高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用精品第1课时课后作业题

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【夯实基础】
题型1求平面的法向量
1.已知，则平面的一个单位法向量是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】待定系数法设平面的一个法向量为，由法向量的性质建立方程组解出分析即可.
【详解】设平面的一个法向量为，
又，
由，
即，
又因为单位向量的模为1，所以B选项正确，
故选：B.
2.已知直线l的方向向量，平面的一个法向量为，若直线l在平面内，则的值是（ ）
A．B．C．2D．16
【答案】A
【分析】根据法向量的定义，转化为两个向量垂直，即可列式求解.
【详解】由条件可知，，得.
故选：A
3.已知平面内有两点，，平面的一个法向量为，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】首先求出的坐标，依题意可得，根据数量积的坐标运算得到方程，解得即可；
【详解】解：因为，，所以，
因为平面的一个法向量为，所以，
则，解得，
故选：C.
4.已知，则平面的一个法向量的坐标为___________.
【答案】（答案不唯一）
【分析】首先表示出，，设平面的法向量为，则，即可得到不定方程组，取值即可；
【详解】解：因为，
所以，，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，，
所以；
故答案为：（答案不唯一）
题型2直线和直线平行
5.在正方体中，，分别为，的中点，则（ ）
A．平面B．平面
C．平面D．平面
【答案】A
【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明，逐项计算判断作答.
【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，令，
则，，
对于A，，显然，则平面，
而平面，所以平面，A正确；
对于B，，设平面的法向量，
则，令，得，，则直线与平面不平行，B错误；
，而，即直线不垂直于，平面，因此直线不垂直于平面，C错误；
对于D，由选项C知，直线不垂直于，平面，直线不垂直于平面，D错误.
故选：A
6.已知是直线l的方向向量，是平面的法向量，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据线面平行可知，从而得解.
【详解】由已知得，∴，解得.
故选：A．
7.已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列四个点中在平面内的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题设只需，由各选项的点坐标求的坐标，即可得答案.
【详解】由题意，符合条件的点应满足，
A：，则，故不在平面内，不满足；
B：同理，则，故在平面内，满足；
C：同理，则，故不在平面内，不满足；
D：同理，则，故不在平面内，不满足；
故选：B
8.如图，在正方体中，，分别为，的中点，则下列说法错误的是（ ）
A．与垂直B．与平面垂直
C．与平行D．与平面平行
【答案】C
【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，设，利用向量法逐一判断即可.
【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设，
则
，
对于A，，
则，所以，故A正确；
对于B，，则，所以，
又平面，
所以平面，故B正确；
对于C，，
若与平行，则存在唯一实数使得，
所以，无解，
所以与不平行，故C错误；
对于D，，
设平面的法向量，
则有，可取，
因为，且平面，
所以平面，故D正确.
故选：C.
题型3利用空间向量证明线面平行
9.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则能使∥的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由∥，则直线的方向向量为与平面的法向量为互相垂直，利用向量数量积为0逐项分析即可.
【详解】由∥，则直线的方向向量为与平面的法向量为互相垂直，
选项A：，
故选项A不正确；
选项B：，
故选项B不正确；
选项C：，
故选项C正确；
选项D：，
故选项D不正确；
故选：C.
10.设是平面的一个法向量，是直线l的一个方向向量，则直线l与平面的位置关系是（ ）
A．平行或直线在平面内B．不能确定
C．相交但不垂直 D．垂直
【答案】A
【分析】判断两个向量的位置关系即可得解.
【详解】因为，所以，
所以直线l与平面的位置关系是平行或直线在平面内.
故选：A.
11.(多选题）若直线的方向向量为，平面的法向量为，能使的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】AD
【分析】根据给定条件，利用空间位置关系的向量证明，结合各选项中的向量，计算判断即可．
【详解】若，则，
对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确．
故选：AD．
12.若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则可能使的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】直接计算直线方向向量和平面法向量的数量积可知.
【详解】由题知，当时，或.
A选项：因为
B选项：
C选项：
D选项：
故选：C
题型4平面和平面平行
13.已知直线的方向向量为，两个不重合的平面，的法向量分别为，，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】ACD
【分析】对于A：利用法向量的定义直接判断；对于B：判断出或在面内；对于C：由垂直于同一直线的两平面平行即可判断；对于D：由面面垂直的判定定理判断.
【详解】对于A：因为，为平面的法向量，所以为平面的一个法向量，所以.故A正确；
对于B：因为为平面的法向量，直线的方向向量为，且，所以或在面内.故B错误；
14.（多选题）已知为直线的方向向量，分别为平面的法向量不重合），并且直线均不在平面内，那么下列说法中正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】由空间向量的位置关系对选项逐一判断，
【详解】已知直线不在平面内，则，故A正确，D错误，
由空间向量的位置关系得，，故B，C正确，
故选：ABC
15.（多选题）在正方体中，E，F分别为，的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．平面B．平面
C．平面D．平面
【答案】BCD
【分析】以点为坐标原点，以，，方向为，，轴为正方向，建立空间直角坐标系，根据线与面的平行与垂直的向量求法对选项一一验证即可.
【详解】
以点为坐标原点，以，，方向为，，轴为正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
设正方体的边长为2，
则，，，，，，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
则，则平面，故A正确；
，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
，则与平面不平行，故B错误；
，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
，则与平面不垂直，故C错误；
，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
，则与平面不垂直，故D错误；
故选：BCD.
【能力提升】
单选题
1.如图，在空间直角坐标系中，有正方体，给出下列结论：
①直线的一个方向向量为；
②直线的一个方向向量为；
③平面的一个法向量为；
④平面的一个法向量为．
其中正确的个数为（ ）．
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】由直线的方向向量及平面的法向量的定义即可求解.
【详解】解：设正方体的边长为1，则，，，，，，
对①：因为，所以直线的一个方向向量为正确；
对②：因为，所以直线的一个方向向量为不正确；
对③：因为平面，又，所以平面的一个法向量为不正确；
对④：因为，，，，，
所以平面的一个法向量为不正确.
故选：A.
2.已知直线，且l的方向向量为，平面的法向量为，则（ ）
A．1B．C．D．8
【答案】C
【分析】利用直线与平面平行的方向向量与平面法向量的关系及向量共线定理即可求解.
【详解】设直线的方向向量为，平面的法向量为，
由，可得，即，解得.
故选：C.
3.已知平面平面，是平面的一个法向量，则下列向量是平面的法向量的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】判断各选项中与向量平行的向量，即可找出平面的一个法向量．
【详解】因为平面平面，即两个平面的法向量平行，
B选项，由，所以向量与向量平行，
故向量是平面的一个法向量，故B正确；
显然ACD选项中的向量均不与向量平行，所以不能作为平面的一个法向量，故ACD均错误．
故选：B．
4.已知平面内有两点，若平面的一个法向量为，则（ ）
A．B．C．-24D．24
【答案】C
【分析】根据，即可列出等量关系，求得结果.
【详解】由题可得，因为平面的一个法向量为，所以，
所以，解得．
故选：C．
5.有以下命题：
①一个平面的单位法向量是唯一的
②一条直线的方向向量和一个平面的法向量平行，则这条直线和这个平面平行
③若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交
④若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条直线的方向向量，则直线和平面垂直
其中真命题的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】根据平面单位法向量的定义可判断①，根据直线方向向量与平面法向量的关系判断②，根据两平面法向量关系判断③，根据直线与平面垂直的判定定理判断④.
【详解】因为一个平面的单位法向量方向不同，所以有2个，故①错误；
当一条直线的方向向量和一个平面的法向量平行时，则这条直线和这个平面垂直，故② 错误；
因为两个平面的法向量平行时，平面平行，所以法向量不平行，则这两个平面相交，③正确；
若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条相交直线的方向向量，则直线和平面垂直，故④ 错误.
故选：A
6.空间直角坐标系中，已知点，，，则平面的一个法向量可以是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据求平面的法向量，逐项分析判断即可.
【详解】由题意可得：，
设平面的法向量为，则，
令，则，即.
对A：若，由，可得：与不共线，
故不是平面的法向量，A错误；
对B：若，由，可得：与不共线，
故不是平面的法向量，B错误；
对C：若，则，即与共线，
故是平面的法向量，C正确；
对D：若，由，可得：与不共线，
故不是平面的法向量，D错误；
故选：C.
7.在如图所示的坐标系中，为正方体，给出下列结论：
①直线的一个方向向量为；
②直线的一个方向向量为；
③平面的一个法向量为；
④平面的一个法向量为.其中正确的个数为（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据空间直线的方向向量的概念以及平面的法向量的定义判断可得答案.
【详解】设正方体的棱长为，则，，，则与平行，故直线的一个方向向量为，故①正确；
因为，，所以，因为与平行，所以直线的一个方向向量为，故②正确；
因为，，所以，因为是平面的一个法向量，且与平行，所以平面的一个法向量为，故③正确；
因为，，所以，
因为，所以与不垂直，所以不是平面的一个法向量，故④不正确.
故选：C
8.已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．与是共线向量B．与向量方向相同的单位向量是
C．与夹角的余弦值是D．平面的一个法向量是
【答案】C
【分析】根据共线向量、单位向量、向量夹角、法向量等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】，不存在实数，使，所以与不共线，A选项错误.
向量方向相同的单位向量是，B选项错误.
，所以与夹角的余弦值是，C选项正确.
，所以不是平面的法向量，D选项错误.
故选：C
多选题
9.已知空间中三点，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．与共线的单位向量是
C．与夹角的余弦值是
D．平面ABC的一个法向量是
【答案】AD
【分析】对于A，通过计算来判断，对于B，利用共线单位向量的定义求解，对于C，利用向量的夹角公式求解，对于D，利用法向量的定义求解.
【详解】对于A，因为，所以，
所以，所以，所以A正确，
对于B，因为，所以与共线的单位向量为，
或，所以B错误，
对于C，因为，
所以，所以C错误，
对于D，因为，，
所以，
所以，所以平面ABC的一个法向量是，所以D正确，
故选：AD.
10.在正方体中，下列结论正确的有（ ）
A．是平面的一个法向量B．是平面的一个法向量
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据正方体的结构特征及线面位置关系求解即可.
【详解】如图，
由正方体中的线面位置关系，可知平面，平面，
平面，所以ABD正确，
因为与所成的角为60°，所以C不正确，
故选：ABD
11.已知、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面.下列说法中正确的是（ ）
A．若，，，则B．若，，则
C．若，，，则D．若，，，则
【答案】ACD
【分析】对于A，利用线面平行的性质定理判断，对于B，利用线面平行的判定定理判断，对于C，利用线面垂直的判定定理判断即可，对于D，利用面面平行的判定方法判断.
【详解】由线面平行的性质定理可知，A正确；
若，则或，即B错误；
设的法向量分别为，若，则，又，则， ，所以，即C正确；
若，则，又，则，即D正确.
故选：ACD
12.下列命题是真命题的有( )
A．A，B，M，N是空间四点，若不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面
B．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直
C．直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥α
D．平面α经过三点，是平面α的法向量，则u+t＝1
【答案】ABD
【分析】由基底的概念以及空间位置关系的向量证明依次判断4个选项即可．
【详解】解：对于A，A，B，M，N是空间四点，若不能构成空间的一个基底，
则共面，可得A，B，M，N共面，故A正确；
对于B，，故，可得l与m垂直，故B正确；
对于C，，故，可得在α内或l∥α，故C错误；
对于D，，易知，故﹣1+u+t＝0，故u+t＝1，故D正确．
故选：ABD．
填空题
13.直线的方向向量是，平面的法向量，若直线，则___________.
【答案】1
【分析】结合已知条件可得，然后利用垂直向量的数量积为0即可求解.
【详解】由题意可知，，
因为，，
从而，解得.
故答案为：1.
14.在空间直角坐标系中，点，，，若点在平面内，则，，，应满足的关系为_________.
【答案】
【分析】求出平面的法向量，根据点在平面内，即可求解.
【详解】点，，，
所以：，，
设平面的法向量为，
则：,令得：
在平面内,所以
即：
故答案为：
15.已知平面的一个法向量，点，在平面内，则_________.
【答案】10
【分析】法向量和平面内任意向量垂直，数量积为0计算可得.
【详解】
故答案为：10
16.若两个向量，，则平面ABC的一个法向量为________;
【答案】
【分析】根据法向量与平面内的向量垂直，利用向量垂直的坐标运算即可求解.
【详解】设平面ABC的法向量为，则，即，两式子相减得，进而得，所以其中，
取，则
故答案为：
解答题
17.如图，在三棱锥中，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC.求证：平面BCD.
【答案】证明见解析.
【分析】根据给定条件，结合空间向量线性运算用表示向量，即可推理作答.
【详解】证明：在三棱锥中，M是AD的中点，P是BM的中点，且点Q在线段AC上，AQ=3QC，
则
，
而，因此平行于平面，而平面，
所以平面.
18.已知棱长为1的正方体在空间直角坐标系中的位置如图所示，分别为棱的中点，求证：.
【答案】证明见解析
【分析】由图中的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，证明，可得.
【详解】因为正方体的棱长为1， 分别为棱的中点，
所以有， ， ， ，
所以，，则有，所以.
19.如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，求证：平面EFG∥平面PBC．
【答案】证明过程见详解
【分析】根据题意得到AB，AP，AD两两垂直，从而以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，并确定A，B，C，D，P，E，F，G的坐标，求得，，，，从而即可确定平面EFG的法向量，平面PBC的法向量，进而即可证明平面EFG∥平面PBC．
【详解】因为平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，
所以AB，AP，AD两两垂直，
以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)．
所以，，，，
设是平面EFG的法向量，
则，，即，得，
令，则，，所以，
设是平面PBC的法向量，
由，，即，得，
令，则，，所以，
所以，所以平面EFG∥平面PBC．
20.如图在长方体中，，，，M是的中点．以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)求平面的法向量；
(2)求平面的法向量．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）可以观察出y轴垂直于平面，故就是平面的一个法向量；（2）利用求解平面的法向量的方法进行求解.
(1)因为y轴垂直于平面，所以是平面的一个法向量．
(2)因为，，，M是的中点，所以M，C，的坐标分别为，，．因此，．
设是平面的法向量，则
，．
所以
所以
取，则，．于是是平面的一个法向量．