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数学人教A版 (2019)第一章 空间向量与立体几何1.2 空间向量基本定理习题
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这是一份数学人教A版 (2019)第一章 空间向量与立体几何1.2 空间向量基本定理习题，文件包含12空间向量基本定理4大题型分层作业原卷版docx、12空间向量基本定理4大题型分层作业解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共47页， 欢迎下载使用。
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TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc170985609" 基础过关练 PAGEREF _Tc170985609 \h 2
\l "_Tc170985610" 题型一：基底的判断 PAGEREF _Tc170985610 \h 2
\l "_Tc170985611" 题型二：基底的运用 PAGEREF _Tc170985611 \h 5
\l "_Tc170985612" 题型三：正交分解 PAGEREF _Tc170985612 \h 8
\l "_Tc170985613" 题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题 PAGEREF _Tc170985613 \h 11
\l "_Tc170985614" 拓展培优练 PAGEREF _Tc170985614 \h 18
题型一：基底的判断
1．（2024·高二·广东佛山·阶段测试）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则k=（ ）
A．B．5C．D．
【答案】B
【解析】依题意，共面，则存在实数，使得，
于是，
因此，解得.
故选：B
2．（2024·高二·广东东莞·期末）若构成空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间的一个基底的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】是空间的一个基底，故不共面，
A选项， 设，
则，无解，
故不共面，故可构成空间的一个基底；
B选项，设，
则，无解，
故不共面，故可构成空间的一个基底；
C选项，设，
则，无解，
故不共面，故可构成空间的一个基底；
D选项，设，
则，得 ，
故共面，
故不可构成空间的一个基底.
故选：D
3．（2024·高二·全国·专题练习）已知是空间的一组基底，则可以与向量，构成基底的向量是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，，
又，
显然A，B，C三个选项中的向量都与共面，
而D选项中多了个，无论如何，是无法用线性表示的．
故选：D．
4．（2024·高二·重庆·期末）正方体中的有向线段，不能作为空间中的基底的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】A选项，共面，不能作为空间中的一组基底，A正确；
B选项，不共面，能作为空间中的一组基底，B错误；
C选项，不共面，能作为空间中的一组基底，C错误；
D选项，因为，，
设，
即，
，无解，
故不共面，能作为空间中的一组基底，D错误.
故选：A
5．（2024·高二·广东东莞·期中）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则（ ）
A．B．1C．0D．
【答案】B
【解析】由于，，所以不共线，
由于不能构成空间的一个基底，
所以存在使得，即
，
所以，解得.
故选：B
题型二：基底的运用
6．（2024·高二·新疆伊犁·期中）在三棱柱中，D，E，F，G分别为棱，，，的中点，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由D，E，F，G分别为棱，，，的中点可得：
①
②
③
由①② 可得： ④
由②③ 可得：,即 ⑤
④+⑤ 可得，从而，
又
故选：C
7．（2024·高二·重庆合川·期中）如图，在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】.
故选：B．
8．（2024·高二·上海闵行·期末）如图，四棱柱的底面为平行四边形，为与的交点，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为为与的交点，
则
故选：C.
9．（2024·高二·陕西榆林·期中）如图所示的三棱锥A-BCD中，令，，，且M，G分别是BC，CD的中点，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，，，
所以，，
所以，
所以，.
故选：A
10．（2024·高二·全国·期末）如图，在正三棱柱中，点M为棱AB的中点，点N为上底面的中心，用空间的一组基表示，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】取下底面ABC的中心Q，连接，则，
∴．
故选:B．
11．（2024·高二·江苏泰州·阶段测试）已知四棱锥的底面是平行四边形，为棱上的点，且，用表示向量为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意.
故选：A
题型三：正交分解
12．（2024·高二·河南洛阳·阶段测试）已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设
，
所以，解得，
所以向量在基底下的坐标为.
故选：A.
13．（2024·高二·山东烟台·阶段测试）设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为向量在基底下的坐标为，所以，所以向量在基底下的坐标为.
故选：C.
14．（2024·高二·河北·期中）已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为平面，平面，
所以，．
因为,即两两垂直，
又，，，
所以空间的一个单位正交基底可以为．
故选：B.
15．（2024·高二·云南临沧·阶段测试）已知是空间向量的单位正交基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标是 .
【答案】
【解析】向量在基底下的坐标是，
，
所以向量在基底下的坐标是.
故答案为：
16．（2024·高二·江苏·课后作业）已知是空间的一个单位正交基底，向量用坐标形式可表示为 ．
【答案】
【解析】由向量坐标的定义可知，是空间的一个单位正交基底，．
故答案为：
17．（2024·高二·吉林松原·期中）设是空间向量的一个单位正交基底，则向量，的坐标分别是 ；
【答案】
【解析】由是空间向量的一个单位正交基底，
则，，
故答案为：，.
18．（2024·高二·河南郑州·期中）已知是空间的一个单位正交基底，，若，则 .
【答案】4
【解析】，
又，所以，
故.
故答案为：4
题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题
19．（2024·高二·江苏常州·阶段测试）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且.
(1)求证：共面；
(2)当为何值时，；
(3)若，且，求的长.
【解析】（1）在平行六面体中，连接，
因为，
所以，
，
所以，即且，
所以四边形为平行四边形，即共面.
（2）当时，，理由如下，
设，且与、与、与的夹角均为，
因为底面为菱形，所以，
， ，
若，则，
即，
即，
解得或舍去，
所以时，
（3），
，
，
所以 ，所以的长为
20．（2024·高二·海南海口·阶段测试）如图所示，平行六面体中，，分别在和上，，.
(1)求证：，，，四点共面；
(2)若，求的值.
【解析】（1）证明：
，
∴，，，四点共面.
（2）
，
∴，，，
∴.
21．（2024·高二·安徽·阶段测试）如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，.
(1)利用空间向量证明；
(2)求的长.
【解析】（1）证明：设，则构成空间的一个基底，
，
，
所以
，
所以.
（2）由（1）知，
所以
.
所以.
22．（2024·高二·全国·课后作业）如图所示，在三棱锥中，，，两两垂直，，，，，，分别为，，的中点，以，，方向上的单位向量为基底，求．
【解析】令，，方向上的单位向量分别为，，，则是单位正交基底．
因为
，
所以，
所以的长度为．
23．（2024·高二·湖北武汉·阶段测试）在正四棱锥中，点分别是棱上的点，且，其中．
(1)若，且平面，求的值；
(2)若，且点平面，求的值．
【解析】（1）且，
在正四棱锥中，
可得，
即，
又平面所以存在实数使得，
即，
又且不共面，
解的.
（2）由（2）可知
又且，
可得
又点平面，即四点共面
所以解得.
24．（2024·高二·广东中山·阶段测试）在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且，，，
(1)求（用向量表示）；
(2)求证：点E，F，G，H四点共面．
【解析】（1）∵
∴
（2）连接
∵分别是的中点，∴.
又∵，∴，
∴，则四点共面.
25．（2024·高二·全国·课后作业）如图所示，已知是平行六面体．
(1)化简；
(2)设是底面的中心，是侧面对角线上的分点，设，试求，，的值．
【解析】（1）∵是平行六面体，
∴
（2）∵
，
又，
∴，，.
26．（2024·高二·河北·阶段测试）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，，，，是的中点，在线段上且．
（1）用向量，，表示向量；
（2）求向量的模长．
【解析】（1）
（2）
，
．
1．（2024·山西晋中·三模）已知三棱锥中，分别为棱的中点，则直线与所成角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】记，则，
，
则，
，
，
设直线与所成的角为则
，
所以
故选：C.
2．已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，实数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【解析】因为，
所以，又点D在确定的平面内，是平面外任意一点，
所以，即，
则.
故选：A.
3．如图，四棱柱的底面是正方形，，且，则（ ）
A．4B．0C．D．
【答案】D
【解析】由题意，，
所以
.
故选：D.
4．（2024·高三·山东临沂·期末）正方体中，M是棱的中点．记，，，用，，表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，，，
三个式子相加得，
.
故选：A
5．设，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①，②，③，④．其中可以作为空间一个基底的向量组有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】如图所示，令，，，
则，，，，
由于四点不共面，可知向量也不共面，
同理四点不共面，可知向量不共面，
又四点不共面，可知向量也不共面，
而四点共面，所以向量共面，
又三个不共面的向量可作为空间向量的一组基底，故有3个向量组可以作为空间的一个基底.
故选：C.
6．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．向量与的夹角是
D．与所成角的余弦值为
【答案】B
【解析】A选项，由题意可知，
则
，
∴，所以选项A不正确；
B选项，，又，
，
∴，所以选项B正确；
C选项，，
，
，
则，
∴向量与的夹角是，所以选项C不正确；
D选项，，，
设与所成角的平面角为，
因为
，
，
，
∴
，所以选项D不正确.
故选：B
7．如图，在正三棱柱中，为的中点，为线段上的动点，当时，（ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【解析】因为为线段上的动点，所以可设，
所以
.
因为，且，
所以.
因为，
所以.
因为，
所以，
所以，即点与点重合，所以.
故选：A.
8．在三棱台中，，，的重心为，的中点为，与相交于点，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图，延长交于点，
的重心为，
为在边上的中线，即为的中点，
三棱台中，，
,,
，
三棱台中，面面，且面分别交面，面于，，
，
，则，
得，
所以.
故选：D.
9．（多选题）如图，A，B为平面外的点，点A，B在平面上的射影分别为点，，点B不在直线上，为平面内的向量，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．若存在实数，使，则与共线
D．若M是直线AB上不同于A，B的点，则存在有序实数组，使得
【答案】ABD
【解析】对于A，根据射影概念，知道，，若，，
则面，面，则成立，故A正确．
对于B，，故B正确．
对于C，若，则和共线，则与可能相交，故C错误．
对于D，若M是直线AB上不同于A，B的点，则Ｍ与四个点都是共面的，且不共线，可以作为面的一组基底，
则由平面的基本定理，可知存在有序实数组，使得，故D正确．
故选：ABD.
10．（多选题）已知正三棱柱的所有棱长均相等，，分别是的中点，点满足，下列选项中一定能得到的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【解析】设正三棱柱的棱长为2，
以，，为基底向量，则，
，，
可得
，
若，则，
则，
即，
所以，所以且x为任意取值，故B、C正确，A错误；
又，故，，，在同一平面内，
连接、、，依题意，，，平面，
所以平面，要使，所以需在上，
由， 所以，，，四点共面，故在上，故D正确.
故选：BCD．
11．（多选题）在平行六面体中，记，设，下列结论中正确的是（ ）.
A．若点P在直线上，则
B．若点P在直线上，则
C．若点P在平面内，则
D．若点P在平面内，则
【答案】BCD
【解析】对于A，若点P在直线上，则，则，
由于三点共线，故，A错误；
对于B，若点P在直线上，则，而，
结合，得，B正确；
对于C，若点P在平面内，即四点共面，
则由，可知，C正确，
对于D，若点P在平面内，则，
则，
又，则，D正确，
故选：BCD
12．如图，在三棱柱中，，为的中点，E为的中点，和相交于点P，则 ．
【答案】/
【解析】在三棱柱中，连接，由分别为的中点，
得，且，则，
，
，而，
所以
.
故答案为：.
13．如图，在四面体OABC中，点M、N分别为线段OA、BC的中点，若，则 ．
【答案】/
【解析】在四面体中，由分别为线段的中点，
得，
而，由空间向量基本定理得：，
所以.
故答案为：.
14．平行六面体中，，，，动点在直线上运动，则的最小值为 ．
【答案】/
【解析】设，，，
设，则，，
则，
由，，，
可得，，
，
当时，的最小值为．
故答案为：．
15．已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点，设，，.
(1)用，，表示，并求出；
(2)求证：.
【解析】（1）由点是线段的中点，得，
由点是的重心，得，
所以，
因为正四面体中，，，
故，
所以，
即；
（2）由（1）可知，，，
所以
，
所以.
16．如图所示，平行六面体中，，.
(1)用向量表示向量；
(2)求.
【解析】（1）如图，.
（2）因为，，，
所以
,
又，
，
所以.
17．已知，，是空间中不共面的向量，若，，.
(1)若三点共线，求的值；
(2)若四点共面，求的最大值．
【解析】（1）因为三点共线，则，
又， ，
有}解得；
（2）因为四点共面，则，
则，
有 解得，
所以，
当时，取到最大值
18．如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，设的二面角为
(1)当时，求的体积；
(2)设N为的中点，，求的取值范围.
【解析】（1）取AB中点O，AD中点M，连接.
因为底面ABCD为直角梯形，，，
所以，
因为O为AB中点，所以，因为，
所以为的二面角，即，
过点P做于点H，
因为，平面，所以平面.
因为平面ABCD，所以平面平面ABCD，
因为平面平面，，平面，所以平面ABCD.
因为，，所以，因为，所以，
因为直角梯形ABCD的面积，
所以的体积；
（2）因为N是CD的中点，以为基底，
所以，
因为，，
所以，
因为，
所以，
因为，
所以
因为，所以，
所以的取值范围为.
19．如图，已知四边形是边长为的正方形，底面，，设是的重心，是上的一点，且．
(1)试用基底表示向量；
(2)求线段的长．
【解析】（1）连接，延长，交于，
由为的重心，得是边上的中线，且，
结合，得，
因为，所以，整理得，
因此，；
（2）因为底面，，底面是边长为的正方形，
所以，，，
可得
，
所以，即线段的长为．
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TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc170985609" 基础过关练 PAGEREF _Tc170985609 \h 2
\l "_Tc170985610" 题型一：基底的判断 PAGEREF _Tc170985610 \h 2
\l "_Tc170985611" 题型二：基底的运用 PAGEREF _Tc170985611 \h 5
\l "_Tc170985612" 题型三：正交分解 PAGEREF _Tc170985612 \h 8
\l "_Tc170985613" 题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题 PAGEREF _Tc170985613 \h 11
\l "_Tc170985614" 拓展培优练 PAGEREF _Tc170985614 \h 18
题型一：基底的判断
1．（2024·高二·广东佛山·阶段测试）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则k=（ ）
A．B．5C．D．
【答案】B
【解析】依题意，共面，则存在实数，使得，
于是，
因此，解得.
故选：B
2．（2024·高二·广东东莞·期末）若构成空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间的一个基底的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】是空间的一个基底，故不共面，
A选项， 设，
则，无解，
故不共面，故可构成空间的一个基底；
B选项，设，
则，无解，
故不共面，故可构成空间的一个基底；
C选项，设，
则，无解，
故不共面，故可构成空间的一个基底；
D选项，设，
则，得 ，
故共面，
故不可构成空间的一个基底.
故选：D
3．（2024·高二·全国·专题练习）已知是空间的一组基底，则可以与向量，构成基底的向量是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，，
又，
显然A，B，C三个选项中的向量都与共面，
而D选项中多了个，无论如何，是无法用线性表示的．
故选：D．
4．（2024·高二·重庆·期末）正方体中的有向线段，不能作为空间中的基底的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】A选项，共面，不能作为空间中的一组基底，A正确；
B选项，不共面，能作为空间中的一组基底，B错误；
C选项，不共面，能作为空间中的一组基底，C错误；
D选项，因为，，
设，
即，
，无解，
故不共面，能作为空间中的一组基底，D错误.
故选：A
5．（2024·高二·广东东莞·期中）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则（ ）
A．B．1C．0D．
【答案】B
【解析】由于，，所以不共线，
由于不能构成空间的一个基底，
所以存在使得，即
，
所以，解得.
故选：B
题型二：基底的运用
6．（2024·高二·新疆伊犁·期中）在三棱柱中，D，E，F，G分别为棱，，，的中点，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由D，E，F，G分别为棱，，，的中点可得：
①
②
③
由①② 可得： ④
由②③ 可得：,即 ⑤
④+⑤ 可得，从而，
又
故选：C
7．（2024·高二·重庆合川·期中）如图，在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】.
故选：B．
8．（2024·高二·上海闵行·期末）如图，四棱柱的底面为平行四边形，为与的交点，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为为与的交点，
则
故选：C.
9．（2024·高二·陕西榆林·期中）如图所示的三棱锥A-BCD中，令，，，且M，G分别是BC，CD的中点，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，，，
所以，，
所以，
所以，.
故选：A
10．（2024·高二·全国·期末）如图，在正三棱柱中，点M为棱AB的中点，点N为上底面的中心，用空间的一组基表示，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】取下底面ABC的中心Q，连接，则，
∴．
故选:B．
11．（2024·高二·江苏泰州·阶段测试）已知四棱锥的底面是平行四边形，为棱上的点，且，用表示向量为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意.
故选：A
题型三：正交分解
12．（2024·高二·河南洛阳·阶段测试）已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设
，
所以，解得，
所以向量在基底下的坐标为.
故选：A.
13．（2024·高二·山东烟台·阶段测试）设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为向量在基底下的坐标为，所以，所以向量在基底下的坐标为.
故选：C.
14．（2024·高二·河北·期中）已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为平面，平面，
所以，．
因为,即两两垂直，
又，，，
所以空间的一个单位正交基底可以为．
故选：B.
15．（2024·高二·云南临沧·阶段测试）已知是空间向量的单位正交基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标是 .
【答案】
【解析】向量在基底下的坐标是，
，
所以向量在基底下的坐标是.
故答案为：
16．（2024·高二·江苏·课后作业）已知是空间的一个单位正交基底，向量用坐标形式可表示为 ．
【答案】
【解析】由向量坐标的定义可知，是空间的一个单位正交基底，．
故答案为：
17．（2024·高二·吉林松原·期中）设是空间向量的一个单位正交基底，则向量，的坐标分别是 ；
【答案】
【解析】由是空间向量的一个单位正交基底，
则，，
故答案为：，.
18．（2024·高二·河南郑州·期中）已知是空间的一个单位正交基底，，若，则 .
【答案】4
【解析】，
又，所以，
故.
故答案为：4
题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题
19．（2024·高二·江苏常州·阶段测试）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且.
(1)求证：共面；
(2)当为何值时，；
(3)若，且，求的长.
【解析】（1）在平行六面体中，连接，
因为，
所以，
，
所以，即且，
所以四边形为平行四边形，即共面.
（2）当时，，理由如下，
设，且与、与、与的夹角均为，
因为底面为菱形，所以，
， ，
若，则，
即，
即，
解得或舍去，
所以时，
（3），
，
，
所以 ，所以的长为
20．（2024·高二·海南海口·阶段测试）如图所示，平行六面体中，，分别在和上，，.
(1)求证：，，，四点共面；
(2)若，求的值.
【解析】（1）证明：
，
∴，，，四点共面.
（2）
，
∴，，，
∴.
21．（2024·高二·安徽·阶段测试）如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，.
(1)利用空间向量证明；
(2)求的长.
【解析】（1）证明：设，则构成空间的一个基底，
，
，
所以
，
所以.
（2）由（1）知，
所以
.
所以.
22．（2024·高二·全国·课后作业）如图所示，在三棱锥中，，，两两垂直，，，，，，分别为，，的中点，以，，方向上的单位向量为基底，求．
【解析】令，，方向上的单位向量分别为，，，则是单位正交基底．
因为
，
所以，
所以的长度为．
23．（2024·高二·湖北武汉·阶段测试）在正四棱锥中，点分别是棱上的点，且，其中．
(1)若，且平面，求的值；
(2)若，且点平面，求的值．
【解析】（1）且，
在正四棱锥中，
可得，
即，
又平面所以存在实数使得，
即，
又且不共面，
解的.
（2）由（2）可知
又且，
可得
又点平面，即四点共面
所以解得.
24．（2024·高二·广东中山·阶段测试）在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且，，，
(1)求（用向量表示）；
(2)求证：点E，F，G，H四点共面．
【解析】（1）∵
∴
（2）连接
∵分别是的中点，∴.
又∵，∴，
∴，则四点共面.
25．（2024·高二·全国·课后作业）如图所示，已知是平行六面体．
(1)化简；
(2)设是底面的中心，是侧面对角线上的分点，设，试求，，的值．
【解析】（1）∵是平行六面体，
∴
（2）∵
，
又，
∴，，.
26．（2024·高二·河北·阶段测试）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，，，，是的中点，在线段上且．
（1）用向量，，表示向量；
（2）求向量的模长．
【解析】（1）
（2）
，
．
1．（2024·山西晋中·三模）已知三棱锥中，分别为棱的中点，则直线与所成角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】记，则，
，
则，
，
，
设直线与所成的角为则
，
所以
故选：C.
2．已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，实数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【解析】因为，
所以，又点D在确定的平面内，是平面外任意一点，
所以，即，
则.
故选：A.
3．如图，四棱柱的底面是正方形，，且，则（ ）
A．4B．0C．D．
【答案】D
【解析】由题意，，
所以
.
故选：D.
4．（2024·高三·山东临沂·期末）正方体中，M是棱的中点．记，，，用，，表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，，，
三个式子相加得，
.
故选：A
5．设，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①，②，③，④．其中可以作为空间一个基底的向量组有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】如图所示，令，，，
则，，，，
由于四点不共面，可知向量也不共面，
同理四点不共面，可知向量不共面，
又四点不共面，可知向量也不共面，
而四点共面，所以向量共面，
又三个不共面的向量可作为空间向量的一组基底，故有3个向量组可以作为空间的一个基底.
故选：C.
6．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．向量与的夹角是
D．与所成角的余弦值为
【答案】B
【解析】A选项，由题意可知，
则
，
∴，所以选项A不正确；
B选项，，又，
，
∴，所以选项B正确；
C选项，，
，
，
则，
∴向量与的夹角是，所以选项C不正确；
D选项，，，
设与所成角的平面角为，
因为
，
，
，
∴
，所以选项D不正确.
故选：B
7．如图，在正三棱柱中，为的中点，为线段上的动点，当时，（ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【解析】因为为线段上的动点，所以可设，
所以
.
因为，且，
所以.
因为，
所以.
因为，
所以，
所以，即点与点重合，所以.
故选：A.
8．在三棱台中，，，的重心为，的中点为，与相交于点，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图，延长交于点，
的重心为，
为在边上的中线，即为的中点，
三棱台中，，
,,
，
三棱台中，面面，且面分别交面，面于，，
，
，则，
得，
所以.
故选：D.
9．（多选题）如图，A，B为平面外的点，点A，B在平面上的射影分别为点，，点B不在直线上，为平面内的向量，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．若存在实数，使，则与共线
D．若M是直线AB上不同于A，B的点，则存在有序实数组，使得
【答案】ABD
【解析】对于A，根据射影概念，知道，，若，，
则面，面，则成立，故A正确．
对于B，，故B正确．
对于C，若，则和共线，则与可能相交，故C错误．
对于D，若M是直线AB上不同于A，B的点，则Ｍ与四个点都是共面的，且不共线，可以作为面的一组基底，
则由平面的基本定理，可知存在有序实数组，使得，故D正确．
故选：ABD.
10．（多选题）已知正三棱柱的所有棱长均相等，，分别是的中点，点满足，下列选项中一定能得到的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【解析】设正三棱柱的棱长为2，
以，，为基底向量，则，
，，
可得
，
若，则，
则，
即，
所以，所以且x为任意取值，故B、C正确，A错误；
又，故，，，在同一平面内，
连接、、，依题意，，，平面，
所以平面，要使，所以需在上，
由， 所以，，，四点共面，故在上，故D正确.
故选：BCD．
11．（多选题）在平行六面体中，记，设，下列结论中正确的是（ ）.
A．若点P在直线上，则
B．若点P在直线上，则
C．若点P在平面内，则
D．若点P在平面内，则
【答案】BCD
【解析】对于A，若点P在直线上，则，则，
由于三点共线，故，A错误；
对于B，若点P在直线上，则，而，
结合，得，B正确；
对于C，若点P在平面内，即四点共面，
则由，可知，C正确，
对于D，若点P在平面内，则，
则，
又，则，D正确，
故选：BCD
12．如图，在三棱柱中，，为的中点，E为的中点，和相交于点P，则 ．
【答案】/
【解析】在三棱柱中，连接，由分别为的中点，
得，且，则，
，
，而，
所以
.
故答案为：.
13．如图，在四面体OABC中，点M、N分别为线段OA、BC的中点，若，则 ．
【答案】/
【解析】在四面体中，由分别为线段的中点，
得，
而，由空间向量基本定理得：，
所以.
故答案为：.
14．平行六面体中，，，，动点在直线上运动，则的最小值为 ．
【答案】/
【解析】设，，，
设，则，，
则，
由，，，
可得，，
，
当时，的最小值为．
故答案为：．
15．已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点，设，，.
(1)用，，表示，并求出；
(2)求证：.
【解析】（1）由点是线段的中点，得，
由点是的重心，得，
所以，
因为正四面体中，，，
故，
所以，
即；
（2）由（1）可知，，，
所以
，
所以.
16．如图所示，平行六面体中，，.
(1)用向量表示向量；
(2)求.
【解析】（1）如图，.
（2）因为，，，
所以
,
又，
，
所以.
17．已知，，是空间中不共面的向量，若，，.
(1)若三点共线，求的值；
(2)若四点共面，求的最大值．
【解析】（1）因为三点共线，则，
又， ，
有}解得；
（2）因为四点共面，则，
则，
有 解得，
所以，
当时，取到最大值
18．如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，设的二面角为
(1)当时，求的体积；
(2)设N为的中点，，求的取值范围.
【解析】（1）取AB中点O，AD中点M，连接.
因为底面ABCD为直角梯形，，，
所以，
因为O为AB中点，所以，因为，
所以为的二面角，即，
过点P做于点H，
因为，平面，所以平面.
因为平面ABCD，所以平面平面ABCD，
因为平面平面，，平面，所以平面ABCD.
因为，，所以，因为，所以，
因为直角梯形ABCD的面积，
所以的体积；
（2）因为N是CD的中点，以为基底，
所以，
因为，，
所以，
因为，
所以，
因为，
所以
因为，所以，
所以的取值范围为.
19．如图，已知四边形是边长为的正方形，底面，，设是的重心，是上的一点，且．
(1)试用基底表示向量；
(2)求线段的长．
【解析】（1）连接，延长，交于，
由为的重心，得是边上的中线，且，
结合，得，
因为，所以，整理得，
因此，；
（2）因为底面，，底面是边长为的正方形，
所以，，，
可得
，
所以，即线段的长为．
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