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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理优秀同步练习题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理优秀同步练习题，文件包含人教A版数学高二选择性必修第一册12空间向量基本定理分层作业原卷版docx、人教A版数学高二选择性必修第一册12空间向量基本定理分层作业解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
【夯实基础】
题型1空间向量基底概念及辨析
1. 下列关于空间向量的说法中错误的是（ ）
A．平行于同一个平面的向量叫做共面向量
B．直线可以由其上一点和它的方向向量确定
C．空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底
D．任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量
【答案】C
【分析】根据空间向量、基底的性质，以及共面向量、直线方向向量性质和概念判断各选项的正误.
【详解】A：平行于平面m的向量，均可平移至一个平行于m的平面，故它们为共面向量，正确；
B：直线的方向向量是直线任取一点，向其两个方向的任意方向作出一个向量即可得，故一点和方向向量确定直线，正确；
C：空间任意三个向量都共面时，则不能构成空间的基底，错误；
D：由向量的位置的任意性，将空间两个向量某一端点移至重合位置，它们即可构成一个平面，即可为同一平面的向量，正确.
故选：C
2．已知三棱锥，点P为平面ABC上的一点，且（m，n∈R）则m，n的值可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用点位于平面内的充要条件，建立关系即可判断作答.
【详解】因为点P为平面ABC上的一点，，则，
于是，即，显然选项BCD都不满足，A选项满足.
故选：A
3. 已知为三条不共面的线段，若，那么（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】直接利用共面向量的基本定理求出结果.
【详解】根据向量加法法则可得：，
即，
因为，
所以，，，
所以，，，所以.
故选：B.
4. 正方体中，为与的交点，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用空间向量的运算及基底表示进行求解.
【详解】因为在正方体中，为与的交点，
所以为的中点；
，
由正方体的性质可知,
所以.
故选：A.
5.如图，在平行六面体中，点E，F分别是棱和的中点，以为基底表示．
【答案】
【详解】利用空间向量基本定理以及平行六面体的图形性质得出结果.
【分析】利用平行六面体的性质，空间向量的线性运算即得.
在平行六面体中，
，又点E，F分别是棱和的中点，
∴，
∴
.
题型2用空间基底表示向量
6. 已知是空间的一个基底，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则
B．两两共面，但不共面
C．一定存在x，y，使得
D．一定能构成空间的一个基底
【答案】C
【分析】利用向量的线性关系、向量的基底的定义和空间向量基本定理，即可求解．
【详解】对于A，若不全为0，则 共面，与题意矛盾，故A正确；
对于B，是空间的一个基底,则 两两共面，但 不共面，故B正确；
对于C， 不共面，则不存在实数，使得 ，故C错误；
对于D，若 共面， ， 无解，
故 不共面，一定能构成空间的一个基底，故D正确
故选∶C．
7. 已知正方体，点是上底面的中心，若，则等于（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【分析】利用空间向量基本定理，结合正方体的结构特征求解作答.
【详解】正方体，点是上底面的中心，如图，
则，
不共面，又，于是得，
所以.
故选：C
8. 在平行六面体中，，记向量，，，则向量（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先得到是的中点，利用空间向量基本定理求出答案.
【详解】因为平行六面体钟，，
所以是的中点，
故.
故选：C
9. 如图，在正方体中，分别为的中点，若，则__________.
【答案】
【分析】根据向量的分解和基底的定义求解.
【详解】因为，
所以所以.
故答案为:.
10.如图所示，在平行六面体中，为的中点.
（1）化简：；
（2）设是棱上的点，且，若，试求实数，，的值.
【答案】（1）；（2）、、.
【分析】（1）根据空间向量的线性运算求解；
（2）用基底表示出后可得的值．
【详解】（1）
（2）
，
、、.
题型3空间向量基本定理及应用
11．在三棱锥中，M是平面ABC上一点，且，则t=（ ）
A．1B．3C．D．
【答案】A
【分析】根据空间向量的基本定理，进而得出方程，解之即可.
【详解】因为，
所以，即．
因为M是平面ABC上一点，所以，所以．
故选：A.
12.在平行六面体中，，，，点P在上，且，则___________．（用，，表示）
【答案】
【分析】利用空间向量的基本定理可得出关于的表达式.
【详解】由平面六面体法则可知，
.
故答案为：.
13．已知矩形为平面外一点，且平面，分别为上的点，，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】根据空间向量基本定理求出，求出答案.
【详解】因为，
所以
，
故，故.
故选：B
14．如图，在平行六面体中，与交于点，且，，.则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】由向量的分解和向量数量积公式、向量的求模公式即可判断.
【详解】如图，
由题意得，，
，
，
，
对于选项A，
所以，即.
故选项A正确.
对于选项B，
故选项B正确.
对于选项C，
所以即
故选项C错误.
对于选项D，
故选项D错误.
故选：AB
15.如图，设P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O是平行四边形对角线AC和BD的交点，Q是CD的中点，求下列各式中x，y的值．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)，．
【分析】（1）利用向量的三角形法则及其向量相等即可得出．
（2）利用向量的三角形法则及其向量相等即可得出．
【详解】（1）解：
．
．
（2）解：，．
又，．
从而有．
，．
【能力提升】
单选题
1. 已知为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分别判断每组向量是否共面即可.
【详解】因为，，，
所以选项ACD中的向量共面，不能作为空间的基底，
对于选项B，假设共面，则存在，使得，
，无解，不共面，可以作为空间的一组基底.
故选：B.
2．在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用空间向量基本定理结合空间向量运算求解作答.
【详解】在平行六面体中，M为与的交点，
.
故选：B
3．四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若，则等于（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】A
【分析】运用向量的线性运用表示向量，对照系数，求得，代入可得选项.
【详解】因为，
所以，所以，所以 ，
所以，
故选：A.
4．如图，三棱锥中，M，N分别是，的中点，G为线段上一点，且，记，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用给定的空间向量的基底，结合空间向量的线性运算求解作答.
【详解】因为M，N分别是，的中点，则，
又G为线段上一点，且，即，于是，
所以.
故选：C
5．已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据空间向量基底的定义依次判断各选项即可.
【详解】对于A选项，不存在使得成立，故能构成空间的另一个基底；
对于B选项，，故不能构成空间的另一个基底；
对于C选项， ，故不能构成空间的另一个基底；
对于D选项，，故不能构成空间的另一个基底.
故选：A.
6．已知三棱锥中，，，且，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】连接，结合空间向量的基本定理求解即可.
【详解】连接，由，，
所以
．
故选：B．
7．在以下命题中：
①三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面；
②若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线；
③对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面
④若，是两个不共线的向量，且，则构成空间的一个基底
⑤若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底；其中真命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】直接利用空间基底，共面向量，共线向量的基础知识的应用求出结果．
【详解】空间任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底.
①根据空间基底的定义，三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面；故命题①正确．
②由空间基底的定义，若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线，若，不共线，则，共面，一定有向量与，不共面；故命题②正确．
③对空间任意一点和不共线的三点，，，当时，若，，，四点共面，则，，，，方程组无解，故，，，四点不共面；故命题③错误．
④若，是两个不共线的向量，且，则向量与，构成共面向量，不能构成空间的一个基底；故命题④错误．
⑤利用反证法：若不能构成空间的一个基底，则这三个向量共面，
设，当，与共线，当，得，都有共面，由于为空间的一个基底，得出矛盾，所以能够成空间的一个基底，故命题⑤正确．
真命题有3个.
故选：D
8．设是空间一个基底，则下列选项中正确的是（ ）
A．若，则
B．两两共面，但不可能共面
C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使
D．一定能构成空间的一个基底
【答案】BCD
【分析】对于A选项，垂直关系不传递判断；对于B选项，由基底的概念判断；对于C选项，由空间向量的基本定理判断；对于D选项，易知不共面．假设共面，利用反证法判断.
【详解】对于A选项，与都垂直，夹角不一定是，A选项错误．
对于B选项，根据基底的概念可知两两共面，但不可能共面，B选项正确．
对于C选项，根据空间向量的基本定理可知，C选项正确．
对于D选项，由于是空间一个基底，所以不共面．假设共面，不妨设，化简得，因为不共面，则，而方程无解，所以不共面，可以作为空间的一个基底，D选项正确．
故选：BCD．
多选题
9．下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ）
A．若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则
B．若非零向量，，满足，，则
C．若向量，，是空间一组基底，则，，也是一组基底
D．若，，是空间向量的一组基底，，则A，B，C，D四点共面
【答案】ACD
【分析】根据空间向量共线、垂直、基底、共面等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】对于A，∵，与任何向量都不构成空间向量的基底，
∴，只能为共线向量
∴，A对；
对于B，取，，，显然满足，，但与不平行，B不对；
对于C：∵，，为一组基底，∴对于空间任意向量，存在实数m，n，t，
使，
∴，，也是一组基底，C对；
对于D：∵，
∴，
即：，
∴A，B，C，D四点共面，
∴D对.
故选：ACD
10．关于空间向量，以下说法不正确的是（ ）
A．向量，，若，则
B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底
D．若空间四个点，，，，，则，，三点共线
【答案】AC
【分析】根据向量垂直的性质可判断选项A；由共面向量定理可判断选项B；由向量的加法法则可判断选项C；由共线向量定理可判断选项D.
【详解】对于A，向量，，若，若向量，均为非零向量，则由向量垂直的性质可得；若向量，其中一个为零向量，则与不垂直，故A错误；
对于B，若对空间中任意一点，有，
因为，所以，，，四点共面，故B正确；
对于C，设是空间中的一组基底，由向量的加法法则可知：，所以不能构成空间的一组基底，故C错误；
对于D，若空间四个点，，，，，由共线向量定理可知：，，三点共线，故D正确，
故选：.
填空题
11．若为空间的一个基底，则下列各组向量中一定能构成空间的一个基底的是______．（填序号）
①，，； ②，，；
③，，； ④，，．
【答案】③
【分析】根据空间向量基本定理判断可得；
【详解】解：由空间向量基本定理得：
对于①，，所以，，三个向量共面；
对于②，，所以，，三个向量共面；
对于③，因为为空间的一个基底，所以与不共线，所以，也不共线，
且与 、共面，与、共面，又、、三个向量不共面，
所以，，不共面，故，，可以作为一组基底；
对于④，，所以，，三个向量共面，
故答案为：③．
12．已知不共面，，，，若，则______．
【答案】
【分析】根据题意，化简得到，再由
，得出关于的方程组，求得的值，即可求解.
【详解】由题意，向量不共面，，，，
则
因为，
则，解得，
所以.
故答案为：.
解答题
13．如图，在平行六面体中，E，F分别为棱，CD的中点，记，，，满足，，，.
(1)用，，表示；
(2)计算.
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）根据空间向量对应线段的位置关系，用表示出；
（2）应用向量数量积的运算律得，结合已知即可求数量积.
【详解】（1）；
（2）
.
14．如图所示，平行六面体中，，，，用示如下向量：
(1)，，；
(2)（分别是和的中点）．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）（2）根据向量线性运算直接求解即可.
【详解】（1）；
；
.
（2）分别为和的中点，.
15．如图，在三棱柱中，是棱的中点，，设.
(1)试用向量表示向量；
(2)若，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接，根据向量关系直接可表示出；
（2）根据（1）中的结果平方即可求出.
【详解】（1）连接，则.
因为是棱的中点，所以.
因为，所以，
则.
（2）由（1）可知，
则，
因为，
所以，
则，故.
16．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设，，.
(1)试用表示向量；
(2)求BM的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】利用空间向量基本定理用基底表示；（2）在第一问的基础上运用空间向量数量积运算法则进行运算.
【详解】（1）
（2）
，所以，则BM的长为.
【夯实基础】
题型1空间向量基底概念及辨析
1. 下列关于空间向量的说法中错误的是（ ）
A．平行于同一个平面的向量叫做共面向量
B．直线可以由其上一点和它的方向向量确定
C．空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底
D．任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量
【答案】C
【分析】根据空间向量、基底的性质，以及共面向量、直线方向向量性质和概念判断各选项的正误.
【详解】A：平行于平面m的向量，均可平移至一个平行于m的平面，故它们为共面向量，正确；
B：直线的方向向量是直线任取一点，向其两个方向的任意方向作出一个向量即可得，故一点和方向向量确定直线，正确；
C：空间任意三个向量都共面时，则不能构成空间的基底，错误；
D：由向量的位置的任意性，将空间两个向量某一端点移至重合位置，它们即可构成一个平面，即可为同一平面的向量，正确.
故选：C
2．已知三棱锥，点P为平面ABC上的一点，且（m，n∈R）则m，n的值可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用点位于平面内的充要条件，建立关系即可判断作答.
【详解】因为点P为平面ABC上的一点，，则，
于是，即，显然选项BCD都不满足，A选项满足.
故选：A
3. 已知为三条不共面的线段，若，那么（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】直接利用共面向量的基本定理求出结果.
【详解】根据向量加法法则可得：，
即，
因为，
所以，，，
所以，，，所以.
故选：B.
4. 正方体中，为与的交点，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用空间向量的运算及基底表示进行求解.
【详解】因为在正方体中，为与的交点，
所以为的中点；
，
由正方体的性质可知,
所以.
故选：A.
5.如图，在平行六面体中，点E，F分别是棱和的中点，以为基底表示．
【答案】
【详解】利用空间向量基本定理以及平行六面体的图形性质得出结果.
【分析】利用平行六面体的性质，空间向量的线性运算即得.
在平行六面体中，
，又点E，F分别是棱和的中点，
∴，
∴
.
题型2用空间基底表示向量
6. 已知是空间的一个基底，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则
B．两两共面，但不共面
C．一定存在x，y，使得
D．一定能构成空间的一个基底
【答案】C
【分析】利用向量的线性关系、向量的基底的定义和空间向量基本定理，即可求解．
【详解】对于A，若不全为0，则 共面，与题意矛盾，故A正确；
对于B，是空间的一个基底,则 两两共面，但 不共面，故B正确；
对于C， 不共面，则不存在实数，使得 ，故C错误；
对于D，若 共面， ， 无解，
故 不共面，一定能构成空间的一个基底，故D正确
故选∶C．
7. 已知正方体，点是上底面的中心，若，则等于（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【分析】利用空间向量基本定理，结合正方体的结构特征求解作答.
【详解】正方体，点是上底面的中心，如图，
则，
不共面，又，于是得，
所以.
故选：C
8. 在平行六面体中，，记向量，，，则向量（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先得到是的中点，利用空间向量基本定理求出答案.
【详解】因为平行六面体钟，，
所以是的中点，
故.
故选：C
9. 如图，在正方体中，分别为的中点，若，则__________.
【答案】
【分析】根据向量的分解和基底的定义求解.
【详解】因为，
所以所以.
故答案为:.
10.如图所示，在平行六面体中，为的中点.
（1）化简：；
（2）设是棱上的点，且，若，试求实数，，的值.
【答案】（1）；（2）、、.
【分析】（1）根据空间向量的线性运算求解；
（2）用基底表示出后可得的值．
【详解】（1）
（2）
，
、、.
题型3空间向量基本定理及应用
11．在三棱锥中，M是平面ABC上一点，且，则t=（ ）
A．1B．3C．D．
【答案】A
【分析】根据空间向量的基本定理，进而得出方程，解之即可.
【详解】因为，
所以，即．
因为M是平面ABC上一点，所以，所以．
故选：A.
12.在平行六面体中，，，，点P在上，且，则___________．（用，，表示）
【答案】
【分析】利用空间向量的基本定理可得出关于的表达式.
【详解】由平面六面体法则可知，
.
故答案为：.
13．已知矩形为平面外一点，且平面，分别为上的点，，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】根据空间向量基本定理求出，求出答案.
【详解】因为，
所以
，
故，故.
故选：B
14．如图，在平行六面体中，与交于点，且，，.则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】由向量的分解和向量数量积公式、向量的求模公式即可判断.
【详解】如图，
由题意得，，
，
，
，
对于选项A，
所以，即.
故选项A正确.
对于选项B，
故选项B正确.
对于选项C，
所以即
故选项C错误.
对于选项D，
故选项D错误.
故选：AB
15.如图，设P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O是平行四边形对角线AC和BD的交点，Q是CD的中点，求下列各式中x，y的值．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)，．
【分析】（1）利用向量的三角形法则及其向量相等即可得出．
（2）利用向量的三角形法则及其向量相等即可得出．
【详解】（1）解：
．
．
（2）解：，．
又，．
从而有．
，．
【能力提升】
单选题
1. 已知为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分别判断每组向量是否共面即可.
【详解】因为，，，
所以选项ACD中的向量共面，不能作为空间的基底，
对于选项B，假设共面，则存在，使得，
，无解，不共面，可以作为空间的一组基底.
故选：B.
2．在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用空间向量基本定理结合空间向量运算求解作答.
【详解】在平行六面体中，M为与的交点，
.
故选：B
3．四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若，则等于（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】A
【分析】运用向量的线性运用表示向量，对照系数，求得，代入可得选项.
【详解】因为，
所以，所以，所以 ，
所以，
故选：A.
4．如图，三棱锥中，M，N分别是，的中点，G为线段上一点，且，记，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用给定的空间向量的基底，结合空间向量的线性运算求解作答.
【详解】因为M，N分别是，的中点，则，
又G为线段上一点，且，即，于是，
所以.
故选：C
5．已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据空间向量基底的定义依次判断各选项即可.
【详解】对于A选项，不存在使得成立，故能构成空间的另一个基底；
对于B选项，，故不能构成空间的另一个基底；
对于C选项， ，故不能构成空间的另一个基底；
对于D选项，，故不能构成空间的另一个基底.
故选：A.
6．已知三棱锥中，，，且，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】连接，结合空间向量的基本定理求解即可.
【详解】连接，由，，
所以
．
故选：B．
7．在以下命题中：
①三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面；
②若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线；
③对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面
④若，是两个不共线的向量，且，则构成空间的一个基底
⑤若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底；其中真命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】直接利用空间基底，共面向量，共线向量的基础知识的应用求出结果．
【详解】空间任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底.
①根据空间基底的定义，三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面；故命题①正确．
②由空间基底的定义，若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线，若，不共线，则，共面，一定有向量与，不共面；故命题②正确．
③对空间任意一点和不共线的三点，，，当时，若，，，四点共面，则，，，，方程组无解，故，，，四点不共面；故命题③错误．
④若，是两个不共线的向量，且，则向量与，构成共面向量，不能构成空间的一个基底；故命题④错误．
⑤利用反证法：若不能构成空间的一个基底，则这三个向量共面，
设，当，与共线，当，得，都有共面，由于为空间的一个基底，得出矛盾，所以能够成空间的一个基底，故命题⑤正确．
真命题有3个.
故选：D
8．设是空间一个基底，则下列选项中正确的是（ ）
A．若，则
B．两两共面，但不可能共面
C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使
D．一定能构成空间的一个基底
【答案】BCD
【分析】对于A选项，垂直关系不传递判断；对于B选项，由基底的概念判断；对于C选项，由空间向量的基本定理判断；对于D选项，易知不共面．假设共面，利用反证法判断.
【详解】对于A选项，与都垂直，夹角不一定是，A选项错误．
对于B选项，根据基底的概念可知两两共面，但不可能共面，B选项正确．
对于C选项，根据空间向量的基本定理可知，C选项正确．
对于D选项，由于是空间一个基底，所以不共面．假设共面，不妨设，化简得，因为不共面，则，而方程无解，所以不共面，可以作为空间的一个基底，D选项正确．
故选：BCD．
多选题
9．下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ）
A．若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则
B．若非零向量，，满足，，则
C．若向量，，是空间一组基底，则，，也是一组基底
D．若，，是空间向量的一组基底，，则A，B，C，D四点共面
【答案】ACD
【分析】根据空间向量共线、垂直、基底、共面等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】对于A，∵，与任何向量都不构成空间向量的基底，
∴，只能为共线向量
∴，A对；
对于B，取，，，显然满足，，但与不平行，B不对；
对于C：∵，，为一组基底，∴对于空间任意向量，存在实数m，n，t，
使，
∴，，也是一组基底，C对；
对于D：∵，
∴，
即：，
∴A，B，C，D四点共面，
∴D对.
故选：ACD
10．关于空间向量，以下说法不正确的是（ ）
A．向量，，若，则
B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底
D．若空间四个点，，，，，则，，三点共线
【答案】AC
【分析】根据向量垂直的性质可判断选项A；由共面向量定理可判断选项B；由向量的加法法则可判断选项C；由共线向量定理可判断选项D.
【详解】对于A，向量，，若，若向量，均为非零向量，则由向量垂直的性质可得；若向量，其中一个为零向量，则与不垂直，故A错误；
对于B，若对空间中任意一点，有，
因为，所以，，，四点共面，故B正确；
对于C，设是空间中的一组基底，由向量的加法法则可知：，所以不能构成空间的一组基底，故C错误；
对于D，若空间四个点，，，，，由共线向量定理可知：，，三点共线，故D正确，
故选：.
填空题
11．若为空间的一个基底，则下列各组向量中一定能构成空间的一个基底的是______．（填序号）
①，，； ②，，；
③，，； ④，，．
【答案】③
【分析】根据空间向量基本定理判断可得；
【详解】解：由空间向量基本定理得：
对于①，，所以，，三个向量共面；
对于②，，所以，，三个向量共面；
对于③，因为为空间的一个基底，所以与不共线，所以，也不共线，
且与 、共面，与、共面，又、、三个向量不共面，
所以，，不共面，故，，可以作为一组基底；
对于④，，所以，，三个向量共面，
故答案为：③．
12．已知不共面，，，，若，则______．
【答案】
【分析】根据题意，化简得到，再由
，得出关于的方程组，求得的值，即可求解.
【详解】由题意，向量不共面，，，，
则
因为，
则，解得，
所以.
故答案为：.
解答题
13．如图，在平行六面体中，E，F分别为棱，CD的中点，记，，，满足，，，.
(1)用，，表示；
(2)计算.
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）根据空间向量对应线段的位置关系，用表示出；
（2）应用向量数量积的运算律得，结合已知即可求数量积.
【详解】（1）；
（2）
.
14．如图所示，平行六面体中，，，，用示如下向量：
(1)，，；
(2)（分别是和的中点）．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）（2）根据向量线性运算直接求解即可.
【详解】（1）；
；
.
（2）分别为和的中点，.
15．如图，在三棱柱中，是棱的中点，，设.
(1)试用向量表示向量；
(2)若，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接，根据向量关系直接可表示出；
（2）根据（1）中的结果平方即可求出.
【详解】（1）连接，则.
因为是棱的中点，所以.
因为，所以，
则.
（2）由（1）可知，
则，
因为，
所以，
则，故.
16．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设，，.
(1)试用表示向量；
(2)求BM的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】利用空间向量基本定理用基底表示；（2）在第一问的基础上运用空间向量数量积运算法则进行运算.
【详解】（1）
（2）
，所以，则BM的长为.
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