设体育小组每次活动时间为a小时，科技小组每次活动时间为b小时，文艺小组每次活动时间为c小时，则
①-②得：c=0.5，
c=0.5代入①得：4a+6b=9，
③-②得： b=1，
4a+6b=9，a=0.75，
∴体育小组每次活动时间为0.75小时，科技小组每次活动时间为1小时，文艺小组每次活动时间为0.5小时；
设该年级4班这个月体育小组活动次数为m，文艺小组活动次数为n，则
0.75m+6+0.5n=13，
0.75m+0.5n=7，
1.5m+n=14，
∵m，n为正整数，
∴m=2，n=11或m=4，n=8或m=6，n=5或m=8，n=2；
m最大值为8次，
故答案为：1，8；
【点睛】本题考查了三元一次方程的实际应用，二元一次方程的正整数解，利用加减消元法解方程是解题关键．
9．（2023春·全国·七年级专题练习）在求代数式的值时，可以用整体求值的方法，化难为易．
例：已知，求的值．
解：①得：③
②③得：
∴的值为2．
(1)已知，求的值；
(2)马上期中了，班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元．通过还价，班委购买了本笔记本、支签字笔、支记号笔，只花了元，请问比原价购买节省了多少钱？
【答案】(1)
(2)节省了元
【分析】（1）方程组两方程左右两边相加，即可求出原式的值；
（2）设笔记本、签字笔、记号笔的价格分别为x元，y元，z元，根据题意列出方程，求出按照原价本笔记本、支签字笔、支记号笔花费总数，即可求出节省的钱数．
【详解】（1）解：（1），
①②得：，
则；
（2）设笔记本、签字笔、记号笔的价格分别为x元，y元，z元，
根据题意得：，
∴，
（元），
则比原价购买节省了元．
【点睛】此题考查了三元一次方程组的应用以及解三元一次方程组，代数式求值，弄清题意是解本题的关键，寻找代数式之间的倍数关系是解本题的关键．
10．（2021春·浙江杭州·七年级校考期中）阅读理解：已知实数x，y可满足……①，……②，求和值，仔细观察未知数系数之间的关系，如由可得，由可得．这就是通常说的“整体思想”．尝试利用“整体思想”，解决下列问题：
(1)已知二元一次方程组，则___________，___________；
(2)买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，求购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需多少元？
(3)对于实数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值．
【答案】(1)；6
(2)购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元
(3)
【分析】（1）利用可得出的值，利用可得出的值；
（2）设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，根据“买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元”，即可得出关于，，的三元一次方程组，由可得出的值，再乘5即可求出结论；
（3）根据新运算的定义可得出关于，，的三元一次方程组，由可得出的值，即的值．
【详解】（1）解：，
由可得：，
由可得：．
故答案为：；6．
（2）解：设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，
依题意，得：，
由可得，
．
答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元．
（3）解：依题意，得：，
由可得：，
，
即．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及三元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）运用“整体思想”求出，的值；（2）（3）找准等量关系，正确列出三元一次方程组．
收费出口编号
①，②
②，③
③，④
④，⑤
⑤，①
通过汽车数量（辆）
80
100
70
130
120
营业员
小丽
小华
月销售件数（件）
200
150
月总收入（元）
1400
1250
体育小组
活动次数
科技小组
活动次数
文艺小组
活动次数
课外兴趣小组
活动总时间（单位：h）
1
4
6
5
11.5
2
4
6
4
11
3
4
7
4
12
4
6
13
2、掌握三元一次方程组在实际问题中的应用；
知识点01 三元一次方程组的概念与解法
【知识点】
概念：含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是一次，叫做三元一次方程组。方程组中，少于3个方程，则无法求所有未知数的解，故一般的三元一次方程是三个方程组成的方程组。
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，将“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程。
他们主要的解法就是加减消元法和代入消元法，通常采用加减消元法，若方程难解就用代入消元法，因题而异。其思路都是利用消元法逐步消元。
步骤：①利用代入法或加减法，消去一个未知数，得出一个二元一次方程组；
②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值；
③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。
【典型例题】
例1．（2022·全国·七年级专题练习）已知代数式，当时，其值为4；当时，其值为8；当时，其值为25；则当时，其值为（ ）
A．4B．8C．62D．52
例2．（2022春·湖南永州·七年级统考期中）已知方程组，则的值为（ ）
A．5B．10C．12D．不确定
例3．（2022秋·山东青岛·八年级统考期末）若三元一次方程组的解使，则的值是__________．
例4．（2023春·七年级课时练习）把三元一次方程组化为关于x、y的二元一次方程组_______．
例5．（2022春·广东东莞·七年级统考期中）解方程组：．
例6．（2022秋·八年级课时练习）探索创新完成下面的探索过程：
给定方程组，如果令=A，=B，=C，则方程组变成______；
解出这个新方程组（要求写出解新方程组的过程），得出A，B，C的值，从而得到：x= ______；y=______；z= ______．
【即学即练】
1．（2023春·七年级课时练习）解三元一次方程组，如果消掉未知数z，则应对方程组变形为（ ）
A．① +③ ，① ×2﹣②B．① +③ ，③ ×2+②C．②﹣① ，②﹣③D．①﹣② ，① ×2﹣③
2．（2023春·七年级课时练习）已知关于x、y的方程组的解满足2x﹣y＝2k，则k的值为（ ）
A．kB．kC．kD．k
3．（2023春·七年级课时练习）若，和有公共解，则的值是___________
4．（2022秋·全国·七年级期末）当和时，代数式的值分别为20和40．则___________．
5．（2023春·全国·七年级专题练习）解三元一次方程组．
知识点02 三元一次方程组的应用
【典型例题】
例1．（2022秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需64元；若购甲4件、乙10件、丙1件，共需79元；现购甲、乙、丙各一件，共需（ ）元
A．33B．34C．35D．36
例2．（2022春·浙江舟山·七年级统考期末）根据舟山市政府疫情防控要求，所有进入舟山车辆要在金塘服务区下高速，接受防疫检查．已知金塘收费站出口有编号为①，②，③，④，⑤的五个收费出口，假定各收费出口每小时通过的车流量是不变的，同时开放其中两个收费出口，统计这两个出口1小时一共通过的汽车的数量记录如下
则下列说法错误的是：（ ）A．①出口1小时通过汽车的数量最少；
B．⑤出口1小时通过汽车的数量最多；
C．②出口1小时通过汽车的数量是④出口的两倍：
D．①和④出口1小时通过汽车的数量之和等于③出口1小时通过的汽车数量．
例3．（2023秋·重庆·七年级校考期末）在春节来临之际，京东商城推出、、三种礼盒，如果购买礼盒3盒、礼盒2盒和礼盒2盒，则需付人民币2200元；如果购买礼盒4盒、礼盒3盒和礼盒5盒，则需付人民币3150元；李老板预计购买礼盒5盒、礼盒4盒和礼盒8盒送亲戚朋友，则共需付人民币_______元．
例4．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）晨光文具店有一套体育用品：个排球，个足球和个篮球，一套售价元，也可以单独出售，如果单独出售，每个球只能用同一种面额的所有钞票去购买．小明共有元、 元、元三种面额的钞票若干张，刚好购买一套体育用品，且最小面额的钞票的张数恰好等于另外两种面额钞票张数乘积的倍，则单独购买排球、足球或篮球，花钱最少的一个球的单价是____元．
例5．（2023春·七年级课时练习）例3．林芳、向民、艳君三位同学去商店买文具用品，林芳说：“我买了4支水笔，2本笔记本，10本作文本共用了19元.”向民说：“我买了2支水笔，3本笔记本，10本练习本共用了20元，”艳君说：“我买了12本练习本，8本作文本共用了10元；作文本与练习本的价格是一样哦！”请根据以上内容，求出笔记本，水笔，练习本的价格．
例6．（2023春·全国·七年级专题练习）小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资+计件奖金”的方法，并获得如下信息：
假设营业员的月基本工资为x元，销售每件服装奖励y元．
(1)求x、y的值；
(2)如果在商场购买甲3件，乙2件，丙1件共需315元；如果购买甲1件，乙2件，丙3件共需285元．某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需多少元？
【即学即练】
1．（2023秋·安徽池州·七年级统考期末）一个三位数，各个数位上数字之和为10，百位数字比十位数字大1．如果百位数字与个位数字对调，则所得新数比原数的3倍还大61，那么原来的三位数是（ ）
A．325B．217C．433D．541
2．（2021春·重庆黔江·七年级统考期末）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文，，，对应密文，，，．例如，明文，，，对应密文，，，．当接收方收到密文，，，时，则解密得到的明文为（ ）.
A．，，，B．，，，
C．，，，D．1，，，
3．（2022秋·重庆·七年级重庆实验外国语学校校考期中）在2022年的世界环境保护日的知识竞赛中，A校6人获一等奖，5人获二等奖，7人获三等奖，所获得奖品价值为1130元；B校获一等奖的人数比A校获二等奖的人数多60%，9人获二等奖，11人获三等奖，所获得的奖品价值为1730元；C校7人获一等奖，10人获二等奖，10人获三等奖；D校5人获一等奖，7人获二等奖，9人获三等奖．则C校和D校所获得的奖品价值之和为______元．
4．（2021春·广东江门·七年级江门市第二中学校考期中）一年一度的南开校运会即将开幕，“向阳”班的全体同学正在操场上进行开幕式的队列编排．如果安排三个同学走在队列前方举班牌和班旗，则剩下的同学正好可以编排成每行5人的长方形方阵．如果不举班旗，只由班主任兼数学老师李老师举班牌，并再邀请语文，英语和物理三科的任课老师一起参加，则这三位任课老师和所有同学正好可以编排成每行6人的长方形方阵．已知“向阳”班的学生人数超过40人但又不多于80人，则“向阳”班共有学生______名．
5．（2023春·七年级课时练习）某校开展校园科技节系列活动，校学生会代表小明到文具店购买文具作为奖品．
(1)小明第一次购买若干个文具袋作为奖品，这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话图，求小明原计划购买文具袋多少个？
(2)小明第二次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元．经过沟通，这次老板给予8折优惠，钢笔和签字笔合计288元，问小明购买了钢笔和签字笔各多少支？
(3)如果小明用48元去购买单价为3元的铅笔，单价为8元的钢笔，单价为5元的笔记本若干（三样都要买，把48元恰好用完），问有哪几种购买方案？
题组A 基础过关练
1．（2022秋·安徽·七年级周测）下列方程中，是三元一次方程的是（ ）
A．y＝2 015＋2xB．x＋y＝
C．xy＝zD．x＋y－z＝2 015
2．（2022春·福建龙岩·七年级统考期末）已知，，则y与x的关系是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）有甲、乙、丙三种商品，若购甲件、乙件、丙件，共需元；若购甲件、乙 件、丙件，共需元，则购甲、乙、丙三种商品各件共需 （ ）
A． 元B． 元C． 元D． 元
4．（2022春·湖北宜昌·七年级校考期中）已知方程组，则的值是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022秋·八年级课前预习）含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做________．
概念中的三个要点：①未知数的个数；②未知数的次数；③未知数同时满足三个等量关系．
三元一次方程组中各个方程的________，叫做这个三元一次方程组的解．
6．（2022秋·八年级课时练习）若是一个三元一次方程，那么_______， ________．
7．（2021春·山西忻州·七年级统考期末）我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解．同样地，适合三元一次方程的一对未知数的值叫做这个三元一次方程的一个解．请写出方程的一个正整数解______．
8．（2023春·七年级课时练习）已知三元一次方程组，则________．
9．（2022秋·八年级课前预习）解方程组：
10．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知实数x，y满足①，②，求和的值．
本题常规思路是先将①，②两式联立组成方程组，解得x，y的值，再代入欲求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得，由①+②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
(1)已知二元一次方程组，则__________，_________．
(2)对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值．
题组B 能力提升练
1．（2022秋·河北邢台·七年级校考期末）设“■▲●”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，若要使第三架天平也平衡，则“？”处应该放“●”（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2022秋·安徽·七年级周测）购买铅笔7支，作业本3个，中性笔1支共需18元；购买铅笔10支，作业本4个，中性笔1支共需24元；则购买铅笔11支，作业木5个，中性笔2支共需（ ）
A．元B．元C．元D．元
3．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知x，y，z满足 ，则的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．（2022春·福建泉州·七年级统考期末）若方程组 的解是，则的值是（ ）
A．－3B．0C．3D．6
5．（2022春·上海·六年级校考期末）如果三元一次方程组为，那么x+y+z＝______．
6．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）在关于、、的方程组，中，已知，那么、、从小到大的排列顺序应该是_____．
7．（2022·重庆开州·校联考模拟预测）在刚刚结束的端午节中，商家为了实现销售额提升拓展途径．某商家推出了三种礼盒进行售卖，某商家将甜味粽、肉馅粽、咸鸭蛋共个，搭配为，，三种礼盒各一个，其中盒中有个甜味粽，个肉馅粽，个咸鸭蛋；盒中甜味粽与咸鸭蛋的数量之和等于肉馅粽的数量，甜味粽与咸鸭蛋的数量之比为；盒中有个甜味粽，个肉馅粽，个咸鸭蛋．经核算，盒的成本为元，盒的成本为元（每种礼盒的成本为该盒中甜味粽、肉馅粽、咸鸭蛋的成本之和），则盒的成本为______元．
8．（2021春·江西上饶·八年级统考阶段练习）幻方是一种将数字安排在正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等的方法．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格．如图1是由 1，2，3，4，5，6，7，8，9 九个数字组成的一个基本幻方，其对角线、横行、竖列的和都为15．如图2也是一个三阶幻方，中心格是 673；其他八个格中分别是：a，b，知，识，就，是，力，量（这里的字母a，b代表已知数）．则“就”代表的数是___（用含a，b的式子表示）．
9．（2021春·上海长宁·六年级华东政法大学附属中学校考期末）解方程组：．
10．（2022春·江苏·七年级专题练习）在学习绝对值后，我们知道，||表示数在数轴上的对应点与原点的距离．如：|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离．而|5|=|5－0|，即|5－0|也可理解为5、0在数轴上对应的两点之间的距离．类似的，|5－3|表示5与3之差的绝对值，也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如|x－3|的几何意义是数轴上表示数x的点与有理数3的点之间的距离，一般地，点A、B在数轴上分别表示数、，那么A、B之间的距离可表示为．
请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题：
（1）数轴上表示2和3的两点之间的距离是 ；数轴上表示数a的点与表示－2的点之间的距离表示为 ；
（2）数轴上点P表示的数是2，P、Q两点的距离为3，则点Q表示的数是 ；
（3）在数轴上的位置如下图所示，若=12，=7，=9，则等于 ；
题组C 培优拔尖练
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）三角形幻方是锻炼思维的有趣数学问题，例：把数字1、2、3、…、9分别填入如图所示的9个圆圈内，要求和的每条边上三个圆圈内数字之和都等于18，则的和是（ ）
A．6B．15C．18D．24
2．（2022秋·全国·八年级专题练习）《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其“方程”章中给出了“遍乘直除”的算法解方程组．比如，对于方程组，将其中数字排成长方形形式，然后执行如下步骤（如图）；第一步，将第二行的数乘以3，然后不断地减第一行，直到第二行第一个数变为0；第二步，对第三行做同样的操作，其余步骤都类似．其本质就是在消元．那么其中的a，b的值分别是（ ）
A．24，4B．17，4C．24，0D．17，0
3．（2022秋·全国·八年级专题练习）我们探究得方程的正整数解只有1组，方程的正整数解只有2组，方程的正整数解只有3组，……，那么方程的正整数解的组数是（ ）
A．27B．28C．29D．30
4．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）若 ，， 是从 ，， 这三个数中取值的一列数，且 ，，则在 ，， 中，取值为 的个数为 （ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·七年级课时练习）已知x，y，z满足，且，则____________．
6．（2023春·七年级课时练习）某校用一笔钱来购买，两种奖品，若购买24个种奖品和14个种奖品则差30元，若购买20个种奖品和18个种奖品则余20元，那么用这笔钱购买28个种奖品和10个种奖品差_________元．
7．（2022秋·八年级课时练习）某工厂A，B，C型生产线进行产品加工，每条生产线每天的产量之比为1：2：3，现甲、乙两公司计划各自租用该工厂8条生产线同时进行产品加工，且每种类型的生产线均租用，甲公司用6天恰好能加工完所需产品，乙公司用3天恰好能加工完所需产品，乙公司租用的B型生产线数量与甲公司相同，甲公司租用的A型生产线条数与乙公司租用的C型生产线条数相同，乙公司需加工的产品总量比甲公司少，则乙公司B型生产线有________条．
8．（2022秋·七年级单元测试）下表是某校七年级各班某月课外兴趣小组活动时间的统计表，其中各班同一兴趣小组每次活动时间相同．
（说明：活动次数为正整数）
科技小组每次活动时间为____________h，该年级4班这个月体育小组活动次数最多是____________次．
9．（2023春·全国·七年级专题练习）在求代数式的值时，可以用整体求值的方法，化难为易．
例：已知，求的值．
解：①得：③
②③得：
∴的值为2．
(1)已知，求的值；
(2)马上期中了，班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元．通过还价，班委购买了本笔记本、支签字笔、支记号笔，只花了元，请问比原价购买节省了多少钱？
10．（2021春·浙江杭州·七年级校考期中）阅读理解：已知实数x，y可满足……①，……②，求和值，仔细观察未知数系数之间的关系，如由可得，由可得．这就是通常说的“整体思想”．尝试利用“整体思想”，解决下列问题：
(1)已知二元一次方程组，则___________，___________；
(2)买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，求购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需多少元？
(3)对于实数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值．
收费出口编号
①，②
②，③
③，④
④，⑤
⑤，①
通过汽车数量（辆）
80
100
70
130
120
营业员
小丽
小华
月销售件数（件）
200
150
月总收入（元）
1400
1250
体育小组
活动次数
科技小组
活动次数
文艺小组
活动次数
课外兴趣小组
活动总时间（单位：h）
1
4
6
5
11.5
2
4
6
4
11
3
4
7
4
12
4
6
13
专题2.5 三元一次方程组及其解法
1、掌握三元一次方程组的概念及其解法；
2、掌握三元一次方程组在实际问题中的应用；
知识点01 三元一次方程组的概念与解法
【知识点】
概念：含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是一次，叫做三元一次方程组。方程组中，少于3个方程，则无法求所有未知数的解，故一般的三元一次方程是三个方程组成的方程组。
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，将“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程。
他们主要的解法就是加减消元法和代入消元法，通常采用加减消元法，若方程难解就用代入消元法，因题而异。其思路都是利用消元法逐步消元。
步骤：①利用代入法或加减法，消去一个未知数，得出一个二元一次方程组；
②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值；
③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。
【典型例题】
例1．（2022·全国·七年级专题练习）已知代数式，当时，其值为4；当时，其值为8；当时，其值为25；则当时，其值为（ ）
A．4B．8C．62D．52
【答案】D
【分析】根据已知条件可知，由此解方程组求出a、b、c的值即可得到答案．
【详解】解：由题意得
用①+②得：④，
用①×2+③得：⑤，
用⑤－④得：，
把代入④得：，解得，
把，代入①得：，解得，
∴当时，，
故选D．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，解三元一次方程，正确建立三元一次方程组求出a、b、c的值是解题的关键．
例2．（2022春·湖南永州·七年级统考期中）已知方程组，则的值为（ ）
A．5B．10C．12D．不确定
【答案】C
【分析】将3x+7y+z=22乘以2减去5x+13y+z=32即可得到解答．
【详解】解：由题意得：
将3x+7y+z=22乘以2得：6x+14y+2z=44，
再将其减去5x+13y+z=32得：x+y+z=12，
故选C．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，能选择适当的方法求解是解决此题的关键．
例3．（2022秋·山东青岛·八年级统考期末）若三元一次方程组的解使，则的值是__________．
【答案】
【分析】先将三元一次方程组解得，代入即可求得的值．
【详解】解：，
得：，
得：，解得，
把代入得，，
把代入得：，
三元一次方程组的解为：，
把代入得，，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，学会采用消元法和代入法解三元一次方程组是解题的关键．
例4．（2023春·七年级课时练习）把三元一次方程组化为关于x、y的二元一次方程组_______．
【答案】
【分析】利用加减消元法消掉未知数化成关于x、y的二元一次方程组．
【详解】解：，
①②得：，
②③得：，
方程组为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三元一次方程组、二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法．
例5．（2022春·广东东莞·七年级统考期中）解方程组：．
【答案】
【分析】①②得：④，把③代入④求出x，把代入③求出y，再把，代入①求出z即可．
【详解】解：，
①②得：
④，
把③代入④得：
，
解得：，
把代入③得：
，
把，代入①得：
，
解得：，
原方程组的解为：．
【点睛】此题考查了解三元一次方程组，正确掌握三元一次方程组的解法是解题的关键．
例6．（2022秋·八年级课时练习）探索创新完成下面的探索过程：
给定方程组，如果令=A，=B，=C，则方程组变成______；
解出这个新方程组（要求写出解新方程组的过程），得出A，B，C的值，从而得到：x= ______；y=______；z= ______．
【答案】；解方程组过程见解析；；；
【分析】根据换元法可以将原方程组化为，①+②+③得出然后分别求出A、B、C的值即可．
【详解】解：令=A，=B，=C，则方程组可变为：，
①+②+③得，
得：，
得：，
得：，
∴，
解得：．
【点睛】本题主要考查了换元法解方程组，根据题意得出，是解题的关键．
【即学即练】
1．（2023春·七年级课时练习）解三元一次方程组，如果消掉未知数z，则应对方程组变形为（ ）
A．① +③ ，① ×2﹣②B．① +③ ，③ ×2+②C．②﹣① ，②﹣③D．①﹣② ，① ×2﹣③
【答案】C
【分析】注意到方程组z前面的系数都为1，所以直接相减消去
【详解】得：
得：
方程组变形为，刚好消去z
故选：C
【点睛】本题考查对三元一次方程组的消元，善于观察是解题关键．
2．（2023春·七年级课时练习）已知关于x、y的方程组的解满足2x﹣y＝2k，则k的值为（ ）
A．kB．kC．kD．k
【答案】A
【分析】根据得出，，然后代入中即可求解．
【详解】解：，
①+②得，
∴③，
①﹣③得：，
②﹣③得：，
∵，
∴，
解得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，根据题意得出的代数式是解题的关键．
3．（2023春·七年级课时练习）若，和有公共解，则的值是___________
【答案】
【分析】根据题意：，和有公共解，联立方程组，解出即可得出的值．
【详解】解：∵，和有公共解，
∴可得：，
解得：，
∴的值是．
故答案为：
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，解本题的关键在理解三个方程有公共解．
4．（2022秋·全国·七年级期末）当和时，代数式的值分别为20和40．则___________．
【答案】5
【分析】分别代入分别把和代入中得，利用解方程的知识可得答案；
【详解】解：分别把和代入中得 ，两方程相加得2c=10，c=5，
故答案为5．
【点睛】本题考查了代数式求值，分别分别把和代入中是解题
5．（2023春·全国·七年级专题练习）解三元一次方程组．
【答案】
【分析】先由①×2-②消去y，①×3+③消去y，得到，转化为解关于x，z的二元一次方程组，据此解答．
【详解】解：
①×2-②，得
①×3+③，得
解方程组
解得
把代入①，得，
所以原方程组的解为 ．
【点睛】本题考查加减消元法解三元一次方程组，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
知识点02 三元一次方程组的应用
【典型例题】
例1．（2022秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需64元；若购甲4件、乙10件、丙1件，共需79元；现购甲、乙、丙各一件，共需（ ）元
A．33B．34C．35D．36
【答案】B
【分析】设购甲每件元，购乙每件元，购丙每件元．列方程组得：，然后求得的值．
【详解】解：设购甲每件元，购乙每件元，购丙每件元．
列方程组得：，
①②得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用．根据系数特点，通过加减，得到一个整体，然后整体求解．
例2．（2022春·浙江舟山·七年级统考期末）根据舟山市政府疫情防控要求，所有进入舟山车辆要在金塘服务区下高速，接受防疫检查．已知金塘收费站出口有编号为①，②，③，④，⑤的五个收费出口，假定各收费出口每小时通过的车流量是不变的，同时开放其中两个收费出口，统计这两个出口1小时一共通过的汽车的数量记录如下
则下列说法错误的是：（ ）A．①出口1小时通过汽车的数量最少；
B．⑤出口1小时通过汽车的数量最多；
C．②出口1小时通过汽车的数量是④出口的两倍：
D．①和④出口1小时通过汽车的数量之和等于③出口1小时通过的汽车数量．
【答案】D
【分析】设金塘收费站出口有编号为①，②，③，④，⑤的五个收费出口每小时通过车的数量分别为a辆、b辆、c辆、d辆、e辆．根据表格中的数据列出方程组并解答．
【详解】解：设金塘收费站出口有编号为①，②，③，④，⑤的五个收费出口每小时通过车的数量分别为a辆、b辆、c辆、d辆、e辆，
根据题意，得．
解得．
所以a＜d＜c＜b＜e，b=2d，a+d＞c．
所以①出口1小时通过汽车的数量最少，⑤出口1小时通过汽车的数量最多，②出口1小时通过汽车的数量是④出口的两倍，①和④出口1小时通过汽车的数量之和大于③出口1小时通过的汽车数量．
观察选项，只有选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查多元一次方程组，解题的关键的读懂题意，找到等量关系，列出方程组．
例3．（2023秋·重庆·七年级校考期末）在春节来临之际，京东商城推出、、三种礼盒，如果购买礼盒3盒、礼盒2盒和礼盒2盒，则需付人民币2200元；如果购买礼盒4盒、礼盒3盒和礼盒5盒，则需付人民币3150元；李老板预计购买礼盒5盒、礼盒4盒和礼盒8盒送亲戚朋友，则共需付人民币_______元．
【答案】4100
【分析】设礼盒元，礼盒元，礼盒元，根据题意列方程组，根据问题进行方程之间的结合；
【详解】解：设礼盒元，礼盒元，礼盒元，由题意得，
，
得，，
得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查三元一次方程的应用，观察各未知数系数之间的关系是解题关键．
例4．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）晨光文具店有一套体育用品：个排球，个足球和个篮球，一套售价元，也可以单独出售，如果单独出售，每个球只能用同一种面额的所有钞票去购买．小明共有元、 元、元三种面额的钞票若干张，刚好购买一套体育用品，且最小面额的钞票的张数恰好等于另外两种面额钞票张数乘积的倍，则单独购买排球、足球或篮球，花钱最少的一个球的单价是____元．
【答案】
【分析】设元、 元、元的钞票分别由、、张，根据数量关系列方程，根据题意解方程组即可求解．
【详解】解：设元、 元、元的钞票分别由、、张，
∴，整理得，，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，；
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，不符合题意，舍去；
∴元、 元、元的钞票分别由、、张，
∴单独购买排球、足球或篮球，花钱最少的一个球的单价元，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查三元一次方程组的应用，找出数量关系，列出方程，并根据实际情况讨论各未知数的取值是解题的关键．
例5．（2023春·七年级课时练习）例3．林芳、向民、艳君三位同学去商店买文具用品，林芳说：“我买了4支水笔，2本笔记本，10本作文本共用了19元.”向民说：“我买了2支水笔，3本笔记本，10本练习本共用了20元，”艳君说：“我买了12本练习本，8本作文本共用了10元；作文本与练习本的价格是一样哦！”请根据以上内容，求出笔记本，水笔，练习本的价格．
【答案】笔记本每本的价格是4元，水笔每支1.5元，练习本每本0.5元.
【分析】设笔记本每本的价格是x元，水笔每支y元，练习本或作文本每本的价格为z元，根据林芳、向民、艳君三个人的话可以建立三个方程，从而构成三元一次方程组，求出其解即可.
【详解】设笔记本每本的价格是x元，水笔每支y元，练习本或作文本每本的价格为z元，
由题意得
解得
答：笔记本每本的价格是4元，水笔每支1.5元，练习本每本0.5元.
【点睛】本题考查了列三元一次方程组解实际问题的运用，三元一次方程组的解法的运用，解答时找准等量关系建立方程是关键．
例6．（2023春·全国·七年级专题练习）小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资+计件奖金”的方法，并获得如下信息：
假设营业员的月基本工资为x元，销售每件服装奖励y元．
(1)求x、y的值；
(2)如果在商场购买甲3件，乙2件，丙1件共需315元；如果购买甲1件，乙2件，丙3件共需285元．某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需多少元？
【答案】(1)x的值为800，y的值为3
(2)购买一件甲、一件乙、一件丙共需150元
【分析】（1）通过理解题意可知此题存在两个等量关系，即小丽的基本工资+提成=1400元，小华的基本工资+提成=1250元，列方程组求解即可；
（2）理解题意可知，计算出甲、乙、丙各购买4件共多少钱，即可求解．
【详解】（1）解：设营业员的基本工资为x元，买一件的奖励为y元．
由题意得，
解得，
即x的值为800，y的值为3；
（2）解：设一件甲为x元，一件乙为y元，一件丙为z元．
则可列方程组：，
将两等式相加得4x+4y+4z=600，则x+y+z=150，
答：购买一件甲、一件乙、一件丙共需150元．
【点睛】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
【即学即练】
1．（2023秋·安徽池州·七年级统考期末）一个三位数，各个数位上数字之和为10，百位数字比十位数字大1．如果百位数字与个位数字对调，则所得新数比原数的3倍还大61，那么原来的三位数是（ ）
A．325B．217C．433D．541
【答案】B
【分析】此题首先要掌握数字的表示方法，每个数位上的数字乘以位数再相加，设个位、十位、百位上的数字为，则原来的三位数表示为：，新数表示为：,故根据题意列三元一次方程组即可求得．
【详解】解：设个位、十位、百位上的数字为
依题意得：
,
解得
原来的三位数字是217
故选：B
【点睛】本题考查了三位数的表示方法和三元一次方程的解法，解答此题的关键是列出方程组，用代入消元法或加减消元法求出方程组的解．
2．（2021春·重庆黔江·七年级统考期末）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文，，，对应密文，，，．例如，明文，，，对应密文，，，．当接收方收到密文，，，时，则解密得到的明文为（ ）.
A．，，，B．，，，
C．，，，D．1，，，
【答案】C
【分析】根据题意可得，解出方程组，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
由①-②，得：⑤，
由④-③，得：⑥，
由⑥-⑤，得：，
把代入①，得：，
把代入⑤，得：，
把代入④，得：，
∴解密得到的明文为，，，，
故选：C.
【点睛】本题主要考查了多元方程组的应用，明确题意、准确得到等量关系是解题的关键．
3．（2022秋·重庆·七年级重庆实验外国语学校校考期中）在2022年的世界环境保护日的知识竞赛中，A校6人获一等奖，5人获二等奖，7人获三等奖，所获得奖品价值为1130元；B校获一等奖的人数比A校获二等奖的人数多60%，9人获二等奖，11人获三等奖，所获得的奖品价值为1730元；C校7人获一等奖，10人获二等奖，10人获三等奖；D校5人获一等奖，7人获二等奖，9人获三等奖．则C校和D校所获得的奖品价值之和为______元．
【答案】2930
【分析】设每份一等奖的价值为x元，每份二等奖的价值为y元，每份三等奖的价值为z元，根据题意列出方程组，由方程之间的变形表示出x和y的值，然后表示出C校和D校所获得的奖品价值之和求解即可．
【详解】解：设每份一等奖的价值为x元，每份二等奖的价值为y元，每份三等奖的价值为z元，
依题意得：
，
得，即
得，得
∴将代入③得，得
∵C校7人获一等奖，10人获二等奖，10人获三等奖；D校5人获一等奖，7人获二等奖，9人获三等奖，
∴C校和D校所获得的奖品价值之和为．
故答案为：2930．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
4．（2021春·广东江门·七年级江门市第二中学校考期中）一年一度的南开校运会即将开幕，“向阳”班的全体同学正在操场上进行开幕式的队列编排．如果安排三个同学走在队列前方举班牌和班旗，则剩下的同学正好可以编排成每行5人的长方形方阵．如果不举班旗，只由班主任兼数学老师李老师举班牌，并再邀请语文，英语和物理三科的任课老师一起参加，则这三位任课老师和所有同学正好可以编排成每行6人的长方形方阵．已知“向阳”班的学生人数超过40人但又不多于80人，则“向阳”班共有学生______名．
【答案】63
【分析】设每行5人的队列有a列，每行6人的队列有b列，班级共x人，列方程组，得到队列的人数是30的倍数，进而得到队列人数为60人，据此求出答案．
【详解】解：设每行5人的队列有a列，每行6人的队列有b列，班级共x人，则
，
∴队列的人数是5的倍数，也是6的倍数，即30的倍数，
∵班级的学生人数超过40人但又不多于80人，
∴队列人数为60人，
∴班级人数为x=60+3=63人，
故答案为：63．
【点睛】此题考查了三元一次方程组的应用，倍数的确定，正确理解题意得到队列人数为30的倍数是解题的关键．
5．（2023春·七年级课时练习）某校开展校园科技节系列活动，校学生会代表小明到文具店购买文具作为奖品．
(1)小明第一次购买若干个文具袋作为奖品，这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话图，求小明原计划购买文具袋多少个？
(2)小明第二次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元．经过沟通，这次老板给予8折优惠，钢笔和签字笔合计288元，问小明购买了钢笔和签字笔各多少支？
(3)如果小明用48元去购买单价为3元的铅笔，单价为8元的钢笔，单价为5元的笔记本若干（三样都要买，把48元恰好用完），问有哪几种购买方案？
【答案】(1)小明原计划购买文具袋13个
(2)小明购买了30支钢笔，20支签字笔
(3)一共有7种购买方案，见解析
【分析】（1）设小明原计划购买文具袋x个，利用总价单价数量，结合多买一个反而省11元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设小明购买了m支钢笔，n支签字笔，利用总价单价数量，结合购买两种笔共50支且共花费288元，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）设小明购买了a支铅笔，b支钢笔，c本笔记本，根据单价可列方程为，最后结合题意进行讨论即可．
【详解】（1）设小明原计划购买文具袋x个，
依题意得：，
解得：．
答：小明原计划购买文具袋13个．
（2）设小明购买了m支钢笔，n支签字笔，
依题意得：，
解得：．
答：小明购买了30支钢笔，20支签字笔．
（3）设小明购买了a支铅笔，b支钢笔，c本笔记本，
由题意得，
∵三样都要买，且把48元恰好用完，
∴有如下方案：
①当时，把48元恰好用完；
②当时，把48元恰好用完；
③当时，把48元恰好用完；
④当时，把48元恰好用完；
⑤当时，把48元恰好用完；
⑥当时，把48元恰好用完；
⑦当时，把48元恰好用完，
综上所述，一共有7种购买方案．
【点睛】本题考查了一元一次方程与二元一次方程组的实际应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
题组A 基础过关练
1．（2022秋·安徽·七年级周测）下列方程中，是三元一次方程的是（ ）
A．y＝2 015＋2xB．x＋y＝
C．xy＝zD．x＋y－z＝2 015
【答案】D
2．（2022春·福建龙岩·七年级统考期末）已知，，则y与x的关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】已知两等式相加消去k即可得到y与x的关系式．
【详解】解：联立得：，
①+②得：x+y=5．
故选：C．
【点睛】此题考查了解三元一次方程，利用了消元的思想，消去k是解本题的关键．
3．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）有甲、乙、丙三种商品，若购甲件、乙件、丙件，共需元；若购甲件、乙 件、丙件，共需元，则购甲、乙、丙三种商品各件共需 （ ）
A． 元B． 元C． 元D． 元
【答案】A
【分析】设甲件元、乙件元、丙件元，根据数量关系，列方程，解方程即可求解．
【详解】解：设甲件元、乙件元、丙件元，根据题意得，
，两个式子相加得，，
∴，即甲、乙、丙三种商品各件共需元，
故选：．
【点睛】本题主要考查三元一次方程与实际问题的综合应用，理解题目数量关系，列方程是解题的关键．
4．（2022春·湖北宜昌·七年级校考期中）已知方程组，则的值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】三个方程相加即可得到的值．
【详解】解：方程组，
三个方程相加得：，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查三元一次方程组的解，解得关键是明确解三元一次方程组的解答方法．
5．（2022秋·八年级课前预习）含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做________．
概念中的三个要点：①未知数的个数；②未知数的次数；③未知数同时满足三个等量关系．
三元一次方程组中各个方程的________，叫做这个三元一次方程组的解．
【答案】 三元一次方程组 公共解
6．（2022秋·八年级课时练习）若是一个三元一次方程，那么_______， ________．
【答案】 -1 0
【分析】根据三元一次方程的定义：含有三个未知数，未知数的次数都是1的方程，由此可得，解出即可得出答案．
【详解】由题意得：，
解得：．
故答案为：-1，0．
【点睛】本题考查了三元一次方程，解题关键是掌握三元一次方程的定义．
7．（2021春·山西忻州·七年级统考期末）我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解．同样地，适合三元一次方程的一对未知数的值叫做这个三元一次方程的一个解．请写出方程的一个正整数解______．
【答案】或或
【分析】利用“适合三元一次方程的一对未知数的值叫做这个三元一次方程的一个解”即可得出答案．
【详解】解：当时，成立；
当时，成立；
当时，成立；
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的解，熟练掌握概念是解题的关键．
8．（2023春·七年级课时练习）已知三元一次方程组，则________．
【答案】6
【分析】方程组中三个方程左右两边相加，变形即可得到x+y+z的值．
【详解】解：，
①+②+③，得
2x+2y+2z＝12，
∴x+y+z＝6，
故答案为:6．
【点睛】此题考查了解三元一次方程组，本题的技巧为将三个方程相加．
9．（2022秋·八年级课前预习）解方程组：
【答案】
【详解】解：①＋②，解得y＝8．
将y＝8代入②和③，
得，
解得，
所以原方程组的解为．
10．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知实数x，y满足①，②，求和的值．
本题常规思路是先将①，②两式联立组成方程组，解得x，y的值，再代入欲求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得，由①+②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
(1)已知二元一次方程组，则__________，_________．
(2)对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值．
【答案】(1)-1，5
(2)-11
【分析】（1）利用①-②可得x-y的值，利用（①+②）可得x+y的值；
（2）根据新运算的定义可得出a、b、c的三元一次方程组，由可得出a+b+c的值，即的值．
【详解】（1），
由①-②可得：x-y=-1，
由（①+②）可得：x+y=5，
故答案为：-1，5；
（2）依题意得：，
由可得：a+b+c=-11，
即= a+b+c=-11．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及三元一次方程组的应用，解题的关键是找出方程的关系并运用“整体思想”解方程．
题组B 能力提升练
1．（2022秋·河北邢台·七年级校考期末）设“■▲●”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，若要使第三架天平也平衡，则“？”处应该放“●”（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】设■，▲，●，由题可得，则可求解．
【详解】解：设■，▲，●，
，
，
又，
，
，
，
故选：C．
【点睛】题目主要考查三元一次方程的应用，理解题意，列出方程得出未知数的关系是解题关键．
2．（2022秋·安徽·七年级周测）购买铅笔7支，作业本3个，中性笔1支共需18元；购买铅笔10支，作业本4个，中性笔1支共需24元；则购买铅笔11支，作业木5个，中性笔2支共需（ ）
A．元B．元C．元D．元
【答案】D
【分析】设铅笔的单价为元，作业本的单价为元，中性笔的单价为元，然后根据购买铅笔7支，作业本3个，中性笔1支共需18元；购买铅笔10支，作业本4个，中性笔1支共需24元列出方程组求解即可
【详解】解：设铅笔的单价为元，作业本的单价为元，中性笔的单价为元，
依题意得，
用①×3-②得：，
购买铅笔支，作业木个，中性笔支共需元．
故选D．
【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的应用，正确理解题意列出方程组是解题的关键．
3．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知x，y，z满足 ，则的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】按照解三元一次方程组的步骤先求出、，后代入式子中进行计算即可解答．
【详解】解：，
由①+②得： ，
∴ ③，
将③代入①，得 ，
解得： ，
∴
=
=3，
故选：B．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，求代数式的值，熟练掌握解三元一次方程组的方法——代入消元法和加减消元法是解题的关键．
4．（2022春·福建泉州·七年级统考期末）若方程组 的解是，则的值是（ ）
A．－3B．0C．3D．6
【答案】A
【分析】先把代入原方程组，可得，由①-②可得，再把代入①，可得，然后代入，即可求解．
【详解】解：∵方程组 的解是，
∴，
由①-②得：，
∴，
把代入①，得：
，
∴，
∴．
故选：A
【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的解，解二元一次方程组，理解方程组的解就是使方程组中每一个方程都成立的未知数的值是解题的关键．
5．（2022春·上海·六年级校考期末）如果三元一次方程组为，那么x+y+z＝______．
【答案】9
【分析】三个方程相加可得结论．
【详解】解：将三元一次方程组中的三个方程相加得2x+2y+2z＝18，
∴x+y+z＝9．
故答案为：9．
【点睛】本题考查三元一次方程组，解题的关键是学会用整体思想解决问题，属于中考常考题型．
6．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）在关于、、的方程组，中，已知，那么、、从小到大的排列顺序应该是_____．
【答案】
【分析】利用方程之间的减法运算，再利用已知得出和的大小即可．
【详解】，
得，，，
，
得：，，
，
从小到大的排列顺序应该是，
故答案为：．
【点睛】本题考查三元一次方程组，利用方程之间的差得出，，间的大小关系．
7．（2022·重庆开州·校联考模拟预测）在刚刚结束的端午节中，商家为了实现销售额提升拓展途径．某商家推出了三种礼盒进行售卖，某商家将甜味粽、肉馅粽、咸鸭蛋共个，搭配为，，三种礼盒各一个，其中盒中有个甜味粽，个肉馅粽，个咸鸭蛋；盒中甜味粽与咸鸭蛋的数量之和等于肉馅粽的数量，甜味粽与咸鸭蛋的数量之比为；盒中有个甜味粽，个肉馅粽，个咸鸭蛋．经核算，盒的成本为元，盒的成本为元（每种礼盒的成本为该盒中甜味粽、肉馅粽、咸鸭蛋的成本之和），则盒的成本为______元．
【答案】
【分析】根据题意确定礼盒各种物品的数量，设出三种物品的价格列出方程组，进而可求盒的成本．
【详解】解：∵甜味粽、肉馅粽、咸鸭蛋共个；盒中有个甜味粽，个肉馅粽，个咸鸭蛋；盒中有个甜味粽，个肉馅粽，个咸鸭蛋，
∴盒中甜味粽、肉馅粽、咸鸭蛋共（个），
∵盒中甜味粽与咸鸭蛋的数量之和等于肉馅粽的数量，甜味粽与咸鸭蛋的数量之比为，
∴盒中有肉馅粽（个），
甜味粽有（个），
咸鸭蛋有（个）；
设甜味粽、肉馅粽、咸鸭蛋的成本价分别为元，元，元，则盒的成本为元，依题意得：
3×②－4×①，得：
，
∴，
∴盒的成本为元．
故答案为：．
【点睛】本题考查三元一次方程组的应用，列代数式，求代数式的值，运用了整体代入的思想．解题关键是根据题目信息求出盒中甜味粽、肉馅粽、咸鸭蛋的数量从而列出代数式表示盒的成本，并根据题意列出方程组．
8．（2021春·江西上饶·八年级统考阶段练习）幻方是一种将数字安排在正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等的方法．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格．如图1是由 1，2，3，4，5，6，7，8，9 九个数字组成的一个基本幻方，其对角线、横行、竖列的和都为15．如图2也是一个三阶幻方，中心格是 673；其他八个格中分别是：a，b，知，识，就，是，力，量（这里的字母a，b代表已知数）．则“就”代表的数是___（用含a，b的式子表示）．
【答案】2a＋b－1346
【分析】由幻方的含义可得：第二个幻方的横行，竖行，对角线的三数之和为2019，从而可得：量＝1346－a，知＝2019－a－b；再利用知＋就＋量＝2019，代入计算即可得到答案.
【详解】解：依题意，可得：量＋a＝2×673；
∴量＝1346－a
a＋b＋知＝3×673；
∴知＝2019－a－b；
而知＋就＋量＝3×673
∴(2019－a－b)＋就＋(1346－a)＝2019；
∴就＝2a＋b－1346
故答案为：2a＋b－1346
【点睛】本题考查的是列代数式，三元一次方程组的解法，正确理解题意列出相应的方程再解方程是解题的关键.
9．（2021春·上海长宁·六年级华东政法大学附属中学校考期末）解方程组：．
【答案】
【分析】利用消元的方法将三元一次方程组化为二元一次方程组，再利用消元的方法将二元一次方程组化为一元一次方程组，再求出未知数的值，将求出的未知数的值代入方程中求出另外两个未知数的值．
【详解】解：
由①得：
将④代入②和③中整理得：
得：
将代入⑤中得：
将，代入④中得：
∴该方程组的解为
【点睛】本题主要考查了用消元法解方程组，熟练掌握消元法解方程组是解答此题的关键．
10．（2022春·江苏·七年级专题练习）在学习绝对值后，我们知道，||表示数在数轴上的对应点与原点的距离．如：|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离．而|5|=|5－0|，即|5－0|也可理解为5、0在数轴上对应的两点之间的距离．类似的，|5－3|表示5与3之差的绝对值，也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如|x－3|的几何意义是数轴上表示数x的点与有理数3的点之间的距离，一般地，点A、B在数轴上分别表示数、，那么A、B之间的距离可表示为．
请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题：
（1）数轴上表示2和3的两点之间的距离是 ；数轴上表示数a的点与表示－2的点之间的距离表示为 ；
（2）数轴上点P表示的数是2，P、Q两点的距离为3，则点Q表示的数是 ；
（3）在数轴上的位置如下图所示，若=12，=7，=9，则等于 ；
【答案】（1）1；|a+2|；（2）5或-1；（3）4；
【分析】（1）根据两点之间的距离公式直接计算即可；
（2）设点Q表示的点为x，根据两点间的距离公式得到关于x的方程，解方程即可；
（3）根据题意，得到一个关系式，解方程组即可解答．
【详解】解：（1）根据题意，得：|3-2|=1，|a-（-2）|=|a+2|，
故答案为：1，|a+2|；
（2）设点Q表示的点为x，根据题意，得：|x-2|=3，
∴x-2=3，或x-2=-3，
解得：x=5或x=-1，
故答案为：5或-1；
（3）∵d＞a，d＞b，c＞a
∴= d-a，= d-b ，= c-a
可知：，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查绝对值与数轴的综合应用，解决此题时，能够熟练掌握绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数是解决此题的关键．
题组C 培优拔尖练
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）三角形幻方是锻炼思维的有趣数学问题，例：把数字1、2、3、…、9分别填入如图所示的9个圆圈内，要求和的每条边上三个圆圈内数字之和都等于18，则的和是（ ）
A．6B．15C．18D．24
【答案】B
【分析】把填入A，B，C三处圈内的三个数之和记为a；D，E，F三处圈内的三个数之和记为b；其余三个圈所填的数位之和为c．列出关于a，b，c的方程，进行求解即可．
【详解】解：把填入A，B，C三处圈内的三个数之和记为a；
D，E，F三处圈内的三个数之和记为b；
其余三个圈所填的数位之和为c．
显然有…①，
图中六条边，每条边上三个圈中之数的和为18，所以有②，
②﹣①，得③，
把，，每一边上三个圈中的数的和相加，则可得④，
联立③，④，解得，，
则．
故选：B．
【点睛】此题考查了三元一次方程组和二元一次方程组，读懂题意正确列出方程是解题的关键．
2．（2022秋·全国·八年级专题练习）《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其“方程”章中给出了“遍乘直除”的算法解方程组．比如，对于方程组，将其中数字排成长方形形式，然后执行如下步骤（如图）；第一步，将第二行的数乘以3，然后不断地减第一行，直到第二行第一个数变为0；第二步，对第三行做同样的操作，其余步骤都类似．其本质就是在消元．那么其中的a，b的值分别是（ ）
A．24，4B．17，4C．24，0D．17，0
【答案】A
【分析】根据题意逐步求解三元一次方程即可
【详解】解：
由，得，
由，得，
由，得，
∴，
由，得，
由，得，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是根据题干信息将方程组中的数字与图一一对应．
3．（2022秋·全国·八年级专题练习）我们探究得方程的正整数解只有1组，方程的正整数解只有2组，方程的正整数解只有3组，……，那么方程的正整数解的组数是（ ）
A．27B．28C．29D．30
【答案】B
【分析】先把x+y看作整体t，得到t+x=9的正整数解有7组；再分析x十y分别等于2、3、4、……、9时对应的正整数解组数；把所有组数相加即为总的解组数．
【详解】解：令x+y=t（t≥2），则t+z=9的正整数解有7组（t=2，1=3，t=4，……，t=8）
其中t=x+y=2的正整数解有1组，
t=x+y=3的正整数解有2组，
t=x+y=4的正整数解有3组
……，
t=x+y=8的正整数解有7组，
总的正整数解组数为：1+2+3+…+7=28．
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解和三元一次方程的解，可将三元方程里的两个未知数看作一个整休，再分别计算．
4．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）若 ，， 是从 ，， 这三个数中取值的一列数，且 ，，则在 ，， 中，取值为 的个数为 （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设其中有a个0，b个1，c个2，则；由，可得；由，可得；联立得到方程组，求解即可．
【详解】解：由，，…，是从0，1，2，这三个数中取值的一列数，设其中有a个0，b个1，c个2，则；
由，可得；
由，可得；
联立得到，
解得，
∴在 ，， 中，取值为的个数为．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了三元一次方程组的应用，读懂题意，正确列出方程组是解决问题的关键．
5．（2023春·七年级课时练习）已知x，y，z满足，且，则____________．
【答案】14
【分析】设，则整理得出，，，代入求得t，进一步代入求得x的值．
【详解】解：设，
则，，，
代入得：
解得：，
，
故答案为：14．
【点睛】此题考查三元一次方程组的解法，设出参数，利用参数表示其它未知数，是解题的关键．
6．（2023春·七年级课时练习）某校用一笔钱来购买，两种奖品，若购买24个种奖品和14个种奖品则差30元，若购买20个种奖品和18个种奖品则余20元，那么用这笔钱购买28个种奖品和10个种奖品差_________元．
【答案】80
【分析】设A种奖品的单价为a元，B种奖品的单价为b元，学校拿来购买奖品的钱数为c元，根据“购买24个A种奖品和14个B种奖品则差30元，购买20个A种奖品和18个B种奖品则余20元”，即可得出关于a，b，c的三元一次方程组，用①×2-②，即可求出用这笔钱购买28个A种奖品和10个B种奖品差80元．
【详解】解：设A种奖品的单价为a元，B种奖品的单价为b元，学校拿来购买奖品的钱数为c元，
依题意得：，
①×2-②得：28a+10b=c+80，
∴用这笔钱购买28个A种奖品和10个B种奖品差80元．
故答案为：80．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
7．（2022秋·八年级课时练习）某工厂A，B，C型生产线进行产品加工，每条生产线每天的产量之比为1：2：3，现甲、乙两公司计划各自租用该工厂8条生产线同时进行产品加工，且每种类型的生产线均租用，甲公司用6天恰好能加工完所需产品，乙公司用3天恰好能加工完所需产品，乙公司租用的B型生产线数量与甲公司相同，甲公司租用的A型生产线条数与乙公司租用的C型生产线条数相同，乙公司需加工的产品总量比甲公司少，则乙公司B型生产线有________条．
【答案】2
【分析】设甲租用型生产线分别为条，则乙租用型生产线分别为条，每条生产线每天的产量分别为，则甲租用的生产线每天的产量为，乙租用的生产线每天的产量为，根据题意列出方程，可得，由乙公司需加工的产品总量比甲公司少，可得，得出，结合，求得，根据是正整数，即可求解．
【详解】设甲租用型生产线分别为条，则乙租用型生产线分别为条，每条生产线每天的产量分别为，则甲租用的生产线每天的产量为，乙租用的生产线每天的产量为，根据题意得：
，是正整数，
，
乙公司需加工的产品总量比甲公司少，
，
即.
，
，
，
是正整数，
，
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
8．（2022秋·七年级单元测试）下表是某校七年级各班某月课外兴趣小组活动时间的统计表，其中各班同一兴趣小组每次活动时间相同．
（说明：活动次数为正整数）
科技小组每次活动时间为____________h，该年级4班这个月体育小组活动次数最多是____________次．
【答案】 1 8
【分析】设体育小组每次活动时间为a小时，科技小组每次活动时间为b小时，文艺小组每次活动时间为c小时，根据1、2、3班每班活动总时间列方程组求解即可；设该年级4班这个月体育小组活动次数为m，文艺小组活动次数为n，根据4班总活动时间列方程求得方程的正整数解即可；
【详解】解：设体育小组每次活动时间为a小时，科技小组每次活动时间为b小时，文艺小组每次活动时间为c小时，则
①-②得：c=0.5，
c=0.5代入①得：4a+6b=9，
③-②得： b=1，
4a+6b=9，a=0.75，
∴体育小组每次活动时间为0.75小时，科技小组每次活动时间为1小时，文艺小组每次活动时间为0.5小时；
设该年级4班这个月体育小组活动次数为m，文艺小组活动次数为n，则
0.75m+6+0.5n=13，
0.75m+0.5n=7，
1.5m+n=14，
∵m，n为正整数，
∴m=2，n=11或m=4，n=8或m=6，n=5或m=8，n=2；
m最大值为8次，
故答案为：1，8；
【点睛】本题考查了三元一次方程的实际应用，二元一次方程的正整数解，利用加减消元法解方程是解题关键．
9．（2023春·全国·七年级专题练习）在求代数式的值时，可以用整体求值的方法，化难为易．
例：已知，求的值．
解：①得：③
②③得：
∴的值为2．
(1)已知，求的值；
(2)马上期中了，班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元．通过还价，班委购买了本笔记本、支签字笔、支记号笔，只花了元，请问比原价购买节省了多少钱？
【答案】(1)
(2)节省了元
【分析】（1）方程组两方程左右两边相加，即可求出原式的值；
（2）设笔记本、签字笔、记号笔的价格分别为x元，y元，z元，根据题意列出方程，求出按照原价本笔记本、支签字笔、支记号笔花费总数，即可求出节省的钱数．
【详解】（1）解：（1），
①②得：，
则；
（2）设笔记本、签字笔、记号笔的价格分别为x元，y元，z元，
根据题意得：，
∴，
（元），
则比原价购买节省了元．
【点睛】此题考查了三元一次方程组的应用以及解三元一次方程组，代数式求值，弄清题意是解本题的关键，寻找代数式之间的倍数关系是解本题的关键．
10．（2021春·浙江杭州·七年级校考期中）阅读理解：已知实数x，y可满足……①，……②，求和值，仔细观察未知数系数之间的关系，如由可得，由可得．这就是通常说的“整体思想”．尝试利用“整体思想”，解决下列问题：
(1)已知二元一次方程组，则___________，___________；
(2)买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，求购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需多少元？
(3)对于实数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值．
【答案】(1)；6
(2)购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元
(3)
【分析】（1）利用可得出的值，利用可得出的值；
（2）设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，根据“买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元”，即可得出关于，，的三元一次方程组，由可得出的值，再乘5即可求出结论；
（3）根据新运算的定义可得出关于，，的三元一次方程组，由可得出的值，即的值．
【详解】（1）解：，
由可得：，
由可得：．
故答案为：；6．
（2）解：设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，
依题意，得：，
由可得，
．
答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元．
（3）解：依题意，得：，
由可得：，
，
即．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及三元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）运用“整体思想”求出，的值；（2）（3）找准等量关系，正确列出三元一次方程组．
收费出口编号
①，②
②，③
③，④
④，⑤
⑤，①
通过汽车数量（辆）
80
100
70
130
120
营业员
小丽
小华
月销售件数（件）
200
150
月总收入（元）
1400
1250
体育小组
活动次数
科技小组
活动次数
文艺小组
活动次数
课外兴趣小组
活动总时间（单位：h）
1
4
6
5
11.5
2
4
6
4
11
3
4
7
4
12
4
6
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